Práctica de Laboratiorio

1. Pr´actica de Laboratorio - Abril de 2015
Experimentos en F´ısica Moderna
Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y
Hertz
Daniel Solano1*
Resumen
A partir de la medici´on experimental de seis conjuntos de datos (uno para cada temperatura) se logr´o evidenciar
la cuantizaci´on de los niveles de energ´ıa de los electrones en los ´atomos de mercurio (Hg). El montaje
experimental const´o de un horno (que conten´ıa vapor de mercurio), en el que desde un c´atodo los electrones
emitidos colisionaban el´astica e inel´asticamente con ´atomos de mercurio, permitiendo determinar la cantidad
de energ´ıa que los electrones (de los electrones en los ´atomos de mercurio) pod´ıan perder (o absorber). Los
resultados estuvieron conformes a la teor´ıa pertinente, arrojando caracter´ısticas esenciales que permitieron
evidenciar la cuantizaci´on de los niveles de energ´ıa de los electrones en los ´atomos de mercurio.
Palabras Clave
Experimento de Franck y Hertz - Cuantizaci´on Niveles de Energ´ıa
1Departamento de F´ısica, Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a, Colombia.
* dfsolanol@unal.edu.co
Introducci´on
El Experimento de Franck y Hertz fu´e la primera medici´on
el´ectrica que evidenci´o la cuantizaci´on de los niveles de en-
erg´ıa de los electrones en los ´atomos (i.e. la naturaleza
cu´antica de los ´atomos). Franck y Hertz descubrieron que,
cuando un electr´on (incidente) colisionaba con un ´atomo de
mercurio (Hg), un electr´on de ´este (de Hg) ´unicamente pod´ıa
perder (´o absorber) una determinada cantidad (4,9 eV) de
energ´ıa, y qu´e ´esta p´erdida correspond´ıa a la desaceleraci´on
del electr´on incidente desde una velocidad de 1,3x106 ms−1
hasta conseguir el estado de reposo (0 ms−1).
En 1913, Niels Bohr propuso un modelo del ´atomo de hidr´ogeno
que junto con el trabajo de Planck, Einstein y Rutherford
predijo exitosamente su espectro observado. En ´este modelo,
Bohr considero circulares las ´orbitas de los electrones.
Suponiendo lo anterior, tenemos que
F =
kZe2
r2
= mar = m
v2
r
(1)
Las leyes de la electrodin´amica predicen que ´esta carga aceler-
ada irradiar´a luz de frecuencia ν igual a la de su movimiento
peri´odico. En ´este sentido, tenemos (cl´asicamente) que
ν =
v
2πr
=
kZe2
rm
1
2 1
2πr
=
kZe2
4π2m
1
2 1
r3/2
∝
1
r3/2
(2)
En consecuencia, la energ´ıa total del electr´on E est´a dada por
E =
1
2
mv2
+ −
kZe2
r2
(3)
Pero como (seg´un (1)) 1
2 mv2 = kZe2/2r, entonces (3) resulta
ser
E =
kZe2
2r
−
kZe2
r
= −
kZe2
2r
∝ −
1
r
(4)
De este modo, la f´ısica cl´asica predice que, en la medida que
la energ´ıa se pierde por radiaci´on, la ´orbita del electr´on es cada
vez menor, mientras que la frecuencia de la radiaci´on emitida
es cada vez mayor. El modelo predice que el ´atomo emitir´a
un espectro cont´ınuo y colapsar´a despu´es de cierto tiempo
(Figura 1a), lo cual es algo que no ocurre. Bohr, postul´o que
los electrones pod´ıan unicamente moverse en ciertas ´orbitas
sin emitir radiaci´on (primer postulado), y que el ´atomo ir-
radia cuando el electr´on realiza una transici´on de una ´orbita
(llamada estado estacionario) a otra (Figura 1b) en el cual la
frecuencia ν de la radiaci´on emitida se relaciona con las en-
erg´ıas de los estados inicial y final (Ei y Ef , respectivamente)
de acuerdo a
hν = Ei −Ef (5)
donde h es la constante de Planck.

2. Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz — 2/6
Figura 1. (a) En el modelo orbital cl´asico, el electr´on orbita alrededor del
n´ucleo y se acerca a ´este a lo largo de una trayectoria espiral. [1]
(b) En el modelo de Bohr, el electr´on orbita sin irradiar hasta que ´este salta a
una ´orbita de menor energ´ıa. [1]
En el modelo at´omido de Bohr, el momento angular del
electr´on est´a dado por L = nh/2π, con n un entero (i.e. est´a
cuantizado), es decir
L = mvr =
nh
2π
= n , n = 1,2,... (6)
Por lo tanto (y solucionando para v en (1))
r =
n
mv
=
n
m
rm
kZe2
1
2
(7)
r2
=
n2 2
m2
rm
kZe2
(8)
rn =
n2 2
mkZe2
=
n2a0
Z
(9)
donde a
a0 =
2
mke2
= 0,529 ˚A = 0,0529nm (10)
se se conoce como el radio de Bohr.
La energ´ıa total del electr´on (sustituyendo rn en (4)) resulta
ser
En = −
kZe2
2rn
= −
kZe2
2
mkZe2
n2 2
= −E0
Z
n
2
n = 1,2,...
(11)
donde E0 = mk2e4/2 2 (i.e. la energ´ıa tambi´en est´a cuanti-
zada). Es decir, a cada estado estacionario (´orbita) del electr´on
le corresponde un valor de energ´ıa total. Por lo tanto, (seg´un
(5)) tenemos que
hν = Eni −Enf = −E0
Z
n
2
−E0 −
Z
n
2
(12)
ν =
E0Z2
h
1
n2
f
−
1
n2
i
=
c
λ
(13)
1
λ
=
E0Z2
hc
1
n2
f
−
1
n2
i
= Z2
R
1
n2
f
−
1
n2
i
(14)
donde
R =
E0
hc
=
mk2e4
4πc 3
(15)
es la predicci´on de Bohr para el valor de la constante de Ryd-
berg, (el cual coincide con el valor obtenido en espectroscop´ıa,
el cual es 1,097×107m−1).
Arreglo Experimental y Procedimiento
En el experimento, se hizo uso de los siguientes elementos:
- Horno (que contiene vapor de mercurio)
- Fuente de voltaje DC
- Mult´ımetro
- Term´ometro
- Bit´acora y Anotador
En la Figura 2 se muestra un diagrama esquem´atico del arreglo
experimental. Un peque˜no filamento eleva la temperatura
de del c´atodo. Los electrones se eyectan desde el c´atodo y
son acelerados hacia una rejilla, la cual est´a a un potencial
positivo V0 con respecto al c´atodo. Algunos electrones cruzan
a trav´es de la rejilla y alcanzan la l´amina (o colector) P, la
cual est´a a un potencial VP =V0 −∆V. En el tubo se introduce
vapor de mercurio a baja presi´on (¿Por qu´e Hg? Porque
(en estado gaseoso) es monoat´omico y porque su presi´on
puede controlarse f´acilmente). En el experimento, se mide la
corriente de la l´amina (corriente de colector) en funci´on del
voltaje V0 (voltaje de aceleraci´on).
Figura 2. Diagrama esquem´atico del experimento de Franck y Hertz. [1]

3. Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz — 3/6
La explicaci´on de ´este resultado es m´as sencillo de entender
si suponemos que el tubo contiene ´atomos de hidr´ogeno en
vez que de mercurio (Figura 3). Los electrones acelerados
(debido a V0) que colisionan con los ´atomos de hidr´ogeno
no pueden transferir energ´ıa a ´estos (i.e. a los ´atomos de
hidr´ogeno) a menos que hayan adquirido una energ´ıa cin´etica
eV0 = E2 −E1 = 10,2eV, ya que el electr´on en el ´atomo de
hidr´ogeno (seg´un el modelo de Bohr) no puede ocupar estados
de energ´ıas intermedias entre E1 y E2 .
Figura 3. Dispersi´on de electrones incidentes en el ´atomo de hidr´ogeno.
[1]
En ´este caso, la colisi´on es el´astica y, por lo tanto, la energ´ıa
cin´etica de los electrones incidentes permanecer´a constante, y
por consiguiente logran vencer el potencial ∆V, contribuyendo
a la corriente I. Sin embargo, si eV0 ≥ 10,2eV, el electr´on
incidente puede transferir 10,2eV de energ´ıa (al electr´on de
hidr´ogeno) en el estado base (´orbita n = 1), coloc´andolo en
la ´orbita n = 2 (i.e el electron incidente pierde una energ´ıa de
10,2eV; ´este ha sido dispersado inel´asticamente) (Figura 4).
Figura 4. Colisi´on inel´astica (izquierda) y el´astica (derecha) de electrones
con ´atomos de Hg. En una colisi´on inel´astica, los electrones incidentes
pierden energ´ıa cin´etica (i.e. la reciben los ´atomos de Hg), mientras que en
una colisi´on el´astica, ´estos ´unicamente cambian su direcci´on. [6]
Con una cantidad de energ´ıa insuficiente para vencer el po-
tencial de retardo ∆VR, los electrones incidientes no pueden
contribuir a la corriente de colector I, lo cual la hace decrecer
considerablemente.
En el caso de que el horno contenga ´atomos de mercurio, la
situaci´on es m´as complicada, pues cada uno de ´estos posee 80
electrones. En definitiva, si ´estos son excitados a un nivel de
energ´ıa de 4,9eV por encima del estado base debe emitir luz
de longitud de onda
λ =
c
ν
=
hc
hν
=
hc
eV0
= 253nm (16)
De hecho, existe una linea de ´esta longitud de onda en el
espectro del mercurio.
El experimento de Franck y Hertz fue una importante confir-
maci´on de la idea de que el espectro ´optico (discreto) se deb´ıa
a la existencia de ´atomos de niveles discretos de energ´ıa que
pod´ıan ser excitados por m´etodos no ´opticos. La gr´afica I −V
del experimento toma la forma de la Figura 5.
Figura 5. Relaci´on I −V en experimento de Franck y Hertz. La corriente
I decrece porque muchos electrones incidentes pierden energ´ıa debido a las
colisiones inel´asticas con los ´atomos de Hg, lo cual hace que no puedan
vencer el potencial de retardo ∆VR. [1]
Secuencia Experimental
En el arreglo experimental ya mencionado, se dispuso a medir
y registrar la relacion entre la corriente de colector I en funci´on
del voltaje de aceleraci´on V0 (= V) para cada uno de los 4
potenciales de retardo ∆VR(=1,5V, 2,0V, 2,5V y 3,0V). ´Este
procedimiento se realiz´o para cada uno de los 6 valores de
temperatura del horno (152 ◦C, 164◦C , 170 ◦C, 182 ◦C, 192
◦C y 204 ◦C). Como veremos, la relaci´on I −V presentar´a
algunos m´aximos, de modo que, si los m´aximos ocurren en
V0,V1,..., los espaciamientos (multiplicados por e) ∆Vk =Vk −
Vk−1 (k = 1,2,...) indicar´an la cantidad de energ´ıa que pierden
los electrones en los ´atomos de mercurio. En la Tabla 1 se
muestran las incertidumbres de las medidas involucradas en
el experimento.
Tabla 1. Incertidumbres
Medida Incertidumbre
Temperatura ± 1 ◦C
Corriente de Colector ± 0,1 mA
Voltaje de Aceleraci´on ± 1 mV
En cada uno de los valores de temperatura, se calcular´a el es-
paciamiento promedio ∆V para cada uno de los 4 potenciales

4. Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz — 4/6
de retardo. Es decir, para cada temperatura se calcular´an los 4
valores de espaciamiento promedio ∆V. Luego a ´esto, calcu-
laremos el espaciamiento promedio ∆VT (uno para cada uno
de los 6 valores T de temperatura) y se graficar´an en funci´on
de la temperatura T.
Resultados y An´alisis
En las figuras Figura 6, Figura 7, Figura 8, Figura 9, Figura
10 y Figura 11 se muestran los resultados experimentales de la
relaci´on Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para
valores de temperatura (para cada voltaje de retardo) de 152
◦C, 164◦C , 170 ◦C, 182 ◦C, 192 ◦C y 204 ◦C, respectiva-
mente.
En la forma de la relaci´on Corriente de Colector - Voltaje
de Aceleraci´on se evidencia que los electrones en los ´atomos
de mercurio ´unicamente pueden perder (´o absorber) cierta
cantidad de energ´ıa (indicada por los espaciamientos (multi-
plicados por e) ∆Vk = Vk −Vk−1 (k = 1,2,...)).
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 6. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 152◦C.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 7. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 164◦C.
0
500
1000
1500
2000
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 8. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 170◦C.
0
200
400
600
800
1000
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 9. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 182◦C.
0
50
100
150
200
250
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 10. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 192◦C.

5. Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz — 5/6
0
50
100
150
200
0 5 10 15 20 25
CorrientedeColector(mA)
Voltaje de Aceleracion (V)
1,5V
2,0V
2,5V
3,0V
Figura 11. Corriente de Colector - Voltaje de Aceleraci´on para una
temperatura T = 204◦C.
Las tablas Tabla 2, Tabla 3, Tabla 4, Tabla 5, Tabla 6 y Tabla
7 resumen los resultados obtenidos en ´esta pr´actica de lab-
oratorio, cuya interpretaci´on ya se indic´o en la Secuencia
Experimental.
Tabla 2. T = 152◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V(V)
1,5 4,845 5,070 4,957
2,0 4,935 4,950 4,952
2,5 5,100 5,760 5,430
3,0 5,040 5,070 5,055
Tabla 3. T = 164◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V3(V) ∆V(V)
1,5 4,845 4,860 4,950 4,885
2,0 4,560 4,890 5,025 4,825
2,5 4,800 4,920 5,040 4,920
3,0 4,920 5,010 5,070 5.000
Tabla 4. T = 170◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V3(V) ∆V4(V) ∆V(V)
1,5 4,680 4,770 4,920 4,875 4,811
2,0 4,560 4,875 4,830 4,935 4,800
2,5 4,425 4,800 4,935 4,890 4,753
3,0 4,650 4,830 4,860 4,965 4,826
Tabla 5. T = 182◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V3(V) ∆V4(V) ∆V(V)
1,5 4,530 4,785 4,785 4,890 4,748
2,0 4,545 4,770 4,845 4,875 4,759
2,5 4,500 4,650 4,905 4,830 4,721
3,0 4.715 4,740 4,890 4,830 4,794
Tabla 6. T = 192◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V3(V) ∆V4(V) ∆V(V)
1,5 5,055 4,530 4,605 4,680 4,718
2,0 5,160 4,355 4,680 4,755 4,738
2,5 5,175 4,440 4,650 4,785 4,763
3,0 4,425 4,485 4,710 4,740 4,590
Tabla 7. T = 204◦C
VR(V) ∆V1(V) ∆V2(V) ∆V3(V) ∆V4(V) ∆V(V)
1,5 5,220 4,125 4,605 4,635 4,646
2,0 5,520 4,320 4,515 4,770 4,781
2,5 5,220 4,350 4,470 4,755 4,699
3,0 4,305 4,200 4,710 4,710 4,481
En la Figura 12 se muestran los valores de los espaciamientos
que (multiplicados por e) indican la cantidad de energ´ıa que
los electrones (en los ´atomos de mercurio) pueden perder (o
absorber).
4
4.5
5
5.5
6
150 160 170 180 190 200 210
EspaciamientodeVoltaje(V)
Temperatura (C)
Valor Establecido
Datos Experimentales
Figura 12. Espaciamiento de Voltaje - Temperatura.
En la Tabla 8 se indican los valores de la energ´ıa e∆VT que
cada electr´on en un ´atomo de mercurio puede perder (o ab-
sorber) y su error porcentual (con respecto al valor establecido
(4,9 eV)) para cada valor T de temperatura. En ´esta tabla, se
evidencia que el valor de e∆VT disminuye (ligeramente) a
medida que T aumenta. Adicionalmente (mirar figuras) puede
observarse que, para cierto valor Vk de voltaje de aceleraci´on,
su corresponiente corriente de colector disminuye a medida
que T aumenta (i.e. si I(Vk) = Ik(0) (para T0) y I(Vk) = Ik(1)
(para T1), entonces Ik(0) > Ik(1), siempre que T0 < T1). ´Esto
se debe a que (causado por una energ´ıa t´ermica de tipo vibra-
cional) el filamento ”empuja” a los electrones desde el c´atodo,
y que, a medida que ´este (el c´atodo) aumenta en su temper-
atura, ´estos son m´as energ´eticos, y por lo tanto, el n´umero
de electrones que colisionan inel´asticamente (i.e. dispersa-
dos inel´asticamente) con los ´atomos de Hg va a ser mayor,
produciento una disminuci´on en la corriente de colector.

6. Pr´actica de Laboratorio: El Experimento de Franck y Hertz — 6/6
Tabla 8. Valores de energ´ıa
VR (◦C) e∆VT (eV) Error Porcentual (%)
152 5,099 4,061
164 4,908 0,163
170 4,797 2,102
182 4,755 2,959
192 4,702 4,041
204 4,651 5,082
Conclusiones
• El valor de e∆VT disminuye (ligeramente) a medida que
T aumenta.
• Para cierto valor Vk de voltaje de aceleraci´on, su cor-
responiente corriente de colector disminuye a medida
que T aumenta.
• Los valores de la energ´ıa e∆VT que cada elect´on en
un ´atomo de mercurio puede perder (o absorber), estu-
vieron cercanos (con un error porcentual de no m´as de
5,082 %) al valor establecido (4,9 eV).
• Los resultados estuvieron conformes a la teor´ıa per-
tinente, arrojando caracter´ısticas esenciales que per-
mitieron evidenciar la cuantizaci´on de los niveles de
energ´ıa de los electrones en los ´atomos de mercurio.
Referencias
[1] Tipler, P., Llewellyn, R. Modern Physics. Sixth Edition,
2012.
[2] Townsend, J. Quantum Physics. A Fundamental Ap-
proach to Modern Physics. 2010.
[3] Thomson, M. Modern Particle Physics. Cambridge
University Press, 2013.
[4] Natarajan, V. Modern Atomic Physics. CRC Press,
2015.
[5] Eisberg, R., Resnick, R. Quantum Physics of Atoms,
Molecules, Solids, Nuclei and Particles. Second Edi-
tion, 1985.
[6] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/frhz.html