Modelos constitutivos mecánica continua

Nomenclature III
EDUARDO WALTER VIEIRA CHAVES
Mecanica del Medio Continuo
(Modelos Constitutivos)
´

Presentación
Este libro es la continuación natural del libro Mecánica del Medio Continuo: Conceptos Básicos
(Vol.1). En este nuevo volumen Mecánica del Medio Continuo: Modelos Constitutivos se trata el
planteamiento y desarrollo de varias ecuaciones constitutivas que se pueden encontrar en la
literatura y que se desarrollan dentro del ámbito de la Hiperelásticidad, Plasticidad (en
pequeñas y grandes deformaciones), Viscoelasticidad, Termoelasticidad, Termoplasticidad
(Pequeñas y grandes deformaciones), Mecánica del Daño y Fluidos.
El libro está dirigido tanto a alumnos de doctorado como a investigadores, presentando un
detalle minucioso a la hora de las demostraciones de las expresiones con la finalidad de
proporcionar al lector las herramientas necesarias para la extensión de los modelos
constitutivos aquí presentados, a otros modelos más complejos. En lo que respecta a la
notación, el desarrollo de las expresiones y ecuaciones se presentan en notación tensorial e
indicial.
Finalmente, querría expresar mi mayor gratitud a Inmaculada Gallego por su paciencia a la
hora de la revisión del texto. También quisiera agradecer al Prof. Xavier Oliver, Prof.
Sergio Oller, Guillaume Houzeaux y a Mariano Vázquez sus más que oportunos
comentarios.
Eduardo W. V. Chaves
Ciudad Real, 03 de marzo de 2009.
Presentacion´

Contenido
PRESENTACIÓN ................................................................................................................................................V
CONTENIDO...................................................................................................................................................VII
NOMENCLATURA ........................................................................................................................................XIII
ABREVIATURAS...........................................................................................................................................XVII
OPERADORES............................................................................................................................................XVIII
UNIDADES....................................................................................................................................................XIX
INTRODUCCIÓN....................................................................................................................... 1
1 PRINCIPIOS CONSTITUTIVOS .................................................................................................................2
1.1 El Principio del Determinismo..........................................................................................................3
1.2 El Principio de la Acción Local.........................................................................................................3
1.3 El Principio de Equipresencia............................................................................................................3
1.4 El Principio de la Objetividad............................................................................................................3
1.5 El Principio de la Disipación..............................................................................................................4
2 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL SIMPLE .......4
3 CARACTERIZACIÓN DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS PARA UN MATERIAL
TERMOVISCOELÁSTICO......................................................................................................................11
4 ECUACIONES CONSTITUTIVAS CON VARIABLES INTERNAS..........................................................15
5 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL (PVCI) Y LA MECÁNICA
COMPUTACIONAL................................................................................................................................17
6 CONTENIDO DEL LIBRO.......................................................................................................................19
APÉNDICE A. PROPIEDADES MECÁNICAS ............................................................................. 21
A.1 COMPORTAMIENTO DE LOS SÓLIDOS............................................................................................21
A.1.1 Efecto de la Temperatura.............................................................................................................25
A.1.2 Ensayos y Propiedades Mecánicas del Material ........................................................................25
A.1.2.1 Ensayo de Tracción Simple.................................................................................................25
A.1.2.2 Ensayo Brasileño...................................................................................................................30
A.1.2.3 Ensayo de Compresión Simple...........................................................................................30
A.1.2.4 Ensayo de Compresión Triaxial .........................................................................................32
A.2 COMPORTAMIENTO DE LOS FLUIDOS ...........................................................................................35
A.2.1 Viscosidad .......................................................................................................................................36
A.3 MATERIALES VISCOELÁSTICOS.......................................................................................................37
1 HIPERELASTICIDAD ............................................................................................................ 39
1.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................39
1.2 ECUACIÓN CONSTITUTIVA...............................................................................................................40
1.2.1 Tensores Constitutivos Tangentes Elásticos.......................................................................44
1.2.1.1 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Material.................44
1.2.1.2 Tensor Constitutivo Tangente Elástico en la Configuración Actual....................45
1.2.1.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico Instantáneo ..............................................47
1.2.1.4 Pseudo-Tensor Constitutivo Tangente Elástico......................................................48
Contenido

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOSVIII
1.3 MATERIAL HIPERELÁSTICO ISÓTROPO..........................................................................................51
1.3.1 Ecuación Constitutiva en Función de los Invariantes.......................................................51
1.3.1.1 Ecuación Constitutiva en Función de C y b ........................................................51
1.3.1.2 Ecuación Constitutiva en Función de E ...............................................................54
1.3.2 Expansión en Serie del Potencial Elástico...........................................................................54
1.3.3 Ecuación Constitutiva en Función de los Estiramientos Principales..............................55
1.4 ELASTICIDAD ......................................................................................................................................59
1.4.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas....................................................................60
1.4.2 Elasticidad Lineal.....................................................................................................................62
1.5 MATERIAL COMPRESIBLE .................................................................................................................62
1.5.1 Tensores de Tensiones ...........................................................................................................64
1.5.2 Material Hiperelástico Compresible Isótropo.....................................................................67
1.5.2.1 Material Hiperelástico Compresible Isótropo en Función de los Invariantes....70
1.6 MATERIAL INCOMPRESIBLE .............................................................................................................71
1.6.1 Interpretación Geométrica.....................................................................................................73
1.6.2 Material Hiperelástico Incompresible Isótropo..................................................................74
1.6.2.1 Expansión en Serie del Potencial Elástico para Material Hiperelástico
Incompresible Isótropo.................................................................................................75
1.7 EJEMPLOS DE MODELOS HIPERELÁSTICOS ..................................................................................76
1.7.1 Modelo de Sólido Neo-Hookeano........................................................................................76
1.7.2 Modelo Tipo-Goma de Ogden .............................................................................................76
1.7.2.1 Modelo Tipo-Goma de Ogden Incompresible .......................................................76
1.7.2.2 Modelo de Hadamard..................................................................................................77
1.7.3 Modelo de Mooney-Rivlin .....................................................................................................78
1.7.3.1 Energía Libre de Helmholtz.......................................................................................78
1.7.3.2 Tensor de Tensiones....................................................................................................78
1.7.4 Modelo de Yeoh ......................................................................................................................79
1.7.5 Modelo de Arruda-Boyce.......................................................................................................79
1.7.6 Modelo de Blatz-Ko................................................................................................................80
1.7.7 Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff......................................................................................80
1.7.7.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico....................................................................81
1.7.8 Modelo Neo-Hookeano Compresible..................................................................................82
1.7.8.2 Tensores de Tensiones ................................................................................................82
1.7.8.3 Tensor Constitutivo Tangente Elástico....................................................................83
1.7.9 Modelo de Gent.......................................................................................................................85
1.7.10 Modelos Estadísticos ..............................................................................................................86
1.7.11 Modelo de 8 Parámetros ........................................................................................................87
1.7.12 Modelo de Jamus-Green-Simpson........................................................................................88
1.7.12.1 Función Energía de Deformación de Jamus-Green-Simpson............................88
1.7.12.2 Ejemplo Uniaxial........................................................................................................88
1.8 HIPERELASTICIDAD ANISÓTROPA..................................................................................................90
1.8.1 Material Transversalmente Isótropo.....................................................................................90
APÉNDICE B. DEMOSTRACIÓN DE LOS MODELOS DE 8 PARÁMETROS Y ESTADÍSTICO ....... 93
B.1 MODELOS ESTADÍSTICOS.................................................................................................................93
B.1.1 Función de Energía.........................................................................................................................93
B.1.2 Tensor de Tensión..........................................................................................................................94
B.1.3 Tensor Constitutivo Tangente......................................................................................................95
B.1.3.1 Resumen del Modelo Estadístico........................................................................................97
B.2 MODELOS DE 8 PARÁMETROS.........................................................................................................99
B.2.1 Función de Energía.........................................................................................................................99

CONTENIDO IX
B.2.2 Tensor de Tensiones.......................................................................................................................99
B.2.3 Tensor Constitutivo Tangente ....................................................................................................100
B.2.4 Resumen del Modelo de 8 Parámetros......................................................................................106
2 PLASTICIDAD......................................................................................................................109
2.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................109
2.2 COMPORTAMIENTO DE SÓLIDO CON DEFORMACIÓN PLÁSTICA...........................................111
2.3 SUPERFICIE DE FLUENCIA. CRITERIO DE FLUENCIA ................................................................112
2.3.1 Superficie de Fluencia para Materiales Anisótropos...........................................................112
2.3.1.1 Gradiente de la Superficie de Fluencia .....................................................................112
2.3.2 Superficie de Fluencia para Materiales Isótropos ...............................................................113
2.3.3 Criterio de Fluencia para Materiales Independientes de la Presión Hidrostática ..........116
2.3.3.1 Criterio de von Mises ..................................................................................................116
2.3.3.2 Criterio de Tresca.........................................................................................................121
2.3.4 Criterio de Fluencia para Materiales Sensibles a la Presión Hidrostática........................125
2.3.4.1 Criterio de Mohr-Coulomb ........................................................................................125
2.3.4.2 Criterio de Drucker-Prager.........................................................................................129
2.3.4.3 Criterio de Rankine......................................................................................................134
2.3.5 Superficie de Fluencia después de la Plastificación ............................................................137
2.4 MODELOS DE PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES. CASO
UNIDIMENSIONAL..........................................................................................................................141
2.4.1 Plasticidad Independiente de la Tasa en 1D........................................................................141
2.4.1.1 Comportamiento Elastoplástico Perfecto................................................................141
2.4.1.2 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo..........................145
2.4.1.3 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Cinemático.....................151
2.4.1.4 Comportamiento Elastoplástico con Endurecimiento Isótropo y
Cinemático .....................................................................................................................154
2.5 PLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES (TEORÍA CLÁSICA DE PLASTICIDAD) .....155
2.5.1 Tensor de Deformación. Ley Constitutiva ..........................................................................156
2.5.2 Energía Libre de Helmholtz...................................................................................................156
2.5.3 Disipación de Energía. Evolución de las Variables Internas ............................................157
2.5.4 Tensor Constitutivo Tangente Elastoplástico.....................................................................159
2.5.5 Teoría Clásica de Flujo 2J ....................................................................................................164
2.5.5.1 Plasticidad Perfecta......................................................................................................164
2.5.5.2 Plasticidad con Endurecimiento Cinemático e Isótropo.......................................166
2.6 TEORÍA DEL POTENCIAL PLÁSTICO..............................................................................................168
2.7 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA....................................................................................172
2.8 PLASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA BASADA EN LA DESCOMPOSICIÓN
MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE DEFORMACIÓN........................................................173
2.8.1 Relaciones Cinemáticas...........................................................................................................173
2.8.1.1 Tensores de Deformación..........................................................................................174
2.8.1.2 Deformaciones de los Diferenciales de Área y de Volumen ................................180
2.8.1.3 Tensor Gradiente Espacial de Velocidad.................................................................182
2.8.1.4 Tasa de Oldroyd...........................................................................................................185
2.8.1.5 Tasa de Cotter-Rivlin...................................................................................................186
2.8.2 Tensores de Tensiones............................................................................................................188
2.8.2.1 Tasa de Tensores de Tensiones.................................................................................190
2.8.3 Energía Libre de Helmholtz...................................................................................................190
2.8.3.1 Desacoplamiento de la Energía Libre de Helmholtz .............................................191
2.8.3.2 Principio de Objetividad para la Energía Libre de Helmholtz.............................191
2.8.3.3 Función Energía Libre Isótropa................................................................................192
2.8.3.4 Tasa de la Energía Libre Isótropa .............................................................................192
2.8.4 Potencial Plástico y Criterio de Fluencia..............................................................................195
2.8.5 Disipación. Ecuaciones Constitutivas...................................................................................195
2.8.6 Evolución de las Variables Internas......................................................................................196
2.8.7 Tensor Constitutivo.................................................................................................................198

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOSX
2.8.7.1 Tensor Tangente Elastoplástico................................................................................199
2.8.8 Modelo Hiperelastoplástico con Función de Fluencia de von Mises..............................202
2.8.8.1 Energía Libre de Helmholtz ......................................................................................202
2.8.8.2 Tensor de Tensiones...................................................................................................202
2.8.8.3 Formulación Considerando la Transformación p
F como una
Transformación Isocórica ...........................................................................................204
2.8.8.4 Tasa de la Energía Libre.............................................................................................205
2.8.8.5 Criterio de Fluencia. Evolución de las Variables Internas ....................................206
3 TERMOELASTICIDAD. TERMOPLASTICIDAD......................................................................209
3.1 PROCESO REVERSIBLE.....................................................................................................................209
3.1.1 Energía Interna Específica...................................................................................................210
3.1.2 Energía Libre de Helmholtz ................................................................................................210
3.1.3 Energía Libre de Gibbs ........................................................................................................212
3.1.4 Entalpía ...................................................................................................................................212
3.1.5 Proceso Isotérmico e Isentrópico.......................................................................................214
3.1.6 Calor Específico y Tensor Calor Latente...........................................................................215
3.2 TERMOELASTICIDAD LINEAL ........................................................................................................218
3.2.1 Linealización de las Ecuaciones Constitutivas..................................................................218
3.2.1.1 Linealización del Primer Tensor de Tensiones de Piola-Kirchhoff...................219
3.2.1.2 Linealización del Flujo de Calor...............................................................................221
3.2.1.3 Linealización de la Entropía .....................................................................................222
3.2.1.4 Linealización de la Energía Libre de Helmholtz...................................................222
3.2.1.5 Ecuaciones Constitutivas Linealizadas....................................................................223
3.2.1.6 Termoelasticidad Lineal en el Régimen de Pequeñas Deformaciones ..............223
3.2.1.7 Termoelasticidad Lineal para Sólido Elástico, Lineal e Isótropo en el
Régimen de Pequeñas Deformaciones......................................................................225
3.3 PROBLEMA TERMO-MECÁNICO DESACOPLADO EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES..........228
3.3.1 Problema Puramente Térmico ............................................................................................230
3.3.1.1 Condiciones de Contorno e Iniciales......................................................................231
3.3.2 Problema Puramente Mecánico ..........................................................................................232
3.3.2.1 Ecuaciones de Gobierno...........................................................................................233
3.3.2.2 Condiciones de Contorno e Iniciales......................................................................233
3.4 TEORÍA CLÁSICA DE TERMOELASTICIDAD EN DEFORMACIÓN FINITA ...............................234
3.4.1 Ecuación del Flujo de Calor Acoplado..............................................................................235
3.5 TERMOELASTICIDAD CON DESCOMPOSICIÓN MULTIPLICATIVA DEL GRADIENTE DE
DEFORMACIÓN ..............................................................................................................................240
3.5.1 Tensores de Deformación....................................................................................................241
3.5.2 Tensores de Tensiones .........................................................................................................242
3.5.3 Diferencial de Área y de Volumen......................................................................................243
3.5.4 Particularización a un Material Isótropo............................................................................245
3.5.5 Energía Libre de Helmholtz. Ecuaciones Constitutivas .................................................247
3.5.5.1 Ecuaciones Constitutivas de Tensión .....................................................................248
3.5.5.2 Ecuación Constitutiva de Entropía.........................................................................250
3.6 TERMOPLASTICIDAD EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES ..........................................................253
3.6.2 Disipación de Energía...........................................................................................................253
4 FLUIDOS.............................................................................................................................257
4.1 INTRODUCCIÓN................................................................................................................................257
4.2 FLUIDO EN REPOSO Y EN MOVIMIENTO ....................................................................................258
4.2.1 Fluido en Reposo...................................................................................................................258
4.2.2 Fluido en Movimiento..........................................................................................................259
4.3 FLUIDO VISCOSO Y NO VISCOSO..................................................................................................260
4.3.1 Fluido No Viscoso (Fluido Perfecto).................................................................................260

CONTENIDO XI
4.3.2 Fluido Viscoso........................................................................................................................260
4.4 FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO ..................................................................................................261
4.5 CASOS PARTICULARES DE FLUIDOS..............................................................................................262
4.5.1 Fluidos Incompresibles.........................................................................................................262
4.5.1 Representación de la Aceleración........................................................................................262
4.5.2 Fluido Irrotacional.................................................................................................................263
4.5.3 Flujo Estacionario..................................................................................................................264
4.6 FLUIDO NEWTONIANO ...................................................................................................................265
4.6.1 Condición de Stokes..............................................................................................................268
4.7 POTENCIA TENSIONAL. POTENCIA DISIPADA. POTENCIA RECUPERABLE ..........................269
4.8 ECUACIONES BÁSICAS DE LOS FLUIDOS NEWTONIANOS ........................................................270
4.8.1 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes-Duhem.......................................................272
4.8.1.1 Forma Alternativa de las Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos ........273
4.8.1.2 Ecuaciones Básicas para Fluidos Newtonianos Incompresibles.........................273
4.8.2 Ecuación de Movimiento de Navier-Stokes......................................................................274
4.8.3 Ecuación de Movimiento de Euler .....................................................................................274
4.8.3.1 Fluidos Perfectos e Incompresible...........................................................................275
4.9 ECUACIÓN DE BERNOULLI.............................................................................................................279
APÉNDICE C. VARIABLES ADIMENSIONALES ...................................................................... 283
C.1 VARIABLES ADIMENSIONALES......................................................................................................283
5 VISCOELASTICIDAD........................................................................................................... 287
5.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................287
5.2 MODELOS REOLÓGICOS PARA LA VISCOELASTICIDAD ............................................................291
5.3 MODELOS VISCOELÁSTICOS...........................................................................................................292
5.3.1 Modelo de Maxwell ...............................................................................................................293
5.3.2 Modelo de Kelvin ..................................................................................................................295
5.3.3 Modelo de Burgers.................................................................................................................298
5.4 GENERALIZACIÓN DE LOS MODELOS DE MAXWELL Y KELVIN ............................................302
5.4.1 Generalización del Modelos de Maxwell en Serie ............................................................302
5.4.2 Generalización del Modelo de Kelvin en Paralelo ...........................................................303
5.4.3 Generalización del Modelo de Maxwell en Paralelo.........................................................304
5.4.4 Generalización del Modelo de Kelvin en Serie.................................................................305
5.5 FORMA DE OPERADOR DIFERENCIAL DE LA LEY CONSTITUTIVA ........................................306
5.6 REPRESENTACIÓN INTEGRAL DE LAS ECUACIONES CONSTITUTIVAS VISCOELÁSTICAS...308
5.6.1 Función de Fluencia Lenta...................................................................................................308
5.6.2 Función de Relajación...........................................................................................................309
5.6.3 Principio de la Superposición de Boltzmann. Representación Integral........................310
5.6.4 Relación entre la Función de Fluencia Lenta y la Función de Relajación.....................313
5.7 GENERALIZACIÓN DE LA REPRESENTACIÓN INTEGRAL A TRES DIMENSIONES................314
5.8 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO INICIAL. PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA.......317
6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO....................................................................................319
6.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................319
6.2 MODELO DE DAÑO ISÓTROPO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL.....................................320
6.2.1 Descripción del Modelo de Daño Isótropo en Una Dimensión....................................320
6.2.1.1 Ecuación Constitutiva................................................................................................321
6.2.2 Modelo de Daño Isótropo en Tres Dimensiones.............................................................322
6.2.2.1 Energía Libre de Helmholtz......................................................................................323
6.2.2.2 Disipación de Energía Interna y Ley Constitutiva ................................................323
6.2.2.3 “Ingredientes” del Modelo de Daño .......................................................................327
6.2.2.4 Ley de Ablandamiento/Endurecimiento................................................................333
6.2.3 Tensor Constitutivo Tangente de Daño Isótropo............................................................335
6.2.4 Las Normas.............................................................................................................................338
6.2.4.1 Modelo Simétrico (Tracción–Compresión) – Modelo I.......................................338

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOSXII
6.2.4.2 Modelo de Daño “Sólo Tracción” – Modelo II....................................................339
6.2.4.3 Modelo de Daño no Simétrico – Modelo III ........................................................340
6.3 DAÑO ISÓTROPO GENERALIZADO ..............................................................................................342
6.3.2 Tensiones Efectivas Esférica y Desviadora.......................................................................344
6.3.3 Consideraciones Termodinámicas......................................................................................344
6.3.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño............................................................................345
6.4 MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO EN DEFORMACIÓN INFINITESIMAL .....................................348
6.4.1 Modelo de Daño-Plástico de Simó&Ju (1987) en Pequeñas Deformaciones..............349
6.4.1.1 Energía Libre de Helmholtz.....................................................................................349
6.4.1.2 Disipación de Energía. Ecuación Constitutiva. Consideraciones
Termodinámicas............................................................................................................349
6.4.1.3 Caracterización del Daño..........................................................................................350
6.4.1.4 Tensor Constitutivo Tangente de Daño.................................................................351
6.4.1.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente
Daño-Plástico................................................................................................................352
6.5 MODELO DE DAÑO-PLÁSTICO DEL TIPO TRACCIÓN–COMPRESIÓN....................................355
6.5.2 Caracterización del Daño.....................................................................................................357
6.5.3 Evolución de la Variable de Daño......................................................................................358
6.5.4 Evolución del Tensor de Deformación Plástica...............................................................359
6.5.5 Disipación de Energía Interna.............................................................................................360
6.6 DAÑO EN DEFORMACIÓN FINITA................................................................................................363
6.6.1 Modelo Unidimensional de Gurtin & Francis..................................................................363
6.6.2 Modelo de Daño Elástico en 3D Independiente de la Tasa...........................................364
6.6.3 Variable de Daño. Evolución del Daño.............................................................................365
6.6.4 Modelo de Daño-Plástico de Simó & Ju (1989)...............................................................365
Termodinámicas............................................................................................................366
6.6.4.3 Caracterización del Daño..........................................................................................368
6.6.4.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente de
Elastoplástico Efectivo................................................................................................369
6.6.4.6 Tensor Constitutivo Tangente Daño-Plástico.......................................................370
6.6.5 Modelo de Daño-Plástico Ju(1989) ....................................................................................371
Termodinámicas............................................................................................................371
6.6.5.3 Caracterización del Daño. Tensor Constitutivo Tangente de Daño..................373
6.6.5.5 Caracterización de la Respuesta Plástica. Tensor Constitutivo Tangente
Elastoplástico. ...............................................................................................................374
6.6.5.6 Tensor Constitutivo Tangente de Daño-Plástico..................................................376
BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................379
ÍNDICE TEMÁTICO ...............................................................................................................387

Introducción
Matemáticamente el propósito de las ecuaciones constitutivas es establecer conexiones
entre los campos cinemático, térmico y mecánico. Resumimos a continuación las
ecuaciones obtenidas de las leyes fundamentales de la mecánica del medio continuo:
Ecuaciones Básicas de la Mecánica del Medio Continuo
(Configuración Actual)
Ecuación de Continuidad
(Principio de la conservación de la masa)
0)( =+ ⋅vx
rr∇ρ
ρ
Dt
D
(1)
Ecuaciones de Movimiento
(Principio de la conservación del momento
lineal)
vx
&rr
r ρρ =+⋅ bσ∇ (2)
Simetría del Tensor de Tensiones de
Cauchy
(Principio de la conservación del momento
angular)
T
σσ = (3)
Ecuación de Energía
(Principio de la conservación de la Energía)
ru ρρ +−= ⋅qDσ
r
& r
x∇: (4)
Desigualdad de Entropía
(Principio de la Irreversibilidad)
0
111
),( 2
≥−−+ ⋅ T
T
u
TT
t xx r
r
&
r
& ∇qDσ ρηρ : (5)
(Configuración de Referencia)
Ecuación de Continuidad 0)( =ρJ
Dt
D
(6)
Ecuaciones de Movimiento
( ) VF
V
X
X
&rr
&rr
r
r
000
000
ρρ
ρρ
=+
=+
⋅⋅
⋅
bS
bP
∇
∇
(7)
Introduccion´

MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO: MODELOS CONSTITUTIVOS4
Figura 1: Movimiento de cuerpo rígido.
1.5 El Principio de la Disipación
Las ecuaciones constitutivas deben cumplir la desigualdad de entropía para todo proceso
termodinámicamente admisible.
2 Caracterización de las Ecuaciones
Constitutivas para un Material Simple
Para un material termoelástico simple, las variables de estado son: el gradiente de
deformación ),( tXF
r
, la temperatura T y el gradiente de temperatura TX
r∇ . Asumimos
que ψ , η , 0q
r
y P (configuración de referencia) son determinados por la historia de F ,
T y TX
r∇ , y por sus valores actuales, por el Principio del Determinismo y por el Principio
de la Acción Local. Estas cantidades vienen expresadas a través de un conjunto de
Funcionales:
),,,(ˆ)(
),,,(ˆ)(
),,,()(
),,,()(
)()()(
)()()(
00
)()()(
)()()(
ˆ
ˆ
τττ
τττ
τττ
τττ
=
=
=
=
TTt
TTt
TTt
TTt
X
X
X
X
FX
FX
FX
FX
r
r
r
r
r
rrr
r
r
∇
∇
∇
∇
PP
qq
ηη
ψψ
(11)
donde )(τ
• representa la historia de •, hasta el tiempo actual t , siendo t≤τ . Además
verificamos que ψˆ , ηˆ son funcionales de valor-escalar, qˆr
es un funcional de valor-vector
y Pˆ es un funcional de valor-tensor de segundo orden. Teniendo en cuenta el Principio de
la Disipación, la desigualdad de Clausius-Duhem debe ser satisfecha para todo proceso
termodinámico.
Para un sistema homogéneo los funcionales descritos en (11) serán independientes de X
r
:
σ
σ
B
*
B
observador
Xx
rrr
⋅+= )()(*
tt Qc

INTRODUCCIÓN 5
),,(ˆ)(
),,(ˆ)(
),,()(
),,()(
)()()(
)()()(
00
)()()(
)()()(
ˆ
ˆ
τττ
τττ
τττ
τττ
=
=
=
=
TTt
TTt
TTt
TTt
X
X
X
X
F
F
F
F
r
r
r
r
rr
∇
∇
∇
∇
PP
qq
ηη
ψψ
Respuesta de un material
termoelástico simple
homogéneo
(12)
NOTA: Las funciones con sombrero •ˆ (funcionales) son distintas de las funciones que
están a la izquierda de la igualdad, es decir, •ˆ proporciona el valor actual de )(t• teniendo
en cuenta toda la historia de los argumentos de •ˆ . ■
Según el principio de objetividad las ecuaciones constitutivas deben ser invariantes bajo un
movimiento de cuerpo rígido del material en un intervalo dado de tiempo. Luego, las
ecuaciones constitutivas deben cumplir que:
),,(ˆ)(
),,(ˆ)(
),,()(
),,()(
*)()(*)(*
*)()(*)(*
0
*
0
*)()(*)(
*)()(*)(
ˆ
ˆ
τττ
τττ
τττ
τττ
=
=
=
=
TTt
TTt
TTt
TTt
X
X
X
X
F
F
F
F
r
r
r
r
rr
∇
∇
∇
∇
PP
qq
ηη
ψψ
(13)
donde *
• representa el tensor bajo la ley de transformación entre los dos sistemas, ver
Objetividad de Tensores -Vol.1.
Consideremos la tasa de la energía libre de Helmholtz (11):
.
: T
T
T
T
TT
X
X
F
F
F
r
r
&&& ∇
∇
∇
⋅
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=⇒
=
ψψψ
ψ
ψψ ),,(
(14)
La desigualdad de entropía, en la configuración de referencia, fue obtenida en el capítulo 4-
Vol.1, como:
[ ] 0
1
00 ≥−+− ⋅ T
T
T X
F r
r&& & ∇qP ηψρ: (15)
donde ψ es la energía libre de Helmholtz (por unidad de masa), η es la entropía específica
(por unidad de masa), y P es el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff.
Reemplazando (14) en la desigualdad de entropía (15) obtenemos que:
0
1
0
1
0000
00
≥−
∂
∂
−





+
∂
∂
−





∂
∂
−⇒
≥−





+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
⋅⋅
⋅⋅
T
T
T
T
T
T
T
T
TT
T
T
T
X
X
F
F
F
F
F
r
r
r&&
r&&&&
∇∇
∇
∇∇
∇
qP
qP
.
.
:
::
ψ
ρη
ψ
ρ
ψ
ρ
η
ψψψ
ρ
(16)
Cuya desigualdad se debe cumplir para cualquier proceso termodinámico.

INTRODUCCIÓN 9
Podemos expresar las ecuaciones constitutivas en la configuración actual (deformada),
teniendo en cuenta que el Primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff está relacionado
con el tensor de tensiones de Cauchy ( T
J
F⋅= Pσ
1
):
T
TTT
T
TT
JJ
T
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
⋅
⋅⋅⋅
∂
∂
=⇒
∂
∂
=
∂
∂
=⇒
∂
∂
=
),(
),(),(11
),(
0
0
0
0
ψ
ρ
ψ
ρ
ρ
ρψ
ρ
ψ
ρ
σ
P
P
(34)
Además teniendo en cuenta que se cumple la relación TT
JJ FF ⋅⋅ −−
=⇔= 0
1
0 qqqq
rrrr
. De
esta manera expresamos las ecuaciones constitutivas en la configuración actual como:
),,(
),,(
),(
),(
),(
),(
0
1
0
1
TTJ
TTJ
T
T
T
T
T
T
T
X
X
FF
FF
F
F
F
F
F
F
r
r
r
rr
∇
∇
q
qq
σ
⋅
⋅
⋅
−
−
=
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
=
ψ
η
ψ
ρ
ψψ
Ecuaciones constitutivas para un
material termoelástico simple
(Configuración actual)
(35)
Figura 2: Descomposición polar por la derecha.
X
r
x
r
X
r
U
UR ⋅=F
configuración de
referencia
configuración
actual
0B
B
B
R
QR =T
),( TFψψ =
1−
U
),( TUψψ =
),(
),(
ˆˆ T
T
E
C
ψψ
ψψ
=
=
S
EC,
σJ=τ
eb,

INTRODUCCIÓN 11
[ ]
[ ]T
T
T
TTJ
TTJ
TTJ
URQURQqQ
QQqQ
qq
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
−
−
−
=
=
=
),,(
),,(
),,(
0
1
0
1
*****
0
1*
X
X
X
FF
FF
r
r
r
r
r
rr
∇
∇
∇
(40)
Adoptando que T
RQ = , y considerando la simetría del tensor T
UU = , resulta:
[ ]
[ ]
FX
X
X
X
X
⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1*
TTJ
TTJ
TTJ
TTJ
TTJ
T
TTTT
T
r
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
∇
∇
∇
∇
∇
Uq
URUq
UUqR
URRURRqR
URQURQqQq
(41)
Luego, para cumplir el principio de la objetividad las ecuaciones constitutivas pueden ser
expresadas como:
FCF
C
C
F
C
C
F
C
XX
⋅⋅
⋅⋅
−−
==
∂
∂
−=
∂
∂
=
=
),,(),,(
),(
),(
),(
2
),(
0
1
0
1
TTJTTJ
T
T
T
T
T
T
rr
rrr
∇∇ qUqq
σ
ψ
η
ψ
ρ
ψψ
(42)
3 Caracterización de las Ecuaciones
Constitutivas para un Material
Termoviscoelástico
Consideremos un material, Romano et al. (2006), que tenga el siguiente comportamiento:
! Su estado de tensión depende de la deformación local ( F ) y de la temperatura (T );
! Fenómeno de disipación (fricción interna) surge cuando una parte del sistema está
en movimiento relativo de corte con otra parte del sistema. En este caso, la
respuesta del material dependerá del gradiente espacial de la velocidad
( 1
),( −
⋅=≡ FFxvx
&rrr lt∇ ) y de la temperatura (T ).
Observemos ahora que los funcionales dependerán también de la historia de F& :
),,,(ˆ)(
),,,(ˆ)(
),,,()(
),,,()(
)()()()(
)()()()(
00
)()()()(
)()()()(
ˆ
ˆ
ττττ
ττττ
ττττ
ττττ
=
=
=
=
TTt
TTt
TTt
TTt
X
X
X
X
FF
FF
FF
FF
r
r
r
r
&
&rr
&
&
∇
∇
∇
∇
PP
qq
ηη
ψψ
(43)

INTRODUCCIÓN 15
FEE
FEEF
E
E
F
E
E
F
E
X
X
⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
=
∂
∂
−=
∂
∂
=
=
),,,(ˆ
),,,(
1
),(
),(
),(
),(
0
)()(
)(
ˆ
TT
TT
J
T
T
T
T
T
Tdd
Te
r
r
&
&
∇
∇
qq
Sσ
σ
ψ
η
ψ
ρ
ψψ
(61)
con FFEC ⋅⋅== DT&&
2
1
.
4 Ecuaciones Constitutivas con Variables
Internas
Las ecuaciones constitutivas (11), escritas en términos de Funcionales de la historias de F ,
T y TX
r∇ , son muy generales. Una alternativa eficaz al del Funcional basado en la historia
es adoptar la denominada “termodinámica con variables internas”.
Este método postula que el estado actual de un sólido inelástico deformado puede ser
determinado por los valores actuales de F , T y TX
r∇ y por un conjunto de variables
internas iα . La historia de deformación está indirectamente incluida en la evolución de las
variables internas. De esta forma, las ecuaciones constitutivas quedan definidas por:
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(
00
i
i
i
i
TT
TT
TT
TT
α
α
α
α
X
X
X
X
F
F
F
F
r
r
r
r
rr
∇
∇
∇
∇
PP
qq
=
=
=
=
ηη
ψψ
(62)
donde iα , ni ,,2,1 L= , es un conjunto de n variables internas. Estas variables pueden ser
escalares, vectores o tensores de orden superior.
La consistencia de la teoría con variables internas junto, con la desigualdad de Clausius-
Duhem, proporcionan condiciones que deben cumplir las ecuaciones constitutivas en los
procesos que envuelven disipación de energía.
Partiendo ya del principio de que la energía libre de Helmholtz no depende del gradiente de
temperatura, la energía libre (62) viene expresada como:
),,( iT αFψψ = (63)
donde { }ni ααα ,,1 L= son las variables internas que se deben añadir para caracterizar el
problema, éstas pueden ser escalares, vectores o tensores de orden superior. La presencia
de variables internas obliga a incluir nuevas ecuaciones en el modelo. Estas ecuaciones
adiciones, al igual que el resto de las que gobiernan el fenómeno, solo dependen del estado
termodinámico del punto en cuestión, por lo tanto son de naturaleza local.

Figura 3: El modelo constitutivo dentro de la Mecánica Computacional.
Problema de Valor de Contorno Inicial
ESTRUCTURA
LABORATORIO
Propuesta de un
MODELO
CONSTITUTIVO
PVCI
SOLUCIÓN NUMÉRICA
Datos de entrada
SI
NO
MECÁNICA COMPUTACIONAL
NO
Nueva propuesta de ensayo
Propuesta de ensayo
¿Simula de forma precisa los
ensayos de laboratorio?
Posibilidad 1
Posibilidad 2
Simulaciónnumérica
¿Simula el
comportamiento real de
la estructura?

INTRODUCCIÓN 19
En el Apéndice A se hace una pequeña introducción al comportamiento de algunos
materiales y los ensayos más representativos, así como los parámetros mecánicos que son
obtenidos en cada ensayo.
6 Contenido del Libro
Este libro está dividido en seis capítulos. El capítulo 1 (HIPERELASTICIDAD) está dedicado
a modelos Hiperelásticos donde hacemos un planteamiento puramente mecánico (sin
considerar el efecto térmico ni el fenómeno de histéresis). Se hace un planteamiento
general y a continuación particularizamos a modelos más sencillos. También en este
capítulo plantearemos varios modelos hiperelásticos que podemos encontrar en la literatura
tales como: Modelo de sólido Neo-Hookeano, Modelo tipo-goma de Ogden, Modelo de
Hadarmard, Modelo de Mooney-Rivlin, Modelo de Yeoh, Modelo de Arruda-Boyce,
Modelo de Blatz-Ko, Modelo de Saint-Venant-Kirchhoff, Modelo de Gent, Modelo
Estadístico y el Modelo de 8 parámetros.
En el capítulo 2 hablamos de modelos que intentan representar el fenómeno de
PLASTICIDAD (sin considerar el fenómeno térmico). En este capítulo, se puede diferenciar
dos partes claras: plasticidad en pequeñas deformaciones y plasticidad en grandes
deformaciones, utilizando la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación.
El capítulo 3 está dedicado al estudio de fenómenos térmicos: TERMOELASTICIDAD Y
TERMOPLASTICIDAD.
En el capítulo 4 entramos en el dominio de los FLUIDOS, donde trataremos de describir las
ecuaciones de gobierno de los fluidos Newtonianos.
Una vez ya conocida la problemática de sólidos elásticos y de fluidos, en el capítulo 5
(VISCOELASTICIDAD) damos introducción a una nueva clase de material, que presenta las
características de los sólidos y de los fluidos simultáneamente: los materiales viscoelásticos.
En el capítulo 6 introducimos los modelos que están relacionados con la MECÁNICA DEL
DAÑO CONTINUO.

A.Propiedades Mecánicas
A.1 Comportamiento de los Sólidos
En 1660, el investigador inglés Robert Hooke descubrió que para muchos materiales
(sólidos) los desplazamientos eran proporcionales a la fuerza aplicada, estableciendo así la
noción de elasticidad (lineal), pero no en el sentido de tensión-deformación. Dicha obra
sólo fue publicada en 1678. Fue el suizo matemático Jacob Bernoulli quien observó que la
manera adecuada de describir el cambio de longitud era proporcionando una fuerza por
unidad de área (tensión), como una función del alargamiento por unidad de longitud
(deformación), ver Figura A.1.
Figura A.1: Relación tensión-deformación.
Propiedades Mecanicas´
A
Apendice´
fuerza/momento tensión
deformación desplazamiento
Ley constitutiva
σ
ε

APÉNDICE A: PROPIEDADES MECÁNICAS 37
Dependiendo de la relación constitutiva, los fluidos pueden ser clasificados como:
! Fluido Newtoniano
Un fluido Newtoniano se caracteriza por presentar una relación lineal de la tensión
tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de fluidos
Newtonianos podemos citar: agua, aceite, que obedecen la ley de fluido
Newtoniano incompresible.
! Fluido No-Newtoniano (Stokesianos)
Un fluido No-Newtoniano se caracteriza por presentar una relación no lineal de la
tensión tangencial viscosa con el tensor tasa de deformación. Como ejemplo de
fluidos No-Newtonianos podemos citar: sangre, salsas.
A.3 Materiales Viscoelásticos
Dedicaremos el capítulo 5 al planteamiento de ecuaciones constitutivas de los materiales
viscoelásticos. Para entender este comportamiento, podemos hacer un experimento muy
sencillo. Por ejemplo, cogemos un chicle (usado) y los estiramos de tal forma que en una
extremidad se concentre la mayor parte del chicle. Lo situamos en posición vertical de
manera que la única fuerza del sistema sea la gravitatoria, ver Figura A.23. Vamos a
observar que con el tiempo el chicle empezará a deformase, y sin haber añadido ninguna
fuerza al sistema. Tras un cierto tiempo deformándose, cortamos la extremidad (quitamos
la fuerza) y observamos que hay una parte de la deformación que se recupera
instantáneamente, y además verificamos que con el tiempo que hay una parte de la
deformación que se recupera lentamente.
Es decir, estos materiales tienen la capacidad de almacenar energía mecánica como los
sólidos elásticos y también tienen la capacidad de disipar energía según las leyes de fluidos
debido a la viscosidad. Luego, a la hora del planteamiento de la ley constitutiva de estos
materiales tenemos que tener en cuenta estos fenómenos simultáneamente.
Figura A.23: Comportamiento viscoelástico.
0t 1t 3t 4t 45 tt >>
Recuperación
elástica instantánea
Recuperación lenta

1Hiperelasticidad
1.1 Introducción
Nuestro objetivo en este capítulo es establecer las ecuaciones constitutivas para aquellos
materiales que se comportan según la teoría de la hiperelasticidad, también denominada como
Elasticidad de Green o Elasticidad no-lineal.
Algunos materiales como son los elastómeros, polímeros, goma, materiales biológicos
(arterias, músculos, piel), aparatos destinados al aislamiento de la base de estructuras,
pueden estar sometidos a grandes deformaciones sin presentar deformación permanente
(sin que haya disipación interna de energía), siendo así clasificados como materiales
hiperelásticos.
Entre los investigadores que han utilizado el modelo constitutivo hiperelástico para
modelar materiales tipo goma podemos citar: Alexander (1968), Treloar (1975), Ogden
(1984), Morman (1986), Holzapfel (2000).
En los materiales hiperelásticos no se tiene en consideración las deformaciones pasadas y
dichos materiales presentan un comportamiento sin histéresis.
Físicamente, el material elástico (elasticidad lineal, hiperelasticidad) regresa a su estado
inicial una vez que desaparece la carga, ver Figura 1.1. En otras palabras, el trabajo
almacenado durante el proceso de carga es recuperado durante el proceso de descarga, es
decir, no hay disipación de energía interna (proceso reversible).
En este capítulo, restringiremos nuestro análisis a teorías puramente mecánicas, luego
variables termodinámicas tales como temperatura o entropía serán despreciadas.
1Hiperelasticidad

Figura 1.1: Curva tensión-deformación de materiales elásticos (carga-descarga).
1.2 Ecuación Constitutiva
Un material hiperelástico (o material elástico no-lineal o material elástico de Green) postula la
existencia de una función de energía libre de Helmholtz Ψ definida por unidad de volumen
de referencia. Para procesos reversibles Ψ se denomina energía potencial, o densidad de energía
de deformación (función energía de deformación), o potencial elástico. Para materiales hiperelásticos la
función energía de deformación Ψ es sólo dependiente del gradiente de deformación )(F ,
i.e., ),( tFΨΨ = .
En procesos puramente de deformación, donde no se involucran cambios debido a la
entropía, temperatura, la disipación interna ( intD ) es igual a cero, caracterizando así un
proceso reversible. Luego, la desigualdad de Clausius-Planck, ver capítulo 4 - Vol.1, para
procesos reversibles recae en la siguiente expresión:
DσDσ :: =⇒=−= ΨΨ && 0intD (Configuración actual)
CC
FF
&&
&&
&&
&&
::
::
SS
PP
2
1
0
2
1
0
=⇒=−=
=⇒=−=
ΨΨ
ΨΨintD (Configuración de referencia) (1.1)
donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy, D es el tensor tasa de deformación, P es el
primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, S es el segundo tensor de tensiones de
Piola-Kirchhoff, y C es el tensor derecho de deformación de Cauchy-Green. Recurriendo
a las relaciones conjugadas obtenidas en el capítulo 4 - Vol.1:
{ ∫∫∫∫∫∫∫ ======
VVVVVVV
dVdVdVdVdVdVJdV
2
1
0
00000
00000
FFCE &&&& ::::::: τ
τ
PPSSDDσDσ
ρ
ρ
(1.2)
Podemos resumir que la tasa de la energía de deformación puede ser expresada como:
44444 344444 21
&&&&
TensionalPotencia
DSSP :::: τ==== CEF
2
1
Ψ
(1.3)
siendo, E el tensor de deformación de Green-Lagrange, y τ el tensor de tensiones de
Kirchhoff.
I
σ
ε
carga
descarga
II
I - zona elástica lineal
II - zona elástica no-lineal

Fijemos que la condición (1.9) debe cumplirse para cualquier proceso termodinámico.
Luego, si efectuamos un proceso tal que 0>C& y a continuación efectuamos un proceso
0<C& , la única posibilidad para que siga siendo válida la condición (1.9) es cuando:
C
C
C
C
∂
∂
=⇒=
∂
∂
−
)(
20
)(
2
1 ΨΨ
SS (1.10)
Análogamente, podemos demostrar que:
E
E
C
C
∂
∂
=
∂
∂
=
)()(
2
ΨΨ
S (1.11)
Figura 1.2: Objetividad de la energía de deformación.
Teniendo en cuenta las relaciones entre los tensores de tensiones vistas en el capítulo 3 -
Vol.1, podemos aun expresar las ecuaciones constitutivas como:
! Función del tensor de tensiones de Kirchhoff ( τ):
T
T
T
F
C
C
F
F
E
E
F
FF
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
∂
∂
=
∂
∂
=
=
)(
2
)(
Ψ
Ψ
Sτ
(1.12)
B
X
r
x
r
X
r
F , )(FΨ
configuración de
referencia
configuración
actual
0B B
FF ⋅= Q*
)( F⋅QΨ
U
)(UΨ
R
Q
UR ⋅=F
T
RQ =
EC,
)(
)(
ˆ E
C
Ψ
Ψ
)()()( UURQQ ΨΨΨ == ⋅⋅⋅F

Figura 1.3: Tensores constitutivos tangentes elásticos.
klijklij
klijklij
klijklij
D
D
D
A
L
L
=σ
=τ
=τ
Τ
ˆo
"
RELACIONES TASAS DE TENSIÓN - DEFORMACIÓN
X
r
x
r
Configuración de
referencia
Configuración
actual
0B B
Tensor tangente elástico material
CCC
C
EEE
E
∂
∂
=
∂⊗∂
∂
=
∂
∂
=
∂⊗∂
∂
=
S
S
2
)(
4
)(
2
2
Ψ
Ψtan
C
F
E&& :tan
C=S
Tensor tangente elástico espacial
)(
4
1
2ˆ
jkiljlikilkjikljijkl
ijklijklijkl
lqkp
tan
mnpqimjnijkl
con
FFFF
δδδδ τ+τ+τ+τ=
+=
=
H
HLL
CL
Tensor tangente elástico instantáneo
ijkllqkp
tan
mnpqjnimijkl
J
FFFF
J
LCA
11
==
klijklij F&& K=P
Pseudo-Tensor tangente elástico
ikljipkq
tan
pjlqijkl
klij
ijkl
FF
FF
δ
Ψ
S+=
∂∂
∂
=
CK
K
)(2
F
TENSORES TANGENTES ELÁSTICOS

1 HIPERELASTICIDAD 63
( )
( ) ( )
( ) 13
2
1
3
1
3
4
3
4
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
−
−
−
−
−
−−
−
−
−=−=
−=
∂
∂
−=
∂






∂
=
∂
∂
CC
C
C
CC
C
CC
C
C
C
JIII
IIIIII
III
III
III
J
T (1.136)
donde hemos utilizado que 1−−
==
∂
∂
CC
C
CC
C
IIIIII
III T
. Adicionalmente obtenemos que:
T
J
J
JJ
J
J
J
P
I
I
3
2
13
2
13
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
)()(
)(
~
−
−
−
−
−−
−
−
−
=






⊗−=
⊗−=
∂
∂
⊗+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
CC
CC
C
C
C
C
C
C
C
C






−=
−=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−−
−
−
−
13
2
13
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
)()(
)(
~
klijijkl
klijjlik
kl
ij
kl
ij
kl
ij
kl
ij
CCJ
CCJJ
C
J
C
C
C
J
C
CJ
C
C
I
δδ
(1.137)
Hemos definido así el tensor de cuarto orden P :
CCCC ⊗−=⇒⊗−= −− 11
3
1
3
1
IPIPT
(1.138)
Llamamos P al tensor proyección con respecto a la configuración de referencia, Holzapfel
(2000).
Figura 1.4: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación – parte isocórica y
parte volumétrica.
B
X
r
x
r
X
r
vol
F F
~
vol
FFF ⋅=
~
configuración de
referencia
configuración
actual
0B B
dilatación pura
FFC ⋅= T
FFC
~~~
⋅= T
T
FFb ⋅=
13
2
Jvol
=C
Tvolvolvol
FFb ⋅=
1
~
=F

1 HIPERELASTICIDAD 65
Figura 1.5: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación – parte isocórica y
parte volumétrica.
Asumimos la descomposición aditiva de la energía de deformación en una parte isocórica y
en una volumétrica:
)()
~
()(
)()
~
()(
~
~
volvol
volvol
CCC
FFF
ΨΨΨ
ΨΨΨ
+=
+=
(1.143)
Haciendo la derivada temporal de la expresión de energía (1.143) obtenemos:
J
dJ
Jd
t
J
dJ
Jd
t
J
vol
vol
vol
&&
&&&
)(~
~
)
~
(
)(
~
~
)
~
(
)()
~
()(
~
~
~
ΨΨ
ΨΨ
ΨΨΨ
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
+=
C
C
C
C
C
C
CC
:
: (1.144)
Teniendo en cuenta que C
C
&& :
∂
∂
=
J
J y la relación 1
2
−
=
∂
∂
C
C
JJ
, obtenemos que:
1σ
J
Jvol
∂
∂
=
)(Ψ
B
X
r
x
r
X
r
vol
F F
~
vol
FFF ⋅=
~
configuración de
referencia
configuración
actual
0B B
dilatación pura
)()
~
()(
~ volvol
CCC ΨΨΨ +=
T
J −−
⋅⋅=
∂
∂
= FF
C
C
σS 1)(
2
Ψ
vol
SSS +=
~
con 1)( −
∂
∂
= C
J
J
J
vol
vol Ψ
S , SS
~~ 3
2
:P
−
= J
T
J
F
C
C
F ⋅⋅
∂
∂
=
)(2 Ψ
σ
)( volvol
FΨ
)
~
()
~
(
~
FF ΨΨ ≡iso
C
C
~
)
~
(
2
~ ~
∂
∂
=
Ψ
S
1σ
J
Jvol
∂
∂
=
)(Ψ

5304203112011101 χ+χ+χ+χ+χ=σ ccccc (1.295)
1.8 Hiperelasticidad Anisótropa
Ciertos tejidos biológicos presentan fibras, perdiendo así su isotropía. Si estas fibras tienen
una dirección preferente, que representamos por 0
â (configuración de referencia), el tejido
viene caracterizado como un material transversalmente isótropo. Otros tejidos, como por
ejemplo el tejido cardíaco, pueden presentar las fibras según dos direcciones preferentes,
clasificándolos así como tejidos con dos familias de fibras, ver Figura 1.8.
Figura 1.8: Materiales con fibras.
1.8.1 Material Transversalmente Isótropo
Como quedó demostrado en el capítulo 1 - Vol.1, una función isótropa )(CΨΨ = puede
ser escrita en función de sus invariantes principales ),,( CCC IIIIIIΨΨ = . Si ahora la
función es una función de un vector 0
â y del tensor C , )ˆ,( 0aCΨ , se puede demostrar que
esta función se puede escribir en función de los siguientes invariantes:
),,,,(
)ˆˆ,ˆˆ,,,()ˆ,(
)5()4(
0
2
0000
CCCCC
CCC CCC
IIIIIIII
IIIIII
Ψ
ΨΨ
=
= ⋅⋅⋅⋅ aaaaa
(1.296)
donde )4(
CI y )5(
CI son los pseudos invariantes de anisotropía. Además, considerando que la
energía es independiente del sentido de 0
â , tenemos que )ˆ,()ˆ,( 00 aa −= CC ΨΨ , por ello
podemos representar la energía de deformación por:
)ˆˆ,( 00 aa ⊗= CΨΨ (1.297)
Podemos demostrar que la función anterior es objetiva:
)ˆˆ,(
)ˆˆ,()ˆˆ,(
00
0000
aQaQQQ
QaaQQQaa
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⊗=
⊗=⊗
T
TT
C
CC
Ψ
ΨΨ
(1.298)
0
â 0
â
0
ˆb
a) Una familia de fibras b) Dos familias de fibras

2Plasticidad
2.1 Introducción
En un proceso de carga en régimen elástico, la estructuración atómica no se ve afectada,
caracterizando así un proceso sin disipación de energía interna. Una vez retirada la carga el
sólido vuelve a su estado inicial.
En ciertas clases de materiales, si seguimos cargando el material, llegará un nivel de carga tal
que la estructura atómica empieza a reestructurarse (dislocaciones a una escala atómica)
luego, hay una disipación interna de energía (proceso irreversible). La mayor parte de la
energía será utilizada para aumentar la temperatura (liberación de calor), como
consecuencia hay un aumento en el desorden del sistema (aumento de la entropía). Un
aumento de la temperatura implica también dilatación. A nivel macroscópico, en materiales
dúctiles como los metales, esta reestructuración atómica viene caracterizada por una
deformación permanente (deformación plástica). Es decir, si a continuación el material
sufre una completa descarga se observa que el material recupera parte de la deformación
total (a la deformación recuperable la denominamos deformación elástica), ver Figura 2.1,
quedando con una deformación permanente, que la denominamos deformación plástica.
Los modelos constitutivos que intentan representar este fenómeno se denominan “Modelos
de Plasticidad” o “Modelos Elastoplásticos”.
Puede resultar complejo formular un modelo constitutivo teniendo en cuenta todos los
fenómenos posibles durante un proceso caracterizado por plasticidad. En general, un
proceso que envuelve deformación plástica, viene caracterizado por grandes
deformaciones, producción de calor, y por la pérdida de la isotropía del material en la zona
plástica debido a las fibras plásticas que se forman en dicha zona. Pero, para ciertas clases
de materiales el efecto de la temperatura puede ser despreciado, y también el proceso de
deformación puede estar caracterizado por presentar deformaciones elásticas pequeñas
frente a las plásticas, pudiendo así aplicar la teoría de pequeñas deformaciones caracterizada
2Plasticidad

por un proceso isotérmico. Con estas simplificaciones se da lugar a la Teoría Clásica de
Plasticidad. Y varios son los modelos de plasticidad desarrollados para modelar los
materiales.
Figura 2.1: Ensayo de tracción simple - Comportamiento plástico.
Muchos fueron los investigadores que impulsaron la teoría de plasticidad como podemos
citar: Rankine(1851), Tresca(1864), von Mises(1913), Prandtl(1924), Reuss(1930),
Prager(1945), Hill(1950), Drucker(1950), Koiter(1953), Ziegler(1959), Naghdi(1960),
Mroz(1967), entre otros.
Desde de un punto de vista de la cinemática la teoría de plasticidad ha sido desarrollada
considerando:
! Plasticidad con Pequeñas Deformaciones (Deformación Infinitesimal):
" Sin efecto de la temperatura (Teoría Clásica de Plasticidad);
• Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Pequeñas Deformaciones).
! Plasticidad con Grandes Deformaciones (Deformación Finita):
" Sin efecto de la temperatura (Plasticidad en Deformación Finita);
• Con efecto de la temperatura (Termoplasticidad en Deformación Finita).
e
ε
σ
ε
Yσ
p
ε
p
ε - deformación permanente
e
ε - deformación elástica
Yσ
Yσ
I II
III
I - zona elástica
II - zona de plastificación
III - completa descarga
III

2 PLASTICIDAD 111
En este capítulo vamos hacer el planteamiento de los modelos de plasticidad en el régimen
de pequeñas y grandes deformaciones, ver Figura 2.2, sin tener en cuenta el efecto de la
temperatura (proceso isotérmico).
Antes de la formulación de modelos de plasticidad daremos una introducción a ciertos
conceptos que serán importantes en el desarrollo del capítulo.
Figura 2.2: Visión general de la mecánica de sólidos.
2.2 Comportamiento de Sólido con Deformación
Plástica
Un concepto importante en la teoría de plasticidad clásica independiente de la tasa es el
concepto de superficie de fluencia, que define el estado tensional multiaxial en el umbral de
deformación plástica. Si el estado tensional se encuentra dentro de la superficie de fluencia,
el correspondiente cambio de deformación será puramente elástico. Deformación plástica
sólo será posible cuando el estado tensional se encuentra en la superficie de fluencia.
Analizaremos primeramente la superficie de fluencia inicial (criterio de fluencia) y a
continuación como esta superficie evoluciona durante el proceso de plastificación.
Mecánica del Medio Continuo
Sólidos Fluidos Multifísicos
Grandes deformaciones
(Deformación Finita)
Pequeñas deformaciones
(Deformación infinitesimal)
Plasticidad
Modelos Viscosos
Hiperelasticidad
Hiperplasticidad
Modelos de Daño, ...
Elasticidad Lineal
Ley Constitutiva
Cinemática
Teoría de estructuras

Figura 2.35: Comportamiento elastoplástico con endurecimiento isótropo.
El modelo reológico que representa el comportamiento elastoplástico con endurecimiento
isótropo viene caracterizado por un muelle y un dispositivo de fricción en paralelo y un
muelle en serie como se indica en la Figura 2.36.
Figura 2.36: Modelo reológico del comportamiento elastoplástico con endurecimiento
isótropo.
*
Yσ−
1
E
σ
Yσ
ε
1
2
4
5
3
6
1
E
)1(p
ε
)1(e
ε
Yσ−
*
Yσ
región elástica inicial
región elástica expandida
K
Yσ
σσ
E
p
ε e
ε

2.7 Plasticidad en Deformación Finita
Varias teorías han sido desarrolladas para el planteamiento de la teoría de plasticidad con
grandes deformaciones. Entre ellas podemos citar:
! Basada en la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación, propuesta
por Lee(1969) en el ámbito de la Mecánica de Sólidos:
),(),(),( ttt pe
XFXFXF
rrr
⋅=
Descomposición
Multiplicativa del gradiente
de deformación
(2.236)
! Basada en la descomposición aditiva del tensor de deformación de Green-Lagrange,
propuesta por Green & Naghdi(1965):
),(),(),( ttt pe
XEXEXE
rrr
+=
Descomposición aditiva del
tensor de deformación de
Green-Lagrange
(2.237)
! Basada en la descomposición aditiva del tensor tasa de deformación, propuesta por
Nemat-Nasser(1982):
),(),(),( ttt pe
xxx
rrr
DDD +=
Descomposición aditiva del
tensor tasa de deformación
(2.238)
A continuación, haremos el planteamiento de plasticidad con deformación finita basada en
la descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte elástica y una
parte plástica, Lee (1969), Simo (1992), Simo&Hughes (1998).

2 PLASTICIDAD 173
2.8 Plasticidad en Deformación Finita Basada
en la Descomposición Multiplicativa del
Gradiente de Deformación
2.8.1 Relaciones Cinemáticas
La descomposición multiplicativa del gradiente de deformación viene dada por:
),(),(),( ttt pe
XFXFXF
rrr
⋅=
Descomposición
Multiplicativa
(2.239)
donde e
F es la parte elástica y p
F es la parte plástica, ver Figura 2.45, luego se cumple
que:
XFFXFx
rrr
ddd pe
⋅⋅⋅ == (2.240)
Podemos observar que primero efectuamos la transformación relacionada con p
F ,
resultando así XFX
rr
dd p
⋅= (configuración intermedia, o configuración sin tensión). Y a
continuación efectuamos la transformación relacionada con e
F , resultando así
XFx
rr
dd e
⋅= , ver Figura 2.45. De la descomposición multiplicativa podemos obtener las
siguientes relaciones:
11111 −−−−−
=⇒=⇒= ⋅⋅⋅ peeppe
FFFFFFFFF (2.241)
A continuación vamos a establecer las variables cinemáticas en la configuración intermedia,
B y las relaciones de éstas con las variables en la configuración actual y de referencia.
Figura 2.45: Descomposición multiplicativa del gradiente de deformación.
B
X
r
x
r
X
r
p
F e
F
pe
FFF ⋅=
configuración de
referencia
configuración
actual
0B B
configuración
intermedia
X
r
d
x
r
d
X
r
d

2 PLASTICIDAD 175
Figura 2.47: Tensores de deformación.
El tensor derecho de deformación de Cauchy-Green (configuración de referencia) viene
definido por FFXC ⋅= T
t),(
r
, y el tensor izquierdo de deformación de Cauchy-Green por
2
),( V== ⋅ T
t FFxb
r
(configuración actual). Teniendo en cuenta la configuración de
referencia y la intermedia, debido a la transformación p
F , ver Figura 2.45, podemos definir
los siguientes tensores:
pTpp
t FFXC ⋅=),(
r
Parte plástica del tensor derecho de
deformación de Cauchy-Green
(Configuración de referencia)
(2.242)
y su forma inversa:
Tppp
t
−−−
⋅= FFXC
11
),(
r
(2.243)
Pudiendo definir la parte plástica del tensor de deformación de Green-Lagrange en la
configuración de referencia como:
( ) 



 −=−= ⋅ 11 pTppp
t FFCXE
2
1
2
1
),(
r Parte plástica del tensor de
deformación de Green-Lagrange
(Configuración de referencia)
(2.244)
Definimos también:
2
),( pTppp
t V== ⋅FFXb
r
Parte plástica del tensor izquierdo
de deformación de Cauchy-Green
(Configuración intermedia)
(2.245)
Observemos que ),( tp
XC
r
y ),( tp
XE
r
están definidos en la configuración de referencia
mientras que ),( tp
Xb
r
está en la configuración intermedia, ver Figura 2.48. El tensor de
deformación de Almansi, definido en la configuración intermedia, viene dado por:
X
r
x
r
Fconfiguración de
referencia configuración
actual
0B B
Conf. ActualConf. Ref.
( )1
U
−=
==
==
−−−
⋅
⋅
CXE
CFFXB
FFXC
2
1
),(
),(
),(
11
2
t
t
t
T
T
r
r
r
( )
( )1
11
21
2
1
2
1
),(
),(
),(
−
−−−
−
−=
−=
==
===
⋅
⋅
b
cxe
bFFxc
cFFxb
1
1
V
t
t
t
T
T
r
r
r
1
111
1
−−
−−−
−
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
=
=
FEFe
FCFb
FCFb
T
FeFE
FbFC
FbFC
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
=
=
=
−−−
−
T
111
1

Figura 2.48: Descomposición multiplicativa – tensores de deformación.
2.8.1.2 Deformaciones de los Diferenciales de Área y de Volumen
Teniendo en cuenta la definición del Jacobiano y la descomposición multiplicativa del
gradiente de deformación, podemos obtener que:
pe
pe
pe
JJ
J
=
=
=
=
⋅
)()(
)(
)(
FF
FF
F
detdet
det
det
(2.273)
( )
peeTe
ee
eeTee
t
t
eEFeFE
CXE
FFXC
+==
−=
==
⋅⋅
⋅
1
U
2
1
),(
),(
2
r
r




 −=
=
==
−
−−−
⋅
⋅
1
11
2
2
1
),(
),(
),(
pp
pTpp
pTppp
t
t
t
bXe
FFXb
FFXb
1
V
r
r
r
Conf. Inter.
Conf. Ref.
( )
ppe
peTppe
pp
Tppp
pTpp
t
t
t
EEE
FEFE
CXE
FFXC
FFXC
+=
=
−=
=
=
⋅⋅
⋅
⋅
−−−
)_(
)_(
11
2
1
),(
),(
),(
1
r
r
r
B
X
r
X
r
p
F
e
F
pe
FFF ⋅=
configuración de
referencia
0B
configuración
intermedia
Conf. ActualConf. Ref.
( )1
U
−=
==
==
−−−
⋅
⋅
CXE
CFFXB
FFXC
2
1
),(
),(
),(
11
2
t
t
t
T
T
r
r
r
( )1
11
2
2
1
),(
),(
),(
−
−−−
−=
==
==
⋅
⋅
bxe
bFFxc
FFxb
1
V
t
t
t
T
T
r
r
r
Conf. Inter.
Conf. Actual
x
r
configuración
actual
B
eep
epeep
ee
eee
FeFe
be
T
+=
=




 −=
−−
−
⋅⋅
)_(
1)_(
1
2
1
1
TpTeee
FCFFFb ⋅⋅⋅
−
==
1

Figura 2.54: Descomposición multiplicativa, y descomposición volumétrica e isocórica.
2.8.8.3 Formulación Considerando la Transformación p
F como una
Transformación Isocórica
Consideramos a continuación que la deformación plástica p
F es puramente isocórica:
eepp
JJ ===⇒== )()(1)
~
()
~
( FFCF detdetdetdet (2.405)
Con esta simplificación la expresión de energía y de tensión quedan:
eepvol
J=
_
F
1
~~
== pp
J F
volee
J F=
X
r
x
r
X
r
p
F
e
F
pvoleepe
FFFFFF ⋅⋅⋅ ==
~
configuración de
referencia
configuración
actual
0B
B
B
configuración
intermedia
),( αΨΨ e
b=
e
e
b
b
⋅
∂
∂
=
Ψ
2τ
X
rB
13
1
evole
J=F
eee
J FF 3
1
~ −
=
pp
J F=
ee
J F=
1
~~
== ee
J F
configuración
intermedia volumétrica
elástica
eppvolee
JJJ === ⋅⋅ FFFF
~
X
rB
configuración
intermedia volumétrica
plástica
peppeepvol
JJJ FFF
~3
1
3
1
3
1
_
==
−
13
1
pvolp
J=F
ppp
J FF 3
1
~ −
=
volpvolp
J F=

3Termoelasticidad. Termoplasticidad
3.1 Proceso Reversible
Recordemos del capítulo 4-Vol.1 que la desigualdad de Clausius-Duhem puede ser
expresada por:
0
111
),( 2
≥−−+ ⋅ T
T
u
TT
t xx r
r
&
r
& ∇qDσ ρηρ :
Desigualdad de Clausius-Duhem
(configuración actual)
(3.1)
0
111
0
111
0200
0200
≥−−+
≥−−+
⋅
⋅
T
T
u
TT
o
T
T
u
TT
X
X
F
E
r
r
r
&&
r
&&
&
&
∇
∇
qP
qS
ρηρ
ρηρ
:
:
Desigualdad de Clausius-Duhem
(configuración de referencia)
(3.2)
Fijemos que 0≤⋅ Tx
r
r
∇q , ya que el sentido del vector flujo de calor (q
r
) es siempre
contrario al sentido del gradiente de temperatura ( Tx
r∇ ). Así, podemos formular la
desigualdad de la conducción de calor:
0≥− ⋅ Tx
r
r
∇q (configuración actual)
Desigualdad de la conducción de calor
00 ≥− ⋅ TX
r
r
∇q (configuración de referencia)
(3.3)
El conjunto de esta restricción (3.3), la desigualdad de Clausius-Duhem (3.1) y (3.2) da
lugar a la Desigualdad de Clausius-Planck:
Desigualdad de
Clausius-Planck
0),(
11
),( ≥−+= tu
TT
tint xx
r
&
r
& ρηρ Dσ :D (configuración actual) (3.4)
3Termoelasticidad
Termoplasticidad

Resumimos así todos los potenciales termodinámicos en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1: Potenciales termodinámicos.
Energía interna
específica
Energía libre de
Helmholtz
Energía libre de Gibbs Entalpía
),( ηEu ),( TEψ ),( TSG ),( ηSH
η
ρ
∂
∂
=
∂
∂
=
u
T
u
E
0S
T
T
T
∂
∂
−=
∂
∂
=
ψ
η
ψ
ρ
),(
),( 0
E
E
ES
T∂
∂
−=
∂
∂
−=
G
G
η
ρ
S
0E
η
ρ
∂
∂
=
∂
∂
−=
H
H
T
S
0E
E:S
0
1
ρ
η ++= Tu G ηψ Tu −=
η
ρ
ψ
T−=
−=
H
G E:S
0
1
η
ρ
T
u
+=
−=
G
H E:S
0
1
3.1.5 Proceso Isotérmico e Isentrópico
Un proceso isotérmico se caracteriza por presentar la temperatura constante durante un cambio
en el sistema, es decir, 0=T& . Podemos encontrar una buena aproximación de un proceso
isotérmico cuando el material es un buen conductor de calor (metales) y está sometido a un
proceso cuasi-estático.
Ya un proceso isentrópico se caracteriza por presentar la entropía constante ( 0=η& ) durante un
cambio en el sistema. Podemos encontrar una buena aproximación de un proceso
isentrópico cuando el medio es un mal conductor de calor y las cantidades (velocidad,
tensión, deformación) varían rápidamente.
Retomemos algunas de las expresiones obtenidas anteriormente:













∂
∂
=






∂
∂
=
⇒
∂
∂
+
∂
∂
=
=
=
ctte
ctte
u
T
u
uu
u
ise
E
E
E
E
E
E
E
E
E
η
η
η
η
ρη
η
η
η
η
),(
),(
),(
),(
),(
0S
&&& : (3.35)
y de la expresión de la tasa de la energía libre de Helmholtz:













∂
∂
−=






∂
∂
=
⇒
∂
∂
+
∂
∂
=
=
=
ctte
ctteT
T
T
T
T
T
T
T
T
E
E
E
E
E
E
E
E
E
),(
),(
),(
),(
),(
00
ψ
η
ψ
ρ
ψψ
ψ
S
&&& : (3.36)
Con eso tenemos dos formas de obtener el tensor de tensiones:
ctteTctte
T
T
u
ise
==






∂
∂
=





∂
∂
=
E
E
E
E
E
E
),(
),(;
),(
),( 000
ψ
ρ
η
ρη
η
SS (3.37)

3.3 Problema Termo-Mecánico Desacoplado en
Pequeñas Deformaciones
Para ciertas estructuras (Sólidos) cuando la variación de la temperatura no es demasiada
elevada de tal forma que las propiedades mecánicas no varíen con la temperatura, podemos
tratar el problema termo-mecánico desacoplado. Es decir, podemos hacer el análisis
puramente térmico sin tener en consideración la deformación y después efectuar el
problema mecánico teniendo en consideración unas deformaciones iniciales debido al
cambio de temperatura, ver Figura 3.1.
Figura 3.1: Problema termo-mecánico desacoplado.
Como visto anteriormente las ecuaciones de gobierno para un material termoelástico
simple vienen dadas por:
(Configuración de Referencia)
Ecuación de continuidad 0)( =ρJ
Dt
D
(3.126)
Ecuaciones del Movimiento
( ) ubS
ubP
&&r&rr
&&r&r&rr
r
r
0000
00000
ρρρ
ρρρρ
==+
===+
⋅⋅
⋅
VF
VV
X
X
∇
∇
(3.127)
Simetría del segundo tensor de Piola-
Kirchhoff
T
SS = ó TT
PP ⋅⋅ = FF (3.128)
444444444 3444444444 21
*
q
r
B σSuS
)(*
x
rr
t
nˆ
)(x
rr
bρ
T∆
rρ
T
B σSuS
)(*
x
rr
t
nˆ
)(x
rr
bρ
*
q
r
B
rρ
*
T
Problema térmico Problema mecánico
+ T∆
t
t t

3.5 Termoelasticidad con Descomposición
Multiplicativa del Gradiente de Deformación
Para tratar la termoelasticidad en deformación finita, en este apartado, utilizaremos la
descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en una parte elástica ( e
F ) y en
una parte térmica ( θ
F ), Lubarda (2004), ver Figura 3.5. Según Vujošević & Lubarda
(2002), esta aproximación para el problema térmico fue primeramente introducida por
Stojanović. La primera transformación es debido a θ
F , definiendo así una configuración
intermedia θ
B , que viene caracterizada por la ausencia de tensión, y a continuación se
efectúa una transformación debido a e
F . De esta manera, el gradiente de deformación
viene dado por:
θ
FFF ⋅= e (3.202)
Figura 3.5: Descomposición multiplicativa.
Así, como se demostró en el capítulo de plasticidad, la descomposición multiplicativa del
gradiente de deformación en una parte plástica y otra elástica, pe
FFF ⋅= , no es única.
De igual manera se puede demostrar que la descomposición multiplicativa del gradiente de
deformación en una parte térmica y otra elástica tan poco es única.
OBS.: En este apartado utilizamos la variable θ para representar la temperatura.
De esta forma evitamos confusión con la transpuesta T
F .
Conf. Inter.
X
r
x
r
X
r
θ
F e
F
θ
FFF ⋅= e
configuración de
referencia
configuración
actual
0B
θ
B
B
configuración
intermedia
0σ =
),( tX
r
θ
Conf. Ref.
0σ =
Conf. Actual
σ
σ
),(
),(
Jt
t
=x
x
r
r
τ
)(0 X
r
θ
σ - Tensor de Tensiones de Cauchy
τ - Tensor de Tensiones de Kirchhoff

4Fluidos
4.1 Introducción
En este capítulo, introduciremos una rama importante de la mecánica del medio continuo,
la mecánica de fluidos que se destina al estudio de los fluidos en movimiento o en reposo.
Los fluidos pueden ser clasificados en:



Gases
Líquidos
Fluidos
Varias son las áreas de aplicación de fluidos, e.g., meteorología, oceanografía, aerodinámica,
hidrodinámica, lubricación, ingeniería marítima, entre otras.
Básicamente, podemos decir que los sólidos pueden resistir a una tensión tangencial
mientras que los líquidos tienen muy poca resistencia a la tensión tangencial (fluido viscoso,
ej. aceite) o ninguna resistencia (fluido no viscoso, ej. agua).
Tanto los gases como los líquidos son materiales constituidos por moléculas (aglomeración
de dos o más átomos) que colisionan unas con las otras. Para tratar un fluido con las
hipótesis de la mecánica del medio continuo las propiedades como densidad, presión y
velocidad deben ser tratadas como funciones continuas. El tratamiento de un sistema de
moléculas como un medio continuo será válido cuando se compara el camino libre medio
de las moléculas (Λ ) (distancia media antes de chocar con otras partículas) con la longitud
característica del sistema físico ( Cl ). Al cociente entre estas longitudes
Cl
Λ
se le denomina
número de Knudsen ( Kn ). Si este número es mucho menor que la unidad, el dominio puede
ser tratado como medio continuo, caso contrario deberemos utilizar la Mecánica
Estadística. Con esto podemos establecer que:
4Fluidos

5Viscoelasticidad
5.1 Introducción
Los materiales elásticos se caracterizan por poseer capacidad para almacenar energía
mecánica sin que haya disipación de energía. Sin embargo, los fluidos viscosos Newtonianos en
movimiento experimentan disipación de energía ya que no tienen capacidad para
almacenarla. En este capítulo trataremos de un material que presenta simultáneamente
características de sólido y de fluido. Es decir, estudiaremos un material que tendrá
capacidad de almacenar energía mecánica según las leyes de sólidos elásticos y
simultáneamente tendrá capacidad de disipar energía mecánica según las leyes de fluidos. A
los materiales que presentan estos fenómenos los denominamos Materiales Viscoelásticos.
Entre los investigadores de materiales viscoelásticos podemos encontrar en la literatura
Findley et al. (1976), Christensen (1982) entre otros.
En los materiales viscoelásticos la tensión y/o deformación en un punto material varía de
forma significativa con el tiempo hasta cuando en el sistema impuesto inicialmente se
mantiene constante. En laboratorio se puede observar dos fenómenos viscoelásticos:
! bajo una tensión constante se observa que la deformación es una función del
tiempo )(tε=ε , lo que denominamos fenómeno de Fluencia;
! bajo una deformación constante la tensión es una función del tiempo )(tσ=σ , lo
que denominamos fenómeno de Relajación.
Cuando cargamos una estructura, e.g. una columna de hormigón, se produce una
deformación inicial (deformación elástica instantánea). Se ha comprobado que la
deformación crece con el tiempo, es decir, la deformación es dependiente del tiempo )(tε ,
caracterizando así el fenómenos de fluencia, ver Figura 5.1. En otra palabras, en la ecuación
constitutiva, la tensión será dependiente de la tasa de la deformación ε& . Otro ejemplo sería
5Viscoelasticidad

Figura 5.16: Respuesta para dos pasos de carga – Modelo de Kelvin.
5.3.3 Modelo de Burgers
El modelo de Burgers (o modelo de cuatro elementos) está constituido por el modelo de
Maxwell y de Kelvin dispuestos en serie, ver Figura 5.17. El modelo de Burgers es capaz de
incluir tres modelos de respuestas viscoelástica básicos: una respuesta instantánea elástica
debido al muelle 1E ; un flujo viscoso debido al amortiguador 1vη ; y finalmente una respuesta
elástica retardada debido al modelo de Kelvin.
Figura 5.17: Modelo de Burgers.
)1(ε
)1(σ)1(σ
2E
2vη
)2(σ )2(σ
σ σ
1E 1vη
)2(ε )3(ε
ε
1t
E
0σ
ε
t
0σ
σ
a) tensión
1t t
b) deformación

6Mecánica del Daño Continuo
6.1 Introducción
El término Mecánica del Daño Continuo ha sido utilizado para modelos que se caracterizan por
la pérdida de rigidez, es decir, reducción del módulo constitutivo secante. Los modelos de
daño han sido utilizados para simular diversos materiales (frágiles, dúctiles) que
básicamente se caracterizan por presentar una degradación irreversible del material.
Físicamente, la degradación de las propiedades mecánicas del material viene caracterizada
por el proceso de iniciación y crecimiento de microdefectos, tales como microporos y
microfisuras.
En el trabajo pionero de Kachanov (1958) se ha introducido el concepto de tensión efectiva,
utilizando el daño continuo en el contexto de problemas relacionados con la fluencia en
metales. Rabotnov (1963) ha dado significado físico, proponiendo la medición de la
reducción del área de la sección a través de la variable de daño. La mecánica del daño
continuo se ha tornado una herramienta importante y es una teoría consistente basada en
procesos termodinámicos irreversibles (desigualdad de Clausius-Duhem). El formalismo
termodinámico fue desarrollado por Lemaitre&Chaboche (1985). Entre las contribuciones
importantes para la mecánica del daño podemos citar: Mazars (1986), Mazars&Pijaudier-
Cabot (1985), Chaboche (1979), Simo&Ju (1987 a,b), Ju(1989), Oliver et al. (1990), Oller et
al. (1990) entre otros.
Los modelos de daño, desde de un punto de vista computacional, son muy atractivos por
presentar algoritmos sencillos y muy satisfactorios para problemas de grandes dimensiones.
Expondremos algunos modelos de daño básicos que sirven para estudiar el mecanismo del
fallo y a partir de estos modelos podemos formular modelos más complejos para la
caracterización de materiales específicos.
6Mecanica del Dano Continuo~´

6.2 Modelo de Daño Isótropo en Deformación
Infinitesimal
Los llamados Modelos de Daño Continuo han sido ampliamente aceptados para simular
comportamientos de materiales que presentan degradación de las propiedades mecánicas
debido a la presencia de pequeñas fisuras que se propagan durante el proceso de carga. Para
caracterizar este fenómeno, inicialmente haremos el planteamiento del modelo en una
dimensión (1D) y después extrapolaremos al caso tridimensional (3D). Con lo que respecta
a la cinemática del movimiento, el estudio en este apartado se desarrollará en el régimen de
pequeñas deformaciones, teniendo como base las notas de clases del Prof. Oliver,
Universitat Politècnica de Catalunya.
6.2.1 Descripción del Modelo de Daño Isótropo en Una
Dimensión
Supongamos que una probeta está sometido a tracción, Figura 6.1, cuya tensión aparente
(σ ) actúa en una sección ( s ). Debido a la presencia de fallos, sólo será considerada la
región no dañada, es decir, la sección efectiva s donde actúa la tensión efectiva σ .
Figura 6.1: Cuerpo de prueba sometido a tracción.
Luego, haciendo el equilibrio de fuerzas en el elemento de la Figura 6.1, se debe cumplir
que:
σ=σ ss (6.1)
La expresión (6.1) también puede ser escrita sin que altere su validez como:
σ





−=
σ




 −
−=





+
−
σ=σ=σ
1
11
s
s
s
ss
s
ss
s
s
d
(6.2)
donde ds es la sección dañada o superficie dañada.
σ - tensión efectiva
σ - tensión aparente
s
σ
σ
s

En una curva tensión-deformación representativa, ver Figura 6.2, durante la descarga
( )0=d& , el módulo secante de la curva es EdEdg
)1( −= y tras la completa descarga del
material, éste no presentará residuo de deformación, ver Figura 6.2.
Figura 6.2: Curva tensión – deformación.
Podemos resumir las características fundamentales del modelo de daño unidimensional:
( ) )10(;1 ≤≤ε−=σ dEd
0=d si 0ε<ε
(6.8)
Partiendo de la relación anterior podemos obtener la expresión de la energía en el sistema.
Como sabemos la energía, para el caso uniaxial, viene dada por:
( ) ( ) e
e
dEd ΨΨ
Ψ
−=⇒εε−=εσ
=
1
2
1
1
2
1
321 (6.9)
6.2.2 Modelo de Daño Isótropo en Tres Dimensiones
La base de los modelos de daño consiste en definir una transformación entre el espacio
físico (real) y un espacio ficticio (espacio efectivo) en el que el material está inalterado, ver
Figura 6.3.
Figura 6.3: Espacio físico y efectivo.
Como se ha descrito anteriormente el modelo depende de la evolución de una única
variable escalar, parámetro de daño o de degradación d . Esto significa que se supone un
comportamiento mecánico de las microfisuras o microporos independiente de la
EdEdg
)1( −=
1
σ
E
ε
Carga
Descarga / Carga
Límite elásticoYσ
0ε
Espacio Físico (Real) Espacio Efectivo
σ−=σ⇒
σ
)1( d
efectivatensión
ε
1
ε
1
σ
σ
σ
σ

6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO 327
6.2.2.3 “Ingredientes” del Modelo de Daño
El modelo constitutivo de daño queda totalmente determinado si se conoce el parámetro
de daño t
d para cada instante de tiempo t del proceso de carga (carga, descarga o recarga),
para lo cual definimos los siguientes elementos de la ecuación constitutiva:
! La norma del tensor de tensiones o de deformaciones;
! Superficie de daño y el criterio de daño. La superficie de daño define el límite
elástico y el criterio de daño establece cuando el material está en un proceso de
daño o en un proceso elástico, y;
! Un conjunto de leyes de evolución para las variables internas.
Norma en el Espacio de Tensiones y de Deformaciones
La norma es una medida de distancia, luego un escalar. Como veremos más adelante, para
mejor representación del material, se definirán otras normas de forma que puedan ser
empleadas para distintos materiales. A continuación definimos una posible norma en el
espacio de tensiones ( σt ) y en el espacio de deformaciones ( εt ), ésta última también
conocida como deformación equivalente:
εσ
εσ εεεσσσ
t
tt
t )1(
2;
1
1
d
eee
ee
−=
⇓
=====
−
−
44444444444444 344444444444444 21
Ψ:::: CC CC
(6.31)
σt y εt son ecuaciones de superficies (elipsoides) que caracterizan el estado tensional
actual en un punto. La demostración de (6.31) sigue a continuación:
( ) ( ) ( ) ( ) εσ
ε
σ
εσεε
εσεσεσσσ
tt
t
t
d
ddd
e
e
−=⇒




==
−=−=−==
−
1
111
21
:::
:::::
C
C
(6.32)
Figura 6.5: Estado de tensión y de deformación en el espacio principal.
1σ
2σ
3σ
σt
b) Espacio de tensión
1ε
2ε
3ε
εt
a) Espacio de deformación
εσ tt )1( d−= 0),( =qσtF0),( =rεtG

6.3 Daño Isótropo Generalizado
Observemos que el tensor constitutivo elástico e
C puede ser escrito en función de los
siguientes conjuntos de parámetros mecánicos ),( µλ , ),( νE , ),( Gκ :
444 3444 21
43421
isocóricaparte
cavolumétriparte 3
1
2
)1()21)(1(
2






⊗−+⊗κ=
ν+
ν
+⊗
ν−ν+
ν
=
+⊗λ=
11I11
I11
I11
µ
µ
EE
e
C
(6.100)
donde )(E -módulo de Young, )(ν - coeficiente de Poisson, ),( µλ constantes de Lamé,
)(κ -módulo volumétrico, y µ=G - módulo de elasticidad transversal.
Para el modelo de daño isótropo el tensor constitutivo degradado queda:
I11
I11
)1()21)(1(
)1(
)1(
)21)(1(
)1(
)1(
ν+
ν
+⊗
ν−ν+
ν
=
ν+
−ν
+⊗
ν−ν+
−ν
=−=
dgdg
edg
EE
EdEd
d CC
(6.101)
Observemos que para el modelo de daño isótropo, la variable de daño sólo afecta una de
las propiedades mecánicas, el módulo de Young. Verificamos también que la misma
variable de daño afecta de igual manera tanto la parte esférica como la desviadora:






⊗−−+⊗κ−=
−=
3
1
2)1()1(
)1(
11I11 µdd
d edg
CC
(6.102)
Un modelo descrito por Carol et al. (1998) hace una generalización del modelo de daño
isótropo considerando la degradación independiente de la parte esférica y de la parte
desviadora del tensor constitutivo elástico, requiriendo así dos variables de daño
independientes. A continuación se expone este modelo.
El tensor constitutivo elástico, expresado en una parte esférica (volumétrica) y una
desviadora, en notación indicial queda:
( ) 





−++κ= klijjkiljlikklij
e
ijkl δδδδδδµδδ
3
1
2
1
2C (6.103)
denotando por klij
V
ijkl δδ
3
1
=P y por ( ) V
ijkljkiljlik
D
ijkl PP −+= δδδδ
2
1
, reescribimos la relación
(6.103) como:
DVe
D
ijkl
V
ijkl
e
ijkl
PPC 23
23
µ
µ
+κ=
+κ= PPC
(6.104)

6.4 Modelo de Daño-Plástico en Deformación
Infinitesimal
La teoría clásica de daño ha sido modificada y extendida donde se incluye componentes de
deformación plástica residual. Entre los investigadores en esta línea podemos citar:
Bazant&Kim (1979), Dragon&Mróz (1979), Ortiz (1985), Simo&Ju (1987a,b), entre otros.
A continuación expondremos el modelo de daño-plástico, considerando un proceso
isotérmico, y en régimen de pequeñas deformaciones (deformación infinitesimal).
Básicamente un modelo de daño-plástico viene caracterizado por presentar deformaciones
residuales (deformaciones plásticas) y también la degradación del tensor constitutivo
secante, ver Figura 6.13.
Figura 6.13: Curva tensión – deformación.
Varios modelos de daño-plástico han sido desarrollados. Citamos algunos que tienen como
punto de partida la definición de la energía libre:
! Uno de los modelos, el modelo daño-plástico acoplado, considera la
descomposición aditiva de la energía en una parte elástica y una plástica, donde
ambas energías son funciones de la variable de daño:
),(),( dd ppe
αΨΨΨ += ε (6.133)
! El próximo modelo considera lo anterior más una energía de daño sólo en función
de la variable de daño:
)(),(),( ddppe
dd αΨαΨΨΨ ++= ε (6.134)
! En este modelo se considera una descomposición de la energía en una parte elástica
función de ),( de
εΨ y en una plástica sólo función de )( pp
αΨ :
)(),( ppe
d αΨΨΨ += ε (6.135)
1
σ
E
ε
Carga con degradación
Descarga / Carga elástica
Ed)1( −
Límite elásticoYσ
p
ε
1

6 MECÁNICA DEL DAÑO CONTINUO 363
6.6 Daño en Deformación Finita
Los modelos hiperelásticos clásicos vistos en el capítulo 1 no son capaces de simular el
comportamiento de ciertos polímeros que vienen caracterizados por la pérdida de rigidez
cuando estos materiales están sometidos a grandes desplazamientos. Este fenómeno de
disipación se conoce como efecto Mullins, cuyo fenómeno fue estudiado por diversos
investigadores, Bueche (1960), (1961), Mullins (1969), Souza Neto et al. (1998), entre otros.
En un ensayo uniaxial cíclico, el efecto Mullins viene fenomenológicamente caracterizado
por la degradación de las propiedades elásticas, ver Figura 6.14. Durante el inicio del
proceso de carga [ ]10 − el camino recorrido es A, ver Figura 6.14, y la descarga se hace
según el camino B y tras la completa descarga el material recupera totalmente su estado
inicial. La segunda carga se efectuará según el camino B seguido por el camino C .
Observemos que para modelos hiperelásticos clásicos la carga se efectuaría por el camino
CA − y la descarga se efectuaría por el mismo camino AC − .
Figura 6.14: Efecto Mullins.
6.6.1 Modelo Unidimensional de Gurtin & Francis
Gurtin & Francis(1981) propusieron una teoría simple unidimensional en la cual el estado
actual de la variable de daño viene caracterizada por la deformación axil máxima, m
ε :
{ })()(
0
st
ts
m
ε=ε
≤≤
max (6.220)
En este modelo Gurtin y Francis adoptaron una ecuación constitutiva expresando la
tensión uniaxial, σ , como una función del estado de deformación actual y del daño como:
)()( m
gf εζ=σ (6.221)
donde )( m
g ε es denominada de curva virgen y ζ es la deformación relativa:
ε)2(
ε)1(
ε
A
B
C
D
E
σ
0
1
2

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