circuitos electrico

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE INGENIERIA MECNICA Y ELECTRICA
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1. Tensióny Corriente.
La variación de carga eléctrica a través
de la sección trasversal de un
conductor se define como corriente
eléctrica o Intensidad de corriente
eléctrica.
La diferencia de potencial o tensión
entre dos puntos, es el trabajo
realizado al mover la carga unidad
entre esos puntos.
Para que pueda haber circulación de
electrones o Corriente eléctrica entre
dos puntos, entre ellos debe haber una
diferencia de potencial o tensión.
2. PotenciaEléctrica.
Se define potencia eléctrica como el
trabajo realizado por unidad de tiempo.
3. Elementosde un circuito eléctrico:
Activos y Pasivos.
Para que se pueda establecer
corriente en un circuito eléctrico, debe
aparecer una diferencia de potencial o
tensión entre dos puntos. Los
elementos que son capaces de aportar
energía eléctrica para crear esta
diferencia de potencial o tensión, se
denominan elementos activos. A
diferencia de los elementos pasivos
que son aquellos que consumen
energía o la almacenan. Los elementos
activos pueden clasificarse en fuentes
de tensión y fuentes de corriente. Estas
fuentes pueden a su vez ser:
Independientes: Si su valor no depende
de otras variables del circuito.
Dependientes: Si su valor depende de
otras variable.
3.1.-ElementosPasivos.
3.1.1.- Resistencia eléctrica (Ley de
Ohm).
La Resistencia eléctrica de un material
es la característica intrínseca de dicho
material, de oponerse al paso de la
corriente eléctrica, cuando se le somete
a una diferencia de potencial o tensión.
Así pues la resistencia de un material
depende de sus características
intrínsecas, además de sus
dimensiones. La resistencia vendrá
dada por la expresión:
Donde R esla resistencia
 r la resistividad
 l la longitud
 s la sección.
La Ley de Ohm relaciona la intensidad
de corriente eléctrica, la diferencia de
potencial o tensión, y la resistencia. De
tal manera podríamos enunciarla como:
“ La caída de tensión a extremos de
una resistencia es igual al producto de
la intensidad de corriente por la
resistencia.” La expresión será:

2
De lamisma,obtendríamos:
La resistenciaesunelementopasivode
circuito,ya que consume energíaaportada
por algunafuente.Laenergíaconsumida
por la resistenciaeléctricase disipaen
formade calor.La relaciónde lapotencia
consumidaporuna resistenciaviene
expresadporlaLey de Joule,que se
expresamatemáticamente:
Donde:
 P esla potencia,expresadaen
Watios.
 R es laresistenciaexpresadaen
Ohmios.
 V esla diferenciade potencial,
expresadaenvoltios.
 I esla intensidadde corriente
expresadaenamperios.
Elementospasivosde almacenamientode
energía.
Ademásde la resistenciaeléctrica,enun
circuitoeléctricoaparecenotrosdostipos
de elementospasivos.Sonel Condensador
y la Inductancia.
3.1.2.- Condensador
Un condensadorestáconstituidopordos
placasconductoras enfrentadas,separadas
por un material dieléctrico.Cuandose
aplicaal condensadorunadiferenciade
potencial,lasplacasquedancargadascon
polaridadescontrarias, estableciéndose un
campo eléctricoentre lasplacas.La
relaciónentre lacantidadde carga
acumuladay ladiferenciade potencialque
ha provocadodichaacumulación,
determinanunaconstante que caracteriza
a todo condensador,denominada
capacidadC. La capacidadse mide en
FaradiosF. Se puede expresarcomo:
Por lotanto la tensiónque presentaun
condensadordependeráde lacarga
acumulada:
Durante el tiempoque tardaen
acumularse lacarga, se establece una
intensidadde corrienteeléctrica,igual ala
cantidadde carga desplazadaenlaunidad
de tiempo:
Con loque la carga acumuladaen el
condensadorserá:
Sustituyendoobtendremoslatensióna
extremosdel condensador:

3
Donde el valorv(t0) hace referenciaal
valorde tensiónque aparece enel
condensadordebidoaunacarga anterior.
Cuandoel condensadorse usaen un
circuitode corriente continua, se cargará
hasta unvalor determinado,presentando
una tensiónconstante entre susplacas
definidapor:
Si consideramoslaintensidadcomouna
funciónde latensióntendremos:
De laque se deduce que,si latensiónde
un condensadorse mantieneconstante,la
intensidadesnula,que esel
comportamientohabitualencorriente
continua,anulandolacorriente enlarama
donde esté el condensador.
La potenciaenel condensadorviene dada
por:
La energíadel condensador,almacenada
enforma de campo eléctricovendrádada
por:
Suponiendounatensiónv(t=0)=0,
tendremos:
3.1.3.- Inductancia
Una inductanciaesunsolenoideobobina,
construidoconhiloconductorarrollado
con un númeroN de vueltas.Cadavuelta
esuna espira,porlo que labobinaestará
constituidaporN espirasconectadasen
serie.Cuandolabobinaesrecorridapor
una corriente eléctricai(t),el campo
magnéticocreadodará lugara unflujoque
recorre el interiordel solenoide,
atravesandotodaslasespiras.SegúnlaLey
de Faraday, enextremosde labobinase
induce unadiferenciade potencial porel
flujocreadoenla propiabobina,que recibe
el nombre de fuerzaelectromotriz
autoinducida,conunapolaridadtal que se
opone al paso de la corriente eléctrica:
Segúnlaexpresiónanterior,paraunflujo
constante nohabrá tensióninducida.Con
loque para corriente continuaunabobina
se comporta como uncortocircuito.
Toda bobinaquedadeterminadaporel
valorde unaconstante L llamado
coeficientede autoinducción,que se mide
enHenrios(H),y relacionael flujocreado
enla bobinacon laintensidadque la
recorre:
La f.e.m.autoinducidaenlainductanciase
expresarácomo:

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La corriente se expresarácomo:
La potenciaserá:
La energíaalmacenadaenformade campo
magnéticoserá:
3.2.- ElementosActivos.
Las fuentesde alimentaciónogeneradores
son,enun circuito,lasencargadasde dar
potenciaeléctrica.Debidoalocual se les
denominacomponentesactivosdelcircuito
eléctrico.Hayvariasclasificacionessegún
losparámetrosque consideremos,en
funcióndel parámetroeléctricoque las
define podránser:
3.2.1.-Fuentesde tensión:
Son aquellasque mantienenlatensión
aproximadamente constante,dentrode
unoslímites.
3.2.2.-Fuentesde corriente:
Son aquellasque mantienenlacorriente
constante,dentrode unoslímites.
Atendiendoasudependenciaconrespecto
al tiempo,puedenser:
3.2.3.-Fuentesde continua:
El valorde tensiónocorriente novaría con
respectoal tiempo.
3.2.4.-Fuentesde alterna:
El valorde tensiónocorriente varía con
respectoal tiempo.Lavariaciónmás
ampliamenteutilizadaesde tipo
sinusoidal.
Atendiendoasuaplicaciónenel circuito
puedenser:
3.2.4.1.-Fuentesideales:
Donde se supone que lafuente se
comportacomo un elementoideal sin
pérdidas.Oloque es lomismo,enuna
fuente de tensión,el valorde éstano
depende de lacorriente que circula.
3.2.4.2Fuentes reales:
Donde se considera,ademásde unafuente
ideal,unacaracterísticaque reflejalas
pérdidasde lapropiafuente (normalmente
la resistenciaoimpedanciainternade la
fuente).Oloque eslomismo,enuna
fuente de tensión, el valorde éstadepende
de la corriente que circula.
Atendiendoasuvalor,puedenser:
a) Fuentesindependientes:
Su valorno depende de unaseñal externa.
b) Fuentesdependientes:
Su valordepende del valorde unaseñal
externa(Tensión,corriente,...)
Además, puedenservariablescuandosu
valorse puede modificarmediante un
elementoexterno,normalmente un
potenciómetro externo(resistencia
variable).
Fuente dependiente

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Una fuente dependiente esunelemento
que proporcionaunvalorde tensióno
intensidadcontroladopormediode otra
tensiónointensidadexistente enel
circuito.
Son aquellascuyode salidaesproporcional
al voltaje ocorriente enotradel circuito.La
tensiónocorriente de laque depende se
llamavariable de control.Laconstante de
proporcionalidadse denominaganancia.
Tipos de fuentes dependientes
Tenemos cuatro tipos posibles:
Fuente de tensión controlada
por tensión.
µ ≡ ganancia de tensión en cto. ab.
(adimensional)
Fuente de corriente
controlada por corriente.
β ≡ ganancia de corriente en ccto.
(adimensional)
Fuente de tensión controlada
por corriente.
ρ ≡ resistencia de transferencia o
transresistencia (Ω)
Donde:
Fuente de corriente
controlada por tensión.
≡ transconductancia (Ω-1
)

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Donde:
Casos particulares que permitenuna clara
simplificación:
1. Fuente de tensión controlada por
su propia corriente.
V= R I1 , se puede considerar que la
fuente equivale a una resistencia de
valor R = ρ
2. Fuente de corriente controlada
por su propia tensión.
I = V1/R se puede considerar la fuente
como una resisten-cia de
valor
Análisisde circuitos con fuentes
dependiente
Movilidad y transformación de fuentes:
Las reglas vistas siguen siendo válidas,
aunque hay que tener cuidado para no
perder la referencia de la fuente.
El Teorema de superposición se aplica
solo a las fuentes independientes, las
fuentes dependientes no se pueden
anular.
El método de análisis por mallas y
nodos es idéntico al visto anteriormente,
pero hay que añadir una nueva ecuación
relacionada con la fuente dependiente.
4.- Criteriointernacional de signos.
Para representarlasintensidadesy
tensiones enuncircuitoeléctricose
admitenlossiguientescriteriosde signos:
La Intensidadde corrienteeléctrica
indicaráel sentidode desplazamientode
cargas positivas(criteriodebidoalos
estudiosinicialesde BenjamínFranklin).
O sea,contrarioal movimientode
electrones.De estamanera,laintensidad
de corriente eléctricasaldráporel polo
positivodel generadoryentrarápor el polo
negativo.
En el caso de loselementospasivosdel
circuito(Resistencias,..),el terminal por
donde entre laintensidadde corriente
eléctricaserámáspositivoque pordonde
salgala intensidad.Debidoal consumode
loselementospasivos.
Para representarlatensióngeneradaola
caída de tensión,mediante vectores,se
indicarácon un vectorque se dirijadel
terminal negativoal positivo.
5.-Asociaciónde elementospasivos.
5.1. AsociaciónSerie y Paralelo

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Hay dos formasbásicasde conectar
elementosde circuito,tantoactivoscomo
pasivos,enserie yenparalelo.
Se dice que dos elementospasivosestán
conectadosenparalelocuando,dentrode
un circuito,estánsometidosalamisma
diferenciade potencial otensión.
En el caso de resistenciaspodremosdecir,
segúnlafigura:
Si buscamosun elementoque pueda
sustituiral circuitoanteriorconun solo
elementoseráaquél que tengalosmismos
efectos:
Donde:
V=I*R I=V/R
Por laleyde Kirchhoff de losnudosse
tiene:
I=I1+I2
Sustituyendoenlaexpresiónanteriorpor
el valorde lasintensidades:
V/R=V/R1+V/R2 ; 1/R=1/R1+1/R2
Donde R será el valorde la resistencia
equivalente alasotrasdos.
Se dice que dos elementospasivosestán
conectadosenserie cuando,dentrode un
circuito,estánrecorridosporla misma
intensidadde corriente
Donde:
V1=I*R1 V2=I*R2
Buscandoun equivalente:
Donde:
V=I*R
Si usamosla Ley de Kirchhoff de lasmallas:
V=V1+V2
I*R=I*R1+I*R2 R=R1+R2
SiendoRla resistenciaequivalente alas
otras dos(R1 yR2)
De lamismaforma se podría determinarla
inductanciaequivalente aotrasdos
conectadasenparalelo,siendosu
expresión:
1/L=1/L1+1/L2

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 En el caso de dosinductancias
conectadasenserie:L=L1+L2
 En el caso de condensadores
conectadosenparalelo:C=C1+C2
 En el caso de condensadores
conectadosenserie:
1/C=1/C1+1/C2
6.-Transformación estrella-triángulo
A vecesloselementospasivosnoestán
conectadosenserie oparalelo,resultando
más complicadalaresolucióndel circuito.
Las otras dos formasestudiadasde
conectar elementossonlaconexiónen
estrellaylaconexiónentriángulo.
Si intentamosbuscarunaposibilidadde
transformaruna reden laotra, veremos
que la resistenciavistaentre lospuntos1y
2 debe serlamismaen ambasredes.De tal
formaque se cumplenlassiguientes
igualdades:
Resistenciaentre losnudos1y2:
Si la transformaciónque queremoshacer
esde triánguloaestrella,conoceremosel
valorde RA,RB y RC, y deseamoscalcular
losvaloresde R1, R2 y R3 de la estrella
equivalente.A partirde las ecuaciones
anterioresobtendremos:
que responde ala formagenéricade:
Si la transformaciónque queremoshacer
esde estrellaatriángulo,conoceremosel
valorde R1,R2 y R3, y queremoscalcular
losvaloresde RA,RB y RC del triángulo

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equivalente.A partirde las ecuacionesde
resistenciasentre nudostendremos:
Sustituyendoaquílasexpresiones
anterioresde latransformacióntriánguloa
estrella,obtendremos:
que respondenalaforma genéricade
7.-Asociacióny transformación de
fuentes.
7.1.- Asociaciónde fuentes
Las fuentesogeneradores,tantode
tensióncomode intensidad,pueden
asociarse enserie y/oparalelo,conalgunas
limitaciones.Lasasociacionesmás
importantesson:
7.1.1.- Asociaciónde fuentesde tensión
en serie:
La asociaciónde doso mas fuentesde
tensiónenserie,esequivalente auna
únicafuente de tensión,conunavalor
igual a la sumao diferenciade lasfuentes
originarias.
7.1.2.-Asociación de fuentesde tensiónen
paralelo:
Sólose podrán conectardos o masfuentes
idealesenparalelosi suvalorde tensiónes
igual,obteniendounafuenteequivalente
de valor de tensiónigual.
Asociaciónde fuentesde corrienteen
paralelo:
Dos o mas fuentesde corriente se pueden
sustituirporuna únicafuente de corriente
enserie,cuyovalorserála suma o
diferenciade lasanteriores.

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7.1.3.- Asociaciónde fuentesde corriente
en serie:
Dos o mas fuentesde corriente podrán
asociarse enserie si tienentodasel mismo
valorde intensidad,dandocomoresultado
una únicafuente de unvalorde corriente
igual a lasanteriores.
7.2.- Transformación de Fuentes
Existendosmodelosde fuentesde tensión
o corriente,lasidealesylasreales.Las
idealessonaquellasenque se utilizael
valorde latensiónocorriente comoúnico
elementoparareferirse aellas.Enel caso
de las fuentesrealesllevanasociadasuna
resistenciaenserie oparaleloalafuente,
segúnse trate de una fuente de tensióno
de corriente respectivamente.Esposible
transformarfuentesrealesde tensiónen
fuentesrealesde corriente yviceversa.El
procedimientoconsisteen:Aplicarlaley de
Ohmpara determinarel valordel
parámetrodeseado,utilizandola
resistenciainternade lafuente.Conectarla
mismaresistenciaque tenemosenserieo
paralelosegúnse trate de una fuente de
tensiónocorriente.

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8.-SUPERNODOS
En este circuito,inicialmente tenemosdos
tensionesdesconocidas,V1yV2. La
tensiónenlaterminal positivade VB yase
conoce porque la otra terminal se
encuentraenel nodode referencia.La
corriente que pasapor la fuente de voltaje
VA no puede sercalculadadirectamente.
Además,nopodemosescribirlas
ecuacionesde corriente paraV1y 2.
Inclusosi losnodosno puedenresolverse
individualmente,sabemosque la
combinaciónde estosnodosescero.Esta
combinaciónde losdosnodosesllamada
el métodode supernodo,yrequiereuna
ecuaciónadicional,que involucre las
tensionesque afectanalafuente,V1=
V2 + VA.
El sistemade ecuacionesparaeste circuito
es:
Al sustituirV1enla primeraecuacióny
resolviendocon respectoaV2,tenemos:
Ejemplode resoluciónporsupernodos
Para calcularla tensiónentre lasterminales
de la fuente de tensión,sumamoslas
tensionesde lasresistenciasque están
unidasa estosnodos,yademás
consideramoslosdosnodosde lafuente
de tensióncomounosolo,así:
• Tensiónenlaresistenciade 4Ω:
factorizando
• Observamosel supernodoenlosnodos
Vby Vc, tomamosestosdosnodoscomo
unosolo,por lotanto sumamoslas
corrientesde las resistenciasque hay
conectadasa
Vby Vc:

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factorizando
• Finalmente,planteamosunaecuación
para la fuente de voltaje lacual eslacaída
de voltaje enlosnodosasí:
Vb− Vc = 10
Observación:
Debemostenerencuentalapolaridadde
la fuente paraplantearestaúltima
ecuación,yasí obtenerel sistemade
ecuacionesparadeterminarlosvaloresde
losvoltajes.
Sistemade ecuaciones:
Resolviendo:
Va= 62,5 V,Vb= 22,5 V y Vc= 12,5 V
9.- SUPERMALLA
Existe unasupermallacuandounafuente
de corriente estáentre dosmallas
esenciales.Paratratar lasupermalla,se
trata el circuitocomo si la fuente de
corriente noestuvieraallí.Estoproduce
una ecuaciónque incorporalasdos
corrientesde malla.Unavezque se plantee
estaecuación,se necesitaunaecuación
que relacione lasdoscorrientesde malla
con la fuente de corriente,estoseráuna
ecuacióndonde lafuente de corriente sea
igual a una de las corrientesde malla
menoslaotra. A continuaciónhayun
ejemplode supermalla.
10.- ECUACIÓNDE MAXWELL
En ocasionesuncircuitoeléctricoes
demasiadode calcular.Paraesto,Maxwell
ideounmétodoque estábasadoen la
segundaleyde Kirchhoff.
La mejorformade entenderesconun
ejemplo.Utilizaremosel siguientecircuito
para el ejemplo:
Comopodemosobservartenemosdos
mallasclaramente difernciadas:M1y M2.
Por cada mallacirculauna intensidad
diferente aI1,I2 y I3, a estasintensidades
diferentesle vamosallamarM1 y M2, que

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seránlas intensidadesque recorrencada
mallarespectiva,porellohacemos
coincidirsusnombres.
Puesbien,segúnMaxwell,del circuito
sacaríamos dos ecuaciones,que serán:
Y con estasdos ecuacionespodríamos
calcularlas intensidades M1y M2,
resolviendounsistemade ecuaciones.
A este métodose le llamalasecuaciones
de maxwell.
10.1.- ECUACIONESDE MALLAS O DE
MAXWELL
Intensidadde malla:
Es una corriente ficticiaque se supone
recorre dicha mallaycumple dos
condiciones:
1.- Es idénticaa lacorriente real de las
ramas no comunesconotra rama.
2.-Se compone algebraicamente conlas
corrientesde mallade lasramas comunes
con otras mallas
Fundamentodel método:
Nº de ecuacionesaplantear=
Nº de ramas - (Nº de nudos - 1)
Ecuaciónde Maxwell:
Conveniode signos:
Se utilizanlosmismoscriteriosque se han
empleadoparaobtenerlasecuacionesde
la leyde lastensionesde Kirchhoff,pero
aplicadosa unamallay a las ramas
contiguas:

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Planteamientodel problema:
1. Se dibujael esquemacontodossus
elementos.
2. Se dibujanlasintensidadesde malla,
asignándolesunsentidoal azarque no
se cambia durante el proceso.
3. Se planteanlasecuacionesde Maxwell
4. Se resuelve el sistema.
5. Se obtienenlasintensidadesde rama
a partir de las intensidadesde malla.
Si laintensidadsale negativaesque tiene
sentidocontrarioal supuesto.
11.- Topologíade Redes,
11.1.-Definiciones:
La topologíaesunarama de la geometría,
que se usa mucho para estudiarcircuitos
eléctricos.Tratade las propiedadesde las
redesque nose afectancuandose
distorsionael tamañooformade lared.
Las definicionesmásimportantesson:
11.2.NUDO:
Es unpuntode uniónentre tresomás
elementosde circuito.Cuandose unen
sólodoselementosse denominanudo
secundario.
11.3.- RAMA:
Es el elementoogrupode elementosque
hay entre dosnudos.
11.4.- RED PLANA: Es una redque puede
dibujarse sobre unasuperficie planasin
que se cruce ningunarama.
11.5.- LAZO:
Es un conjuntode ramas que formanuna
líneacerrada, de tal formaque si se elimina
una de ellas,el caminoquedaabierto.
11.6.-MALLA:
Sóloaplicable aredesplanas,esunlazo
que no contiene ningúnotroensuinterior.
El numerode mallasesel mismoque el de
las“ventanas”que hay enuna red.
11.7.-GRAFO:
Es un dibujosimplificadode uncircuitoen
que cada rama se representaporun
segmento.
11.8.-ARBOL:
Es laparte de un grafoformadopor ramas
que contengana todoslosnudos,sinque
se formenlazos.
11.9.-ESLABON:
Son lasramas del grafo noincluidasenel
árbol.Tambiénadoptalosnombresde
cuerdasy ramas de enlace.
12.- Leyesde Kirchhoff.Análisisde
circuitos simples.
Kirchhoff estudióloscircuitoseléctricos
definiendoel conceptode malla,ya partir
de aquí estableciódosleyesque son
fundamentalesenel estudiode circuitos
eléctricos.
La primeraLeyde Kirchhoff oleyde los
nudosse enuncia:

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“En unnudo,la sumade lascorrientesque
se dirigenhaciael nudoo salende él es
cero” åI = 0
Ejemplo:
Para el nudorepresentado:
I1 + I2 + I3 + I4 = 0
La segundaLeyde Kirchhoff oleyde las
mallasse enuncia:
“En una malla,lasuma de las tensionesde
losgeneradores,esigual alasuma de las
caídas de tensión”;åV = åZ × I
Un ejemplode aplicaciónsería:
Donde la expresiónserá:
E1 + E2 = R1*I + R2*I 1.9.2.
Elecciónde lasecuacionesindependientes
para la aplicaciónde lasleyesde Kirchhoff.
La resoluciónde uncircuitoeléctrico
consiste encalcularlascorrientesde las
diversasramasdel mismo,ycon éstas
determinadas,examinarlascaídasde
tensióny laspotenciasde cada elemento.
Para un circuitocon r ramas tendremos
que calcularr incógnitas.Habráque buscar
r ecuacionesindependientespara
resolverlas,que se puedandeducirapartir
de las leyesde Kirchhoff.Enuncircuitode r
ramas habrá n nudos.Si aplicamosla1º ley
de Kirchhoff de losnudos,obtendremosn
ecuaciones,peroestassondependientes;
existiendon-1ecuacionesde nudos
independientes.De tal manera
necesitamosr-(n-1) ecuacionesadicionales
que lasobtendremosde la2º leyde
Kirchhoff,tomaremosentoncesecuaciones
de mallashasta completarlasr ecuaciones
independientes.El numerode mallasque
tomaremosserá:m = r - n + 1
12.- Análisisde circuitos por el método de
las corrientesde malla.
El métodode mallasconsiste enaplicar
directamente la2º leyde Kirchhoff,
estandola1º implícita.Enprimerlugarhay
que intentarque lasfuentesque aparezcan
seantodas fuentesde tensión.Porotra
parte hay que verque el numerode mallas
que tiene unaredplanaserá m = r – n + 1.
Las mallasse puedenidentificarcomolas
“ventanas”que aparecenencada circuito.
En cada mallase elige unsentidoarbitrario
de corriente.A continuaciónacada malla
se aplicará la2º leyde Kirchhoff,indicando
enun términolasumade losgeneradores
y enel otro la sumade lascaídas de
tensión;obteniendolasecuacionesque
necesitamosparalaresolucióndel circuito.
Resolviendoestasecuaciones,
obtendremoslasintensidadesque pasan
por cada malla.De la aplicaciónde la1º ley
de Kirchhoff alos diferentesnudos,
conocidaslascorrientesde malla,
obtendremoslascorrientesencadarama,
quedandoasíresueltoel circuito.

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13.-TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON.
Los Teoremasde TheveninyNortonhacen
referenciaalaposibilidadde cualquier
circuitolineal de transformarse enotro
equivalente massimplificado.
Concretamente el Teoremade Thevenin
consiste ensustituiruncircuitocomplejo
por otro equivalente,que se compone de
una fuente ideal de tensión,conunvalor
denominadotensiónThevenin, conuna
resistenciaenserie llamadaresistencia
equivalente Thevenin.
El Teoremade Nortonconsiste ensustituir
un circuitocomplejoporotrosimple
equivalente denominadocircuito
equivalente Norton.El circuitoequivalente
Nortonse compone de una fuente de
corriente (conunaintensidaddenominada
Norton) enparaleloconunaresistencia,
denominadaresistenciaequivalente
Norton,y que tiene el mismovalorque la
resistenciaequivalente Theveninde ese
circuito.
Para aplicarestosequivalentes,hayque
buscar el equivalenteentre dospuntos
concretosdel circuito.Parahallarla
resistenciaequivalente,se determinala
resistenciaequivalente vistadesde esos
dos puntos,aplicandolassiguientesreglas:
Se cortocircuitanlasfuentesde tensión
que aparezcanen el circuito.Se dejana
circuitoabiertolasfuentesde corriente
que aparezcanel circuito.Se busca la
resistenciaequivalente entrelosdos
puntosconsideradosaplicandolos
conceptosvistosde asociaciónde
resistenciasenserieyparalelo, ylas
transformacionesestrella-triángulo.
Para determinarlatensiónThevenin.A
partir del circuitoinicial,se hallalatensión
que hay entre losdospuntosconsiderados.
Para determinarlaintensidadde Norton,a
partir del circuitoinicial,se cortocircuitan
lospuntossobre losque queremoshallarel
equivalente.Laintensidadque pase porla
lineaque hemoscortocircuitadoserála
intensidadde Norton.
Hay que tenerpresente,que segúnlo
estudiadoentransformaciónde fuentes,se
puede pasarde un equivalente aotro
utilizandolaleyde Ohm.
V THEVENIN = R EQUIVALENTE * I NORTON
13.1.-CALCULO DE LOS EEQUIVALENTES DE
TEHEVENIN Y NORTHON
Las fuentesdependientesNOSEPUEDEN
ANULARpara calcularRTH o RN,solose
anulanlasfuentes independientes.
Entoncesno se puede calcularlaR
equivalente porasociaciónde resistencias,
sinoque se aplicael métodoI-V (ométodo
de fuente "test") se aplicaunatensión
Vx enbornas donde se quiere obtener
Reqy se determinalacorriente Ix,de
modoque

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Para calcular:
(Req)
Anulando solo las fuentes independientes.
Aplicamos una fuente de test:
Y se calcula:
NOTA:En circuitos que sólo tienen fuentes
dependientes se cumple que
14.-TEOREMA DE KENNELLY
El teoremade Kennelly,llamado asíen
homenaje aArthurEdwinKennelly,
permite determinarlacarga equivalenteen
estrellaauna dadaen triánguloy
viceversa.El teorematambiénse le suele
llamarde transformaciónestrella-
triángulo(escritoY-Δ) otransformaciónte-
delta(escritoT-Δ).

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15.-TEOREMA DE BOUCHEROT
Definición:
De acuerdocon este teorema,
laspotenciasactivay reactivatotalesen
un circuito,vienendadasporlasumade las
potenciasactivayreactiva,
respectivamente,de cadauna de sus
cargas. De formaanalítica:
𝑃 𝑇 = ∑ 𝑃𝑘
𝑛
𝑘=1
𝑄 𝑇 = ∑ 𝑄 𝑘
𝑛
𝑘=1
Ejemplo:
En el siguiente circuito, calcular las
potencias activas y reactiva que produce el
generador, aplicando el teorema de
Boucherot, sabiendo que:
I1= 14,14 A, I2=14, 14j A y siendo las
resistencias de 10Ω cada una, la bobina,
L=5j Ω y el condensador, C=-5j Ω.
Las potencias activas en cada carga serán:
P1=R1.I1
2
= 10. (14,14)2
= 2000 W
P2=R2.I2
2
=10.(14,14)2
=2000W
Para calcular PR, necesitamos saber la IT:
IT= I1+I2 = 14,14+ 14,14j = 2045º A
PR=R.I2
=10.202
=4000W
Las potencias reactivas serán:
Q1= X1.I1
2
= 5. (14, 14)2
= 1000 VAr
Q2= X2.I2
2
= -5.(14,14)2 = -1000 VAr
QR= 0
Segúnel teoremade Boucherot,las
potenciasdadasporel generadorserán
igual a laspotenciasabsorbidasporlos
elementospasivosdelcircuito:
PGenerador= 2000 + 2000 + 4000 = 8000 W
QGenerador= 1000 + (-1000) = 0
16.-TEOREMA DE MILLER
Definición:
El efectoMillerdacuentadel incremento
enla capacitanciade entrada equivalente
de un amplificadorinversorde voltaje
debidoala amplificaciónde lacapacitancia
entre losterminalesde entradaysalida. La
capacitanciade entrada adicional debidaal
efectoMillerestádadapor:
𝐶 𝑚 = 𝐶(1 − 𝐴 𝑣)
Donde esla gananciadel amplificadoryC
esla capacitanciade retroalimentación.
Aunque el término efecto
Millernormalmentese refiere ala
capacitancia,cualquierimpedancia
conectadaentre la entraday cualquierotro
nodoque exhibe gananciapuede modificar

19
la impedanciade entradadel amplificador
mediante este efecto.
TEOREMA DE MILLMAN
Definición:
En un circuitoeléctrico de ramasen
paralelo,cadauna compuestaporuna
fuente de tensiónideal enserieconun
elementolineal,latensiónenlos
terminalesde lasramasesigual a la suma
de las fuerzaselectromotrices
multiplicadasporlaadmitanciade la rama
divididoporlasumade las admitancias.
Esto mismo, formalmente:
Donde F es la fuente de tensión o de
corriente según sea el caso y G, es
la conductancia.
Pasosa realizar:
1. Se señalandosnodosA y B, por ejemplo
la parte superiore inferior.
2. Se asignaun sentidoarbitrarioala
tensiónVab,si el resultadofinales
positivo,lapolaridadadoptadaescierta,si
esnegativohayque cambiarla polaridad.
3. Se calculanlas corrientesparcialesde
cada una de las ramas producidasporlos
generadoresde cadarama actuando
independientemente.Si unaramano tiene
generadores,se supone lacorrientede esa
rama igual a cero.
4. Las corrientesparcialesque se dirigen
hacia el nodoque se ha considerado
positivose tomanconel signo+. Las
corrientesque se alejanse consideran -.
5. La tensióntotal 𝑉𝑎𝑏 viene dadaporla
expresióngeneral:
𝑉𝑎𝑏=
∑ 𝐼
∑1
𝑅
Donde
1
𝑅
se conocetambién
como conductancia.

20
Ejemplo:
𝑉𝑏𝑎 =
−
30𝑉
10𝛺 +1𝛺
−
50𝑉
6𝛺+4𝛺
+0
1
10𝛺 +1𝛺
+
1
6𝛺+4𝛺
+
1
8𝛺
=-24.46V
El signo - indica que el sentido real de la
tensión va de a a b porlo queVab = 24.46V.
TEOREMA DE MÁXIMA
TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Establece que,dadaunafuente,conuna
resistenciade fuentefijadade antemano,
la resistenciade carga que maximizala
transferenciade potenciaesaquellaconun
valoróhmicoigual a la resistenciade
fuente.Tambiénesteayudaaencontrarel
teoremade TheveninyNorton.
La máximapotenciatransferidase obtiene
sustituyendo:
𝑝 𝑚á𝑥 =
𝑉𝑇𝐻
2
4𝑅 𝑇𝐻
Ejemplo:
Halle el valorde 𝑅 𝐿 para la transferenciade
máximapotenciaenel circuitode siguiente
figura.Halle lamáximapotencia.
Solución.-
Se necesitahallarlaresistenciade Thevenin
𝑅 𝑇ℎ y latensiónde Theveninentrelas
terminalesa-b.Paraobtener 𝑅 𝑇ℎ se emplea
el circuitode la figura
y se obtiene
𝑅 𝑇ℎ =
6 × 12
18
+ 5 = 9𝛺
Para obtener 𝑉𝑇ℎ se considerael circuitode la
siguiente figura:
La aplicación del análisis de malla da como
resultado
−12 + 18𝑖1 − 12𝑖2 = 0 , 𝑖2 = −2𝐴
Al despejar 𝑖1 se obtiene 𝑖1 = −2/3 .La
aplicaciónde laLTK a lolargo del lazoexterior
para obtener 𝑉𝑇ℎ entre lasterminalesa-b
produce
−12 + 6𝑖1 + 3𝑖2 + 2(0) + 𝑉𝑇ℎ = 0
⇒ 𝑉𝑇ℎ = 22𝑉
Para la transferencia de máxima potencia,
𝑅 𝐿 = 𝑅 𝑇ℎ=9Ω
y la máxima potencia es
𝑝 𝑚á𝑥 =
𝑉𝑇𝐻
2
4𝑅 𝑇𝐻
=
222
4×9
= 13.44𝑊

21
¿QUÉ ES UN CONTACTOR?
El contactor esun aparato eléctricode
mandoa distancia,que puede cerraro
abrir circuitos,yaseaen vacío o encarga.
Es la piezaclave del automatismoenel
motor eléctrico.
Su principal aplicacióneslade efectuar
maniobrasde aperturay cierrade circuitos
eléctricosrelacionadosconinstalaciones
de motores.Exceptolospequeños
motores,que sonaccionados
manualmente oporrelés,el restode
motoresse accionanpor contactores.
Un contactor está formadoporuna bobina
y unoscontactos,que puedenestar
abiertosocerrados,y que hacende
interruptoresde aperturaycierre de la
corriente en el circuito.
En el contactor real los contactos de
conexión de la bobina se llaman A1 y
A2 siempre. Los contactos del circuitos
de salida o de fuerza se llaman 1-2, 3-4,
etc. y los contactos auxiliares, para el
circuito de mando o control, suelen
llamarse con número de 2 cifras, por
ejemplo 13-14. Luego veremos esto
mejor con esquemas concretos.
Su funcionamiento es muy sencillo,
vamos a explicarlo y ver sus partes.
Funcionamiento de un Contactor
Si te fijasenla imagenanteriortenemos
un contactor con 4 contactos abiertosyel
últimoesuncontacto cerrado enreposo.
Si hacemosllegarcorriente alabobina,
estáque está formadapor unelectroimán,
atrae haciasí el martilloarrastrandoensu
movimientoaloscontactos móvilesque
tirará de elloshacialaizquierda.Esta
maniobrase llama"enclavamientodel
contactor".Todos loscontactos que
estabanabiertosahoraseráncontactos
cerrados,y el últimoque estabacerrado
ahora seráun contacto abierto.
Cuandola bobinaestáactivadase dice que
el contactor estáenclavado.
En el momentoque dejemosde dar
corriente ala bobinael contactor volveráa
su posiciónde reposoporlaacción del
muelle resorte,dejandoloscontactos
como estabanal principio,al tirarde ellos
hacia laderecha.
El contactor de la figuraanteriortiene 3
contactos de fuerza,porlo que serviría
para un sistematrifásico(3fases).Enel
caso de un contactor monofásico(solola
fase y el neutro) seríael siguiente caso.

22
Lo hemosutilizadoparael control de un
lámpara.si queremosapagarla lámpara
solotendremosque abrirel pulsador
normalmente cerradode laparte de arriba
que activa labobina.Para estoscasoses
mejorusar unsimple relé,yaque esmás
barato. Para unmotor monofásicosolo
tendríamosque cambiarla lámparapor el
motor.
Vamosa conectar enun circuitoel
contactor para el arranque de un motor
trifásico.
Contactor Trifásico
Si te fijaslabobinase activa a travésde un
interruptorporuna fase y el neutro(L1 y
N),esdecira 220V. Se conectaa los bornes
A1 y A2 del contactor real.
El motor trifásicose activaa travésde los
contactos principalesdel contactorconlas
3 fases(L1,L2 y L3), por ejemploa400V (o
380V). Se conecta enloscontactos reales
del contactor de fuerza1-2, 3-4, 5-6. Los
contactos 13-14 y 21-22 sonpara el circuito
de control que luegoveremos.
Cuandoactivamosel Interruptorle llega
corriente ala bobinay el contactor se
enclavacerrandoloscontactosprincipales
y arrancando el motorelectrico.
Cuandodesconectamoslacorriente ala
bobinamediante el interruptor,dejade
llegarle corrientealabobinay los
contactos vuelvenala posiciónde reposo
haciendoque el motorse pare.Este esun
arranque básicoy directo,luegoveremos
algunoscircuitosmáspara losarranques
de motorestrifásicos,comoporejemploel
arranque estrella-triángulo.
Como vesenloscircuitosde los
contactoresse distinguendoscircuitos
diferentes,el circuitode mando,que será
el que active o desactive labobinayel
circuitode fuerza,que seráel que arranque
o pare el motor.
El circuitode mandosuele seruncircuitoa
menortensióne intensidadque el circuito
de fuerza.De ahí que loscontactos
principalesode fuerzasean másgordos
que losauxiliares.
En el esquemaanteriornohemosusado
loscontactos auxiliares,soloel de la
bobina,peroyaverás cómose utilizan,por
ejemploparalaautoalimentación.

23
FUNCIONESSINGULARES
Definición:
llamadastambién(funcionesde
conmutación) sonmuyútilesenel análisis
de circuitos,sirvencomobuenas
aproximacionesalasseñalesde
conmutaciónque surgenenloscircuitos
con operacionesde conmutación,
describenalgunasfuncionesdelcircuito
sobre todode larespuestade pasode los
circuitosRL o RC, este tipode funciones
son discontinuasotienenderivadas
discontinuas.
Existentresfuncionessingularesmás
ampliamenteutilizadasenel análisisde
circuitos:
1. FUNCIÓN PASO O ESCALÓN
UNITARIO up (t):
Utilizada para representar un cambio
brusco en la corriente o la tensión, similar
a los cambios que ocurren en circuitos de
sistemas de control y en computadoras
digitales.
Gráficas y ecuaciones:
Tiene su aplicación
En el instante t=0.
Si cambiamosel argumentode t a t-a
obtenemoslafunciónescalónunitaria:
f(t) = u-1(t-a)
Cuyoargumentose hace ceroen t=a, y en
consecuenciael escalónse iniciaráenese
instante.
Nota:
u(t) es ADIMENSIONAL.Si queremosque
u(t) represente unvoltajeounacorriente
esnecesariomultiplicarau(t) poralgún
voltaje ocorriente,así:
2-FUNCIÓN IMPULSO U NITARIO

24
Originada por la derivada de la función
escalónunitario, donde:t) escero en todas
partes excepto en t=0, donde esta
indefinida.
Su símbolo es uo(t), o ui(t)
EXPLICACIÓN:
Las corrientesytensionesimpulsivasque
ocurrenen circuitoseléctricosson
resultadode operacionesde conmutación
o de fuentes impulsivas,lafunciónimpulso
unitariopuede considerarse comoun
choque aplicadooresultante yesposible
visualizarlocomounimpulsode muycorta
duraciónde área unitaria.
Algunossistemasmecánicossuelenestar
sometidosaunafuerzaexterna(oa una
tensióneléctricaenel casode loscircuitos
eléctricos) de granmagnitud,que
solamente actúadurante untiempomuy
corto. Porejemplo,unadescargaeléctrica
podría caer sobre el ala vibrante de un
avión;a un cuerposujetoaun resorte
podría dársele unfuerte golpe conun
martillo,unapelota(de beisbol,de golf o
de tenis) inicialmente enreposo,podríaser
enviadavelozmenteporlosairesal ser
golpeadaconviolenciaconunobjetocomo
una bat de beisbol,unbastónde golf ouna
raquetade tenis. La funciónimpulso
unitariopuede servircomounmodelopara
tal fuerza
3-
FUNCIÓN RAMPA UNITARIA
Símbolo: r(t)
Es una funciónelemental real de unsólo
argumento,continuaydiferenciable en
todosu dominioexceptoenunpunto
(iniciode larama) fácilmente computablea
partir de la funciónmínimoola
función valorabsoluto.
En todo su dominiode definición,la
funciónrampaes no-negativa(positivao
cero)
Y, por tanto, coincide con su valor
absoluto:

25
POLOS Y CEROS DE F(S)
En el temacorrespondientea
la transformadade Laplace se mostróla
maneraen que el comportamientode un
sistemade tiempocontinuopodía
deducirse de laposiciónde suspolosy
cerosen el plano s.
Mediante el empleode la
transformadaz ha sidoposible desarrollar
modelosde secuenciasysistemasde
tiempodiscretoenformade cocientesde
polinomios
Como enel caso de las funcionesde
variable de Laplace s,losvaloresde z para
losque el polinomiodel numeradorY(z)
vale cerose conocencomo ceros, {z1, z2,
.....zm} y losvalorespara losque el
polinomiodeldenominadorX(z) vale cero
se conocencomo polos {p1,p2, .....pn}
Al igual que s, z esuna variable compleja
con una parte real y una imaginaria,ylas
posicionesde lospolosyloscerosen
valoresespecíficosde zse pueden
representarenundiagramade la misma
maneraque en plano s.No esde
sorprenderse puesque aeste diagramase
le conozca como planoz.
Ejercicio:
Respectode laestabilidadnohay
restriccionesencuantoala ubicaciónde
losceros,loscualespuedenestarsituados
encualquierlugardel planoz.
Un segundoaspectointeresanteesla
operatividadde loscerosenel origen.Los
cerossituadosenel origensóloproducen
un retrasoo avance en larespuesta
temporal.
Por ejemplo,al procesadorcaracterizado
por la funciónde transferencia
le corresponde la ecuación en
diferencias finitas:
yn =(2rcos ) yn-1 - r yn-2 + xn-2
enla cual laentrada x aparece retrasada
dos intervalosde muestreo,yporlotanto
la respuestaal impulsocomienzaenn= 2
sinembargoal procesadorcaracterizado
por la funciónde transferencia le
corresponde la ecuación en diferencias
finitas:
yn = (2 r cos ) yn-1 - r yn-2 + xn
TRANSFORMADA DE LAPLACE
La Transformadade Laplace de una función
f(t),se define de lasiguienteforma:
ℒ{ 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) = ∫ ⅇ−𝑠𝑡 𝑓( 𝑡)ⅆ𝑡
∞
0
Donde f(t) esuna funcióndefinidaparat ≥
0.
 Propiedadesde latransformada
que se usaran:
Linealidad:
ℒ{ 𝑎𝑓( 𝑡) + 𝑏𝑔( 𝑡)} = 𝑎ℒ{ 𝑓( 𝑡)} + 𝑏ℒ{ 𝑔( 𝑡)}
Derivación:
ℒ{ 𝑓′( 𝑡)} = 𝑠ℒ{ 𝑓( 𝑡)} − 𝑓(0)
ℒ( 𝑓′( 𝑡)) = 𝑠2ℒ{ 𝑓( 𝑡)} − 𝑠𝑓(0) − 𝑓′(0)
ℒ{ 𝑓( 𝑛)( 𝑡)} = 𝑠 𝜂ℒ{ 𝑓( 𝑡)} − 𝑠 𝑛−1 𝑓(0) −
⋯− 𝑓( 𝑛−1)(0)

26
−𝑔 𝑛ℒ{ 𝑓( 𝑡)}− ∑ 𝑔 𝑛−𝑖 𝑓( 𝑖−1)(0)
𝑛
𝑖=1
Desplazamientode la
frecuencia:
ℒ{ⅇ 𝑎⋅𝑡∫ (1)} = 𝐹( 𝑠 − 𝑎)
La Transformadade Laplace esuna
herramientamuypoderosaparala
resoluciónde circuitoseléctricos.La
ecuacióndiferencial que estáenel dominio
del tiempomediantelaTransformadade
Laplace pasa al dominioen campo
s,dominiode Laplace.Unavezresuelto,
efectuandolasrespectivasoperaciones
algebraicas,se aplicalaTransformada
Inversade Laplace para obtenerla
respuestaenel dominodel tiempo.Las
técnicasde Transformadade Laplace son
muyútilespararesolverecuacionescon
condicionesiniciales.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Un circuitoessencillamenteuncamino
cerrado a lolargo del cual puedenmarchar
loselectrones.Uncircuitocompletodebe
teneruncaminoininterrumpido,conla
fuente de energíaactuandocomouna
bombade electronesparaempujarlesa
travésdel conductor(generalmente unhilo
de cobre),contra la resistenciadel
dispositivoque hade funcionar.
Circuito RL:
Un circuitoRL es uncircuitoeléctricoque
contiene unaresistenciayunabobinaen
serie.Se dice que labobinase opone
transitoriamenteal establecimientode una
corriente enel circuito.
La ecuacióndiferencialque rige el circuito
esla siguiente:
CircuitoRL enserie.
𝑈 = 𝐿
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
+ 𝑅 𝑡 ⋅ 𝑖
Donde:
1. 𝑈 esla tensiónenlosbornesde
montaje,enV;
2. 𝑖 esla intensidadde corriente
eléctricaenA;
3. 𝐿 esla inductanciade labobinaen
H;
4. 𝑅 𝑡 es laresistenciatotal del
circuitoenΩ.
COMPORTAMIENTO DE UN CIRCUITO
ELECTRICO RL
La interacciónentre loscomponentes
individualesde uncircuitoeléctricoesta
dada por lasleyesde Kirchhoff que
enuncianlosiguiente:
1. La sumaalgebraicade todaslas
corrientesque entranacualquier
nododel circuitoescero. 2. La suma
algebraicade lacaída de tensión
alrededorde cualquierlazoenun
circuitoescero.
2. El usode estasleyesesmuy
importante paradescribirel
comportamientode uncircuito
eléctrico,estasse puedenanalizar

27
usandola transformadade Laplace.A
continuaciónse utilizarála
transformadade Laplace para
encontrarla ondade corriente enel
tiempodel siguientecircuitoeléctrico
RL
Seauna tensiónde bateríaconstante de
v=1 voltaplicadosaun resistor(R) ya un
inductor(L) en serie comomuestrala
figura
Primerose analizalafunciónde tensiónen
componentesexponencialesporla
ecuación(1).La tensión,esunafunciónde
escalónunitario,que larepresentaremos
como u(t) de la siguientemanera
𝑢( 𝑡) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
1 𝑠𝑖 𝑡 > 0
Si remplazamosenlaecuaciónf(t) poru(t)
dandocomo resultadolatransformadade
Laplace de u(t)
𝐹( 𝑆) = ∫ (1)ⅇ−𝑠𝑡 ⅆ𝑡
∞
0
= −
1
𝑠
(0 − 1) =
1
𝑠
La funciónimpedancia(Z) del circuitoes
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝑜 𝑍( 𝑠) = 𝑅 + 𝐿𝑠
Haciendoladivisiónde latrasformadade la
tensiónylaimpedancia(Z) se obtiene la
funcióntransformadade lacorriente.Se
utilizaráV(s) paralatransformadade la
tensióne I(s) parala transformadade la
corriente,obteniendo
𝑉( 𝑠) =
1
𝑠
𝐼(𝑠) =
𝑉( 𝑠)
𝑍( 𝑠)
=
1 ∕ 𝑠
𝑅 + 𝐿𝑠
=
1
𝐿
1
𝑠( 𝑠 + 𝑅
𝐿⁄ )
Aplicandofraccionessimplesalaecuación
de I(s) se obtiene
𝐼(𝑠) =
1
𝐿
(
𝐿
𝑅⁄
𝑠
+
−𝐿
𝑅⁄
𝑠 + 𝑅
𝐿⁄
)
Luegoaplicandolaanti transformadade
Laplace a la ecuaciónanteriorse obtiene la
funcióncorriente enel tiempoi(t).
𝐼(𝑠) =
1
𝐿
(
𝐿
𝑅
+
𝐿
𝑅
ⅇ
− 𝑅
𝐿𝑡⁄
) =
𝐿
𝑅
(1 − ⅇ
− 𝑅
𝐿𝑡⁄
)
a) Inductor o bobina:
Es uncomponente pasivode uncircuito
eléctricoque,debidoal fenómenode la
autoinducción,almacenaenergíaenforma
de campo magnético.
b) Resistor:
Se denominaresistorobienresistenciaal
diseñadoparaintroducirunaresistencia
eléctricadeterminadaentre dospuntosde
un circuito.La resistenciaeléctricade un
objetoesunamedidade su oposiciónal
paso de corriente.DescubiertaporGeorg
Ohmen 1827, laresistenciaeléctricatiene
un parecidoconceptual alafricciónenla
física mecánica.La unidadde laresistencia
enel SistemaInternacional de Unidadeses
el ohmio(Ω).
Las relacionesentre flujode corriente i(t) y
la caída de voltaje atravésde estos
elementosenel tiempotson:
La caída de voltaje atravésde la resistencia
esR.i (leyde Ohm) -Lacaída de voltaje a
travésde la inductanciaes
𝐿
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡

28
EJEMPLO: EQUILIBRIO DE ECUACIÓNPARA
UN CIRCUITORL
Consideremosel circuitode lafigura.
Aquí el problemaconsiste endeterminar
la corriente enuncircuitoRL, cuandouna
tensiónfijaEesaplicada
instantáneamente.
Suponiendoque el interruptorpasa1 a 2
enel tiempot de manerainstantánea,la
ecuaciónde equilibrioparael circuito
eléctrico(1) es:
-RL enserie circuitoconuna tensión
aplicadade repente
𝐿
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
+ 𝑅 𝑖 𝑡 > 0
Corriente iniciali0,
𝑖(0) = 𝑖0
Determinarlarespuestai(t) atravesde la
Transformadade Laplace
Primeroaplicamos laTransformadade
Laplace sobre toda laecuacióndiferencial:
ℒ ( 𝐿
ⅆ𝑗
ⅆ𝑡
+ 𝑅 𝑖) = ℒ( 𝐸)
Usando lapropiedadde linealidadnos
queda:
𝐿ℒ(
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
) + 𝑅𝐶(𝑖) = ℒ( 𝐸)
Aplicamoslapropiedadde derivacióny
remplazamosI(s):
ℒ (
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
) = 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝑖(0) = 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝑖0
Luegode aplicar laTransformadade
Laplace despejamosI(s):
𝐿( 𝑠𝐼( 𝑠) − 𝑖0)+ 𝑅𝐼( 𝑠) =
𝐸
𝑆
𝐿𝑠𝐼( 𝑠) − 𝐿𝑖0 + 𝑅𝐼( 𝑠) =
𝐸
𝑠
( 𝑠𝐿 + 𝑅) 𝐼( 𝑠) − 𝐿𝑖0 =
𝐸
𝑠
( 𝑠𝐿 + 𝑅) 𝐼( 𝑠) =
𝐸
𝑠
+ 𝐿𝑖0
( 𝑠𝐿 + 𝑅) 𝐼( 𝑠) =
𝐸 + 𝑠𝐿𝑖0
𝑠
𝐼( 𝑠) =
𝐸 + 𝑠𝐿𝑖0
𝑠( 𝑠𝐿 + 𝑅)
𝐼( 𝑠) =
𝐸
+
𝐸 + 𝐿𝑖0
Utilizandofraccionessimples
desarrollamosde mejormanerala
ecuación:
1
=
𝐴
+
𝐵
1
=
1
𝑠
+
𝐿
=
1
𝑅
(
1
𝑠
−
𝐿
)
=
1
𝑅
(
1
𝑠
−
1
𝑠 +
𝑅
𝐿
)
Luegoreemplazamoslaecuaciónobtenida
enI(s):
𝐼( 𝑠) =
𝐸
𝑠𝑅
−
𝐸
𝑅 (𝑠 +
𝑅
𝐿
)
+
𝑖0
𝑠 +
𝑅
𝐿
AhoraaplicamoslaTransformadainversa
de Laplace para obteneri(t):

29
ℒ−1( 𝐼( 𝑆)) = ℒ−1 (
𝐸
𝑠𝑅
−
𝐸
𝑅 (5 +
𝑅
𝐿
)
+
𝑖0
𝑆 +
𝑅
𝐿
)
ℒ−1( 𝐼( 𝑠)) =
𝐸
𝑅
ℒ−1 (
1
𝑠
) −
𝐸
𝑅
ℒ−1 (
1
𝑠 +
𝑅
𝐿
)
+ 𝑖0ℒ−1 (
1
𝑠 +
𝑅
2
)
𝑖( 𝑡) =
𝐸
𝑅
−
𝐸ⅇ
(
𝑅
𝐿
)𝑡
𝑅
+ ⅇ
−( 𝑅
𝐿
) 𝑡
𝑡 > 0
CONCLUSIÓN Finalmente obtuvimosla
ecuación i(t) que buscábamosutilizando
Transformadade Laplace,enconclusión,el
este métodoes muyeficazysencillode
usar.
CIRCUITOS ELECTRICOS RLC
Un circuitoes una redeléctricaque
contiene al menosunatrayectoriacerrada.
Los circuitoseléctricospasivosRLCson
circuitoslinearesconstruidoscontres
elementosbásicos:resistores(que tiene
resistenciaR,medidaenohmsΩ),
capacitores(que tiene capacitanciaC,
medidaenfaradsF) e inductores(que tiene
inductanciaL,medidaenhenrysH),junto
con lasvariablesasociadascorriente i(t)
(medidaenamperesA) yvoltaje v(t)
(medidoenvoltV),además,el flujode
corriente enel circuitoestárelacionado
con la carga q(t) (medidaencoulombsC)
de la siguiente manera:
𝑖 =
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
Las relacionesentre el flujode corrientei(t)
y la caída de voltaje v(t) atravésde los
elementosenel tiempotson:
Caída de voltaje atravésde
la resistencia= 𝑅 𝑖
Caída de voltaje através
del capacitor=
1
𝐶
∫ 𝑖ⅆ𝑡 =
𝑞
𝐶
El modoenel que interactúanlos
elementosindividualesque formandicho
circuitoestádeterminadoporlas
siguientesleyesde Kirchhoff
Ley1 La sumaalgebraicade todaslas
corrientesque entrara cualquieruniónde
un circuitoescero.
Ley2 La sumaalgebraicade la caída de
voltaje alrededorde cualquiercurva
cerrada enun circuitoescero.
El usode estasleyesnosllevaalas
ecuacionesdel circuito,lascualespueden
seranalizadasmediante lastécnicasde la
transformadade Laplace
Resoluciónde circuito RLC
Ejemplode aplicación.
Utilizandolasegundaleyde Kirchhoff se
obtiene
𝑅𝑖 + 𝐿
ⅆ𝑖
ⅆ𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖ⅆ𝑡 = ⅇ( 𝑡)
Usando laecuación(1) se tiene
𝐿
ⅆ2 𝑞
ⅆ𝑡2 + 𝑅
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
+
1
𝑐
𝑞 = ⅇ( 𝑡)
SustituyendolosvaloresdadosparaL, R,C
y e(t) queda
𝐿
ⅆ2 𝑞
ⅆ𝑡2 + 20
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
+ 200𝑞 = 150

30
Aplicandolatransformadade Laplace en
ambosmiembrosse llegaala ecuación
( 𝑠2 + 20s + 200)Q(s)
=
150
𝑠
+ sq(0) + q (0)
+ 20q(0)
Donde Q(s) esla transformadade Laplace
de q(t) y 𝑞(0), 𝑞 0 son lascondiciones
inicialeslascualesse suponenigual acero,
con loque la ecuaciónse reduce a
(𝑠2 + 20𝑠 + 200)Q(s) =
150
𝑠
Despejandoobtenemos
Q(s) =
150
𝑠(𝑠2 + 20𝑠 + 200)
Luego,desarrollandoenfracciones
parcialesse obtiene
=
3
4
𝑠
−
3
4
𝑠
(𝑠2 + 20𝑠 + 200)
=
3
4
[
1
𝑠
−
( 𝑠 + 10) + 10
( 𝑠 + 10)2 + 102
]
=
3
4
[
1
𝑠
− [
𝑠 + 10
𝑠2 + 102
]
𝑠→𝑠+10
]
Aplicandolatransformadainversay
haciendousodel teorema1de traslación
queda
q(t) =
3
4
(1 − ⅇ−10𝑡 cos(10𝑡)
− 10ⅇ−10𝑡 sin(10𝑡))
Luegoutilizandolaecuación(1) se obtiene
𝑖( 𝑡) =
ⅆ𝑞
ⅆ𝑡
=
3
4
(110
− ⅇ−10𝑡 cos(10𝑡)
− 90ⅇ−10𝑡 sin(10𝑡))
Obteniendoasí,lassolucionesdel
problemaenel dominiodel tiempo.
Teoremasutilizados.
Teorema1 Si f(t) esuna funciónque tiene
una transformadade Laplace F(s),con
Re(s)>σ, entonceslafunción ⅇ 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)
tambiéntiene unatrasformadade Laplace
dada por
𝐿(ⅇ 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)) = 𝐹( 𝑠 − 𝑎), Rⅇ( 𝑠)
> 𝜎𝑐 + Rⅇ( 𝑎)
Prueba.Una pruebade este teoremase
sigue directamentede ladefiniciónde
transformadade Laplace,ya que
𝐿{ⅇ 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)} = ∫ ⅇ 𝑎𝑡 𝑓( 𝑡)ⅇ−𝑠𝑡 ⅆ𝑡
∞
0
=∫ 𝑓( 𝑡)ⅇ−( 𝑠+𝑎) 𝑡 ⅆ𝑡
∞
0
Entonces,como
𝐿{ 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑆)
= ∫ 𝑓( 𝑡)ⅇ−𝑠𝑡 ⅆ𝑡
∞
0
, Rⅇ( 𝑠) > 𝜎𝑐
Se puede observarque laintegral de arriba
estáestructuradaexactamente comola
transformadade Laplace de f(t) excepto
que 𝑠 − 𝑎 toma el lugarde s,por lo tanto
𝐿{ⅇ 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠 − 𝑎),
Rⅇ( 𝑠) > 𝜎𝑐 + Rⅇ( 𝑎)
CIRCUITO RC
Un circuitoRC es un circuitoeléctrico
compuestode resistencias y
condensadores.Laformamássimple de
circuitoRC esel circuitoRC de primer
orden,compuestoporunaresistenciayun
condensador.LoscircuitosRCpueden
usarse para filtraruna señal alterna,al
bloquearciertasfrecuenciasydejarpasar
otras. Los filtrosRCmáscomunessonel
filtropasoalto, filtropasobajo,filtropaso
banda,y el filtrode rechazode banda.

31
Entre lascaracterísticas de loscircuitosRC
estála de ser sistemaslinealese
invariantesenel tiempo.
El circuitoRC de la figurase encuentra
alimentadoporunatensiónde entradaUe.
Está enconfiguraciónde filtropasobajo,
dado que latensiónde salidadel circuito
Ua se obtiene enbornesdel condensador.
Si la tensiónde salidafuese lade la
resistencia,nosencontraríamosante una
configuraciónde filtropasoalto.
Analizar un circuito de primer ordenRC
usando métodosLaPlace
El usode latransformadade Laplace como
parte de suanálisisde circuitosle
proporcionaunapredicciónde respuesta
del circuito.Analizarlospolosde la
transformadade Laplace para obteneruna
ideageneral del comportamientode salida.
Polosreales,porejemplo,indicanel
comportamientode salidaexponencial.Siga
estospasosbásicospara analizarun
circuitoutilizandotécnicasde Laplace
1. Desarrollarlaecuacióndiferencial
enel dominiodel tiempousando
lasleyesde Kirchhoff ylas
ecuacionesde loselementos.
2. Aplicarlatransformaciónde
Laplace de la ecuacióndiferencial
para ponerla ecuaciónenlas-
dominio.
3. Algebraicamente resolverparala
solución,olarespuesta
transformar.
4. Aplicarlatransformacióninversa
de Laplace para producirla
soluciónde laecuacióndiferencial
original descritoenel dominiodel
tiempo.
Para sentirse cómodoconeste proceso,
sólohay que practicar suaplicacióna
diferentestiposde circuitostalescomoun
RC (resistencia-condensador) de circuito,
un RL (resistor-inductor)del circuito,yun
(resistor-inductor-condensador)circuito
RLC . Considere el primerordende circuito
serie RCsimple que se muestraaquí.Para
configurarlaecuacióndiferencialparaeste
circuitoenserie,puede utilizarlaleyde
voltaje de Kirchhoff (LTK),que dice que la
suma de lassubidasde tensiónycae
alrededorde unbucle escero.Este circuito
tiene lasiguienteecuaciónKVLalrededor
del bucle:
−𝑣𝑠( 𝑡) + 𝑣𝑟( 𝑡) + 𝑣𝑐( 𝑡) = 0
A continuación,laformulaciónde la
ecuaciónelemento(oi-vcaracterística)
para cada dispositivo.Laecuación
elementoparalafuente es
𝑣𝑠( 𝑡) = 𝑉𝐿𝐴𝑢( 𝑡)
Utilice laleyde Ohmpara describirla
tensiónenlaresistencia
𝑣𝑅( 𝑡) = 𝑖( 𝑡) 𝑅
Elementode laecuaciónde El condensador
se da como
𝑖( 𝑡) = 𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
Sustituyendoestaexpresiónparaello)
dentrovR(t) le da lasiguiente expresión:

32
𝑣 𝑅( 𝑇) = 𝑖( 𝑡) 𝑅 = 𝑅𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
SustituyendovR(televisiónC(t),yvS(t) enla
ecuaciónconduce a KVL
−𝑣𝑠( 𝑡) + 𝑣 𝑅( 𝑡) + 𝑣𝑐( 𝑡) = 0
−𝑉𝐴 𝑢( 𝑡) + 𝑅𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
+ 𝑟𝐶( 𝑡) = 0
Ahorareorganizarla ecuaciónparaobtener
la ecuacióndiferencial de primerorden
deseado:
𝑅𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
+ 𝑟 𝐶( 𝑡) = 𝑉𝐴 𝑢( 𝑡)
Ahoraestá listoparaaplicarla
transformaciónde Laplace de laecuación
diferencialenel s-dominio.El resultadoes
ℒ [ 𝑅𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
+ 𝑣 𝐶( 𝑡)] = ℒ[ 𝑣 𝐴 𝑢( 𝑡)]
ℒ [ 𝑅𝐶
ⅆ𝑣 𝐶( 𝑡)
ⅆ𝑡
] + ℒ[ 𝑣 𝐶( 𝑡)] = ℒ[ 𝑣 𝐴 𝑢( 𝑡)]
A la izquierda,lapropiedadde linealidadse
usó para tomar latransformadade Laplace
de cada término.Parael primertérminoen
el ladoizquierdode laecuación,se utiliza
la propiedadde diferenciación,que le da
ℒ [ 𝑅𝐶
ⅆ𝑣𝑐( 𝑡)
ⅆ𝑡
] = 𝑅𝐶[ 𝑠𝑉𝑐( 𝑠)− 𝑉0]
UtilizaestaecuaciónVC(s) =# 8466- [vC(t)],
y V0 esla tensióninicial atravésdel
condensadorUtilizandolatablasiguiente,
la transformadade Laplace de una función
de paso le proporcionalosiguiente:
ℒ[ 𝑣 𝐴 𝜈( 𝑡)] =
𝑣 𝐴
𝑠
Sobre la base de las expresionesanteriores
para las transformadasde Laplace,la
ecuacióndiferencial se convierte enla
siguiente:
𝑅𝐶[ 𝑠𝑉𝑐( 𝑠) − 𝑉0] + 𝑣 𝑐( 𝑠) =
𝑉𝐴
𝑠
A continuación,reorganizarlaecuación
[ 𝑆 +
1
𝑅𝐶
] 𝑉𝐶( 𝑠) =
𝑉𝐴
𝑅𝐶
(
1
𝑠
) + 𝑉0
ResuelvaparalasalidaVc(s) obtenerla
siguiente transformarsolución:
𝑣 𝑐( 𝑠) =
𝑣 𝐴
𝑅𝐶
[
1
𝑠 (𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
] +
𝑣0
𝑠 +
1
𝑅𝐶
Mediante larealizaciónde una
transformadainversade Laplace de VC(s)
para una condicióninicial dada,esta
ecuaciónconduce a la soluciónvC(t) de la
ecuaciónoriginal diferencial de primer
orden.En el paso3 del proceso.Para
obtenerlasolucióndominiodel tiempo

33
vC(t),que tiene que hacerunaexpansión
enfraccionesparcialesparael primer
términodel ladoderechode laecuación
anterior:
𝑉𝐴
𝑅𝐶
[
1
𝑠 (𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
] =
𝐴
𝑆
(
𝐵
(𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
)
Es necesariodeterminarlasconstantesLA
y B. Para simplificarlaecuaciónanterior,se
multiplicanambosladospors(s+ 1 / RC)
para deshacerse de losdenominadores:
𝑉𝐴
𝑅𝐶
= 𝐴 ( 𝑠 +
1
𝑅𝐶
) + 𝐵𝑠
Algebraicamente reorganizarlaecuación
mediante larecopilaciónde términos
semejantes:
( 𝐴 + 𝐵) 𝑠 +
1
𝑅𝐶
( 𝐴 − 𝑉𝐴) = 0
Para que el ladoizquierdode laecuación
anteriorescero,loscoeficientesdebenser
cero (A + B = 0 y A - VLA = 0). Para
constantesLA y B, terminasconA = VLA y B
= -VLA.Sustituirestosvaloresenla
ecuaciónsiguiente:
𝑉𝐴
𝑅𝐶
[
1
𝑠 (𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
] =
𝐴
𝑆
(
𝐵
(𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
)
La sustituciónque llevaa:
𝑉𝐴
𝑅𝐶
[
1
𝑠 (𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
] =
𝑉𝐴
𝑠
+
−𝑉𝑠
𝑠 +
1
𝑅𝐶
Ahorasustituirlaexpresiónanterioren el
VC(s) ecuaciónparaobtenerlasoluciónde
transformar:
𝑣 𝑐( 𝑠) =
𝑣 𝐴
𝑅𝐶
[
1
𝑠(𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
]+
𝑣0
𝑠 +
1
𝑅𝐶
=
𝑉𝐴
𝑠
+
−𝑉𝐴
𝑠 +
1
𝑅𝐶
+
𝑉0
𝑠 +
1
𝑅𝐶
Esto completalaexpansiónenfracciones
parciales.A continuación,puedeutilizarla
tabladada anteriormente paraencontrarla
transformadainversade Laplace para cada
términodel ladoderechode laecuación
anterior.
El primertérminotiene laformade una
funciónescalonada,ylosdosúltimos
términostienenlaformade una
exponencial,porloque latransformada
inversade Laplace de la ecuaciónanterior
que llevaala siguiente soluciónvC(t) enel
dominiodel tiempo:
𝑉𝐶( 𝑡) = 𝑉𝐴 𝑢( 𝑡) − 𝑉𝐴ⅇ
−( 1
𝑅𝐶
)
𝑢( 𝑡)
+ 𝑉0ⅇ
−( 1
𝑅𝐶
)
𝑢( 𝑡)
𝑉𝐶( 𝑡) = 𝑉𝐴(1 − ⅇ
−( 1
𝑅𝐶
)
)𝑢( 𝑡)
+ 𝑉0ⅇ
−( 1
𝑅𝐶
)
𝑢( 𝑡)
El resultadomuestrael pasodel tiempot
tiende ainfinito,el condensadorse carga
con el valorde la entradaVLA.Además,el
voltaje inicial delcondensadorfinalmente
muere a cabo a cero despuésde unlargo
períodode tiempo(aproximadamente 5
constantesde tiempo,RC)
Transformada Z
La funciónH(z) se conoce comola
transformadaZ de h[n].Para unaseñal en
tiempodiscretogeneral x[n],la
transformadaZ,X[z],se define como:
La variable zesgeneralmentecomplejayen
forma polar se expresa como:

34
Donde r es lamagnitudde z y Ω es el
ángulode z. La transformadaZ definidacon
frecuenciase denominalatransformadaZ
bilateral paradistinguirlade la
transformadaZ unilateral,estudiadamás
adelante,ylacual se define como
Claramente,ambastransformadasson
equivalentessólosi x[n] =0 para t < 0
(causal). Enlo que sigue,omitiremosla
palabra“bilateral”exceptocuandosea
necesarioparaevitarambigüedades.Igual
que enel caso de latransformadade
Laplace,algunasvecesse consideracomo
un operadorque transformaunasecuencia
x[n] enunafunciónX(z),simbólicamente
representadapor
Las funciones x[n] y X(z) forman un par de
transformadas Z; esto se denotará por
que significa que las funciones x[n] y X(z)
formanun par de transformadasZ, esdecir
F(z) es la transformada Z de x[n]. Existen
varias relaciones importantes entra la
transformada Z y la transformada de
Fourier. Para estudiar estas relaciones,
consideremos la expresión dada con la
variable z en forma polar. En términos de r
y Ω, se convierte en:
o, en forma equivalente,
A partir de esta últimaecuaciónvemosque
( ) j X re Ω es la transformadade Fourierde
la secuencia x[n] multiplicada por una
exponencial real r –n , es decir,
La funciónde ponderaciónexponencial r –n
puede estardecreciendoocreciendocon n
creciente, dependiendo de si r es mayor o
menor que la unidad. En particular, se
observaque parar = 1, la transformadaZse
reduce a la transformada de Fourier, vale
decir,
La transformada Fourier
La transformadaFourierde unaseñal
unidimensional ofuncióncontinua 𝑓( 𝑥) es
una transformaciónde dichaseñal que nos
permite calcularlacontribuciónde cada
valorde frecuenciaalaformaciónde la
señal.La expresiónmatemáticade dicho
cálculoes:
𝐹( 𝑢) = ∫ 𝑓( 𝑥)ⅇxp[−𝑖2𝜋𝑢𝑥]ⅆ𝑥
∞
−∞
Donde: 𝑖 = √−1
ⅇxp[−𝑖2𝜋𝑢𝑥] = cos(2𝜋𝑢𝑥) − 𝑖 ⋅ 𝑠ⅇ𝑛(2𝜋𝑢𝑥)
y la variable uque aparece enla función
𝑓( 𝑥)representaalasfrecuencias.Puede
demostrarse ademásque esta
transformacióntiene inversa,esdecirque
dada la función 𝑓( 𝑥)podemosapartirde
ellacalcularlafunción 𝑓( 𝑥). La expresión
matemáticade dichatransformadainversa
es
𝐹( 𝑢) = ∫ 𝑓( 𝑥)ⅇxp[−𝑖2𝜋𝑢𝑥]ⅆ𝑥
∞
−∞
Estas dos funciones 𝑓( 𝑥) y 𝐹( 𝑢) se
denominan un par de transformadas
Fourier.Engeneral lasfuncionesconlasque
trataremos en problemas reales verificarán

35
las condiciones que es necesario imponer
para que las expresiones anteriorespuedan
calcularse.
Es importante señalar que, aunque las
funciones que definen a las imágenes son
funciones reales sus transformadas Fourier
son funciones complejas con parte real y
parte imaginaria. Así pues 𝐹( 𝑢) se
expresará de forma general como
𝐹( 𝑢) = 𝑅( 𝑢) + 𝑖𝐼( 𝑢)
donde 𝑅( 𝑢)denotalaparte real y 𝐼( 𝑢) la
parte imaginaria.Comotodonúmero
complejoparacada valorde u, 𝐹( 𝑢)puede
expresarse entérminosde sumóduloyde
su angulode fase.Es decir, 𝐹( 𝑢) también
puede expresarse como
𝐹( 𝑢) = | 𝐹( 𝑢)|ⅇxp[ 𝑖𝜙( 𝑎)]
| 𝐹( 𝑢)| = √ 𝑅( 𝑢)
2
+ 𝐼( 𝑢)
2
donde : 𝜙( 𝑢) = arctg(
𝐼( 𝑢)
𝑅( 𝑢)
)
A la función| 𝐹( 𝑢)|se le denomina
espectrode Fourierde laseñal 𝑓( 𝑥), y al
cuadrado de dichafunción. | 𝐹( 𝑢)| 2se le
denominaespectrode potenciasde 𝑓( 𝑥).
La siguientefiguramuestramuestrauna
señal simple ysuTF
CONVOLUCION
Su aplicaciónproviene del hechode poder
evaluarlarespuestade unared a una entrada
arbitraria,conociendolarespuestaaun
impulsod(t) de lared.
Sean𝑓1( 𝑡)y 𝑓2( 𝑡)dos funcionesque se pueden
transformarpor el métodode Laplace y que
tienentransformadas 𝐹1( 𝑠) y 𝐹2( 𝑠).
El productode𝐹1( 𝑠) y 𝐹2( 𝑠) esla transformada
de Laplace de f(t) que se obtiene de la
convoluciónde 𝑓1( 𝑡) y 𝑓2( 𝑡) comolo establece
la ecuación
𝑓( 𝑡) = ℒ−1[ 𝐹1
( 𝑠) ⋅ 𝐹2
( 𝑠)] = ∫ 𝑓1
( 𝜏) 𝑓2
( 𝑡 − 𝜏) ⅆ𝜏
𝑡
0
= ∫ 𝑓2
( 𝜏) 𝑓1
( 𝑡 − 𝜏) ⅆ𝜏
𝜏
0
Una interpretacióninteresante de laintegral
de convoluciónse tiene enlaIngenieríade
Control.

36
el teoremade convolución indicaque si se
conoce f2(t),que esla respuestade lareda
una entradaenimpulsode Diracd(t),se
puede calcularentonceslarespuestadel
sistemaacualquierseñal de entradaf1(t),
con tal de convolucionaresaentradaf1(t)
con d(t) de acuerdocon la expresión:
𝑓( 𝑡) = 𝑓1
( 𝑓) ∗ 𝑓2
( 𝑡) = 𝑓1
( 𝑡) ∗ 𝛿( 𝑡)
= ∫ 𝑓1
( 𝜏) 𝛿( 𝑡 − 𝜏) ⅆ𝜏
𝑡
0
que corresponde en el plano de Laplace a:
𝐹(𝑠) = 𝐹1( 𝑠) ⋅ 𝐹2( 𝑠)
o la respuesta de sistema f(t) a una excitación
de entrada genérica f1(t), se obtiene de la
convolución de la función de excitación f1(t)
con la respuesta del sistema (o red) a un
impulso de Dirac ddd(t).
INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA
CONVOLUCIÓN
La integral de convoluciónpuedecalcularse
analíticamente porunprocedimientográfico,
Comportamiento de inductancia y
capacitancia
INDUCTANCIA
Es la propiedadde uncircuitoo elemento
de un circuitopara retardar el cambioenla
corriente que pasapor él.El retardo está
acompañadopor absorcióno liberaciónde
energíay se asocia con el cambioenla
magnituddel campomagnéticoque rodea
losconductores.
CAPACITANCIA
Es la característica primordial de los
elementosde circuitoque estárelacionada
con la capacidadde almacenarenergía:los
capacitores.
Capacitor
Es un dispositivoformadopordosplacas
conductorasseparadaspor unmaterial
aislante (dieléctrico).Uncapacitores un
elementocapazde almacenarenergíaen
formade carga eléctricaentre susbornes.
inductor
son creadosa partir de la asociaciónde
espiras, paralas cualesse aplicalaLey de
Faraday para una espiraporla que circula
un flujomagnético

37
PUENTE DE KELVIN O
THOMPSON
Una modificación del puente de wheatstone
que utiliza como elementos de
comparaciónresistenciasmuy.
Este puente presentaunparadicional,
𝑹 𝟑 𝑹 𝟒que guarda la mismarelaciónque 𝑹 𝟏
y 𝑹 𝟐.Donde 𝑹 𝟓 y 𝑹 𝟔, sonlas resistenciasde
pequeñovalorque se utilizancomo
elementosde comparacióny 𝑹 𝟕, esla
resistenciadesconocida.
En la condiciónde equilibriose cumple la
siguiente condición:
𝑅5 = 𝑅6
𝑅1
𝑅2
ACOPLAMIENTO MAGNÉTICO
fenómenofísicoporel cual el pasode
una corriente eléctrica variable enel
tiempoporuna bobinaproduce
una diferencia de potencial entre los
extremosde lasdemásbobinasdel
circuito.Denominadiafonía.
Coeficiente de inductancia mutua
El valorde la tensióninducidaenunabobina
esproporcional a lacorriente de labobina
que la induce yal denominadocoeficiente de
inducciónmutua,representadoconlaletra
M, que viene dadoporlaexpresión:
𝑀 = 𝐾 ⋅ √𝐿1 ⋅ 𝐿2
Donde K esel coeficientede acoplamiento
que varía entre 0 (noexiste acoplamiento)
y 1 (acoplamientoperfecto) yL1 y
L2 lasinductancias de lasdos bobinas.
Por lotanto,la tensióntotal enunabobina
L1 por la que pasauna corriente
I1 acoplada magnéticamente conotra
bobinaL2 porla que pasa una corriente
I2 vendría dadapor la expresión:
𝑽 𝟏 = 𝑽 𝑳𝟏 ± 𝑽 𝑴 = 𝑰 𝟏 ⋅ 𝒋𝝎𝑳 𝟏 ± 𝑰 𝟐 ⋅ 𝒋𝝎𝑴
Dependiendoel signode laposicióndel
terminal de referenciade cadabobinacon
respectoa lascorrientesque las
atraviesan.

38
Ejercicio 1:
Calcularel circuitoequivalente de Norton
vistodesde losterminalesA yB del circuito
de la figura.¿Cuál esla máximapotencia
transferibleala resistenciade carga
variable 𝑅 𝐿?
Solución:
Segúnel teoremade Nortonuncircuito
lineal de dosterminalespuedesustituirse
por un circuitoequivalenteformadopor
una fuente de corriente 𝐼 𝑁 enparalelocon
una resistencia 𝑅 𝑁tal comose nuestrala
figura.
En este problemanospidencalcularel
equivalente de Nortonvistodesde los
terminalesA-Bdel circuitomostradoenel
enunciado.Paraobtener 𝐼 𝑁 bastacon
determinarlacorriente de cortocircuito 𝐼𝑠𝑐
mostradaen lafigura.Se observaque por
la resistenciade 3ꭥ no pasa corriente (esta
cortocircuitada),porloque 𝐼𝑠𝑐 =10 𝐼 𝑥 ,en
consecuencia,bastaconcalcular 𝐼 𝑥
AplicarlaKCL al nudoC, resulta
𝐼 𝑥 + 0.9 = 10𝐼 𝑥 → 𝐼 𝑥 = 0.1 𝐴
Y, por lotanto
𝐼 𝑁 = 𝐼𝑠𝑐 = 10𝐼 𝑥 = 1𝐴
La resistenciaequivalentede Nortonpuede
expresarse como
𝑅 𝑁 =
𝑉𝑜𝑐
𝐼𝑠𝑐
Donde 𝑉𝑜𝑐 esla tensiónde circuitoabierto
mostradoenla figura
Aplicandolaleyde Ohmenla resistencia
de 3ꭥ tenemos 𝑉𝑂𝐶 = 3 × 10𝐼𝑥conservael
mismovalorobtenidoanteriormente.Por
tanto
𝑅 𝑁 =
𝑉𝑜𝑐
𝐼𝑠𝑐
=
3
1
= 3ꭥ
La máximatransferible alaresistenciade
carga es
𝑃𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑜𝑐
2
4𝑅 𝑁
=
32
4×3
= 0.75 𝑊
Para que la potenciadisipadaenla
resistenciade cargaseamáxima,debemos
hacer 𝑅 𝐿 = 𝑅 𝑁 = 3𝛺

39
EJERCICIO 2: Sobre el circuitode la figura:
Se pide:
Obtenerel equivalente thevenin
del circuitoentre losterminalesA y
B
Sobre el circuitoanteriorse añade
una resistenciaentre los
terminalesA yB ¿Qué valordebe
teneresaresistenciasi queremos
que consumala máximapotencia
posible?
Solución:

40
EJERCICIO 3:
Calcularel equivalente Thevenindel
circuitode la figuraentre los
terminalesA yB
Para la obtencióndel equivalente
Thevenin se calculalatensiónde
circuitoabiertoyla intensidadde
cortocircuito:

41
Ejercicio 4:
Calcularel equivalente de Thévenindel
siguiente circuito:
1.
2.
𝑉𝐴 = 𝐼𝐴 𝑅 → 𝑉𝐴 =
12
5+5
⋅ 5 = 6𝑉
𝑉𝐵 = 𝐼 𝐵 𝑅 → 𝑉𝐵 =
12
6+3
⋅ 5 = 4𝑉
𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 6 + 4 = 2𝑉
3.
4.
𝑅 𝑇ℎ = (
5.5
5 + 5
) + (
6.3
6 + 3
) = 4.5𝑘𝛺
5.

42
Ejercicio 5:
calcularla d.d.p.entre losnudosA y B,
aplicandoel teoremade Millman.
Para aplicarel teoremade Millmanal
circuitoanterior,se debe observarque las
dos ramasde laderechano tienen
generadorenserie,loque significaque la
tensiónde losmismosescero,de este
modoal aplicaral circuitoanteriorla
expresiónse obtiene
Ejercicio 6:
Hallar 𝐼𝑥
𝐼𝑥(𝐼𝑠 = 0) =
3
6 + 9
=
3
15
𝐼𝑥(𝐼𝑠 = 0) =
1
5
= 0.2𝐴
𝐼𝑥(𝑉𝑠 = 0) = (
6
6 + 9
) 𝑋2 =
12
15
𝐼𝑥( 𝑉𝑠 = 0) =
4
5
= 0.8𝐴
𝐼𝑥 = 0.2 + 0.8
𝐼𝑥 = 1𝐴
Ejercicio 6:
Encontrar la corriente que circulaporel
circuitomostradosuponiendoque se tiene
una fuente de 12v
Para encontrarla corriente total debemos
hallarla corriente encadamallay también
debemossaberque el voltaje el cadamalla
esel mismopor loque las resistenciasse
encuentranenparalelo:
𝐼1 =
𝑉
𝑅1
=
12𝑉
1.5𝑘Ω
= 8𝑚𝐴
𝐼2 =
𝑉
𝑅2
=
12𝑉
10𝑘Ω
= 1.2𝑚𝐴
𝐼3 =
𝑉
𝑅3
=
12𝑉
4.7𝑘Ω
= 2.55𝑚𝐴

43
𝐼4 =
𝑉
𝑅4
=
12𝑉
100𝑘Ω
= 0.12𝑚𝐴
La corriente total es:
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4
𝐼 = 8𝑚𝐴 + 1.2𝑚𝐴 + 2.55𝑚𝐴 + 0.12𝑚𝐴
𝐼 = 11.87𝑚𝐴
Ejercicio 7:
Determine el equivalente théveninvisto
desde losterminalesayb
Solución:
Ejercicio 8:
Calcularel voltaje que proporcionala
fuente paraque existaunacorriente de 6
amperesque fluye portodoel circuito de
acuerdoal diagrama.
Solución:
Paso1: Calcularla resistencia equivalente.
Observamosque cadapar de resistencias
tiene unmismovalor.Porlotanto,
podemosaplicarlafórmulade
producto/sumaparacalcular laresistencia
equivalente de cadaparo lafórmulapara
resistenciasdel mismovalor.
Paso 2: Calcularel par del ladoderechode
la fuente:
Paso3: Calcularel par del ladoizquierdode
la fuente:
Paso4: Una vezque tenemosel circuito
reducidoa dosresistenciascomose
observaenel diagrama,calculamosla
resistenciaequivalente:

44
Paso5: Una vezcalculadalaresistencia
total,procedemosaobtenerel voltaje de
la fuente mediante laleyde Oh
Ejercicio 9:
Halle el valorde 𝑅 𝐿 para la transferenciade
máximapotenciaenel circuitode siguiente
figura.Halle lamáximapotencia.
Solución.-
Se necesitahallarlaresistenciade
Thevenin 𝑅 𝑇ℎ y la tensiónde Thevenin
entre lasterminalesa-b.Paraobtener 𝑅 𝑇ℎ
se empleael circuitode lafigura
y se obtiene
𝑅 𝑇ℎ =
6 × 12
18
+ 5 = 9𝛺
Para obtener 𝑉𝑇ℎ se considera el circuito de
la siguiente figura:
La aplicación del análisis de malla da como
resultado
−12 + 18𝑖1 − 12𝑖2 = 0 , 𝑖2 = −2𝐴
Al despejar 𝑖1 se obtiene 𝑖1 = −2/3 .La
aplicación de la LTK a lo largo del lazo
exterior para obtener 𝑉𝑇ℎ entre las
terminales a-b produce
−12 + 6𝑖1 + 3𝑖2 + 2(0) + 𝑉𝑇ℎ = 0
⇒ 𝑉𝑇ℎ = 22𝑉
Para la transferencia de máxima potencia,
𝑅 𝐿 = 𝑅 𝑇ℎ=9Ω
y la máxima potencia es
𝑝 𝑚á𝑥 =
𝑉𝑇𝐻
2
4𝑅 𝑇𝐻
=
222
4×9
= 13.44𝑊
Ejercicio 10:
De acuerdoal circuito,¿cuántacorriente
produciríaun voltaje aplicadode 10 voltsa
travésde una resistenciade 5ohms?
Solución:
Paso 1: Como laincógnitaesla corriente,
despejamosI
Paso2: Sustituimoslosvaloresconocidos
enla ecuacióny obtenemosI.

45
Ejercicio 11:
De acuerdoal diagrama,¿cuál esla
resistenciaque,si se le aplicaunvoltaje de
60 volts,produciríauna corriente de 3
amperes?
SoluciónPaso
1: Comola incógnitaeslaresistencia,
despejamosR
enla ecuacióny obtenemosR.
Ejercicio 11:
Si el foco del circuitodel diagramatiene
una resistenciade 100 ohmy una corriente
de 1 ampere,¿cuál seráel voltaje
producidoporla fuente?
Solución:
Paso1: Comola incógnitaeneste casoes
el voltaje,despejamos V
V = RI
enla ecuacióny obtenemosI.
Ejercicio 12:
Calcularla corriente total que circulaenel
siguiente circuitoconcargasenserie,
considerandoque lafuente esde 90 volts.
Solución:
Paso1: primerosumamostodaslas
resistenciasparaobtenerlaequivalente
Paso2: ahora como laincógnitaesla
corriente, despejamosIde laecuaciónde
la leyde Ohmy sustituimos.

46
Ejercicio 13:
Para el siguiente circuito,calcularla
corriente aportadapor lasdos fuentesen
serie.
Solución:
Paso1: Primerodebemosobtenerel
voltaje total del circuito,por locual
debemossumarorestar lasfuentesde
voltajes.Porladisposiciónde lasfuentes
de dc podemosdeducirque se están
sumandoya que suspolaridadesapuntan
hacia lamismadirección(laparte positiva
apuntahacia arriba,y la negativahacia
abajo). Otra formade saberloes
observandolaparte donde se unenlasdos
fuentes,si tienenpolaridadesdistintasen
la unión,se suman,si sonpolaridades
iguales,se restan.
Por lotanto, se suman:
Paso2: Una vezobtenidoel voltaje total,
podemos despejarIde la ecuaciónde laley
de Ohm y obtenerlacorriente total
aportada porlas dosfuentes.
Ejercicio 14:
Obtenerel valorde laresistenciadel
circuitopara que circule una corriente de
2.5A si se tienendosfuentesenseriecon
su valorrespectivo,comose muestraenel
diagrama:
Solución:
Paso1:
Obtenerel voltaje total.Podemosobservar
que enel puntodonde se unenlasdos
fuentestienenlamismapolaridad,es
decir,el negativode lafuente unoesta
unidocon el negativode lafuente dos.Por
lotanto se restan.Lo más convenientees
siempre restarle alafuente de mayor
voltaje lade menorvoltaje.
De estaformael voltaje total quedade la
siguiente forma:

47
Paso2: Calcularla resistenciaapartirde la
ley de Ohmcon los datosconocidos.
Ejercicio 15:
Calcularla corriente que circulaporun
circuitoserie que tiene unaresistenciade
carga de 1 omhy dos fuentesde voltaje
directodispuestascomose observaenel
circuitomostrado:
Paso1:
Primerocalcularel voltaje total del
circuito.Para elloobservamosla
disposiciónde lasfuentes,se puede ver
que lasdos sondel mismovalor,sin
embargolospuntosendonde se unenson
del mismopolo,porlotanto se están
restando.Enconsecuenciaal restarlas
tendremos0V y porlo tanto nohabrá
circulaciónde corriente.
Ejercicio 16:
Determinarel voltaje que provee lafuente
enel siguiente circuito,si existeuna
corriente circulandode 60mA:
Solución:
Paso 1: empezamosporreducirdesde la
parte más alejadade la fuente,
primeramente porlosparalelos,eneste
caso empezamosporR6 y R7
Paso2: ahora que ha quedadoenserie la
resistenciaequivalente de R6y R7 se suma
con lasresistenciasenserie R4yR5.
Paso3: enseguidasumamoslasresistencias
enserie R3 y R8 para posteriormente
sumarlasenparaleloconRA.

48
Paso4: Ahorahacemosel paraleloentre
lasresistenciasRA yRB:
Paso5: Realizamosel paralelode R9y R10:
Paso6: Ahoraque todaslasresistencias
estánenserie,nosdisponemosasumarlas
para obtenerlaresistenciatotal
equivalente:
Paso7: Por últimocalculamosel voltajede
la fuente mediante laleyde Ohm.
Ejercicio 17:
Encontrar la corriente suministradaporla
fuente de 45V enel circuitomostrado:
Solución:
Paso1: Resolvemosel paralelode R6y R3
Paso2: Sumamosel paraleloanterioren
serie conR2
Paso3:
Resolvemosel paralelode R9 y R10
Paso4: Ahoravemosque RA y RB estánen
paraleloporloque las sumamosde esa
forma.

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