Este documento presenta los conceptos básicos de la teoría de grafos, incluyendo definiciones de grafos, vértices, aristas y tipos de grafos. Explica el problema histórico de los siete puentes de Königsberg y cómo se resolvió utilizando la teoría de grafos. También cubre temas como matrices de adyacencia e incidencia, isomorfismo de grafos, ciclos de Euler y Hamilton. Finalmente, incluye ejercicios para identificar elementos en grafos.

1. MATEMÁTICAS DISCRETAS
TEORÍA DE GRAFOS
PROFESORA: ANGELA YANINA ROMERO
CESAR MENDOZA CRUZ
CITLALIC BECERRIL LÓPEZ
ANGELA JANETH JIMENEZ CHAVEZ
07/04/14
2AM

2. MENÚ
a) Grafos (Teoría)
▪ Partes de un grafo
▪ Grafo orientado
▪ Grafo isomorfo
▪ Subgrafo
▪ Grafo simple
▪ Grafo conexo
b) Los siete puentes de Kueiphof
c) Identificar elementos de un grafo
▪ ejercicios
d) Matríz de Adyacencia
▪ Ejercicios
e) Matríz de Incidencia
▪ Ejercicios
f) Isomorfismo de grafos
▪ Ejercicios
g) Ciclo de Euler
▪ Ejercicios
h) Ciclo de Hamilton
▪ Ejercicios

3. GRAFOS
TEORÍA DE GRAFOS
La teoría de grafos es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que
estudia las propiedades de los grafos estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices,
nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no.

4. un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos,
que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.
GRAFOS
¿QUÉ ES UN GRAFO?

5. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos
por líneas (aristas).
GRAFOS
¿CÓMO SE CONFORMA UN GRAFO?
Vértice
Arista

6. COMPLEMENTOS DEL GRAFO
Aristas paralelas: Dos o más aristas que son incidentes
(que se conectan) al menos dos vértices iguales.
Lazos: es un arista cuyos extremos inciden sobre el mismo
vértice.
Vértices adyacentes: los vértices son adyacentes cuando
comparten el mismo arista.
Aristas adyacentes: dos aristas son adyacentes si
tienen un vértice en común.

7. GRAFO ORIENTADO
Un grafo dirigido o grafo orientado, es un tipo de grafo en el cual el conjunto de las aristas tiene una dirección
definida, a diferencia del grafo generalizado, en el cual la dirección puede estar especificada o no.
V1 V2
V3

8. GRAFO SIMPLE
Grafo simple o simplemente grafo es aquel que acepta una sola una arista uniendo dos vértices cualesquiera. Esto es
equivalente a decir que una arista cualquiera es la única que une dos vértices específicos. Es la definición estándar
de un grafo. No contiene aristas paralelas, lazos ni aristas dirigidos.
v1 v2
v4 v3

9. Un grafo se dice conexo si, para cualquier par de vértices a y b en G, existe al menos una trayectoria (una
sucesión de vértices adyacentes que no repita vértices) de a a b.
GRAFO CONEXO
Grafo Conexo Grafo No Conexo

10. SUBGRAFO
Un subgrafo es un grafo que esta contenido dentro de otro grafo y que se obtiene eliminando algunas aristas y
vértices del grafo principal.
Grafo principal Subgrafo

11. GRAFO ISOMORFO
Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de
estos quedan unidos por una arista en común.
¿Cómo probarlo? Buscando una función biyectiva que convierta los vértices de uno en otro, preservando la estructura de las
aristas.

12. El problema de los puentes de
Königsberg, es un célebre problema
matemático, resuelto por Leonard
Euler en 1736 y cuya resolución dio
origen a la teoría de grafos. Su
nombre se debe a Königsberg, el
antiguo nombre que recibía la
ciudad rusa de Kaliningrado.
LOS 7
PUENTES DE
KÖNIGSBERG

13. EL PROBLEMA
El problema fue formulado originalmente de manera informal, consistía en responder a la siguiente pregunta:
Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a
través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, de modo de
recorrerlas todas pasando sólo una vez por cada puente, y regresando al mismo punto de origen?

14. LA SOLUCIÓN
Nombremos cada porción de tierra
firme con una letra mayúscula en rojo y
cada uno de los puentes con una letra
minúscula en azul.
Podemos considerar cada porción de
tierra firme como un punto y cada uno
de los puentes como una línea. De esta
manera, el mapa es equivalente a este
diagrama:
La resolución del problema de los
puentes de Königsberg equivale a poder
trazar la red dibujada más arriba sin
levantar tu lápiz del papel y sin volver a
trazar ningún arco. A este trayecto lo
denominamos la red.
Euler demostró que no se puede
recorrer una red si posee más de dos
vértices con grados que sean números
impares. La red que representa el
problema de los puentes de Königsberg
tiene cuatro vértices impares.
La respuesta es negativa, es decir, no existe una ruta con estas
características. El problema puede resolverse aplicando un método
de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos
existentes.

15. Identificar los elementos del grafo
Aristas paralelas
Lazos
Vértices aislados
Vértices adyacentes
Aristas adyacentes
Grado del vértice
EJERCICIOS

16. IDENTIFICAR:
aristas paralelas, lazos, vértices aislados, vértices adyacentes, aristas adyacentes y grados de los vértices.
v5
v3
v4 v2
v1
e3
v5
e1
e4
e5
e6
e2
Aristas paralelas: Lazos: Vértices aislados:
Vértices adyacentes: Aristas adyacentes:
Grados de los vértices:

17. IDENTIFICAR:
aristas paralelas, lazos, vértices aislados, vértices adyacentes, aristas adyacentes y grados de los vértices.
v3
v2v1
v4
v5
e2
e1
e3
e4
e5
e6
e8
e7
Aristas paralelas: Lazos: Vértices aislados:
Vértices adyacentes: Aristas adyacentes:
Grados de los vértices:

18. IDENTIFICAR:
aristas paralelas, lazos, vértices aislados, vértices adyacentes, aristas adyacentes y grados de los vértices.
Aristas paralelas: Lazos: Vértices aislados:
Vértices adyacentes: Aristas adyacentes:
Grados de los vértices:
v2
v1v5
v4
v5
e3
e2
e5
e8
e6e7
e4
v3
e1

19. MATRIZ DE
ADYACENCIA
Definición y ejemplos.

20. MATRIZ DE ADYACENCIA
Construcción de la matriz a partir de un grafo:
1. Se crea una matriz cero, cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo.
2. Por cada arista que une a dos nodos, se suma 1 al valor que hay actualmente en la ubicación correspondiente de la matriz. Si tal arista es un bucle y el
grafo es no dirigido, entonces se suma 2 en vez de 1.
3. Finalmente, se obtiene una matriz que representa el número de aristas (relaciones) entre cada par de nodos (elementos).
La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias.
GRAFOS

21. MATRIZ DE
INCIDENCIA
Definición y ejemplos.

22. GRAFOS
La matriz de incidencia es una matriz binaria (sus elementos sólo pueden ser unos o ceros), que se utiliza como una
forma de representar relaciones binarias.
MATRIZ DE ADYACENCIA
Construcción de la matriz a partir de un grafo:
1. Las columnas de la matriz representan las aristas del grafo.
2. Las filas representan a los distintos nodos.
3. Por cada nodo unido por una arista, ponemos un uno (1) en el lugar correspondiente, y llenamos el resto de las ubicaciones con ceros (0).

23. IDENTIFICAR:
Matriz de adyacencia e incidencia de los siguientes grafos.
v5
v3
v4 v2
v1
e3
v5
e1
e4
e5
e6
e2

24. IDENTIFICAR:
Matriz de adyacencia e incidencia de los siguientes grafos.
v3
v2v1
v4
v5
e2
e1
e3
e4
e5
e6
e8
e7

25. IDENTIFICAR:
Matriz de adyacencia e incidencia de los siguientes grafos.
v2
v1v5
v4
v5
e3
e2
e5
e8
e6e7
e4
e1

26. ISOMORFISMO
DE
GRAFOS
Ejercicios

27. IDENTIFICAR:
Cuales de los siguientes grafos son isomorfos (mediante la matriz de adyacencia).
e
b c
d
a a
bc
de

28. IDENTIFICAR:
Cuales de los siguientes grafos son isomorfos (mediante la matriz de adyacencia).
a b
c d
a
b
c
d

29. IDENTIFICAR:
Cuales de los siguientes grafos son isomorfos (mediante la matriz de adyacencia).
b
cd
b
d e
a a c
f
e f

30. Definición y ejemplos
CICLO DE
EULER

31. Un ciclo o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las aristas de un grafo tan solo una única vez, siendo condición
necesaria que regrese al vértice inicial de salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o de salida y vértice final o
meta). Una definición más formal lo define como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo solamente una vez". Se debe
tener en cuenta que no importa la repetición de vértices mientras no se repitan aristas.
CICLO DE EULER
GRAFOS

32. CICLO DE
HAMILTON
Definición y ejemplos

33. GRAFOS
Ciclo que contiene todos los vértices de un grafo G. Es una trayectoria que empieza y termina en el mismo vértice y pasa por cada
vértice una vez.
Es un ciclo de Hamilton si m >= ½ (n2 – 3n + 6)
Donde m = Aristas y n = Vértices
CICLO DE HAMILTON

34. IDENTIFICAR:
Cuales grafos admiten ciclo de Hamilton o ciclo de Euler
b
a c
d
e
v1
v5
v2
v4 v3

35. IDENTIFICAR:
Cuales grafos admiten ciclo de Hamilton o ciclo de Euler
b
ce
b
a
c
e
f
d
ga
f
d

36. BIBLIOGRAFÍA
www.aulamatematicas.org
www.commons.wikimedia.org
www.derivadas.es
www.taringa.net
www.planetseed.com
www.es.scribd.com
www.mate.cucei.udg.mx
www.buenastareas.com
www.matediscreta.8k.com
www.compdiscretas.wordpress.com
www.help.sap.com
www.teoriadegrafos.blogspot.mx
www.ecured.cu
Gracias por su atención 
Angela Janeth Jiménez Chávez
Citlalic Becerril López
Mendoza Cruz Cesar Antonio
07/04/14