Este documento presenta varios ejercicios sobre distribuciones de probabilidad como la binomial, hipergeométrica y de Poisson. En el primer ejercicio se calcula la probabilidad de obtener cuatro pernos en buen estado de una muestra de 20 pernos. En el segundo ejercicio se calculan probabilidades relacionadas a infracciones de tránsito. El tercer ejercicio calcula probabilidades para un examen de opción múltiple.

1. MARIANGEL CARRILLO
CI: 23.570.472
Ejercicios de Distribución Binomial
Ejercicio Nº 1:
De 20 pernos 5 están malos. Si selecciono 4 al azar. ¿ cuál es la probabilidad que
estos estén bien.
Solución:
P=20-5 / 20 = 0.75 probabilidad que un perno este bien
P[X=4] = px(4;20,0.75)= 20 0.7554(1-0.75)20-1=3.5693e-07
4
Ejercicio Nº 2:
En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores
controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados
no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos
infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al
azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente
importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la
selección:
1.- Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan
cometido alguna de las dos infracciones.
2.- Determinar la probabilidad de que al menos uno de los conductores
controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.
Solución:
a) P(AUB)=0.05+0.1-0.05. 0.1= 0.145
B(5, 0.145) P= 0.145 q=0.855
P(x=3)= 5 0.1453. 0.85552=0.0223
3

2. P(al menos uno) = 1- 5 0.8555=0.543
0
Ejercicio Nº 3
Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar SI o NO.
Suponiendo que a las personas que se le aplican no saben contestar a ninguna de
las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar:
a) Probabilidad de obtener cinco aciertos.
b) Probabilidad de obtener algún acierto.
c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.
Solución:
Suceso A= (éxito)=acertar la pregunta p= p(A) 0.5
Suceso A=no acertar la pregunta q=p(A)=0.5
Distribución binomial de parámetros n =10, p=0.5; B (10; 0.5)
a) Obtener exactamente 5 aciertos K=5, aplicamos la fórmula:
P(X=K)= [n/k] pk . qnk; k=5n= 10 ;p= 0.5q = 0.5 p(x=5)
= [10/5] . (0.5)5 . (0.5)10-5
[n/k]= n/k!(n-k)! números combinatorios [10/5] = [10!/5!(10-5)! =
10.9.8.7.6.5/5.4.3.2.1.5 =252]
P(x=5)=[10 / 5] . (0.55)5. (0.5)10 – 5 ; p(x=5)= 252. (0.5)5. (0.5)5= 0-2461
b) P(X mayor o igual 1 ) = p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) + p(x=6)
+ p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)
El suceso obtener algún acierto es el suceso contrario a no obtener ningún
acierto
P(X=0)= [10/0]. (0.5). (0.5)10= 0.000100

3. PX (mayor o igual 1)= 1-p(x=0); p(x mayor o igual 1 )= -0.00100=0.999
c) P(x mayor o igual 5) = p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)
P(x mayor o igual 5) = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.0098 +
0.0010 = 05231
Ejercicio Nº 4:
Calcule la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean
niños.
Solución:
Es una distribución binomial, los hijos solo pueden ser varones o mujeres
Suceso A (éxito) tener un varón p(A) = 0.5; p=0.5
Suceso A tener una mujer: p(A)= 0.5: q=0.5
N=4 b(n.p) b(4; 0.5)
Probabilidad de tener tres hijos varones x=3
P(x=k) = n . pk.qn-k k=3
k N=4
p=0.5
q=0.5
p(x-3)= 4 . (0.5)3. (0.5)4-3
3
n = n! / k!(n-k)!
k
4 = 4! / 3! (4-1) . (0.5)3. (0.5)4-3
3

4. P(x=3) =4.(0.5)3. (0.5)1 = 0.25
Distribución Hipergeométrica
Ejercicio Nº 1:
Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes
defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la
probabilidad que en una muestra se obtengan,
a) Ninguna batería en buen estado
b) Al menos una batería en buen estado
c) No más de dos baterías en buen estado.
Solución:
Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un
experimento hipergeométrico con
N=9 (total de elementos del conjunto)
K=4 (total de elementos considerados ‘éxitos’)
n=3 (tamaño de la muestra)
X: cantidad de baterías en buen estado en la muestra
(Variable aleatoria discreta)
Entonces la distribución de probabilidad de X es:
f(x) =
P(X=0) = f(0) =
9 4

3 x
9
3
4
x

 


 


 


 


 


 


 


 

9 4
3 0
9
3
4
0
=0.119
x 0 12 3
,  , , ,


 


 




 


 

P(X1) = 1 – P(X<1) = 1 – f(0) = 1 - 0.119 = 0.881

5. P(X2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.9523
Ejercicio Nº 2:
Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco
físicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en el
comité.
Solución:
Sea la v.a. X el número de químicos en el comité. Se satisfacen las
dos condiciones de un experimento hipergeométrico.
P(X=0) = h(0; 8, 5, 3)= 3 5 / 8 = 1/56
0 5 5
P(X=1) = h(1;8,5,3) = 3 5 / 8 = 15/56
1 4 5
P(X=2) = h(2; 8,5,3) = 3 5 / 8 = 30/56
2 3 5
P(X=3) = h(2; 8,5,3) = 3 5 / 8 = 10/56
3 2 5
Ejercicio Nº 3:
Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más
de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de
cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un
defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?
Solución:
Utilizando la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 y
x=1, entonces
h(1; 40,5,3) = 3 37 / 40 = 0.3011
1 4 5

6. Ejercicio Nº 4:
Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de
un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar
y sin reemplazo,
(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del
proveedor local?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del
proveedor local?
Solución:
a) Sea X igual al número de piezas de la muestra del proveedor local.
Entonces, x tiene una
Distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por consiguiente,
P(x=4)= 100 200 / 300 = 0.0119
4 0 4
b) P(x ≥ 2) = 100 200 / 300 + 100 200 / 300 + 100 200 / 300
2 2 4 3 1 4 4 0 4
= 0.298+0.098+0.0119=0. 408
c) P(x ≥ 1)=1 - p(x=0) = 1- 100 200 / 300 = 0.196
0 4 4
Distribución de Poisson
Ejercicio Nª 2:
Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre
sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.
(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

7. (b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.
(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre.
Solución:
a) Entonces E(x)=2.3 imperfecciones y
P(x=2)=e-2.33.32 /2!= 0.265
b) Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetro de alambre.
Entonces, X tiene una distribución Poisson con
E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones.
Por lo tanto,
P(x=10)=e-11.5 11.5/10! 0.113
c) Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambra.
Entonces, X tiene una distribución de Poisson con
E(x)=2mmx2.3imperdecciones/mm=4.6imperfecciones
Por lo tanto,
P(x ≥ 1)=1-P(x=0)=1-e-4.6 =0.9899
Ejercicio Nº 3:
La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de
almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en
un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de
partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un
disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.
(a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco
bajo estudio.
(b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo
estudio.
(c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del
disco bajo estudio.

8. Solución:
Sea que x denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio.
Puesto que el número promedio de partículas es 0.1 partículas por cm2 .
E(x)=100 cm2 x0.1 partículas/ cm2 = 10 partículas
Por lo tanto,
a) P(x=12)= e-10 1012 / 12!= 0.095
b) P(x=0)=e-10 =4.54x10-5
12
c) P(X ≤ 12 )=P(x=0)+P(x=1)+…..+P(x=12)=Σ e-10 10i / i!
i=0