El documento presenta 6 teoremas relacionados con las relaciones geométricas entre rectas y segmentos en un círculo. Estos incluyen que una recta que pasa a través del centro de un círculo y es perpendicular a una cuerda la bisecta, que el bisector perpendicular de una cuerda contiene el centro del círculo, y que los segmentos tangentes a un círculo desde un punto externo son congruentes. También se describen conceptos como círculos tangentes y la recta de centros entre dos círculos.

1. 6.3 Relaciones de recta y segmento en el círculo
Teorema 1: si se traza una línea a través del centro de un círculo perpendicular a
una cuerda, entonces bisecta la cuerda y su arco.
El círculo O tiene un radio de longitud 5 OE
intersecta CD en B y OB = 3.
Encuentre CD
Trace el radio OC. Por el teorema de Pitágoras.
(OC)2 = (OB)2 + (BC)2
52 = 32 + (BC)2
25 = 9 + (BC)2
(BC)2 = 16
BC = 4
De acuerdo con el teorema, se sabe que CD = 2 • BC;
entonces se tiene que CD= 2 • 4 = 8
Teorema 2: si una recta que pasa a través del centro de un círculo bisecta una
cuerda distinta al diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.
Teorema 3: el bisector perpendicular de una cuerda contiene el centro del círculo.

2. Círculos Tangentes: es cuando dos círculos se tocan en un punto. Son
tangentes exteriormente (círculos O y R) o tangentes interiormente
(círculos P y Q).
Recta de centros: es la recta que contiene los centros de dos círculos.
Tangente externa común: si la tangente común no intersecta la recta de
centros.
Tangente interna común: si la tangente común si intersecta la línea de
centros para dos círculos.

3. Teorema 4: Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto externo son
congruentes.
El círculo está inscrito en ∆ABC; AB= 9, BC = 8 y AC
= 7. Encuentre las longitudes de AM, MB y NC.
AM = AP = x
BM = BN = y
NC = CP = z
Ahora: x + y = 9
y+z=8
x+z=7
x+y =9 x- z=1
y+z=8 x+z=7
x - z=1 2x = 8 → x = 4 →
AM = 4
Debido a que x = 4 y x + y = 9, y = 5. Entonces BM =
5. Debido a que x= 4 y x + z = 7, z = 3. Resumiendo,
AM = 4, BM = 5 y NC = 3.

4. Teorema 5: si dos cuerdas se intersectan dentro de un círculo, entonces el
producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de
las longitudes de los segmentos de la otra cuerda.
En la figura, HP = 4, PJ = 5 y LP = 8.
Encuentre PM
Aplicando el teorema HP • PJ = LP • PM. Entonces
4 • 5 = 8 • PM
8 • PM =20
PM = 2.5
Teorema 6: si dos segmentos secantes son trazados hasta un círculo desde un
punto externo, entonces los productos de las longitudes de cada secante y su
segmento externo son iguales.
AB = 14, BR = 5 y TC = 5. Encuentre AC y TA.
Sea AC = x. Debido a que AT + TC = AC, se tiene que AT +
5 = x, de manera que TA = x – 5. Si AB = 14 y BR = 5,
entonces AR = 9. El enunciado AB • RA = AC • TA se
vuele
14 • 9 = x(x – 5)
125 = x2 – 5x
X2 – 5x – 126 = 0
(x – 14)(X+ 9) = 0, por lo que x – 14 = 0 o x + 9 = 0
X = 14 o x = -9 x = -9 se descarta porque no puede
Ser negativa
Por lo tanto AC = 14, de manera que TA = 9