Artículo de investigación de la asignatura Matemática Avanzada

1. Mathematical Thinking and Learning
Expanding Notions of “Learning
Trajectories” in mathematics Education.
Eric Weber, Candace Walkington & William McGalliard
ANTÓN GRUESO, MIRIAM
INVESTIGACIÓN EN PENSAMIENTO MATEMÁTICO AVANZADO (2017-2018)

2. Expanding Notions of “Learning Trajectories” in
mathematics Education
1. Introducción
2. Progresiones de aprendizaje
3. Trayectorias de aprendizaje
4. Trayectoria hipotética de aprendizaje
5. Tres perspectivas teóricas sobre aprendizaje
6. Principios y perspectivas
7. Ejemplo
8. Discusión e implicaciones
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ÍNDICE

3. 1. Introducción
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 Últimos 20 años mayor importancia en investigación
 Representaciones del aprendizaje
 Dependencia de la teoría para describir trayectorias

4. 1. Introducción
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¿De qué manera una definición particular de aprendizaje afecta a la
construcción, la interpretación y el uso de una trayectoria o progresión
de aprendizaje?
¿Qué cuenta como aprendizaje en una trayectoria o progresión de
aprendizaje?
 El documento pretende responder a estas preguntas:

5. 2. Progresiones de aprendizaje
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 Duschl, Maeng y Sezen (2011) distinguen:
validación y evolución
 Validación y progresión (niveles de logro)
 Representaciones del aprendizaje basadas en puntos de referencia

6. 3. Trayectorias de aprendizaje
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 Duschl, Maeng y Sezen (2011) distinguen:
validación y evolución
 Evolución y trayectoria
 Representaciones del aprendizaje que detalla el surgimiento del
conocimiento matemático en aulas, entrevistas y otros

7. 4. Trayectoria hipotética de aprendizaje
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4 principios
Simon & Tzur, 2004
Generación basada en la comprensión
del conocimiento de los estudiantes
Tareas matemáticas proporcionan herramientas
para promover el aprendizaje y son una parte
clave del proceso de instrucción
Es un vehículo para planificar el
aprendizaje de conceptos matemáticos
Por su naturaleza hipotética, el docente participa
regularmente en la modificación de cada aspecto
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8. 5. Tres perspectivas teóricas sobre
aprendizaje
 La mayoría de los estudios se centran en el aprendizaje desde la perspectiva constructivista
radical
 La adopción de una teoría particular ignora otros aspectos del proceso de aprendizaje
 Se describen tres perspectivas teóricas: constructivismo radical, ciencia cognitiva y
aprendizaje situado
 Proporcionan contrastes interesantes y son muy utilizadas en la investigación educativa
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9. 5. Tres perspectivas teóricas sobre
aprendizaje
 Basada en la noción más general de constructivismo de Piaget
 Von Glasersfeld: asimilación y acomodación (equilibrio)
 Aprendizaje: desarrollo de interpretaciones de la experiencia basadas en la asimilación y acomodación
 Conocimiento: estructuras cognitivas (esquemas) con los que el individuo interpreta y da sentido a su experiencia
 Trayectoria de aprendizaje: se centra en el desarrollo de esquemas e instrucción, en las tareas y pensamiento del
estudiante, y en cambios sutiles de la comprensión y pequeños aspectos
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Constructivismo radical

10. 5. Tres perspectivas teóricas sobre
aprendizaje
 Marco de conocimiento-aprendizaje-interacción (KLI) (Koedinger, Corbett y Perfetti, 2012)
 Aprendizaje: adquisición y modificación de los componentes del conocimiento
 Procesos: (1) de creación de memoria y fluidez, (2) de inducción y refinamiento y (3) de comprensión y creación de sentido
 Componentes del aprendizaje sólido: (1) que se retiene en el tiempo, (2) que se transfiere a otros contextos, y (3) que se prepara para el aprendizaje futuro
 Conocimiento: red modular interconectada de unidades cognitivas que se ubica en la mente de un individuo
 Trayectoria de aprendizaje: conjunto de puntos de referencia derivados del análisis de tareas cognitivas que permita a los
estudiantes interactuar con objetos matemáticos en formas cada vez más abstractas y generalizables para apoyar el aprendizaje
sólido en los tres tipos de procesos
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Ciencia cognitiva

11. 5. Tres perspectivas teóricas sobre
aprendizaje
 Bowers, Cobb y McClain (1999) identificaron tres aspectos que se desarrollan en el aula de matemáticas:
 (1) las normas sociales, las expectativas generales de participación negociadas por docentes y estudiantes
 (2) normas sociomatemáticas
 (3) prácticas matemáticas, o "medios para simbolizar, argumentar y validar en situaciones específicas de tareas”
 Aprendizaje: situado dentro de las prácticas de una comunidad de aprendices
 Conocimiento: normas y prácticas de la comunidad
 Trayectoria de aprendizaje: conjeturas sobre el desarrollo matemático colectivo de la comunidad
del aula
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Aprendizaje situado

12. 6. Principios y perspectivas
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Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado
La generación de una HLT se
basa en la comprensión del
conocimiento actual de los
estudiantes involucrados.
Las HLT se enfocan en crear un modelo de lo que
un estudiante sabe sin considerar ese modelo como
"correcto" porque esa determinación no está dentro
de los límites del constructivismo radical. Estos
modelos generalmente se enfocan en un estudiante
"epistémico", alguien a quien se asigna ciertas
formas de pensar. El investigador usa literatura
existente y / o trabaja con una muestra de
estudiantes para identificar esquemas que parezcan
comunes. Este modelo ayuda a predecir las
asimilaciones y adaptaciones que pueden ocurrir
durante el proceso de aprendizaje.
La generación de la HLT tiene en cuenta tanto los
estados de conocimiento actuales de los
estudiantes, como los modelos teóricos y empíricos
de la actuación de expertos y novatos (a partir de
análisis de tareas cognitivas). Esta trayectoria se
usa como una guía sobre cómo mover a los
alumnos desde el nivel principiante hasta el experto.
También se considera la complejidad e
interactividad de los componentes de conocimiento
en cuestión.
Al desarrollar una HLT, las conjeturas sobre el
desarrollo colectivo de la comunidad matemática se
toman en cuenta al enfocarse en las prácticas
compartidas en el aula. Estas prácticas son un
punto de partida para desarrollar nuevas normas.
Estas nuevas normas pueden ser las que comparte
una comunidad más amplia de profesionales de las
matemáticas. Sin embargo, las "matemáticas
escolares" representan su propio sistema cuyas
normas, estándares y prácticas son diferentes a las
de otros contextos.
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13. 6. Principios y perspectivas
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Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado
Una HLT es un vehículo para
planificar el aprendizaje de
conceptos matemáticos
particulares.
Las HLT se construyen a partir de los esquemas
iniciales de los estudiantes para proponer y evaluar
cómo se desarrollan esos esquemas hasta varios
niveles de sofisticación. El desarrollo tiene en cuenta
las asimilaciones y adaptaciones para explicar los
cambios detallados en el conocimiento de los
estudiantes, así como los cambios globales en su
comprensión.
Las HLT se centran en planificar secuencias que
permitan a los alumnos captar abstracciones
matemáticas flexibles y portátiles que se transfieren,
se conservan a lo largo del tiempo y se preparan
para el aprendizaje futuro (es decir, se centran en
resultados de aprendizaje sólidos). Aquí el
aprendizaje de los conceptos particulares no es
todo: la HLT planificada debería permitir la
transferencia y buscar preparar a los estudiantes
para el aprendizaje futuro promoviendo
comportamientos metacognitivos productivos.
Las HLT se crean a partir de prácticas grupales
iniciales y se tiene en cuenta que las prácticas
evolucionarán a través de la participación en la
actividad. Las HLT involucran una trayectoria de
prácticas de participación (normas sociales, normas
sociomatemáticas y prácticas matemáticas) como
miembros de una comunidad, o las formas en que la
participación en la actividad contribuye al
crecimiento como estudiante y la participación futura
en otros sistemas de actividad de valor para el
estudiante.
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14. 6. Principios y perspectivas
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Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado
Las tareas matemáticas
proporcionan herramientas para
promover el aprendizaje de
conceptos matemáticos
particulares y son, por lo tanto,
una parte clave del proceso de
instrucción.
Las tareas matemáticas están destinadas a
fomentar el desarrollo de esquemas existentes, a
medida que se desarrollan para formar una HLT. En
algunos casos, los esquemas de los estudiantes
serán lo suficientemente sofisticados como para que
el alojamiento no tenga lugar. En otros, la tarea crea
la necesidad de un cambio en los esquemas
existentes.
Las tareas matemáticas deben diseñarse para
promover y evaluar los diferentes tipos de
aprendizaje: memoria / fluidez, inducción /
refinamiento y comprensión / creación de sentidos.
Esta perspectiva también acentúa el coste de tiempo
de diferentes métodos de instrucción, señalando
compensaciones importantes entre la cantidad de
aprendizaje y el tiempo de instrucción gastado.
Las tareas de matemáticas actúan como
herramientas que respaldan el surgimiento de
prácticas de participación que estarían basadas en
formas cada vez más sofisticadas de actuar sobre
ideas matemáticas. Las comunidades tienen el
poder de moldear lo que cuenta como matemática,
incluido el significado de terminología, conceptos y
principios, y cómo pueden aplicarse.
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15. 6. Principios y perspectivas
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Principio Constructivismo radical Ciencia cognitiva Aprendizaje situado
Debido a la naturaleza hipotética
el docente participa regularmente
en la modificación de cada
aspecto de la HLT.
El rol del docente es actuar como un facilitador que
respalda el uso y la discusión de tareas a medida que
se desarrollan los esquemas de los estudiantes para
desarrollar una idea matemática. El docente es
sensible a los estudiantes en el momento en que
toman sentido, y toman decisiones.
El papel del docente no está bien definido en este
marco. Sin embargo, en general, la función del
docente es facilitar la adquisición por parte del
alumno de los contenidos que representan el dominio
de interés. El docente facilita la trayectoria del
desarrollo de los contenidos, al mismo tiempo que
utiliza el sentido común y la experiencia profesional
para adaptarse a cualquier problema específico que
surja y que la trayectoria no pueda abordar.
El docente puede asumir funciones que van desde la
de un facilitador hasta la de una autoridad en
prácticas comunitarias. El maestro es un miembro de
la comunidad conocedor que apoya el desarrollo de
prácticas matemáticas. Los estudiantes y los
maestros co-construyen prácticas matemáticas a
través de la interacción continua.
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16. 7. Ejemplo
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Día 1
 Sarah dibuja 1/4 dividiendo un rectángulo en 4 partes y sombreando una de ellas
 El profesor pregunta cuántos octavos hay en un cuarto
 Sarah divide cada parte por la mitad
 Paul dice 2/8 y la clase está de acuerdo
 El profesor pregunta si entonces 1/4 y 2/8 son equivalentes
 Sarah se calla porque no parece muy convencida
 Otros compañeros explican que agregar líneas no cambia la cantidad, por lo que son
equivalentes
 Sarah asiente

17. 7. Ejemplo
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Día 2
 El profesor pide que resuelvan 5/9 = ¿?/90 sin usar diagramas
 Sarah pregunta a Joe
 Joe le dice que las 5 piezas sombreadas se tienen que dividir en 10 partes cada una
 Sarah le dice que cada una de las 9 tiene que ser dividida en 10, al igual que cada una
de las 5
 Joe anuncia a la clase lo que han descubierto
 El profesor pregunta si entonces 5/9 y 50/90 son equivalentes
 Todos dicen que sí
 Sarah explica por qué

18. 7. Ejemplo
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Día 3
 El profesor pide que resuelvan 5/9 = ¿?/18 y 5/9 = ¿?/54 sin usar diagramas y que describan el procedimiento general para
encontrar fracciones equivalentes
 Sarah dice que en el primer caso cada pieza se dividirá en 2 y el numerador será 10. En el segundo caso se dividirá en 6 y el
numerador será 30
 Escribe que se pueden generar fracciones equivalentes calculando en cuantas piezas debe dividir cada pieza
 El profesor le pregunta cómo sabría en cuántas piezas tiene que dividir cada parte
 Joe dice que se tienen que comparar los dos denominadores
 Carole dice que se ha dado cuenta de que el número por el que multiplicas la parte de abajo es por el que multiplicas la parte
de arriba
 El profesor pregunta a la clase si están de acuerdo
 Sarah dice que no entiende por qué Carole habla de multiplicación cuando se está dividiendo una forma
 Algunos de la clase también están confusos y otros están de acuerdo con Carole, piensan que es muy buena en matemáticas

19. 7. Ejemplo
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Análisis desde la perspectiva del constructivismo radical
 Adaptaciones y asimilaciones sutiles
 La dependencia de la comparación de áreas sombreadas posteriormente se internaliza
 Una trayectoria de aprendizaje podría comenzar con la forma de pensar existente e
identificar el esquema que comprende ese significado
 Se considera clave la identificación de perturbaciones que conducen a la reorganización del esquema
existente

20. 7. Ejemplo
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Análisis desde la perspectiva de la ciencia cognitiva
 Sarah parece tener fluidez realizando cálculos pero su respuesta es más lenta cuando se quita el
apoyo del diagrama
 No proporciona un algoritmo numérico general como Carole, su explicación permanece
estrechamente ligada al contexto específico (malentendido con la multiplicación)
 Su aprendizaje aún no es sólido
 Una progresión de aprendizaje podría comenzar con generar fracciones equivalentes usando
modelos concretos (imágenes). A medida que Sarah avanza por etapas, debería depender
menos del andamiaje de lo visual, siguiendo un enfoque de formalización progresiva

21. 7. Ejemplo
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Análisis desde la perspectiva del aprendizaje situado
 Evidencias que justifican los cambios en las identidades de los estudiantes, las prácticas
matemáticas y normas de clase (se debería hacer referencia a todos)
 Cambio potencial en la identidad de Sarah
 Una trayectoria de aprendizaje podría comenzar con los estudiantes que consideran los
problemas de forma independiente y no están dispuestos a participar en una discusión o
debate y, a medida que la trayectoria de aprendizaje evoluciona, se prestará especial atención
a cómo los estudiantes comienzan a negociar su lugar dentro de la comunidad y cómo
desarrollan y adoptan conjuntamente las prácticas matemáticas

22. 8. Discusión e implicaciones
 Cinco sugerencias para investigadores:
1. Describir completamente una perspectiva teórica clara sobre el aprendizaje
2. Aclarar la trayectoria de aprendizaje o progresión del aprendizaje
3. Definir el propósito del estudio en el que aparece una trayectoria o una progresión
4. Articular el desarrollo de la trayectoria o progresión inicial
5. Explicar la evaluación de la trayectoria o progresión
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23. 8. Discusión e implicaciones
 Futuras líneas de investigación sobre las siguientes cuestiones:
(a) Trayectorias de Aprendizaje y Progresiones de Aprendizaje, ¿hay sólo una?
(b) Trayectorias de Aprendizaje y Progresiones de Aprendizaje, ¿son complementarias?
(c) Conexiones con los estándares nacionales, ¿son más representativos de una trayectoria o de
una progresión? ¿Qué perspectivas teóricas sobre el aprendizaje son más frecuentes en ellos?
¿Cuáles son las implicaciones en la enseñanza?…
 Se espera que las sugerencias ayuden a construir una base de conocimiento clara y coherente
en la investigación en educación matemática
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