Este documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de estadística, incluyendo definiciones de población, muestra, variable estadística y diferentes tipos de variables. También explica cómo construir tablas de frecuencias para organizar y resumir datos estadísticos, incluyendo tablas de frecuencias simples y agrupadas.

1. Estadística
Def i ni ción de Est adí st i ca
La Est ad í st i ca trat a del r ecuent o, or denación y cla sif icació n de los
dat os obt enidos p or las ob ser vacio nes, par a poder h acer com par acion es y
sacar conclusi on es.
Un est ud i o est adíst i co const a de las siguie nt es f ases:
Recog ida de dat os.
O r ganización y r epr esent ación de d at os.
Anál isis de dat os.
O bt ención de conclusio nes .
Concept os de Es t adí st i ca
Pobl aci ón
Una po b l aci ón es el co nj unt o de t odos los elem ent os a l os que se
som et e a un est udio est adí st ico.
Ej em plo: Conj un t o de t odos lo s alum n os de s ecundar i a de la
Com unid ad de M adr id.
I ndi vi duo
Un i ndi viduo o uni dad est adí st i ca es cada uno de lo s elem ent os que
com pone n la pobl ación.
Ej em plo: Cada un o de los alum nos de secun dar ia de la C om un idad de
M adr id.
1

2. M uest ra
Una mu est ra es un con j unt o r epr esent at ivo de l a pob lac ión d e
r ef er encia, el núm er o de in divid uos de una m uest r a es m enor que el de la
poblac ió n.
Ej em plo: De ent r e t odos l os alum n os de se cundar ia de la Co m unidad
de M adr id escoge m os los de Hum anes.
M uest reo
El m uest reo es la r eunión de dat os que se desea est udiar , obt enido s
de una pr opor ción r educida y r epr esent at iva de la pob lació n.
Val or
Un val or es cad a uno d e los po sibles r e sult ados que se puede n
obt ener en un e st udio e st adí st ico. Si l a nzam os una m on eda a l a ir e 5
vec es podem os obt ener dos valor es: car a y cr uz.
Dat o
Un d at o es cada uno d e lo s valor es que se ha obt en i do a l r ea lizar u n
est udio est adí st ico. Si lanzam os una m oneda al ai r e 5 veces un posib l e
valor ser á : car a, car a, cr uz, car a, cruz.
Var i abl e est adí st ica
Def i ni ción de vari abl e
Una vari abl e est adí st i ca es cada una d e las c aract erí st i cas o
cual i dades que podem os est udiar en los in di vi duos de una pobl aci ón .
2

3. Ti pos de vari abl e est adí sti cas
Var i abl e cual i t at iva
Las var i abl es cual i t at ivas se r ef ier en a c aract erí st i cas o
cual i dades que n o pueden ser m edidas con números . Podem os dist in guir
dos t ipos:
Var i abl e cual i t at iva nomi nal
Una va ri abl e cual i t at iva nomi nal present a modal i dades no
num ér i cas que no adm it en un cri teri o de orden . Por ej em plo:
El est ad o civ il, con l a s sigui ent e s m odal i dades: s olt er o, casado,
separ ado , divor ciado y viudo.
Var i abl e cual i t at iva ordi nal o variabl e cuasi cuant i tat i va
Una v a ri abl e cual i t at iva ordi nal pr esent a modal i dades no
núm er i cas , en las que exi st e un orden . Por ej em plo:
La not a en un e xa m en: suspenso, apr obado, not able, sobr esali ent e.
Puest o consegu id o en una pr ueba d epor t iva: 1º, 2º, 3º, .. .
M edallas de una pr ueba de por t iva: or o, plat a, br once.
Var i abl e cuant i t ati va
Una vari abl e cua nt i t ati va es la qu e se e xpr esa m edi ant e un núm er o ,
por t ant o se p ued en r eal iz ar o pera ci ones a ri t méti cas con el l a. Pode m os
dist ingu ir dos t ipos:
Var i abl e di scret a
Una v ari abl e di scret a es aque lla que t o m a val ores ai sl ados , es
decir no adm it e val ores i nt ermedi os ent r e dos val or es esp ecí f icos. Por
ej em plo:
3

4. El nú m er o de her m anos de 5 am igos: 2, 1, 0, 1, 3.
Var i abl e cont i nua
Una v ari abl e con t i nua es aquel la q ue , al m e nos t eór i cam ent e, puede
adm it ir inf init os val ores ent re dos números dados. Por ej em plo:
La alt ur a de los 5 am igos: 1. 73, 1. 82, 1. 77, 1. 69, 1. 75.
En la pr á ct ica m edim os la alt ur a con dos de cim ales, per o t am bién s e
podr í a dar con t res decim ales, cuat r o, et c.
Tabl as de est adí st i ca
Fr ecuen ci a absol ut a
La f r ecuenci a a bsol ut a es el nú mero de veces que apar ece un
det er m inado val or en un est udio est adí st ico.
Se r epr esent a por f i .
La suma de l as f recuenc i as absol ut as es igual al núm er o t ot al de
dat os, que se r epresent a por N.
Par a in di car r esum idam en t e est as sum as se ut il iza la l et r a gr iega Σ
( sigm a mayúscula ) que se lee sum a o sum at or ia.
Fr ecuen ci a rel at iva
La f r ecu enci a rel at i va es el c oci e nt e ent r e la f recu enci a ab sol ut a
de un det er m inado valor y el número t ot al de dat os .
Se puede expr esar en t ant os por cient o y se repr esent a por h i .
4

5. 𝑓𝑖
ℎ𝑖 =
𝑁
La sum a de las f r ecuencias r elat ivas es igual a 1.
Fr ecuen ci a acumul ada
La f r ecu enci a ac umul ada es la su ma de l a s f recue nci as ab sol ut as
de t odos los val ores i nf eriores o i gual es al val or consider ad o.
Se r epr esent a por F i .
Fr ecuen ci a rel at iva acumul ada
La f r ecu enci a rel at i va ac umul ada es el co ci ent e e nt r e la f recuenci a
acum ul ada de u n det er m inado v a l or y el número t ot al de dat os . Se
puede e xpr esar en t ant os por cient o. Se r epr esent a por H i .
Di st r i buci ón de frecuenci as
La di st ri buci ón d e f recu enci as o t abl a de f recu enci as es una
or denaci ón en f or m a de tabl a de los dat os est adí st i cos , asigna nd o a
cada dat o su f recuenci a correspo ndi ent e .
Ej em pl o
Dur ant e el m es de j ul i o, en u na ciu da d se h a n r egist r ado l as
sigui ent e s t em perat ur as máxim as:
32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30,
30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la pr i m er a colum na de la t abla colocam o s la var i able or d enada de
m enor a m ayor , en l a segunda hacem os el r ecuent o, en la t er cer a
anot am os la f r ecuencia a bsolut a, en la s ig uient e l a absolut a acum ula da, y
a cont inu ación la f r ecuenci a r elat iva y la acum ulada.
5

6. xi Recuent o fi Fi hi Hi
27 I 1 1 0. 032 0. 032
28 II 2 3 0. 065 0. 097
29 6 9 0. 194 0. 290
30 7 16 0. 226 0. 0516
31 8 24 0. 258 0. 774
32 III 3 27 0. 097 0. 871
33 III 3 30 0. 097 0. 968
34 I 1 31 0. 032 1
31 1
Est e t ipo de t abl as de f recuenci as se ut iliza con vari abl es
di scr et as .
Di st ri buci ón de frecuenci as agrup adas
La di st ri buci ón de f recuenci as agrupa das o t abl a co n dat os
agr upad os se e m plea s i las var i abl es t om an un número grande de
val or es o la vari abl e es cont i nua .
6

7. Se agrup an los va l ores en i nt erval os que t en gan la mi sma ampl i t ud
denom in ados cl ases . A cada cl ase se le a signa su f recu enci a
cor r espo ndi ent e .
Lí m i t e s de l a cl ase
Cada cl a se est á del i mit ada por e l l í mi t e inf eri or de l a cl ase y el
l í m it e superi or de l a cl ase .
Am pl i t ud de l a cl ase
La ampl i t ud de l a cl ase es la di f erenci a ent r e el l í mit e superi or e
i nf er i or de la cl ase .
Ma r ca d e cl ase
La m arca de cl ase es el punt o medi o de cada i nt erval o y es el val or
que r epr esent a a t odo el i nterval o par a el cál cul o de algunos
par ám et r os .
Const ru cci ón de una t abla de dat os agrupados
3, 15, 24 , 28, 33, 35, 38, 4 2, 43, 38 , 36, 34, 29, 25, 1 7, 7, 34, 36, 39,
44, 31, 2 6, 20, 11 , 13, 22, 27, 47, 39, 37, 3 4, 32, 35 , 28, 38, 41, 48, 15,
32, 13.
1º se l oc aliza n lo s valor es m enor y m ayor de la dist r ibuci ón. En est e
caso son 3 y 48.
2º Se r e st an y se busca un núm e r o ent er o un po co m ayor que la
dif er enci a y que sea divis ible p or el núm er o de int er valos de quer a m os
poner .
Es conve nient e qu e el núm er o de int er valos oscile en t r e 6 y 15.
En est e c aso, 48 - 3 = 45, i ncr em ent am os el núm er o h ast a 50 : 5 = 10
int er valo s.
7

8. Se f or m an los int er valos t enien do pr esent e que el l í m it e infer ior de
una clas e per t enece al i nt er valo, per o el lí m it e super ior no per t enec e
int er valo, se cuent a en el siguient e i nt er valo.
ci fi Fi hi Hi
[ 0, 5) 2. 5 1 1 0. 025 0. 025
[ 5, 10) 7. 5 1 2 0. 025 0. 050
[ 10, 15) 12. 5 3 5 0. 075 0. 125
[ 15, 20) 17. 5 3 8 0. 075 0. 200
[ 20, 25) 22. 5 3 11 0. 075 0. 2775
[ 25, 30) 27. 5 6 17 0. 150 0. 425
[ 30, 35) 32. 5 7 24 0. 175 0. 600
[ 35, 40) 37. 5 10 34 0. 250 0. 850
[ 40, 45) 42. 5 4 38 0. 100 0. 950
[ 45, 50) 47. 5 2 40 0. 050 1
40 1
8

9. Di agrama de barras y pol í gonos de f recuenci as
Di ag rama de barras
Un di ag rama de barras se ut iliza pa r a de pr esent ar dat os
cual i t at ivos o dat os cuant i t ati vos de t i po di scret o .
Se r epr esent an sobr e unos ej es de coor denadas , en el ej e de
absci sas se colo can los val ores de l a vari abl e , y sobr e el ej e de
or den ad as las f recuenci a s absol ut as o relat i vas o acumul adas .
Los dat os se r epr esent an m ediant e barras de u na al t ur a
pr opor ci onal a la f recuenci a .
Ej em pl o
Un est ud io hec ho al conj u nt o de lo s 20 al u m nos de una cl a se par a
det er m inar su gr upo sangu í neo ha dado el si guient e r esult ado:
G r upo
fi
sanguí n eo
A 6
B 4
AB 1
0 9
20
9

10. Pol í gonos de f recuenci as
Un pol í gono de f recuenci as se f or m a unien do los e xt remos de las
bar r as m ediant e s egment os .
Tam bién se puede r ealizar t r azando los pu nt os que r epr esen t an las
f r ecuenc i as y uniéndol os m ediant e segment os .
Ej em pl o
Las t em per at ur as en un dí a de ot oño de un a ciudad han suf r ido la s
sigui ent e s var iaciones:
Hora Tempera t ura
6 7º
9 12°
12 14°
15 11°
18 12°
21 10°
24 8°
10

11. Di agrama de sect ores
Un di ag rama de sect or es se p uede ut i lizar par a t odo t ipo de
var i ables , per o se usa f r ecuent em ent e par a las vari abl es cual i t ati vas .
Los dat o s se r epr esent an en un cí rcul o , de m odo que e l á ngul o de
cada sec t or es proporci onal a la f recuenci a absol ut a cor r espondie nt e.
El d iagr a m a cir cul ar se con st r uye con la ay ud a de un t r anspor t ador de
ángul os.
Ej em pl o
En una clase de 30 alum n os, 12 j uegan a baloncest o, 3 pr act ican la
nat ación, 4 j uegan al f út bol y el r esto no pr act ica ning ún depor t e.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 124°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin deporte 6 72°
Total 30 360°
11

12. Hi st ogr ama
Un hi st ograma es una represent a ci ón gráf i ca de una vari abl e en
f or m a de barras .
Se ut il iza n par a v ari abl es cont i nuas o par a vari abl es di scret as , con
un gr an núm er o de dat os, y que se han agr u pado en cl ases .
En el ej e absci sas se const r uyen unos rect ángul os que t ienen por
base l a ampl i t ud del i nt erval o , y por al t ura , la f recuenci a absol ut a d e
cada i nt er val o .
La super f i ci e de cada bar ra es proporci onal a la f recuenci a de los
val or es r epr esent ados.
Pol í gono de f recuenci a
Par a con st r uir el pol í gono de f recuenci a se t om a la marca de cl ase
que coin cide con el punt o medi o de cada rect ángul o .
Ej em pl o
El peso d e 65 per sonas adu lt as vien e dado por la siguient e t abl a:
12

13. ci fi Fi
[ 50, 60) 55 8 8
[ 60, 70) 65 10 18
[ 70 , 80) 75 16 34
[ 80, 90) 85 14 48
[ 90, 100) 95 10 58
[ 100, 110) 110 5 63
[ 110, 120) 115 2 65
65
Hi st ogr am a y pol í gono de f recuenci as acumul adas
Si se r e pr esent an las f recuenci a s acum ul adas de una t abl a de
dat os agr upados se obt iene el hi st o grama de f recuenci as acumul ada s
o su cor respond ie nt e pol í gono .
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14. Parámet ros est adí st i cos
Un p ará met ro es t adí st i co es u n n úmero q ue se ob t iene a p ar t ir de
los dat os de una di st ri buci ón est adí st i ca .
Los par ámet ros est adí st i cos sir ven par a sint et izar la inf or m ación
dada por una t abla o por una gr áf ica.
Ti pos de parámet ros est adí st i cos
Hay t r es t i pos parámet ros est adí sti cos :
De cent r alizac ión .
De posic i ón
De dispe r sión.
M edi das de cent ral i zaci ón
Nos ind ic an en t orno a qué valor ( cent r o) se dist r ibuy en l os da t os.
La m edi das de cent ral i zaci ón son:
Me di a ari t méti ca
La m edi a es el valor promedi o de la dist r ibución.
Me di ana
La m edi ana es la punt a ci ón de la esca la que separa l a m i t ad
super i or de la di st r ibució n y l a i nf eri or , es decir divide la s er ie de d at os
en dos part es i gual es .
14

15. Mo da
La m od a es el val or que má s se re pi t e en una di st r ibució n.
M edi das de posi ci ón
Las m edi das de posi ci ón divid en u n conj unt o de dat os en gr upos con
el m ism o núm er o de indiv i duos.
Par a cal cular las medi das de posi ci ón es necesa r io que l os dat os
est én or denados d e menor a ma yor .
La m edi das de posi ci ón son:
Cuar t i l es
Los cuart i l es di viden la se r ie de dat os en cuat ro partes i gual es .
Deci l es
Los deci l es divid e n la ser ie de dat os en di ez part es i gual es .
Per cent i l es
Los percent i l es divide n la ser ie de dat os en ci en part es i gual es .
M edi das de di spersi ón
Las m edi das de d i spersi ón nos i nf or m an sobr e cuán t o se ale j an de l
cent r o los valor es de la dist r ibución.
Las m edi das de di spersi ón son:
Rango o recorri do
El r ango es la di f erenci a ent r e el ma yor y el menor de los d at os de
una dist r ibución e st adí st ica.
15

16. Desvi aci ón medi a
La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es
absol u t os de las desvi aci ones r espect o a la medi a .
Var i anza
La vari anza es la m edi a ari tmét i ca del cua drado de l as
desvi aci ones r espect o a la medi a .
Desvi aci ón t í pi ca
La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de la vari anza .
M oda
La m oda es el val or que t iene ma yor f recuenci a absol ut a .
Se r epr esent a por M o .
Se puede hallar la moda par a vari abl es cual i t ati vas y cuant i tat i vas .
Hal l ar la moda de la dist r ibución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4
Si en u n gr upo hay dos o vari as punt uaci one s con la mi sma
f r ecuenc i a y esa f r ecuencia es la m áxim a, la di st ribuci ón es bi modal o
m ul t i m odal , es decir , t iene vari as modas .
1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1, 5, 9
Cuand o t odas la s punt uaci ones de un gr upo t ienen la mi sma
f r ecuenc i a , no hay moda .
2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9
16

17. Si d os p unt uaci ones ad yacent es t ienen la f recu en ci a máxi m a , la
m oda es el promedi o de las dos punt uacion es adyacent es.
0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = 4
M edi ana
Es el v a l or que ocupa e l l ugar cent ral de t odos l os dat os cuando
ést os están orden ados de menor a ma yor .
La m edi ana se r epr esent a por M e .
La m edi ana se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t ati vas .
Cál cul o de l a medi ana
1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .
2 Si la s er ie t ien e un nú mero i mpar de medi das la medi ana es l a
punt uaci ón cent ral de la m ism a.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 M e= 5
3 Si la s er ie t ien e un nú mero pa r de punt uacion es la medi ana es l a
m edi a ent r e las dos punt uaci ones cent ral es .
7, 8, 9, 10, 11, 12 M e= 9. 5
M edi a ar i t mét ica
La m edi a ari t mét i ca es el val or o bt enido a l sum ar t odos los dat os y
di vi di r el r esult ado ent r e el número t ot al de dat os .
𝑥 es el sí m bolo de la medi a ari t méti ca .
17

18. Ej em pl o
Los peso s de seis am igos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el
peso m edio.
M edi a ari t méti ca para dat os agrupados
Si l os d at os vie nen agr upados en una t abla de f r ecuencias, la
expr es ió n de la medi a es:
Ej er ci ci o de media ari t méti ca
En un t est r ealizado a un gr upo de 42 per sonas se han obt enido las
punt uaci ones que m uest r a la t abla. Cal cul a l a punt uaci ón medi a .
xi fi xi · fi
[ 10, 20) 15 1 15
[ 20, 30) 25 8 200
[ 30, 40) 35 10 350
[ 40, 50) 45 9 405
[ 50, 60 55 8 440
18

19. [ 60, 70) 65 4 260
[ 70, 80) 75 2 150
42 1 820
O bservaci ones sobre l a medi a ari t méti ca
1 La medi a se puede hal l ar sólo par a vari abl es cuant i t at i vas .
2 La medi a es i ndependi e nt e de las ampl itudes de los i nt erval os .
3 La medi a es m uy sensibl e a las pu nt uaci ones ext re mas . Si
t enem os una dist r ibución c on los si guient es pesos:
65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.
La m edi a es i gu al a 74 kg, que es una medi da de cent r al i zaci ón
poco r epr esent at iva de la dist r ibuci ón.
4 La medi a no se puede ca lcular si hay un in t er valo con una a mpl i t ud
i ndet er m i nada .
xi fi
[ 60, 63) 61. 5 5
[ 63, 66) 64. 5 18
[ 66, 69) 67. 5 42
19

20. [ 69, 72) 70. 5 27
[ 72, ∞ ) 8
100
En est e caso n o es po sible hal lar la m edi a por que no podem os
calcul ar la marca de cl ase de l últ im o int er valo .
Cuar t i l es
Los cuar t i l es son los t res val ores de la v ar iable q ue di vi den a un
conj unt o de dat os ordena dos en cuat ro part es i gual es .
Q 1 , Q 2 y Q 3 det erm inan lo s valor es cor r espondient es al 25 %, a l 50 % y
al 75 % d e los dat os .
Q 2 coinci de con la medi ana .
Cál cul o de l os cuart i l es
1 O r denamos los dat os de menor a ma yor .
2 Busca m os el lugar que ocupa ca da cuart i l m ediant e la expr esión .
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 𝑖 = 𝑖 = 1,2,3 N= nº de dat os
4
Núm ero i mpar de dat os
2, 5, 3, 6, 7, 4, 9
20

21. Núm ero par de dat os
2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9
Deci l es
Los deci l es son l os nuev e val ores que di vi den l a s er ie de d at os en
di ez par tes i gual es .
Los deci l es dan l os valor e s cor r espondi ent es al 10 %, al 20%. . . y al
90% de los dat os.
D 5 coinci de con la medi ana .
Se calcul an de f orm a sim ilar a los cuar t iles
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑫 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎 N= nº de dat os
𝟏𝟎
Percent i l es
Los perc ent i l es son los 99 val ores que di vi den la s er ie de d at os en
100 par t es i gual es .
Los perc ent i l es dan los v a lor es cor r espondi ent es al 1%, al 2 %. . . y al
99% de los dat os.
P 5 0 coinc ide con l a medi ana .
Se calcul an:
𝑖.(𝑁+1)
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑷 𝑖 = 𝑖 = 1, 𝟐, … 𝟏𝟎𝟎 N= nº de dat os
𝟏𝟎𝟎
21

22. Desvi aci ón medi a
La desv i aci ón medi a es la medi a arit mét i ca de los val or es
absol ut os de l as desvi aci ones res pect o a la medi a .
La desvi aci ón medi a se repr esent a por 𝐷 𝑥
Ej em pl o
Calc u lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Desvi aci ón medi a para dat os agrupados
Si los d at os vienen agr upados en una t abl a de f recuenci as , la
expr es ió n de la desvi aci ón medi a es:
22

23. Ej em plo
Calcu lar la desvi a ci ón medi a de la dist r ibución:
xi fi xi · fi |x - x| |x - x| · f i
[ 10, 15) 12. 5 3 37. 5 9. 286 27. 858
[ 15, 20) 17. 5 5 87. 5 4. 286 21. 43
[ 20, 25) 22. 5 7 157. 5 0. 714 4. 998
[ 25, 30) 27. 5 4 110 5. 714 22. 856
[ 30, 35) 32. 5 2 65 10. 174 21. 428
21 457. 5 98. 57
Vari anza
La vari anza es la me di a ari t mét i ca del cua drado de l as
desvi aci ones res pect o a la m edi a de una di st r ibució n est adí st ica.
La var ian za se r epr esent a por 𝜎2.
Var i anza para dat os agrupados
23

24. Par a si m plif icar el c ál cul o de l a vari anza vam os o ut i li zar l as
sigui ent e s expr esi ones que son equi valent es a las ant er ior es.
Var i anza para dat os agrupados
Ej er ci ci os de vari anza
Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Cal cul ar l a vari anza de la dist r ibución de la t abla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[ 10, 20) 15 1 15 225
[ 20, 30) 25 8 200 5000
[ 30, 40) 35 10 350 12 250
[ 40, 50) 45 9 405 18 225
24

25. [ 50, 60 55 8 440 24 200
[ 60, 70) 65 4 260 16 900
[ 70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
Propi eda des de l a vari anza
1 La v ari anza ser á siem pr e un v al or posi t i vo o c ero , en el caso de
que las p unt uacio nes sean iguales.
2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
var i anza no varí a .
3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
var i anz a queda mul t i pli cada por el cuadrad o de dich o número .
O bservaci ones sobre l a vari anza
1 La vari anza , al igua l que la m edi a , es un í ndice m u y sensib l e a las
punt uaci ones ext r em as.
2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
posib le h allar la v ari anza .
3 La var i anza no viene e xpr esad a en l as m ism as unida des que los
dat os, ya que las desviac io nes est án elevad as al cuadr ado.
25

26. Desvi aci ón t í pi ca
La desvi aci ón t í pi ca es la raí z cuadrada de l a vari anza .
Es decir , la r aí z cuadr ad a de la m edia de los c uadr ados de las
punt uaci ones de desviac ió n.
La desvi aci ón t í pi ca se r epr esent a por σ .
Desvi aci ón t í pi ca para dat os agrupados
Par a sim plif icar el cálculo vam os o ut ilizar la s siguie n t es expr e siones
que son equiva le nt es a las ant er ior es.
Desv i aci ón t í pi ca para dat os agrupados
Ej er ci ci os de desvi aci ón tí pi ca
Calcu lar la desvi a ci ón t í pica de la dist r ibuci ón:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
26

27. Cal cul ar l a desviaci ón t í pi ca de la dist r ibuci ón de la t abla:
xi fi xi · fi xi2 · fi
[ 10, 20) 15 1 15 225
[ 20, 30) 25 8 200 5000
[ 30, 40) 35 10 350 12 250
[ 40, 50) 45 9 405 18 225
[ 50, 60) 55 8 440 24 200
[ 60, 70) 65 4 260 16 900
[ 70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050
27

28. Propi eda des de l a desvi aci ón t í pica
1 La des vi aci ón tí pi ca será siem pr e un val or posi t ivo o cero , en el
caso de que las p unt uacio nes sean iguales.
2 Si a t odos los val ores de la v ar iable s e les s u ma un n úmer o la
desvi aci ón t í pi ca no varí a .
3 Si t odo s los val ores de l a var iabl e se mult i pli can por un númer o la
desvi aci ón t í pi ca queda mul t i pli cada por dicho número .
O bservaci ones sobre l a desvi aci ón t í pi ca
1 La de svi aci ón t í pi ca , al igu al que la m edia y la var ianza, es un
í ndice m uy sensi ble a las punt uaci ones ext r em as.
2 En los casos que no se pued a hal l ar l a medi a t am poco ser á
posib le h allar la d esvi aci ón t í pi ca .
3 Cuant a m ás pequeña sea la desvi aci ón t í pi ca m ayor ser á l a
concent r aci ón de dat os alr ededor de la medi a .
Coef i ci ent e de vari aci ón y punt ua ci ones t ípi cas
El c oef i ci ent e de vari aci ón es la r elaci ón e nt r e la d esvi aci ón t í pi ca
de una m uest ra y su medi a .
El coef i ci ent e de vari aci ón se suele expr es ar en porcent aj es :
El co ef i ci ent e de vari aci ón per m i t e com par ar las di spersi ones de
dos dist r ibucion es dist int as, siem pr e que sus medi as sean posi t i vas .
Se calcul a par a cada una de las di st r ibucio nes y los valor es que se
obt ienen se com par an ent re sí .
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29. La m a yor di spersi ón cor r esponder á al valor de l coef i ci ent e d e
var i aci ón ma yor .
Ej er ci ci o
Una dist r ibuci ón t i ene x = 140 y σ = 28. 28 y ot r a x = 150 y σ = 2 5.
¿Cuál de las dos pr esent a m ayor disper sión ?
La pr im er a dist r ibución pr e sent a m ayor d isper sión.
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