Paramagnetismo y ferromagnetismo, simulacion monte carlo, Dinamica metropolis, densidad de estados,modelo de Ising.

1. Paramagnetismo y Ferromagnetismo, Simulaci´on
Monte Carlo, Dinamica de metropolis, Densidad
de estados, Funcion de particion y modelo de
Ising
Kathia Marcela Campo Giraldo,Grupo Materia condensada U de A
9 de abril de 2018
1. Resumen
En este trabajo se estudi´o el paramagnetismo y el ferromagnetismo utilizando
simulaci´on numerica aleator´ıa ”metodo de montecarlo”, se realiz´o la grafica de la
magnetizaci´on promedio vs campo magn´etico.Se simul´o la alineaci´on de los espines,
para esto fue necesario utilizar din´amica metr´opolis, en el caso del paramagneto cu´antico
se estudiaron tres isotermas (esp´ın 1/2 y 3/2) se ajustaron los resultados con las funciones
tangente hiperb´olica y Brillouin, respectivamente. Para el paramagneto cl´asico se tomo
un numero infinito de espines, se ajust´o esta grafica con la funci´on de Langevein,
as´ı mismo para las tres isotermas correspondientes.Posteriormente se demostr´o la Ley
de Estados Correspondientes. Para el ferromagneto, se tom´o una sola isoterma con un
sistema de espines 1/2, evidenciando el fenomeno de hist´eresis, se realiz´o la grafica
de la magnetizaci´on promedio vs la temperatura con el fin de encontrar la transici´on
de fase, y por ultimo se presentan las graficas tipo snapshots para exponer de forma
grafica como varia el sistema de espines al variar la temperatura. Se realizo un analisis
de computacional para el modelo de Ising para el cual son solo posibles dos estados
(Spin up, spin down), se simulo todas las posibles combinaciones del sistema con el
fin de obtener el numero de microestados, para un sistema 2x2, 3x3 y 4x4, esto se hizo
considerndo redes con condiciones de frontera periodicas, una vez obtenido el numero
de microestados se calculo la energia del sistema, y utilizado la relacion entre Cv y el
valor esperado de la enegia, con esta relacion de energia al cuadrado y se hizo el grafico
1

2. Cv vs T, todo con el fin de determinar de forma grafica las diferentes tendencias que
presentan estos sistemas (2x2, 3x3 y 4x4).
1.1. Palabras claves
Paramagnetismo, Ferromagnetismo, Simulaci´on Montecarlo, Dinamica metropoli,
Modelo de Ising, densidad de estados.
2. Introduccion
Magnetizaci´on, imantaci´on o imanaci´on de un material es la densidad de momentos
dipolares magn´eticos que son magnetizados por el metal, un proceso de separaci´on que
se lleva a cabo cuando uno de sus componentes es ferromagn´etico.
Los materiales pueden presentan propiedades magn´eticas, los cuales pueden ser, en
general, paramagn´eticos, ferromagn´eticos y diamagn´eticos, ferrimagnetica, spin glass,
antiferrimagneticas entre otras.
El ferromagnetismo es un fen´omeno f´ısico en el que se produce ordenamiento
magn´etico de todos los momentos magn´eticos de una muestra, en la misma direcci´on y
sentido. Un material ferromagn´etico es aquel que puede presentar ferromagnetismo.
La interacci´on ferromagn´etica es la interacci´on magn´etica que hace que los momen-
tos magn´eticos tiendan a disponerse en la misma direcci´on y sentido. Ha de extenderse
por todo un s´olido para alcanzar el ferromagnetismo.
Existen dos explicaciones a las propiedades de este fen´omeno. Estas son la teor´ıa de
Curie-Weiss del momento localizado junto con la de Stoner del ferromagnetismo.
Hacia 1907, Pierre Weiss publica acerca de un campo molecular que se encuentra
dentro de los materiales ferromagn´eticos. Se cre´ıa que este campo alineaba paralelamen-
te los momentos magn´eticos. En la actualidad se sabe que este campo es generado por
efectos cu´anticos, a decir, intercambios de energ´ıa. Estos dan lugar al alineamiento para-
lelo de los electrones, y en consecuencia a la creaci´on de campos magn´eticos paralelos.
Seg´un la regla de Hund, los electrones con espines paralelos tendr´an menor energ´ıa.
Cuando el material se encuentra debajo de la temperatura de Curie, el campo
molecular va a ser de tal magnitud que es suficiente para magnetizarse, aun si hay
ausencia de un campo aplicado externo.
No ocurre lo mismo cuando se alcanzan temperaturas altas. Lo que ocurre es que
se generar´a una orientaci´on aleatoria del campo, y esto corresponde a un fen´omeno
paramagn´etico.
La ley de Curie-Weiss para el momento localizado, explica la susceptibilidad
magn´etica de los materiales, como de algunos antiferromagnetos y ferrimagnetos.
Sin embargo, esta ley falla a explicar el momento magn´etico de ´atomos individua-
les en algunos materiales ferromagn´eticos, en especial los metales de este tipo. Es
aqu´ı donde entra la teor´ıa de bandas de Stoner.
2.1. Paramagnetismo
El paramagnetismo es la tendencia de los momentos magn´eticos libres (esp´ın u orbi-
tales) a alinearse paralelamente a un campo magn´etico. Si estos momentos magn´eticos
est´an fuertemente acoplados entre s´ı, el fen´omeno ser´a ferromagnetismo o ferrimagne-
tismo. Cuando no existe ning´un campo magn´etico externo, estos momentos magn´eticos
est´an orientados al azar. En presencia de un campo magn´etico externo tienden a alinearse
2

3. paralelamente al campo, pero esta alineaci´on est´a contrarrestada por la tendencia que
tienen los momentos a orientarse aleatoriamente debido al movimiento t´ermico.
Los materiales paramagn´eticos est´an constituidos por ´atomos y mol´eculas que
tienen momentos magn´eticos permanentes (”dipolos”magn´eticos) incluso en ausencia
de campo. Estos momentos magn´eticos tienen su origen en los espines de electrones
desapareados en los orbitales moleculares presentes en muchos metales y materiales
paramagn´eticos.
Esto tiene consecuencias cuando sobre dicho material se aplica un campo magn´etico.
Puesto que un esp´ın alineado con el campo tienen menos energ´ıa que los anti-alineados
y la energ´ıa conjunta de todos los electrones libres debe sumar aproximadamente la
energ´ıa de Fermi, mantener esa energ´ıa constante implica que algunos ´atomos anti-
alineados deben alinearse con el campo. En ausencia de campo las poblaciones de
espines alineados y anti-alineados es m´as o menos la misma, pero en presencia de
campo debe aumentar el n´umero de alineados y decrecer el n´umero de desalineados.
Como el n´umero de momentos magn´eticos alineados finalmente supera al de anti-
alineados existe una magnetizaci´on neta que produce un campo magn´etico que se suma
al campo magn´etico externo.
3. Marco teorico
3.1. Paramagnetismo Cu´antico
Para el paramagneto cu´antico debemos notar que el momentum angular de cada
mol´ecula est´a cuantizado, por lo que los valores que toma el momento dipolar magn´etico
est´an restringidos. Si el campo magn´etico externo est´a en direcci´on z, entonces el
momento dipolar magn´etico toma la forma
µ = gLµBJ
Donde gL es el Factor de Land´e, µB es el Magnet´on de Bohr, y J = L + S es el
momentum angular total, que consta de la suma de el momentum orbital L y el esp´ın S.
Como hicimos anteriormente, para calcular la magnetizaci´on es necesario tener el
momento dipolar magn´etico promedio, por lo que necesitamos obtener la funci´on de
partici´on can´onica, y para esta debemos tener una expresi´on para la energ´ıa. Es posible
llegar entonces a los siguientes resultados:
Em = −gLµBHm
Z1(H, T) =
sinh η J + 1
2
sinh η
2
µz = gLµBJBJ (η)
Donde BJ (η) es la Funci´on de Brillouin, dada por la expresi´on
BJ (η) =
1
J
J +
1
2
coth η J +
1
2
−
1
2
coth
η
2
y η = gLµBH
KBT .
Teniendo encuenta lo anterior, se obtiene entonces que la magnetizaci´on del para-
magneto cu´antico es
3

4. M(H, T) = NgLµBJBJ (η)
Para los casos extremos del campo magn´etico y la temperatura se tienen las siguien-
tes propiedades
- Magnetizaci´on de Saturaci´on: H → ∞ ´o T → 0 ⇒ M ≈ NgLµBJ -
Regimen lineal con respecto al campo: H → 0 ´o T → ∞ ⇒ M ≈
Ng2
Lµ2
BJ(J+1)
3KB
H
J
Al igual que el paramagneto tipo Ising, se obtiene la magnetizaci´on de saturaci´on
para campos muy grandes, y para campos peque˜nos la proporcionalidad M ∼ H, donde
se observa que la magnetizaci´on es nula a falta de campo externo.
3.2. Paramagnetismo Cl´asico
En el paramagnetismo cl´asico, el momentum dipolar magn´etico no est´a cuantizado,
por lo que es necesario considerar el ´angulo de proyecci´on del momentum con el campo
externo. La funci´on de partici´on can´onica pasa de ser discreta a continua.
Z1(H, T) =
2π
0
dφ
π
0
dθ sin θeβµH cos θ
= 4π
sinh x
x
donde x = βµH
La magnetizaci´on de saturaci´on es Nµ, y el r´egimen lineal con respecto al campo
es Nµ2
H
3KBT , de lo que podemos observar que en ausencia de campo externo, la magnetiza-
ci´on es nula, y para campos magn´eticos suficientemente grandes, la magnetizaci´on es
constante.
3.3. Ferromagnetismo
Un material ferromagn´etico, a diferencia del paramagn´etico, tiene interacci´on esp´ın-
esp´ın, adem´as se encuentra que a temperaturas menores a la temperatura de Curie, el
sistema presenta magnetizaci´on incluso sin presencia de campo magn´etico externo. Esto
debe ser tenido en cuenta en el hamiltoniano por part´ıcula, por lo que la energ´ıa toma la
siguiente forma:
Er = −Jσr
j
σj − σrH
Donde el primer t´ermino muestra la interacci´on del esp´ın σr con sus vecinos, y el
segundo es el t´ermino Zeeman, es decir, la interacci´on del ep´ın con el campo magn´etico
externo.
Notese que en ausencia de campo magn´etico, la energ´ıa es diferente de cero, es
aqu´ı donde se presenta el fen´omeno de Hist´eresis, lo que significa que el material
tiende a conservar sus propiedades magn´eticas luego de haber sido afectado por el
campo. En los casos extremos donde el sistema se encuentra en saturaci´on, las curvas
de magnetizaci´on con respecto al campo son diferentes, mostrando convergencia solo
en esos puntos saturados. Si el sistema se encuentra en un ba˜no t´ermico mayor a la
temperatura de Curie, el comportamiento encontrado ser´a paramagn´etico, y se describe
con los numerales anteriores.
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5. 3.4. Metodo de montecarlo
El m´etodo de Montecarlo es un m´etodo no determinista o estad´ıstico num´erico,
usado para aproximar expresiones matem´aticas complejas y costosas de evaluar con
exactitud. El m´etodo se llam´o as´ı en referencia al Casino de Montecarlo (M´onaco)
por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de n´ume-
ros aleatorios. El nombre y el desarrollo sistem´atico de los m´etodos de Montecarlo
datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la
computadora.
El uso de los m´etodos de Montecarlo como herramienta de investigaci´on, proviene
del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba at´omica durante la Segunda Guerra
Mundial en el Laboratorio Nacional de Los ´Alamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba
la simulaci´on de problemas probabil´ısticos de hidrodin´amica concernientes a la difusi´on
de neutrones en el material de fisi´on. Esta difusi´on posee un comportamiento eminente-
mente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de raytracing
para la generaci´on de im´agenes 3D.
En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam
refinaron esta ruleta y los m´etodos ”de divisi´on”de tareas. Sin embargo, el desarrollo
sistem´atico de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en
1948. Aproximadamente en el mismo a˜no, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam
obtuvieron estimadores para los valores caracter´ısticos de la ecuaci´on de Schr¨odinger
para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este m´etodo.
3.5. Din´amica de Metr´opolis
Para simular la alineaci´on de los espines con el campo es necesario tener encuenta
las probabilidades de que un esp´ın haga una transici´on de un estado a otro, es decir, que
se invierta. Para esto se utiliza la din´amica de Metr´opolis, si la energ´ıa necesaria para
pasar de un estado al otro es menor a cero, el spin podr´a invertirse, pero en el caso de
que esta energ´ıa sea mayor a cero, no implica que no se pueda invertir, pues sobrevive
una rata de probabilidad de transici´on dada por
W(µ → ν)
W(ν → µ)
= e−β∆E
Si este valor es menor o igual a un valor aleatorio entre 0 y 1, entonces el esp´ın
podr´a invertirse.
De esta forma se simula la alineaci´on de los espines, la cual depende totalmente de
la energ´ıa del sistema, por ende, de la temperatura y del campo magn´etico externo
3.6. Modelo de Ising
El modelo de Ising es un modelo f´ısico propuesto para estudiar el comportamiento
de materiales ferromagn´eticos. Se trata de un modelo paradigm´atico de la Mec´anica
Estad´ıstica, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque
es de los pocos modelos ´utiles (no s´olo pedag´ogicamente) que tiene soluci´on anal´ıtica
exacta (esto es, sin c´alculos aproximados). Esto lo hace muy ´util para ensayar nuevos
tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.
El modelo de Ising fue inventado por el f´ısico Wilhelm Lenz (1920), que lo con-
cibi´o como un problema para su alumno Ernst Ising para demostrar que el sistema
presentaba una transici´on de fase. Ising (1925) demostr´o que en una dimensi´on no
5

6. exist´ıa tal transici´on de fase, resolvi´endolo en su tesis de 1924,1 aunque le provoc´o una
profunda desmoralizaci´on e hizo que renunciara a la f´ısica estad´ıstica. El modelo bi-
dimensional de Ising de ret´ıcula cuadrada es mucho m´as dif´ıcil, y solamente se le dio
una descripci´on anal´ıtica mucho m´as tarde, por Lars Onsager (1944), que demostr´o que
la f´ısica estad´ıstica era capaz de describir transiciones de fase (pues como se ver´a,
´este modelo presenta una) lo que termin´o de consolidar definitivamente la mec´anica
estad´ıstica. Por lo general, se resuelve mediante un m´etodo de transferencia de matriz,
aunque existen diferentes enfoques, m´as relacionados con la teor´ıa cu´antica de campos.
El hamiltoniano que describe este sistema tiene la forma:
H =
i,j
−Jσiσj
3.7. 16 configuraciones para estados N=2x2
3.8. Relacion calor especifico Energia
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7. 4. Resultados y discusion
Para el Modelo de Ising se analizaron tres situaciones, la primera para n=2 la segun-
da n=3 y la ultima para n=4, siendo n el numero de particulas. El tiempo que se tardo el
computador realizando el primer histograma fue de 0.020881 s para el segundo histo-
grama fue 0.128688 s y para el ultimo de n=4 fue 25.896954 s, esto claramente muestra
que a mayor numero de particulas mayor es el numero de configuraciones diferentes
de los microestados y evidentemente esto se ve reflejado en el costo computacional, ya
que para nuestro sistema de 4 particulas el tiempo de computo fue mas de 25 s. En los
histogramas se muestra que a mayor numero de particulas hay mayor numero de configu-
raciones posibles de microestados para distintos valores de energia (ver figura 13). En el
apartado 3.8 se demostro la relacion matematica entre Cv, la energia media del sistema
y la temperatura, en el grafico 14 podemos observar como varia la capacidad calorifica
especifica con la temperatura, vemos que para los tres sistemas se cumple la misma
tendencia en cuanto a la ”forma”de las graficas. Podemos observar que a medida que
aumenta el numero de particulas aumenta el pico maximo de la gaussiana , por lo tanto a
mayor numero de particulas, mayor numero de microestados posibles y mayor capacidad
calorifica maxima. Para hacer el analisis de sistemas paramagneticos se evaluaron tres
casos el primero fue paramagnetismo cu´antico tipo Ising con esp´ın 1/2 el segundo fue
Paramagnetismo de Heisenberg cu´antico con esp´ın 3/2 y finalmente Paramagnetismo
de Heisenberg cl´asico con n´umero de spines ”∞”Para las tres situaciones se realizo un
analisis grafico de la magnetizacion promedio vs el campo magnetico externo,se realizo
un ajuste con una funcion matematica diferente para spin=1/2 el ajuste fue tanh(n), para
el caso de spin=3/2 el ajuste fue con la funcion de Brillouin, y para spin infinito fue con
la funcion de Langevin; se puede apreciar de las graficas que estas funciones se ajustan
muy bien a las curvas obtenidas utilizando el algoritmo de dinamica de metropolis, luego
este algoritmo matematico es ”bueno”para modelar este tipo de sistemas estadisticos,
vemos que se ajusta muy bien independientemente de la temperatura a la cual se modele
el sistema; vimos que se cumple la ley de estados correspondientes para los difertes
sistemas estudiados. Al hacer el analisis del Ferromagnetismo de Heisenberg con esp´ın
1/2 se grafic´o la magnetizaci´on promedio vs el campo magnetico para una temperatura
menor a la temperatura de Curie. Para obtener el fen´omeno de Hist´eresis, se grafic´o la
magnetizaci´on promedio vs la temperatura con el fin de observar la transici´on de fase y
encontrar hasta qu´e temperaturas el sistema conserva su caracter ferromagnetico. Por
ultimo se graficaron varios snapshots del arreglo de espines para observar c´omo cambia
la magnetizaci´on promedio en funcion de la temperatura, comprobando con esto que
al aumentar la temperatura aumenta el c¸aos del sistem”,luego se pierden las regiones
magneticas ”gradualmente2
a que a medida que aumenta la temperatura, el termino KbT
predomina sobre el termino m*H esto hace que se el material pierda comportamiento
magnetico y comience a comportarse como un sistema paramagnetico despu´es de llegar
a su temperatura critica. .
7

8. 5. Paramagneto Cu´antico tipo Ising con Esp´ın S=1/2
5.1. ISOTERMA T:10 C, T:40 C, T:70 C
(a) T=10°C (b) T=40°C (c) T=70°C
Figura 1: Modelo de Ising Isotermas S=1/2
5.2. Superposicion de Isotermas con Esp´ın S=1/2
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9. 5.3. Ley de estados correspondientes Modelo de Ising
6. Modelo de Heienberg cuantico, Isotermas sp´ın S=3/2
6.1. ISOTERMA T:10 C, T:40 C, T:70 C
(a) T=10°C (b) T=40°C (c) T=70°C
Figura 2: Modelo de Heisenberg Cuantico, Isotermas S=3/2
9

10. 7. Ley de estados correspondientes Modelo de Heisen-
berg Cuantico
8. Modelo de Heienberg clasico, Isotermas
8.1. ISOTERMA T:10 C, T:40 C, T:70 C
(a) T=10°C (b) T=40°C (c) T=70°C
Figura 3: Modelo de Heisenberg Isotermas S= infinito
10

11. 9. Ley de estados correspondientes Modelo de Heisen-
berg Clasico
10. Magnetizacion promedio vs Campo magnetico, His-
teresis
11

12. 11. Magnetizacion promedio vs Temperatura, Transi-
cion de Fase
12. Distribucion Momentos dipolares
12

13. 13. Histogramas Modelo de Ising
(a) n=2 (b) n=3 (c) n=4
Figura 4: Histogramas n=2,n=3,n=4
13.1. Grafico Cv vs T
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14. 14. Conclusiones
-Podemos concluir del modelo de Ising en sistemas de dos particulas, tres partiiculas
y cuatro particulas, que a mayor numero de particulas hay mayor numero de configu-
raciones posibles, ”posibles microestados del sistemac¸ada uno asociado con un valor
de energia, por lo tanto a mayor numero de particulas hay mayor numero de energias
asociadas a cada configuracion, esto se evidencio en los histogramas realizados.
-De la curva de Cv vs T vemos que a medida que aumenta el numero de particulas
del sistema, el maximo de la curva aumenta, esto quiere decir que el valor maximo de la
capacidad calorifica varia de forma lineal con el numero de particulas del sistema.
- Podemos apreciar la potencia que tiene el m´etodo de Montecarlo con din´amica
Metr´opolis aplicado a la simulacion de transiciones de estados bajo alteraciones externas,
en este caso,un campo magnetico externo altera el sistema de spin 1/2, spin 3/2 y spin
infinito. Se pone de manifiesto como los resultados simulados se ajustan de forma
adecuada a las curvas teoricas.
-En el caso de un material ferromagnetico podemos apreciar que en ausencia de
campo magnetico aplicado, a medida que se aumenta la energia termica debido al
umento de la temperatura, se pierden gradualmente los dominios magneticos esto
implica la perdida de la magnetizacion promedio del material, hasta el punto como se
puede observar en la grafica que para temperaturas de 20°C ya no hay magnetizacion
promedio, se pierden los dominios magneticos y el material pasa a ser paramagnetico.
- En los graficos de distribucion de momentos dipolares podemos observar como
anteriormente se menciono que a medida que aumenta la temperatura los dominios
magneticos se van haciendo cada vez mas peque˜nos hasta el punto que para temperaturas
muy altas se pierde casi toda la magnetizacion del materia,cuando la temperatura es
superiores a Tc el material se vuelve paramagnetico.
15. Referencias
- Curso de F´ısica Estad´ıstica. Jordi Ort´ın, Jos´e M. Sancho. Pags 113- 120 - Fotos de
las clases del profesor Johans Restrepo C´ardenas -wikipedia.org.wiki.Modelo de Ising
-wikipedia.org.wiki.M´etodo de Montecarlo
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