FORMULAS DE SISMOLOGIA

1. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
1
FÓRMULAS DE SISMOLOGÍA
5º Curso de Ingeniero Geólogo, Universidad de Salamanca
Las siguientes fórmulas y ecuaciones corresponden a la primera parte de la asignatura
Sismología e Ingeniería Sísmica, y sirven para resolver los problemas. El significado de los
diferentes parámetros no se da para todas las fórmulas, sino sólo la primera vez que aparecen.
Módulos, coeficientes y constantes del comportamiento elástico
Módulo de elasticidad (o de Young, E): εσ ⋅= E , donde σ es el esfuerzo normal
aplicado en una dirección, y ε es la elongación en esa misma dirección ( 00 )( lll f −=ε ).
Módulo de rigidez (o de cizalla, μ): γμτ ⋅= , donde τ es el esfuerzo de cizalla
aplicado en una dirección, y γ es el valor de la cizalla (la tangente del ángulo que se ha
cizallado una perpendicular a esa dirección).
Módulo de volumen (o incompresibilidad, k): Δ⋅−= kp , donde p es la presión hidrostática, y
Δ es la dilatación ( 00 )( VVVf −=Δ , donde V0 es el volumen inicial y Vf el final).
Coeficiente de Poisson (υ):
allongitudin
ltransversa
ε
ε
υ = . Su valor en las rocas oscila
alrededor de 25,0=υ .
Constantes de Lamé (λ y μ): μ es el módulo de rigidez y
)21(
2
)21()1( υ
υμ
υυ
υ
λ
⋅−
⋅⋅
=
⋅−⋅+
⋅
=
E
Relaciones entre módulos, coeficientes y constantes:
)21(3 υ⋅−⋅
=
E
k ,
)1(2 υ
μ
+⋅
=
E
,
)(
)23(
υλ
μλμ
+
⋅+⋅⋅
=E ,
)(2 μλ
λ
υ
+⋅
=
Parámetros que caracterizan las ondas
Desplazamiento armónico
(u): desplazamiento de
una partícula en un
instante dado. En
ordenadas se puede
representar también la
velocidad de desplaza-
miento armónico o su
aceleración
Amplitud (A): desplaza-
miento máximo de una
partícula afectada por
una onda.
Frecuencia (f): número de
ondas que pasa por un
punto en un segundo.
Periodo (T): Tiempo que
tarda una onda en
pasar por un punto, en
segundos: fT /1=

2. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
2
Frecuencia angular (ω):
T
f
π
πϖ ⋅=⋅⋅= 22
Longitud de onda (λ): distancia entre los dos puntos equivalentes más próximos.
Número de onda (k): número de ondas que están atravesando una unidad de longitud en un
instante dado: λ/1=k
Velocidad de propagación (V): TfV /λλ =⋅=
Fase (φ): tiempo que debe retrasarse una onda sinusoidal para que 0=u cuando 0=t .
En la onda de la figura, 4,0=λ km, 08,0=T s, 5,12=f s-1
, 54,78=ω rad s-1
. Para la onda
inferior, 0133,0
6
== Tφ s .
Ecuación de una onda sinusoidal
Onda en fase: tAtfA
T
t
Au ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ϖππ sen2sen2sen
Onda desfasada: )(sen)(2sen φϖφπ −⋅⋅=−⋅⋅⋅⋅⋅= tAtfAu
Velocidad de las ondas sísmicas
Ondas P:
)1()21(
)1()34()2(
υυ
υ
ρρ
μ
ρ
μλ
α
+⋅⋅−
−
⋅=
⋅+
=
⋅+
==
Ek
VP , donde ρ es la densidad.
Relación empírica entre Vp y ρ:
25,0
54,309 PV⋅=ρ , donde VP está en m s-1
y ρ en Kg m-3
.
Ondas S:
)1(2
1
υρρ
μ
β
+⋅
⋅===
E
VS
Relación entre α y β:
)2/1(
)1(
υ
υ
β
α
−
−
= , que vale entre 1,5 y 2. Para 25,0=υ , 732,13 ==
β
α
.
En términos de k y ρ:
ρ
βα
k
=⋅− 22
3
4
Ondas de Rayleigh (LR): ββ ⋅=⋅−= 9194,0
3
2
2RLV , para 25,0=υ .
Ondas de Love (LQ): 21 ββ << QLV , donde β1 y β2 son las velocidades Vs de los lechos
superficial e inferior, respectivamente.
Energía, atenuación y absorción de las ondas
Energía que transporta una onda sísmica en un ciclo: 22222
22/1 AfAE ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ρπωρ
Atenuación geométrica: se debe a la expansión del frente de onda, pues la energía se reparte a lo
largo de él:
Para ondas P y S, el frente es aproximadamente esférico: A es proporcional a 1/r.
Para ondas de superficie, el frente es una circunferencia: A es proporcional a r/1
Absorción: se debe a las propiedades anelásticas de las rocas y se llama también frenado
anelástico.
1
log
+
=
n
n
A
A
δ , donde An es la amplitud de un ciclo cualquiera y An+1 la del siguiente.
Factor de calidad (Q): δπ /=Q . Se llama también atenuación intrínseca.
Anelasticidad (α):
VQ
f
V
f
⋅
⋅
=
⋅
==
πδ
λ
δ
α . Se llama también coeficiente de atenuación.

3. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
3
Efecto combinado de la atenuación geométrica y la absorción: La amplitud (A) de una onda a
una distancia r de la fuente puede calcularse a partir de la amplitud (A0) conocida para una
distancia r0.
Para ondas P y S:
)(
0
0
)(0
0
0
0
rr
VQ
f
rr
e
r
r
Ae
r
r
AA
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
−⋅−
⋅⋅=⋅⋅=
π
α
Para ondas de superficie:
)(
0
0
)(0
0
0
0
rr
VQ
f
rr
e
r
r
Ae
r
r
AA
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
−⋅−
⋅⋅=⋅⋅=
π
α
Propagación de las ondas sísmicas
Ley de la reflexión: Ri = , es decir, el ángulo de incidencia (i) es
igual al de reflexión (R). Sólo vale cuando la onda reflejada es del mismo tipo que la
incidente.
Ley de la refracción o de Snell:
2
1
)sen(
)sen(
V
V
r
i
= , o bien,
21
)sen()sen(
V
r
V
i
= , donde i
es el ángulo de incidencia, r el de refracción, y V1 y V2 las velocidades de la onda en el
medio por donde viaja antes y después de refractarse respectivamente. Esta fórmula puede
emplearse para calcular reflexiones y refracciones de ondas de distinto tipo. Por ejemplo, si
α1 y α2 son las velocidades de las ondas P en los dos medios, y β1 y β2 las de las ondas S:
2121
)sen()sen()sen()sen(
ββαα
SSPP rRri
===
Impedancia acústica (z): Vz ⋅= ρ , donde ρ es la densidad de las rocas
que atraviesa la onda, y V su velocidad.
Coeficiente de reflexión (RC):
1122
1122
12
12
0
1
αραρ
αραρ
⋅+⋅
⋅−⋅
=
+
−
==
zz
zz
A
A
RC , donde
A0 y A1 son las amplitudes de la onda P incidente y reflejada, ρ1 y ρ2 son las densidades de
las rocas que atraviesa la onda, y α1 y α2 las velocidades de las ondas P en esas rocas.
Coeficiente de transmisión (TC):
1122
11
12
1
0
2 22
αραρ
αρ
⋅+⋅
⋅⋅
=
+
⋅
==
zz
z
A
A
TC , donde
A0 y A2 son las amplitudes de la onda P incidente y refractada, ρ1 y ρ2 son las densidades de
las rocas que atraviesa la onda, y α1 y α2 las velocidades de las ondas P en esas rocas. Las
fórmulas anteriores para RC y TC sólo son validas cuando el ángulo de incidencia es bajo, es
decir, el rayo es perpendicular a la superficie o casi, y no se generan ondas S.
Angulo crítico (ic):
2
1
)sen(
α
α
=ci , donde ic es el ángulo de incidencia de un
rayo que se refracta viajando exactamente por la interfase entre los lechos de velocidades α1
y α2. Para cualquier ángulo de incidencia mayor, no se produce refracción, pero si reflexión,
con lo que toda la energía del rayo incidente se transmite al reflejado.
Parámetro del rayo para capas planas (p): cte
iii
p =⋅⋅⋅====
3
3
2
2
1
1 )sen()sen()sen(
ααα
. Sirve
para calcular la velocidad del lecho en el que se produce la refracción crítica:
m
p
α
1
=
Parámetro del rayo para capas esféricas (p):
cte
isenRisenRisenR
p =⋅⋅⋅=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
3
33
2
22
1
11 )()()(
ααα
.

4. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
4
Relación de Benndorf:
0
0)(
αα
RisenR
p =
⋅
= , que se deduce del parámetro del rayo para capas
esféricas y sirve para calcular el ángulo de incidencia de un rayo sísmico generado en un
foco y registrado en una estación sísmica cualquiera. Para ello se necesita saber la
profundidad del foco y la distancia epicentral (Δº), y hay que usar un modelo de velocidades
de las ondas P según la profundidad (por ejemplo, iasp91), y una tabla con los valores de p
según Δº.
Medida de los terremotos
Intensidad (I): medida subjetiva, basada en los efectos con que el terremoto se deja sentir en una
región. Se emplean las escalas de Mercalli, MM (Modified Mercalli), MSK (Medvedev-
Sponheuer-Karnik) y EMS (European Macroseismic Scale). Tienen 12 estadios y se
numeran con números romanos, del I al XII.
Magnitud: medida objetiva del tamaño real de un terremoto en su foco. Se basa en la amplitud
registrada de las ondas, pero que tiene en cuenta también la distancia al foco. Se definen
varias magnitudes:
Magnitud local (ML): )(log)(log 010máx10 AAM L −= , donde Amáx es la máxima amplitud de
las ondas sísmicas registradas (sean P, S o L), medida en micras (μm) a 100 km del
epicentro, y A0 = 1 μm =10-3
mm, es una amplitud de referencia. La amplitud a 100 km del
epicentro se calcula por la fórmula de la atenuación y absorción. Los sismómetros modernos
miden desde 2−=LM , aunque la escala original de Richter empezaba en cero. No hay
límite superior, aunque para los mayores terremotos registrados, 9<LM . Una versión
empírica de ML es: )(log76,248,2)(log 10máx10 Δ⋅+−= AM L , donde Amáx va en
milímetros y Δ en km.
Magnitud de las ondas de superficie (MS): 3,3)(log66,1)(log 0
1010 +Δ⋅+=
T
A
M S
S , donde AS es la
amplitud máxima de las ondas de superficie con un periodo de 20 ± 2 s, medida en micras, T
es el periodo y Δº es la distancia epicentral en grados. La fórmula es válida para sismos
superficiales (menos de 50 km de profundidad) y para distancias epicentrales superiores a
20º. La máxima MS registrada, es la del terremoto de Alaska de 1964, con un valor de 8,6.
Relación empírica entre la magnitud MS y la longitud (L) de la falla que produjo el terremoto en km,
establecida en fallas aflorantes: )(log7,01,6 10 LM S ⋅+=
Magnitud de las ondas del cuerpo (mB y mb): 9,501,0)(log 0,
10 +Δ⋅+=
T
A
m
SP
B , donde AP,S
es la amplitud máxima de las ondas P ó S con un periodo de 4 a 20 s, medida en micras, T es
el periodo y Δº es la distancia epicentral en grados. La fórmula es válida para telesismos, es
decir, para distancias epicentrales superiores a 10º, y se emplea en sismogramas de
instrumentos de banda ancha. De hecho, se usa más mb, medida en sismogramas de banda
estrecha y periodo corto: 9,501,0)(log 0
10 +Δ⋅+=
T
A
m P
b , donde AP es
la amplitud máxima de las ondas P con un periodo de alrededor de 1 s, medida en micras.
Relación empírica entre mb y MS: 9,256,0 +⋅= Sb Mm
Momento sísmico (M0): SFM ⋅⋅= μ0 , donde μ es el módulo de
rigidez o cizalla, S es el deslizamiento de la falla en metros y F es el área del segmento
desplazado, en m2
. Para los cálculos, suele tomarse 10
103⋅=μ N m-2
en la corteza y

5. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
5
10
107 ⋅=μ N m-2
en el manto. M0 es proporcional a toda la energía disipada en el área de la
falla movida cuando se produjo el terremoto, y al salto.
Magnitud del momento (MW): 6)(log
3
2
010 −= MMW . Se emplea para medir
grandes terremotos y tiende a remplazar a MS en la literatura científica, aunque suele dar
valores algo superiores. La máxima MW registrada es la del terremoto de Chile de 1960, con
un valor de 9,5 y cuya MS = 8,5.
Relación entre intensidad y magnitud MS: 7,1)(log8,15,1 10máx +⋅−⋅= hMI S , donde h es
la profundidad del foco en km. Esta relación vale para terremotos poco profundos (h < 50
km), y es empírica, como muchas de las anteriores. Eso significa que los resultados de
aplicarla deben considerarse sólo como una aproximación.
Relación entre momento y magnitud MS: 75,85,1)(log 010 +⋅= SMM . Esta relación se ha
establecido sólo para terremotos grandes, y es también empírica.
Relación empírica entre la magnitud del momento MW y la longitud (L) de la falla que produjo el
terremoto en km: )(log16,108,5 10 LMW ⋅+=
Energía sísmica liberada en un terremoto (E): SME ⋅+= 5,14,4)(log10 (Richter y Gutenberg,
1956), o bien, para MS > 5: SME ⋅+= 44,124,5)(log10 (Båth, 1966). En
estas fórmulas, que son empíricas, E está en Joules (1 J = 1 N m).
Frecuencia de los terremotos (N): SMbaN ⋅−=)(log10 , donde N es la frecuencia
anual de sismos con una magnitud dada o mayor que ella en una región. Es la ecuación de
una recta, que se conoce como la relación de Gutenberg-Richter; a es la ordenada en el
origen, y vale entre 8 y 9; b es la pendiente, que vale aproximadamente 1 en un material
fracturado que no soporta grandes esfuerzos. En una región más rígida o resistente, b puede
valer 0,5.
Sismicidad terrestre y energía
Cada año se registran, como promedio, unos 50.000 terremotos de MS > 3, 6.200 de MS > 4,
800 de MS > 5, 120 de MS > 6, 18 de MS > 7 y uno o ninguno de MS > 8.
El 75-80 % de la energía sísmica liberada anualmente proviene del cinturón circum-
Pacífico, y el 15-20 % de la zona Mediterránea – trans-Asiática, desde las Azores hasta el Este del
Himalaya. Es decir, aproximadamente el 95 % proviene de los límites de placa en compresión,
convergentes y transcurrentes. El sistema de dorsales oceánicas, o sea, los límites de placas
divergentes, aportan el 3-7 % de la energía liberada anualmente. Los terremotos intraplaca
representan sólo el 1 % de la energía, aunque pueden ser fuertes y destructivos.
En relación con la profundidad, el 85 % de la energía corresponde a terremotos superficiales
(< 70 km), el 12 % a los intermedios (70-300 km) y el 3 % a los profundos (300-670 km).
La energía liberada por un terremoto aumenta muy rápidamente con la magnitud. Por cada
unidad de magnitud MS, la energía liberada aumenta 31,6 veces (101,5
) ó 27,5 veces (101,44
), según
usemos la ecuación de Richter y Gutenberg (1956) o la de Båth (1966). Por ejemplo, la energía
liberada por un seísmo de MS = 7 es entre 1000 y 760 veces mayor que la liberada por un seísmo de
MS = 5. Eso implica que se precisan entre 760 y 1000 terremotos de MS = 5 para igualar la energía
liberada por un terremoto de MS = 7. Si hay un terremoto de MS = 8, casi toda la energía sísmica
anual es liberada en él.
Una tonelada de tri-nitro-tolueno (TNT) libera unos 4,2 x 109
J. Un kilotón, la energía
liberada en la explosión de 1000 toneladas de TNT, representa 4,2 x 1012
J, y equivale a un
terremoto de MS = 5,13 usando la ecuación de Båth (1966). La bomba atómica de Hiroshima, de 11
kilotones, liberó la energía de un terremoto de MS = 5,85. Un megatón liberaría la energía
equivalente a un terremoto de MS = 7,2.

6. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
6
Aproximación a la energía liberada en un terremoto
Utilizaremos el modelo del rebote elástico de Reid. Partimos de una zona de cizalla (en
gris), dentro de la cual hay una falla que se va a mover. La deformación dentro de la zona de cizalla
es elástica, y al menos una parte de ella se va a recuperar cuando el esfuerzo de cizalla alcance un
valor determinado junto a la falla, y ésta se mueva. Los valores que vamos a utilizar son:
W: anchura de la zona de cizalla.
F: superficie de la falla.
S: salto de la falla.
Ψ: ángulo de cizalla.
γ: valor de la cizalla: ψγ tg= .
τo: esfuerzo de cizalla fuera de la zona de cizalla,
que no cae al moverse la falla.
τc: esfuerzo de cizalla junto a la falla en el
momento de producirse la ruptura.
Δτ: caída del esfuerzo de cizalla al moverse la
falla: 0τττ −=Δ c .
Dos marcadores muestran la deformación
elástica, el de la izquierda para una deformación
homogénea, resultado de un esfuerzo constante a
lo largo de la zona de cizalla, y el de la derecha
para una deformación heterogénea, resultado de un esfuerzo que varía a lo largo de la cizalla.
Llamaremos Ee a la energía elástica almacenada que se libera al moverse la falla. Esta
energía se dispersa en parte como ondas sísmicas (E) y en parte en forma de calor generado por
fricción (Ef), de forma que fe EEE += .
Para un cubo de lado l deformado elásticamente por un cizallamiento simple homogéneo, la
energía elástica almacenada vale SlEe .2
⋅= τ , donde τ es el esfuerzo de cizalla aplicado y S el
desplazamiento. Pero lStg == ψγ , así que 3
lEe ⋅⋅= τγ . Dado que l3
es el volumen del cubo, la
energía elástica almacenada por unidad de volumen es τγ ⋅=eE .
Por otra parte, en una deformación elástica, γτμ = , donde μ es el
módulo de rigidez o de cizalla (Ley de Hooke).
Para un esfuerzo de cizalla (τ) constante y unas rocas de propiedades
homogéneas, la energía elástica almacenada en la zona de cizalla
representada en la figura de arriba será
ττ
μ
τ
τγ ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= SFWFWFEe
Sin embargo, lo realista es asumir que el esfuerzo de cizalla no es
constante, y que sólo la caída de esfuerzo libera energía elástica. Entonces, para calcular Ee hay que
integrar entre τo y τc
c
o
c
o
c
o
WFdWFdWFEe
τ
τ
τ
τ
τ
τ μ
τ
τ
μ
τ
τγ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ∫∫ 2
2
, es decir,
μ
ττ
⋅
−
⋅⋅=
2
)( 22
oc
e WFE . Si aplicamos la Ley de Hooke
μ
ττ
γ
)( oc −
= , y WStg == ψγ ,

7. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
7
2
)( oc
e SFE
ττ +
⋅⋅= . La energía liberada en el caso de esfuerzo variable tiene una expresión
similar al caso de esfuerzo constante, pero éste ha sido sustituido por la media aritmética de los
esfuerzos fuera de la cizalla y en la falla, con independencia de que la variación sea o no linear.
La energía disipada por fricción es SFE of ⋅⋅= τ , producto de la fuerza de cizalla aplicada
( oF τ⋅ ), por la distancia movida (S). Sólo el esfuerzo τo cuenta, pues es el que podría seguir
moviendo la falla una vez iniciado el movimiento y liberada la energía elástica almacenada, es
decir, una vez que oc ττ = .
Por tanto, la energía disipada elásticamente en forma de ondas sísmicas es
o
oc
fe SFSFEEE τ
ττ
⋅⋅−
+
⋅⋅=−=
2
)(
, es decir,
22
)( τττ Δ
⋅⋅=
−
⋅⋅= SFSFE oc
.
Notar que el momento sísmico se suele definir como μ⋅⋅= SFMo , pero se puede definir
también como WFMo ⋅Δ⋅= τ , es decir, el producto de la fuerza ( τΔ⋅F ) por su brazo (W).
Comparándola con la de 2/2/ τγτ Δ⋅⋅⋅=Δ⋅⋅= WFSFE se observa que
2/20 γμτ =⋅Δ=ME . Ambas magnitudes tienen las dimensiones de una energía, pero
representan cantidades físicas diferentes.
Eficacia sísmica: es el cociente entre la energía liberada elásticamente y la energía total liberada
)(
)(
oc
oc
eE
E
ττ
ττ
+
−
= . La caída del esfuerzo ( 0τττ −=Δ c ) durante un terremoto suele ser de
unos pocos MPa (1 MPa = 10 bar), mientras que el esfuerzo permanente (τo) es de unas
pocas decenas de MPa. Por tanto, la eficacia sísmica es del orden del 10 % o menor.
Fallas y riesgo sísmico
Falla activa: es la que se ha movido durante el Holoceno, es decir, en los últimos 10.000 años (10
Ka), según la normativa que aplica el estado de California, o en los últimos 35.000 años (35
Ka), según una definición diferente.
Falla potencialmente activa: es la que se ha movido durante el Cuaternario, es decir en los últimos
1.650.000 años (1,65 Ma).
Falla inactiva: es la que no se ha movido durante el Cuaternario.
Falla capaz: según la normativa de la United States Nuclear Regulatory Comission (USNRC) de
1997, una falla es capaz:
1- Si se ha movido en superficie al menos una vez en los últimos 35 Ka, o muestra
movimientos recurrentes en los últimos 500 Ka.
2- Si muestra una macrosismicidad, determinada instrumentalmente con registros
suficientemente precisos como para demostrar su relación con la falla, cuando el
movimiento no es evidente en superficie.
3- Si está relacionada estructuralmente con una falla capaz definida de acuerdo con los
puntos 1 y/o 2, de forma que si se produce movimiento en una, sea razonable esperarlo
en la otra.
Parámetros usados en la evaluación del riesgo sísmico
Deslizamiento: es el movimiento relativo producido a ambos lados de una falla. Para los mayores
teremotos, pueden llegar a ser de 6 a 14 m en la horizontal, y hasta 6 m en la vertical
(excepcionalmente, hasta 20 m en el terremoto de Banda Aceh, Sumatra, del 26/12/2004).

8. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
8
Velocidad de deslizamiento: es la relación entre deslizamiento y tiempo. P. ej., para una falla que
se ha movido 1 m en 1 Ka, la velocidad de deslizamiento es de 1 mm/año. También se llama
tasa de deslizamiento (“slip rate”).
Intervalo medio de recurrencia (TR): es el tiempo medio entre terremotos producidos en una falla
(“average recurrence interval”). También se llama periodo de retorno. Se puede calcular,
sobre todo para el modelo del terremoto característico, dividiendo el deslizamiento medio de
cada evento entre la velocidad de deslizamiento. P. ej., si el deslizamiento medio es de 1
metro y la velocidad de deslizamiento 2 mm/año, el intervalo de recurrencia es de 500 años.
Relación entre velocidad de deslizamiento e intervalo de recurrencia: a mayor velocidad de
deslizamiento, corresponde un intervalo menor. De un estudio de 49 fallas activas en todo el
mundo se obtuvieron los siguientes resultados:
velocidad de deslizamiento intervalo medio de recurrencia
>10 mm/año < 200 años
10 - 1 mm/año 200 - 3.000 años
1 - 0,1 mm/año 3.000 - 45.000 años
0,1 - 0,01 mm/año 45.000 - 600.000 años
Además, los dos parámetros están relacionados con la cantidad de deformación de la
corteza, que suele ser mayor en los límites de placa. El ciclo sísmico, equivalente al
intervalo medio de recurrencia, va desde 101
a 102
años en los límites de placa, hasta 106
en
los continentes estables. En el interior de las placas activas se sitúa en 103
a 104
años.
Probabilidad de un terremoto: es un parámetro que se emplea para hacer mapas regionales de
contornos de riesgo sísmico, y representa el 10 % de probabilidad de que un terremoto
exceda una determinada aceleración en un intervalo de tiempo de unas pocas décadas. En
uno de tales mapas para Estados Unidos, el intervalo de referencia son 50 años, y los
contornos son para aceleraciones de entre 0,05 g y más de 0,4 g, donde g es la aceleración
de la gravedad.
Probabilidad condicional: es la probabilidad de que ocurra un evento de magnitud superior a una
cierta cantidad en un periodo de tiempo, p. ej., 30 años, en cada segmento de una falla.
Probabilidad anual de excedencia (PExc): es el inverso del intervalo medio de recurrencia ó
periodo de retorno (TR) para una aceleración determinada: )(1)( aTaP RExc = . TR crece al
crecer a, y PExc decrece.
El ciclo del terremoto
El carácter cíclico de los terremotos deriva del modelo de Reid. Una vez liberada la energía
elástica tras un terremoto, lleva un tiempo acumular otra vez la necesaria para producir el siguiente.
La forma en que opera el ciclo puede variar de unas fallas a otras, lo que da lugar a diferentes
modelos.
Modelo del terremoto característico: se aplica cuando una falla o segmento de falla tiende a
generar terremotos con la misma magnitud máxima. Entonces se cumple que:
1- El deslizamiento de un punto para cada evento de la falla es aproximadamente constante.
2- La velocidad de deslizamiento a lo largo de la falla o segmento puede ser variable.
3- El tamaño de los terremotos mayores es bastante constante, con un rango de magnitud
estrecho que suele estar cerca del máximo, y los eventos moderados son poco frecuentes.
Modelo del deslizamiento uniforme: se caracteriza porque:
1- El deslizamiento de un punto para cada evento de la falla es aproximadamente constante.
2- La velocidad de deslizamiento a lo largo de la falla o segmento también es constante.
3- El tamaño de los terremotos mayores es bastante constante, pero los eventos moderados
son más frecuentes.
Modelo del deslizamiento variable: se caracteriza porque:
1- El deslizamiento de un punto para cada evento de la falla es variable.
2- La velocidad de deslizamiento a lo largo de la falla o segmento es constante.

9. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
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3- El tamaño de los terremotos mayores es variable.
Modelo de dilatación difusa: asume que a medida que la deformación elástica aumenta, las rocas
se dilatan, abriéndose pequeñas fisuras. Esta deformación es inelástica y tiene lugar cuando
el esfuerzo alcanza la mitad de su valor de ruptura. La presión de agua va creciendo en las
fisuras hasta que se alcanza el límite de rotura, y se produce el terremoto. Después, las
fisuras se cierran, los fluidos emigran hacia arriba, la roca de falla queda más o menos
sellada y el ciclo recomienza de nuevo. Este modelo se llama también mecanismo de
válvula de falla. Varias de las características del modelo son susceptibles de ser aplicables a
la prevención de terremotos: la velocidad de las ondas sísmicas decrece en las rocas
dilatadas, la conductividad eléctrica de las rocas aumenta, y se emite mayor cantidad de
radón, que está disuelto en el agua y es radiactivo.
Vulnerabilidad, peligrosidad y riesgo de emplazamiento
Vulnerabilidad: es el grado de daño que un terremoto de cierta intensidad puede causar en una
construcción u obra.
Riesgo de una estructura, obra o sistema (R): es el grado de pérdidas, en términos económicos,
sufridos durante la exposición al evento considerado. Para estimarlo, hay que tener en
cuenta peligrosidad, vulnerabilidad, riesgo sísmico de emplazamiento y coste.
Niveles de seguridad aceptables: son estimaciones que dan la probabilidad de que se alcance un
determinado grado de daños en la estructura en función de la peligrosidad del
emplazamiento. Suelen darse de manera gráfica, y para el grado de los daños, estos se
subdividen en nivel de servicio (operativo), nivel de daño esperado (reparable), no
reparable pero sin colapso, y nivel de seguridad (colapso).
Vida útil (Vu): es el intervalo de tiempo, en años, durante el cual se calcula que debe ser operativa
una construcción o estructura.
Peligrosidad: es la probabilidad de ocurrencia de los distintos niveles de carga sísmica, expresada
como aceleraciones para periodos de tiempo. Su estimación consiste en una predicción
basada en las fuentes sismogénicas potenciales, las leyes de la atenuación y las
probabilidades de excedencia.
Nivel de riesgo sísmico de emplazamiento (E): es la probabilidad de que una aceleración (a) sea
igualada o superada al menos una vez durante la vida útil de la obra (Vu), expresada en años.
O sea, es la probabilidad de excedencia durante la vida útil.
Se define como [ ]
Vu
R
Vu
Exc
aT
aPE ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=−−=
)(
1
11)(11 para una aceleración (a) dada.
El riesgo es bajo si la PExc (a) es baja ó si el TR (a) es alto. Por ejemplo, si el periodo de
excedencia para una determinada aceleración (a) es del 1 % anual ( 01,0)( =aPExc ) para una
obra con una vida útil de 50 años, E = 0,395, es decir 39,5 % de probabilidad que a se
alcance en 50 años, ó bien, 60,5 % de probabilidad de que no se alcance. Sería un riesgo
alto.
Para las mayores aceleraciones, TR tiende a infinito y PExc tiende a cero. En estos
casos, puede usarse la aproximación )(
1 aT
V
R
u
eE
−
−≅ . Notar que si uR VaT =)( , 1≠E , como
intuitivamente cabría esperar, sino que 6321,01 1
=−= −
eE , es decir, el riesgo sísmico de
emplazamiento sería del 63,2 %.

10. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
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Predicción del movimiento del suelo
La valoración del riesgo sísmico incluye la evaluación del entorno tectónico y de las
características de la construcción. En áreas sísmicas, y sobre todo en construcciones especiales
como presas, puentes, plantas eléctricas, etc., es importante contar con un cálculo del movimiento
probable del suelo en caso de seísmo. Se trata de estimar la amplitud del movimiento, la
aceleración, en términos de la gravedad (g), y la duración de la sacudida.
Identificación del entorno tectónico: incluye analizar las características de las fallas y otras
fuentes sísmicas potenciales del área. Hay que estimar los mayores terremotos probables en
ellas a partir de registros históricos o estudios de paleosismicidad. También hay que
considerar las distancias a las fallas, o a sus segmentos más activos, y estimar la magnitud
de los terremotos posibles, a partir de la sismicidad en el área o de relaciones empíricas.
Los parámetros más importantes a considerar son la longitud del segmento que se
mueve (L), las magnitudes y el momento de los terremotos mayores asociados, la velocidad
de deslizamiento, los deslizamientos medios, el periodo de retorno (TR) y la probabilidad
anual de excedencia (PExc). Para los cálculos, suele tomarse el módulo de cizalla 10
103⋅=μ
N m-2
en la corteza, y para el área (F), la del semicírculo de diámetro igual a L: 82
LF ⋅= π
para fallas pequeñas (L < 30 km), o bien szLF ⋅= , donde zs es el espesor del lecho
sismogénico (normalmente 15-20 km), para fallas grandes.
Estimación del movimiento del suelo: la sacudida o movimiento oscilatorio del suelo se intenta
aproximar bien mediante su amplitud (máximo desplazamiento armónico), bien mediante
los espectros respuesta, que son las relaciones entre el movimiento del suelo, normalmente
la aceleración, y el periodo de las ondas sísmicas. Se pueden emplear varias
aproximaciones:
Para la amplitud, hay fórmulas empíricas que la relacionan con la magnitud en función de la
distancia epicentral. Son aplicables sólo para distancias epicentrales superiores a 10º ó 20º,
normalmente muy superiores a la de las fallas cuyo movimiento se quiere predecir para
construir una determinada estructura. No obstante, son útiles para estimar el movimiento del
suelo si se utilizan junto con las ecuaciones que dan la atenuación y absorción. Hay que
utilizar valores razonables de la frecuencia (f) y velocidad (V) de las ondas, así como del
factor de calidad (Q). Para éste último, pueden usarse valores entre 20 y 70 para sedimentos
detríticos poco a bastante consolidados, y de 70 a 150 para rocas ígneas y metamórficas.
Rocas muy compactas, como calizas y rocas frescas del basamento pueden alcanzar valores
superiores, hasta 500.
La evaluación empírica será mucho más precisa si se dispone de registros sísmicos en la zona, o en
otros sitios con características comparables en cuanto a tipos de fallas, tipos de rocas, y
magnitudes de los terremotos. Puede leerse en ellos tanto la amplitud del movimiento
oscilatorio, como los distintos valores relacionados con la aceleración.
Para estimar la aceleración del suelo, deben establecerse los siguientes parámetros:
Aceleración pico: es la máxima aceleración alcanzada o que se espera pueda ser alcanzada
durante un terremoto en un punto. Se hacen mapas con la probabilidad de excedencia de una
determinada aceleración pico en un intervalo, normalmente de 50 años.
Aceleración espectral: es la máxima aceleración alcanzada durante un terremoto, pero para
ondas de un determinado periodo (T). Normalmente, se calcula para periodos que limitan el
intervalo de los más dañinos para las construcciones, como 0,2 y 1 segundos, y también se
hacen mapas de probabilidad de excedencia.
Duración acotada: es el intervalo en el que la aceleración es igual o superior a 0,05 g.
Aceleración sísmica básica (ab): es la que provoca daños en una estructura. Es siempre la
componente horizontal de la aceleración, la más peligrosa, y es un valor empírico, que varía
de unas regiones a otras, y que suele estar detallada en las normas. Por encima de ese valor,
los daños son probables, y por debajo no.

11. Sismología e Ingeniería Sísmica Fórmulas de Sismología
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La estimación de la aceleración del suelo se deduce de sismogramas y acelerogramas de sismos en
varias fallas similares. También a partir de modelos numéricos, que se comparan con los
resultados empíricos y cuando ambos son congruentes, se pueden usar para evaluar amplitud
del desplazamiento, duración, y las aceleraciones pico y acotada del suelo.
Además, hay que establecer el nivel de riesgo sísmico de emplazamiento, definido más arriba, y
compararlo con normas, tablas y gráficos que relacionan vida útil, probabilidad de
excedencia y periodo de retorno para distintos tipos de construcciones.
La figura siguiente muestra el mapa de peligrosidad sísmica en España, incluido en la Norma de
Construcción Sismorresistente vigente en la actualidad (NCSE-02, B.O.E. de 11 de octubre
de 2002, pp. 35898-35967). Las áreas grises representan los valores de la aceleración
sísmica básica (ab), que es un valor característico de la componente horizontal de la
aceleración de la superficie del terreno. Las líneas a trazos representan el coeficiente de
contribución (K), que tiene en cuenta la influencia de los terremotos esperados en cada
punto, es decir, la peligrosidad sísmica.
La aceleración sísmica básica (ab) se usa para estimar la aceleración sísmica de cálculo, y el
coeficiente de contribución (K) se emplea para establecer el espectro de respuesta elástica de la
superficie libre del terreno.
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José Ramón Martínez Catalán. Noviembre de 2007