1. Truth-functional
completeness
Clase 27
Leonel Morales
leonel@ingenieriasimple.com
litomd@ufm.edu
29/Septiembre/2014

2. 2 de 11
Traducciones
 Truth-function
 Función veritativa
 Función de verdad
 Función lógica
 Se resuelve en falso o verdadero
 Truth-functional
 Referido a las funciones lógicas
 Truth-functional completeness
 ¿Completidad? ¿Completitud?
 Completitud respecto a las funciones lógicas

3. 3 de 11
Concepto
 Truth-functional completeness
 Un lenguaje formal
 Como el lenguaje de fórmulas lógicas
 Lenguaje de lógica proposicional
 Se dice completo respecto de las funciones lógicas
 Si: toda función lógica puede representarse en ese lenguaje
 También
 Truth-functional completeness es
 Capacidad de definir todo posible conector lógico

4. 4 de 11
Preguntas
 ¿Nuestro lenguaje de fórmulas lógicas es completo
respecto de las funciones lógicas?
 ¿Podemos definir todo posible conector en términos de los
ya conocidos?
 ¿Cuántos conectores hay?

5. 5 de 11
Cantidad de conectores
 Los básicos:
 ~, v, &
 Se podrían usar sólo dos
 (P & Q)  ~(~P v ~Q) por DeMorgan
 Los otros:
 , , , 
 Son definibles en términos de los básicos
 ¿Hay más?

6. 6 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores unarios
 Un solo operando
P F1(P) F2(P) F3(P) F4(P)
0 1 1 0 0
1 1 0 1 0

7. 7 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores binarios
 Dos operandos
P Q F01 F02 F03 F04 F05 F06 F07 F08 F09 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

8. 8 de 11
Cantidad de conectores
 Conectores ternarios
 Tres operandos
 Para un operando eran 4
 Para dos operandos son 16
 ¿Para tres serán?
 256
 En general: 22n
 Donde n es el número de operandos

9. 9 de 11
Teorema
 Cualquier función lógica puede expresarse con una
fórmula que contenga exclusivamente disyunciones
y negaciones
 Recordar:
 Cualquier conjunción puede expresarse como una
disyunción gracias a DeMorgan:
 (P & Q)  ~(~P v ~Q)

10. Truth-functional completeness
 Si cualquier función lógica se puede expresar
con negaciones y disyunciones entonces
 ¿Es la negación y la disyunción un sistema
completo para expresar funciones lógicas?
10 de 11
 Sí
 ¿Y la negación y la conjunción?

11. Truth-functional completeness
 La negación y la disyunción son un sistema
completo de expresión de funciones lógicas
11 de 11
 Lo mismo que la negación y la conjunción
¿Es posible que exista un sistema completo de expresión
de funciones lógicas basado en un solo conector?
Traer la respuesta en la siguiente clase