Relaciones y Grafos Producto cartesiano Relación binaria Representaciones de Relaciones Diagrama de flechas Propiedades de las relaciones (reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, anti simétrica, transitiva) Relaciones de equivalencia (cerraduras, clases de equivalencia, particiones) Funciones (inyectiva, suprayectiva, biyectiva)

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sistemas #47
Relaciones y Grafos
Integrante: Graicelys Volcán 27600737.
San Cristóbal, Junio, 2020.

2. Un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices (o nodos) y una
selección de segmentos que unen pares de vértices, llamados aristas que
pueden ser dirigidos o no dirigidos. Típicamente, un grafo se representa
mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las
aristas).
Los grafos son unas representaciones gráficas de problemas que se
plantean en la vida real y que con una serie de fórmulas y algoritmos que nos
llevan a encontrar soluciones óptimas más rápidamente.Para resolver este
tipo de problemas se utilizan diferentes algoritmos que veremos más
adelante.
Introducción

3. Es un vínculo o una correspondencia. En el caso
de la relación matemática, se trata de la
correspondencia que existe entre dos conjuntos: a
cada elemento del primer conjunto le corresponde
al menos un elemento del segundo conjunto.
Cuando a cada elemento de un conjunto le
corresponde solo uno del otro, se habla de
función. Esto quiere decir que las funciones
matemáticas siempre son, a su vez, relaciones
matemáticas, pero que las relaciones no siempre
son funciones.
En matemáticas y ciencias de la
computación, un grafo (del griego
grafos: dibujo, imagen)1 es un conjunto
de objetos llamados vértices o nodos
unidos por enlaces llamados aristas o
arcos, que permiten representar
relaciones binarias entre elementos de
un conjunto.2​Son objeto de estudio de
la teoría de grafos.
Relación
Grafos

4. Propiedades de grafos
• Adyacencia: dos aristas son
adyacentes si tienen un vértice en
común, y dos vértices son adyacentes
si una arista los une.
• Incidencia: una arista es incidente a un
vértice si ésta lo une a otro.
• Ponderación: corresponde a una
función que a cada arista le asocia un
valor (costo, peso, longitud, etc.), para
aumentar la expresividad del modelo.
• Etiquetado: distinción que se hace a
los vértices o aristas mediante una
marca que los hace unívocamente
distinguibles del resto.
Representación
• Matriz de adyacencia (MA):
Se utiliza una matriz de
tamaño n × n donde las filas
y las columnas hacen
referencia a los vértices
para almacenar en cada
casilla la longitud entre
cada par de vértices del
grafo.
• Lista de adyacencia (LA):
Se utiliza un vector de
tamaño n (un elemento por
cada vértice) donde LA[i]
almacena la referencia a
una lista de los vértices
adyacentes a i. En una red
esta lista almacenará
también la longitud de la
arista que va desde i al
vértice adyacente.

5. Producto cartesiano
En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación,
que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados
que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado
pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo
conjunto.
Ejemplo
los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = { a , b }, su producto cartesiano es:
A × B = {(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2, b ), (3, a ), (3, b ), (4, a ), (4, b )}
Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un
elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre
de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por
coma.
Entonces:
El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo
conjunto, identificado como A x B , y consistirá de un conjunto de parejas
ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.

6. Propiedades
• El conjunto vacío actúa como el
cero del producto cartesiano, pues
no posee elementos para construir
pares ordenados: Un producto
cartesiano donde algún factor sea el
conjunto vacío es vacío. En
particular.
• El producto cartesiano de dos
conjuntos no es conmutativo en
general, salvo en casos muy
especiales. Lo mismo ocurre con la
propiedad asociativa.
Casos
• Caso finito:Dado un número finito
de conjuntos A1, A2, ..., An, su
producto cartesiano se define como
el conjunto n-tuplas cuyo primer
elemento está en A1, cuyo segundo
elemento está en A2, etc.
• Caso infinito: En el caso de una
familia de conjuntos arbitraria
(posiblemente infinita), la manera de
definir el producto cartesiano
consiste en cambiar el concepto de
tupla por otro más cómodo. Si la
familia está indexada, una
aplicación que recorra el conjunto
índice es el objeto que distingue
quién es la «entrada k-ésima»:

7. Relación binaria
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b,
de dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está
relacionado con b. Esta relación se puede denotar de diversas formas:
• Como pares ordenados (a, b).
• Indicando que aRb.
• Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un
conjunto lo denotamos como R(M).

8. Ejemplo
Sea el conjunto A={el conjunto de los números
naturales}, una relación binaria del conjunto de
A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo
de.
De tal forma que, por ejemplo 4 está
relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de
2), por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados
escribiremos a no está relacionado con b
tachando la R. Un ejemplo de dos elementos
que no están relacionados con esta relación
son 3 y 5.
Formas de
representaciones
• El diagrama cartesiano: donde
representaremos los ejes
cartesianos, y en cada eje los
elementos de cada conjunto.
Representaremos las relaciones por
medio de puntos ( si el eje es
similar al eje de coordenadas) o por
medio de cruces si lo
representamos mediante
cuadrículas.
• Diagrama sagital o
flechas (mediante
diagramas de Venn):
representaremos los
elementos del conjunto
dentro del círculo y
representaremos las
relaciones mediante
flechas.

9. El diagrama
cartesiano
Diagrama sagital
o flechas

10. Representación Gráfica de
Relaciones
Una gráfica es el conjunto de todos los puntos
xy en el plano xy que satisfacen una relación
dada.
Un punto a es un intercepto en x de una relación
si el punto (a,0) pertenece a su gráfica.
Nota: Todos los puntos donde y es igual a cero
pertenecen al eje de x. Como consecuencia, si el
punto (a,0) pertenece a la gráfica y al eje de x
entonces es un intercepto con el eje de x o un
intercepto en x.
Un punto a es un intercepto en y de una relación
si el punto (0,a) pertenece a su gráfica.
Nota: Todos los puntos donde x es igual a cero
pertenecen al eje de y. Como consecuencia, si el
punto (0,a) pertenece a la gráfica y al eje de y
entonces es un intercepto con el eje de y o un
intercepto en y.

11. Diagrama de flechas
El diagrama de flechas es el indicador de orden de cómo deben ser ejecutadas
las actividades de un determinado proyecto, ya que permite planificar y
controlar a plenitud su desarrollo por medio de la identificación de las
diversas actividades que lo componen y del proceso crítico que se representa
por medio de red.
Este diagrama se conoce del mismo modo con otras denominaciones, entre
ellas están la actividad diagrama de red, red de actividades, diagrama de nodo
o método de la ruta crítica.
Se encuentra fundamentado por la aplicación metodológica del camino crítico.
Su objetivo es darle facilidad a la planificación y programación de los
proyectos que sean altamente complejos y de gran magnitud y comprende una
simplificación del método PERT.

12. ¿Para qué sirve un Diagrama de Flechas?
Este tipo de diagrama brinda la posibilidad de poder planificar y controlar
correctamente el desarrollo y progreso de cualquier proyecto que esté
formado por una gran diversidad de actividades. Permite que las
actividades vinculadas al proyecto, la secuencia y el tiempo de duración,
se conozcan.
Además, proporciona el total control del proyecto, permitiendo afrontar las
dificultades que se presenten en el transcurso de la ejecución del mismo,
lo que se puede demostrar en un solo documento. Esta técnica la puede
utilizar cualquier persona que sea parte de una organización como una
favorable herramienta que se involucre en el trabajo diario. Esta
herramienta sirve para hacer lo siguiente:
• Mostrar en un solo documento todo el desarrollo de un determinado
proyecto.
• Dar a conocer la secuencia de las actividades ejecutadas y su duración.
• Facilitar el control del proyecto.
• Reajustar de forma continua para que se adapte a los cambios reales.
• Realizar planificaciones acertadas y determinar prioridades.
• Coordinar varias actividades al mismo tiempo con la intención de
optimizar la ejecución y el tiempo de duración del proyecto.

13. Propiedades
de las
relaciones
Reflexiva
Irreflexiva
Simétrica
Asimétrica
Anti simétrica
Transitiva
Determina la posible relación de un elemento
con sigo mismo, en todos los casos.
La relación R es irreflexiva si ningún
elemento a de A está relacionado con sigo
mismo.
Determina la posible de que si un elemento
a esta relacionado con otro b el b este
relacionado con el a, en todos los casos
si existe el elemento a que esta
relacionado con b y b esta relacionado
con a y existe el elemento c.
El elemento a esta relacionado con b,
entonces b no esta relacionado con a.
La posible relación de un elemento con
un segundo, la de este segundo con un
tercero y la del primero con el tercero, en
todos los casos

14. Relaciones de equivalencia Un conjunto permite
establecer una relación
entre los elementos del
conjunto que
comparten cierta
característica o
propiedad. Esto permite
reagrupar dichos
elementos en clases de
equivalencia, es decir,
«paquetes» de
elementos similares.
Esto posibilita la
construcción de nuevos
conjuntos «añadiendo»
todos los elementos de
una misma clase como
un solo elemento que
los representará y que
define la noción de
conjunto cociente.

15. Cerradura
Es un fenómeno que relaciona dos
elementos de un conjunto con una
operación, donde la condición
necesaria es que, después de ser
procesados los 2 elementos bajo
dicha operación, el resultado
también pertenezca al conjunto
inicial.
Clases de equivalencia
Cuando los elementos de algún
conjunto S tienen una noción de
equivalencia definida en ellos
(formalizada como una relación de
equivalencia), entonces se puede
dividir naturalmente el conjunto S en
clases de equivalencia. Estas clases
de equivalencia se construyen de
modo que los elementos a y b
pertenecen a la misma clase de
equivalencia si y solo si son
equivalentes.
Ejemplos
• Si X es el conjunto de todos los
automóviles, y ~ es la relación de
equivalencia "tener el mismo color
que", entonces una clase de
equivalencia particular consiste
en todos los automóviles verdes.
X/~ podría identificarse
naturalmente con el conjunto de
todos los colores de un automóvil.
• Sea X el conjunto de todos los
rectángulos en un plano, y ~ la
relación de equivalencia "tiene la
misma área que". Para cada
número real positivo A habrá una
clase de equivalencia de todos los
rectángulos que tienen área A

16. Particiones
En matemáticas discretas, una
partición de un entero positivo n es
una forma de descomponer n como
suma de enteros positivos. Dos sumas
se considerarán iguales si solo difieren
en el orden de los sumandos.
Ejemplo
Las cinco particiones del número 4 serían:
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
Y las once particiones del número 6 serían:
6 = 5 + 1 = 4 +2 = 4 + 1 + 1 = 3 + 3 = 3 + 2 + 1 =
= 3 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 1 + 1 = 2 + 1
+ 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1

17. Inyectiva
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que
tengan la misma imagen. Formalmente:
∀a,b∈Domf , si fa= fb⇒a=b
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio
de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos
son necesariamente iguales.

18. Sobreyectivas
Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva,
cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:
∀y∈Codf ∃x∈Domf / fx=y
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del
dominio tal que y es la imagen de x por f.
Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición,
en ellas Codf=ℝ.

19. Biyectivas
Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo
tiempo. Formalmente:
∀y∈Codf ∃!x∈Domf / fx=y
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único
elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f

20. Conclusión
Los grafos sirven para modelizar matemáticamente una estructura de
datos. La teoría de grafos es un instrumento utilizado en la aplicación de
estos métodos, permitiéndonos evaluar las relaciones entre los puntos del
espacio conectados por la red.
El análisis de grafos permite medir propiedades territoriales como la
conexión de la red, la conectividad e indicadores de homogeneidad e
isotropía. Los indicadores más utilizados son diferentes expresiones de la
accesibilidad.

21. Bibliografías
Definición.de (2020). [Página Web en línea ]. Disponible: https://definicion.de/relacion-matematica/
[Consulta: 2020, junio,10].
Wikipedia (2020). [Página Web en línea ]. Disponible: https://es.wikipedia.org/wiki/Grafo [Consulta:
2020, junio,10].
Wikipedia (2020). [Página Web en línea ]. Disponible:
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesiano [Consulta: 2020, junio,10].
Wikipedia (2020). [Página Web en línea ]. Disponible:
https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_equivalencia [Consulta: 2020, junio,10].
Wikipedia (2020). [Página Web en línea ]. Disponible:
https://es.wikipedia.org/wiki/Clase_de_equivalencia [Consulta: 2020, junio,10].
Wikipedia (2020). [Página Web en línea ]. Disponible:
https://es.wikipedia.org/wiki/Partici%C3%B3n_(teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros) [Consulta:
2020, junio,10].
Prpfesor en linea.(2015) [Página Web en línea ]. Disponible:
https://www.profesorenlinea.cl/matematica/Producto_cartesiano.html [Consulta: 2020, junio,10].
Web y empesas(2019) [Página Web en línea ]. Disponible:
https://www.webyempresas.com/diagrama-de-flechas/ [Consulta: 2020, junio,10].
wikibooks(2020) [Página Web en línea ]. Disponible:
https://es.wikibooks.org/wiki/Fundamentos_de_la_Matem%C3%A1tica/Propiedades_de_las_relacion
es_binarias_homog%C3%A9neas
[Consulta: 2020, junio,10].
Lifeder(2019) [Página Web en línea ]. Disponible: https://www.lifeder.com/propiedad-cerradura-
algebra/ [Consulta: 2020, junio,10].
Fiscalab(2020) [Página Web en línea ]. Disponible: https://www.fisicalab.com/apartado/f-inyectiva-
sobreyectiva-
biyectivahttps://es.wikibooks.org/wiki/Fundamentos_de_la_Matem%C3%A1tica/Propiedades_de_las_
relaciones_binarias_homog%C3%A9neas
[Consulta: 2020, junio,10].