Algoritmos de grafos para determinar caminos óptimos

ALGORITMOS
(CIC621)
Unidad 6. Grafos
J. Miguel Guanira Erazo MSc.
Escuela de Posgrado – Maestría en Informática 1

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Un grafo G = (V, A) es una estructura de datos
compuesta por un conjunto de elementos
denominados Vértices (nodos) y un conjunto de
Aristas o Arcos que conectan los vértices.
Cada arista es un par (v, w), donde v, w ∈ V. Si el
par (v, w) es un par ordenado, el grafo recibe el
nombre de Grafo Dirigido.

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Los Grafos permiten abordar todos los problemas de
tipo conectividad (el objeto O1 está conectado de una
manera u otra al objeto O2) o de optimización
(caminos más cortos).
Ejemplos:
• Modelación de tráfico
• Planificación de movimientos: recolección de
basura, reparto de correspondencia
• Redes informáticas, Internet.
• Etc.

Unidad 6. Grafos
Lima
Ancash
Cajamarca
Junín
Ucayali
Cuzco
Ica
Ayacucho Puno
EJEMPLO
DE GRAFO

Unidad 6. Grafos
GRAFO
DIRIGIDO
H
Y
P
F
U Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones:
•Grado(v): Denominado grado de un vértice, es el
número de aristas que se conectan a un vértice. Se
denota como grado(v). En el ejemplo, P es un
vértice de grado 4, grado(K) = 3, y grado(A) = 0.
H
Y
P
F
U Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones:
•Vértices adyacentes: Dos vértices son adyacentes
si está unidos por una arista. En ese caso se dice que
la arista es incidente en esos vértices. En el
ejemplo, P y Q son adyacente, P y K no son
adyacentes.
H
Y
P
F
U Q
K
M

• GRAFOS:
Definiciones:
•a = (u, u): Denominado lazo o bucle, es una arista
que conecta un vértice consigo mismo.
En el ejemplo los nodos H y M están conectados
con lazos.
Unidad 6. Grafos
H
Y
P
F
U Q
K
M

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•P = (v1, v2,…, vn): Denominado camino, es la
secuencia de vértices que se debe seguir para llegar
del vértice v1 (origen) al vértice vn(destino). En el
ejemplo el camino P para llegar del nodo H al nodo
A es H-Y-F-K-A
H
Y
P
F
U Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•P = (v1, v2,…, vn): Se denomina camino cerrado, si
el origen (v1) coincide con el destino (vn). En el
ejemplo el camino H-Y-F-Q-P-H, es un camino
cerrado.
H
Y
P
F
U Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•P = (v1, v2,…, vn): Se denomina camino simple, si
todos los vértices excepto el origen y el destino,
son distintos. En el ejemplo el camino H-Y-F-Q-P-
H, es un camino simple, pero el camino H-Y-Q-P-
M-Q-K no lo es.
H
Y
P
F
Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Ciclo: Se denominado ciclo, al camino simple y
cerrado que incluye 3 o más vértices. En el ejemplo
los caminos H-Y-Q-P-H y M-K-A-M son ciclos.
H
Y
P
F
Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Tour: Se denominado tour, al camino simple que
une todos los vértices. En el ejemplo el caminos
dado por H-Y-F-K-A-M-P-Q es un tour.
H
Y
P
F
Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Grafo conexo: Un grafo es conexo si para todo par
de vértices del grafo existe un camino entre ellos.
Si el grafo no es dirigido se dice que es “débilmente
conexo”. En el ejemplo se puede decir que el grafo
es débilmente conexo.
H
Y
P
F
Q
K
M
A

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Grafo árbol: Un grafo es de tipo árbol si es un es
un grafo conexo y no tiene ciclos.
•En el ejemplo se puede decir que el grafo es de tipo
árbol.
1
5
2
4
3
3
1
4
2

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Si el grafo es dirigido se dice que es “fuertemente
conexo”. En el ejemplo se puede decir que el grafo
es fuertemente conexo.
H
Y
P
F
Q

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Grafo completo: Un grafo es completo si todos sus
nodos son adyacentes. En el ejemplo se puede decir
que el grafo es completo.
H
Y
P
F
Q

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Multigrafo: Se denomina así al grafo que por lo
menos dos de sus vértices están conectados por dos
aristas. En el ejemplo se puede decir que el grafo es
multigrafo.
H
Y
P
F
Q

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones :
•Subgrafo: Dado un grafo G = (V, A), se denomina
subgrafo a aquel grafo G1 = (V1, A1) en el que se
cumple que V1 ⊂ V, V1 ≠ ∅ y que A1 ⊂ A. Además
cada arista de A1 es incidente con V1. En el
siguiente ejemplo se puede apreciar este concepto.

Unidad 6. Grafos
H
Y
P
F
Q
A
C
B
SubGrafo

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS:
Definiciones:
•Grafo etiquetado: Se dice que un grafo está
etiquetado si sus arista tienen algún valor (costo,
peso, longitud etc.).
H
Y
P
F
U Q
K
M10
55
9
25
8
20
60
18

Unidad 6. Grafos
GRAFOS DIRIGIDOS

Unidad 6. Grafos
• GRAFOS DIRIGIDOS:
Un grafo dirigido G, denominado también digrafo, es
aquel grafo en el que cada una de sus aristas a está
asignada a un par ordenado (u, v) de vértices de G, es
decir tienen una dirección asignada.
H
Y
P
F
Q

Unidad 6. Grafos
• ARCO O ARISTA DIRIGIDA:
Se denominan así a las aristas de un grafo dirigido.
Se expresan como u → v.
-u es el origen y v es el destino.
-u es predecesor de v y v es sucesor de u.
-u es adyacente hacia v y v es adyacente desde u.
u varco a:

Unidad 6. Grafos
• MATRIS DE AYACENCIA:
Los grafos dirigidos, por lo general se modelan mediante
arreglos de dos dimensiones de valores binarios (0/1 o
false/true). Son matrices cuadradas de orden n x n,
donde n es representa el número de vértices del grafo. A
estos arreglos se les denomina matrices de adyacencia
M. Las filas de la matriz se relacionan con los vértices de
origen, mientras que las columnas los vértices de destino,
y los valores de sus elementos M[u][v] tienen un valor
de 1 (uno) si existe un arco desde u hacia v y 0 (cero) si
no.

Unidad 6. Grafos
Ejemplo:
H
Y
P
F
U Q
K
M
F H K M P Q U Y
F 0 0 1 0 0 1 0 0
H 0 0 0 0 1 0 0 1
K 0 0 0 1 0 0 0 0
M 0 0 1 0 0 0 0 0
P 0 0 0 1 0 1 0 1
Q 0 0 1 0 1 0 0 0
U 0 0 0 0 0 0 0 0
Y 1 1 0 0 0 0 1 0

Unidad 6. Grafos
Variante (grafos etiquetados):
F H K M P Q U Y
F 0 0 12 0 0 9 0 0
H 0 0 0 0 6 0 0 0
K 0 0 0 10 0 0 0 0
M 0 0 0 0 0 0 0 0
P 0 0 0 5 0 1 0 8
Q 0 0 11 0 14 0 0 0
U 0 0 0 0 0 0 0 0
Y 7 2 0 0 0 0 2 0
H
Y
P
F
U Q
K
M
10
56
8
12
2
7
2
11
14
9

Unidad 6. Grafos
• LISTAS DE AYACENCIA:
Otra manera de modelar los grafos dirigidos, es por
medio de arreglos unidimensionales de n elementos,
donde n representa el número de vértices del grafo. Cada
elemento u del arreglo representan los vértices de origen
y su valor M[u] es un puntero a una lista ligada en donde
cada nodo representa el vértice de destino.

Unidad 6. Grafos
• LISTA DE AYACENCIA:
Ejemplo:
F
H
K
M
P
Q
U
Y
H
Y
P
F
U Q
K
M
K Q
P Y
M
K
M Q Y
K P
F H U

Unidad 6. Grafos
• LISTA DE AYACENCIA:
Ejemplo:
F
H
K
M
P
Q
U
Y
K/12 Q/9
P/6
M/10
M/5 Y/8
K/11 P/14
F/7 H/2 U/2
H
Y
P
F
U Q
K
M
10
56
8
12
2
7
2
11
14
9

Unidad 6. Grafos
DETERMINACIÓN DE
CAMINOS EN GRAFOS
DIRIGIDOS

Unidad 6. Grafos
• DETERMINACIÓN DE CAMINOS EN
GRAFOS DIRIGIDOS:
Existen muchos problemas en los que se requiere
conocer la existencia de caminos , de manera directa o
indirectamente, entre dos puntos. Por otro lado la
determinación del menor camino entre dos puntos es
igualmente útil.
Los grafos dirigidos son ideales para resolver este tipo de
problemas.

Unidad 6. Grafos
GRAFOS DIRIGIDOS:
Existen muchos algoritmos que permiten encontrar
caminos que partan de un punto de origen y que lleguen
a un punto destino recorriendo la menor distancia. Los
algoritmos más famosos son:
• El algoritmo de Dijkstra
• El algoritmo de Floyd
• El algoritmo de Warshall
Los tres algoritmos emplean una matriz de adyacencia

Unidad 6. Grafos
ALGORITMO DE DIJKSTRA

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE DIJKSTRA:
El algoritmo de Dijkstra determina la ruta más corta
entre un vértice de origen a cualquier otro vértice del
grafo dirigido.
Elementos requeridos:
• Una matriz de adyacencia M de n x n elementos en el
que se coloca en cada elemento M[u][v], la distancia
entre los puntos u y v, si no existe el camino se coloca
un valor muy grande (∞). No se consideran los bucles
(M[u][u] = 0).

Unidad 6. Grafos
• Una arreglo S que guardará los vértices una vez se
conozca el camino mínimo entre él y el origen.
Inicialmente contendrá el vértice origen. Se maneja
como un conjunto.
• Un arreglo D de n elementos, cada uno representa un
vértice del grafo, en el que se guarda la distancia entre el
origen y el vértice. Al terminar el algoritmo, los
elementos tendrán las distancias mínimas

Unidad 6. Grafos
Se tienen el conjunto de vértices V: 1(origen), 2,3,4,…, n
• Colocar el vértice origen en el conjunto S.
• Repetir desde 2 hasta n
o Elegir un vértice v en V-S tal que D[v] sea el mínimo
valor.
o Agregar v a S.
o Repetir para cada vértice w en V-S
Hacer D[w] ← mínimo ( D[w], D[v] + M[v][w] )

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE DIJKSTR:
Ejemplo 1:
11
1
3
2
5
4
64
3
3
5
6
2
1 2 3 4 5
1 0 4 11 ∞ ∞
2 ∞ 0 ∞ 6 2
3 ∞ 3 0 6 ∞
4 ∞ ∞ ∞ 0 ∞
5 ∞ ∞ 5 3 0

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE DIJKSTR:
Ejemplo 2:
4
1 2 3 4 5 6 7 8
1 0 2 ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞
2 4 0 4 ∞ 6 ∞ ∞ ∞
3 ∞ 6 0 ∞ ∞ 7 ∞ ∞
4 ∞ ∞ ∞ 0 5 ∞ 4
5 ∞ ∞ ∞ 6 0 4 ∞ 3
6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞
7 ∞ ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 0 5
8 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 8
7
1
32
5
4
4
3
6
5
6
2
6
7
8
6
4
2
5
1
3
4

Unidad 6. Grafos
ALGORITMO DE FLOYD

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE FLOYD:
El algoritmo de Floyd determina la ruta más corta entre
todos los vértices de un grafo dirigido. Así como la ruta a
seguir.
que se coloca en cada elemento M[u][v], la distancia
entre los puntos u y v, si no existe el camino se coloca
un valor muy grande (∞). No se consideran los bucles
(M[u][u] = 0).

Unidad 6. Grafos
• Una matriz de T de n x n elementos en el que se coloca
en cada elemento T[u][v], el vértice intermedio para ir
del vértice u al vértice v.

Unidad 6. Grafos
•Repetir para todo w desde 1 hasta n
oRepetir para todo u desde 1 hasta n
Repetir para todo v desde 1 hasta n
Si Muw+Mwv < Muv entonces
Muv ← Muw+Mwv
Tuv ← w

Unidad 6. Grafos
Ejemplo:
1 2 3
1 0 1 3
2 2 0 1
3 4 5 0
3
1
3
2
1
5
2
1
4
w u v
Muv Muw + Mwv
1 1 1
1 1
1 1
2
3
1 1
1
1
2
3
2
2
2
1 1
1
1
2
3
3
3
3
1 1
1
1
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
3
3
3
3
2
2
2
1 1
1
1
2
3
3
3
3
1
2
3
2
2
2
3
3
3
1
2
3
3
3
3
3
3
3

Unidad 6. Grafos
ALGORITMO DE WARSHALL

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE WARSHALL:
El algoritmo de Warshall determina si hay una ruta entre
todos los vértices de un grafo dirigido (no da distancias).
que se coloca en cada elemento M[u][v], el valor 1 si
hay un arco que une los vértices u y v, 0 si no.
• Una matriz de C de n x n, inicialmente igual a M donde
se guardará 1 si hay un camino entre los vértices u y v, 0
si no.

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE WARSHALL:
•Repetir para todo w desde 1 hasta n
oRepetir para todo u desde 1 hasta n
Repetir para todo v desde 1 hasta n
Si Cuv = 0 entonces
Cuv ← Cuw ∧ Cwv

Unidad 6. Grafos
GRAFOS NO DIRIGIDOS

Unidad 6. Grafos
GRAFOS NO DIRIGIDOS:
Los grafos dirigidos sirven para solucionar problemas de
ruteo en los que el costo de ir del vértice u al vértice v el
igual al de ir del vértice v al vértice u.
11
1
3
2
5
4
6
4
3
3
5
6
2

Unidad 6. Grafos
• ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA:
Un árbol de extensión mínima de un grafo no dirigido
G(V,A) se define como un árbol que conecta todos los
vértices V y está formado por las aristas de menor costo.
1
5
2
4
3
3
1
3
45
6
2
1
5
2
4
3
3
1
4
2

Unidad 6. Grafos
• ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA:
Si se necesita cablear una casa con un mínimo
de cable, entonces se necesita resolver un
problema de árbol de extensión mínima.

Unidad 6. Grafos
ALGORITMO DE PRIM

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE PRIM:
El algoritmo de Prim permite encontrar el árbol de
extensión mínima para un grafo.
• Una conjunto V que contiene los vértices del grafo.
V = {1,2,3…n}
• Un conjunto U que contendrá los vértices del grafo.
Inicialmente contiene el primer vértice, U = {1}.
• Un conjunto L de aristas que se formará con las aristas
de menor costo. Inicialmente la lista estará vacía, L=∅ .

Unidad 6. Grafos
•Mientras V ≠ U hacer
oElegir una arista (u, v) del grafo tal que:
Su costo sea mínimo y
u ∈ U y v ∈ V-U
oAgregar la arista (u, v) a L
oAgregar el vértice v al conjunto U

Unidad 6. Grafos
Ejemplo 1:
5
4
1
3
2
1
4
3
3
5
6
2
V = {1, 2, 3, 4, 5}
U = {1}
A = { 1-2, 1-3,
2-3, 2-4,
3-4, 3-5,
4-5}
L = {∅}

Unidad 6. Grafos
Ejemplo 2:
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
U = {1}
A = { 1-2, 1-3, 1-4,
2-4, 2-5, 3-4,
3-6, 4-5, 4-6,
4-7, 5-7, 6-7}
L = {∅}
3
6
1
5
2
1
4 3 10
5 6
2
4
7
2 7
1
48

Unidad 6. Grafos
ALGORITMO DE KRUSKAL

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE KRUSKAL:
El algoritmo de Kruskal permite encontrar también el
árbol de extensión mínima para un grafo.
• Un conjunto L que contiene las aristas del grafo y sus
costos.
• Un conjunto P de particiones. P = {{1}, {2}, {3},…{n}}

Unidad 6. Grafos
•Mientras haya vértices en P que pertenezcan a
particiones distintas hacer
o Elegir de L la arista (u, v) que tenga costo mínimo
o Si u y v están en particiones distintas entonces
Unir las particiones a las que pertenezcan u y v

Unidad 6. Grafos
Ejemplo 1:
5
4
1
3
2
1
4
3
3
5
6
2
P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}}
L = { 1-2(1), 1-3(3),
2-3(3), 2-4(6),
3-4(4), 3-5(2),
4-5(5)}

Unidad 6. Grafos
resultado:
5
4
1
3
2
1
4
3
2
P = {{1, 2, 3, 4, 5}}
L = { 2-4(6), 4-5(5)}

Unidad 6. Grafos
• ALGORITMO DE KUSKAL:
paso 1:
P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}}
L = { 1-2(2), 1-3(4), 1-4(1),
2-4(3), 2-5(10), 3-4(2),
3-6(5), 4-5(7), 4-6(8),
4-7(4), 5-7(6), 6-7(1)}
3
6
1
5
2
1
4 3 10
5 6
2
4
7
2 7
1
48
1-4(1) ← (u, v)

Unidad 6. Grafos
BÚSQUEDA EN AMPLITUD
BREADTH-FIRST

Unidad 6. Grafos
• BÚSQUEDA EN AMPLITUD:
La búsqueda en amplitud es un algoritmo que
permite encontrar un camino entre dos vértices de un
grafo.
El método consiste en que a partir del vértice inicial,
se van analizando los siguientes vértices “por
niveles” (los que están conectados al vértice inicial)
y así se va avanzando hasta encontrar el vértice meta.

Unidad 6. Grafos
• BÚSQUEDA EN AMPLITUD :
• Una lista P (pendientes) que contiene los vértices que
aun no se han visitado. Funciona como una cola
• Una lista V (visitados) que contiene los vértices que aun
no han sido visitados.

Unidad 6. Grafos
•Insertar el vértice inicial en la lista P
•Mientras P ≠ ∅ y no se llegó al vértice meta
oTomar en X un elemento de P (cola: atender)
oSi X ∉V entonces
Poner X en V (cola: llegada)
Determinar todos los vértices conectados a X
Si en estos vértices no se encuentra el vértice meta
• Colocarlos en P (cola: llegada)
• Si se encontró el vértice meta ⇒ ÉXITO
• De lo contrario ⇒ FRACASO

Unidad 6. Grafos
Ejemplo 1:
V = {∅}
P = { 1 }
6
5
2
4
3
7
8
9
10
11
12
1
Ruta de 1 a 12

Unidad 6. Grafos
BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD
DEPTH-FIRST

Unidad 6. Grafos
• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD:
La búsqueda en profundidad es un algoritmo que
permite encontrar también un camino entre dos
vértices de un grafo.
El método consiste en que a partir del vértice inicial,
se van analizando los siguientes vértices “por
adyacencia”, se toma un vértice adyacente al del
inicio y se repite el proceso con el vértice elegido
como inicial. Si al final no se encuentra la meta se
sigue con otro vértice adyacente al inicio.

Unidad 6. Grafos
• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD :
• Una lista P (pendientes) que contiene los vértices que
aun no se han visitado. Funciona como una cola
• Una lista V (visitados) que contiene los vértices que aun
no han sido visitados.
• Un valor entero LP que indica el límite de profundidad
permitido (el vértice inicial tiene profundidad cero, el
adyacente a él uno, etc. Si se llega al límite la ruta no
tiene éxito.

Unidad 6. Grafos
•Insertar el vértice inicial en la lista P
•Mientras P ≠ ∅ y no se llegó al vértice meta
oTomar en X un elemento de P (pila: push)
oSi X ∉V y su prof(X) ≤ LP entonces
Poner X en V (pila: push)
Determinar todos los vértices adyacentes a X
Si en estos vértices no se encuentra el vértice meta
• Colocarlos en P (pila: push)
• Si se encontró el vértice meta ⇒ ÉXITO
• De lo contrario ⇒ FRACASO

Unidad 6. Grafos
• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD :
Ejemplo 1:
V = {∅}
P = { 1 }
Ruta de 1 a 12
LP = 10
6
5
2
4
3
7
8
9
10
11
12
1

Unidad 6. Grafos
EJEMPLOS DE BÚSQUEDA EN
AMPLITUD Y PROFUNDIDAD

Unidad 6. Grafos
PROBLEMA DEL PUZZLE-8
3 2 1
4 5 6
8 7
1 2 3
8
7
4
6 5

Unidad 6. Grafos
32
1 4
56
8
7
1 2 3
8
7
4
6 5
ESTADO INICIAL ESTADO FINAL

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