comparación desde las nociones de convergencia de sucesiones, continuidad puntual y uniforme y diferenciabilidad de funciones entre el análisis matemático estándar y el ANE

1. FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA
COMPARACIÓN DE LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES REALES,
CONTINUIDAD Y DERIVADAS EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO ESTÁNDAR
Y ANÁLISIS MATEMÁTICO NO ESTÁNDAR (ANE).
Informe final para optar al tı́tulo de Licenciado en Matemática.
Autores:
Br. Moisés Alexander Benavidez Valmaceaz
Br. Marı́a Dolores Fajardo Jirón
Br. Jónathan Octavio Gutiérrez Ortiz
Tutora:
PhD. Pilar Angelina Marı́n Ruiz
Managua, Diciembre 2020

2. ((There are good reasons to believe that
nonstandard analysis, in some version
or other, will be the analysis of the
future.))
—Kurt Gödel

3. RESUMEN
Este documento hace una comparación desde el enfoque del análisis matemático
estándar y el análisis matemático no estándar, especı́ficamente en las nociones
de convergencia, continuidad, continuidad uniforme y diferenciabilidad, a través
de la descripción de sus fundamentos y terminologı́a, anclado al desarrollo de la
demostración de teoremas y ejemplos que manifiestan las diferencias significativas
entre los dos campos de estudio. Los resultados obtenidos destacaron que el análisis
matemático estándar permanece encadenado a la definición de − δ la cual cuenta
con mayores cuantificadores lógicos a la hora de desarrollarla en la practica a
diferencia del análisis matemático no estándar que presenta una base más compleja
pero que a su favor conduce a la solución más rápidamente.
Palabras claves: Análisis no estándar, análisis matemático, números hiperreales,
ultrafiltros.
ABSTRACT
This document makes a comparison from the approach of standard mathematical
analysis and non-standard mathematical analysis, specifically in the notions of
convergence, continuity, uniform continuity and differentiability, through the
description of its foundations and terminology, anchored to the development of the
proof of theorems and examples that show the significant differences between the
two fields of study. The results obtained highlighted that the standard mathematical
analysis remains chained to the definition of −δ which has greater logical quantifiers
when developing it in practice, unlike the non-standard mathematical analysis that
presents a more complex base but that in your favor leads to the solution more quickly.
Keywords: Non-standard analysis, mathematical analysis, hyper-real numbers,
ultrafilters.
iii

4. INFORME SOBRE LA TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE
LICENCIADO EN MATEMÁTICA
COMPARACIÓN DE LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES REALES, CONTINUIDAD
Y DERIVADAS EN EL ANÁLISIS MATEMÁTICO ESTÁNDAR Y ANÁLISIS MATEMÁTICO
NO ESTÁNDAR (ANE)
POR:
Br. Moisés Alexander Benavidez Valmaceaz
Bra. María Dolores Fajardo Jirón
Br. Jonathan Octavio Gutiérrez Ortiz
En el tema abordado en esta tesis, Comparación de la Convergencia de Sucesiones Reales,
Continuidad y Derivada en el Análisis Matemático Estándar y Análisis Matemático no
Estándar (ANE), el análisis no estándar es la respuesta última a una asignatura pendiente que
tenía la matemática, su valor depende de la comparación entre las técnicas clásicas y las
técnicas no estándar.
El presente trabajo debería ser tomado como insumo, para la asignatura del Análisis
Matemático, donde el docente puede presentar otra forma de resolver los ejercicios clásicos del
análisis, mediante técnicas más sencillas, demostraciones matemáticas y deducciones que son
más simples y breves cuando se usan el análisis matemático no estándar.
Felicito a los bachilleres Benavidez, Fajardo y Gutiérrez, por el trabajo que ha realizado con
una enorme dedicación, como me consta desde que eligieron este tema.
iv

5. Los bachilleres, entiende el sentido del problema planteado, y creo sinceramente que su
trabajo tiene nivel más que suficiente para alcanzar el grado deseado, como un paso más en
su formación académica.
Felicito nuevamente a los bachilleres Benavidez, Fajardo y Gutiérrez, por el trabajo que
realizaron, para lograr un paso más para su superación. Espero que sigan cosechando muchos
éxitos y Dios nuestro señor Jesucristo lo guíe en su caminar y la Virgen María los proteja
siempre
Muchos éxitos. Felicidades.
Managua, 15 de diciembre del 2020
Dra. Pilar Angelina Marín Ruiz
Profesora Titular
Departamento de Matemática y Estadística
v

6. Índice
I 1
1. Introducción 2
2. Planteamiento del problema 5
3. Justificación 7
4. Objetivos de investigación 9
4.1. Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2. Objetivos Especı́ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II 10
5. Marco Referencial 11
5.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.2. Marco Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2.1. Teorı́a de conjuntos y Números Naturales . . . . . . . . . . . . 13
5.2.2. Construcción de los números Enteros . . . . . . . . . . . . . . 25
vi

7. 5.2.3. Construcción de los números Racionales . . . . . . . . . . . . 32
5.2.4. Construcción de los números Reales . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.5. Construcción de los números Hiperreales . . . . . . . . . . . . 40
5.2.6. Principio de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.7. Propiedades de los Hiperreales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6. Preguntas directrices 53
III 54
7. Diseño Metodológico 55
7.1. Tipo de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.1. Descriptivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.2. Comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2. Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1. Método Analı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3. Recolección de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.4. Técnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.1. Fundamentación Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.2. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.4.3. Análisis de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
vii

8. IV 60
8. Análisis y Discusión de Resultados 61
8.1. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2. Continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.2.2. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3.1. Lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
V 87
9. Conclusiones 88
10. Recomendaciones 90
Bibliografı́a 92
11. Anexos 94
11.1. Biografı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.1.1. Abraham Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.1.2. Karl Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.1.3. Howard Jerome Keisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
viii

9. Capı́tulo I
1

10. Sección 1
Introducción
En matemática existen áreas que se dedican a dar rigor al cálculo creado por Newton
y Leibniz, en lo que respecta a este estudio se abordará el análisis matemático
estándar y el análisis matemático no estándar. Matemáticos como Cauchy,
Weierstrass proporcionaron la formalidad del cálculo, y esto fue denominado análisis
matemático 1
, se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa
del cálculo infinitesimal y estudia conceptos como la convergencia, continuidad y
diferenciabilidad de funciones en diversos espacios, además de otros apartados que
no son tomados dentro de este estudio, de ahı́ todo lo anterior este sustentado en la
definición − δ.
Por otro lado, durante siglos los matemáticos, fı́sicos, quı́micos e ingenieros
emplearon los infinitesimales de Leibniz para realizar cálculos, cuyos métodos
utilizados no tenı́an un fundamento lógico sólido, los cuales, proporcionaban
resultados correctos y veraces, sin embargo, esta debilidad que presentaban los
infinitesimales de Leibniz llevaron a paradojas: ¿Qué es un entero infinitamente
grande? ¿Cuál es el mas pequeño entero infinitamente grande? Las fundaciones
modernas del análisis hicieron a un lado esta idea, de modo que los matemáticos
1
Cuando se refiera a análisis matemático estándar se hace mención al análisis matemático que
todos conocen (análisis clásico)
2

11. del siglo XIX renunciaron a los infinitesimales y optaron por el método que hasta
la actualidad persiste, se habla de la definición − δ, no obstante, las preguntas
anteriores fueron contestada en 1960, cuando Robinsón descubrió un método para
introducir números infinitesimales en el análisis con fundamentos lógicos sólidos,
para esto introdujo elementos no estándar basados en la noción de hiper-extinción,
entendiendo por este término como la extensión del conjunto numérico, es decir, el
conjunto de los hiperreales es una extensión de los números reales que contienen a
los números infinitésimos e infinitos que no tienen cabida en los reales del análisis
matemático estándar.
Existen diversas formas de estudiar el análisis matemático no estándar por
hiper-extinción, desde un enfoque constructivo, un enfoque axiomático, entre otras.
En lo que respecta a esta investigación se estará abordando desde un enfoque
constructivo acompañado del principio de transferencia tal y como se describe en la
sección 5 del capı́tulo II, en el cual se muestra la construcción del sistema de números
especı́ficamente el conjunto de los números naturales, los números enteros, raciones y
reales desde el análisis matemático no estándar y de forma constructiva el conjunto
de números hiperreales,también se incorporan las propiedades, los axiomas, teoremas
y definiciones pertenecientes tanto al análisis matemático estándar como al análisis
matemático no estándar, ya que es útil para realizar un estudio comparativo de la
metodologı́a de estos dos enfoques, desde las nociones de convergencia, continuidad
(puntual y uniforme) y diferenciabilidad.
Cuando se trata de sucesiones, es importante definir criterios que garanticen
formalmente su convergencia, esto se puede hacer clásicamente a través de su
definición épsilon, que utiliza fuertemente la propiedad arquimediana de los números
reales, ası́ mismo en lo referente a la continuidad se deben cumplir ciertas propiedades
relacionadas con la definición épsilon-delta de lı́mite, ya que esta permite determinar
tanto la continuidad en un punto como la continuidad uniforme al igual que la
diferenciabilidad de funciones, en cambio en el análisis no estándar estos conceptos
3

12. son abordados mediante la noción de números infinitamente cerrados, excepto la
definición de derivadas que se sustenta mediante la noción de parte estándar.
Todo lo descrito anteriormente se engloba en un estudio comparativo del análisis
matemático estándar y el análisis matemático no estándar, debido a crı́ticas que
aluden que los fundamentos de este último son tan elementales por su terminologı́a,
también es necesario por la supuesta dificultad que se refieren a las demostraciones
que utilizan nociones épsilon-delta. De modo que, en este trabajo se recalca la
importancia y facilidad del análisis matemático no estándar, tanto para lectores
familiarizados con la temática como aquellos enfocados en la enseñanza.
4

13. Sección 2
Planteamiento del problema
Durante años, los avances de la matemática ha revolucionado al mundo,
permitiendo tener una mejor observación de lo que nos rodea, ha contribuido en
diversas áreas de la ciencia, tal como lo es la fı́sica, la economı́a, la medicina, la
tecnologı́a, entre otros; de manera que incide en la optimización de los procesos
de su aplicación en el mundo real. Los cientı́ficos y matemáticos, han comprobado
de varias maneras la precisión y exactitud de las matemáticas, y muchos de estos
han hecho descubrimientos importantes que han dejado a la comunidad matemática
con preguntas, dentro de esto se encuentra el análisis matemático no estándar, el
cual, cuando Leibniz utilizo la noción de infinitesimales en el cálculo comenzó a ser
criticado por muchos, ya que no existı́a ninguna base o fundamentación que validará
su rigurosidad, aunque los resultados proveniente de este estuviera conforme a lo
estipulado con el análisis matemático estándar.
Una de las crı́tica expuestas por algunos matemáticos radican en que: “no se
puede creer que exista magnitudes verdaderamente infinitas, ni verdaderamente
infinitesimales”, los matemáticos que criticaban este hallazgo tenı́an razones para
dudar de su veracidad, pues la historia ha mostrado que no todo pude llegar a ser
verdad, de manera que las investigaciones sobre este análisis fueron avanzando, hasta
obtener una fundamentación matemática que colaborara las nociones y el trabajo
5

14. de Leibniz. Dicho fundamento difiere del análisis estándar, aunque también puede
llevarse a cabo de forma axiomática al igual que en el análisis matemático estándar, y
esto se cumple por el axioma de transferencia, pese a esto la complejidad de la misma
es diferentes, ya que se deben tener conocimiento y perfecto manejo de ultrafiltros y
otros principios de la lógica; todo lo anterior es compensado por la simplicidad del
resultado.
Como se sabe en la matemática usual los conceptos clásicos vienen sustentados por
la definición − δ, en contra parte a esto el análisis matemático no estándar utiliza
otras herramientas que le permiten definir estos apartados de forma independientes
de los lı́mites, por lo que se plantean interrogantes como: ¿cuál es la controversia
que existe entre el análisis matemático estándar y el análisis matemático no
estándar?, de esta surgen las siguientes dudas: ¿Cómo está definida la convergencia
de sucesiones reales en ambos análisis? ¿Cuál es el contraste que existe entre la
definición de continuidad puntual y continuidad uniforme dentro de las bases de
análisis matemático estándar y análisis matemático no estándar? ¿Qué consecuencias
tienen los fundamentos matemáticos del análisis no estándar y el estándar para
la simplificación de procesos en la aplicación de la diferenciación de funciones?,
ante estas interrogantes se pretender dar una construcción rigurosa de las bases
importantes para la comprensión del análisis matemático no estándar, en ella
se tomarán los conceptos relacionados a la convergencia de sucesiones reales,
continuidad y derivada. Posteriormente se demostrarán algunos teoremas y ejercicios
prácticos en el análisis clásico, esto con el fin de presentar una buena panorámica
que ayude a percibir ventajas.
6

15. Sección 3
Justificación
La matemática ha jugado un papel fundamental para el avance de la ciencia,
puesto que ayuda a determinar modelos que describan fenómenos reales o el
comportamiento de algunas variables de interés, entre otras. Las ramas como la
fı́sica, la quı́mica o las ciencias sociales se encuentran ı́ntimamente relacionadas con
la matemática y esto se debe a que proporciona aspectos que difı́cilmente se pueden
detectar con simples observaciones. La matemática que usualmente es enseñada y
estudiada actualmente es desde la perspectiva del análisis matemático estándar,
no obstante, en 1960 Robinson estudio un enfoque distinto como es el análisis
matemático no estándar, el cual se ha implementado en áreas como: la topologı́a,
probabilidad y sistemas dinámicos, entre otras.
Este trabajo está enfocado en comparar, el análisis matemático estándar con
el análisis matemático no estándar, debido a que este último tal como lo menciono
Kurt Gödel “El análisis no estándar, en algunas de sus versiones, será el análisis
del futuro”, la razón se debe, a que por ambas perspectivas se llega a un mismo
resultado tanto para las naciones de convergencia, continuidad puntual, continuidad
uniforme y lo referente a la diferenciabilidad de funciones, ası́ mismo como en otras
áreas que no se mencionan en este estudio. La metodologı́a y los fundamentos de
estos difieren, pero los resultados son idénticos, lo que permite a la comunidad
7

16. matemática crear lı́neas de aprendizaje de esta temática, de modo que la aplicación
del mismo evolucione gradualmente a tal punto de ser considerado dentro del campo
de la enseñanza.
El punto fundamental de este trabajo es la diferenciabilidad de funciones, pues como
se sabe en el análisis matemático se debe de tener conocimiento de la definición de
épsilon-delta, a diferencia del análisis matemático no estándar. Esto podrı́a resultar
útil en la aplicación de fenómenos de la vida real, especialmente en aquellos que
dentro del análisis usual su resolución se vuelve algo tediosa, es por eso que este
estudio va dedicado tanto para los interesados en temáticas como esta, que tiene
conocimientos de la teorı́a de conjuntos y otros aspectos que serán necesarios para
la comprensión del contenido, ası́ mismo como a los estudiantes que deseen optar
otra vı́a, o quieren hacerlo con otro método. Esto es la riqueza de la matemática que
siempre se puede hacer por varias vı́as el mismo problema.
8

17. Sección 4
Objetivos de investigación
4.1. Objetivo General
Comparar la convergencia de sucesiones reales, continuidad y derivada en el
análisis matemático estándar y el análisis matemático no estándar.
4.2. Objetivos Especı́ficos
1. Exponer la convergencia de sucesiones reales entre el análisis matemático
estándar y el análisis matemático no estándar.
2. Efectuar un contraste de la continuidad de las funciones reales entre el análisis
matemático estándar y el análisis matemático no estándar.
3. Determinar la continuidad uniforme de funciones reales entre el análisis
matemático estándar y el análisis matemático no estándar.
4. Comparar la derivada de funciones reales entre ambos análisis.
9

18. Capı́tulo II
10

19. Sección 5
Marco Referencial
5.1. Antecedentes
El estudio de los conceptos de convergencia de sucesiones, continuidad de
funciones y derivadas de funciones reales en el análisis matemático estándar es un
tema que se ha tratado desde hace un buen tiempo, matemáticos griegos como
Eudoxo de Cnidos y Arquı́medes hicieron un uso informal de los conceptos de lı́mite
y convergencia cuando usaron el método exhaustivo para calcular el área y volumen
de regiones y sólidos. El análisis en Europa se origina en el siglo XVII, en el que
Newton y Leibniz crearon el cálculo. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que
estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del
concepto de sucesión de Cauchy. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva
a la aritmetización del análisis, e introduce la definición − δ de lı́mite. Entonces
los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarı́an asumiendo la existencia
de cierto continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind construye
los números reales mediante las cortaduras. Los conceptos anteriores tomando el
punto de vista de Leibniz sobre infinitesimales se retomaron recientemente en el siglo
pasado, se citan a continuación algunos estudios importantes:
11

20. Robinson (1996) Nonstandar Analysis. Abrahan Robinsón en 1960 probó que
los conceptos y métodos de la Lógica Matemática contemporánea son capaces de
proporcionar un marco adecuado para el desarrollo del Cálculo Diferencial e Integral
por medio de números infinitamente pequeños e infinitamente grandes. El tema
resultante fue llamado Análisis No Estándar, debido a los modelos No Estándar de
Aritmética cuya existencia fue señalada por primera vez por T. Skolem.
Keisler (2007) Foundations Of Infinitesimal Calculus. Esta es una exposición
del cálculo infinitesimal de Robinsón en el nivel universitario avanzado. Esta
monografı́a se puede utilizar como una introducción rápida al tema para los
matemáticos, como material de referencia para los instructores que utilizan el libro
Cálculo elemental, o como un texto para un seminario de pregrado.
Goldblatt (1998) An Introduction to Nonstandard Analysis. Este libro es una
compilación y desarrollo de notas de clase escritas para un curso sobre análisis no
estándar. El análisis no estándar requiere una mayor sensibilidad a la forma simbólica
particular que se utiliza para expresar las intuiciones, por lo que el tema plantea
algunos problemas pedagógicos únicos y desafiantes. El más fundamental de ellos
es cómo convertir el principio de transferencia en una herramienta de trabajo de la
práctica matemática.
Isaac Goldbring (2014) Lecture Notes On Nonstandard Analysis. En este libro
se utiliza un resultado de Robinson sobre el teorema de la compacidad de la lógica
de primer orden para proporcionar campos que “se comportaran lógicamente” como
el campo real ordenado mientras contenı́an elementos “ideales” como elementos
infinitesimales e infinitos. En estas notas, se cubre un amplio espectro de aplicaciones
de métodos no estándar. En estas notas, se explica qué es una extensión no estándar
y se usa para reprobar algunos hechos básicos del cálculo. A continuación, amplia
el marco no estándar para manejar situaciones matemáticas más sofisticadas y se
comienza a estudiar la topologı́a espacial métrica.
12

21. 5.2. Marco Teórico
Antes de empezar de lleno con los conceptos de sucesiones, continuidad y
derivadas, se expondrá los fundamentos matemáticos que sostienen ambas teorı́as, se
supone que el lector está familiarizado con una parte de la lógica, de modo que se parte
de la teorı́a de conjuntos según Zermelo Frankel, más el axioma de la elección que será
muy útil cuando se traten los números hiperreales. En la teorı́a de conjuntos se definirá
a través de unos axiomas las operaciones usuales, todo esto con el fin de dejar claro
la terminologı́a utilizada con cierto grado de rigor, se abordan los números naturales
junto sus operaciones, se construyen los conjuntos de números enteros, racionales y
reales con el fin de poder apreciar la conexión entre estos conjuntos y obtener cierta
práctica para construir los números hiperreales a través de los reales, con la diferencia
que se tienen que utilizar ultrafiltros. Posteriormente es necesario utilizar el principio
de trasferencia para manejar con mayor facilidad estos resultados.
5.2.1. Teorı́a de conjuntos y Números Naturales
La información esta subsección fue basada en lo expuesto por [8], quien aborda la
teorı́a de conjuntos y número Naturales desde un enfoque riguroso. En matemática
existen dos conceptos fundamentales: el concepto de conjunto y el de pertenencia.
Estos son conceptos primarios1
. Si se define conjuntos como una colección de objetos
esto no es operativo por que conjunto y colección son sinónimos y en realidad no
sea definido nada. Una manera de precisar el significado de las palabras conjunto y
pertenencia no es con definiciones insatisfactorias ni ejemplos, sino a través de unos
axiomas que constituyan las afirmaciones básicas que se aceptarán que cumplen los
conjuntos, de las cuales se pueden deducir las demás. Para expresar que un elemento
a pertenece a un conjunto A, se escribirá a ∈ A. La idea de conjunto como colección
de objetos está contenida en el siguiente axioma:
1
Llamado también términos primitivos
13

22. Axioma 5.2.1 (Axioma de extensionalidad). Dos conjuntos son iguales si y solo si
tienen los mismos elementos.
El axioma 5.2.1 dice que si dos conjuntos A y B se diferencian en algo,
necesariamente tiene que ser en sus elementos.
Definición 5.2.1. Se dirá que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B o
que A está contenido, o incluido, en B, y se representa como A ⊂ B, si todo elemento
de A es también elemento de B.
El axioma 5.2.1 y la definición 5.2.1 afirma que una igualdad de conjuntos equivale
a una doble inclusión: A = B si y solo si A ⊂ B y B ⊂ A. Los matemáticos se toparon
con algunas contradicciones en la teorı́a de conjuntos, ejemplo de esto es la paradoja
de Russel, teniendo en cuenta esto, se descarta el axioma de compresión, ya que
este afirma la existencia de conjuntos que no pueden existir. Se utilizará el siguiente
axioma propuesto por Zermelo2
.
Axioma 5.2.2 (Axioma de especificación). Dado un conjunto A y una propiedad P,
existe un conjunto cuyos elementos son los de A que cumplen P.
Solo puede existir un conjunto con los elemento de A que cumplen P, pues si
hubiera dos, ambos tendrı́an los mismos elementos, y por el axioma 5.2.1 serı́a el
mismo. Este conjunto se puede representar mediante {x ∈ A | Px} 3
. Ahora bien, el
axioma 5.2.2 solo permite definir subconjuntos de un conjunto dado, y no es posible
construir todos los conjuntos que necesitan los matemáticos yendo siempre hacia
abajo, sino que se necesita otros axiomas que nos permitan, a partir de un conjunto,
construir otros conjuntos mayores, que no sean subconjuntos suyos. Los siguientes
tres axiomas cumplen este objetivo:
Axioma 5.2.3 (Axioma del Par). Dados dos conjuntos A y B, existe otro conjunto
C cuyos elementos son exactamente A y B.
2
Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo fue un lógico y matemático alemán
3
PA es una notación equivalente P(A)
14

23. Este conjunto es único( lo cual resulta de aplicar el axioma 5.2.1) El conjunto
cuyo únicos elementos son dos conjuntos dados A y B y se representa por {A, B} y
se llamará par desordenado de A y B.
Axioma 5.2.4 (Axioma de la Unión). Dado un conjunto A, existe otro conjunto B
cuyos elementos son exactamente los que pertenecen a alguno de los elementos de A.
Por el axioma 5.2.1 este conjunto es único. El conjuntos cuyos elementos son todos
los elementos de alguno de los elementos de un conjunto dado A se representará por
S
A y lo se llamará gran unión de A.
Axioma 5.2.5 (Axioma de Partes). Dado un conjunto A, existe otro conjunto cuyos
elementos son exactamente todos los subconjuntos de A.
Nuevamente que este conjunto sea único resulta de aplicar el axioma 5.2.1 .
El conjunto cuyo elementos son todos los subconjuntos de un conjunto dado A se
representará por PA y se llamará conjunto partes de A.
Con estos axiomas se puede introducir algunas construcciones conjuntistas básicas:
Dados dos conjuntos A y B , se define su unión como el conjunto A ∪ B =
S
{A, B}, cuyos elementos son los elementos que están ya sea en A o en B.
Dados dos conjuntos A y B, se define su intersección como el conjunto A ∩
B = {x ∈ A | x ∈ B}, que resulta de aplicar el axioma 5.2.2 al conjunto A y la
propiedad Px ≡ x ∈ B. Asi, los elementos de A ∩ B son los que están a la vez
en A y en B.
Dados dos conjuntos A y B, se define su complemento como el conjunto A
B = {x ∈ A | x 6∈ B}, que resulta de aplicar el axioma 5.2.2 al conjunto A y la
propiedad Px ≡ x 6∈ B.
Dado cualquier conjunto A, se define el conjunto vacı́o como ∅ =
{x ∈ A | x 6= x}, el cual es un conjunto sin elementos y no depende del conjunto
15

24. A a partir del cual se calculó, pues dos conjuntos sin elementos tienen los mismos
elementos (ninguno), y por el axioma 5.2.1 son el mismo conjunto.
Definición 5.2.2. Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅
Teorema 5.2.1. Si X 6= ∅, existe un único conjunto Y cuyos elementos son los que
pertenecen a todos los elementos de X.
Demostración. Como X no es el conjunto vacı́o, existe un A ∈ X. Ahora se considera
la propiedad Px ≡ x pertenece a todos los elementos de X, que es una propiedad
que se le puede aplicar el axioma 5.2.2 para formar el conjunto Y = {x ∈ A | Px}.
El conjunto Y cumple con lo pedido, pues si x pertenece a todos los elementos de X,
entonces cumple Px y, en particular, x ∈ A, luego x ∈ Y . Recı́procamente si x ∈ Y
entonces cumple Px, luego x pertenece a todos los subconjuntos de X. El conjunto
Y es único por el axioma 5.2.1, ya que dos conjuntos que cumplieran lo requerido
tendrı́an los mismo elementos, luego serian el mismo conjunto.
Definición 5.2.3. El conjunto dado por el teorema anterior se llamará gran
intersección de X y se representará por
T
X.
Axioma 5.2.6 (Axioma de infinitud). Existe un conjunto X con la propiedad de que
∅ ∈ X y, siempre que x ∈ X, se cumple también que {x} ∈ X.
Definición 5.2.4. Se llamará conjuntos inductivos a los conjuntos X que cumplen
los que afirma el axioma 5.2.6.
Teorema 5.2.2. Existe un único conjunto X con la propiedad de que está contenido
en cualquier otro conjunto inductivo.
Demostración. Sea X0 un conjunto inductivo cualquiera. Se sabe que existe por el
axioma 5.2.6. Sea J = {A ∈ PX0 | A es inductivo}, que es un conjunto bien definido
por el axioma 5.2.2. Sus elementos son todos los subconjuntos inductivos de X0. En
particular J 6= ∅, pues X0 ∈ J. Esto nos permite formar la gran intersección X =
T
J.
Sea probar que el conjunto X cumple lo requerido. En primer lugar se prueba que X
16

25. es inductivo. Para ello, en primer lugar se deberá de ver que ∅ ∈ X. Por definición de
gran intersección, esto equivale a que ∅ pertenece a todos los elementos de J, y eso
es cierto, porque los elementos de J son conjuntos inductivos, y por definición todos
tienen a ∅ por elemento. En segundo lugar se toma x ∈ X y se tiene que probar
que {x} ∈ X. Para ello se tiene que probar que {x} pertenece a todos los elementos
de J. Se toma uno cualquiera, dı́gase A ∈ J. Como x ∈ X, se sabe que x pertenece
a todos los elementos de J, y en particular x ∈ A. Como A ∈ J, resulta que A es
inductivo, luego por definición de conjunto inductivo, si x ∈ A, también tiene que
cumplirse que {x} ∈ A. Con esto se ha probado que {x} está en cualquier elemento
de J prefijado, luego {x} ∈ X.
Ahora se considera cualquier conjunto inductivo Y y se tiene que probar que
X ⊂ Y . Para ello se empieza demostrando que X0 ∩ Y es un conjunto inductivo.
En efecto, como X0 e Y son ambos inductivos, se tiene que ∅ ∈ X0 y ∅ ∈ Y , luego
∅ ∈ X0 ∩ Y . Por otra parte, si x ∈ X0 ∩ Y , se tiene que x ∈ X0 y x ∈ Y , y al ser
ambos inductivos {x} ∈ X0 y {x} ∈ Y , luego {x} ∈ X0 ∩ Y . Ası́ pues, se ha probado
que X0 ∩ Y es inductivo y claramente X0 ∩ Y ⊂ X0, luego X0 ∩ Y ∈ PX0. Esto
equivale a que X0 ∩ Y ∈ J, pues es un subconjunto inductivo de X0. Por ultimo, si
x ∈ X está en todos los elementos de J, luego x ∈ X0 ∩ Y , luego x ∈ Y . Esto prueba
que X ⊂ Y .
Definición 5.2.5. Se llamará conjunto de los números naturales al menor conjunto
inductivo (en el sentido del teorema anterior) y se representará por N.
Definición 5.2.6. Cuando se piense en el conjunto vacı́o como un número natural,
se representará por 0 y se llamará cero. Cuando se piense en {n} como un número
natural, se escribirá S(n) en lugar de {n}, se dirá que S(n) es el siguiente de n. Al
siguiente de 0 se llamará 1 y se representará por S(0) = {∅}, al siguiente de 1 se
llamará 2, y se se representara por 2 = S(1) = {1} y ası́ sucesivamente.
Teorema 5.2.3 (Axiomas de Peano). El conjunto N de los números naturales cumple
17

26. las propiedades siguientes:
1. 0 ∈ N (el cero es un número natural).
2. Si n ∈ N entonces S(n) ∈ N (el siguiente de un número natural es un natural).
3. El 0 no es el siguiente de un número natural.
4. Si m, n ∈ N cumplen S(m) = S(n), entonces m = n (si dos números naturales
tienen el mismo siguiente, es que son el mismo).
5. Si A ⊂ N tiene la propiedad de que 0 ∈ A y siempre que n ∈ A también
S(n) ∈ A, entonces A = N (Principio de inducción).
Demostración. 1. El cero es un número natural por que N es un conjunto inductivo
y 0 = ∅ ∈ N por definición de conjunto inductivo.
2. Si n ∈ N entonces S(n) = {n} ∈ N, también por definición de conjunto
inductivo.
3. No puede suceder que 0 = S(n), porque entonces ∅ = {n}, cuando el conjunto
de la derecha es vacı́o, ya que contiene a n.
4. Si S(m) = S(n), esto es lo mismo que {m} = {n}, y entonces m ∈ {m} = {n},
luego m = n.
5. La hipótesis es que A es un conjunto inductivo, y entonces N ⊂ A por que N es
el menor conjunto inductivo (según el teorema 5.2.2). Como hipótesis A ⊂ N,
se tiene que A = N.
Teorema 5.2.4. Una cierta propiedad P(n) es cierta para todo número natural n.
Demostración. Usando el teorema 5.2.3 parte 5. Se denotará A como el conjunto de
todos los números n tal que P(n) es cierto. Como A contiene números naturales,
18

27. se tiene que A ⊂ N. Primero se verifica el caso base n = 0, es decir se prueba
P(0). (Se escribe la demostración de P(0) aquı́). Por lo tanto 0 ∈ A. Ahora se
supone inductivamente que n es un número natural, y P(n) ya ha sido probado.
Ahora se demostrará P(S(n)). (Inserte la prueba de P(S(n)), suponiendo que P(n) es
verdadera, aquı́). Entonces se ha probado que n ∈ A implica que S(n) ∈ A. Se puede
concluir que A = N por lo tanto, P(n) es cierto para todos los números naturales.
Para abordar más propiedades sobre los números naturales necesita unos conceptos
adicionales. Las funciones son piezas fundamentales en matemática. Para definirlas
se necesita de otros conceptos previos.
Se tiene definido los pares desordenados {a, b}, y es claro que de una igualdad
{a, b} = {c, d} no se puede concluir necesariamente que a = c y b = c. Esto hace
conveniente definir el par ordenado con primera componente a y segunda componente
b como (a, b) = {{a} , {a, b}}.
Teorema 5.2.5. Si a, b, c, d son conjuntos cualesquiera, entonces (a, b) = (c, d) si y
solo si a = c y b = d.
Se puede observar ahora que si a ∈ A y b ∈ B, entonces a, b ∈ A ∪ B, luego
{a} , {a, b} ⊂ A ∪ B, luego {a} , {a, b} ∈ P (A ∪ B), luego (a, b) = {{a} , {a, b}} ⊂
P (A ∪ B), luego (a, b) ∈ PP (A ∪ B). Lo que permite probar:
Teorema 5.2.6. Dados dos conjuntos A y B, existe un único conjunto cuyos
elementos son todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B.
Demostración. Basta aplicar el axioma 5.2.2 a la propiedad Px ≡ x es un
par ordenado de la forma x = (a, b), con a ∈ A y b ∈ B y definir X =
{x ∈ PP (A ∪ B) | Px}. Ası́ todo elemento de X es un par ordenado en las condiciones
requeridas, y si x = (a, b) es cualquiera de dichos pares, justo antes del enunciado
de este teorema se ha probado que x ∈ PP (A ∪ B) y además Px, luego x ∈ X. La
unicidad es por el axioma 5.2.1, ya que dos conjuntos que cumplieran lo requerido
19

28. tendrı́an los mismos elementos (los pares ordenados con primera componente en A y
segunda componente en B), luego serian el mismo conjunto.
Definición 5.2.7. Se llamará producto cartesiano de los conjuntos A y B al conjunto
dado por el teorema anterior, y que se representa por A × B. Ası́ si a ∈ A y b ∈ B,
se tiene que (a, b) ∈ A × B.
Definición 5.2.8. Se dirá que un conjunto f es una aplicación o función de un
conjunto A en un conjunto B (y se representará por f : A → B) si f ⊂ A × B y para
cada a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ f. También se dice que a es una
antiimagen de b por f. Dicho b recibe el nombre de imagen de a por f y se representa
por f(a). También se dice que a es una antiimagen de b por f.
Definición 5.2.9. Se dirá que f es inyectiva si cuando x, y ∈ A cumplen f(x) = f(y),
entonces x = y.
Definición 5.2.10. Se dirá que f es suprayectiva si para todo b ∈ B existe un a ∈ A
tal que f(a) = b.
Definición 5.2.11. Se dirá que es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
Se ha definido arbitrariamente un conjunto como 0 y una operación conjuntista
como “siguiente”. En realidad existen otras elecciones. En lugar de la versión del
axioma de infinitud que se ha adoptado, se puede haber tomado esta variante mas
abstracta:
Axioma 5.2.7 (Variante del Axioma de infinitud). Existe un conjunto X con una
aplicación S : X → X inyectiva y no suprayectiva.
Se puede ver el axioma 5.2.6 implica esta variante. Ahora se va ver que esta
versión abstracta es suficiente para construir un conjunto de números naturales.
Sea S : X → X una aplicación inyectiva y no suprayectiva, tal y como postula el
axioma. Entonces se puede elegir un elemento 0 ∈ N que no tiene antiimagen. Se
20

29. dirá que A ⊂ N es inductivo si 0 ∈ A y cuando n ∈ A entonces S(n) ∈ A. Sea
J = {A ∈ PX | A es inductivo}. Se puede observar que J 6= ∅, ya que X ∈ J. Sea
N =
T
J. Exactamente igual que en la demostración del teorema 5.2.2 se puede
probar que N es inductivo.
Teorema 5.2.7 (Axiomas de Peano). Existe un conjunto N, una aplicación S : N →
N y un elemento 0 de modo que se cumplen las siguientes propiedades:
1. 0 ∈ N.
2. Si n ∈ N, entonces S (n) ∈ N.
3. No existe ningún n ∈ N talque S (n) = 0.
4. Si m, n ∈ N y S (m) = S (n), entonces m = n.
5. Si A ⊂ N tiene la propiedad de que 0 ∈ A y siempre que n ∈ A también
S (n) ∈ A, entonces A = N.
Demostración. Las propiedades 1) y 2) se cumplen porque N es inductivo, la
propiedad 3) porque se ha elegido 0 sin antiimagen por S, la propiedad 4) porque S
es inyectiva y la 5) porque lo que afirma es que A ⊂ N ⊂ X es inductivo, luego A ∈ J,
luego N ⊂ A, ya que los elementos de N están en todos los elementos de J.
Se puede definir igualmente 1 = S (0), 2 = S (1), etc. Ası́ se tiene la misma
situación que antes, salvo que ahora no se ha precisado cuáles son concretamente los
elementos de N ni quién es concretamente el cero ni en qué consiste concretamente el
paso al siguiente número natural. Conviene recoger esto en una definición:
Definición 5.2.12. Un sistema de Peano es una terna (N, S, 0) que cumple las cinco
propiedades del teorema anterior.
Para poner de manifiesto que lo único que importa realmente de los números
naturales es que forman un sistema de Peano ahora se va a trabajar con uno cualquiera
21

30. de ellos. Se empieza demostrando la propiedad más importante de los números
naturales junto con el principio de inducción:
Teorema 5.2.8 (Principio de Recursión). Sea (N, S, 0) un sistema de Peano, sea
g : A → A una aplicación arbitraria y sea a ∈ A. Entonces existe una única aplicación
f : N → A tal que f (0) = a y para todo f (S (n)) = g (f (n)).
Teorema 5.2.9. Si (N, S, 0) y (N0
, S0
, 00
) son dos sistemas de Peano,entonces existe
f : N → N0
biyectiva tal que f (0) = 00
y que hace conmutativo el diagrama siguiente:
N N0
N N0
S
f
f
S0
A partir de aquı́ se fija un sistema de Peano cualquiera (N, S, 0), que puede ser
el que se ha construido concretamente en la sección anteriormente u otro cualquiera,
y se llamará números naturales a los elementos de N. Se va a aplicar el teorema
de recursión tomando como a un número natural m ∈ N y como g la aplicación
siguiente S : N → N. El teorema nos da que existe una única fm : N → N tal que
fm (0) = m y fm(S (n)) = S (fm (n)). Sin embargo, en lugar de usar la notación
habitual para aplicaciones, es decir, fm(n), se va a usar una notación especı́fica, y
se escribe m + n = fm (n). Con esta notación, las propiedades que determinan por
recurrencia la función fm se escriben ası́:
m + 0 = m
m + S (n) = S (m + n)
En particular, se puede observar que m + 1 = m + S (0) = S (m + 0) = S (m), por lo
que a partir de ahora ya no se volverá a escribir S (n) para referirnos al siguiente de
un número natural, sino que se usa la notación m+1. Puesto que ésta será la notación
que se emplea en lo sucesivo, conviene reescribir en estos términos los resultados que
se ha enunciado hasta ahora con la notación S:
22

31. Teorema 5.2.10 (Principio de inducción). Si se prueba que 0 tiene la propiedad P
y bajo la hipótesis de que n ∈ N cumple la propiedad P (hipótesis de inducción) se
puede demostrar que n+1 también cumple la propiedad P, entonces se puede asegurar
que todo número natural cumple la propiedad P.
Teorema 5.2.11 (Principio de recursión). Si g : A → A es una aplicación arbitraria
y a ∈ A, existe una única aplicación f : N → A tal que f (0) = a y para todo n ∈ N
se cumple que f (n + 1) = g (f (n)) .
Teorema 5.2.12 (Suma de números naturales). La suma de dos números naturales
m y n está unı́vocamente determinada por las propiedades siguientes:
m + 0 = m
m + (n + 1) = (m + n) + 1
Teorema 5.2.13 (Producto de números naturales). El producto de dos números
naturales está unı́vocamente determinado por las propiedades:
m ∗ 0 = 0
m ∗ (n + 1) = m ∗ n + 1
Teorema 5.2.14 (Álgebra de los números naturales). Para todo número natural m,n
y r se cumple lo siguiente:
1. (m + n) + r = m + (n + r).
2. m + n = n + m.
3. (m + n) r = mr + nr.
4. m (n + r) = mn + mr.
5. (mn) r = m (nr).
6. n ∗ 1 = n.
23

32. 7. mn = nm.
8. Si m + r = n + r, entonces m = n.
9. Si m + n = 0, entonces m = n = 0.
10. Si m ∗ n = 0, entonces m = 0 o bien n = 0.
Definición 5.2.13 (Ordenación de los números naturales). Se dirá que un número
natural m es menor o igual que otro n, y lo representará por m ≤ n, si existe un
r ∈ N tal que m + r = n.
Observe que en tal caso dicho r es único por la propiedad 8 precedente, por lo
que se puede llamar resta de n y m, y se representará por n − m.
Se puede notar que m ≤ m, porque m + 0 = m. Se escribe m n para
indicar que m ≤ n y m 6= n.
Teorema 5.2.15 (Propiedades de Orden en los naturales). Para todo número natural
m,n,r y r0
se cumplen las siguientes propiedades:
1. 0 ≤ n.
2. Si m y n son números naturales, entonces m ≤ n o bien n ≤ m.
3. Si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.
4. Si m ≤ n y n ≤ r, entonces m ≤ r.
5. Se cumple m ≤ n si y sólo si m + r ≤ n + r.
6. Si r 6= 0 y mr = nr, entonces m = n.
7. Si r 6= 0, entonces m ≤ n si y sólo si mr ≤ nr.
24

33. 5.2.2. Construcción de los números Enteros
En esta subsección se va a construir el conjunto de los números enteros con base
a lo expuesto por [12] recordando sus propiedades más importantes. La idea es que
los números enteros deben ser el conjunto de todas las “diferencias”m − n. Como un
mismo entero puede venir de distintas diferencias, se utilizará primero una relación
que identifique a los enteros.
Se define la siguiente relación (a, b)R(c, d) ⇔ a+d = b+c , ∀(a, b), (c, d) ∈ N×N.
Teorema 5.2.16. La relación R es una relación de equivalencia.
Demostración. Se debe probar comprobar que la relación R ası́ definida es reflexiva,
simétrica y transitiva.
Reflexiva
∀(a, b) ∈ N × N → a ∈ N ∧ b ∈ N, por definición de producto cartesiano
⇒ a + b ∈ N por clausura de la adición en el conjunto de los números naturales
N ⇒ a + b = b + a , por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de
los números naturales N ⇒ (a, b)R(a, b), por definición de la relación R ∴ La
relación R es Reflexiva, por definición de reflexividad.
Simetrı́a
∀(a, b), (c, d) ∈ N × N, (a, b)R(c, d) ⇒ a + d = b + c, por definición de la relación
R donde a, b, c, d ∈ N por definición de producto cartesiano.
⇒ d + a = c + b, por propiedad conmutativa de la adición en el conjunto de los
números naturales N.
⇒ c + b = d + a, por simetrı́a de la igualdad.
⇒ (c, d)R(a, b), por definición de la relación R.
∴ La relación R es Simétrica, por definición de simetrı́a.
Transitividad
∀(a, b), (c, d), (e, f) ∈ N×N, (a, b), R(c, d)∧(c, d)R(e, f) ⇒ a+d = b+c∧c+f =
25

34. d + e, por definición de la relación R donde a, b, c, d, e, f ∈ N, por definición de
producto cartesiano.
⇒ (a + d) + (c + f) = (b + c) + (d + e), sumando miembro a miembro.
⇒ (a + d) + (f + c) = (b + c) + (e + d), por propiedad conmutativa de la adición
en el conjunto de los números naturales N.
⇒ a + (d + f) + c = b + (c + e) + d , por propiedad asociativa de la adición en
el conjunto de los números naturales N.
⇒ a + (f + d) + c = b + (e + c) + d, por propiedad conmutativa de la adición
en el conjunto de los números naturales N.
⇒ (a + f) + (d + c) = (b + e) + (c + d), por propiedad asociativa de la adición
en el conjunto de los números naturales N.
⇒ (a + f) + (c + d) = (b + e) + (c + d), por propiedad conmutativa de la adición
en el conjunto de los números naturales N.
⇒ a + f = b + e, por propiedad cancelativa de la adición en el conjunto de los
números naturales N.
⇒ (a, b)R(e, f), por definición de la relación R.
∴ La relación R es Transitiva, por definición de transitividad.
∴ La relación R es una relación de equivalencia, por definición de relación de
equivalencia.
Clases de equivalencia y conjunto cociente
Una vez que se ha demostrado que la relación dada es de equivalencia se debe
recordar por el Teorema Fundamental de las Relaciones de Equivalencia que al
definir una relación de equivalencia en un conjunto no vacı́o, la misma establece una
partición de éste en clases de equivalencia, razón por la cual es pertinente determinar
las mismas.
26

35. Por definición:
Ka = {x ∈ A/xRa},
Para el caso particular que se está desarrollando serı́a.
[a, b] = {(x, y) ∈ N × N/(x, y)R(a, b))} .
Luego, por definición de la relación R dada
[a, b] = {(x, y) ∈ N × N/x + b = y + a} .
Ahora bien, por propiedad tricotómica de la relación menor que definida en el
conjunto de los números naturales N se tiene que: ∀a, b ∈ N, a = b Y a b Y b a.
Esto nos indica que para determinar las clases de equivalencia [a, b] se deben
considerar los tres escenarios, por lo cual se estudiarán detalladamente a continuación:
Caso 1: Si a=b
[a, a] = {(x, y) ∈ N × N/x + a = y + a}, por considerar a=b
⇒ [a, a] = {(x, y) ∈ N × N/x = y}, por propiedad cancelativa de la adición en
el conjunto de los números naturales N.
⇒ [a, a] = {(x, x)/x ∈ N} .
Esto indica que el conjunto viene dado por todos los pares de componentes
iguales, esto es, la diagonal del producto cartesiano N × N, el cual se representa
por extensión como sigue
[a, a] = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), ...} = [0, 0] = 0.
En esta parte se ha encontrado la clase de equivalencia [0,0] identificada
ası́ por ser el par ordenado (0,0) el elemento canónico de la clase, en este
sentido, la misma corresponde al entero cero.
Caso 2: Si a b
∃k ∈ N/k 6= 0 ∧ b = a + k, 0 6= k = b − a, por definición de la relación menor
que
⇒ b+0 = a+k, por definición de elemento neutro para la adición en el conjunto
27

36. de los números naturales N.
⇒ a + k = b + 0, por simetrı́a de la igualdad.
⇒ (a, b)R(0, k), por definición de la relación R.
⇒ [a, b] R [0, k], por propiedad de clases de equivalencia.
[0, k] = {(0, k), (1, 1 + k), (2, 2 + k), ...} := −k.
Expresado por comprensión:
∴ ∀k ∈ N/k 6= 0; [0, k] := −k.
Caso 3: Si b a
∃k ∈ N/k 6= 0 ∧ a = b + k, por definición de la relación menor que.
⇒ a+0 = b+k, por definición de elemento neutro para la adición en el conjunto
de los números naturales N.
⇒ (a, b)R(k, 0), por definición de la relación R.
⇒ [a, b] R [k, 0], por propiedad de clases de equivalencia.
Las clases de equivalencia que han sido determinadas pueden ser representadas
por medio de la siguiente gráfica:
x
y
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
k = −2
k = −1
k = 0
k = 1
k = 2
Una vez estudiadas las alternativas planteadas a partir de la propiedad tricotómica
se puede ver que en las clases de equivalencia resultantes, al menos una de las
28

37. componentes es nula, por lo cual el conjunto de ı́ndices queda definido como sigue:
I = {(m, n) ∈ N × N/m = 0 ∨ n = 0}
Se define el Conjunto de los Números Enteros Z de la siguiente forma:
Z = N × N/R =
[a, b] ⊂ N × N/(a,b) ∈ I
Expresado por extensión se tiene:
Z = {..., [0, 2] , [0, 1] , [0, 0] , [1, 0] , [2, 0] , ...}
O como se conoce habitualmente:
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
Esto lleva a la definición formal de los tres subconjuntos conocidos del Conjunto de
los Números Enteros Z.
Entero Cero:
0 ∈ N/0 = [0, 0] ⊂ N × N
Entero Positivos:
Z+ = {[a, 0] ⊂ N × N/a 6= 0 ∧ a ∈ I} , I = N∗
Z+ = {[1, 0] , [2, 0] , [3, 0] , ...}
Z+ = {1, 2, 3, 4, ...}
Entero negativos:
Z− = {[0, a] ⊂ N × N/a 6= 0 ∧ a ∈ I} , I = N∗
Z− = {[0, 3] , [0, 2] , [0, 1] , ...}
Z− = {−3, −2, −1}
29

38. Operaciones de los números enteros y su orden
Adición y Multiplicación
La adición y la multiplicación sobre Z se definirán, respectivamente, por:
1. [s, m] + [t, n] = [(s + t) , (m, n)]
2. [s, m] · [t, n] = [(s · t + m · n) , (s · n + m · t)]
para cualquiera [s, m] , [t, n] ∈ Z.
La inspección de los segundos miembros de 1. y 2. muestra que se cumplen las leyes
de clausura.
1. x + y ∈ Z, ∀x, y ∈ Z
2. x · y ∈ Z, ∀x, y ∈ Z
Teorema 5.2.17. Las clases de equivalencia a la que pertenece la suma (producto)
de los elementos pertenecientes a sendas clases de equivalencias de Z.
Relación de orden.
Para a, b ∈ Z, sea a ↔ [s, m] y b ↔ [t, n]. Las relaciones de orden y entre los
enteros se definen por:
a b ↔ (s + n) (t + n)
a b ↔ (s + n) (t + n)
Ley de tricotomı́a: para cualquier a, b ∈ Z
Si a, b ∈ Z, se tiene:
1. a + c b + c ↔ a b
2. a + c b + c ↔ a b
30

39. 3. Si c 0, es, a · c b · c ↔ a b
4. Si c 0, es, a · c b · c ↔ a b
5. Si c 0, es, a · c b · c ↔ a b
6. Si c 0, es, a · c b · c ↔ a b
Ley de la cancelación para la multiplicación
Si
Z 6= 0, x · y = y · z, es, x = y (5.1)
Teorema 5.2.18. Si a, b ∈ Z y si a · b = 0 → o bien a = 0 o bien b = 0
Teorema 5.2.19. No existe ningún n ∈ Z+
tal que 0 n 1
Se define en Z la sustracción − por a − b = a + (−b). La sustracción es
evidentemente una operación binaria sobre Z. Sin embargo, no es conmutativa ni
asociativa, si bien la multiplicación es distributiva respecto de la sustracción.
Valor absoluto |a|.
Se define el valor absoluto |a| de un entero a por:
|a| =





a si a ≥ 0
a si − a 0
Ası́, pues, excepto cuando a = 0, |a| ∈ Z+
.
31

40. 5.2.3. Construcción de los números Racionales
A continuación se va a definir los números racionales. Ahora se busca el conjunto
de todos los cocientes de números enteros, por lo que la definición debe ser:
Definición 5.2.14. Se llamará número racional a una clase de equivalencia en Z ×
(Z − {0}) módulo la relación R definida por:
(m, n) R (m0
, n0
) ⇔ mn0
= m0
n
(que se demuestra fácilmente que es de equivalencia). La clase [(m, n)]R se escribirá
m
n
. El conjunto de los números racionales se denotará por Q.
Es claro que la función Z → Q que manda n a n
1
es inyectiva, por lo que se puede
identificar Z como un subconjunto de Q. Normalmente se escribirá n en vez de n
1
.
Nótese también que m
n
= −m
−n
, por lo que se puede siempre suponer que el denominador
de un número racional es positivo.
Se extenderá ahora a Q todos los conceptos que se tenı́an en Z. Se ahorrará al
lector las demostraciones, que a estas alturas no aportan ya nada nuevo.
Teorema 5.2.20. La relación en Q definida por
m1
n1
m2
n2
⇔ m1n2 m2n1
(considerando siempre n1, n2 0) está bien definida, es un orden estricto, el
correspondiente orden ≤ es total y, restringido a Z, coincide con el orden en los
enteros.
Teorema 5.2.21. La operación
+ : Q × Q → Q
m
n
+
m0
n0
=
mn0
+ m0
n
nn0
está bien definida y da Q estructura de grupo abeliano. Además, esta suma restringida
a Z × Z es la suma de números enteros.
32

41. Teorema 5.2.22. La operación
+ : Q × Q → Q
m
n
∗
m0
n0
=
mm0
nn0
está bien definida y da a Q, junto con la suma del teorema 5.2.21, estructura de
cuerpo. Además, este producto restringido a Z×Z es el producto de números enteros.
5.2.4. Construcción de los números Reales
Hasta finales del siglo XIX, los racionales eran los únicos números “reales” en
el sentido de que R era puramente hipotético. Los matemáticos reconocieron que R
deberı́a ser un campo ordenado con la propiedad de lı́mite superior mı́nimo, pero
nadie habı́a demostrado la existencia de tal objeto. En 1872, tanto Richard Dedekind
como Georg Cantor publicaron soluciones a este problema . Este es el enfoque de
Cantor. En lo sucesivo en esta subsección se basará en lo expuesto en [12]. Dado que
los racionales están bien definidos, son el punto de partida lógico. La idea básica
es identificar cada número real r con aquellas secuencias de racionales que quieren
converger a r.
Cortaduras de Dedeking
Por cortaduras C en Q se entiende un subconjunto propio no vacı́o de Q dotado de
las propiedades siguientes:
1. Si c ∈ C y a ∈ Q con a c, entonces a ∈ C;
2. para todo c ∈ C existe b ∈ C tal que b c.
Lo esencial de estas propiedades es que una cortadura no tiene ni elemento mı́nimo
( primero) ni elemento máximo (último). Pero las razones para esto difieren bien
claramente: una cortadura C no tiene elemento mı́nimo porque si c ∈ C, todo número
33

42. racional a c es elemento de C. Por otra parte, si bien hay elementos de C mayores
que cualquier elemento dado c ∈ C, existen también números racionales mayores que
c que no pertenecen a C, es decir, que son mayores que todo elemento de C.
Teorema 5.2.23. Si C es una cortadura y r ∈ Q, entonces:
(a) D = {r + a : a ∈ C} y (b) D =
r + a
0
: a
0
∈ C
.
Demostración. (a) D 6= ∅ porque C 6= ∅; además, para todo C
0
∈ C
0
,r + c
0
/
∈ D y
D 6= Q. Luego D es un subconjunto propio de Q.
Sea b ∈ C. Para cualquier s ∈ Q tal que s r + b, setiene s − r b de modo
que s − r ∈ C y entonces s = r + (s − r) ∈ D según la condición (1) (propiedades
de cortadura ).Ası́ que para b ∈ C existe un elemento c ∈ C tal que c b; luego
r + b, r + c ∈ D y r + c r + b como se pide en la condición (2) (propiedades de
cortadura ). De modo que D es una cortadura.
(b) Sea b0
∈ C0
. Entonces r + b0
/
∈ D porque b0
/
∈ C; luego r + b0
∈ D0
. Por otra
parte, si q0
= r + p0
∈ entonces p0
/
∈ C, pues si perteneciera se tendrı́a D ∩ D0
6= ∅.
Ası́ que D0
es lo definido.
Teorema 5.2.24. Si C es una cortadura y r ∈ Q+
, entonces:
(a) E = {ra : a ∈ C} es una cortadura y (b) E = {ra0
: a0
∈ C0
} .
Teorema 5.2.25. Si C es una cortadura y r ∈ Q+
, hay un b ∈ C tal que r + b ∈ C0
Demostración. Según el teorema 2.2.23, D = {r + a : a ∈ C} es una cortadura. Como
r 0, se sigue que C subconjunto de D. Sea q ∈ Qtal que p = r + q ∈ D pero no
de C. Entonces q ∈ C pero r + q ∈ C0
. Ası́, pues, q satisface los requisitos de b en el
teorema.
Cortaduras positivas
Denótese por κ el conjunto de todas las cortaduras de los números racionales
y por κ+
el conjunto de todas las cortaduras (llamadas cortaduras positivas) que
34

43. contienen uno o más elementos de Q+
. Repártanse las restantes cortaduras de κ
en la cortadura 0, o sea la 0 = C (0) = {a : a ∈ Q−
} y el conjunto κ−
de todas las
cortaduras que tienen algún elemento de Q−
, pero no todos. Por ejemplo, C(2) ∈ κ+
,
mientras que C(−5) ∈ κ−
. Por ahora se limitará la intenciones solo a las cortaduras
de κ+
para las cuales es fácil demostrar el siguiente teorema:
Teorema 5.2.26. Si C ∈ κ+
y r 1 ∈ Q+
, existe un c ∈ C tal que rc ∈ C0
.
Simétricos multiplicativos
Teorema 5.2.27. Sea ahora una cortadura cualquiera C = Q−
∪ {0} ∪ C ∈ κ+
y
defı́nase C−1
= {b : b ∈ Q+
, b a−1
, ∀a ∈ C0
} .
Teorema 5.2.28. Si C = Q−
∪ {0} ∪ C entonces C−1
= Q−
∪ {0} ∪ C−1
es una
cortadura positiva.
Simétricos aditivos
La definición de la suma de dos cortaduras positivas es equivalente a
C1 + C2 = {c1 + c2 : c1 ∈ C1, c2 ∈ C2} , C1, C2 ∈ κ+
Se generaliza la definición para abarcar todas las cortaduras ası́:
C1 + C2 = {c1 + c2 : c1 ∈ C1, c2 ∈ C2} , C1, C2 ∈ κ
Ley de tricotomı́a
Para toda C ∈ κ, se verifica una, y solamente una, de las relaciones C = C(0);
C ∈ κ+
; −C ∈ κ+
.
Multiplicación sobre κ
35

44. Para toda C ∈ κ, se define:
C C(0) ↔ C ∈ κ+
C C(0) ↔ −C ∈ κ+
y
|C| = C si C ≥ C(0)
|C| = −C si C C(0)
Ası́ |C| ≥ C(0), es decir, |C| = C(0) o |C| ∈ κ+
.
Sustracción y División
Se define para cualquiera C1, C2 ∈ κ
C1 − C2 = C1 + (−C2)
y, si C2 6= C(0),
C1 : C2 = C1 · C−1
2
Relaciones de orden
Para cualquiera dos cortaduras distintas C1, C2 ∈ κ se define
C1 C2, o también C2 C1, significa C1 − C2 C(0).
Ley de tricotomı́a
Para cualesquiera C1, C2 ∈ κ se verifica una, y solo una, de las siguientes
relaciones:
1. C1 = C2
36

45. 2. C1 C2
3. C1 C2
Propiedades de los números reales
Defı́nase κ∗
= {C(r) : C(r) ∈ κ, r ∈ Q}.
Teorema 5.2.29. La aplicación C(r) ∈ κ∗
→ r ∈ Q es un isomorfismo de κ∗
sobre
Q.
Los elementos de κ se llaman números reales, y cuando quiera que sea más
cómodo, κ se remplazará por el familiar R, mientras que A, B, ..., denotarán elementos
arbitrarios de R. Ahora bien, Q ⊂ R; los elementos del complemento de Q en R se
llaman números irracionales.
Teorema 5.2.30 (Adición). ∀r, s, t ∈ R
r + s ∈ R (Ley de clausura).
r + s = s + r, (Ley conmutativa).
r + (s + t) = (r + s) + t, (Ley asociativa).
Si r + t = s + t, es r = s (Ley de cancelación).
Existe un elemento neutro aditivo único 0 ∈ R tal que r +0 = 0+r = r (Neutro
aditivo).
Teorema 5.2.31 (Multiplicación). ∀r, s, t ∈ R
r · s ∈ R (Ley de clausura).
r · s = s · r, (Ley conmutativa).
r · (s · t) = (r · s) · t, (Ley asociativa).
37

46. Si r + t = s + t, es r = s (Ley de cancelación).
Existe un elemento neutro multiplicativo único 1 ∈ R tal que r · 1 = 1 · r = r
(Neutro multiplicativo).
r · (s + t) = r · s + r · t (Ley distributiva).
(s + t) · r = s · r + t · r (Ley distributiva).
Teorema 5.2.32 (Propiedades de densidad). Si A, B ∈ R con A B, existe un
número racional C(r) tal que A C(r) B.
Demostración. Como A B, existen números racionales r y s con r s tales que
r, s ∈ B, pero de A. Entonces, A ≤ C(s) C(r) B, como se pedı́a.
Teorema 5.2.33 (Propiedad arquimediana). Si A, B ∈ R+
existe un entero positivo
C(n) tal que C(n) · A B.
Demostración. Como esto es trivial para A ≥ B, supóngase A B. Sean r, s números
racionales positivos tales que r ∈ A y s ∈ B0
; entonces C(r) A y C(s) B. Por la
propiedad arquimediana de Q existe un número positivo n tal que nr s, es decir,
C(n) · C(r) C(s). Luego:
C(n) · A ≥ C(n) · C(r) C(s) B (5.2)
Como se pedı́a.
Teorema 5.2.34 (Propiedad de plenitud). Todo subconjunto no vacı́o de R que tenga
un minorante (mayorante) tiene un extremo inferior (extremo superior).
Ahora para referirse a números reales C(r) se escribirá simplemente r.
Teorema 5.2.35. Para cualquier número a se cumplen las siguientes desigualdades:
|a| ≥ 0 (5.3)
38

47. |a| = |−a| (5.4)
|a| ≥ a, |a| ≥ −a (5.5)
Teorema 5.2.36 (Desigualdad triangular). Para todo a y b reales siempre se cumple
la siguiente desigualdad:
|a + b| ≤ |a| + |b| (5.6)
||a| − |b|| ≤ |a − b| (5.7)
Teorema 5.2.37. Para todo a y b reales siempre se cumple la siguiente desigualdad:
||a| − |b|| ≤ |a| − |b|
39

48. 5.2.5. Construcción de los números Hiperreales
Una construcción directa de los hiperreales proporciona un enfoque más lúcido
del Análisis no estándar. Aunque no es tan general como una extensión no estándar,
compensa la pérdida con una rica intuición sobre el concepto de números hiperreal.
La aritmética se desarrolla rápidamente y se basa en gran medida en álgebra simple
y análisis. Toda es información está basada en [3].
Definición 5.2.15 (Ultra filtro). Se define ultrafiltro en N, F, como un conjunto de
subconjuntos de N tal que:
Si X ∈ F y X ⊆ Y ⊆ N, entonces Y ∈ F
Si X ∈ F y Y ∈ F, entonces X ∩ Y ∈ F
N ∈ F, pero ∅ 6∈ F
Para todo subconjunto A de N, F contiene exactamente uno de A y N A
Se dice que un ultrafiltro es libre si contiene subconjuntos no finitos de N.
Teorema 5.2.38. Existe un ultrafiltro libre en N.
Sea F un ultrafiltro libre fijado en N, se define una relación ≡ en el conjunto de
RN
tomando hrni ≡ hsni ↔ {n ∈ N|rn = sn} ∈ N
Teorema 5.2.39 (Equivalencia). La relación ≡ es una relación de equivalencia en
RN
.
Demostración. Se van a comprobaran las propiedades de una relación de equivalencia.
Reflexividad. Debido a que el conjunto {n ∈ N|rn = rn} = N, y N ∈ F, ≡ es
reflexiva.
40

49. Simetrı́a. Los conjuntos {n ∈ N|rn = sn} y {n ∈ N|sn = rn} son el mismo, esto
significa que si uno pertenece a F también lo hace la otra.
Transitividad. Se asume que hrni ≡ hsni y hsni ≡ htni entonces ambos
{n ∈ N|rn = sn} ∈ F y {n ∈ N|sn = tn} ∈ F. Ya que
{n ∈ N|rn = sn} ∩ {n ∈ N|sn = tn} ⊆ {n ∈ N|rn = tn}
y F está cerrado bajo intersecciones y superconjuntos, {n ∈ N|rn = tn} ∈ F, y
entonces hrni ≡ htni, que es lo deseado.
Ya que ≡ es una relación de equivalencia, se define el conjunto de los números
hiperreales ∗
R como el conjunto de la sucesiones reales modulo relación de equivalencia
≡. En sı́mbolos:
∗
R = {[r] |r ∈ R} = RN
/ ≡ .
Se define la suma y la multiplicación de elementos en ∗
R haciendo suma y
multiplicación en las secuencias relacionadas, más formalmente como:
[r] + [s] = [hrni] + [hsni] = [hrn + sni]
[r] ∗ [s] = [hrni] ∗ [hsni] = [hrn ∗ sni]
Se define la relación de ordenamiento por [r] [s] ↔ {n ∈ N|rn = sn} ∈ F.
En este punto, se introduce una notación para facilitar los argumentos. Para
dos secuencias hrni y hsni, se denotara el conjunto {n ∈ N|rn = sn} por [[r = s]], se
puede aplicar también en relaciones como [[r s]] = {n ∈ N|rn = sn}.
Teorema 5.2.40. Las operaciones + y ∗ están bien definidas, y también lo es la
relación .
41

50. Una de las principales razones para construir los hiperreales es que se quiere tener
acceso a números infinitamente grandes e infinitamente pequeños, y ahora se puede
probar su existencia.
Teorema 5.2.41 (Existencia de un número infinitesimal). Existe un número ∈∗
R
tal que 0 r para todo real positivo r, y existe un número ω ∈∗
R tal que w r
para todo número real r.
Una de la implicaciones de este teorema es que, se puede concluir que el conjunto
de los números hiperreales no cumple la propiedad arquimediana.
Extensión de conjuntos Para un subconjunto dado A de R se puede definir
un subconjunto extendido ∗
A de ∗
R diciendo que un número hiperreal r es un
elemento en ∗
A si y sólo si el conjunto de n tales que rn es un elemento en A es
grande. Formalmente, esto se puede definir como:
[r] ∈ ∗
A ↔ {n ∈ N|rn ∈ A} ∈ F
.
Nuevamente, se debe verificar que esto esté bien definido. Utilizando la [...] notación,
dejar [e ∈ A] = {n ∈ N|rn ∈ A}. Se tiene eso [r = r0
] ∩ [r ∈ A] ⊆ [r0
∈ A], ası́ que si
r ≡ r0
y [r ∈ A] ∈ F, entonces [r0
∈ A] ∈ F, que muestra que las ampliaciones están
bien definidas.
Un ejemplo de esto es si A = N y ω = 1, 2, 3, .. [ω ∈ N] = N ∈ F, entonces ω ∈∗
N como los hipernaturales. Del mismo modo, si A = (0, 1) y r = 0.9, 0.99, 0.999, ...
., entonces [r ∈ N] = N ∈ F, entonces r ∈ (∗
(0, 1)).
Extensión de funciones
Una herramienta importante en el análisis no estándar es tomar una función
42

51. f : R → R y extenderla a una función ∗f :∗
R →∗
R. Esto se hace aplicando la
función a cada elemento de la secuencia que representa el número hiperreal dado. Se
define la extensión de la siguiente manera:
∗f ([hr1, r2,...i]) = [hf (r1) , f (r2) , ...i]
Nuevamente, se debe demostrar que esto está bien definido. Primero, sea f ◦r denote
hf(r1), f(r2), f(r3)...i . En general [r = r0
] ⊆ [f ◦ r = f ◦ r0
], y entonces si r ≡ r0
,
entonces ∗
f(r) = f ◦ r ≡ f ◦ r0
=∗
f(r0
), Por tanto, la función está bien definida. Una
función f : A → R definido en algún subconjunto A de R también puede extenderse a
una función ∗
f :∗
A →∗
R, pero no exactamente de la misma forma que antes. Dado
que r puede estar en A
sin que todos los elementos de r estén en A, puede haber
ı́ndices i para los cuales f(ri) no está definido. Para evitar esto, se deja f(ri) = 0
cuando ri 6∈ A. Mas formalmente sea:
sn =









f(rn) si rn ∈ A
0 otro caso
y definir
∗
f(h[rn]i) = [hsni]
Ya que se tiene ∗
f(r) = mf(r) cuando r ∈ A, ∗
f extiende f. Por lo tanto, a menudo
simplemente se descarta la simbologı́a “ ∗ ” y simplemente se refiere a la función
extendida como f también. Un tema importante relacionado con esta construcción
son las secuencias. Una secuencia hS1, S2, ...i es simplemente una función s : N → R,
y ası́ por esta construcción puede ser extendido a una hipersecuencia s :∗
N →∗
R, lo
que significa que el término sn está definido incluso cuando n ∈∗
N/N.
43

52. 5.2.6. Principio de transferencia
Una de las herramientas más importantes del análisis no estándar es el principio
de transferencia, una forma de mostrar que cierto tipo de enunciado es verdadero
cuando se habla de números reales si y solo si un determinado enunciado relacionado
es verdadero cuando se habla de los números hiperreales. El contenido de está
subsección está basada en [4]. Primero, se presenta el conjunto de oraciones al que
se aplica el principio de transferencia. Este conjunto es básicamente el conjunto
de todas las oraciones (fórmulas sin variables libres) en un lenguaje de lógica de
primer orden que consiste en una constante para cada número real, un sı́mbolo de
función para cada función real y un sı́mbolo de relación para cada uno relación con
los reales. Sin embargo, en lugar de utilizar los cuantificadores (∀x) y (∃y), estas
oraciones usan cuantificadores de la forma ∀x ∈ A y (∃y) ∈ B donde A y B son
subconjuntos de R. Algunos ejemplos de tales oraciones son (∀n ∈ N) (∃m ∈ N)
(m n),(∀x ∈ R) (∀y ∈ R) (x + y = y) que establecen respectivamente que no hay
mayor número natural y hay una identidad aditiva para los reales.
Se llamará a tal sentencia una L − sentencia. Ahora, se define la transformación ∗
de una oración en L. Se toma una sentencia ϕ, y se crea una oración relacionada
∗
ϕ. Una oración en ϕ ∈ L contiene sı́mbolos P, f y r para relaciones, funciones y
constantes en R. Para establecer la transformada de ϕ (∗
ϕ) , se reemplaza P por
∗
P para todas las relaciones P, reemplace f por ∗
f para todas las funciones f y
reemplace r por ∗
r para todas las constantes r. Algunos ejemplos de esto son:
La ∗ -transformación de la oración (∀n ∈ ∗
N) (∃m ∈ ∗
N) (m n) es
(∀n ∈ N) (∃m ∈ N) (m ∗
n).
La ∗ -transforma o (∀x ∈ R) (sin (x) 2) es (∀x ∈ ∗
R) (∗
sin (x) ∗
∗
2).
Generalmente se seguirá las convenciones que omitimos ∗ para constantes, la
mayorı́a funciones e igualdades y desigualdades simples. Con estas convenciones, las
44

53. oraciones anteriores se convierten en:
(∀n ∈ ∗
N) (∃m ∈ ∗
N) (m n)
y
(∀x ∈ ∗
R) (sin (x) 2)
.
Ahora se establecerá el principio de transferencia, que se tomará como verdadero
sin pruebas.
Teorema 5.2.42. (Principio de transferencia). Una oración ϕ en L es verdadera si
y solo si ∗
ϕ es verdad.
Algunas observaciones están en orden. Cabe señalar que se puede ir en ambas
direcciones, es decir, se puede ir de R a ∗
R, y de ∗
R a R. Si se decide ir en esta última
dirección, es importante que el enunciado sea la ∗ -transforma de una oración en L,
por lo que, por ejemplo, no puede contener constantes hiperreales. Una manera de
solucionar esto es que se reemplace la constante con una variable x, y sumando el
cuantificador (∃x ∈ ∗
A) para algunos A ⊆ R al frente, que es una técnica que se
usara. En muchos casos, no se escribirá explı́citamente la oración completa, sino que
se indicara cosas como ” ya que s n para toda n natural, por transferencia también
es cierto para cualquier n hipernatural”.
Usando el principio de transferencia
Teorema 5.2.43 (Estructura de campo de los hiperreales). La estructura
h ∗
R, +, ·, i es un campo ordenado con cero y unidad.
Demostración. La forma en que se prueba esto es utilizando el principio
de transferencia. Se considera verdadero el hecho de que R es un campo
ordenado. Esto puede expresarse mediante varias oraciones lógicas. El hecho
de que la suma sea conmutativa en R se puede expresar como la oración
(∀x, y ∈ R) (x + y = y + x), por lo que por el principio de transferencia, se puede
45

54. concluir que (∀x, y ∈ ∗
R) (x + y = y + x), por lo que la suma es conmutativa en ∗
R.
Se dejará afuera los detalles completos, pero este procedimiento se puede realizar
para todos los axiomas para campos ordenados (ya que todos son axiomas de primer
orden), por lo que se concluye que h ∗
R, +, ·, i también es un campo ordenado.
Observación. Una propiedad importante de los números reales estándar es que
están completos, es decir, cualquier subconjunto de R que no esté vacı́o y esté acotado
arriba tiene un lı́mite superior mı́nimo. La razón por la que no se puede probar que
esto sea válido para ∗
R es que esto solo se puede expresar usando lógica de segundo
orden, ya que necesita hablar sobre subconjuntos de R, no solo elementos de R. De
hecho, ∗
R no es completo . Un ejemplo de esto es que el intervalo abierto de números
reales (0, 1) no tiene un lı́mite superior mı́nimo en ∗
R.
Teorema 5.2.44. Para dos subconjuntos cualesquiera A y B de R , se tiene que:
∗
(A ∪ B) = ∗
A ∪ ∗
B.
∗
(A ∩ B) = ∗
A ∩ ∗
B .
∗
(A B) = ∗
A ∗
B.
Demostración. Se demuestra la afirmación sobre los enunciados, pero las otras dos
afirmaciones pueden probarse de manera similar. La declaración
(∀x ∈ R) (x ∈ (A ∪ B) ↔ x ∈ A ∨ x ∈ B)
es cierto para dos subconjuntos A y B de R, básicamente según la definición de
uniones. Usando el principio de transferencia, la declaración
(∀x ∈ ∗
R) (x ∈ ∗
(A ∪ B) ↔ x ∈ ∗
A ∨ x ∈ ∗
B)
también es cierto. También se tiene para dos subconjuntos XyY de ∗
R,
(∀x ∈ ∗
R) (x ∈ (X ∪ Y ↔ x ∈ X ∨ x ∈ Y ))
46

55. Combinando estas dos últimas declaraciones, dejando X = ∗
A lo conseguimos
(∀x ∈ ∗
R) (x ∈ ∗
(A ∪ B) ↔ x ∈ ( ∗
A ∪ ∗
B)) que muestra que ∗
(A ∪ B) = ∗
A ∪
∗
B.
5.2.7. Propiedades de los Hiperreales
Terminologı́a y notación
En este punto, se presenta algo de terminologı́a y notación para hablar de números
hiperreales, esta es la usada en [4], en lo que sigue de este documento se usará lo
expuesto en esta tesis.
Definición 5.2.16. Se dice que un número hiperreal b es:
1. Limitado si r b s para algunos r, s ∈ R.
2. Positivo ilimitado si r b ∀r ∈ R.
3. Negativo ilimitado si b r ∀r ∈ R.
4. Ilimitado si es positivo o negativo ilimitado.
5. Infinitesimal positivo si 0 b r para todos los positivos r ∈ R.
6. Infinitesimal negativo si r b 0 para todos los negativos r ∈ R.
7. Infinitesimal si es infinitesimal positivo, infinitesimal negativo o 0.
8. Apreciable si es limitado pero no infinitesimal.
Se usarán los términos limitado e ilimitado, en lugar de finito e infinito, cuando
nos se refiera a números individuales. Finito e infinito son términos que se usan para
conjuntos.
47

56. Para cualquier subconjunto X de ˆ
∗R, se define que x∞ = {x ∈ X x es ilimitado}
X+
= {x ∈ X|x 0}, y X−
= {x ∈ X|x 0}. Estas notaciones también se pueden
combinar, por lo que X+
∞ denota todos los miembros ilimitados positivos de X.
Aritmética de los hiperreales
Al razonar sobre los hiperreales, es útil tener ciertas reglas para calcularlos, por
ejemplo, que la suma de dos infinitesimales es en sı́ misma infinitesimal. Estas son
algunas de estas reglas para calcular con números hiperreales.
Teorema 5.2.45. Si ε y δ son infinitesimales, b y c son apreciables, y H y k son
ilimitados, entonces:
El 0 es un número infinitesimal.
ε + δ es infinitesimal.
b + ε apreciable.
H + ε y H + b son ilimitados.
b + c es limitado.
−ε es infinitesimal.
−b es apreciable.
−H es ilimitado.
· δ ∧ ε · b Son infinitesimales.
b · c es apreciable.
b · H ∧ H · K son ilimitados.
1
ε
es ilimitada si ε 6= 0.
48

57. 1
b
es apreciable.
1
H
es infinitesimal.
ε
b
, ε
h
, b
H
, son infinitesimales.
b
c
es apreciable.
b
ε
, H
e
, son ilimitados tal que H
b
ε 6= 0.
No se dará una prueba para ninguna de estas reglas, pero pueden probarse
usando el principio de transferencia o razonando sobre secuencias de reales. Las
siguientes expresiones no tienen tal regla y todas pueden tomar valores infinitesimales,
apreciables e ilimitados:ε
δ
, H
K
, ε, H, H + K.
Halos
Definición 5.2.17. Se dice que un b hiperreal es infinitamente cercano a un hiperreal
c, si b − c es infinitesimal, esto se denota por b ' c. Esto define una relación de
equivalencia en ∗
R. Se define el halo de b como el conjunto:
hal(b) = {c ∈ ∗
R|b ' c} .
Dicho de otra manera, el halo de b es el conjunto de todos los hiperreales que
están infinitamente cerca a b.
Teorema 5.2.46. Si dos números reales b y c son infinitamente cercanos entonces
se obtiene b = c.
Demostración. Suponga que b ' c, con b y c reales, pero eso b 6= c entonces hay un
número real distinto de cero r tal que b − c = r. Pero esto contradice la suposición de
que b ' c. ya que r no es infinitesimal.
Teorema 5.2.47. Suponga que b y c son limitados y que b ' b0
y c ' c0
.Luego
b ± c ' b0
± c0
y b · c ' b0
· c0
Además, si c 6' 0, luego b/c ' b0
/c0
.
49

58. Demostración. De estas suposiciones, se tiene que b − b0
= εb y c − c0
= εc con εb
y εc siendo infinitesimal. También ocurre que tanto b0
y c0
son limitados. Se quiere
demostrar que b ± c ' b0
± c0
, y esto se hace mostrando que (b ± c) − (b0
± c0
) es
infinitesimal. Se tiene (b ± c) − (b0
± c0
) = (b − b0
) ± (c − c0
) = εb ± εc.
Dado que tanto la suma como la diferencia entre dos infinitesimales es en sı́ misma
infinitesimal según el teorema 5.2.45, se tiene que (b − b0
) ± (c − c0
) es infinitesimal,
y de ahı́ que b ' b0
y c ' c0
.
El caso b · c ' b0
· c0
se prueba de manera similar. Se tiene:
b · c − b0
· c0
= b · c − b · c0
+ b · c0
− b0
· c0
= b · (c − c0
) + (b − b0
) · c
= b · εc + εb · c
Que es infinitesimal ya que el producto de un número limitado con un infinitesimal
es infinitesimal y la suma de dos infinitesimales es infinitesimal. Por lo tanto b·c ' b0
·c0
.
Para el último caso se tiene que:
b
c
−
c0
b0
=
b · c0
− b0
· c
c · c0
=
b · c0
− b · c + b · c − b0
· c
c · c0
=
b · (c − c0
) + c · (b − b0
)
c · c0
=
c · εb − c · εc
c · c0.
Ahora si c 6' 0, el denominador es el producto de dos números apreciables, que
también es apreciable. Dado que el numerador es infinitesimal por un argumento
similar al caso de los productos, el cociente es en sı́ mismo infinitesimal, y por lo
tanto b/c ' b0
/c0
.
Observación. La primera parte de la posición, a saber, que luego b ± c ' b0
± c0
,
también es válido para b y c ilimitados, pero las otras partes no. Para mostrar esto,
sea H un número ilimitado positivo y sean b0
, c y c0
igual a H, y sea b igual a H + 1
H
.
50

59. Luego b ' b0
y c ' c0
, pero
b · c − b0
· c0
=
H +
1
H
· H − H · H = H2
+ 1 − H2
= 1,
que no es infinitesimal, por lo que b · c 6' b0
· c0
. También se puede producir un
contraejemplo similar para b/c.
Parte estándar
Teorema 5.2.48. (Existencia de la parte estándar). Cada b hiperreal limitado es
infinitamente cerca de uno y solo un número real s. Este número real se llama la
estándar de b, que se denota por st(b).
Demostración. Sea A = {r ∈ R|r b} . Dado que A es un conjunto no vacı́o que
está acotado arriba, tiene un lı́mite superior mı́nimo de A en R por la completitud
(Dedekind) de R. Llame a este número real s.
Se quiere mostrar que b ' s, y se hace esto mostrando que |b − s| ε ∀ε ∈ R+
.
Toma cualquiera ε. Se demuestra que |b − s| ε mostrando que s − ε b s + ε.
Toma el caso cuando b s + ε. Asumir que s + ε ≤ b. Luego s s + ε
2
s + ε ≤ b.
Dado que tanto s como ε son reales, también lo es s+ ε
2
, y desde s+ ε
2
b, s+ ε
2
∈ A.
Pero desde s + ε
2
s, s no es un lı́mite superior de A. Pero esto es una contradicción,
por lo que debe ser el caso que b s + ε. Ahora toma el caso cuando s − ε b.
Asumir que b ≤ s − . Luego b ≤ s − s − ε
2
s. Ya que s − ε
2
≥ b, s − ε
2
es un
lı́mite superior de A, pero s − ε
2
s, entonces s no es el mı́nimo lı́mite superior de A,
lo cual es una contradicción.
También se debe comprobar que no puede haber más de una parte estándar de
b. Suponga que hay dos reales s y s0
que están infinitamente cerca de b. Ası́, por
definición, b ' s y b ' s0
, y ası́ por la transitividad de ', se tiene que s ' s0
, por la
definición 5.2.17 s−s0
es infinitesimal, como s y s0
son reales, por el teorema 45.2.45 el
único numero real infinitesimal es cero. Por tanto s−s0
= 0 lo que implica s = s0
.
51

60. Corolario 5.2.1. Sean x e y finitos.
1. x ≈ y si y solo si st(x) = st(y).
2. x ≈ st(x).
3. Si x ∈ R entonces st(x) = x.
4. Si x ≤ y entonces st(x) ≤ (y).
52

61. Sección 6
Preguntas directrices
1. ¿Cómo se define la convergencia de sucesiones reales sin la utilización de lı́mites
en el análisis estándar?
2. ¿Cómo se diferencia la continuidad de las funciones reales en el análisis estándar
del no estándar?
3. ¿Cuál de los dos análisis conllevan a un desarrollo más comprensible de la
derivada de funciones reales?
53

62. Capı́tulo III
54

63. Sección 7
Diseño Metodológico
7.1. Tipo de Estudio
7.1.1. Descriptivo
El estudio de esta investigación es descriptivo porque se efectúa un análisis
detallado de los fundamentos y las bases del análisis matemático estándar y el
análisis matemático no estándar, en ellos se encuentran las construcciones del sistema
de números internacionalmente conocidos, es decir, la construcción de los números
naturales, los números enteros, los números racionales, los números reales y la base
del análisis no estándar que son los números hiperreales, además de lo anterior también
se hace una breve descripción de la parte axiomática y de propiedades importantes
tal como es la propiedad de transferencia. Todo lo anterior presenta un pilar para el
propósito de esta investigación, ya que aportará a la comparación de los fundamentos,
cálculos y procedimientos de ambos análisis.
55

64. 7.1.2. Comparativo
Esta investigación además de ser descriptiva, tiene un enfoque comparativo, ya
que su fin es contrastar las crı́ticas del análisis matemático no estándar, las cuales
están basadas en su complejidad de sus fundamentos y la dificultad de enseñanza,
y para eso se presenta la comparación con el análisis utilizado habitualmente, aquı́
se comprara los conceptos de continuidad, continuidad uniforme, convergencia y la
diferenciabilidad, de forma que se muestre las ventajas que tiene el usar este tipo de
análisis tanto para la enseñanza como para la aplicación en los fenómenos del mundo
real.
7.2. Método
7.2.1. Método Analı́tico
Para este escrito, será necesaria las pautas presentadas por el método analı́tico,
esto es para llevar acabo el desarrollo de las demostraciones de teoremas y ejercicios
que proporcionaran un indicar clave para la comparación del análisis matemático
estándar y el no estándar.
7.3. Recolección de datos
La información fue recolectada durante el transcurso del año 2020. Esta se
recolecto siguiendo el proceso explicado a continuación:
1. Se investigaron fuentes bibliográficas especı́ficamente en libros en fı́sicos de
análisis matemático estándar proporcionados en bibliotecas y con apoyo del
tutor.
56

65. 2. Se reviso estudios realizados en territorio nacional e internacional.
3. Se hizo una exploración en sitios web y foros, documentos (libros digitales y
monografı́as) especializados en los temas de estudio.
Los documentos encontrados están divido por los dos enfoques tomados en esta
investigación, es decir, cierta parte de está enfocada al análisis matemático estándar,
el restante pertenece a los estudios realizados en el enfoque del análisis matemático
no estándar. dentro de estos estudios se tomo la información referente a convergencia,
continuidad (puntual y uniforme) y diferenciabilidad.
57

66. 7.4. Técnica
7.4.1. Fundamentación Teórica
La estrategia principal para el propósito de este estudio, es que el lector conozca las
bases de ambos análisis, es decir sus apartados lógicos de cual está sustentado tanto
el Análisis Matemático habitual como el Análisis Matemático no Estándar (ANE).
por consiguiente se enunciaran:
1. Construcción del conjunto de los números Reales.
2. Construcción del conjunto de los números Hiperreales.
3. Definición de continuidad, continuidad uniforme, convergencia y
diferenciabilidad.
7.4.2. Demostraciones
A medida que se vaya avanzando con la teorı́a, se irán demostrando por ambos
análisis (Análisis matemático estándar y Análisis matemático no estándar (ANE))
algunas definiciones, teoremas entre otros, de modo que se observe la facilidad de
utilizar el análisis matemático no estándar y como en comparación al habitual, se
vuelve más sofisticado a la hora de su aplicación.por lo cual, dichas demostraciones
forman parte de las estrategias a utilizar para el contraste de dichos análisis.
7.4.3. Análisis de información
Mediante la construcción del sistema de números (Números Naturales, Enteros,
Racionales y Reales) desde el análisis matemático estándar, se realiza de forma
constructiva de los números hiperreales, seguidamente se explica sus propiedades en
donde se incluye su terminologı́a y notación ası́ como la teorı́a Halos y parte estándar.
58

67. La parte teórica anterior sera utilizada para definir las nociones de convergencia,
continuidad (puntual y uniforme) y diferenciabilidad, desde ambos enfoques, ası́
como la realización de demostraciones de teoremas y ejercicios puntuales, los cuales
ayudaran a realizar el análisis comparativo entre el análisis matemático estándar con
el análisis matemático no estándar.
59

68. Capı́tulo IV
60

69. Sección 8
Análisis y Discusión de Resultados
En la presente sección se describirá las definiciones referentes a convergencia,
continuidad y diferenciabilidad desde el enfoque del análisis matemático estándar
y el análisis matemático no estándar, simultáneamente se expone la demostración de
ejercicios puntuales y de teoremas que permitan evidenciar las principales diferencias
de los dos enfoques del análisis matemático que abarca el estudio.
8.1. Convergencia de sucesiones
Una de las nociones fundamentales del análisis matemático es la noción de
convergencia, debido a que las sucesiones de números reales permiten mejorar el
conocimiento de la recta real y es una herramienta clave para el estudio de las
funciones reales de variable real. Las aplicaciones de esta temática son diversas,
se puede encontrar en la medición de tiempo, el kilometraje, en las industrias, los
intereses bancarios entre otras. La convergencia de una sucesión esta definida como:
Definición 8.1.1. Una sucesión es una aplicación (función) X cuyo dominio es el
conjunto de los números naturales N y el codominio es el conjunto de los números
reales es decir X : N−{0} → R, donde n ∈ N le corresponderá un cierto número real
Xn. Se denotara una sucesión por {Xn}.
61

70. Definición 8.1.2 (Convergencia clásica1
). La sucesión {Xn} converge a L, si y solo
si (∀ε 0) (∃N ∈ N) (∀n N) : |Xn − L| ε.
Definición 8.1.3 (Convergencia en ANE). La sucesión {Xn} converge a L si y solo
si Xn ' L, donde n es un hiperentero ilimitado positivo.
Las definiciones 8.1.2 y 8.1.3 aunque hablan de criterios que determinan la
convergencia de sucesiones, se ven totalmente distintas, esto es comprensible, debido
a la diferencia de terminologı́a de ambos campos, pero en esencia son equivalentes 2
,
esto queda determinado en el siguiente teorema.
Teorema 8.1.1. Las definiciones 8.1.2 y 8.1.3 son equivalentes.
Demostración. Sea {Xn} convergente a L en el sentido de la definición 8.1.2 Entonces
se muestra que también se cumple la condición dada por la definición 8.1.3. Tomando
∈ R+
, según esto, existe un número natural N talque |Xn − L| ε, siempre que
n N. Entonces aplicando el teorema 5.2.42 a la declaración formal:
(∀ε 0) (∃N ∈ N) (∀n N) : |Xn − L| ε
se obtiene
(∀ε 0) (∃N ∈∗
N) (∀n N) : |Xn − L| ε
Se considera n ilimitado y N limitado en el sentido de la definición 5.2.16, por lo
tanto n N y |Xn − L| ε, ∀ 0 con ∈ R+
. Por la definición 5.2.16 |Xn − L|,
es un número infinitesimal positivo y por las propiedades de valor absoluto Xn − L
también es infinitesimal positivo, por la definición 5.2.17 se concluye que Xn ' L.
Por el contrario, suponga que Xn ≈ L para todo n ilimitado. Se quiere mostrar que
la sucesión converge en el sentido de la definición 8.1.3. Tomando cualquier ∈ R+
y
un ilimitado N ∈ ∗N. Ahora, si n N, n debe ser ilimitado, por lo que Xn − L es
1
Definición formal debida a Bolzano en el siglo XIX.
2
Dos fórmulas lógicas son equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para todos los
posibles valores de verdad de sus componentes atómicos.
62

71. infinitesimal, lo que quiere decir que |Xn −L| para todo ∈ R. Formalmente, esto
se puede expresar como (∀n ∈ N)(n N → |Xn − L| . Por tanto, la declaración
(∃m ∈∗
N)(∀n ∈∗
N)(n m → |sn − L| ε)
también debe ser cierto. Por transferencia (teorema 5.2.42), se puede concluir que
(∃m ∈ N)(∀n ∈ N)(n m → |sn − L| ε)
es verdadero. Dado que ε se tomó como cualquier real positivo, se tiene que la oración
(∀ε ∈ R+
)(∃m ∈ N)(∀n ∈ N)(n m → |sn − L| ε)
es verdadera. De hecho, esta es la declaración formal para afirmar que la sucesión sn
converge, lo que termina nuestra demostración.
Definición 8.1.4. Siempre que una sucesión {Xn} converja a L, se representará este
hecho como:
lı́m
n→∞
Xn = L
En contra parte, si la sucesión {Xn} no converge a ningún número L, entonces se
dice que {Xn} diverge.
A continuación se presenta la demostración de ejercicios puntuales y teoremas,
tanto por el enfoque del análisis matemático estándar como por el enfoque del
análisis matemático no estándar.
Ejemplo 1: Sea la sucesión {2 + 1
n
}, demostrar que esta converge a
2.
63

72. Intuitivamente se observa que los valores de esta sucesión se mantienen cerca de
2 a como se ve en la siguiente figura:
10 20 30 40 50 60
0
1
2
3
La solución de este enunciado primero se realiza desde el punto de vista del
análisis matemático estándar.
Demostración. Para que {2+ 1
n
} converja a 2 , según la definición, ∀ε 0 debe existir
un número natural N, tal que para cualquier número natural n N,

74. 2 + 1
n
− 2

76. ε.
Simplificando esta ultima expresión se obtiene:

80. 1
n

84. ε
Como n es un número natural, 1
n
es positivo, por lo tanto

86. 1
n

88. = 1
n
, se concluye que
1
n
ε, entonces:
n
1
ε
Ahora por la propiedad arquimediana existe un número natural N tal que: N 1
ε
para cualquier número real ε, de modo que:

92. 1
n

96. ε
para cualquier ε siempre que n N, por la definición estándar de convergencia de
sucesiones, esto significa que {2 + 1
n
} converge a 2.
En lo que respecta a la solución por medio del análisis matemático no estándar,
se tiene lo siguiente:
64

97. Demostración. Sea N un número hiperentero ilimitado, por el teorema 5.2.45 1
N
es
infinitesimal, por definición 5.2.17 todo número infinitesimal es infinitamente cerrado
a cero, es decir: 1
N
≈ 0 por teorema 5.2.47 se puede realizar la suma
2 +
1
N
≈ 0 + 2
y por la propiedad del neutro aditivo para la suma, se tiene:
2 +
1
N
≈ 2
por la definición de convergencia del análisis matemático no estándar se puede concluir
que {2 + 1
n
} converge a 2.
Ejemplo 2, Seguidamente se muestra la demostración del siguiente teorema:
Teorema 8.1.2. Si las sucesiones {Xn} e {Yn} convergen a L y M respectivamente,
entonces las sucesión {Xn + Yn} converge a L + M.
La solución desde análisis matemático estándar se describe como:
Demostración. Sea {Xn} una sucesión convergente a L, de modo que ∀ε
2
0, ∃N1 ∈ N
tal que ∀n N1
|Xn − L|
ε
2
(8.1)
Sea {Yn} una sucesión convergente a M, de modo que ∀ε
2
0, ∃N2 ∈ N tal que
∀n N2
|Yn − M|
ε
2
(8.2)
Se define N = max {N1, N2}, de la suma de las desigualdades 9.1 y 9.2 se obtiene:
|Xn − L| + |Yn − M|
ε
2
+
ε
2
= ε (8.3)
siempre que n N. Por la desigualdad triangular se tiene:
|Xn + Yn − (L + M)| = |(Xn − L) + (Yn − M)| ≤ |Xn − L| + |Yn − M| (8.4)
65

98. Por 8.4 y la transitividad de la relación de orden
|Xn + Yn − (L + M)| ε, ∀n N (8.5)
Lo que quiere decir que converge {Xn + Yn} a L + M.
En lo que respecta a la solución por medio del análisis matemático no estándar,
se tiene lo siguiente:
Demostración. Sea N un hiperentero ilimitado y sea {Xn} una sucesión convergente
a L, esto quiere decir que:
XN ≈ L (8.6)
Sea {Yn} una sucesión convergente a M, lo que implica que:
YN ≈ M (8.7)
Por el teorema 5.2.47 se puede sumar las igualdades 8.6 y 8.7 se obtiene
XN + YN ≈ L + M (8.8)
Lo que quiere decir que {Xn + Yn} converge a L + M.
Ejemplo 3
Teorema 8.1.3. Si la sucesión {Xn} es convergente a L, entonces también la sucesión
{|Xn|} es convergente a |L|.
Desde el enfoque clásico se tiene lo siguiente:
Demostración. Si {Xn} es convergente a L, entonces para cualquier 0 existe
un número N tal que para todos los números n N, se cumple la desigualdad
|xn − L| , por el teorema 5.2.36, se tiene que ||xn| − |L|| ≤ |Xn − L|. Por lo tanto,
para todos los números n N tiene lugar la desigualdad ||Xn| − |L|| y esto
significa que {|Xn|} es convergente a |L|.
66

99. En lo que respecta al enfoque del análisis matemático no estándar:
Demostración. Si {Xn} es convergente a L, se tiene que Xn ≈ L, lo que implica
|Xn| ≈ |L|, eso significa que {|Xn|} es convergente a |L|.
Ejemplo 4
Teorema 8.1.4. Si {Xn} → L entonces {Xn − L} → 0
Desde el enfoque del análisis matemático estándar:
Demostración. Por hipótesis se tiene que {Xn} → L y si se aplica la definición de
convergencia 8.1.2 significa que: |Xn − L| , Por la propiedad idéntico aditivo, se
puede escribir |Xn − L − 0| agrupando |(Xn − L) − 0| Por la definición
de convergencia 8.1.2 lo anterior implica que: {Xn − L} → 0 siendo esto lo que se
pretendı́a probar.
Visto desde el enfoque del análisis matemático no estándar:
Demostración. Por hipótesis se tiene que {Xn} → L y si se aplica la definición de
convergencia 8.1.3 implica que: Xn ≈ L Por la propiedad de adición del teorema
5.2.47 se tiene que Xn − L ≈ L − L. Por la propiedad del neutro aditivo se deduce
que: Xn − L ≈ 0 Por la definición 8.1.3 de convergencia lo anterior implica que:
{Xn − L} → 0 siendo esto lo que se pretendı́a probar.
Ejemplo 5
Teorema 8.1.5. Si la sucesión {Xn} converge a 0 y la sucesión {Yn} es convergente,
entonces la sucesión {XnYn} converge a 0.
Desde el análisis matemático estándar:
67

100. Demostración. Sea J el número al cual converge {Yn}. Por definición la 8.1.2 esto
significa que ∀1 existe N1 ∈ N tal que |Yn − J| 1 siempre que n N1. En
especifico se cumplirá para 1 = 1, se tiene entonces |Yn − J| 1 para toda n N1.
Se define d = max{1, |Y1 − J|, ..., |YN1 − J|}, entonces para todos los n = 1, 2, 3, ...,
es valido |Yn − J| ≤ d, es decir para todos los n, J − d ≤ Yn ≤ J + d, lo que implica
que −J − d ≤ J − d ≤ Yn ≤ J + d, por lo tanto |Yn| ≤ J + d, que básicamente dice
que {Yn} es acotada. Como {Xn} converge a 0, se cumple que para cualquier 0,
existe un natural m de forma que |Xn|
J+d
, luego para m ≤ n se tiene
|YnXn| = |Yn||Xn| ≤ (J + d)|Xn| (J + d)
J + d
=
esto significa que {XnYn} converge a 0.
Por el enfoque del análisis matemático no estándar:
Demostración. Como {Xn} converge a 0, se tiene que:
Xn ≈ 0 (8.9)
como {Yn} es converge, lo sera a cierto número, sea J dicho número, esto quiere decir
que
Yn ≈ J (8.10)
por el teorema 5.2.47 se puede multiplicar las igualdades 8.9 y 8.10, y obtener
XnYn ≈ 0 ∗ J (8.11)
que implica que XnYn ≈ 0, siguiendo la definición 8.1.3, se concluye que {XnYn}
converge a 0.
Tal como se observa tanto en la definición como en los ejemplos presentados
anteriormente de la convergencia de sucesiones desde los dos enfoques del análisis
matemático que abarca este estudio, en el análisis matemático no estándar aunque la
argumentación llega a ser pesada en cierta forma, la metodologı́a y el procedimiento
68

101. es mas compacta y sintetizado, claro ésta que para su realización, fueron necesarias
ciertos teoremas los cuales fueron señalados en el capitulo 5, por otro lado, el estudio
desde el análisis matemático estándar se encontró que bajo la definición − δ la
argumentación matemática es menos tediosa en cuestión de conocimientos previos,
lo que beneficia al área de docencia, por lo que llega a ser mas accesible para los
estudiantes y para aquellos que por cuenta propia indagan sobre el tema.
8.2. Continuidad de funciones
Del mismo modo que la sección anterior, bajo el enfoque estándar y no estándar
del análisis matemático, se desarrollara la noción de continuidad de forma que se
puedan contrastar el proceso o camino que toman para obtener un resultado único.
Esto permitirá que el lector amplié sus conocimiento y pueda apropiarse de un enfoque
que se adapte a sus exigencias.
8.2.1. Continuidad
Definición 8.2.1. La función f es continua en x0 ∈ Df ⇔ (∀ε 0)(∃δ 0),tal que:
x ∈ Df y |x − x0| δ ⇒ |f(x) − f(x0)| ε.
Definición 8.2.2. Sea f : R → R una función. se dirá que f es continua en un
punto estándar x0 ∈ R si y solo si se cumple que si x ≈ x0, entonces f(x) ≈ f(x0).
Teorema 8.2.1. Las definiciones 8.2.1 y 8.2.2 son equivalentes.
Demostración. Para comenzar se asume que f es continua en x0, y también que
se tiene un hiperreal x tal que x ≈ x0. A partir de esto, se quiere mostrar que
f(x) ≈ f(x0), y que |f(x) − f(x0)| ε para al ε ∈ R+
. Tome cualquier real
positivo. Según la definición de continuidad, existe un δ tal que para todo real x,
|f(x) − f(x0)| ε cuando |x − x0| δ. Se busca un delta tal que se cumpla la
69

102. siguiente afirmación:
(∀x ∈ R)(|x − x0| δ → |f(x) − f(x0)| ε) (8.12)
Ahora aplicando el principio de la transferencia
(∀x ∈ ∗
R)(|x − x0| δ → |f(x) − f(x0)| ε) (8.13)
también debe cumplirse. Para cada x ≈ x0, la declaración |x − x0| δ →
|f(x) − f(x0)| ε es verdadera. Pero dado que es un real positivo y x ≈ x0, debe
ser cierto que |x − x0| δ por lo que se puede concluir que |f(x) − f(x0)| ε. Dado
que esto es válido para cualquier ε ∈ R+
debe ser cierto que f(x) ≈ f(x0) que es lo
que se pretendı́a mostrar. Por el contrario, suponga que f(x) ≈ f(x0) cuando x ≈ x0.
se quiere probar que la afirmación formal de continuidad debe ser cierta. Primero,
sea ε cualquiera positivo real, y sea d cualquier infinitesimal positivo. Entonces, debe
ser el caso que x ≈ x0 cuando |x − x0| d. Entonces, por suposición, se tiene que
f(x) ≈ f(x0), y ası́ que |f(x) − f(x0)| ε para cualquier ε ∈ R+
. De lo anterior
se concluye que si |x − x0| d, entonces |f(x) − f(x0)| ε. Esto se puede expresar
formalmente como:
(∀x ∈ ∗
R)(|x − x0| d → |f(x) − f(x0)| ε). (8.14)
Dado que esto es cierto, la declaración
(∃δ ∈ ∗
R+
)(∀x ∈ ∗
R)(|x − x0| δ → |f(x) − f(x0)| ε) (8.15)
.
también debe ser cierto. Pero esta es la ∗-transformación de la oración
(∃δ ∈ R+
)(∀x ∈ R)(|x − x0| δ → |f(x) − f(x0)| ε), (8.16)
y ası́, por transferencia, se concluye que esta última oración también es verdadera.
Dado que fue elegido arbitrariamente, sin más condiciones que ser positivo y real,
dando como resultado la declaración formal de continuidad:
(∀ε ∈ R+
)(∃δ ∈ R+
)(|x − x0| δ → |f(x) − f(x0)| ε), (8.17)
debe ser verdad, lo que concluye esta prueba.
70

103. Ejemplo 1
Teorema 8.2.2. f(x) = x3
es continua en x0 ∈ R+
.
Demostración. Por definición ε − δ. ∀ε 0, ∃δ 0 : 0 |x − x0| δ entonces
|x3
− x3
0| ε.
Partiendo de |x3
− x3
0| ε, factorizando el termino dentro de valor absoluto

105. x3
− x3
0