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1. Prof. Pierercole Zecchetti Birzi

2. En este curso, expresaremos matemáticamente una onda
electromagnética plana uniforme de dos formas:
• Forma Instantánea (FI)
• Forma Fasorial (FF)
Conociendo la primera forma de expresión, podemos
conocer la segunda forma de expresión de manera inmediata,
y viceversa, como veremos más adelante. Concentrémonos,
por ahora, en la expresión instantánea de una onda
electromagnética plana uniforme (OEMPU).

3. Lo primero que debemos saber es que una OEMPU está constituida por un vector campo
eléctrico E, dado en V/m, y un vector campo magnético H, dado en A/m, los cuales son ortogonales
entre sí, es decir, forman un ángulo recto entre ellos, y a su vez, esos dos vectores son ortogonales
con el vector que determina la dirección de propagación de la OEMPU, denominado vector de onda
k, de tal manera que el producto cruz de los vectores unitarios de E y H, siempre darán como
resultado el vector unitario del vector de onda k, dado en rad/m, que es el que determina la
dirección de propagación de la OEMPU, es decir, 𝐮𝐄 × 𝐮𝐇 = 𝐮𝐤. Dicho de otro modo, el vector
campo eléctrico E, el vector campo magnético H y el vector de onda k forman un triedro orientado
positivamente. El producto 𝐄 × 𝐇 tiene la misma dirección que k.
Es evidente que la dirección de propagación de la OEMPU es la dirección de propagación de
la energía electromagnética y, por consiguiente, la dirección de propagación de la potencia
electromagnética de la OEMPU.
Por ejemplo, si E está en la dirección 𝐱 y H está en la dirección 𝐲, entonces k está en la
dirección 𝐱 × 𝐲 = 𝐳, que es la dirección de propagación de la OEMPU. El estudiante deberá
conseguir la dirección de propagación de una OEMPU para diversas direcciones de E y H.

4. Aún cuando los campos eléctrico y magnético de una OEPMU siempre están
presentes, para disminuir la complejidad que supone representar dichos campos
en una sola expresión matemática, se acostumbra representarlos
matemáticamente por separado. En realidad, se obtiene una expresión para E y
otra para H, a sabiendas que ambos vectores están siempre asociados uno con el
otro, ya que así lo establecen las ecuaciones de Maxwell, para el caso de campos
variantes en el tiempo, el cual es el caso objeto de nuestro estudio.
Entonces, la expresión instantánea de la componente eléctrica, 𝐄, de una
OEMPU, en un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, en general,
será de la siguiente forma:
𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝐱𝐸0𝑥 + 𝐲𝐸0𝑦 + 𝐳𝐸0𝑧)𝑒−𝛼 𝐫 cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥𝑥 − 𝑘𝑦𝑦 − 𝑘𝑧𝑧 + 𝜑)
(1)

5. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
donde:
𝐸0𝑥, 𝐸0𝑦, 𝐸0𝑥 son los valores máximos del campo eléctrico en las direcciones
indicadas en Volt/m, de tal manera que:
𝐄0 = 𝐱𝐸0𝑥 + 𝐲𝐸0𝑦 + 𝐳𝐸0𝑧 Volt/m (2)
𝛼 es la constante de atenuación en Neper/m,
𝐫 es la magnitud del vector de posición en metros, de tal manera que
𝐫 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 metros (3)
𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 son las magnitudes de los números de onda en las direcciones
indicadas en radianes/m, de tal manera que:
𝐤 = 𝑘 = 𝑘𝑥
2
+ 𝑘𝑦
2
+ 𝑘𝑧
2
radianes/m (4)

6. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAPLANAELECTROMAGNÉTICAUNIFORME
𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 son las magnitudes de los números de onda en las direcciones
indicadas en radianes/m, de tal manera que:
𝐤 = 𝑘 = 𝑘𝑥
2
+ 𝑘𝑦
2
+ 𝑘𝑧
2
radianes/m (5)
𝜔 es la frecuencia angular de oscilación de la OEMPU en rad/seg,
𝜑 es el ángulo de fase de la onda coseno en radianes (o grados).
Hay que destacar que el número de onda, 𝑘, es el módulo (magnitud) del
vector de onda k, el cual viene dado por la siguiente expresión:
𝐤 = 𝑘 = 𝜔 𝜇𝜀 (6)
donde:
𝜇 es la permeabilidad magnética del medio en Henry/m y
𝜀 es la permitividad eléctrica del medio en Farad/m

7. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
En caso que la OEMPU se propague por un medio sin pérdidas, 𝛼 = 0, el
factor de atenuación 𝑒−𝛼 𝐫 = 1 y la ecuación (1) se transforma en
𝐄 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = (𝐱𝐸0𝑥 + 𝐲𝐸0𝑦 + 𝐳𝐸0𝑧) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥𝑥 − 𝑘𝑦𝑦 − 𝑘𝑧𝑧 + 𝜑) (7)
Para el caso del campo magnético, se procede de la misma manera, por lo
tanto, en un medio sin pérdidas:
𝐇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = (𝐱𝐻0𝑥 + 𝐲𝐻0𝑦 + 𝐳𝐻0𝑧) cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥𝑥 − 𝑘𝑦𝑦 − 𝑘𝑧𝑧 + 𝜑) (8)
La relación entre los campos eléctrico y magnético viene dada por:
𝐇 =
𝐤
𝜂
× 𝐄 (9)

8. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
donde:
𝐤 es el vector unitario del vector de onda (magnitud unitaria) y
η es la impedancia de onda intrínseca del medio de propagación en Ω.
siendo
𝜂 = 𝜇 𝜀 (10)
Otros parámetros de las OEPMU.
λ =
2𝜋
𝑘
=
2𝜋
𝜔 𝜇𝜀
=
𝑣𝑝
𝑓
= 𝑣𝑇 (11), 𝜔 = 2𝜋𝑓 (12), 𝑣 =
1
𝜇𝜀
(13)
donde:
λ es la longitud de onda de la OEMPU en metros,
𝑓 es la frecuencia de la OEMPU en Hertz o ciclos /seg,
𝑣𝑝 es la velocidad de propagación de la OEMPU en metros/seg y
𝑇 es el período de la OEMPU en metros.

9. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
Ahora hablaremos de la forma fasorial de la expresión matemática de una
OEMPU. En esta modalidad, solo se muestran de manera explícita los datos
espaciales, mientras que los temporales, se dan por entendidos (implícitos). Así,
la expresión instantánea de la ecuación (1) es equivalente, en forma fasorial, a la
siguiente:
𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐱𝐸0𝑥 + 𝐲𝐸0𝑦 + 𝐳𝐸0𝑧)𝑒−𝛼 𝐫
𝑒−𝑗(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧+𝜑)
(14)
donde 𝑗 = −1 es el número imaginario.
Si la OEMPU se propaga por un medio sin pérdidas, 𝛼 = 0 y el factor de
atenuación 𝑒−𝛼 𝐫 = 1, por lo tanto la ecuación (11) se transforma en
𝐄(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐱𝐸0𝑥 + 𝐲𝐸0𝑦 + 𝐳𝐸0𝑧) 𝑒−𝑗(𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧+𝜑)
(15)

10. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
En la ecuación (14), aunque no aparece explícitamente, se sobrentiende que
la frecuencia angular con la que “gira” el fasor es 𝜔.
Y para el campo magnético, la expresión fasorial sería:
𝐇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝐱𝐻0𝑥 + 𝐲𝐻0𝑦 + 𝐳𝐻0𝑧) 𝑒−𝑗 𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧−𝜑
Amp/m (16)
siendo
𝐇0 = 𝐱𝐻0𝑥 + 𝐲𝐻0𝑦 + 𝐳𝐻0𝑧 Amper/m (17)
Observemos que el término o factor de fase 𝑒−𝑗 𝑘𝑥𝑥+𝑘𝑦𝑦+𝑘𝑧𝑧−𝜑
que indica el
desplazamiento de la OEMPU es el mismo para el campo eléctrico y el magnético,
pues las ondas eléctrica y magnética viajan juntas.

11. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
Cuando la OEMPU se propaga por un medio con pérdidas, entones 𝛼 ≠ 0
(número positivo), y se habla de una constante de propagación 𝛾, tal que:
𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 (m−1) (18)
donde:
𝛼 es, como ya se dijo, la constante de atenuación de la onda en Neper/m y
𝛽 es la constante de fase de la onda en radianes/m
siendo
𝛽 = 𝛽𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛽𝑧 (19)
En este caso, los parámetros 𝑘𝑥, 𝑘𝑦, 𝑘𝑧 que aparecen en la ecuación (1) y
siguientes se sustituyen por 𝛽𝑥, 𝛽𝑦, 𝛽𝑧.

12. EXPRESIÓNMATEMÁTICADE UNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANA UNIFORME
Ejemplo N° 1.
Una OEMPU se propaga por el vacío a una frecuencia de 100 MHz en la dirección positiva del
eje 𝑧. Su campo eléctrico oscila en la dirección 𝑥 con una amplitud (valor máximo) de 10 mV/m. El
valor del campo eléctrico en el instante 𝑡 = 0 y en la posición 𝑧 = 0 es 0.5 mV/m. Determinar:
a) Las expresiones instantáneas de E y H,
b) Las expresiones fasoriales de E y H,
Como la onda se propaga por el vacío, que es el medio sin pérdidas por excelencia, la constante
de atenuación 𝛼 = 0. La OEMPU se desplaza solo en la dirección 𝑧 positiva, por lo tanto, 𝑘𝑥 = 0,
𝑘𝑦 = 0 y 𝑘𝑧 = 𝑘 = 𝜔 𝜇𝜀 = 2𝜋𝑓 𝜇𝜀 según las ecuaciones (5) y (6). En vista de que el campo
eléctrico oscila solo en la dirección 𝑥, implica que 𝐸0𝑥 = 10 𝑚𝑉 𝑚, 𝐸0𝑦 = 0, 𝐸0𝑧 = 0, por lo tanto, la
ecuación (1), que representa la expresión instantánea de E, va quedando así:
𝐄(𝑧, 𝑡) = 𝐱𝐸0𝑥 cos 𝜔𝑡 − 𝑘𝑧 − 𝜑 = 𝐱10 × 10−3cos 2𝜋 × 100 × 106𝑡 − 𝑘𝑧 + 𝜑
Pero 𝑘 = 2𝜋 × 100 × 106 rad/s × 4π × 10−7 H m × 1 36π × 10−9 F m = 2𝜋 3 rad/m

13. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
Para encontrar el valor de 𝜑 razonamos así: Sabemos que el valor de 𝐸 = 5 × 10−3 V/m es
para 𝑡 = 0 y 𝑧 = 0, por lo tanto, debe cumplirse lo siguiente:
𝐱 10 × 10−3cos 2𝜋 × 108 × 0 − 2𝜋 3 × 0 + 𝜑 V m = 𝐱 5 × 10−3 V m
es decir,
cos 𝜑 = 0.5 𝜑 = cos−1
0.5 = 60° = 𝜋
3 radianes
por lo tanto, la expresión instantánea del campo eléctrico es:
𝐄 𝑧, 𝑡 = 𝐱10 × 10−3 cos 2𝜋 × 108𝑡 − 2𝜋
3 𝑧 + 𝜋
3 V m
Para determinar la expresión instantánea del campo magnético, empezaremos por hallar 𝐇𝟎,
haciendo uso de las ecuaciones (9) y (10), sabiendo que 𝜔, 𝑘 y 𝜑, en este caso, no cambian.
Entonces,
𝐇𝟎 =
𝐤
𝜂
× 𝐄𝟎

14. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
pero 𝜂 = 𝜇 𝜀 = 4𝜋 × 10−7 H m 1 36𝜋 × 10−9 F m = 120𝜋 Ω
Por lo tanto,
𝐇0 =
1
120𝜋 Ω
𝑥 𝑦 𝑧
0 0 1
10 0 0
× 10−3 V m = 𝐲
10
120𝜋
× 10−3 A m
con lo que la expresión instantánea del campo magnético es:
𝐇 𝑧, 𝑡 = 𝐲
10−3
12𝜋
cos 2𝜋 × 108𝑡 − 2𝜋
3 𝑧 + 𝜋
3 A m
Las expresiones fasoriales son inmediatas, a saber:
𝐄 𝑧 = 𝐱10 × 10−3𝑒−𝑗 2𝜋
3 𝑧 − 𝜋
3 V m
𝐇 𝑧 = 𝐲
10−3
12𝜋
𝑒−𝑗 2𝜋
3 𝑧 − 𝜋
3 A m

15. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
Ejemplo N° 2.
Sea una onda plana uniforme monocromática (una sola frecuencia) propagándose en el vacío
cuyo expresión fasorial es
𝐄 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −𝐱 − 𝐲2 3 + 𝐳 3 𝑒−𝑗0.04𝜋 3𝑥−2𝑦−3𝑧 V m
Determinar:
a) El vector de propagación
b) El número de onda o módulo del vector de propagación
c) La dirección de propagación
d) La longitud de onda
e) La frecuencia de oscilación
f) La expresión fasorial del campo magnético, H
g) Las expresiones instantáneas de E y H.
a) Por simple inspección, el vector de propagación es
𝐤 = 0.04𝜋 𝐱 3 − 𝐲2 − 𝐳3 radianes/m

16. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
b) El módulo del vector de propagación es
𝑘 = 𝐤 = 𝑘𝑥
2
+ 𝑘𝑦
2
+ 𝑘𝑧
2
= 0.04𝜋 3
2
+ −2 2 + −3 2 = 0.16𝜋 rad m
c) La dirección de propagación es
𝐤 =
𝐤
𝑘
=
0.04𝜋 𝐱 3 − 𝐲2 − 𝐳3 rad/m
0.16𝜋 rad/m
=
𝐱 3 − 𝐲2 − 𝐳3
4
d) La longitud de onda es
𝜆 = 2𝜋 𝑘 = 2𝜋 rad 0.16𝜋 rad m = 12.5 m
e) La frecuencia de oscilación es
𝑓 = 𝑣𝑝 𝜆 = 𝑐 𝜆 = 3 × 108 m s 12.5 𝑚 = 24 × 106 Hz

17. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
Para hallar las expresiones fasoriales e instantáneas debemos determinar H0, para lo cual
sabemos que:
𝐇0 =
𝐤
𝜂
× 𝐄0 =
1
4 × 120𝜋 Ω
𝐱 𝐲 𝐳
3 −2 −3
−1 −2 3 3
V m =
1
480𝜋
𝐱8 3 − 𝐳8 A m
𝐇0 =
1
60𝜋
𝐱 3 − 𝐳 A m
f) La expresión fasorial del campo magnético, H, es
𝐇 𝑥, 𝑧 =
1
60𝜋
𝐱 3 − 𝐳 𝑒−𝑗0.04𝜋 3𝑥−2𝑦−3𝑧
A m
g) La expresión instantánea de E, es
𝐄 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = −𝐱 − 𝐲2 3 + 𝐳 3 cos 48𝜋 × 106𝑡 − 0.04𝜋 3𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 V/m

18. EXPRESIÓNMATEMÁTICADEUNAONDAELECTROMAGNÉTICAPLANAUNIFORME
y la expresión instantánea del campo magnético es
𝐇 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 =
1
60𝜋
𝑥 3 − 𝑧 cos 48𝜋 × 106𝑡 − 0.04𝜋 3𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 A/m
Para finalizar con este tema, solo nos queda por advertir que las expresiones instantáneas y
fasoriales de los campos se desarrollaron tomando en cuenta una base cosenoidal. Pero también
se pueden desarrollar tomando en cuenta una base senoidal. En efecto, por trigonometría sabemos
que
cos ω𝑡 = sen 𝜔𝑡 + 90° = sen 𝜔𝑡 +
𝜋
2
sen 𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 − 90° = sen 𝜔𝑡 −
𝜋
2
por lo tanto, para pasar de una forma con base coseno a una con base seno solo basta con agregar
un ángulo de fase de 90° o 𝜋 2 y para pasar de una base seno a una base coseno, solo basta con
restar un ángulo de fase de 90° o 𝜋 2. Cuando no se especifica en forma explícita, se entenderá
que la base a utilizar es la cosenoidal.