Este manual presenta conceptos y ejercicios de álgebra para preparación pre-universitaria. Explica temas como expresiones algebraicas, exponentes, ecuaciones exponenciales, grado de polinomios, operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división. Incluye métodos para resolver diferentes tipos de ejercicios y factorizar expresiones algebraicas. El objetivo es desarrollar las habilidades necesarias para tener éxito en los estudios superiores.
4. PRESENTACIÓN
Si usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materias
de mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario y
superior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán el
dominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-
piado.
Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-
dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario y
la universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirva
como herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran en
etapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgar
sus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.
Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificado
para la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios y
docentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-
sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,
usando métodos apropiados, fáciles y amigables.
Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-
tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejercicios
resueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida para
que destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecua-
do conocimiento y dominio de la materia.
Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompaña
esta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempre
en términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesor
en casa a tiempo completo.
Los Editores
14. Á L G E B R A
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
El álgebra es la parte de la matemática que estudia a Es necesario aclarar que todas las expresiones que
la cantidad en su forma más general obteniendo ge- tienen números y letras son expresiones algebraicas;
neralizaciones sobre el comportamiento operacional a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-
de los números. Estudia de esta manera, funciones bre de funciones trascendentes y que son utilizadas
numéricas; para lo cual se emplea números, letras y muy a menudo en el cálculo superior. Para una
signos de operación. mayor ilustración, indicaremos la definición de las
siguientes funciones trascendentes:
Como el estudio de una función conduce finalmente
al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice Función exponencial.- Representada por una base nu-
también que el álgebra es la ciencia que estudia las mérica y un exponente literal, como por ejemplo:
ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos 7x (base = 7, exponente = x).
son analizados a continuación:
Función logarítmica.- Representada por el símbolo
EXPRESIÓN ALGEBRAICA “log.” y que se toma en una cierta base a un determi-
nado número. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo en
Es el conjunto de números y letras unidos entre sí base b del número N.
por los signos de operación de la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación y la radi- Función trigonométrica.- Representada por las fun-
cación.(*) ciones seno, coseno, tangente y sus complementos
Ejemplos: aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que
se lee: “seno de x”.
Son expresiones algebraicas las siguientes:
i) x CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
ii) 4x
Según el tipo de número o variable de sus expo-
2 2
iii) 4x + 5y + 7z 2 nentes, radicales o denominadores las expresiones al-
_________ gebraicas pueden clasificarse en:
3x5 + 7 √ x2 - 5xy4
iv) ________________
3x2y - 3xy7
{ { Enteras
No son expresiones algebraicas: Racionales
Expresiones Fraccionarias
i) 5x
Algebraicas
ii) loga x Irracionales
iii) sen x
(*)Las letras son empleadas tanto para repre-
sentar valores conocidos o datos (en este a) Expresión algebraica racional
caso; por convención, se usa las primeras Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
letras del alfabeto) como valores desconoci- nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su-
dos (se usa las últimas letras del alfabeto). bradical (es decir, al interior de la raíz).
- 13 -
15. Ejemplos:
α Ejemplos:
α
i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5
ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7
ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8
1 1 1 ________ __
iii) –– x4 + –– x8 + –– x4
3 5 3 iii) √4x2 + 5y2 + 8 √z
x2 4z2 2z3 2 7 8
iv) –––– + –––– + –––– iv) –––– + –––– + ––––
3yz 7xy 2
9y4 __ __ __
√x √y √z
NOTA:
___
v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 √xyz
Se entiende por cantidad subradical a la parte de una
raíz que se encuentra en el interior del radical. De este
modo: Resumen de las características de las expresiones
__ algebraicas.
n
√A , se lee “raíz n de A”
Donde n = índice, A = cantidad subradical
α
{ {
Racionales Enteras
Exponente Exponente
a.1) Expresión algebraica racional entera
entero entero positivo
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- Subradical Denominador
nentes enteros positivos o no tiene letras en su sin letras sin letras
denominador.
Ejemplos: Fraccionarias
Expresiones Exponente
i) 2x2 + 5y7 + 12y15 Algebraica entero negativo
1– 1– 1– Denominador
ii) –– + –– + –– z4 con letras
3x 5y 4
iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 Irracionales
Exponente
a.2) Expresión algebraica racional fraccionaria fracción
Subradical
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
con letras
nentes negativos o tiene letras en su denominador.
Ejemplos:
TÉRMINO ALGEBRAICO
i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4
Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es-
1– 2– 7–
ii) –– + –– + –––2 tán separadas ni por el signo más ni por el signo
3x 5y 4z menos. En otras palabras, un término algebraico es
4x2 + 3y3 + 7z4 un monomio.
iii) ––––––––––––
4x5 + 5yz
Ejemplos:
iv) 4x4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2
i) 4x2
b) Expresión algebraica irracional
ii) +5y3z4
Es aquella que se caracteriza porque tiene expo-
nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad iii) -3x4y5z8
subradical.
- 14 -
16. Á L G E B R A
Partes de un Término Algebraico LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES
Multiplicación de Potencias de Bases Iguales.
coeficiente Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la suma de ellos.
(-7) x4 exponente
am. an = am+n
parte literal
Ejemplos:
i) x5 . x7 = x5+7 = x12
TEORIA DE EXPONENTES ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15
La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-
das las clases de exponentes que existen y las relacio- iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048
nes que se dan entre ellos.
División de Potencias de Bases Iguales.
La operación que permite la presencia del exponente
es la potenciación, la cual se define así: Se escribe la base común y como exponente se escri-
be la diferencia de dichos exponentes.
POTENCIACIÓN
am
Es la operación que consiste en repetir un número ––– = am-n
an
llamado base tantas veces como factor, como lo indi-
Ejemplos:
que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-
ración se le denomina potencia, y se representa así: x8
i) ––– = x8-3
x3
Potencia = (base)exponente
x12
ii) ––– = x12-(-3) = x12+3 = x15
Ejemplos: x-3
i) 27 = 144424443= 128 2m+3
2.2.2.2.2.2.2 iii) –––– = 2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64
2m-3
7 factores 2
5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5
ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125 iv) –––––––– = –––––– = ––––
14243 52x+1 52x+1 52x+1
5 factores 5 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625
iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 Exponente Cero.
1442443
6 factores 4 Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero,
es igual a la unidad. Así:
En general:
a0 = 1, donde: a ≠ 0
an = a . a . a . a . … . a
1442443
“n” factores a Ejemplos:
0
NOTA: i) 57 = 51 = 5
0
Recuerdese que para efectos del estudio algebrai- 2
9 1
co, la base es literal y el exponente es numérico: ii) 4 = 42 = 42 = 16
x5, y4, z8, etc. iii) 24
0
+ 57
0
+ 87
0
= 2 + 5 + 8 = 15
- 15 -
17. Exponente Negativo
α Potencia Negativa de un Cociente.
α
Toda cantidad diferente de cero, elevada a un expo- Se invierte el cociente y la potencia se transforma en
nente negativo, es igual a una fracción cuyo numera- positiva. Luego, puede procederse como en el caso
dor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex- anterior.
presión pero con el signo del exponente cambiado a
positivo. Así:
1
() ()
–– = -n
a
b
––
bn
a-n = –– , donde: a ≠ 0 Ejemplos:
an
Ejemplos: i) () ()
2 -2 5 2 52 25
–– = –– = –– = –––
5 2 22 4
2
1 a
i) x-3 = –– ii) –– = a2b4
x3 b4
() ()
1 -3 5 3
ii) –– = –– = 53 = 125
5 1
1 a-3 b5
iii) 2-1 = –– = 0,5 iv) –– = ––
() () () () () ()
1 -2 1 -3 1 -4 2 2 3 3 4
2 b-5 a3 5
iii) –– + –– + –– = –– + –– + ––
2 3 5 1 1 1
Potencia de un Producto.
Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. Potencia de Potencia.
= 4 + 27 + 625 = 656
Se escribe la misma base y el nuevo exponente es
α
(a.b)n = an. bn igual al producto de los exponentes.
Ejemplos:
(am)n = am . n
i) (a . b)5 = a5.b5
Ejemplos:
___ 2
ii) (√3x ) = 3x2 i) (x2)3 = x(2)(3) = x6
iii) x4y4 = (xy)4 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60
3x . 2x (3 . 2)x 6x iii) (x-3)-4 = x12
iv) –––––– = ––––––– = ––
6x 6x 6x
iv) (x-2)5 = x-10
Potencia de un Cociente.
Se eleva tanto el numerador como el denominador a Nota:
dicha potencia. Para el caso de tener muchos exponentes, se
puede generalizar la regla como sigue:
()a n an
–– = ––
b bn { [(am)n]r }s = am . n . r . s
Ejemplos:
RAÍZ DE UNA POTENCIA
() ()
4 4 7 7
x x x x
i) –– = –– ii) –– = –– Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi-
y y4 y7 y
sión del exponente de la potencia entre el índice del
radical.
()
3 3 33 27
iii) –– = –– = –––
5 53 125
8n
2n
8 n
2 ()
iv) ––– = –– = 4n
n
__
√ap = an
p
_
- 16 -
18. Á L G E B R A
Ejemplos: Raíz de un Cociente.
5
__ __
10 Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno-
i) √ x10 = x 5 = x2 minador, y luego se procede a dividir estas raíces
___ resultantes.
______
___ ____ __
__
48 12
ii)√
3
4
√
√x48 = x 4 = 3√x12 = x 3 = x4 __
n a
n
√a
__
iii)√√
__________
_______
_____
____
64
_______
√
_____
____
_ _____
____
√ √ x = √ √ x = √ √x16 = x8 = x4
32
b √
–– = ––––
n
√b
__
Ejemplos:
Nota: _____ ___
5
5 x20 √x20 = ––
––– = ––––– x
4
Cuando se tiene muchos radicales, se puede
gene-ralizar la regla como sigue:
_________
______
i)
√ ___
y35
_____
5
√x20 y7
___
____
___ __ ___ 4
√√ √
1
√ √ a = mnsr a = a mnsr ii)
4
√ –––
y35
√x20 2
16 = –––––– = ––
____
4
√625 5
Exponente Fraccionario Introducción de un Factor en un Radical.
Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es Se multiplica el exponente del factor por el índice del
igual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el radical, de la siguiente forma.
denominador de la fracción y el numerador per- __ n ______
n
manece como exponente. Por lo tanto: ap √b = √apn . b
_ n __
p Ejemplos:
n
a = √ap _ 5 ______ 5 ____
_
5
Ejemplos: i) x2 √y = √x(2)(5)y = √x10y
_ 5 __
3 3
_ _ 3 _______ 3 ____
_
i) a 5 = √a3 i) x2 √y2 = √x(5)(3)y2 = √x15y2
_ 3 __
1
ii) 8 3 = √8 = 2 LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS
OPERACIONES ALGEBRAICAS
_
2
3
__ 2
iii) 64 3 = ( √64 ) = (4)2 = 16 MULTIPLICACIÓN
El producto de dos términos de signos iguales es po-
RAÍZ DE UN PRODUCTO
sitivo, y de signos diferentes es negativo.
Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-
tuar el producto. a) [+] . [+] = [+]
__ __ __
n n n b) [-] . [-] = [+]
√ab = √a . √b
c) [+] . [-] = [-]
Ejemplo:
______ 5 ___ 5 ___ d) [-] . [+] = [-]
5
i) √x10y25 = √x10 . √y25 = x2y5
DIVISIÓN
7
__ 7 __ 7 __
ii) √xy = √x . √y La división de dos términos de signos iguales es po-
sitivo, y de signos diferentes es negativo:
- 17 -
19. [+]
a) ––– = [+]
[+]
b) ––– = [-]
α 1.- Calcular el valor de:
α
[+] [-]
2x+4 + 36(2x-2)
E = ––––––––––––––––––––––––––––––
[-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1)
c) ––– = [+] d) ––– = [-]
[-] [+]
Solución:
Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
POTENCIACIÓN
que:
m
La potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n
––
es positiva; pero la potencia de una base con expo- a
nente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio:
( )
x
2
a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 –––
22
E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
b) [+]impar = [+]
[-] par
2x
2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 –––
2 ( )
α
c) = [+]
Operando apropiadamente:
impar
d) [-] = [-]
16 . 2x + 9 . 2x
E = ––––––––––––––––––––––––––––
RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x
Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a
E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5
–
subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5a
imaginaria, que no existirá en el campo real.
___ Rpta.: = 5
impar
a) √[+] = [+]
2.- Calcular el valor de:
impar
___
-n
b) √[-] = [-]
par
___ ( )
4
–
43 8 3
E = ––––––––––
c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2
___
par Solución:
d) √[+] = cantidad imaginaria
Transformemos el numerador, para escribir con
base 4:
Nota:
-n -n -n
Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
(c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
(8 ) [ ]
_
4
3
_
4
= (23)3 [ ]
= (24)n = (22)2 = 4
sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
Reemplazando en la expresión original:
valor positivo.
43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n
E = –––––––– = ––––––– = – – –
–––
(41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n
EJERCICIO RESUELTOS
E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4
- 18 -
20. Á L G E B R A
3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales:
___________
n
20n+1 36 . 79 . 56 . 212
√
E = ––––––––––
4n+2 + 22n+2
E = ––––––––––––––
36 . 79 . 56 . 211
Solución: simplificando:
Transformando el denominador: 12
E = 2 = 212-11 = 21 = 2
–––
4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211
Rpta.: 2
= 4n+2 + (22)n+1
= 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de:
_
_
-6 3
= 4n+1 (41+1) _ ___
_
= 4n+1 . 5 E= [√ ]
3
√3 __
3√3
√
reemplazando en la expresión, y transformando Solución:
el numerador:
__________ Escribimos la raíz principal en la forma expo-
n nencial:
(4 . 5)n+1
√
E = –––––––––
4n+1 . 5
-6 –
_ √3
–
operando en el numerador:
n
__________
n+1
E = 4 n+1. 5 1
n+1
E=
3 [ ]
√3
–––
3
√3
_
√
–––––––––
4 .5 luego, transformamos los exponentes:
simplificando y descomponiendo la potencia:
[ ] [ ]
31/2 3-1/6 ( )
1 1 -1/6
–– - ––
_______ –––
1/3 2 3 3
__ 3 3
n
5n . 51 n E = (3) = (3)
√
E = ––––––– = √5n = 5n = 5
41
1
-–
[ ] 1 6 1 1 1 1
Rpta.: 5 – 3
6
– -–
6 6
–-–
6 6 0
3 . 3 3
= 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3
4.- Calcular el valor de: 3
216 . 353 . 803 Rpta.: 3
E = –––––––––––––
154 . 149 . 302
6.- Simplificar la expresión:
Solución:
{ [ ]}
1 1 -2
Se sabe que: (a . b)n = an . bn – –
E= m-1 m(m3) 2 5
descomponemos en factores primos, para aplicar
esta ley: Solución:
6 3 4 3
(3 . 7) (7 . 5) (2 . 5)
E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones:
(3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2
aplicando la ley anterior: [ 1
–
E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–}
-2 1
3 2
1 -2
5
36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3
E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-–
34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5
- 19 -
21. 2 - 2+3
––– 2 - 5
–
α Luego:
_________________
α
5 5
E=m =m = m2-1 = m1 = m n
10n + 15n + 6n
–––––––––––––– ––––––––––
Rpta.: m
7.- Calcular:
n
_________
n+1
2__
E=
√ 1
–––––––––––––– =
[10n + 15n + 6n
––––––––––––
(5 . 2 . 3)n ] √
n
(5 . 2 . 3)n
–––––––––
1
E=
√√ –––––– __
n+2
____
––––
4 √4n
Simplificando:
n –––
n
–
n
E = √(30)n = 30 = 301 = 30
Solución:
Rpta.: 30
Trabajando con el denominador:
_____
___ _____
n+2 n+2 9.- Calcular:
√
4 √4n = √4 . 4n/2 _
1
2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n
n+2
___
__
n+2
____ [
E = ––––––– ––––––––
–
23 . 52 + 5n ]
√4 = √4 n n+2
α
1+ –– –––
2 2
=
Solución:
___
____
√(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma-
n+2 n+2 n+2
___
––– n+2
2 2 n+2 n+2
=2
= dos:
_
1
reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n
n
––––––
___ _
[
E = –––––––––––––––––––
23 . 52 + 5n ]
n
E=
√ 2n . 21 n
–––––– = √2n = 2n = 21 = 2
2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b:
_
1 _
1
_
1
Rpta.: 2 10ab - ab n
9ab n
8.- Calcular:
[
E = ––––––––
8b + b ] [ ]
= ––––
9b
=an
_____________
_ _
1 n
n n n
10n + 15n + 6n
E=
√ ––––––––––––
5-2 + 2-n + 3-n
reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2
Rpta.: 2
Solución:
10.- Calcular:
En primer lugar transformemos el denominador:
_____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces
n n
10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448
E=
√ ––––––––––––
1 1 1
–– + –– + ––
5n 2n 3n
[ x.x.x.….x
x.x.x.….x
1442443
x.x.x….x
(4n - 2) veces
x 6 ][ 1
E = –––––––––––––– –––––––––––– ––––
xn+2 ][ ]
Dando común denominador en el denominador
de la raíz: Solución:
_________________
n Cada expresión se reduce:
10n + 15n + 6n
E=
√( ––––––––––––––
6n + 15n + 10n
––––––––––––
5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ]
x3n+6 x2n+3
x4n-2 x6
1
E = –––– –––– ––––
xn+2
- 20 -