Este documento presenta los cálculos para determinar la densidad de flujo magnético asociada con el primer orbital del átomo de hidrógeno. Muestra que la densidad de flujo magnético es igual a 6.16 Tesla. También calcula que en el modelo clásico del espín del electrón, la velocidad superficial del electrón debería ser mayor que 60 veces la velocidad de la luz para producir un momento angular de ħ/2.
2. Problema 1.1:
Muestre que la densidad de flujo magnética Bn asociada con el enésimo
orbital para el átomo de Hidrógeno esta dada por:
Donde el momento magnético asociado con un electrón moviéndose
en la menor orbita circular es el magnetón de Bohr :
Calcule Bn en Tesla para el electrón en el primer orbital del átomo
de Hidrógeno. Use = 0.5Mev
3. Consideremos un núcleo con Z protones. La energía total de un
electrón moviéndose alrededor del núcleo se conserva y esta dada
por:
De acuerdo la Ley de Newton, la fuerza centrípeta podría ser igual a
la fuerza de Coulomb:
Reordenando:
(A)
4. (A)
Usando la condición de cuantización para el momento angular
alrededor del enésimo orbital:
Sustituimos en (A) y despejamos para :
5. Podemos comparar esta velocidad con la velocidad de la luz:
(B)
Donde al término se le conoce como constante
de estructura fina .
La ecuación (B) nos queda:
Para un electrón en el primer orbital del átomo de Hidrógeno
(Z=n=1) :
6. Despejando para en la expresión y
sustituyendo
Donde es el radio efectivo de Bohr
La ecuación nos queda:
7. La energía total de electrón:
Sustituyendo y :
simplificando:
8. De la Ley de Coulomb, el campo eléctrico en el enésimo orbital esta
dado por:
De acuerdo a la Ley de Biot-Savart, el campo magnético de un
electrón moviéndose alrededor del núcleo en uno de sus orbitales
esta dado por:
La magnitud del campo magnético en el enésimo orbital es:
9. Sustituyendo y en la ecuación anterior y simplificando:
11. Sustituyendo todos los valores:
La densidad de flujo magnetico asociada con un electrón orbitando en el
átomo de Hidrógeno en el primer orbital es 6.16 Tesla
12. Problema 1.2
Muestre que en el modelo clásico del espín del electrón, la velocidad
superficial del electrón deberá ser mayor que 60 veces la velocidad de la luz
para producir un momento angular de .
Solución:
El momento angular es:
Despejando:
14. BIBLIOGRAFÍA
Bandyopadhyay, S., & Cahay, M. (2008). Introduction to
Spintronics. In S. Bandyopadhyay, & M. Cahay, Introduction to
Spintronics. CRC Press.
