1. EJERCICIOS
1. Construya un triángulo obtusángulo de 150º,
si los lados del ángulo comprendido miden
2 AB
y , respectivamente.
En el triángulo construido determinar el centro de
gravedad “G”.
Trazar por G una paralela a AB .
2. Construya un rectángulo de largo el segmento AB del
AB
ejercicio anterior y ancho . Explique dicha
3
construcción.
Circunscribir una circunferencia al rectángulo
anterior e indique el radio de ella.
3. Construir con regla y compás un triángulo isósceles
cuyos lados iguales midan 3 + 2 5 cm. Y el ángulo
comprendido por ellos mida 135º. Explique la
construcción.
4. Dividir el trazo de longitud 3 + 2 5 cm. En 5 partes
iguales.
Dividir armónicamente el trazo de longitud 3 + 2 5 cm.
En la razón m:n=2:5. Escriba las proporciones.
5. Construya un ángulo de 75º, encuentre la bisectriz, elija
un punto P cualquiera en la bisectriz. Dibuje por P una
recta perpendicular al otro lado del ángulo.
6. Dividir el segmento en 4
partes iguales.
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de los lados de un ángulo?

2. 7. Dividir interiormente un trazo de 4 2 unidades en la
razón 3.5. Escriba las proporciones obtenidas.
8. Construir un triángulo rectángulo en C tal que dado c=
AB .= 70mm y b:a=1.5:4
9. Dado el VABC escaleno, construya una circunferencia
que sea tangente a los lados b y c ( o a sus
prolongaciones); y tal que sus centro equidiste de los
vértices B y C.
10. Dado un triángulo cuyo perímetro es 60cm. En que
sus lados están en la razón 3:6:8. Dibuje dicho
triángulo y calcule su área.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Definición: Se define como circunferencia a la línea curva,
plana, cerrada en la cual cualquier punto de ella equidista
de un punto interior llamado centro.
O: centro
OA = OB = OC = OD = ...
Radio: Segmento comprendido entre el centro y cualquier
punto de la circunferencia.
OA = r
Notación: Para indicar la circunferencia de centro O y radio
r, se escribe C(O,r)

4. Cuerda: Segmento comprendido entre dos puntos de la
circunferencia.
BC =cuerda
Diámetro: Es una cuerda que contiene al centro de la
circunferencia.
En cuanto a la longitud, es el doble del radio
Arco: Es una porción de la circunferencia comprendida
entre dos puntos.
El diámetro divide a la circunferencia en dos
semicircunferencias de arcos iguales.
Recta tangente: En la recta que interfecta en un punto a la
circunferencia.
Recta secante: Es la recta que interfecta en dos puntos a la
circunferencia.

5. Angulo del centro: Es el ángulo que tiene su vértice en el
centro de la circunferencia y sus lados son radios o rayos.
Área del círculo
El área de un polígono regular es igual al producto del
semiperímetro por la apotema.
A = sρ
Al aumentar indefinidamente el número de lados regular
éste se confundirá con la circunferencia y la apotema, con
el radio de ella. Por lo tanto, el área del círculo es
1
A = c×r
2
Este resultado se puede interpretar diciendo “el área de un
círculo es equivalente al área de un triángulo que tiene por
base a la semicircunferencia y por altura el radio de ella”
C = 2π r
A = π r2

6. Área de sectores y segmentos circulares
Para calcular el área del sector S lo comparamos con el área
del círculo
I) π r 2 360º α ºπ r2
= ⇒S =
S αº 360º
II) π r 2 2π r 1
= ⇒ S = ar
S a 2

7. Área seg CDE = sector ODECO - VCDO
“ El área de un sector circular equivale a la de un triángulo
que tiene por base una longitud igual al arco y por altura el
radio del circulo”
Ejercicios de construcción
1. Dividir un triángulo en dos partes equivalentes por
medio de una paralela a un lado.
Solución:
CD = x , CA = b
VDEC = trapABED 
 VDEC 1
1 ⇒ =
VDEC = VABC  VABC 2
2 
2
VDEC CD x2 1
= = ⇒ x 2 = bb
VABC 2 b2 2
CA
1
“x es media proporcional geométrica entre b y b
2

8. 1) Se dimidia AC
2) Semicircunferencia » AC
3) La perpendicular en M determina N
4) CN =x
5) Dibuja arco ⊗(C , CN )
6) Se traza por D// AB
2. Dividir un triángulo en dos partes por medio de una
paralela a la base y de modo que las partes resultantes
sean entre si como 1:3 (trabajo en clases)
Tarea:
1) Construir un polígono de 5 lados y otro semejante a
este con un área 20% menor.
2) Construir un triángulo y otro semejante con un
perímetro 40% mayor.

9. CALCULO DE LOS LADOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES
INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS EN FUNCIÓN DEL RADIO DE
LA CIRCUNFERENCIA.
CALCULO DE APOTEMAS Y ÁREAS DE ESTOS POLÍGONOS
n: número de lados de un polígono
ρ n : apotema del polígono inscrito ρ n = OM
(Es la perpendicular desde el centro de la
circunferencia al lado del polígono inscrito; cae en el
punto medio del lado).
CD = Ln

10. AT = L2n
AT = TB
Ejercicio:
Calcular el lado del cuadrado inscrito en función del radio r
de la circunferencia circunscrita.
2 2 2
AB = OA + OB
l 2 = r2 + r2 (área del polígono de cuatro lados)
4
l = 2r 2 = r 2
4
P4 : perímetro=4 l4 =4 2r

11. r
OM = 2
2
a4 = 2r 2
2 2 r2 r 2
ρ 4 + MC = OC ⇒ ρ = r − ⇒ ρ 4 =
2 2
4
2
= r
2 2 2
Ejercicio:
Calcular L4 lado del cuadrado circunscrito.
CD = L4
CD = AE = 2r
Se obtiene
L4 = 2r
P4 = 8r
A4 = L2 = 4r 2
4
Conclusiones

12. a4 = 2 r 2 a4 2 r 2 1
= =
A4 = 4r 2 A4 4r 2 2
Las áreas del cuadrado inscrito y circunscrito, están en
1
razón a4 : A4 = 1: 2
2
A4 = 4r 2
El área comprendida entre los dos polígonos es
a4 = 2 r 2
A4 − a4 = 4r 2 − 2r 2 = 2r 2
Ejemplo: En una circunferencia se inscribe un cuadrado
cuyo lado mide 10cm. ¿Cuánto mide el radio de la
circunferencia circunscrita y el de la inscrita al cuadrado?
10 2
Solución: l4 = 10cm , l4 = r 2 , r 2 = 10, r = ⇒r =5 2
2 2