1. COMPORTAMIENTO VISCOELÁSTICO FRACCIONAL DE LAS CORRIENTES
IÓNICAS EN MACRÓFAGOS
Mariela Marín*#, Dario M Domínguez*, Marcela Camacho#§
*Universidad Militar Nueva Granada, #Centro Internacional de Física, §Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia.
INTRODUCCIÓN
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
En este análisis derivamos una variante de la ecuación fraccional
viscoelástica del modelo análogo Kelvin-Voigt para el 900
comportamiento viscoelástico de la membrana celular a estímulos 800
700
eléctricos. Empleamos la ecuación fraccional viscoelástica de 600
[1,2,3,4] la cual es derivada de modelos electromecánicos análogos 500
Amplitud (pA)
400
para modelos viscoelásticos fraccionales. El comportamiento 300
eléctrico de los canales iónicos en la membrana celular puede ser 200
100
pensado como un modelo análogo viscoelástico de circuito RC. 0
Encontramos una ecuación fraccional que relaciona el estímulo de -100
-200
potencial aplicado a la membrana celular y su respuesta en corriente 0 200 400 600 800 1000
Time (ms)
iónica a través de los canales. La ecuación resultante involucra las
B.
dos funciones de potencial y corriente (stress-strain) [1,2,3,4] y A.
encontramos que una de las soluciones función-respuesta, son
expresiones analíticas expresadas en términos de las funciones H de Iout
Ip(pA)
Fox [2], que bajo ciertos parámetros se convierte en una función de 500
tipo Mittag-Leffler y la otra función es del tipo de suma algebraica 400
300
de dos términos. Así, que utilizamos registros electrofisiológicos de Ikir Ip(pA)
200
macrófagos en la técnica de Patch-Clamp modo Voltage-Clamp. Se 50
100
analizaron los registros de corrientes de entrada de potasio y salida a 0
0
-130 -110 -90 -70 -50 -30 -10 10
-90 -70 -50 -30 -10 10 30 50 70 90
través de la membrana celular en whole-cell, para modelar el -100 -50
V(mV)
comportamiento de las curvas I-V. Nuestros resultados indican que
-200
V(mV) -100
B o ltz N
M o d e la p rx
las corrientes IKIR ajustan a modelos clásicos tipo Boltzmann (α=1) y -150
C. -200
las corrientes IOUT tienen comportamiento de tipo no Boltzmann
-250
(α<1). Finalmente, sugerimos que el comportamiento encontrado a B o ltz N
M o d elA p rx
nivel macroscópico, refleja el microscópico, pues mediciones de
D.
coeficiente de Hurst en la respuesta de relajación de las células, de
corrientes de salida son diferentes de 0,5, lo cual indica patrones de
Fig.1 Corrientes iónicas presentes en células J774A.1 y sus relaciones Ip-V, potencial
auto-semejanza. de membrana de sostenimiento en -60 mV. Respuestas en corrientes a pulsos de
potencial aplicados durante 1s. A. Corrientes de salida para pulsos de potencial entre
-40 mV a 90 mV con incrementos de 20 mV. B. Corrientes de entrada para pulsos
MODELO BOLTZMANN Y MODELO FRACCIONAL de potencial desde -130 mV a -40 mV, en incrementos de 10 mV. C,D. Relaciones Ip-
V (Corriente máxima-potencial aplicado y ajustes), Salida y entrada respectivamente.
Estímulo-Respuesta: En todas las células registradas se obtiene el
punto máximo o amplitud de corriente Ip Es decir, para cada
CONCLUSIONES
pulso de potencial hay una respuesta en corriente, de forma tal
que se puede establecer una relación estímulo-respuesta entre la
Nuestros resultados sugieren que la activación de los canales con
amplitud de corriente y el potencial aplicado (Ip-V). Nuestros
la entrada de potasio (IKIR) tienen un comportamiento regular
resultados muestran (fig. 1), el comportamiento para corrientes de
debido al transporte de un solo ión, por el contrario en el caso de
entrada de potasio y salida respectivamente. Las curvas Ip-V,
las corrientes de salida IOUT están mostrando un comportamiento
tienen forma sigmoidea y son generalmente ajustadas a modelos
complejo, debido quizá a la presencia de más de una especie
tipo Boltzmann de primer orden así:
iónica (K+ y Cl-) y tipos de canales como indican resultados
A1 − A2 A1 − A2
Ip = + A2 obtenidos en nuestro laboratorio.
Ip = + A2
1 + Eα ( (V − V1/ 2 ) / S )
1 + e(
V −V1/ 2 ) / S
REFERENCIAS
Agradecimientos
[1] A. Carpinteri, F. Mainardi. (1997). Fractals and Fractional Universidad
(1) Calculus in Continuum Mechanics. International Centre for Militar Nueva
(2) Mechanical Sciences. SpringerWienNewYork Granada: proyecto
[2] H. Schiessel, Chr. Friedrich, A. Blumen. (2000). Application
Comparando el análisis de los modelos de Boltzmann (ec.1) con Cod Mat 231
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modelos fraccionales (ec.2), donde una suma de exponenciales of Fractional Calculus in Physics. Editor R. Hilfer. World proyecto Cod:
puede ser reemplazada por una función de Mittag-Lefler, Scientific. 112340520182
encontramos que las curvas IpKIR-V ajustan a un modelo [3] TM. Atanackovic, BN. Novakovic. (2002). On a fractional Universidad
derivative type of a viscoelasticity body. Theoretical and Applies Nacional de
Boltzmann y a una fraccional de α=1, indicando así, que el Mechanics. Vol. 28-29, pp. 27-37, Belgrade. Colombia y Centro
modelo Boltzmann se puede considerar un caso particular de un [4] N Heymans and I, Podlubny. (2005). Physical Interpretation Internacional de
modelo fraccional, pero igualmente encontramos que para el caso of initial conditions for fractional differential equations with Física.
Riemann-Liouville fractional derivates. Rheological Acta.
de las IpOUT-V no se ajustan a este tipo de modelos Boltzmann,
sino a un modelo fraccional con α=0,5, indicando α<1 para estos de la UMNG. Bogotá, Colombia. Octubre 23/24 de 2008
III Encuentro de Investigaciones
casos.