Ejemplos de distribucion de probabilidades

Distribuciones de probabilidad
Estadística

Procesos Industriales Área Manufactura

“Ejemplos de probabilidad”

Alumno: Luis Alberto García Aguilar

Lic.: Gerardo Edgar Mata Ortiz

Estadística

2º “B”

Torreón Coahuila 18/03/12
Luis Alberto García Aguilar
Procesos Industriales Área Manufactura 2° “B”

Estadística

Ejemplos de distribución de Bernoulli

Ejemplo #1.-Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal y
cuyos conductores no tenían cinturón de seguridad, que 300 individuos quedaron con
secuelas.
Solución.
 La noc. frecuentista de prob. Nos permite aproximar la probabilidad detener
secuelas mediante 300/2000=0,15=15%
 X=“tener secuelas tras accidente sin cinturón” es variable de Bernoulli
 X=1 tiene probabilidad p ˜ 0,15
 X=0 tiene probabilidad q ˜ 0,85

Ejemplo #2.-Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva
30 años más es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan: 1. Los
cinco individuos. 2. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menos uno.

Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden presentar dos
situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al considerar
los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p = 0, 6 X ~
B(5, 0,6).


Estadística

Ejemplo #3.-La v.a. que deﬁne el experimento lanzamiento de una moneda sigue una
distribución de Bernoulli de parámetro p. Donde p es la probabilidad del suceso de interés,
cara o cruz.

PROPIEDADES

Ejemplo #4.- .- Se ha observado estudiando 2000 accidentes de tráfico con impacto frontal
y cuyos conductores sí tenían cinturón de seguridad, que 10 individuos quedaron con
secuelas.
Describa el experimento usando conceptos de v.a.

Solución.
 La noc. frecuentista de prob. nos permite aproximar la probabilidad de quedar con
secuelas por 10/2000=0,005=0,5%
 X=“tener secuelas tras accidente usando cinturón” es variable de Bernoulli
 X=1 tiene probabilidad p ≈ 0,005
 X=0 tiene probabilidad q ≈ 0,995

Ejemplo #5.- Consideremos el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que se
seleccionan tres artículos al azar de un
proceso de ensamblaje, se inspeccionan y se clasifican como
defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como éxito. El número de
éxitos es una v.a. X que toma valores integrales de 0 a 3.


Estadística

Como los artículos se seleccionan de forma independiente de un proceso que supondremos
produce 25% de artículos defectuosos,
P(NDN)=P(N)P(D)P(N)=(3/4)(1/4)(3/4)=9/64.


Estadística

Ejemplos de distribución de Binomial

Ejemplo #1.- En una fábrica hay 12 máquinas. Cada una de ellas está averiada un día de cada 10. ¿Cuál
es la probabilidad de que un determinado día haya más de 3 máquinas averiadas?

¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

El número de aciertos k es 6. Esto es x=6
El número de experimentos n son 10
La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50

La fórmula quedaría:

P (k = 6) = 0.205
Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5%


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Ejemplo #2.- En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la
probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

Solución:
Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la
probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).
Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La
probabilidad estará en x=2
El resultado es 0.0988
.

Ejemplo #3.-Un agente de seguros vende pólizas a 5 individuos, todos de la misma edad.
De acuerdocon las tablas actuariales, la probabilidad de que un individuo con esa edad viva
30 añosmás es de 3/5. Determinar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:

1. Los cinco individuos.
2. Al menos tres.
3. Sólo dos.
4. Al menos uno.

Ejemplo #4.- Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 30 años se pueden
presentar dos situaciones que la persona este viva (p = 3/5) o que haya muerto (q = 2/5). Al
considerar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, p =
0, 6 X ~
B(5, 0,6).


Estadística

Ejemplo #5 .- Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo varón es 0,51. Hallar la
probabilidad de
que una familia con seis hijos tenga:
1. Por lo menos un niño.
2. Por lo menos una niña.


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Ejemplos de distribución de Poisson

Ejemplo #1.-En un taller se averían una media de 2 máquinas a la semana. Calcula la
probabilidad de que no haya ninguna avería en una semana. ¿Y de que haya menos de 6 en
un mes?

Ejemplo #2.- Guerra Mundial: bombardeo de Londres desde Calais con bombas volantes
V1 y V2

Los alemanes, ¿apuntaban o disparaban al azar?


Estadística

Ejemplo #3


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Ejemplo #4.-En promedio, cada una de las 18 gallinas de un gallinero pone un huevo al
día. Si se recogen los huevos cada hora ¿Cuál es el número medio de huevos que se recogen
en cada visita? ¿Con qué probabilidad encontraremos x huevos para 0,1, 2, 3x =? ¿y la
probabilidad de que4x = ?

Ejemplo #5.- Un estudiante observa que una muestra de Torio emite 49
partículas en 30 minutos ¿Cuál es la tasa de emisión? ¿Cuál es la tasa en
partículas por minuto?


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Estadística

Ejemplos de distribución de Normal

Ejemplo #1 .-Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmente
distribuida, con promedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm. Encuentre el
porcentaje de mexicanas que están:
a) Entre 153 y 168 centímetros
b) Aproximadamente 170 centímetros

Suponga que la altura de las mujeres mexicanas está normalmente distribuida, con
promedio μ = 160cm y desviación estándar σ = 7.5cm.
Entonces z1 = (153-160)/7.5=-0.93 y z2 = (168-160)/7.5=1.07

De aquí que:
P (153≤X≤168) = normcdf(-0.93)-normcdf(1.07)= 0.6815
Asuma que las alturas son redondeadas al centímetro más cercano,
Entonces z1 = (169.5-160)/7.5=1.27 y z2 = (170.5-160)/7.5=1.4
De aquí que:
P(169.5≤ X≤170.5) = normcdf(1.4)-normcdf(1.27)= 0.0213

Ejemplo #2.- Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer.
Suponga que se toma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre la probabilidad
que al menos 150 de ellos tengan la enfermedad.

Suponga que el 4% de la población de la tercera edad tiene Alzheimer. Suponga que se
toma una muestra aleatoria de 3500 ancianos. Encuentre la probabilidad que al menos 150
de ellos tengan la enfermedad.
μ = np = 3500(0.04) =140, σ2 = npq = 3500(0.04)(0.96) = 134.4, por lo que σ = 11.6. Se
usa entonces la distribución normal para aproximar la probabilidad binomial como sigue:
b(k ≤ 150) ≈ N(X ≤ 149.5). Tras transformar, a = 149.5, en unidades estándar se obtiene: z1
= (149.5-140)/5= 0.82 De aquí que: P(X≤149.5) = normcdf(0.82) = 0.7939

Ejemplo #3.- Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.
Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.
¿Cuál es la predicción de la aproximación normal?

Se lanzan 100 volados con una moneda correcta.
Encuentre la probabilidad que ocurran exactamente 60 águilas.
Note que: μ = np = 100(0.5) =50, σ2 = npq = 100(0.5)(0.5) = 25, por
lo que σ = 5. Se usa entonces la distribución normal para

Estadística

aproximar la probabilidad binomial como sigue:
b(100, 60, 0.5) ≈ N(59.5 ≤ X ≤ 60.5). Tras transformar, a = 59.5,
b = 60.5 en unidades estándar se obtiene:
z1 = (59.5-50)/5=1.9 y z2 = (60.5-50)/5=2.1. De aquí que:
P(59.5≤X≤60.5) = normcdf(2.1)-normcdf(1.9)= 0.0109

Ejemplo #4.- supongamos que se sabe que el peso de los sujetos de una determinada
población sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 80 Kg y una
desviación estándar de 10 Kg. ¿Podremos saber cuál es la probabilidad de que una persona,
elegida
al azar, tenga un peso superior a 100 Kg?

Por lo tanto, la probabilidad buscada de que una persona
elegida aleatoriamentede esa población tenga un peso mayor de 100 Kg , es de 1–
0.9772=0.0228, es decir, aproximadamente de
Un 2.3%.

Ejemplo #5.- cuál es la probabilidad que una variable normal estandarizada se encuentre
en los rangos:
1. P(-1≤ X≤1) = normcdf(1)-normcdf(-1)= 0.6827
2. P(0≤ X ≤1.72) = normcdf(1.72)-normcdf(0)= 0.4573
3. P(4.5≤X) = 1


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Ejemplos de distribución De Gamma

En una ciudad se observa que el consumo diario de energía (en millones de kilowatt-hora) es
Ejemplo #1
una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con parámetros a= 3 y =2. Si la
planta de energía que suministra a la ciudad tiene una capacidad diaria de generar un máximo
de 12, ¿cuál es la probabilidad de que haya un día donde no se pueda satisfacer la demanda?

Ejemplo #2 .- Si un componente eléctrico falla una vez cada 5 horas, ¿cuál es el tiempo
medio que transcurre hasta que fallan dos componentes? ¿Cuál es la probabilidad de que
transcurran 12 horas antes de que fallen los dos componentes?


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Ejemplo #3.- A una centralita de teléfonos llegan 12 llamadas por minuto, siguiendo una
distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en menos de 1 minuto lleguen 8
llamadas?


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Ejemplos de distribución de T de student
Ejemplo #1.-Se realizo un estudio sobre la utilización del agua en una pequeña
ciudad. Para ello se considero una muestra de 25 casa. El número de galones de
agua que utilizan por día (1 galón = 0.0037854 m 3) fue el siguiente:
175 185 186 118 158
150 190 178 137 175
180 200 189 200 180
172 145 192 191 181
183 169 172 178 210

Con base en esta información:
a) Hallar un intervalo de confianza del 90%
b) Si el recurso de agua en la ciudad permite una utilización media de 160
Galones por día, ¿Podría pensarse que hay un problema de escasez de agua en
la ciudad?
x=175.76; n=25; s=20.79; a=0.1; ν=24; µ=160; t(a2, ν)=1.711
µ: x ± t(a2, ν) sn
µ: 175.76 ± 1.711 20.7925
Iµ = [168.65, 182.87]

Ejemplo #2.- A partir de 860 cuentas, un analista financiero toma una muestra
aleatoria de 16 cuentas. Los saldos observados en la muestra son los siguientes:
165, 150, 300, 240, 250, 150, 300, 200, 140, 240, 260, 180, 190, 230, 350, 360.

Ejemplo #3.- Una maquina se encarga de llenar botes de jalea con µ gramos,
pero no los llena con la cantidad exacta. Suponte que los pesos reales de
contenido siguen una ley normal N (µ, s2).

Si de una muestra de 16 botes obtenemos una media de 298g, investiga si un
intervalo de confianza para µ del 95%, contiene la media µ = 300.


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Ejemplo #4.- Se tienen los siguientes datos experimentales correspondientes a 17
individuos de los que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellas
cuantitativa con distribución normal considerada como variable respuesta (Rta), y la otra
variable dicotómica considerada como variable explicativa (Exp). Los datos se presentan de
forma que en las filas hay varios individuos para facilitar la lectura:

Calcular un intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias asumiendo igualdad
de varianzas y no asumiendo la igualdad de éstas y realizar el siguiente contraste:
H0: m1 - m2 = 0
H1: m1 - m2 ¹ 0
mediante la prueba t-Student para dos medias en los dos supuestos de igualdad y no
igualdad de varianzas.

Ejemplo #5.- Un f abricante de focos afirma que sus producto durará un promedio de 500
horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verif ica 25 focos cada mes. Si
el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisf echo con esta
afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 f ocos cuya duración
fue?:


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Se puede concluir que la media poblacional no es 500, porque la muestra poblacional está
por encima de esta, y por lo tanto deber ía estar por encima de 500.


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