Una aproximacion ecologica

Estrategias para la Enseñanza de la Matemática
Módulo 2: Nuestro marco de referencia: una aproximación ecológica
¿Cuál es el marco ecológico para el cual está especialmente adaptado el pensamiento humano, y cómo utilizar los formatos naturales al cerebro como andamiaje para enseñar matemática?
1. Posición evolucionaria
2. El lenguaje
3. Las neuronas espejo
4. Los procesos de abstracción
5. La escritura
6. Los conceptos matemáticos
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http://www.educoas.org
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1. Posición evolucionaria
“Solo en el espacio de tiempo representado por el siglo actual ha adquirido una especie el poder de alterar la naturaleza del mundo"
Rachel Carson
Primavera Silenciosa, 1962
En este Módulo trabajaremos sobre una aproximación al problema del aprendizaje que se basa en hallazgos recientes de la biología y psicología evolucionaria. El punto central de esta aproximación reside en identificar las capacidades innatas del cerebro para luego buscar estrategias de enseñanza de conceptos que ya no son tan innatos. Esta aproximación, parte del hecho de conocer con la mayor precisión posible, qué tipo de conceptos y estrategias relacionados con la matemática nos resultan innatos.
Los conceptos y las estrategias innatos, también denominados biológicamente primarios, son aprendidos sin necesidad de instrucción formal. Basta que el sujeto se desarrolle normalmente e interactúe con otras personas, para que durante los cinco o seis primeros años de vida desarrolle gran parte de esas competencias. Entre esas estrategias y conceptos innatos están:
• la noción de número y la capacidad de contar
• la noción de probabilidad y capacidad de estimar riesgos
• las principales formas geométricas y la capacidad de reconocerlas
• la noción de regla y la de algoritmo
• la capacidad de seguir reglas y algoritmos y de visualizar sus consecuencias
• la noción de modelo y la capacidad de simular la realidad
• la noción de juego y de jugar utilizando diversas estrategias
• el lenguaje y la capacidad de nombrar y describir objetos y eventos, etc.
Hasta hace unos 100 años atrás una proporción no insignificante de comunidades humanas vivía en las condiciones típicas de la edad de piedra. Aún hoy en día, en algunos lugares apartados, todavía quedan algunas pocas tribus viviendo así. En esas comunidades, sin agricultura ni escritura, ni vivienda fija, la vida nómada, de cazador recolector, no difiere mucho de las de otros simios superiores tales como chimpancés y bonobos (también llamados chimpancés pigmeos).
La alimentación, las herramientas y el vestuario son similares. En realidad sólo en los últimos 10 mil años algunas poblaciones de humanos han ido incorporando tecnologías y modos de vida significativamente diferentes. Pero este es un periodo de tiempo muy corto como para que el cerebro haya experimentado alguna transformación fisiológica significativa. En otras palabras, "nuestro moderno cráneo hospeda un cerebro de la edad de piedra", un cerebro que está especialmente adaptado a las condiciones de una vida cazadora recolectora, y no necesariamente a las condiciones de vida de la sociedad actual ni a las matemáticas modernas.
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La Psicología Evolucionaria (Evolutionary Psychology) busca aplicar los principios de la genética y particularmente de los principios de la teoría de la evolución para explicar el origen y el desarrollo de la conducta y de la mente. La psicología evolucionaria estudia particularmente la conducta social, teniendo en cuenta que ciertas conductas maximizan la posibilidad de adaptación del individuo al ambiente.
Para profundizar sobre el tema le proponemos que analice la informaciónincluida en los siguientes artículos:
http://www.psych.ucsb.edu/research/cep/ledainterview.htm http://pantheon.yale.edu/~kw77/math.html
En el primero de ellos podrá encontrar algunos de los aportes de la psicología evolucionaria y en el segundo, algunos de los experimentos realizados por Jean Piaget o Karen Wynn.
La psicología evolucionaria es una posición de la psicología que destaca el hecho de que el cerebro humano es producto de la evolución y advierte acerca de la importancia de examinar más en detalle para qué condiciones está adaptado. Al observar el escenario completo de la evolución del cerebro animal podemos apreciar que las ventajas y especializaciones que caracterizan a nuestro cerebro respecto a las adaptaciones en otros primates superiores son sólo muy sutiles. Esto se debe a que todas las especies han evolucionado sometidos a presiones ambientales similares, han tenido que compartir los mismos nichos ecológicos. Allí, las diferentes especies batallaban por los mismos recursos y lo hacían utilizando estrategias similares.
Imagine que un antropólogo marciano comparara chimpancés con humanos cazadores recolectores. ¿Qué similitudes y qué diferencias observaría? A primera vista observaría un comportamiento social similar, herramientas similares y alimentación similar. Una segunda mirada, un poco más profunda, le permitiría observar similitudes en cuanto a crianza: madres enseñándoles a sus hijos, los que pasan por prácticamente los mismos estadios de desarrollo. Observaría expresiones faciales que parecen revelar emociones idénticas ante situaciones similares. Observaría que prácticamente los mismos fenómenos o situaciones atraen la atención de los individuos. Observaría también estrategias sofisticadas de interacción: engaño, formación de coaliciones, negociación, juegos. Observaría además gran similitud en capacidades cognitivas avanzadas: uso y fabricación de herramientas, comprensión de planos y maquetas que representan situaciones reales pero a escalas más pequeñas, planeación de actividades, descubrimientos, uso de desagradables yerbas con fines medicinales, reconocimiento de sí mismos, etc. Observaría que estos animales poseen poderosos mecanismos cognitivos de reconocimiento de patrones y formas, y de manejo y transformación de esos patrones. Además observaría que son probabilistas innatos, con una gran capacidad Educational Portal of the Americas
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de estimar probabilidades de diferentes eventos, de reconocer tasas de retorno de diferentes acciones, y de estimar riesgos de diferentes ambientes y situaciones. Diseñando cuidadosos experimentos nuestro antropólogo marciano podría darse cuenta que los chimpancés pueden manejar conceptos numéricos. Distinguen inmediatamente entre dos o tres objetos. Aún más, pueden aprender a manejar correctamente los símbolos del 1 al 9, y aprender a realizar sumas con estos símbolos. Pero, ¿qué diferencias podría detectar el antropólogo marciano? Para encontrar diferencias importantes tendría que hilar fino. Por ejemplo, existen sutiles diferencias en algunas pocas herramientas de piedra. Los humanos dedican un tiempo importante a afilarlas. Otra diferencia es el fuego, utilizado por los humanos para cocer carne, probablemente debido a las dificultades para comerla cruda con la pequeña dentadura que disponemos y a que somos mucho más carnívoros que el resto de los primates. Sin embargo, estas diferencias no se comparan con otra que parece ser la más significativa de todas: el lenguaje.
En lo que sigue analizaremos el lenguaje, su origen a partir del proceso de imitación, y cómo mediante una mayor capacidad de abstracción emerge la escritura y el lenguaje matemático.
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2. El lenguaje
Por mucho tiempo se ha pensado que el lenguaje es la gran diferencia que distingue a los seres humanos del resto de los animales. Aquí residiría parte importante de la noción de "humanidad". Pero, ¿qué tanta diferencia realmente existe? La primatóloga Sue Savage-Rumbaugh, que por años estudió a Kanzi, un bonobo que desde recién nacido fue criado junto a su madre a la que se le enseñaba un lenguaje pictórico, concluye que los bonobos tienen importantes capacidades lingüísticas. Por ejemplo:
Pueden aprender a diferenciar fonemas ingleses y entienden que combinaciones de estos fonemas dan lugar a palabras. Pueden llegar a entender palabras habladas rápidamente y en contextos, donde el uso o el significado de la palabra difiere de frase en frase (como la palabra inglesa "can" que puede significar el verbo "poder" o el sustantivo "contenedor") y donde el significado depende no sólo de las palabras de la frase sino que de frases previamente vocalizadas, del contexto físico y/o social, y del contexto histórico.
Pueden llegar a conocer el símbolo escrito de muchas palabras y pueden usar estos símbolos para comunicar, aún cuando no pueden hablar. Pueden comprender aspectos sintácticos, pueden entender que un pronombre como "it" se refiera a frases previas, pueden entender el significado del orden en una frase. Por ejemplo, que "A le pega a B", es diferente de "B le pega a A". Pueden entender pronombres de posesión como "mío", expresiones temporales como "ahora" y "después", calificaciones de estado como "caliente", entienden que una cláusula en una frase puede modificar otra porción de la frase como en "agarra la pelota que está afuera, no la que está ahí", calificativos como "bueno" y "malo", etc.
Aprenden solos, sin instrucción directa, tal como los niños. Se gesticulan a sí mismo cuando están solos, en lo que parecen ser monólogos. También, automáticamente, siguen solos el hilo de una conversación que otros sostienen cerca de ellos, aún si no están participando activamente en ella. Expresan intenciones difíciles de hacerlas con puras gesticulaciones, tales como decir dónde planean ir (aún cuando sea un viaje largo que tome un par de horas).
Savage-Rumbaugh reconoce que una gran diferencia con los humanos es que los bonobos no pueden aprender a hablar, pero sostiene que esto se debe en parte a que no tienen la anatomía de la laringe apropiada para producir la variedad de sonidos que nosotros podemos generar. Sin embargo, mediante señalizaciones con gestos o indicando íconos, sí pueden lograr comunicarse. Savage-Rumbaugh
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concluye que estudios comparativos con niños de hasta 2 años y medio, en los que a niños y bonobos se les habla un gran conjunto de frases y se observa qué hacen y responden, muestran que algunos bonobos alcanzan mayor comprensión y producción de oraciones que niños de esa edad.
Para profundizar sobre el tema le proponemos que analice la información incluida en los siguientes sitios:
http://paulagordon.com/shows/savage-rumbaugh/ http://www.iowagreatapes.org/research/rumbaugh.htm
Para comenzar a relacionar este tema con las estrategias de enseñanza de la matemática le pedimos que realice la siguiente actividad: Reflexione acerca de los siguientes interrogantes:
• ¿Qué diferencia hay entre las reglas gramaticales y las reglas de uso y operaciones aritméticas con el sistema posicional?
• ¿Cuál de los dos sistemas de reglas es más complejo?
• ¿Cuál de los dos sistemas cuesta menos aprender?
• ¿Cuál de los dos sistemas cuesta más describir?
• ¿A qué se debe la diferencia? Le pedimos que comparta algunas de sus reflexiones y experiencias con sus compañeros en el Foro.
Estas importantes similitudes entre el cerebro humano y el de otros primates nos plantean el desafío de entender dónde reside esa pequeña diferencia que hace posible posteriormente una cultura tan diferente.
¿Cómo es posible que con capacidades cognitivas aparentemente similares, adaptadas para los mismos nichos ecológicos, haya sido posible una sociedad humana tan diferente, con un enorme dominio de la naturaleza y un desarrollo tan sofisticado de la matemática y las ciencias?
¿Y cómo eso se logró en tan poco tiempo, en tan sólo unos pocos milenios, en los que no alcanza a manifestarse ningún cambio anatómico permanente?
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3. Las neuronas espejo
La evidencia experimental apunta a que el origen del lenguaje reside en las capacidades de imitación y, particularmente, en la imitación de acciones manuales. Estas son capacidades que están ya presentes en monos, mediante ciertas neuronas que le indican al sujeto que lo que él hace, por ejemplo al agarrar un objeto, es lo que él ve hacer en otro. Estas neuronas, llamadas neuronas "espejo", forman la base de un sistema de aprendizaje social. En primates más sofisticados, tal como chimpancés, se agrega al sistema de neuronas espejo una mayor capacidad de memoria para almacenar acciones más complejas, y por lo tanto, imitar e innovar sobre secuencias más largas.
(a) activación de neuronas espejoen actor y observador (b) activación de las mismasneuronas espejo en observador alejecutar la misma acción que viorealizar al actor
(a)
(b)
Las neuronas espejo constituyen la base neurológica del proceso de comprensión. Pruebas en laboratorio en las que se muestra un acto de agarre de un objeto pero donde una parte de las acciones están escondidas tras una cortina, muestran que una proporción de las neuronas espejo siguen disparándose. Esto es, el sujeto supo lo que el otro hizo a pesar de que no vio el acto completo. Es decir, no se necesita la observación directa de todo el acto. De alguna manera, esas neuronas codifican el significado del acto. Tomografías cerebrales en humanos muestran que ciertas neuronas del sistema espejo se disparan más activamente al pedírsele al sujeto comprender un acto de agarre que cuando se le solicita sólo la imitación del acto. Según los neurocientistas Rizzolatti, Fogassi y Gallese, descubridores de estas neuronas, aquí estaría el mecanismo neurofisiológico subyacente a la compresión de actos.
Más información sobre estos autores y el descubrimiento de las neuronas espejo puede verse en:
http://www.unipr.it/arpa/mirror/english/staff/gallese.htm Educational Portal of the Americas
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Para conocer sobre las implicaciones de las neuronas espejos en la evolución del lenguaje puede consultar el análisis realizado por V.S. Ramachandran, uno de los principales nuerocientistas actuales en:
www.edge.org/3rd_culture/ramachandran/ramachandran_p1.html En resumen, las neuronas espejo constituyen los átomos de la comprensión. Entender una acción implica:
El aspecto asociado a la capacidad para comparar ambas representaciones resulta crítico ya que no sólo nos permite entender los orígenes de la "comprensión", sino que nos da pistas sobre cómo presentar ideas o secuencias de pasos en la forma más natural posible, asegurando una mayor posibilidad de comprensión.
Aquí reside, en parte, la razón por la cual algunos aparatos manipulativos, tal como el ábaco, hacen posible entender mucho más fácilmente conceptos matemáticos en comparación a una presentación inicial más simbólica.
Para ejemplificar esta afirmación le proponemos que realice la siguiente actividad:
Escoja dos grupos de niños de segundo básico con la misma distribución de conocimientos y habilidades. Al primer grupo muéstrele cómo los números de 1 a 10 pueden factorizarse como producto de dos números. Muéstrele que 4 es 2 veces 2, que 6 es 3 veces 2, que 8
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es 2 veces 4, 9 es 3 veces 3 y 10 es 2 veces 5. Hágale ver que 3, 5 y 7 no se pueden factorizar, y por eso se llaman primos.
Acto seguido pídale una explicación de qué es un número primo y que determinen si 12, 15 y 17 lo son.
Al segundo grupo, muéstrele para cada uno de los mismos números que si uno los coloca como una fila de dulces, entonces factorizar es colocarlos como varias filas formando un rectángulo. Es decir, para 4 usted coloca una fila de cuatro dulces y con sus manos usted los desplaza para formar dos filas de 2 dulces formando un cuadrado tal como se muestra en la figura; para 6 usted los coloca como una fila de 6 dulces y luego los recoloca como 2 filas de 3 dulces cada una formando un rectángulo, etc.
Luego de hacer lo mismo para 4, 6, 8, 9 y 10, y mostrarle que no lo puede hacer para 3, 5 y 7 y por eso a esos números los llama primos, entonces pídale una explicación de qué es un número primo y pídale que determinen si 12, 15 y 17 son primos o no.
Compare los desempeños de cada grupo. Comente si encuentra diferencias y a qué se deberían.
Espere una semana y sin repasar nada pídale a cada grupo que determine si 13, 18 y 21 son primos o no.
Analice los resultados y comente a qué podría deberse las eventuales diferencias.
El sistema de neuronas espejo está presente en monos y primates más avanzados. La pregunta entonces es: ¿Dónde residen las diferencias con los humanos? ¿Es una ventaja de grado o es un salto cualitativamente distinto?
Existe un creciente consenso hoy en día acerca de que las diferencias neurológicas son sólo diferencias de grado, no son enormes cambios anatómicos ni estructurales. Sin embargo, a pesar de ser pequeñas diferencias neurológicas, éstas dan lugar a
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la larga a un fenómeno cualitativamente diferente. En el caso humano, hay por una parte, una mayor capacidad de almacenar secuencias más largas de acciones y de aprender secuencias en mucho menos repeticiones demostrativas.
Por otra parte, hay también mayor capacidad de segmentar acciones complejas, descomponiéndolas en elementales, y de ensayar variantes de acciones elementales. Estas aparentemente sutiles ventajas, generan a la larga una gran diferencia. Pero, ¿es esa toda la diferencia?
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4. Los procesos de abstracción
Existe otra capacidad, aparentemente inofensiva, que puede ser la que termine por hacer posible una gran diferencia en el comportamiento de los individuos. Es la capacidad de crear acciones virtuales o abstractas, tales como gestos o marcas, para denotar otras acciones. Así, con esta capacidad adicional, es posible crear secuencias de acciones en que muchas de las componentes no corresponden a acciones motoras concretas, sino que sólo hacen referencias a acciones reales o incluso a acciones virtuales. En este último caso, la referencia a acciones reales se realiza a través de acciones intermedias, que son sólo virtuales.
Según el primatólogo Daniel Povinelli (http://www.cognitiveevolutiongroup.org/site100-01/1001369/docs/daedalus.pdf), sólo los humanos son capaces de utilizar elementos no directamente observables para predecir consecuencias y futuros eventos. Luego de varios años de experimentos especialmente diseñados para detectar y descifrar los mecanismos utilizados por chimpancés para resolver problemas de física en el uso de herramientas, Povinelli concluye que los primates no humanos sólo pueden detectar regularidades en fenómenos directamente observables. Esas regularidades son meras reglas superficiales, que relacionan hechos perceptuales de bajo nivel con posibles resultados observables. En cambio, los humanos son capaces de concebir y nombrar objetos y eventos no observables, y utilizan éstos como acciones intermediarias entre lo observado y la predicción de futuros eventos. Esta capacidad de abstracción, de crear artificialmente objetos, acciones, variables o estados virtuales, no observables, y de conectar esos elementos virtuales entre sí, así como con acciones y eventos observables, es lo que le otorga al cerebro humano un enorme poder de predicción.
El hecho de introducir estados intermedios no observables que interactúan con los fenómenos observables tiene un enorme impacto en la capacidad de predecir y actuar. Sin embargo, esta enorme ventaja no es fácil de visualizar ni de dimensionar en su real magnitud. A primera vista, pareciera que no se gana mucho con introducir marcas o variables adicionales, ni menos si éstas son virtuales.
En una primera sesión usted presiona el 1 y la máquina no bota nada. Luego presiona el 2, y tampoco bota nada. Luego presiona el 4, y entonces la máquina bota una ficha con el número 1.
En la segunda sesión, usted presiona el 2 y la máquina no bota nada, luego presiona el 1 y tampoco bota nada. A continuación presiona el 3 y sigue sin botar nada. Luego presiona el 4 y entonces bota una ficha con el número 4.
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En la sesión siguiente, usted presiona el 5 y la máquina no bota nada. Luego presiona el 1, y la máquina no bota nada. Luego presiona el 0 y no sale nada. A continuación presiona el 3 y bota una ficha con el número 3.
En la cuarta sesión, usted presiona el 3 y no sale nada. Luego presiona el 2 y no sale nada. A continuación presiona el 3 y entonces la máquina bota una ficha con el número 2.
La tabla siguiente resume las cuatro sesiones:
Sesión 1
Sesión 2
Sesión 3
Sesión 4
1 -> nada
2 -> nada
4 -> 1
2 -> nada
1 -> nada
3 -> nada
4 -> 4
5 -> nada
1 -> nada
0 -> nada
3 -> 3
3 -> nada
2 -> nada
3 -> 2
En la Tabla, cada columna indica una sesión y la flecha “->” indica qué arrojó la máquina al presionar el número izquierdo.
Si en una nueva sesión presiono el 4, la máquina ¿arroja algo? y si no bota nada, pero luego presiono el 7, entonces ¿qué cree usted que sale?
Para realizar predicciones uno podría pensar en diferentes reglas o patrones que podrían inducirse en función de la historia de las cuatro sesiones:
• Una posible regla es que en cada sesión en las dos primeras presionadas no sale nada.
• Otra regla posible es que cuando no ha salido nada en el tercer intento, entonces en el cuarto la máquina desecha justo el mismo número presionado.
Uno podría así buscar muchas reglas posibles. Pero dado que existe una infinidad de posibles reglas a explorar, entonces el problema es cuándo parar de buscar posibilidades y cuál escoger.
Realice esta experiencia con un grupo de 20 niños de quinto o sexto grado. Resuma en una tabla los resultados.
Comente los resultados con sus compañeros de Salón.
En situaciones y contextos más comunes, la búsqueda no es infinita. El cerebro está sesgado a buscar ciertas estructuras y no otras. Estas estructuras contienen Educational Portal of the Americas
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variables no observables. El cerebro inmediatamente crea estados abstractos intermedios y busca reglas y patrones que incluyen esos estados inobservables.
Supongamos, por ejemplo, que la máquina esen realidad una persona. Supongamos ademásque cada botón presionado es un insulto quele hacemos. Así, presionar un 2 significainsultar a esa persona 2 veces seguidas. Supongamos, finalmente, que lo que entregala máquina es uno o varios puñetes de vuelta. Con estos datos adicionales, ¿Cuál es ahora supredicción cuando en una nueva sesióninsultamos a nuestro sujeto con 4 insultosseguidos? ¿Y si no devuelve ningún puñete, pero a continuación lo insultamos 7 vecesmás, que cree que responderá?
En este contexto o formato natural, es común que la gente cree algo como un acumulador, que es un estado no directamente observable, pero que permite rápidamente hacer una predicción precisa. Este acumulador es algo no observable que representa un estado mental que junta insultos. Es como un acumulador de situaciones adversas. Sin embargo, el acumulador tiene un límite, más allá del cual el sujeto insultado responde. Es decir, la regla supuesta es que cuando el acumulador llega a ese nivel entonces el sujeto explota.
Este es un esquema que nos parece muy simple y seguramente es un buen predictor del comportamiento de la gente en ese tipo de situaciones adversas.
Con este esquema, la predicción es similar a la quese hace al considerar que la máquina es unestanque con un orificio a cierta altura y quepresionar botones corresponde a echar vasos deagua, por ejemplo, presionar el botón 2 correspondea echarle dos vasos, y la salida es la cantidad devasos de agua que arroja por el orificio.
En este caso, el estado no observable corresponde ala cantidad de agua acumulada en el estanquedurante la sesión, cosa que no se ve pero que unoinfiere. Con esta información, la predicción es clarapara nuestro problema. Al echar 4 vasos no botanada, pero al agregar 7 más entonces arroja 5vasos, pues la altura del orificio se alcanza alacumular 6 vasos de agua.
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Los seres humanos tenemos la propensión a crear variables o estados intermedios, estados que muchas veces son no observables. La altura del nivel del agua, por ejemplo, no es observable directamente si el estanque es opaco y está cerrado. Aún así uno se lo imagina. Similarmente, el nivel del acumulador de insultos es una mera creación que no puede observarse al estar frente a una persona. Sin embargo, nos parece natural y es rápidamente seleccionado para predecir lo que la gente probablemente responderá.
La capacidad de crear estados intermedios no es exclusivamente humana, pero los humanos somos particularmente habilidosos y sofisticados para hacerlo en una gran variedad de situaciones. Si bien aquí nos diferenciamos significativamente de otros animales, que poseen esta capacidad en mucho menor medida, esto no significa que sea una capacidad universal. Sólo en ciertos ámbitos específicos construimos en forma innata ciertas abstracciones y variables intermedias virtuales. Fuera de esos dominios y situaciones esta capacidad también nos cuesta, y hay muchas diferencias entre individuos. Aquí reside un enorme desafío para la enseñanza, pues la matemática escolar requiere una capacidad de abstracción fuera de los dominios naturales.
Es importante tener en cuenta que las creaciones de variables o estados virtuales son realizadas en cierto tipo de problemas y no en otros y que este mecanismo como tal, sólo opera en ciertos contextos y situaciones. La capacidad de abstracción, de concebir y nombrar objetos y fenómenos inexistentes, hace finalmente posible una capacidad mucho mayor de entender y controlar el entorno. Así, nacen las palabras, compuestas de letras y sílabas, que son objetos sin significado, meros sonidos completamente abstractos, pero que conectados entre sí hacen referencia a objetos y acciones reales o virtuales, dando lugar al lenguaje tal como lo conocemos.
Gracias al lenguaje es posible una vida social de mucho mayor riqueza. El grado de manipulación de las creencias e intenciones de otros aumenta considerablemente. Hablando podemos hacer que otros se pasen películas espectaculares. Podemos movilizar en otros nuevos intereses y ambiciones. Podemos hacerlos activar complejos estados emocionales. Con el lenguaje nace la narrativa, y con ella toda una forma de conocimiento. Leyendas y mitos se propagan de generación en generación, encapsulando poderosos conocimientos sobre el mundo y su gente.
Si bien estos antecedentes sobre el cerebro humano son muy valiosos para comprender qué le es natural, qué tipo de formatos asimila fácilmente, y cómo podemos diseñar estrategias de enseñanza que le sean atractivas y efectivas, todavía no son suficientes para entender cómo se pudo alcanzar a desarrollar una sociedad como la actual.
Hemos visto que una diferencia significativa de los humanos es la capacidad de crear estados o variables intermedias, que no son observadas directamente, lo cual nos sirve para capturar y describir regularidades con mucho mayor precisión. Sin Educational Portal of the Americas
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embargo, esta capacidad tiene limitaciones. Existen muchas creaciones abstractas de la matemática elemental que nos cuestan mucho.
Analice por ejemplo, la noción de número negativo. Cuando varios siglos atrás fueron propuestos, muchos matemáticos de la época los consideraban números absurdos. Descartes los consideraba falsos pues representaban algo menor que nada. Tomó varias generaciones de matemáticos para aceptarlos e incorporarlos como otros números que complementan los enteros positivos.
Le pedimos que investigue las objeciones que se levantaron, liste las dificultades cognitivas que usted observa en los estudiantes con números negativos. Detalle, por ejemplo, cómo explicaría que (-1) multiplicado por (-1) es igual a 1, y qué dificultades vislumbra que observará en los estudiantes para entender ese resultado.
Luego comparta parte de sus conclusiones con sus compañeros de Aula y profesor tutor.
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5. La escritura
Hace unos pocos miles de años atrás, gracias a la capacidad de abstracción y necesidad de contabilizar víveres, emerge una creación únicamente humana: marcas en huesos y piedras. Son marcas no biológicas, perennes, fáciles de trasportar y copiar. Inicialmente sólo registraban números, pero luego de un par de decenas de miles de años, emergen sistemas de registros de gran variedad de cosas y hechos.
Así nace el lenguaje escrito, este sistema de marcas en arena, piedra, papel u otro medio, forma una memoria de trabajo externa sobre la que se apoyan nuestras memorias de trabajo biológicas. La escritura es una memoria externa infinita e indeleble: no decae, no sintetiza ni resume, no produce falsas memorias ni reconstrucciones dudosas. Es portátil y, aquí viene la idea clave: permite la acumulación y desarrollo progresivo de comunicados e ideas.
Hace posible un constante refinamiento, no sólo realizado por un individuo sino por múltiples actores, es una memoria de trabajo colectiva. Con la escritura aparecen preguntas nuevas, emergen gradualmente interrogantes nunca antes imaginadas. Es un nuevo medio, que no sólo permite mucho mayor alcance en la propagación de información, sino que hace posible la aparición de nuevos mecanismos de composición y reproducción de ideas.
La escritura es muy superior al lenguaje, pues éste debe pasar por un filtro inevitable: debe comenzar a ser asimilado por niños muy pequeños, de menos de dos años de edad. La escritura es mucho más difícil de aprender. Adicionalmente, cualquier encadenamiento de ideas efectuadas con el lenguaje debe considerar la restricción implacable de una muy corta duración de la memoria de trabajo: de 2 a 30 segundos, y una capacidad de almacenamiento muy limitada: no más de 7 ítemes. A pesar del enorme desarrollo del córtex prefrontal, que en los humanos es el doble de lo que sería en simios de nuestro tamaño, las actividades de planeación y consecución de metas se ven muy limitadas por las restrictivas capacidades de las memorias de trabajo y por el carácter cuestionable y variable de las memorias de largo plazo. Estas restricciones son mágicamente levantadas mediante la escritura.
Sin embargo, la escritura no es de imitación o aprendizaje innato, no basta con utilizar capacidades cognitivas biológicamente primarias, requiere capacidades biológicamente secundarias. Requiere trabajo y paciencia. Años de lento pero constante aprendizaje. Educational Portal of the Americas
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En un curso de cuarto grado o más forme una fila y explíqueles que cada uno deberá transmitirle al otro el mensaje que recibió de su compañero. Al primero dígale que comunique lo siguiente:
"Juan tiene doce vacas, quince ovejas, veintitrés pollos, catorce patos, dos caballos más que Felipe, doce pavos menos que Rosa, el doble de manzanas que Francisco pero menos de la mitad de almendras que Sonia".
Después de traspasar el mensaje, usando sólo la memoria, entre 20 estudiantes, comente lo que sucedió. Espere una semana y vuelva a registrar qué recordaron.
Comente qué diferencia se produciría con registros escritos y qué impacto puede tener el eventual mejoramiento en comunicación y recuerdo.
Comente los resultados con sus compañeros de Salón.
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6. Los conceptos matemáticos
La matemática tal como la conocemos hoy en día es un refinamiento del lenguaje natural y la escritura. Es un sistema de marcas especialmente adaptado para contabilizar objetos y describir relaciones entre objetos y fenómenos. Es el lenguaje sobre el cual se apoya la ciencia. Es el lenguaje de lo que se denomina modelamiento. El modelamiento es el proceso de construcción de maquetas, pequeños modelos a escala de la situación real, donde se han seleccionado ciertos aspectos que se consideran los esenciales. Un modelo, tal como el modelo a escala de un edificio o un avión, es una simplificación. Sin embargo, un buen modelo captura las regularidades y características principales del fenómeno en estudio y nos sirve para hacer predicciones sobre lo que pasará en la realidad. El modelamiento es justamente la actividad central de la ciencia y el material con que se hacen los modelos es el lenguaje matemático. Producto del desarrollo de los últimos milenios de civilización, el poderoso lenguaje matemático ha experimentado en los últimos siglos un desarrollo exponencial.
La concepción de la matemática como un lenguaje es bastante común entre matemáticos y físicos: al parecer fue Galileo Galilei el primero en concebir la matemática como el lenguaje para comprender la naturaleza. Muchos otros lo han seguido: el matemático Alain Connes, quien ganó la Medalla Fields en 1982 (algo como el premio Nobel), afirma que la matemática “es incuestionablemente el único lenguaje universal”. Para Murray Gell-Mann, Premio Nobel de física y descubridor de los quarcks, las partículas más elementales de la naturaleza, la matemática puede considerarse como el estudio de las estructuras de las teorías científicas, sean éstas ya existentes o las posibles teorías que podrían darse en el futuro; y para Steven Weinberg, otro famoso Premio Nobel de Física, “la matemática en sí misma no es nunca la explicación de algo – es sólo el medio por el cual usamos un conjunto de hechos para explicar otro, y el lenguaje en que expresamos nuestras explicaciones”. Similarmente, según John von Neumann, quizás el matemático más prestigioso del siglo XX, "...cuando hablamos matemáticas, podríamos estar discutiendo de un lenguaje secundario, construido sobre el lenguaje primario verdaderamente utilizado por el sistema nervioso central."
El lenguaje natural ha co-evolucionado junto con el cerebro durante los últimos millones de años. Esta co-evolución significa una evolución tanto del lenguaje como del cerebro. Por una parte, el lenguaje evoluciona muy rápidamente, adaptándose oportunamente a las capacidades cerebrales. La escritura y la matemática, por el contrario, no han podido operar en la misma escala temporal y, por lo tanto, no han tenido el tiempo suficiente para alterar la estructura cerebral. En matemáticas, sólo nos son innatas las capacidades más elementales, tal como “contar”, agrupar, realizar algunas transformaciones espaciales y evaluar ciertos riesgos. Pero el resto de la matemática es muy reciente. Por eso, hay mucha variabilidad entre individuos. Sólo algunos pocos la entienden y contribuyen a su desarrollo. Para la Educational Portal of the Americas
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gran mayoría, muchos de los conceptos matemáticos parecen ajenos, artificiales e intrincados. En conclusión, el sustrato biológico del cerebro humano está especialmente adaptado para comprender y aprender acciones espaciales y manuales, narraciones y actividades sociales.
Sin embargo, no está necesariamente adaptado para la ciencia y matemática actual. Aprender esto es mucho más duro y lento. Pero conocer el sustrato biológico del pensamiento y conocer en detalle las capacidades biológicamente primarias nos pueden orientar en la búsqueda de estrategias de enseñanza que nos permitan avanzar mucho más rápido y eficazmente.
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