Gr 11 Math

Departamento de Educación de Puerto Rico

NOTIFICACIÓN DE POLÍTICA PÚBLICA

El Departamento de Educación no discrimina por razón de raza, color, género,
nacimiento, origen nacional, condición social, ideas políticas o religiosas, edad o
impedimento, en sus actividades, servicios educativos y oportunidades de empleo.

NOTA ACLARATORIA

Para propósitos de carácter legal en relación con la Ley de Derechos Civiles de 1964,
el uso de los términos maestro, director, supervisor, estudiante y cualquier otro que
pueda hacer referencia a ambos géneros, incluye tanto al masculino como al femenino.

NOTA ACLARATORIA

La información contenida en este folleto se publica en acuerdo con el Departamento de
Educación de Puerto Rico como apoyo a las labores que se realizan en el salón de clase
cuya intención es el éxito académico de los estudiantes. Los ejemplos presentados son
sólo una muestra que ejemplifica la forma y el estilo de las Pruebas Puertorriqueñas de
Aprovechamiento Académico. En ningún momento se intenta cubrir la totalidad de las
expectativas que forman parte de la evaluación ni de algún modo sustituir o limitar la
enseñanza con lo que aquí se presenta. Reiteramos que este folleto informativo es sólo una
muestra y que pudiera no incluir todos los estilos de pregunta utilizados en las PPAA.

INTRODUCCIÓN

Las nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico (PPAA) son un
instrumento de evaluación totalmente renovado que responde a los lineamientos y demandas de
la educación actual. Los nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado en vigencia
desde 2008, presentaron a la comunidad educativa de Puerto Rico el reto de actualizar su sistema
de evaluación.

Los folletos informativos que ahora presentamos a los estudiantes, padres y maestros,
tienen el propósito de ser una herramienta útil para conocer mejor las características de las
nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico (PPAA) que se administrarán a
partir de abril del 2009.

En cada uno de los folletos hay explicaciones y ejemplos que permitirán al educador, al
padre de familia y a los estudiantes entender mejor la forma en que serán evaluados los
conocimientos y destrezas adquiridos en el salón de clase. Este material ayudará al maestro y al
personal escolar en general, a integrar los estándares y expectativas a la instrucción diaria en el
salón de clases. A los padres, les ayudará a tener una visión general de lo que se evalúa y así
tener mayor posibilidad de ayudar a sus hijos a prepararse para esta evaluación.

Los nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado

Durante 2007-2008, los Estándares de Contenido y Expectativas de Grado establecidos
en el 2000, fueron revisados mediante un largo proceso en el que maestros puertorriqueños y
especialistas en evaluación trabajaron arduamente.

1

© 2008 Derechos Reservados Conforme a la Ley 11º grado • Matemáticas PPAA • Folleto Informativo

Los estándares resultantes de este trabajo, así como las expectativas de aprendizaje,
forman un mejor instrumento para guiar la enseñanza de los estudiantes puertorriqueños en el
siglo XXI y para prepararlos para tener éxito en un mundo cada vez más competitivo. Las
expectativas de aprendizaje están ahora definidas claramente para cada grado y las destrezas a
desarrollar se presentan ahora con más detalle.

Los estándares y expectativas de aprendizaje establecen criterios claros y medibles que
constituyen las metas para todos los estudiantes y, en conjunto, forman la pauta a seguir para que
los educadores diseñen la instrucción. Los estándares y expectativas de aprendizaje constituyen
lo que los estudiantes deben saber y hacer. Se espera que al finalizar el año escolar, todo
estudiante posea los conocimientos y las destrezas establecidos para el grado que cursa.

Los estándares educativos dan solidez a los acuerdos sobre los propósitos de la educación
y las metas generales de aprendizaje. Los estándares y expectativas están diseñados para que
sirvan de vínculo entre los componentes del sistema educativo. Eso propicia un ambiente en el
que se permite la planificación unificada entre los maestros del grado, entre grados y entre
niveles. Asimismo, los estándares están delineados de forma tal que permiten la interrelación
entre el currículo, los libros de texto, la capacitación docente y las pruebas de aprovechamiento
académico.

El establecimiento de estándares educativos obedece a la necesidad de optimar la calidad
educativa y la evaluación de la misma para establecer mecanismos de intervención en caso
necesario. Al evaluar el sistema educativo en su totalidad, se favorece la toma de decisiones para
incidir en el mejoramiento del proceso y que a su vez redunde en el beneficio de la población
estudiantil. La búsqueda de la calidad es un proceso que debe ser supervisado y los estándares
proporcionan las herramientas necesarias para llevar a cabo tal proceso.

2


Las nuevas Pruebas Puertorriqueñas de Aprovechamiento Académico, PPAA

Una vez se establecen nuevos Estándares de Contenido y Expectativas de Grado,
corresponde revisar el sistema de medición PPAA para que esté alineado a estas nuevas
expectativas.

A su vez, las nuevas PPAA cumplen con los requisitos de la Ley NCLB (No Child Left
Behind) del 2001. Estas pruebas permitirán entregar a los maestros y administradores valiosa
información sobre el desempeño de los estudiantes. En las manos de maestros y planificadores
escolares, esta información será una herramienta útil para impulsar a cada estudiante a alcanzar
su máximo potencial.

Para efecto de la evaluación a nivel estatal se consideran estándares y expectativas
específicas seleccionadas por comités de maestros. La selección corresponde al contenido, al
proceso y a la profundidad de pensamiento que requieren tales expectativas. En ese contexto, las
PPAA presentan ítems o preguntas de prueba que evalúan una variedad de conceptos de diversas
destrezas, varios niveles de conocimiento y dificultad. Una de las novedades más notables de las
nuevas PPAA es la utilización de ítems de respuesta extendida en los cuales se espera que los
estudiantes escriban su contestación y demuestren su conocimiento.

Además de estar constituida por ítems en los cuales el estudiante construye su propia
respuesta e ítems de selección múltiple, las PPAA consideran los niveles de profundidad del
conocimiento (NPC) requerido para las expectativas que se evalúan. Los ítems están escritos de
acuerdo con tres de los niveles de profundidad del conocimiento según fueron desarrollados por
Norman Webb¹ y adoptados por el Departamento de Educación de la siguiente manera:

NPC – 1 Recordar y reproducir
NPC – 2 Destrezas y conceptos/Razonamientos básicos
NPC – 3 Pensamiento estratégico/Razonamiento complejo

3


La distribución de ítems entre los primeros tres niveles funge como método de alineación
para examinar el equilibrio entre la demanda cognoscitiva de los estándares y la demanda
cognoscitiva de la evaluación.

¹ Webb, Norman L. Web Alignment Tool (WAT) Training Manual
(Washington, DC: Council of Chief State School Officers, 2005).

4


ORGANIZACIÓN DE
LOS FOLLETOS INFORMATIVOS PPAA

Los folletos informativos se han desarrollado para cada uno de los grados del área de
contenido a evaluar. Mientras cada folleto contiene información única y específica de acuerdo
con el grado y la materia, todos los folletos incluyen información general que es considerada
crítica y que se debe tomar en cuenta:

una descripción general del área de contenido en las PPAA,
una explicación de la importancia de los estándares y expectativas para el
aprendizaje del estudiante,
los estándares y expectativas que se evalúan en esa área de contenido en las
PPAA,
ejemplos de ítems que muestran algunas de las maneras en que las expectativas
son evaluadas a los niveles de profundidad del conocimiento (NPC) apropiados
incluyendo preguntas en las que el estudiante debe producir una respuesta, no sólo
seleccionarla y
rúbricas para la evaluación de las preguntas de respuesta corta o extendida.

Se recomienda que se utilicen los folletos informativos del grado que se enseña así como
los de los grados anterior y posterior. De esa manera se tendrá una visión más amplia de la
evaluación en términos generales.

5

Perspectiva General de las PPAA-Matemáticas

El propósito del folleto informativo en el área de Matemáticas

El propósito de este folleto informativo es ayudar a los estudiantes, padres y miembros de
la comunidad a entender mejor las PPAA de Matemáticas.
La prueba se basa en la versión revisada de los estándares y expectativas de aprendizaje.
Estos parámetros representan un componente esencial para promover el cambio en nuestro
sistema educativo. Además, contribuyen a conectar los cambios curriculares con el desarrollo
profesional de los maestros, los métodos de enseñanza y la evaluación del aprendizaje del
estudiante.
Específicamente, estos estándares requieren que los maestros de matemáticas den
especial énfasis e importancia a:
• la solución de problemas
• la comunicación en la matemática
• el razonamiento matemático
• la representación
• la integración de la matemática con otros contenidos
• la integración de los temas transversales del currículo

Los estándares enuncian altas expectativas de ejecución para todos los estudiantes;
permiten flexibilidad en las formas en que los maestros conducen sus clases y en el aprendizaje
de los estudiantes y ayudan al maestro a definir su currículo sin restringir ideas creativas o el uso
de métodos o técnicas de instrucción. Además, sirven como base para el desarrollo de las
Expectativas Generales por Grado y para definir el perfil de destrezas que los estudiantes deben
conocer y demostrar durante sus estudios escolares.

6

Desarrollo de la prueba

Educadores puertorriqueños y especialistas en evaluación se han asegurado de que las
preguntas estén alineadas con las destrezas y conocimientos de los Estándares. Ellos han
participado en cada etapa de desarrollo de las PPAA de Matemáticas.
Estas etapas incluyen el diseño de las pruebas, la redacción de prototipos de pregunta y
preguntas reales que forman parte

de la prueba. Comités de educadores de Puerto Rico revisan las preguntas que se incluyen en la
prueba antes y después de que éstas sean enviadas a una prueba de campo.
Los estándares y expectativas de aprendizaje y las PPAA responden a un requerimiento
que establece la Ley de Educación Federal “No Child Left Behind”, NCLB 2001.

Formato de la prueba

La prueba de Matemáticas de las PPAA incluye tres tipos de preguntas para los
estudiantes de los grados 3 a 8 y 11:
• de selección múltiple
• de respuesta corta
• de respuesta en una cuadrícula

Las respuestas a las preguntas de selección múltiple deben marcarse en una hoja de
contestaciones que se provee por separado del folleto de la prueba. Las preguntas de selección
múltiple se marcan llenando un pequeño círculo que corresponde a la respuesta que el estudiante
ha elegido, ya sea A, B, C o D. Un dispositivo automático lee las respuestas para computar
aciertos y errores.

7

Preguntas de respuesta corta

Estas preguntas han sido incluidas por primera vez para dar oportunidad al estudiante de
mostrar conocimientos y destrezas más complejos en una forma que se asemeja más a la realidad
del salón de clase. Las preguntas de respuesta corta permiten elevar el nivel de profundidad de
los conocimientos y destrezas a evaluarse, ya que no tienen alternativas de respuesta, sino que
deben ser contestadas por el estudiante por medio de descripciones, razonamientos verbales,
gráficos o numéricos o explicaciones que el estudiante debe producir. La hoja de contestaciones
incluye espacios adecuados para contestar estas preguntas. En estos espacios pueden incluirse o
no diagramas u otros elementos gráficos que ayuden al estudiante a hacer tablas o cálculos.
Las preguntas de respuesta corta incluidas en las PPAA de Matemáticas pueden tener un
valor de 0 a 2 puntos. Para asignar la puntuación se utiliza una rúbrica genérica (página 41) y
ejemplos típicos de respuestas reales en cada nivel de puntuación que son seleccionados
mediante un minucioso proceso de análisis en el que participan educadores puertorriqueños y
especialistas en instrumentos de evaluación. Es importante que el estudiante conteste cada una de
las partes de la pregunta para aspirar a obtener la máxima puntuación.

Preguntas que se contestan en una cuadrícula

Finalmente, las preguntas que se contestan en una cuadrícula son preguntas que requieren
que el estudiante haga cálculos y escriba la respuesta numérica al problema sin tener a la mano
opciones que puedan guiarlo. La respuesta debe anotarse en una cuadrícula como la siguiente:

8

El estudiante debe anotar su respuesta numérica en los cuadros de la primera fila,
cuidando de ubicar correctamente los dígitos en relación con el punto decimal que se incluye en
la tercera columna de derecha a izquierda. Además, debe llenar los círculos que correspondan al
dígito anotado en cada cuadro. Estas respuestas, que tienen un valor de 1 punto cuando son
correctas, también son leídas por un dispositivo automático.

Hojas de fórmulas y conversiones de medidas

Los estudiantes dispondrán de una hoja con fórmulas y conversiones de medidas que
pueden usar para ayudarse a contestar las preguntas incluidas en la prueba. Estas son diferentes
para cada nivel y se incluyen en este mismo folleto en la página 39.

Ejemplos de preguntas

Padres y maestros encontrarán en este folleto ejemplos de preguntas para cada estándar
que le serán útiles en la preparación de los estudiantes antes de la administración de la prueba.
Las preguntas siguen las mismas pautas de las preguntas que el estudiante encontrará en la
prueba real.
Las preguntas requieren de diferentes niveles de profundidad del conocimiento (NPC)
para ser contestadas.

9

Distribución de puntos de la prueba de Matemáticas para 11º grado

Estándar de las PPAA Número máximo de puntos
Números y operación 6
Álgebra 21
Geometría 18
Medición 6
Análisis de datos y probabilidad 9
Total 60

10

Estándar de contenido 1: Numeración y operación

Estándar de contenido 1: Numeración y operación
En este nivel, el énfasis se pone en un nuevo concepto, el concepto de vector, en
preparación del estudiante para un estudio más complejo de los números y su aplicación a otras
ramas del conocimiento.

Estándar, expectativa e indicadores

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 1: NUMERACIÓN Y OPERACIÓN
El estudiante es capaz de entender los procesos y conceptos matemáticos al representar,
estimar, realizar cómputos, relacionar números y sistemas numéricos.

Aplica los conceptos de los vectores en dos dimensiones para representar, interpretar y
resolver problemas.
EXPECTATIVA

Define vectores en dos dimensiones como objetos que tienen magnitud,
N.SN.11.1.1
dirección y su representación geométrica.
1

Reconoce los vectores como un sistema que tiene algunas de las
N.SO.11.1.2
propiedades de los números reales.
Ilustra y aplica las propiedades de suma de vectores y multiplicación por
N.OE.11.1.3
un escalar para representar, investigar y resolver problemas.

11

1 ¿Cuál de las siguientes alternativas
es la representación algebraica del
siguiente vector?

A* M = (−11, 8)

B M = (−11, −8)

C M = (−8, −11)

D M = (−8, 11)

N.SN.11.1.1

12

2 Si G = (−2, 5) , ¿cuál de las siguientes gráficas representa −3G ?

A C

B D*

N.SO.11.1.2
13

3 ¿Cuáles son las operaciones con
vectores para obtener S ?

A* P + Q + R = S

B P(Q + R) = S

C P+Q− R = S

D ( P + Q) ÷ R = S

N.OE.11.1.3

14

Estándar de contenido 2: Algebra
En el nivel superior el estudiante reconoce, describe y generaliza patrones y relaciones y
reconoce cuándo una relación es una función. Analiza las diferentes transformaciones de las
funciones trigonométricas que lo capacitarán para estudiar fenómenos periódicos de la vida real
y para enfrentar cursos avanzados de precálculo y cálculo. Además se ampliará el desarrollo de
conceptos de funciones hallando inversas de funciones, la composición y descomposición,
comparar y contrastar las distintas características de funciones y aplicar estos conceptos en la
resolución de problemas.
En este nivel se enfatiza en el análisis, razonamiento y descubrimiento de técnicas para
hacer gráficas de funciones, además del uso de modelos como herramienta para la solución de
problemas.

15


ESTÁNDAR DE CONTENIDO 2: ALGEBRA
El estudiante es capaz de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen
relaciones de cantidad, funciones, análisis de cambios, empleando números, letras (variables) y
signos.

Investiga el comportamiento de las funciones con sus respectivas ecuaciones. Compara
y contrasta las propiedades de las diferentes familias de funciones.

Determina el dominio y el alcance de las funciones a partir de sus
A.PR.11.2.1
diferentes representaciones.
Identifica y aplica las relaciones entre los puntos importantes de una
EXPECTATIVA

función (ceros, puntos máximos, puntos mínimos), su comportamiento en
A.PR.11.2.2
los infinitos, la gráfica de la función, la naturaleza y el número de ceros
de la función y su representación simbólica.
2

Determina el número y la naturaleza de soluciones de una ecuación
A.PR.11.2.3
polinómica con coeficientes reales sobre los números complejos.

Reconoce y describe la continuidad, las asíntotas, la simetría (funciones
A.PR.11.2.4
pares e impares) y relaciona estos conceptos con la gráfica de la función.
Compara y contrasta las características de las diferentes familias de las
funciones: polinómicas, racionales, radicales, potencia, logarítmicas,
A.PR.11.2.5
trigonométricas y funciones definidas por partes, representadas de
múltiples formas.

Examina y aplica las transformaciones básicas de las funciones e investiga la
EXPECTATIVA

composición y descomposición de las funciones dentro de un contexto real.

Encuentra, interpreta y traza la gráfica de la suma, la resta, la
A.PR.11.3.1
3

multiplicación y la división (cuando existe) de dos funciones.
Compone y descompone dos funciones, determina su dominio, su alcance
A.PR.11.3.2 y su gráfica. Utiliza la composición de funciones para determinar si las
funciones son inversas.

16

Utiliza las transformaciones de las funciones trigonométricas, sus propiedades y sus
gráficas para crear modelos y resolver ecuaciones trigonométricas y una variedad de
EXPECTATIVA

problemas.
4

Traza la gráfica de funciones de la forma: f(t) = + A sin (Bx + C) + D e
interpreta A, B, C y D en términos de amplitud, frecuencia, periodo,
A.PR.11.4.4
deslizamiento vertical y cambio de fase.

17

4 ¿Cuál de las siguientes alternativas 5 ¿Cuál de las siguientes razones
representa el alcance de la función explica por qué esta función tiene
representada aquí? dos ceros?

x y f ( x) = 2 x 2 − 3x − 2

2 9 A Su gráfica está abierta hacia arriba y

–3 8 el punto mínimo está por encima del

–6 2 eje x.

5 –3
–1 –6 B* Su gráfica está abierta hacia arriba y

6 5 el punto mínimo está por debajo

–8 –1 del eje x.

–9 6
C Su gráfica está abierta hacia abajo y
el punto máximo está por debajo
A* {–6, –3, –1, 2, 5, 6, 8, 9} del eje x.
B {–9, –8, –6, –3, –1, 2, 5, 6}
C {–6, –3, –1, –2, 5, 6, 8, 9} D Su gráfica está abierta hacia abajo y
D {–9, –8, –6, –3, 1, 2, 5, 6} el punto máximo está por encima
del eje x.
A.PR.11.2.1

A.PR.11.2.1

18

6 Observa la gráfica de la función 7 ¿En qué punto no está definida la
polinómica siguiente función?
2 1 1
f ( x) = − ( x + 3)( x − 2)( x − 1) + . f ( x) = + 10
15 2 x−2

A y = –2
B y=2
C* x = 2
D x = –2

A.PR.11.2.4

8 ¿Cuál es la diferencia entre la
función polinómica f ( x) = x + 4 y la

x 2 + 7 x + 12
función racional g ( x) = ?
x+4
¿Cuál de las siguientes alternativas
indica el número de soluciones reales A g(x) no tiene intercepto con el eje y.
de esta función polinómica? B f(x) no tiene un límite máximo.
C f(x) es una recta y g(x) es una
A 0 curva.
B 1 D* g(x) no está definida en un punto.
C 2
D* 3 A.PR.11.2.5

A.PR.11.2.3

19

9 ¿Cuál de las siguientes gráficas representa la suma de las funciones g(x) + h(x)?
g ( x ) = −2 x 2 + 2
h ( x ) = −2 x + 4
A C*

B D

A.PR.11.3.1
20

10 Observa las siguientes funciones.
f ( x) = 3 x − 5
g ( x) = 2 x 2 + 3

A. Encuentra f ( x) g ( x) .
B. Describe la gráfica de f ( x) g ( x) .
Recuerda que debes anotar tu respuesta en la hoja de contestaciones. No olvides
contestar todas las partes de la pregunta.

A.PR.11.3.2

Descripción de la respuesta de 2 puntos:
La respuesta debe incluir la función f ( x) g ( x) = 6 x 2 + 4 y debe indicar que la gráfica es
una parábola, dando algún dato relevante sobre su gráfica como:
• abre hacia arriba
• su mínimo es y = 4
• su punto mínimo está por encima del eje x
• su alcance es y ≥ 4
Una gráfica parecida a la siguiente es aceptable.

21

11 Observa la gráfica de la función
f ( x) = 2sen(3 x + 3) + 3 .

¿Cuál será la ecuación si la gráfica
se desliza tres unidades hacia
arriba?

2
A f ( x) = sen(3 x + 3) + 3
3
B f ( x) = 2sen( x + 3) + 3
C f ( x) = 2sen(3 x + 6) + 3
D* f ( x) = 2sen(3 x + 3) + 6

A.PR.11.4.4

22

Estándar de contenido 3: Geometría

En este nivel, el estudiante se concentra principalmente en dos áreas: funciones
trigonométricas y razonamiento geométrico. En el primer punto, investiga las propiedades de las
funciones trigonométricas y las aplica a la resolución de problemas específicos como triángulos
rectángulos y oblicuos. También trabaja con la representación gráfica de las funciones
trigonométricas. En el segundo punto, el estándar incluye un enfoque intenso sobre el desarrollo
cuidadoso del razonamiento, utilizando diferentes métodos de demostración y prueba.

23


ESTÁNDAR DE CONTENIDO 3: GEOMETRÍA
El estudiante es capaz de identificar formas geométricas, analizar sus estructuras,
características, propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno físico.

Resuelve triángulos aplicando las funciones trigonométricas. Investiga las propiedades
de las funciones trigonométricas, las inversas de la función y su representación gráfica.

Desarrolla y aplica la definición de las funciones seno y coseno para
EXPECTATIVA

G.FG.11.5.1
resolver triángulos.
Desarrolla las identidades pitagóricas trigonométricas fundamentales de
5

suma y diferencia, doble ángulos, funciones secante, cosecante, tangente
G.FG.11.5.2
y cotangente; los cuales utiliza para simplificar expresiones
trigonométricas y resolver triángulos.

Desarrolla la Ley de Seno, la Ley de Coseno y las utiliza para hallar las
G.FG.11.5.5
medidas desconocidas de lados y los ángulos en el triángulo.

Desarrolla y aplica los métodos generales de prueba en la solución de problemas y
formula las justificaciones para los teoremas básicos de la Geometría Euclidiana.
EXPECTATIVA

Establece la prueba directa o indirecta para determinar si una proposición
G.FG.11.6.2
matemática es cierta.
6

G.FG.11.6.3 Desarrolla un contraejemplo para refutar una proposición inválida.

Formula e investiga la validez del recíproco de proposiciones
G.FG.11.6.4
condicionales.

24

12 ¿Cuál de las siguientes alternativas
se puede usar para calcular la altura
de la antena en la figura a
continuación?

A a = 100 cos(35°)
B a = 100 cot(35°)
C* a = 100sen(35°)
D a = 100 tan(35°)

G.FG.11.5.1

25

13 Observa el triángulo ABC.

A

15 cm

70°
C 10 cm B

A. ¿Cómo puedes obtener el seno del ángulo A?
B. Si el seno de 70º es 0.94, ¿cuál es el seno del ángulo A? Muestra el proceso que
seguiste para calcular el seno del ángulo A.

G.FG.11.5.5

La respuesta debe indicar que el seno de A se puede obtener usando la ley de seno,
a b
= , y luego debe usar su aplicación al problema para encontrar el resultado
sen A sen B
pedido, por ejemplo así:

10 15
=
sen A 0.94
15
sen A = 10
0.94
⎛ 0.94 ⎞
sen A = 10 ⎜ ⎟ = 0.63
⎝ 15 ⎠

26

14 Observa la siguiente figura y la Descripción de la respuesta de 2 puntos:
demostración que le sigue. La respuesta completa correctamente el paso

p 3 y el paso 4 de la demostración, por
q
ejemplo como sigue:
1
Enunciado Razón
1. p q Dado
2 3
2. m∠1 = m∠2 Ángulos correspondientes
3. m∠2 = m∠3 Ángulos verticales
r
4. m∠1 = m∠3 Propiedad transitiva
Dado: p q
Demostrar: m∠1 = m∠3

Enunciado Razón
1. p q Dado
Ángulos
2. m∠1 = m∠2
correspondientes
3.
4. m∠1 = m∠3

A. ¿Cuál es el enunciado del paso 3
que falta en la demostración? ¿En qué
razón se apoya?
B. ¿En qué razón se apoya el paso
final de esta demostración?
Recuerda que debes anotar tu
respuesta en la hoja de contestaciones.
No olvides contestar todas las partes
de la pregunta.

G.FG.11.6.2

27

15 Observa las siguientes proposiciones.

Proposición 1: Si un triángulo rectángulo
tiene un ángulo que mide 45°, entonces es
un triángulo isósceles.

Proposición 2: Las medidas de los ángulos
del triángulo isósceles ABC son las
siguientes:
A = 45°, B = 67.5° y C = 67.5°.

A. Identifica la hipótesis y la conclusión de la proposición 1.
B. La proposición 2, ¿es un contraejemplo de la proposición 1? Explica tu respuesta
usando números, dibujos o palabras.

G.FG.11.6.3

La respuesta indica la hipótesis de la proposición 1, por ejemplo: Si un triángulo rectángulo
tiene un ángulo que mide 45°. También indica la conclusión, por ejemplo: Entonces es un
triángulo isósceles. Asimismo, indica que la proposición 2 no es un contraejemplo de la
proposición 1 porque el triángulo ABC no es rectángulo.

28

16 ¿Cuál de las siguientes proposiciones
condicionales tiene un recíproco que
es válido?

A Si un rectángulo tiene lados iguales
a 3 cm y 4 cm, entonces su área es
igual a 12 cm2.

B Si un triángulo es rectángulo,
entonces sus ángulos suman 180°.

C* Si dos triángulos son semejantes,
entonces sus lados
correspondientes son
proporcionales.

D Si un triángulo rectángulo tiene
ángulos de 45°-45°-90°, entonces
es un triángulo isósceles.

G.FG.11.6.4

29

Estándar de contenido 4: Medición

En este nivel, el estándar está muy relacionado con el estudio de las funciones
trigonométricas en álgebra y geometría. El estudiante aprende y practica el uso de unidades de
medida apropiadas para este campo, como son los radianes. También hay aplicaciones prácticas
de este conocimiento a la medición de partes del círculo.

Estándar, expectativas e indicadores.

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 4: MEDICIÓN

El estudiante es capaz de utilizar sistemas, herramientas y técnicas de medición para
establecer conexiones entre conceptos espaciales y numéricos.

Determina la medida de los ángulos en grados y radianes y determina la longitud de
arco.
EXPECTATIVA

Determina la medida de los ángulos en grados y en radianes y
M.UM.11.8.1
establece las conversiones entre ambas unidades de medida.
8

Desarrolla y aplica los valores de las funciones trigonométricas en: 0,
M.UM.11.8.2
π/6, π/4, π/3, π/2, π y sus múltiplos.

M.TM.11.8.3 Calcula longitudes de arco.

30

7π 19 En la siguiente figura, el punto C es
17 El ángulo A mide radianes.
4 el centro del círculo. ¿Cuánto mide
¿Cuánto mide en grados? en centímetros el arco menor AB si
Anota tu respuesta en la cuadrícula m∠ACB = 72° y la circunferencia
que está en la hoja de contestaciones. mide 48 cm?
No olvides llenar los círculos
correspondientes. B
Respuesta correcta: 315

M.UM.11.8.1
A
C

18 ¿Cuánto vale θ en el seno es igual al
coseno negativo?
senθ = − cos θ

Anota tu respuesta en la cuadrícula que
A 4π está en la hoja de contestaciones. No
5
olvides llenar los círculos
correspondientes.
B 4π
7 Respuesta: 9.6

C 5π M.TM.11.8.3
4

D* 7π
4

M.UM.11.8.2

31

Estándar de contenido 5: Análisis de datos y probabilidad

En este nivel el estudiante realiza análisis de regresión para resolver problemas utilizando
conceptos de álgebra, geometría y funciones estudiadas en este y otros grados. El estudiante
amplía el conocimiento estadístico a través de los conceptos analíticos de correlación, regresión
lineal y uso de escalas. El estudiante trabaja con el análisis, razonamiento y descubrimiento de
técnicas para realizar análisis estadísticos y de probabilidad, gráficas de funciones, además del
uso de modelos probabilísticos como herramienta para la solución de problemas. Se presta
particular atención al modelo de distribución normal.

32

Estándar, expectativas e indicadores.

ESTÁNDAR DE CONTENIDO 5: ANÁLISIS DE DATOS Y PROBABILIDAD
El estudiante es capaz de utilizar diferentes métodos de recopilar, organizar, interpretar y
presentar datos para hacer inferencias y conclusiones.

Juzga la asociación entre datos numéricos de dos variables y utiliza el coeficiente de
EXPECTATIVA

correlación para determinar su asociación lineal. Desarrolla modelos para tendencias de
datos de dos variables por medio de líneas de regresión de cuadrados mínimos.
9

Interpola utilizando las tendencias observadas en el diagrama de
dispersión y juzga cuando las tendencias extrapoladas son apropiadas.
E.IP.11.9.4

Examina los efectos de las transformaciones en las medidas de tendencia central,
dispersión, asociación y tendencias; desarrolla técnicas básicas y avanzadas para analizar
datos. Comunica los propósitos, métodos y resultados de un estudio estadístico; evalúa
EXPECTATIVA

estudios reportados en los medios de comunicación.
Demuestra y describe cómo las diferentes escalas (original, lineal, raíz
cuadrada, logarítmica) pueden afectar los diagramas de dispersión;
10

E.RD.11.10.1 resume las estadísticas y muestra cómo las distintas representaciones
(tablas, gráficas, resumen numérico) revelan diferentes características
de un conjunto de datos.
Describe e ilustra cómo se seleccionan las escalas para analizar y
E.AD.11.10.2 presentar información y cómo las transformaciones pueden utilizarse
en el desarrollo de modelos lineales.
Identifica escenarios donde la distribución normal es de utilidad. Describe las
características de la distribución normal y utiliza la regla empírica para resolver
EXPECTATIVA

problemas.
Utiliza representaciones gráficas y la regla empírica para evaluar si el
E.PR.11.12.2
12

modelo normal es apropiado para un conjunto de datos.
Utiliza la regla empírica para estimar la probabilidad de que un evento
E.PR.11.12.3 ocurrirá en un intervalo específico el cual puede describirse en
términos de la desviación estándar sobre la media.

33

20 El siguiente diagrama de dispersión muestra la correlación entre la altura de un pueblo
y la lluvia anual.

Si la línea de ajuste es f(x) = .035x + 62, ¿cuánta lluvia recibirá un pueblo que está a 800
pies de altura?

A 70 pulgadas
B 80 pulgadas
C* 90 pulgadas
D 100 pulgadas

E.IP.11.9.4

34

21 Las siguientes gráficas muestran los mismos datos acerca de las edades de los
estudiantes que toman el primer curso de Matemáticas. ¿Cuál gráfica es la mejor para
mostrar la mediana y la dispersión de los datos?

A C
Edad Número
60
13 1

Número de estudiantes
50
14 12
40
15 35
16 55 30

17 30 20

18 15 10
19 2 0
13 14 15 16 17 18 19
Edades

B*
Diagrama de cajas
D

Estudiantes en el prim er curso de
Matem áticas

19
12 13 14 15 16 17 18 19 20 18 13 14
Edades

17 15

16

E.RD.11.10.1

35

22 Observa el siguiente diagrama de dispersión de un conjunto de datos con dos variables.
La línea de ajuste de estos datos es y = .16 x 2 + .22 x + 10.22 .

¿Cuál escala tendrá el efecto de transformar estos datos en un modelo lineal?

A exponencial
B logarítmica
C* raíz cuadrada
D raíz cúbica

E.AD.11.10.2

36

23 La siguiente gráfica muestra la desviación estándar de los resultados de una prueba de
Matemáticas en una escuela. La media es 100 y la desviación estándar ( σ ) es 10 puntos.

De acuerdo con estos datos, ¿qué porciento de los estudiantes recibieron una
puntuación de 90 o más? Usa la gráfica de la curva normal para ayudarte a contestar
esta pregunta.

A 15.8%
B 49.9%
C 68.2%
D* 84.0%

E.PR.11.12.3

37

24 En un estudio de los hábitos de alimentación de los trabajadores de una fábrica, los
investigadores calcularon que los trabajadores comían en restaurante un promedio de 6
veces al mes con una desviación estándar de 2 veces por mes.

A. Según este estudio, ¿cuál es la probabilidad de que un trabajador coma en un
restaurante entre 8 y 10 veces al mes? Explica tu respuesta.
B. Si en la fábrica hay 250 trabajadores, ¿cuántos de ellos es probable que coman en
restaurante de 8 a 10 veces por mes? Usa la gráfica de la curva normal para ayudarte a
contestar esta pregunta.

E.PR.11.12.3

Ejemplo de respuesta de 2 puntos:
La respuesta debe indicar el porciento de 13.6% como la probabilidad de que un trabajador
coma en restaurante de 8 a 10 veces y además debe explicar cómo obtuvo este dato, por
ejemplo: porque de 8 a 10 veces por mes representa de +1 a +2 desviaciones estándar de la
media. También debe aplicar esto al total de la población y obtener 34 trabajadores.

38

39

RÚBRICA

Las preguntas de respuesta corta producen una gama de contestaciones para la cual se
aplica la rúbrica pertinente. La calificación de las contestaciones de los estudiantes se otorga
luego de un minucioso proceso que comienza con el Rangefinding.

En el Rangefinding participa un comité de maestros. En este proceso se le presenta al
comité un grupo de contestaciones reales de los estudiantes que tomaron la prueba. El comité
determina cómo aplicar la rúbrica a las contestaciones y establece el proceso de cómo definir los
rangos o niveles de ejecución dentro de la puntuación de la rúbrica. Si la contestación no es
legible o el estudiante no responde se aplica un código especial.

Para efectos de este folleto informativo, no se presentan contestaciones reales ni ejemplos
para cada una de las puntuaciones debido a que para determinar lo que corresponde a una
puntuación de 2, 1 ó 0, se necesita el proceso de Rangefinding.

A continuación verán la rúbrica del área de Matemáticas:

40

RÚBRICA DE MATEMÁTICAS PARA RESPUESTA CORTA

PUNTUACIÓN CRITERIOS

La respuesta muestra un entendimiento completo de los conceptos y los
procedimientos matemáticos para resolver el problema. El estudiante realiza
Respuesta de procedimientos completos y da respuestas correctas a todas las partes del
2 puntos problema. La respuesta contiene una explicación clara y efectiva que detalla
cómo se resolvió el problema. La respuesta puede omitir detalles que no
indican que el problema no fue comprendido claramente.
La respuesta es parcialmente correcta. La solución del problema podría ser
correcta, pero demuestra un entendimiento incompleto o incorrecto de los
Respuesta de conceptos y procedimientos matemáticos esenciales para resolver el problema.
1 punto O bien, los cómputos podrían ser incorrectos, pero los procedimientos y/o la
explicación muestran un entendimiento correcto del procedimiento para
encontrar la solución, aunque se hayan cometido algunos errores de cálculo.

La respuesta es completamente incorrecta y no es posible interpretarla con
claridad o muestra que la comprensión del estudiante de los procedimientos y
Respuesta de conceptos necesarios para resolver el problema es insuficiente. Aunque puede
0 puntos haber evidencia de que algunos conceptos y operaciones son correctos, no son
parte de la solución del problema o de la pregunta en general.

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