Didáctica de la Matemática

DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
Marlon Bladimir Rosa
13 de febrero de 2017
Índice
1. Epistemolog´ıa de la Matemática, su naturaleza y Estructura 3
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Conceptualización ¿Qué es la matemática? Diversas teor´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. La Estructura Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Definiciones nominales expl´ıcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Definiciones por abstracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3. Definición por recurrencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4. Axiomática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Diversos enfoques en la enseñanza- aprendizaje de la Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.1. El asociacionismo de Thorndike. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3. La Matemática Moderna. Posición de Jean Diudonnè. El formalismo. . . . . . . . . . . . . 17
1.4.4. Enfoque constructivista. Epistemolog´ıa genética de Jean Piaget. . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.5. Enfoque del procesamiento de la información. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.6. Pedagog´ıa del descubrimiento de Polya. El método Heur´ıstico. . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.7. Enfoque basado en la resolución de problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.8. Enfoque en el modelado. La aplicabilidad de la matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.9. Corriente socio- culturalista. Posición de Vygotsky. Enfoque socio-constructivista. . . . . . 60
1.5. Rasgos y caracter´ısticas de la Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5.1. Razonamiento Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.5.2. Lenguaje y Comunicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.5.3. Exactitud y Aproximación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.6. Estándares para la Enseñanza de la Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6.1. La matemática y la Educación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.6.2. Conocimiento profesional en Educación matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6.3. Necesidades formativas en la formación del profesorado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.6.4. Factores socioculturales que inciden en la Educación Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . 80
1

1.7. Campo de trabajo. Matemáticas Escolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.7.1. Principios para las Matemáticas escolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.7.2. Valores y Fines de la Educación Matemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.8. La evaluación en Matemática. Conceptualización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.8.1. Formativa, Sumativa y Diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.8.2. Criterios para Seleccionar tareas de evaluación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.9. Metodolog´ıas APA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2. Proceso de enseñanza Aprendizaje de la Matemática 87
2.1. Aspectos psicológicos en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática. . . . . . . . . . . 88
2.1.1. Teor´ıas del Aprendizaje. Exigencias cognitivas en el aprendizaje de la matemática . . . . . 88
2.1.2. Diferencias individuales. ¿Por qué unos(as) alumnos(as) rinden más que otros(as) . . . . . . 89
2.1.3. La matemática Moderna y su influencia en la Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2. Propuestas Didácticas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2.1. método Heur´ıstico. Propuesta de G. Polya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.2.2. Propuesta Didáctica de Brousseau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.2.3. Propuesta Didáctica de Los Van Hiele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.2.4. La Resolución de Problemas. Conceptualización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.5. Método de Proyectos. Investigación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.3. Métodos de Prueba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.1. Método Inductivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.2. Método Directo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.3. Método indirecto ò Rec´ıproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.4. Método Contra Rec´ıproco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.5. Método de Casos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.6. Método de Reducción al Absurdo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3. Planificación Didáctica 107
3.1. El curr´ıculo de Matemática de Tercer Ciclo y de Bachillerato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.1. Secuenciación y temporalización de los bloques de unidades temáticas. . . . . . . . . . . . . 107
3.2. Organizadores Didácticos y Componentes del Curr´ıculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.1. Análisis Fenomenológico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.2. Representación y Modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.3. Errores y Dificultades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.4. Materiales y recursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.5. Desarrollo Histórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3. Análisis Didáctico del Contenido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3.1. Elaboración de Unidades Didácticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4. La matemática en el aula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.1. Enfoques didácticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2

3.4.2. Uso de Nuevas tecnolog´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.3. Elaboración de Material didáctico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.4. Matemática Lúdica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5. Abordajes Metodológicos de temas espec´ıficos: Aritmética, Algebra, Funciones, Cálculo, Estad´ıstica
y Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1. Epistemolog´ıa de la Matemática, su naturaleza y Estructura
1.1. Introducción
Imagine una clase, una escuela o un distrito escolar donde todos los estudiantes tienen acceso a una educación
matemática atractiva y de calidad. Hay expectativas ambiciosas para todos y adaptaciones para los que las nece-
siten.
Los profesores, bien preparados, poseen los recursos adecuados para apoyar su trabajo y están perfeccionándose
continuamente como profesionales. El curr´ıculo es matemáticamente rico y ofrece oportunidades a los estudiantes
para entender importantes conceptos y procedimientos matemáticos. La tecnolog´ıa es un componente esencial del
entorno. Los alumnos trabajan, con confianza, en tareas matemáticas complejas cuidadosamente elegidas por el
profesorado. Adquieren conocimientos a partir de una amplia variedad de temas matemáticos y, a veces, abordan
un mismo problema desde distintos puntos de vista, o representan las matemáticas de diferentes formas, hasta que
encuentran métodos que los capacitan para progresar. Los profesores ayudan a sus alumnos a formular, perfeccio-
nar y explorar conjeturas partiendo de evidencias y a utilizar diferentes tipos de razonamiento, as´ı como distintas
técnicas de demostración para confirmarlas o refutarlas. Los estudiantes son flexibles y hábiles resolutores de
problemas. Solos o en grupos, y con acceso a los medios tecnológicos, trabajan, productiva y reflexivamente, bajo
la experta gu´ıa de sus profesores. Oralmente y por escrito, comunican sus ideas y resultados con eficacia. Valoran
las matemáticas y se dedican activamente a aprenderlas.
La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolu-
ción continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de primer orden la necesidad de resolver
determinados problemas prácticos (o internos a las propias matemáticas) y su interrelación con otros conocimien-
tos.
Sin embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos o de
campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos han ido modificando su significado con el transcurso
del tiempo, ampliándolo, precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados
a segundo plano.
La didáctica de la matemática o educación matemática es una disciplina cient´ıfica cuyo objeto
de estudio es la relación entre los saberes, la enseñanza y el aprendizaje de los contenidos propios
de la matemática.
3

1.2. Conceptualización ¿Qué es la matemática? Diversas teor´ıas.
Para comprender cualquier fenómeno se necesita la matemática, ésta forma parte de la construcción de las
ciencias, todas ellas creaciones del ser humano; por lo que para poder interpretarlas en toda su dimensión y que
muchas puedan existir es necesaria la ciencia lenguaje del universo; pero la relación matemática-ciencias muchas
veces está ausente en la enseñanza, sus conocimientos se dan de manera aislada, sin mostrar su cultura y utilidad.
Como recurso didáctico se puede utilizar tal reciprocidad de manera amena, en cualquiera de sus formas para
enriquecer la enseñanza, la praxis y formación del docente de matemática. Todo esto se puede hacer desde una
pedagog´ıa integral que aboga por un proceso educativo vivo y transdisciplinar que muestre el concierto de fantas´ıas
que entrelazan todas las ciencias, en mayor o menor intensidad.
En la reflexión sobre las propias concepciones hacia las matemáticas habrán surgido diversas opiniones y creen-
cias sobre las matemáticas, la actividad matemática y la capacidad para aprender matemáticas. Pudiera parecer
que esta discusión está muy alejada de los intereses prácticos del profesor, interesado fundamentalmente por cómo
hacer más efectiva la enseñanza de las matemáticas (u otro tema) a sus alumnos. La preocupación sobre qué es
un cierto conocimiento, forma parte de la epistemolog´ıa o teor´ıa del conocimiento, una de las ramas de la filosof´ıa.
Sin embargo, las creencias sobre la naturaleza de las matemáticas son un factor que condiciona la actuación
de los profesores en la clase, como razonamos a continuación.
Supongamos que un profesor cree que los objetos matemáticos tienen una existencia propia (incluso aunque
esta “existencia” sea no material). Para él, objetos tales como “triángulo”, “suma”, “fracciones”, “proba-
bilidad”, existen, tal como lo hacen los elefantes o los planetas. En este caso, sólo tenemos que ayudar a
los niños a “descubrirlos”, ya que son independientes de las personas que los usan y de los problemas a los
que se aplican, e incluso de la cultura. Para este profesor, la mejor forma de enseñar matemáticas ser´ıa la
presentación de estos objetos, del mismo modo que la mejor forma de hacer que un niño comprenda qué es
un elefante es llevarlo al zoológico, o mostrarle un v´ıdeo sobre la vida de los elefantes.
¿Cómo podemos mostrar lo que es un c´ırculo u otro objeto matemático? La mejor forma ser´ıa enseñar
sus definiciones y propiedades, esto es lo que este profesor considerar´ıa “saber matemáticas”. Las aplicacio-
nes de los conceptos o la resolución de problemas matemáticos ser´ıan secundarios para este profesor. Éstas
se tratar´ıan después de que el alumno hubiera aprendido las matemáticas.
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Para pensar:Para los siguientes objetos matemáticos, razona si su existencia es o no indepen-
diente de la cultura: a) sistema de numeración; b) unidades de medida; c) notación algebraica.
Otros profesores consideran las matemáticas como un resultado del ingenio y la actividad humana (como
algo construido), al igual que la música, o la literatura. Para ellos, las matemáticas se han inventado, como
consecuencia de la curiosidad del hombre y su necesidad de resolver una amplia variedad de problemas,
como, por ejemplo, intercambio de objetos en el comercio, construcción, ingenier´ıa, astronom´ıa, etc. Para
estos profesores, el carácter más o menos fijo que hoy d´ıa –o en una etapa histórica anterior- tienen los
objetos matemáticos, es debido a un proceso de negociación social. Las personas que han creado estos ob-
jetos han debido ponerse de acuerdo en cuanto a sus reglas de funcionamiento, de modo que cada nuevo
objeto forma un todo coherente con los anteriores. Por otro lado, la historia de las matemáticas muestra que
las definiciones, propiedades y teoremas enunciados por matemáticos famosos también son falibles y están
sujetos a evolución. De manera análoga, el aprendizaje y la enseñanza deben tener en cuenta que es natural
que los alumnos tengan dificultades y cometan errores en su proceso de aprendizaje y que se puede aprender
de los propios errores. Esta es la posición de las teor´ıas psicológicas constructivistas sobre el aprendizaje de
las matemáticas, las cuales se basan a su vez en la visión filosófica sobre las matemáticas conocida como
constructivismo social.
Busca algún episodio de historia de las matemáticas en que se muestre cómo un concepto
ha evolucionado.
Concepción idealista-platónica: Entre la gran variedad de creencias sobre las relaciones entre las ma-
temáticas y sus aplicaciones y sobre el papel de éstas en la enseñanza y el aprendizaje, podemos identificar
dos concepciones extremas. Una de estas concepciones, que fue común entre muchos matemáticos profesio-
nales hasta hace unos años, considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de
las matemáticas de forma axiomática. Se supone que una vez adquirida esta base, será fácil que el alumno
por s´ı solo pueda resolver las aplicaciones y problemas que se le presenten. Según esta visión no se puede
ser capaz de aplicar las matemáticas, salvo en casos muy triviales, si no se cuenta con un buen fundamento
matemático. La matemática pura y la aplicada ser´ıan dos disciplinas distintas; y las estructuras matemáticas
abstractas deben preceder a sus aplicaciones en la Naturaleza y Sociedad.
Las aplicaciones de las matemáticas ser´ıan un .apéndice.en el estudio de las matemáticas, de modo que no
se producir´ıan ningún perjuicio si este apéndice no es tenido en cuenta por el estudiante. Las personas que
tienen esta creencia piensan que las matemáticas son una disciplina autónoma. Podr´ıamos desarrollar las
matemáticas sin tener en cuenta sus aplicaciones a otras ciencias, tan solo en base a problemas internos a
las matemáticas. Esta concepción de las matemáticas se designa como ¨ıdealista-platónica”. Con esta con-
cepción es sencillo construir un curr´ıculo, puesto que no hay que preocuparse por las aplicaciones en otras
5

Figura 1: Platón
áreas. Estas aplicaciones se “filtrar´ıan”, abstrayendo los conceptos, propiedades y teoremas matemáticos,
para constituir un dominio matemático “puro”.
Los matemáticos son, como Colón, descubridores de continentes. El papel de las matemáticas no es otro que
el ejercer de mediador entre el mundo de los sentidos y el mundo de las ideas con una existencia propia e
independencia del mundo sensible. Las teor´ıas matemáticas tienen su existencia propia en ese mundo ideal,
el matemático sólo se limita a interpretar las sombras de esas ideas en las paredes de la caverna.
Consulta algunos libros de texto destinados a estudiantes de secundaria o de primeros cursos
de Universidad y escritos en los años 70 y 80. Compara con algunos libros recientes destina-
dos a los mismos alumnos. ¿Puedes identificar si la concepción del autor del texto sobre las
matemáticas es de tipo platónico? ¿Cómo lo deduces?
Concepción constructivista: Otros matemáticos y profesores de matemáticas consideran que debe haber
una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el curr´ıculo. Piensan que
es importante mostrar a los alumnos la necesidad de cada parte de las matemáticas antes de que les sea
presentada. Los alumnos deber´ıan ser capaces de ver cómo cada parte de las matemáticas satisfacen una
cierta necesidad.
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Figura 2: Constructivismo
Ejemplo: Poniendo a los niños en situaciones de intercambio les creamos la necesidad de
comparar, contar y ordenar colecciones de objetos. Gradualmente se introducen los números
naturales para atender esta necesidad.
En esta visión, las aplicaciones, tanto externas como internas, deber´ıan preceder y seguir a la creación de las
matemáticas; éstas deben aparecer como una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio humano
a los problemas que se presentan en el entorno f´ısico, biológico y social en que el hombre vive. Los estudiantes
deben ver, por s´ı mismos, que la axiomatización, la generalización y la abstracción de las matemáticas son
necesarias con el fin de comprender los problemas de la naturaleza y la sociedad. A las personas partidarias
de esta visión de las matemáticas y su enseñanza les gustar´ıa poder comenzar con algunos problemas de la
naturaleza y la sociedad y construir las estructuras fundamentales de las matemáticas a partir de ellas. De
este modo se presentar´ıa a los alumnos la estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones.
La elaboración de un curr´ıculo de acuerdo con la concepción constructivista es compleja, porque, además
de conocimientos matemáticos, requiere conocimientos sobre otros campos. Las estructuras de las cien-
cias f´ısicas, biológicas, sociales son relativamente más complejas que las matemáticas y no siempre hay un
isomorfismo con las estructuras puramente matemáticas. Hay una abundancia de material disperso sobre
aplicaciones de las matemáticas en otras áreas, pero la tarea de selección, secuenciación e integración no es
sencilla.
¿Por qué son necesarios los conceptos de longitud y área? ¿Qué tipo de problemas resuel-
ven? ¿Qué otros conceptos, operaciones y propiedades se les asocian?
¿Cómo surgen las matemáticas?
La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evo-
7

lución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de primer orden la necesidad de
resolver determinados problemas prácticos (o internos a las propias matemáticas) y su interrelación con otros
conocimientos.
Ejemplo: Los or´ıgenes de la estad´ıstica son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas
de recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones china (aproxi-
madamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la Biblia, en el libro de Números
aparecen referencias al recuento de los israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que
precisamente fue un censo, según el Evangelio, lo que motivó el viaje de José y Mar´ıa a Belén.
Los censos propiamente dichos eran ya una institución en el siglo IV a.C. en el imperio romano.
Sin embargo, sólo muy recientemente la estad´ıstica ha adquirido la categor´ıa de ciencia. En el
siglo XVII surge la aritmética pol´ıtica, desde la escuela alemana de Conring. Posteriormente
su disc´ıpulo Achenwall orienta su trabajo a la recogida y análisis de datos numéricos, con fines
espec´ıficos y en base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya
los elementos básicos del método estad´ıstico.
La estad´ıstica no es una excepción y, al igual que ella, otras ramas de las matemáticas se han desarrollado
como respuesta a problemas de ´ındole diversa:
Muchos aspectos de la geometr´ıa responden en sus or´ıgenes históricos, a la necesidad de resolver problemas
de agricultura y de arquitectura.
Los diferentes sistemas de numeración evolucionan paralelamente a la necesidad de buscar notaciones que
permitan agilizar los cálculos aritméticos.
La teor´ıa de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas que plantean los juegos de
azar.
Las matemáticas constituyen el armazón sobre el que se construyen los modelos cient´ıficos, toman parte en
el proceso de modelización de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validación de
estos modelos. Por ejemplo, han sido cálculos matemáticos los que permitieron, mucho antes de que pudiesen
ser observados, el descubrimiento de la existencia de los últimos planetas de nuestro sistema solar.
Sin embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos
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o de campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos han ido modificando su significado con el
transcurso del tiempo, ampliándolo, precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario,
siendo relegados a segundo plano.
Ejemplos:El cálculo de probabilidades se ha transformado notablemente, una vez que se
incorporaron conceptos de la teor´ıa de conjuntos en la axiomática propuesta por Kolmogorov.
Este nuevo enfoque permitió aplicar el análisis matemático a la probabilidad, con el consiguien-
te avance de la teor´ıa y sus aplicaciones en el último siglo. El cálculo manual de logaritmos
y funciones circulares (senos, cosenos, etc.) fue objeto de enseñanza durante muchos años y
los escolares dedicaron muchas horas al aprendizaje de algoritmos relacionados con su uso.
Hoy las calculadoras y ordenadores producen directamente los valores de estas funciones y
el cálculo manual ha desaparecido. El mismo proceso parece seguir actualmente el cálculo de
ra´ıces cuadradas.
1.3. La Estructura Matemática
Los elementos que constituyen la estructura de la Matemática son de dos tipos: por una parte los conceptos,
por otra las proposiciones y relaciones que se refieren a esos conceptos.
Igualmente encontraremosdos procesos diferentes: por una parte un encadenamiento de conceptos que constituye
el proceso de conceptuación; por otra parte, un encadenamiento o procesos de reducción entre proposiciones y
relaciones que permite pasar de unas a otras, llamado demostración.
El estudio de los métodos de conceptuación y de demostración constituye lo esencial de la metodolog´ıa matemática.
CONCEPTUACIÓN MATEMÁTICA.
En Lógica suelen clasificarse los conceptos en individuales y espec´ıficos: los primeros se refieren a objetos parti-
culares, los segundos a grupos de objetos que tienen ciertas propiedades comunes. La colección de objetos a los
cuales es aplicable el concepto espec´ıfico constituye la extensión del mismo; la colección de propiedades que lo
determinan constituye su comprensión. Cuanto más general es un concepto, mayor es su extensión y menor su
comprensión, y rec´ıprocamente.
Los conceptos matemáticos son abstractos (es decir, tienen su existencia en la mente humana) y resultan de
considerar objetos o grupos de objetos (reales o pensados) a los que se supone desprovistos de su contenido, y sólo
referidos a ciertas relaciones, de manera que resultan identificados, desde el punto de vista matemático, dos objetos
o grupos de objetos semejantes respecto a aquellas relaciones. Resulta de aqu´ı que los conceptos matemáticos son
siempre espec´ıficos o genéricos, pero no individuales.
9

La extensión de los conceptos matemáticos es generalmente infinita, no as´ı su comprensión, la que es suscep-
tible de fijarse con entera precisión, agotando las propiedades caracter´ısticas que la determinan. Resulta de esto,
que la conceptuación en matemáticas es más simple y perfecta que en otras disciplinas.
Dado un cierto grupo de propiedades, para que ellas constituyan la comprensión de un concepto matemático
es necesario probar la existencia y unicidad. Se considerará satisfecha la condición de existencia cuando se haya
probado que hay un sistema de entes matemáticos que poseen esas propiedades. Se dirá satisfecha la condición de
unicidad cuando se haya probado que hay un solo sistema de entes que tiene esas propiedades. Esto último requiere
una aclaración: decir que el sistema es único, o “esencialmente único”, según el lenguaje de Veblen, significa que,
si hay dos sistemas de entes que satisfacen al grupo de propiedades, entre esos dos sistemas hay un isomorfismo,
es decir, una correspondencia biun´ıvoca que deje invariantes esas propiedades.
Las condiciones de existencia y unicidad se traducen matemáticamente en lo siguiente: la introducción de nue-
vos conceptos no tendrá valor si no viene acompañada por un teorema o postulado existencial y otro de unicidad.
Las diversas formas de conceptuación suelen clasificarse en creadoras y tautológicas; son creadoras aquellas
que introducen un concepto que resulta ampliación del campo de conceptos de la teor´ıa, y tautológicas aquellas
que sirven para dar un nombre a un concepto ya creado.
Últimamente se ha atribuido mucha importancia a la distinción entre conceptuación existencial y conceptua-
ción constructiva; difieren esencialmente en la manera de probar la existencia, pues, mientras en la conceptuación
existencial se exige la demostración de la no contradicción del nuevo concepto, y sin más se afirma la existencia,
en alas definiciones constructivas se avanza más, dándose por probada la existencia del nuevo concepto solamente
cuando se ha establecido un método de cálculo que permita determinar en cada caso el ente matemático repre-
sentativo del concepto.
Los tipos de conceptuación que más interesan a la Matemática son:
Las definiciones nominales expl´ıcitas;
Las llamadas definiciones por abstracción;
las definiciones por recurrencia,
La axiomática.
1.3.1. Definiciones nominales expl´ıcitas.
Este tipo de conceptuación, que constituye el único tipo de definiciones propiamente dichas, tiene por objeto
introducir palabras nuevas para designar combinaciones lógicas de conceptos ya definidos. El carácter nominal
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alude a que la definición se refiere a la palabra, y representa una convención de lenguaje, pues introduce una
palabra simple para representar un concepto complejo ya conocido.
Ejemplo: Diremos que un número natural es primo cuando no tiene otros divisores que s´ı mismo
y la unidad.
Las definiciones nominales expl´ıcitas corresponden generalmente al tipo de definiciones llamadas por género
próximo y diferencia espec´ıfica o definiciones por clasificación.
Una definición de este tipo constituye una convención y no una proposición, puesto que no es ni verdadera
ni falsa. Estas definiciones son tautológicas y lógicamente eliminables, lo que puede realizarse reemplazando la
palabra o s´ımbolo nuevo por su equivalente lógico.
1.3.2. Definiciones por abstracción.
Si los elementos de una clase se agrupan según determinado criterio en subclases, y se consideran idénticos los
elementos de cada subclase, es decir, se fija la atención únicamente en los caracteres comunes de los elementos
de cada subclase, no considerando los caracteres diferenciales; el conjunto de los caracteres comunes se considera
como la comprensión de un nuevo concepto que se dice ha sido definido por abstracción.
Ejemplos: Se desea definir el concepto de número racional, supuesta conocida la teor´ıa de
los números naturales. Sea N la clase de los números naturales y sean a, b, c, d, números naturales.
Se llama número racional (y lo indicaremos en la forma a/b) a la función de un par de números
naturales, tal que la igualdad venga caracterizada en la siguiente forma: un número racional a/b es
igual a otro c/d cuando se verifica la igualdad ad = bc entre números naturales.
Las definiciones por abstracción constituyen uno de los recursos más fecundos de la Matemática, permitiendo
conjuntamente con las definiciones por recurrencia, desarrollar el método genético mediante el cual se efectúan las
sucesivas ampliaciones de las teor´ıas de la Matemática. As´ı, por ejemplo, partiendo del concepto de número natural
se puede definir por abstracción los números racionales, de éstos pasar por igual camino a los reales, y de aqu´ı a
los complejos. El método genético, que permite elevarse de los conjuntos simples hasta los más complejos, tiene
como norma el principio enunciado por Hänkel, llamado de permanencia de las leyes formales: “Al generalizarse
un concepto se debe tratar de conservar el mayor número de propiedades, y al nuevo concepto debe correspon-
der como caso particular el generalizado”. Esta generalización se realiza por una ampliación del contenido de los
s´ımbolos de una teor´ıa, de tal manera que conserven su estructura formal.
Las definiciones por abstracción son creadoras, puesto que permiten ampliar el campo de los conceptos ma-
11

temáticos. Al respecto deben distinguirse en el proceso de las definiciones por abstracción dos partes: la primera,
que consiste en dar un criterio de igualdad, y la segunda en probar la existencia y unicidad del nuevo concepto;
el poder creador está en esta segunda parte del proceso, como lo hace notar Couturat1 .
1.3.3. Definición por recurrencia.
Constituyen un caso muy importante de conceptuación matemática, las definiciones por recurrencia, as´ı llama-
das porque utilizan el principio de inducción completa. Constituyen otro de los recursos fundamentales del método
genético. Indudablemente son, más que definiciones, un método de razonamiento constructivo.
Ejemplo, la definición por recurrencia de la suma de números naturales.
Aceptamos como ya definidos el número natural y el concepto de siguiente de un número natural, es decir que
si a es un natural, su siguiente (a + 1) también lo es (1).
También aceptamos el Principio de Inducción Completa (del que trataremos más adelante)(2).
Sean a y b números naturales.
Damos a continuación las siguientes definiciones expl´ıcitas:
a + 0 = a Def. (3)
a + (b + 1) = (a + b) + 1 Def. (4)
Probaremos que con estas hipótesis queda definida cualesquiera que sean los números naturales a y b, la suma a+b.
En efecto, por (3) resulta la definición para 0. (5)
Por (4) suponiendo válida la definición para x puede generalizarse para x + 1.
Es decir, H) para x : a + (x + 1) = (a + x) + 1 (aplicamos la Def.(4) para b = x)
T) aplicada para b = x +1 resulta:a + [(x + 1) + 1] = [a + (x + 1)] + 1 surge directamente de la H)] (6)
De (5) y (6) por el principio de inducción completa (2) resulta la definición para todos los números.
Debe distinguirse en este proceso también, como en el de las definiciones por abstracción, lo que es propia-
mente definición, de la demostración que sirve para justificarla, probando la existencia y unicidad. La creación
1
Louis Couturat (17 de enero de 1868 - 3 de agosto de 1914) fue un filósofo, lógico, lingüista y matemático francés. Estudió filosof´ıa
y matemáticas en la Escuela Normal Superior y fue luego profesor en la Universidad de Toulouse y en el Colegio de Francia. Fue
en Francia uno de los precursores de la lógica simbólica, que hab´ıa comenzado a difundirse en este pa´ıs poco antes de la Primera
Guerra Mundial gracias a los trabajos de Charles Peirce, Giuseppe Peano y especialmente a los Principia Mathematica de Alfred North
Whitehead y Bertrand Russell, este último amigo personal de Couturat. Concibió la lógica simbólica como un instrumento para el
perfeccionamiento de las matemáticas y de la filosof´ıa, integrando as´ı la corriente llamada logicismo; en este aspecto, se opuso a Henri
Poincaré, quien anticipó a su vez el intuicionismo de Brouwer. Couturat contribuyó asimismo al desarrollo del lenguaje artificial ido,
una variante del esperanto. Murió en un accidente de tránsito.
12

está precisamente en la demostración.
1.3.4. Axiomática.
La axiomatización de un teor´ıa consiste en establecer un grupo de conceptos llamados conceptos primitivos y
un grupo de proposiciones y relaciones llamadas proposiciones y relaciones primitivas.
Las demostraciones matemáticas.
Se llama demostración o raciocinio matemático a la combinación o enlace de dos o más preoposiciones para obtener
nuevas proposiciones y relaciones. Una proposición o relación obtenida por ese camino de otras proposiciones o
relaciones anteriormente establecidas, mediante un número finito de pasos, se dice deducida de éstas o demostrada.
Todas las proposiciones y relaciones de la Matemática quedan clasificadas en dos tipos, las proposiciones deduci-
das, llamadas teoremas, y las aceptadas sin demostración, que son las definiciones y los axiomas. Se considera no
justificada y debe ser eliminada toda otra proposición o relación.
El esquema de la demostración es:
Se acepta que a es verdadero (hipótesis).
a ⇒ b (demostración).
b es verdadero (tesis).
1.4. Diversos enfoques en la enseñanza- aprendizaje de la Matemática
Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45), la organización de los pro-
cesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de
educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio
aprendizaje individual o grupal.
Para Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunica-
ción del conocimiento. Saber que es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la
didáctica.
Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situación de enseñanza y aprendizaje, Schoenfeld
(1987) postula una hipótesis básica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los
alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensión ayudará a conocer mejor los modos en que el pensamiento
y el aprendizaje tienen lugar. El centro de interés es, por lo tanto, explicar qué es lo que produce el pensamiento
13

Figura 3: Didáctica de la Matemática
productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.
Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas produce
dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la matemática no puede llegar
a ser un campo con fundamentación cient´ıfica y, por lo tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un
arte. En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didáctica como
ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso
especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que la
didáctica de la matemática debe tender hacia lo que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que situar´ıa a las
investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las múltiples disciplinas, (Psicolog´ıa,
Pedagog´ıa, Sociolog´ıa entre otras sin olvidar a la propia Matemática como disciplina cient´ıfica) que permiten
avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.
La didáctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro últimas décadas de este
siglo. Sin embargo, no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensión mediante
una visión amplia de la matemática, y el práctico, que clama por el restablecimiento de las técnicas básicas en
interés de la eficiencia y econom´ıa en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos
de investigadores, innovadores y profesores de matemáticas de los diferentes niveles educativos. Para una visión
histórica del desarrollo de la didáctica, remitimos al lector interesado a una reciente publicación (Kilpatrick, Rico
y Sierra, 1992), donde el primer autor muestra una amplia panorámica desde una perspectiva internacional, y los
otros dos autores se centran más en el desarrollo de la misma en España durante el siglo XX.
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1.4.1. El asociacionismo de Thorndike.
Esta doctrina radica en sostener que todo hecho mental complejo está constituido por múltiples elementos
irreductibles de origen sensorial, combinados entre s´ı en virtud de “leyes asociativas”; el número y la naturaleza
de éstas se definen de forma diferente en las diversas orientaciones asociacionistas.
En la cultura occidental el asociacionismo tiene una larga historia. Fue Platón el primero que en un pasaje
del ”Fedón¨ılustró con ejemplos dos leyes asociativas: las de contigüidad y semejanza entre las ideas. Aristóteles
observa que una idea tiende a evocar otra en la mente, y enuncia las que durante mucho tiempo serán las tres
leyes fundamentales de la asociación: semejanza, contraste y proximidad o contigüidad en el espacio y en el tiempo.
A comienzos de siglo E.L. Thorndike inició una serie de investigaciones en educación que caracterizar´ıan con
el paso del tiempo, a lo que se ha denominado como corriente conductista en educación matemática. Thorndike
se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de en-
trenamiento en el que los v´ınculos establecidos entre los est´ımulos y las respuestas quedar´ıan reforzados mediante
ejercicios en los que se recompensaba el éxito obtenido.
El propio Thorndike denominó conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicolog´ıa. El aprendizaje es el
producto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas conexiones o asociaciones de est´ımulo y respuesta
en la mente de los individuos. Por tanto, los programas para enseñar matemáticas podr´ıan elaborarse sobre la
base de est´ımulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este proceso se podr´ıan objetivar en
cambios observables de la conducta de los alumnos.
En 1922 publicó su libro The Psychology of Arithmetic. En él presentaba el principio central de su teor´ıa
del aprendizaje: todo el conocimiento incluso el más complejo esta formado por relaciones sencillas, v´ınculos en-
tre est´ımulos y respuestas. As´ı, la conducta humana, tanto de pensamiento como de obra, se podr´ıa analizar
en términos de dos sencillos elementos. Si se reduc´ıa la conducta a sus componentes más elementales, se des-
cubr´ıa que consist´ıa en est´ımulos (sucesos exteriores a la persona) y repuestas (reacción a los sucesos externos).
Si se premiaba una respuesta dada a un est´ımulo propuesto, se establec´ıa un v´ınculo fuerte entre est´ımulo y res-
puesta. Cuánto más se recompensaba la respuesta más fuerte se hac´ıa el v´ınculo y por lo tanto, se suger´ıa que
uno de los medios más importantes del aprendizaje humano era la práctica seguida de recompensas (ley del efecto).
Thorndike sugirió cómo aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética afirmando que lo que se necesitaba
era descubrir y formular el conjunto determinado de v´ınculos que conformaban la disciplina a enseñar (lo hizo
para la aritmética). Una vez formulados todos los v´ınculos, la práctica sujeta a recompensas, ser´ıa el medio para
poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los resultados de los alumnos.
La teor´ıa de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicolog´ıa a la enseñanza de las ma-
temáticas, siendo su mayor contribución el centrar la atención sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto
determinado como es la aritmética.
15

1.4.2. El aprendizaje acumulativo de Gagné.
Una teor´ıa psicológica que quisiera dominar la enseñanza deber´ıa explicar por qué el aprendizaje sencillo fa-
cilitaba el más complejo. La lista de v´ınculos se establec´ıa desde las tareas más fáciles a las más dif´ıciles, sin
embargo, no exist´ıa una teor´ıa que explicase la dificultad psicológica de las diferentes tareas y por lo tanto, que
explicase por qué si se aprend´ıan primero los problemas más fáciles, se facilitaba el aprendizaje de los más dif´ıciles.
El problema central aqu´ı es la transferencia desde un aprendizaje a otro. Thorndike sugirió que tal transferencia
podr´ıa ocurrir siempre que ambas tareas contuviesen elementos comunes (teor´ıa de los elementos idénticos). Sin
embargo la mayor parte de las investigaciones, en la transferencia, se realizaron en experimentos de laboratorio
donde se analizaban, en detalle, una o más tareas. Otra empresa, mucho más compleja, era aplicar la teor´ıa al
curriculum escolar.
Robert Gagné, con su teor´ıa del aprendizaje acumulativo dio este paso. En su teor´ıa, las tareas más sencillas
funcionan como elementos de las más complejas. As´ı al estar las tareas más complejas formadas por elementos
identificables se posibilita la transferencia de lo sencillo a lo complejo. Gagné propuso analizar las habilidades
disgregándolas en subhabilidades ordenadas, llamadas jerarqu´ıas del aprendizaje. De esta manera, para una de-
terminada habilidad matemática, por ejemplo la suma de números enteros, el trabajo del psicólogo consiste en
un análisis de las tareas que permite identificar los objetivos o habilidades elementales que constituyen otro más
complejo, creando de este modo una jerarqu´ıa. Tal jerarqu´ıa del aprendizaje permite plantear objetivos perfecta-
mente secuenciados desde una lógica disciplinar.
Sin embargo, una de estas jerarqu´ıas no es más que una hipótesis de partida, sobre la manera en que se re-
lacionan entre s´ı ciertas habilidades matemáticas, y nos lleva a una pregunta importante ¿cómo podemos estar
seguros de que tal jerarqu´ıa de habilidades es una jerarqu´ıa de transferencia que resultará útil para la enseñanza
y el aprendizaje?. Además, las secuencias de aprendizaje bajo tales jerarqu´ıas se manifiestan r´ıgidas y no tienen
en cuenta las diferencias individuales entre los alumnos.
La práctica educativa se centra, por lo tanto, en la ejecución y repetición de determinados ejercicios secuencia-
dos, en pequeños pasos, que deben ser realizados individualmente y que más tarde se combinan con otros formando
grandes unidades de competencia para el desarrollo de cierta habilidad matemática. No se presta importancia al
significado durante la ejecución sino que se espera que sea al final de la secuencia, cuando el aprendiz adquiera la
estructura que conforma la habilidad matemática. Se presta importancia principal al producto, respuesta de los
alumnos, y no al proceso, cómo y por qué se ha dado la respuesta. En definitiva, existe poco o nulo interés en
explorar las estructuras y los procesos cognitivos. La enseñanza programada, las fichas y las secuencias largas de
objetivos y subobjetivos caracterizan la corriente más radical dentro del conductismo.
Entre las cr´ıticas más recientes al diseño de instrucción (instructional design), pues con este término se conoce
16

a la tecnolog´ıa educativa derivada de los trabajos de Gagne, la más clara es la expuesta por A. Arcavi (1995) que
pasamos a exponer.
El diseño de instrucción centra su interés en una descomposición lógica de los contenidos y, por tanto, el
diseño puede hacerse a priori por expertos y sin contacto alguno con alumnos. Además, pone el énfasis en los
aspectos más conductistas de lo que significa ser competente en matemáticas definiendo .objetivos de conducta”.
Se presupone que tal diseño deber´ıa estar en manos exclusivamente de expertos, quienes son los indicados para
establecer los contenidos, los problemas y las secuencias. No parece que de cabida a concepciones alternativas de
la actividad matemática y parece implicar que el diseño curricular riguroso”, al tener en cuenta la textura lógica
de los contenidos garantiza una trayectoria satisfactoria del aprendizaje.
Un aspecto importante de tales investigaciones es que no se interesaban en qué ocurr´ıa durante la realización
de determinados problemas, las secuencias de aprendizaje o las cuestiones presentadas en los tests. Si algo miden,
tales metodolog´ıas, es el producto o resultado del proceso de tales tratamientos. Nunca los procesos de pensa-
miento involucrados en tales productos. La distinción entre proceso y producto caracteriza, de forma radical, la
diferencia entre una metodolog´ıa conductista o neoconductista y una metodolog´ıa de tipo cognitivo.
Se recomienda investigar sobre jerarqu´ıa de habilidades matemáticas y ampliación para ello
remitirse a la obra: La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. L.B. Resnick
y W.W.Ford. Paidos. Ministerio de Educación y Ciencia. 1990.)
1.4.3. La Matemática Moderna. Posición de Jean Diudonnè. El formalismo.
A finales de los años cincuenta y comienzo de la década de los sesenta, se produce un cambio curricular im-
portante en la enseñanza de las matemáticas escolares, conocida como la nueva matemática o matemática moderna.
Las bases filosóficas de este movimiento se establecieron durante el seminario de Royamount, celebrado en
1959. En el transcurso del mismo, el famoso matemático francés Jean Diudonné lanzó el grito de .abajo Euclides2
propuso ofrecer a los estudiantes una enseñanza basada en el carácter deductivo de la matemática y que partiera
de unos axiomas básicos en contraposición a la enseñanza falsamente axiomática de la geometr´ıa imperante en
aquellos momentos. En ese mismo seminario la intervención de otro matemático francés, G. Choquet va en el
mismo sentido: ... disponemos de un excelente ejemplo, el conjunto de los números enteros, donde estudiar los
principales conceptos del álgebra, como son la relación de orden, la estructura de grupo, la de anillo ...”. Estas dos
intervenciones se pueden considerar como paradigmáticas del movimiento que se inicia, pues la primera dibuja el
enfoque que ha de caracterizar la enseñanza de la matemática y la otra cuál es el contenido más apropiado. La
idea en principio parec´ıa bastante lógica y coherente. Por un lado se pretend´ıa transmitir a los alumnos el carácter
lógico-decuctivo de la matemática y al mismo tiempo unificar los contenidos por medio de la teor´ıa de conjuntos,
las estructuras algebraicas y los conceptos de relación y función de la matemática superior. A finales de los sesenta
y principios de los setenta parece claro que la nueva matemática ha sido un fracaso. Surgen entonces algunas voces
en contra del enfoque adoptado, como es el caso de R. Thom (Modern Mathematics: does it exist? (1973): .El
los,
17

los bourbakistas, abandonaron un campo ideal para el aprendizaje de la investigación: La geometr´ıa eucl´ıdea,
mina inagotable de ejercicios y la sustituyeron por las generalidades de los conjuntos y la lógica, materiales tan
pobres, vac´ıos y frustrantes para la enseñanza como los que más. El énfasis puesto por los estructuralistas en la
axiomática no es sólo una aberración pedagógica sino también matemática.”
El fracaso del movimiento conocido como la matemática moderna, pues no se aprenden los conceptos ni las
estructuras superiores y además los alumnos siguen sin dominar las rutinas básicas del cálculo, produce nuevos
movimientos renovadores. Entre estos movimientos, en lo que sigue, nos referiremos a los conocidos como retorno
a lo básico, la resolución de problemas y la matemática como actividad humana.
El retorno a lo básico (Back to Basic), supuso para las matemáticas escolares retomar la práctica de los al-
gor´ıtmos y procedimientos básicos de cálculo. Después de un tiempo, se hizo evidente que tal retorno a lo básico no
era la solución razonable a la enseñanza de las matemáticas. Los alumnos, en el mejor de los casos, aprend´ıan de
memoria los procedimientos sin comprenderlos. A finales de los setenta empezó a cuestionarse el eslogan retorno
a lo básico”. ¿Qué es lo básico? Ya que no parec´ıa posible enseñar matemáticas modernas, ¿habr´ıa que enseñar
matemáticas básicas?. Esta última pregunta nos lleva a otra de forma natural, ¿qué son matemáticas básicas?
¿la geometr´ıa elemental?, ¿la aritmética?. Hab´ıa demasiadas opiniones sobre qué es ”lo básico”. Esta pregunta
impregnó el III Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME), celebrado en Berkeley en el verano
de 1980. ¿Podr´ıa ser la resolución de problemas el foco de atención y respuesta a esa pregunta? Casi como una
bienvenida a todos los profesores que asisten al ICME el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
edita su famosa Agenda in Action para toda la década de los ochenta. As´ı la resolución de problemas, the problem
solving approach, se pretende que sea algo más que otro eslogan y se convierta en toda una tarea a desarrollar, a
interpretar y a llevar a cabo.
En el congreso de Berkeley hay un invitado de honor especial, H. Freudenthal, que interviene en una ponencia
bajo el t´ıtulo ”Major Problems of Mathematics Education”(Grandes problemas de la educación matemática).
As´ı comenzó H.Freudenthal su intervención: ”Perdonadme, no fui yo quién eligió este tema, aunque cuando se me
propuso, experimente un gran reto. Un reto, de verdad, pero para ser sinceros no como para emular a D. Hilbert,
quién anunció sus famosos 23 problemas de matemáticas en el congreso internacional de matemáticas celebrado
en Par´ıs en 1900, que tanto influyeron el desarrollo y curso de las investigaciones matemáticas a lo largo de este
siglo... Para a continuación rechazar el camino seguido por Hilbert y considerar como su centro de interés los
problemas que surgen en la educación matemática como una actividad social y no sólo como campo de investiga-
ción educativa. Creo que es importante y clarificadora esta toma de postura de Freudenthal, pues a continuación
entra de lleno en el problema que considera, no más importante, pero s´ı más urgente: Lo que es un problema es
cómo formularlo correctamente y sin errores . ..Why can Johnny not do arithmetic? , parodiando el t´ıtulo de un
famoso libro de M.Kline que aqu´ı fue traducido como El Fracaso de la Matemática Moderna, para preguntarse si
suena sexista tal cuestión y si no sonará más sexista aún si la formula como Why can Mary not do arithmetic?,
pues esta última formulación sugerir´ıa que las niñas son mucho peores que los niños en aritmética. Por último
Freudenthal reformula la pregunta de forma más concreta Why can Jennifer not do arithmetic?, Jennnifer no es
18

un ser abstracto, es una alumna que a los ocho años ten´ıa graves fallos en aritmética y que hab´ıan desaparecido a
la edad de once años, después de una atención particularizada. En contra del planteamiento general que encierra
la pregunta Why can Johnny not do arithmetic? Freudenthal opta por un enfoque particular, as´ı, la pregunta
Why can Jennifer not do arithmetic? tiende a plantear un problema particular, individual, que permita abordar el
problema personal que Jennifer tiene con la aritmética y sobre todo a profundizar en qué aspectos del aprendizaje
de Jennifer la han conducido al fracaso. Tanto Polya (que no pudo asistir, pero que envió una nota de excusa en
la que planteaba qué puede hacer el profesor para mejorar la mente de sus alumnos) como Freudenthal sitúan en
centro de atención sobre el aprendizaje, el primero solicitando de los profesores un compromiso con el aprendizaje
de sus alumnos hacia la adquisición y mejora de las capacidades intelectuales; el segundo en concretar, particu-
larizar los problemas derivados de la enseñanza y en investigar los aprendizajes individuales para dar posibles
soluciones a los aparentes fracasos, y obtener ejemplos paradigmáticos de diagnosis y prescripción de los mismos.
Freudenthal hace una llamada a la conciencia de todos los profesores e investigadores para que estos ejemplos se
registren y se transmitan, de tal forma que unos puedan aprender de los otros y se gestione de forma efectiva el
conocimiento en educación matemática.
1.4.4. Enfoque constructivista. Epistemolog´ıa genética de Jean Piaget.
Piaget denominó epistemolog´ıa genética a su teor´ıa sobre la construcción del conocimiento por los individuos
(Piaget, 1987; Garc´ıa, 1997). Su centro de interés es la descripción del desarrollo de los esquemas cognitivos de
los individuos a lo largo del tiempo y de acuerdo con ciertas reglas generales.
El principio central de la teor´ıa de Piaget sobre la construcción del conocimiento es la equilibración (Piaget,
1990; Garc´ıa, 1997). Tal equilibración se lleva a cabo mediante dos procesos, ´ıntimamente relacionados y depen-
dientes, que son la asimilación y la acomodación.
Cuando un individuo se enfrenta a una situación, en particular a un problema matemático, intenta asimilar
dicha situación a esquemas cognitivos existentes. Es decir, intentar resolver tal problema mediante los conoci-
mientos que ya posee y que se sitúan en esquemas conceptuales existentes. Como resultado de la asimilación, el
esquema cognitivo existente se reconstruye o expande para acomodar la situación.
La asimilación y la acomodación se muestran en la teor´ıa piagetiana como las herramientas cognitivas útiles y
fundamentales en el restablecimiento del equilibrio cognitivo en el individuo. El binomio asimilación-acomodación
produce en los individuos una reestructuración y reconstrucción de los esquemas cognitivos existentes. Si los in-
dividuos construyen su propio conocimiento, la equilibración expresa el proceso mediante el cual se produce tal
construcción, señalándose as´ı el carácter dinámico en la construcción del conocimiento por los individuos, como
hipótesis de partida para una teor´ıa del análisis de los procesos cognitivos (Garc´ıa, 1997, p 41).
La abstracción reflexiva o reflectora es un término definido por Piaget y central en su teor´ıa de la construcción
del conocimiento. Piaget llama as´ı a la abstracción que parte de las acciones u operaciones y no meramente de los
19

objetos (Beth y Piaget, 1980, p. 212). La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisolubles (Piaget, 1990,
p. 40): un proceso de reflexión, ‘reflejamiento’ o proyección que hace pasar lo que es abstra´ıdo de un plano inferior
a otro superior (por ejemplo de la acción f´ısica a la representación mental) y un producto de la reflexión, una
‘reflexión’ en el sentido mental, que permite una reorganización o reconstrucción cognitiva, sobre el nuevo plano
de la que ha sido extra´ıdo del plano precedente. En el plano inferior las acciones y operaciones se realizan sobre
objetos concretos, f´ısicos o imaginados, mientras que en el plano superior las acciones y operaciones interiorizadas
actúan sobre objetos abstractos y las coordina para formar nuevas acciones que dan lugar a nuevos objetos. Siendo
as´ı que el sujeto reconstruye lo as´ı abstra´ıdo en un plano superior nuevo, cuyo funcionamiento es distinto, y que
tal reconstrucción conduce a un esquema cognitivo más general (Beth y Piaget, 1980, p. 229).
Piaget señaló su carácter constructivo, por lo tanto no de descubrimiento, pues la abstracción reflexiva consiste
en traducir una sucesión de actos materiales en un sistema de operaciones interiorizadas cuyas leyes o estructura
se comprenden en un acto simultáneo. La abstracción reflexiva se refiere, por tanto, a las acciones y operaciones
del sujeto y a los esquemas que le conduce a construir (Piaget y Garc´ıa, 1982 p. 247) y es, por lo tanto, puramente
interna al sujeto. Destaquemos aqu´ı que lo que constituye la génesis del conocimiento y que aporta su cualidad
constructiva son las acciones y no la mera observación. Pues por medio de las acciones se desencadena el proceso
de abstracción reflexiva en el individuo y su conclusión será la construcción mental de un nuevo ente abstracto,
objeto o concepto más general.
La importancia del papel jugado por la abstracción reflexiva en la construcción de los conceptos matemáticos
ha dado lugar, recientemente, a dos marcos teóricos, extensiones de la teor´ıa desarrollada por Jean Piaget: La gene-
ralización operativa (Dörfler, 1991) y el marco teórico acción-proceso-objeto (Dubinsky, 1991 y 1997). Tales marcos
teóricos, que no expondremos aqu´ı, pueden ser consultados por los interesados en las citas bibliográficas señaladas.
1.4.5. Enfoque del procesamiento de la información.
Frente a la teor´ıa de Piaget sobre la forma en que las personas comprenden los conceptos y, a partir de ciertos
estudios realizados en el campo de la computación sobre habilidades lingü´ısticas de los humanos, surge en la
década de los setenta la teor´ıa denominada procesamiento de la información.
La conducta humana se concibe como resultado del proceso por el cual la mente actúa (procesan) sobre los
datos que proceden del entorno interno o externo (información). Toda la información es procesada por una serie
de memorias, que procean y almacenan de forma distinta y que además están sujetas a determinadas limitaciones
en su función. La combinación de tales memorias constituyen el sistema de procesamiento de la información.
La información entra en el sistema a través de un registro de entrada sensorial, llamado a veces memoria icónica
o buffer sensorial. Esta primera memoria, es capaz de recibir información visual, auditiva o táctil directamente del
entorno y puede recibir mucha información al mismo tiempo, pero solo puede almacenarla durante una fracción
muy pequeña del mismo después del cual se pierde.
20

La memoria que se encarga de recoger la información situada en el primer componente, la memoria icónica, es
la memoria de trabajo o a corto plazo. La memoria de trabajo es aquella en la que se almacena temporalmente
la información codificada para su uso inmediato y es donde se produce el procesamiento activo de la información,
es decir, donde se realiza el proceso de pensar.
Por último, se encuentra la memoria a largo plazo o semántica. En este componente del sistema es donde se
almacena todo el conocimiento, lo que sabe, el individuo de forma permanente.
Cómo se almacena y cómo se utiliza la memoria semántica por el individuo es una cuestión clave en este modelo
de construcción del conocimiento por los individuos. Por ejemplo, cómo utiliza el individuo la memoria semántica
para desarrollar y poner en práctica determinadas habilidades como lo es comprender, deducir, generalizar, entre
otras. La forma más simple que se ha dado es en una lista larga, estructurada y organizada. Los objetos, pie-
zas de información de tal lista, están conectados mediante v´ınculos o asociaciones significativas, denominadas redes.
Existen varios modelos, dentro de esta teor´ıa, sobre la memor´ıa semántica y las redes para explicar las habi-
lidades propias del conocimiento en los individuos y todos describen el conocimiento humano como estructurado
y organizado. Los modelos más recientes se parecen mucho a las concepciones asociacionistas, siendo as´ı que, se
ha considerado recientemente al procesamiento de la información, aunque dentro de la ciencia cognitiva, como un
heredero del asociacionismo.
1.4.6. Pedagog´ıa del descubrimiento de Polya. El método Heur´ıstico.
Para George Polya (1945), la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien defi-
nidas:
Figura 4: Método Heur´ıstico
Comprender el problema. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
21

Concebir un plan. ¿Se ha encontrado con un problema semejante?
¿Conoce un problema relacionado con este?
¿Podr´ıa enunciar el problema de otra forma?
¿Ha empleado todos los datos?
Ejecutar el plan.
¿Son correctos los pasos dados?
Examinar la solución obtenida.
¿Puede verificar el resultado?
¿Puede verificar el razonamiento?
Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada fase se acompaña de una
serie de preguntas, al puro estilo socrático, cuya intención clara es actuar como gu´ıa para la acción. Los trabajos
de Polya, se pueden considerar por lo tanto, como un intento de describir la manera de actuar de un resolutor ideal.
Una pregunta, ¿Por qué es tan dif´ıcil entonces, para la mayor´ıa de los humanos, la resolución de problemas en
matemáticas?
Los trabajos de Schoenfeld (1985), son por otro lado, la búsqueda inagotable de explicaciones para la conducta
de los resolutores reales de problemas. Propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la
complejidad del comportamiento en la resolución de problemas.
Recursos congnitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.
Heur´ısticas: reglas para progresar en situaciones dificultosas.
Control o metacognición: Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.
Sistema de creencias: Se refiere a aquellas creencias y opiniones relacionadas con la resolución de proble-
mas y que pueden afectarla favorable o desfavorablemente.
Cada uno de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito en la resolución de problemas
de los resolutores reales. As´ı, cuando a pesar de conocer las heur´ısticas no se sabe cuál utilizar o cómo utilizarla se
señala la ausencia de un buen control o gestor de los recursos disponibles. Pero las heur´ısticas y un buen control no
son suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o procedimiento espec´ıfico del dominio
matemático del problema en cuestión. En este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación
al intento fallido en la resolución.
Por otro lado, puede que todo lo anterior esté presente en la mente del resolutor, pero sus creencias de lo que
es resolver problemas en matemáticas o de la propia concepción sobre la matemática haga que no progrese en la
22

resolución. La explicación, para este fallo, la contempla Schoenfeld en el cuarto elemento del marco teórico, las
creencias.
Por último están las heur´ısticas. La mayor parte de las veces se carece de ellas. Se dispone de conocimientos
espec´ıficos del tema o dominio matemático del problema, incluso de un buen control pero falla el conocimiento de
reglas para superar las dificultades en la tarea de resolución.
Las heur´ısticas son las operaciones mentales t´ıpicamente útiles en la resolución de problemas, son como reglas
o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso de resolución, sugerencias generales que ayudan
al individuo o grupo a comprender mejor el problema y a hacer progresos hacia su solución.
Existe una amplia, posiblemente incompleta, lista de heur´ısticas. Entre las más importantes cabr´ıa citar:
Buscar un problema relacionado.
Resolver un problema similar más sencillo.
Dividir el problema en partes.
Considerar un caso particular.
Hacer una tabla.
Buscar regularidades.
Empezar el problema desde atrás.
Variar las condiciones del problema.
Sin embargo, como bien ha señalado Puig (1996), en la lista anterior aparecen demasiadas cosas juntas, que
son, por otro lado, diferentes si las sometemos a un detenido análisis.
Buscar un problema relacionado es una sugerencia heur´ıstica pues se señala una dirección de trabajo, y sobre
todo se recurre a la memoria del resolutor, y no a un procedimiento concreto para buscar tal problema.
Considerar un caso s´ı se refiere a un procedimiento en concreto que permite, a partir del problema dado,
formular un problema relacionado con él. Puig (1996) denomina a este tipo de procedimientos, independientes del
contenido y que permiten transformar el problema dado en otro, con el nombre de herramientas heur´ısticas. (Tal
observación parte de una nota marginal de Polya (Polya, 1962, vol 2. p.84))
23

Por último, hacer una tabla se podr´ıa considerar como una destreza al no poseer el carácter de transformar el
problema ni al recurso de la memoria como en el caso de las sugerencias heur´ısticas.
La caracter´ıstica más importante del proceso de resolución de un problema es que, por lo general, no es un
proceso paso-a-paso sino más bien un proceso titubeante.
En el proceso de resolución, Schoenfeld ha señalado que tan importante como las heur´ısticas es el control
de tal proceso, a través de decisiones ejecutivas. Tales decisiones son acerca de qué hacer en un problema. La
caracter´ıstica más importante que define a las decisiones ejecutivas y a las acciones de control, es que tienen
consecuencias globales para la evolución del proceso de resolución de un problema.
Las decisiones ejecutivas determinan la eficiencia de los conocimientos y recursos de todo tipo puestos en
servicio para la resolución del problema.
Son decisiones ejecutivas:
- Hacer un plan.
- Seleccionar objetivos centrales y subobjetivos.
- Buscar los recursos conceptuales y heur´ısticos que parecen adecuados para el problema.
- Evaluar el proceso de resolución a medida que evoluciona.
- Revisar o abandonar planes cuando su evaluación indica que hay que hacerlo.
Las anteriores son decisiones ejecutivas tal y como se usa ese término en Inteligencia Artificial, son equivalentes
a las decisiones de gestión en el campo de los negocios, o decisiones de táctica y estrategia en el campo militar.
El término metacognición se ha usado en la literatura psicológica en la discusión de fenómenos relacionados con
el que aqu´ı tratamos.
Son por tanto, decisiones acerca de qué caminos tomar, pero también acerca de qué caminos no tomar.
Cuanto más precisas sean las respuestas a las preguntas:
¿ Qué estoy haciendo?
¿ Por qué lo hago?
¿ Para qué lo hago?
24

¿ Cómo lo usaré después?
mejor será el control global que se tenga sobre el problema y sobre las decisiones que conducen a su solución.
La ausencia de decisiones ejecutivas y de control suele tener efectos desastrosos en el proceso de resolución de
un problema. La mayor parte de las veces en que se fracasa en la resolución de un problema es debido a que, la
persona que afronta el problema, no dispone de un plan de solución.
Pero hay otras actitudes que imposibilitan la toma de buenas decisiones durante la fase de resolución. Entre
ellas cabe destacar:
- Inflexibilidad para considerar alternativas.
Cuando una y otra vez fallan los procedimientos empleados no hay más salida que cambiar de perspectiva para
salir del bloqueo.
- Rigidez en la ejecución de procedimientos.
Más de una vez intentaremos encajar un procedimiento conocido en una situación en la que no es aplicable.
Nuestra obstinación es debida al simple hecho de que nos parece apropiado a primera vista, o porque la situación,
aunque distinta, se parece a aquella en que el procedimiento fue eficaz.
- Incapacidad de anticipar las consecuencias de una acción.
Al respecto cabe hacerse siempre la siguiente pregunta antes de ejecutar una acción pensada: Cuando haya
ejecutado lo que pienso ¿qué consecuencias tendrá para la resolución del problema?
- El efecto ”túnel”.
Se produce cuando la ejecución de una tarea es tan absorbente que no hay energ´ıas disponibles para la eva-
luación de lo que se esta realizando. Suele darse más fácilmente cuanto más embebido se está en la ejecución de
una acción.
Miguel de Guzmán partiendo de las ideas de Polya, Mason et al. (Mason, Burton y Stacey, 1988) y de los
trabajos de Schoenfeld ha elaborado un modelo para la ocupación con problemas, donde se incluyen tanto las
decisiones ejecutivas y de control como las heur´ısticas. La finalidad de tal modelo es que la persona examine y
remodele sus propios métodos de pensamiento de forma sistemática a fin de eliminar obstáculos y de llegar a
establecer hábitos mentales eficaces, en otras palabras, lo que Polya denominó como pensamiento productivo.
Ejemplo 1. Mi edad es el triplo de la de mi hermano y hace 4 años la suma de ambas edades era igual a la
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tendrá mi hermano dentro de 16 años. Puedes ayudar al vendedor a encontrar cuál es la edad actual
del hermano de Luis?
Sólución:
Paso 1:Comprender el problema.
¿Qué quiere decir el triplo de la edad ? Resp: Quiere decir la edad multiplicada por tres.
¿Distingues cuales son los datos? La edad de Luis es el triplo de la de su hermano. Hace 4 años la
suma de ambas edades era igual a la que tendrá su hermano dentro de 16 años.
¿ Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la edad actual del hermano de Luis.
Paso 2:Configurar un plan.
¿Se puede usar alguna estrategia para resolver el problema?
Usar una variable : Sea x la edad actual del hermano, 3x la edad de Luis.
Por otro lado: Hace 4 años la edad de Marcos era 3x − 4 y la de su hermano era x − 4.
La edad que tendrá el hermano dentro de 16 años es x + 16.
La suma de ambas edades [(3x − 4) y (x − 4)] era igual a (x − 16).
Paso 3: Ejecutar el plan Implementa la estrategia que escogiste hasta solucionar completamente el
problema. (3x + 4) + (x − 4) = x + 16
4x − 8 = x + 16
4x − 8 − x = x + 16 − x
3x − 8 = 16
3x − 8 + 8 = 16 + 8
3x = 24
Paso 4:Mirar hacia atrás ¿Es tu solución correcta?¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
La cantidad obtenida parece razonable ya que: La suma de ambas edades hace 4 años era: 20 + 4 = 24
y 24 años es exactamente la edad que tendrá el hermano de Marcos dentro de 16 años.
Ejemplo 2. En un cumpleaños un joven debe amarrar unos globos en lo alto de una pared de 4.33 m de altura
¿Cuál debe ser la longitud de la escalera que el joven coloca de tal manera que forme un ángulo de 60
con el piso?
Sólución: Paso 1:Entender el problema ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el problema?
¿Distingues cuales son los datos? Resp: La altura de la pared es de 4.33 m, El ángulo que forma la
escalera con el piso es de 60.
¿Sabes a que quieres llegar? Resp: A encontrar la longitud de la escalera.
¿Hay suficiente información? Resp: Si la hay
¿ Hay información extraña para ti? Resp: No
¿ Este problema es similar a otro que hayas hecho?
Paso 2:Configurar un plan.
¿Usar una variable? Resp: Sea c= longitud de la escalera. b=altura de la pared
¿Hacer una figura?
Paso 3: Ejecutar el plan
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Figura 5: Torre
¿Hay alguna razón geométrica? Para ello utilizaremos la razón trigonométrica:
senθ = Opuesto
Hipotenusa
sen60 = 4,33
c = 5,0m
Paso 4: Comprobar el resultado. Para ello encontraremos ela ángulo ahora.
sinθ = 4,33m
5m 60◦
Ejemplo 3. (Los huevos de la campesina) Una campesina llevó a la ciudad una cesta de huevos. Al primer cliente
le vendió la mitad de sus huevos más medio huevo, al segundo cliente le vendió la mitad de los huevos
que le quedaban más medio huevo, al tercer cliente le vendió la mitad de los huevos que le quedaban
más medio huevo y dio por terminada la jornada.Si al final se volvió a casa con tres huevos en la cesta
¿cuántos huevos llevaba al principio?.
Solución
Paso 1: Comprender el Problema
En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo. El
problema nos dice que a cada cliente le vende la mitad de los huevos que le van quedando más medio
huevo. Ese medio significa que el número total de huevos será un número impar.
Paso 2. Concebir un plan
Tal y como está estructurado el problema es fácil darse cuenta de que tiene más de una manera de
abordarlo para intentar dar con la solución. En este caso yo he visto dos estrategias posibles:
- Una de ellas haciéndolo en función de x
- La otra averiguando, utilizando los datos que nos da el problema (el dato de que al final le quedan
3 huevos es muy importante) el número de huevos que llevaba al principio la campesina, simplemente
27

razonando.
Paso 3. Ejecutar el plan
Si me centro en la primera estrategia el plan, el decir, los paso para llegar a la solución final ser´ıan los
siguientes:
- Llamamos x al numero total del huevos que la campesina llevaba al principio.
- Como dice que al primer comprador le vende la mitad de los huevos que ten´ıa más medio huevo ser´ıa
lo siguiente: x
2 + 1
2 que es lo mismo que decir x+1
2
- Ahora tendr´ıamos que averiguar cuantos huevos le siguen quedando a la campesina después de
esta primera venta. Para eso restamos lo que le vendió al primer cliente, x+1
2 , al numero total, x.
x–x+1
2 = x−1
2 Por lo tanto nos quedar´ıa x−1
2 huevos.
- A continuación dice que al segundo cliente le vende la mitad de los huevos que le quedaban más
medio huevo más. Es decir
x−1
2
2 + 1
2. El resultado de esto es x+1
4
- Al igual que antes, tendr´ıamos que volver a averiguar cuantos huevos le quedan del total después de
esta segunda venta. Para ello restamos el numero de huevos que le acaba de vender al 2o cliente a los
que le quedaban antes: x−1
2 − x+1
4 . As´ı ahora solo le quedan x−3
4
Por último el problema nos vuelve a decir que le vende a un tercer cliente la mitad de los huevos que le
quedaban después de estas dos ventas anteriores más medio huevo más. Es decir
x−3
4
2 + 1
2 = x+1
8 - Tras
vender al último comprador, solo le quedan a la campesina 3 huevos. Para saber a cuanto equivalen
esos 3 huevos, debemos restarle a los que nos quedaban tras las 2a venta los que acabamos de vender:
x−3
4 − x+1
8 = x−7
8
Por tanto si x−7
8 = 3
x = 31
De esta forma sabemos que la campesina ten´ıa 31 huevos al principio.
4. Examinar la solución (Comprobar si el plan ha tenido éxito) Una vez llevado a cabo el plan y tras
haber averiguado la solución debemos comprobar si el resultado que hemos obtenido puede ser posi-
ble o no. Para ello sustituimos en cada caso el valor de la x por 31 y vemos que si es posible la solución.
Ejemplo 4. (Las Hijas del Profesor)Este problema le fue planteado a Einstein (Alemania 1879-1955) por un
alumno: Dos profesores pasean charlando de sus respectivas familias.
- Por cierto - pregunta uno - ¿de qué edades son sus tres hijas?
- El producto de sus edades es 36 - contesta su colega -, y su suma, casualmente es igual al número
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de tu casa. Tras pensar un poco, el que ha formulado la pregunta dice:
- Me falta un dato.
- Es verdad - dice el otro -. Me hab´ıa olvidado de aclararte que la mayor toca el piano
¿Qué edades tienen las tres hijas del profesor?
Solución:
1. Comprender el problema
En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo.
El problema nos dice que van dos profesores charlando sobre sus familias y uno de ellos tiene que
adivinar cuantos años tienen las tres hijas del otro.
Los datos que conocemos son:
- Que son tres las hijas
- Que el producto de las edades es igual a 36
- Que la suma de las tres edades es igual al número de la casa del que pregunta.
- Que la hija mayor toca el piano
Sin embargo, hay algunos datos que no conocemos, como es el caso del número de la casa del amigo.
2. Concebir un plan
Quizá el mejor de los planes es intentar deducir cuáles son las edades de las tres niñas a partir del
dato que nos dice que su producto es igual a 36. Por eso, voy a ir haciendo grupos de tres números
diferentes cuyo producto me de 36.
3. Ejecutar el plan
En este paso, llevaré a cabo la estrategia anterior: formaré grupos de 3 números cuyo producto me de
36.
1 x 1 x 36 = 38
1 x 2 x 18 = 21
1 x 3 x 12 = 16
1 x 4 x 9 = 14
1 x 6 x 6 = 13
2 x 2 x 9 = 13
2 x 3 x 6 = 11
3 x 3 x 4 = 10
El producto de todos estos grupos de tres números es igual a 36. Pero eso no nos da el resultado, por
lo que tendremos que tener en cuenta otro de los datos que nos da el problema: que la suma de los 3
es igual al número de la casa del amigo. No sabemos cuál es ese número, pero s´ı que podemos sumar
los números de todos los grupos y ver si tenemos la suerte de que alguno coincida con otro.
29

Al realizar las sumas, nos damos cuenta de que hay dos grupos de números que nos dan el mismo
resultado:
1 x 6 x 6 = 13
2 x 2 x 9 = 13
Por lo tanto uno de estos dos tiene que ser la solución al problema. Pero ¿cuál?
Para ello podemos utilizar el último de los datos que nos daba el problema: el hecho de que la mayor
de las hijas tocara el piano.
Por tanto, claramente la solución tendr´ıa que ser la 2a, ya que al decirnos “la mayor de las hijas”,
tiene que haber una mayor, y en el primer caso no lo habr´ıa puesto que ser´ıan las dos de la misma edad.
4. Examinar la solución
Una vez realizado todo el problema comprobamos que nuestra solución ha tenido éxito. En esta oca-
sión, las hijas del profesor tendr´ıan: la mayor 9 años y las dos más pequeñas tendrán la misma edad,
2 años (por lo que ser´ıan gemelas o mellizas).
Ejemplo 5. (El ramo de los enamorados)El d´ıa 14 de febrero fue el d´ıa de los enamorados y por dicho motivo en-
cargué un magn´ıfico ramo de flores para mi novia Eurelina. El ramo costó $68 euros y estaba formado
por petunias y orqu´ıdeas.
Recuerdo que el precio de cada petunia era de $0,5 y en el ramo hab´ıa 16; pero no llego a recordar
cuál era el precio de una orqu´ıdea, aunque sé que éste no ten´ıa centésimas y no era múltiplo de 5.
Ayuda a este joven enamorado calculando cuál era el precio de cada orqu´ıdea y cuántas hab´ıa en el
ramo, si sabemos que al sumar ambas cantidades se obtiene un número que tiene una cantidad impar
de divisores.
Solución
Paso 1. Comprender el problema
30

En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema es muy importante entenderlo.
El problema nos dice que el muchacho encargó un ramo para su novia, el cual estaba formado por
petunias y por orqu´ıdeas, y que le costó $68. Los datos que conocemos son:
- Que en el ramo hab´ıa 16 petunias y que cada petunia costaba $0,5.
- Que el precio de cada orqu´ıdea no tiene céntimos, es decir, es un número entero y no es múltiplo de
5.
- Que la suma del precio y de la cantidad de orqu´ıdeas da un número el cual tiene un número impar
de divisores.
El dato que no conocemos es el número de orqu´ıdeas que ten´ıa el ramo, ni el precio de cada una. Y
eso es lo que tenemos que calcular.
El mejor de los planes será intentar deducir cuánto puede valer cada orqu´ıdea a partir de los datos
que nos da el problema. Gracias a que el problema nos dice que el ramo ten´ıa 16 petunias y que cada
petunia costaba $0,5, llegamos a la conclusión de que de los $68que costaba el ramo en total, $8 de
este ramo se lo llevan las petunias. Por lo tanto los $60 restantes son de orqu´ıdeas. Ese será el dato
del cual partiremos para poder resolver el problema.
Ahora nos centraremos en intentar buscar la solución al problema.
En primer lugar, como sabemos que lo que se gastó en orqu´ıdeas puede ser como máximo $60, ave-
riguaremos los divisores de 60, ya que como máximo, una orqu´ıdea podrá costar $60 pero no más,
y como además nos dice que el precio no tiene decimales, el número que buscamos será un numero
entero.
Los divisores de 60 son:
60, 30, 20, 15, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1
Como el problema nos dice que el precio de la orqu´ıdea no es múltiplo de 5, de los divisores de 60,
todos los múltiplos de 5 no valdr´ıan.
60, 30, 20, 15, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1
Por tanto, los números que nos quedar´ıan ser´ıan los siguientes: 6,4, 3, 2, 1
Una vez llegados a este punto del problema, utilizaremos el último dato que nos da el problema, el
cual nos dice que la suma del precio y de la cantidad de orqu´ıdeas da un número el cual tiene un
número impar de divisores. As´ı que, calcularemos los divisores de estas 5 posibles soluciones:
Si cada orqu´ıdea vale $6 , el ramo tendr´ıa 10 orqu´ıdeas (ya que 60 : 6 = 10).
Por tanto: 6 + 10 = 16
31

Divisores de 16= 16, 8, 4, 2, 1 ⇒ 5 divisores [impares]
Si cada orqu´ıdea vale $4, el ramo tendr´ıa 15 orqu´ıdeas (ya que 60:4 = 15).
Por tanto: 4 + 15 = 19
Divisores de 19= 19, 1 ⇒ 2 divisores [par]
Por tanto: 3 + 20 = 23
Por tanto: 2 + 30 = 32
Divisores de 32= 32, 16, 8, 4, 2, 1 ⇒ 6 divisores [par]
Por tanto: 1 + 60 = 61
Al estudiar todas las soluciones posibles, llegamos a la conclusión de que, el único resultado váli-
do es el primero, es decir, que cada orqu´ıdea valga $6y por consiguiente, que en el ramo haya 10
orqu´ıdeas, ya que es la única opción que tiene un número impar de divisores.
Paso 4. Examinar la solución
Una vez realizado todo el problema comprobamos que nuestra solución ha tenido éxito. En esta oca-
sión, el ramo, como sabemos formado por petunias y orqu´ıdeas, valdr´ıa un total de $68 de los cuales:
$8 ser´ıan de petunias ⇒ 16 petunias x $0,5 (que vale 1 petunia)
$60 de orqu´ıdeas ⇒ 10 orqu´ıdeas x $6 (que vale cada orqu´ıdea)
Ejemplo 6. (Tarjetas numeradas)Calcul´ın, Pitagor´ın, Thalesa, Hipotenusia y Arquimed´ın tienen un montón de
100 tarjetas enumeradas del 1 al 100. Como son muy maniáticos con los números se dedican a incluir
o quitar del montón aquellas tarjetas según le gusten o no, los números que en ellas aparecen.
Calcul´ın toma las cien tarjetas y como detesta los números pares, los descarta y pasa las tarjetas a
Pitagor´ın, éste que es un amante de los múltiplos de cinco se da cuenta que le faltan algunos, y los
coge de los que Calcul´ın hab´ıa eliminado, y seguidamente le entrega las tarjetas a Thalesa.
32

Thalesa como está enfadada con Calcul´ın y Pitagor´ın decide deshacerse de ellas y coger las tarjetas
que éstos hab´ıan descartado y se las pasa a Hipotenusia.
Hipotenusia tras observarlas elimina aquellas que son múltiplos de seis y de ocho porque las considera
de mal gusto y finalmlente se las pasa a Arquimed´ın, que odia tanto los números primos mayores que
7 que elimina las tarjetas que tienen como divisor alguno de esos números.
Arquimed´ın hace recuento de las tarjetas que le quedan. ¿Cuántas tarjetas tiene ahora en su poder?,
¿cuál es el mayor número escrito en esas tarjetas?
Figura 6: Tarjetas numeradas
Solución.
Paso 1. Comprender el problema En primer lugar, y antes de empezar a intentar resolver el problema
es muy importante entenderlo. El problema nos da una grand´ısima cantidad de información y de datos
que nos permiten resolverlo poco a poco.
El problema nos dice que hay 5 personajes los cuales tienen un montón de 100 tarjetas, y estas tarjetas
se van eliminando poco a poco según las man´ıas de cada uno.
En un primer momento, Calcul´ın elimina todas las tarjetas pares y pasa las tarjetas restantes a Pi-
tagor´ın. En segundo lugar, Pitagor´ın, decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calcul´ın hab´ıa
eliminado, todas las que fueran múltiplos de 5, ya que le encanta esos números.
En tercer lugar, Thalesa como está enfadada con Calcul´ın y Pitagor´ın decide deshacerse de ellas y
coger las tarjetas que éstos hab´ıan descartado y se las pasa a Hipotenusia.
En cuarto lugar, Hipotenusa, elimina de ese montón de tarjetas que han quedado, aquellas que son
múltiplos de 6 y de 8 al mismo tiempo.Y por último, las tarjetas caen en manos de Arquimed´ın, el
cual elimina todas aquellas tarjetas que tienen como divisor algún número primo mayor que 7.
33

Hasta ah´ı son los datos que el problema nos da, y lo que nos pide es que, averigüemos después de
todos estos pasos que tenemos que dar, con cuántas tarjetas nos quedamos, y cuál es el número mayor
escrito en estas tarjetas.
En segundo lugar, y una vez estudiado el problema, debemos concebir un plan, una estrategia para
comenzar a resolverlo. En esta ocasión, creo que la mejor forma de llegar a la solución es escribir todos
los números, del 1 al 100, e ir tachando poco a poco, según los datos que nos da el problema.
Llegados a este punto del problema, comenzaremos a resolverlo. En primer lugar, y tal como hab´ıamos
planeado, escribiremos todos los números del 1 al 100
Se comienza a tachar números según los datos:
Figura 7: Tabla del 1 al 100
Tal y como nos dice Calcul´ın, eliminamos todas las tarjetas pares.
Después, como Pitagor´ın decide coger de esas tarjetas que anteriormente Calcul´ın hab´ıa eliminado,
todas las que fueran múltiplos de 5, volvemos a rescatar algunos números de los que hab´ıamos tacha-
dos, más concretamente aquellos de la última fila que terminan en 0.
A continuación y atendiendo al dato que nos da Thalesa, se le da al problema un giro, ya que, a partir
de este momento, los números que valdrán, serán los que hasta ahora hab´ıamos eliminado.
El siguiente paso será eliminar todas las tarjetas que sean múltiplos de 6 y de 8 al mismo tiempo.
Para ello, calculamos el mcm de 6 y 8 y averiguamos sus múltiplos.
mcm (6 y 8) = 24
34

Figura 8: Tabla obtenida
Múltiplos de 24 = 24, 48, 72, 96. . . (con que lleguemos hasta el 96 es suficiente puesto que el siguiente
ser´ıa 120 y este ya se pasa del 100, que es el número máximo que nosotros tenemos)
Y por último, eliminamos, según el que nos da Arquimed´ın, todas aquellas tarjetas que tienen como
divisor algún número primo mayor que 7.
Para ello, en primer lugar escribiremos todos los números primos mayores que el 7 y calcularemos sus
múltiplos para que sea más fácil saber cuáles son las tarjetas que tenemos que eliminar.
Primos: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 51. . . (con que lleguemos hasta el 51 es suficiente
puesto que 51x2=102 y eso se pasa ya del 100)
Múltiplos de 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
Múltiplos de 13: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104. . .
Múltiplos de 17: 17, 34, 51, 68, 85, 102. . .
Múltiplos de 19: 19, 38, 57, 76, 95. . .
Múltiplos de 23: 23, 46, 69, 92, 115. . .
Múltiplos de 29: 29, 58, 87, 116. . .
Múltiplos de 31: 31, 62, 93,. . .
Múltiplos de 37: 37, 74, 111,. . .
Múltiplos de 41: 41, 82, 123. . .
35

Múltiplos de 43: 43, 86, 129,. . .
Múltiplos de 47: 47, 94, 141. . .
Múltiplos de 51: 51, 102. . .
Figura 9:
Por lo tanto, nos quedar´ıan un total de 17 tarjetas las cuales ser´ıan: 2, 4, 6, 8,12,14,16,18,28,32,36,42,54,56,64,8
y 98 Y el número más grande de ellas tal y como podemos observar es el 98.
Paso 4. Examinar la solución
Una vez hallada la solución, repasamos todo el problema para ver si hemos seguido al pie de la letra
todos los pasos y de esta forma intentar localizar cualquier posible error.
Problema 1. Un sillón y 4 sillas han costado $300. Si el sillón costó $100 ¿Cuánto pagué por cada silla?
Problema 2. Si los ángulos miden un número entero de grados.Calcular los pol´ıgonos regulares .
Problema 3. Un hombre compró doce sacos de verduras (manzanas y naranjas) por $99. Si un saco de chile cuesta
$3 más que un saco de cebolla, y compró más saco chile que cebollas, ¿cuántos saco compró de cada
uno?
Problema 4. En una escuela nacional hay 155 estudiantes en total; hay 75 estudiantes en el comité de orden y
limpieza, 55 estudiantes están en el comité de actividades culturales y 20 más en el comité de arte.
¿Cuántos estudiantes de la escuela no participan en ningún comité?
36

Problema 5. En un banco por error el cajero, le da x dólares y y centavos.Pero dicho mujerr deber´ıa de cobrar un
cheque por y dólares y x centavos en un banco.Ella no se da cuenta hasta que gasta 23 centavos y
además observa que en ese momento tiene 2y dólares y 2x centavos. ¿Cuál era el valor del cheque?
Problema 6. S´ı tenemos tres números naturales a,b,c (números consecutivos en sucesión aritmetica, diferencia=2)
calcular la suma de sus cuadrados tales que sea un número de 4 cifras iguales.
Problema 7. ¿Qué edad tiene la madre de José, si éste tiene 18 años y cuando él nació su madre ten´ıa 26 años?
Problema 8. Nueve palomas hembras y nueve palomas machos ¿Cuántas patas en total tienen?
Problema 9. Se dispone de 9 palillos que forman un triángulo equilátero. Cambiando la posición de 5 palillos
transformar el triángulo a manera de obtener 5 triángulos equiláteros.
Problema 10. A un grupo de estudiantes les dejaron como tarea leer un documento de 300 páginas. El primer d´ıa
leyeron 10 páginas, el segundo d´ıa 15 páginas, el tercer d´ıa 20 páginas y as´ı sucesivamente. ¿Cuántos
d´ıas se tardaron en leer el documento?.
Problema 11. Tres amigos: Ángel, Beto y Carlos tienen distintas aficiones por el fútbol, basquetbol y voleibol, y
gustan de colores diferentes, azul, rojo y blanco. Si se Sabe que: Beto no practica voleibol, al bas-
quetbolista no le agrada el color rojo, Ángel practica basquetbol, quien practica voleibol le agrada
el color blanco, a Beto no le gusta el color azul. ¿Qué afición tiene y qué color prefiere cada uno?.
Problema 12. Caminando por las laderas un caracol tiene que escalar un muro de 7 metros de altura. Cada d´ıa
consegu´ıa escalar 4 metros, pero como el muro era húmedo y resbaladizo, cada noche resbalaba 3
metros hacia abajo. ¿Cuántos d´ıas necesitó el caracol para llegar a lo alto del muro?
Problema 13. Una rana está en el fondo de un pozo de 20 pies de profundidad, cada d´ıa escala 4 pies pero cada
noche resbala 3 pies. ¿Después de cuántos d´ıas alcanzará la rana la boca del pozo?.
Problema 14. Un autobús de 80 plazas iba completo, cuando en un pueblo bajaron 12 personas y entraron la cuarta
parte de las mismas ¿Cuántos pasajeros haya hora?
Problema 15. Un tiburón joven tiene 26 dientes. Al viejo le quedan sólo 8 dientes. ¿Cuántos dientes tienen entre los
dos? El hotel de los l´ıos. Un hotel tiene infinitas puertas numeradas as´ı: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. . . Todas
ellas están abiertas. Pero llega alguien y, comenzando desde el principio, las cierra ordenadamente
de 2 en 2, la 2, la 4, la 6, etc. Contento de su hazaña se va a dormir. Pero otro viene después que
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decide cambiar la posición de las puertas de 3 en 3; empieza también por el principio y, yendo de
3 en 3, la que está abierta la cierra y la que está cerrada la abre. Divertido también por lo que ha
hecho se va a dormir. Sin embargo, otro viene después y comenzando también desde el principio, va
cambiando la posición de las puertas de 4 en 4; de manera que la que está abierta la cierra y la que
está cerrada la abre. Cuando termina, viene otro que altera la posición de las puertas de 5 en 5; abre
las cerradas y cierra las abiertas. Y luego otro que hace lo propio pero de 6 en 6. Y luego otro de
7 en 7. Y as´ı hasta el infinito porque en el hotel hab´ıa infinitos bromistas. Tú, que eres el conserje
del hotel, estás durmiendo tan tranquilo y no te has enterado de todos estos l´ıos. ¿Qué puertas crees
que estarán abiertas y qué puertas estarán cerradas cuando te despiertes por la mañana?
Problema 16. Sea d(n) el número de divisores de n. Probar que d(n) es impar si y sólo si n es cuadrado.
Problema 17. ¿Qué números tienen un número impar de factores?Justifica tu respuesta.
Problema 18. Unos granjeros almacenaron heno para 57 d´ıas, pero, como el heno era de mejor calidad de lo que
pensaban, ahorraron 113 kg por d´ıa, con lo que tuvieron heno para 73 d´ıas. ¿Cuántos kilos de heno
almacenaron?
Problema 19. Unas personas pensaban realizar un viaje de 5000 km. En su presupuesto hab´ıan incluido cierta
cantidad de dinero para gastarse en gasolina. Sin embargo, una oportuna bajada del precio de la
gasolina les permitió ahorrar $0,04 por kilómetro, con lo cual pudieron recorrer 250 km más. ¿A
cuánto ascend´ıa su presupuesto para gasolina?
Problema 20. Un d´ıa el padre de Andrés se da cuenta de que el cuenta kilómetros marca 4320 km. ¿Cuántos
kilómetros le faltan para hacer la revisión del coche que es a los 5000 km?
Problema 21. El Sr. Sánchez desea hacer una valla alrededor de su piscina. El metro de valla vale $9,5.
Problema 22. El triciclo de Manol´ın tiene ruedas de diferente diámetro: La delantera avanza 200 cm por vuelta, en
tanto que las traseras avanzan 150 cm por vuelta. ¿Cuál es la m´ınima distancia que debe recorrer el
triciclo, para que cada rueda de un número exacto de vueltas?.
Problema 23. Tres personas trabajan como conductores de autobuses en tres rutas que parten del mismo punto y
cuyos recorridos completos se llevan 35, 60 y 70 minutos, respectivamente. Los tres salen a las 6 de la
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mañana y deciden que almorzarán juntos cuando coincidan de nuevo en el mismo punto de partida.
¿A qué hora será el almuerzo?.
1.4.7. Enfoque basado en la resolución de problemas.
¿Qué se entiende por problema?, ¿qué es un problema abierto? Tradicionalmente los textos de ma-
temática han incluido ejercicios al final de cada unidad, para que los alumnos consoliden sus aprendizajes por
medio de la práctica repetitiva y el encadenamiento de algunos comportamientos. En adición a los ejercicios,
algunos textos incluyen problemas de aplicación, es decir, enunciados verbales referidos a situaciones vinculadas
de manera casi directa a los procedimientos ejercitados. Tales problemas no ponen a los alumnos en una situación
que derive en la construcción de un conocimiento nuevo para ellos, sino que los expone a una situación en la cual
han de integrar los conceptos asociados a los procedimientos recién ejercitados.
En el enfoque de enseñanza, donde el procedimiento que da origen a la ejercitación (algoritmo de la multiplica-
ción, por ejemplo) deriva de la comprensión del concepto asociado (producto, por ejemplo como grupo de objetos
que se repite cierta cantidad), el problema de aplicación es sólo un ejercicio.
La palabra problema proviene significa,lanzar adelante. Un problema es un obstáculo arrojado ante la in-
teligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada. Todos
vivimos resolviendo problemas: desde el más básico de asegurar la cotidiana subsistencia, común a todos los seres
vivos, hasta los más complejos desaf´ıos planteados por la ciencia y la tecnolog´ıa. La importancia de la actividad
de resolución de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso cient´ıfico y tecnológico, el bienestar y hasta
la supervivencia de la especie humana dependen de esta habilidad. No es de extrañar por lo tanto que la mis-
ma se haya convertido en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de psicólogos, ingenieros,
matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y cient´ıficos de todas las disciplinas. En el campo educativo
se ha reconocido ampliamente su importancia. y en muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de la
habilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum.
La resolución de problemas resulta ser una de las problemáticas que en estos últimos tiempos está siendo
abordada con gran interés y preocupación por la investigación educativa. Para Gaulin (2001) hablar de problemas
implica considerar aquellas situaciones que demandan reflexión, búsqueda, investigación y donde para responder
hay que pensar en las soluciones y definir una estrategia de resolución que no conduce, precisamente, a una res-
puesta rápida e inmediata.
La aparición del enfoque de resolución de problemas como preocupación didáctica surge como consecuencia
de considerar el aprendizaje como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones con base
en un proceso creativo y generativo. La enseñanza desde esta perspectiva pretende poner el acento en actividades
que plantean situaciones problemáticas cuya resolución requiere analizar, descubrir, elaborar hipótesis, confrontar,
reflexionar, argumentar y comunicar ideas.
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