1. EXAMPLES METHODS OF CALCULATE ROOTS OF EQUATIONS
NORAIMA ZARATE GARCIA
ING. DE PETROLEOS
COD. 2073173
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

2. EXAMPLES METHODS OF CALCULATE ROOTS OF EQUATIONS
1. Se planea construir una estantería de libros cuya altura se encuentra entre
8½" y 11" con una longitud de 29". La estantería está construida en madera cuyo
Modulo de Young es de 3.667Msi con un grosor de 3/8" y un ancho de 12".
Encontrar la máxima deflexión vertical de la estantería dada por:
v( x)  0.42493  10 4 x 3  0.13533  10 8 x 5  0.66722  10 6 x 4  0.018507 x
Donde x es la posición a lo largo de la viga. Por lo tanto para encontrar la máxima
dv
deflexión se necesita saber cuándo f ( x)   0 y hacer la prueba de la segunda
dx
derivada.
Estantería.
La ecuación que da la posición x donde la deflexión es máxima está dada por:
 0.67665 10 8 x 4  0.26689 10 5 x 3  0.12748 10 3 x 2  0.018507  0
Use el método de Newton-Raphson para encontrar la posición x donde la deflexión
es máxima. Utilice tres iteraciones para llegar a la raíz de la ecuación anterior.
Calcule el error relativo absoluto al final de cada iteración y el número correcto de
cifras significativas al final de cada iteración.

3. SOLUCION.
v( x)  0.42493  104 x3  0.13533  108 x5  0.66722  106 x 4  0.018507 x
METODO DE NEWTON RAPHSON
iteraciones xi xi+1 f(xi) f'(xi) %E
1 14 14,57341904 -0,00110432 0,001925858
2 14,57341904 14,57245222 1,8673E-06 0,001931366 -0,00663454
3 14,57245222 14,57245222 2,0334E-12 0,001931362 -7,2247E-09
4 14,57245222 14,57245222 0 0,001931362 0
5 14,57245222 14,57245222 0 0,001931362 0
f ' ( x)  0.67665  108 x 4  0.26689  105 x3  0.12748  103 x 2  0.018507  0

4. 2. Se quiere aproximar una raíz de la ecuación x3 - 30x2 + 2400 = 0, que
sabemos se encuentra en el intervalo (10,15), mediante el método del punto fijo.
¿Cuál de las siguientes funciones utilizarías para poder esperar convergencia en
el proceso de iteración? Justifique su respuesta.
SOLUCION.
METODO DE PUNTO FIJO
n f(x) Xn-1 Xn error
1 410 10 410 97,56097561
2 63880810 410 63880810 99,99935818
3 2,60682E+23 63880810 2,60682E+23 100
4 1,77147E+70 2,60682E+23 1,77147E+70 100
5 5,559E+210 1,77147E+70 5,559E+210 100
6 #¡NUM! 5,559E+210 #¡NUM! #¡NUM!
7 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
8 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
9 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
10 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
11 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
12 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
13 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
14 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!
15 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

5. METODO DE PUNTO FIJO
n f(x) Xn-1 Xn error
1 10,95445115 10 10,9544512 8,71290708
2 11,22558221 10,9544512 11,2255822 2,41529615
3 11,30634886 11,2255822 11,3063489 0,71434785
4 11,3307473 11,3063489 11,3307473 0,21532947
5 11,33814884 11,3307473 11,3381488 0,06527993
6 11,34039705 11,3381488 11,340397 0,01982476
7 11,3410802 11,340397 11,3410802 0,00602372
8 11,34128781 11,3410802 11,3412878 0,00183059
9 11,34135091 11,3412878 11,3413509 0,00055634
10 11,34137008 11,3413509 11,3413701 0,00016908
11 11,34137591 11,3413701 11,3413759 5,1386E-05
12 11,34137768 11,3413759 11,3413777 1,5617E-05
13 11,34137822 11,3413777 11,3413782 4,7463E-06
14 11,34137839 11,3413782 11,3413784 1,4425E-06
15 11,34137844 11,3413784 11,3413784 4,384E-07
La función que utilizaría será la segunda ya que presenta mayor convergencia al método.

6. 3. Calcule la raíz de:
Por los métodos de:
a) Bisección
b) Falsa Posición
c) Secante
d) Newton-Raphson
e) Punto Fijo
Construya una curva que permita comparar el porcentaje de error relativo versus
el número de iteraciones de cada método. De acuerdo a los resultados mencione
que tipo de convergencia posee cada método para esta función en particular. Nota
realice todas las suposiciones.
SOLUCION.
a) Método de Bisección
n a b f(a) f(b) f© c error
1 1 0,5 -0,632120559 0,10653066 -0,277633447 0,75
2 0,75 0,5 -0,277633447 0,10653066 -0,089738571 0,625 20
3 0,625 0,5 -0,089738571 0,10653066 0,007282825 0,5625 11,11111111
4 0,625 0,5625 -0,089738571 0,007282825 -0,04149755 0,59375 5,263157895
5 0,594 0,5625 -0,04149755 0,007282825 -0,017175839 0,578125 2,702702703
6 0,578 0,5625 -0,017175839 0,007282825 -0,00496376 0,5703125 1,369863014
7 0,57 0,5625 -0,00496376 0,007282825 0,001155202 0,56640625 0,689655172
8 0,57 0,56640625 -0,00496376 0,001155202 -0,00190536 0,56835938 0,343642612
9 0,568 0,56640625 -0,00190536 0,001155202 -0,000375349 0,56738281 0,17211704
10 0,567 0,56640625 -0,000375349 0,001155202 0,000389859 0,56689453 0,086132644
11 0,567 0,566894531 -0,000375349 0,000389859 7,23791E-06 0,56713867 0,043047783
12 0,567 0,567138672 -0,000375349 7,23791E-06 -0,00018406 0,56726074 0,02151926
13 0,567 0,567138672 -0,00018406 7,23791E-06 -8,8412E-05 0,56719971 0,010760788
14 0,567 0,567138672 -8,8412E-05 7,23791E-06 -4,05873E-05 0,56716919 0,005380683
15 0,567 0,567138672 -4,05873E-05 7,23791E-06 -1,66748E-05 0,56715393 0,002690414
16 0,567 0,567138672 -1,66748E-05 7,23791E-06 -4,71845E-06 0,5671463 0,001345225

7. b) Método de Falsa Posición
n a b c f(a) f(b) f©
1 1 0,5 0,572111612 -0,632120559 0,10653066 -0,00777908
2 0,572 0,5 0,567204224 -0,007779083 0,10653066 -9,5491E-05 0,865188852
3 0,567 0,5 0,567144038 -9,54906E-05 0,10653066 -1,172E-06 0,010612069
4 0,567 0,5 0,5671433 -1,172E-06 0,10653066 -1,4385E-08 0,000130246
5 0,567 0,5 0,567143291 -1,43846E-08 0,10653066 -1,7655E-10 1,59857E-06
6 0,567 0,5 0,56714329 -1,76549E-10 0,10653066 -2,1668E-12 1,96201E-08
7 0,567 0,5 0,56714329 -2,16682E-12 0,10653066 -2,6534E-14 2,40801E-10
8 0,567 0,5 0,56714329 -2,65343E-14 0,10653066 0 2,95593E-12
9 0,567 0,5 0,56714329 0 0,10653066 0 0
10 0,567 0,5 0,56714329 0 0,10653066 0 0
11 0,567 0,5 0,56714329 0 0,10653066 0 0
C ) Método de la Secante
n Xn-1 Xn Xn+1 F(Xn-1) F(Xn) F(Xn+1) Error
1 0,5 1 0,572111612 0,10653066 -0,632120559 -0,00777908 74,79106866
2 1 0,572111612 0,566780267 -0,632120559 -0,007779083 0,00056895 0,940636897
3 0,572 0,566780267 0,567143617 -0,007779083 0,000568946 -5,111E-07 0,064066516
4 0,567 0,567143617 0,56714329 0,000568946 -5,11095E-07 -3,3575E-11 5,75005E-05
5 0,567 0,56714329 0,56714329 -5,11095E-07 -3,35749E-11 0 3,77758E-09
6 0,567 0,56714329 0,56714329 -3,35749E-11 0 0 0
d) Newton Rhapson
n Xi F(Xi) F´(Xi) Xi+1 error
1 0,5 0,10653066 -1,60653066 0,566311003 11,70929098
2 0,566 0,00130451 -1,567615513 0,567143165 0,146728708
3 0,567 1,9648E-07 -1,567143362 0,56714329 2,21064E-05
4 0,567 4,44089E-15 -1,56714329 0,56714329 5,08968E-13
5 0,567 0 -1,56714329 0,56714329 0

8. e) Método de Punto fijo
n Xi F(Xi) Xi+1 error
1 0,5 0,60653066 0,60653066 17,56393646
2 0,607 0,545239212 0,545239212 11,24120322
3 0,545 0,579703095 0,579703095 5,945092115
4 0,58 0,560064628 0,560064628 3,506464426
5 0,56 0,571172149 0,571172149 1,94468884
6 0,571 0,564862947 0,564862947 1,116943859
7 0,565 0,568438048 0,568438048 0,628934077
8 0,568 0,566409453 0,566409453 0,358149888
9 0,566 0,567559634 0,567559634 0,202653862
10 0,568 0,566907213 0,566907213 0,115084323
11 0,567 0,567277196 0,567277196 0,065220855
12 0,567 0,567067352 0,567067352 0,037005149
13 0,567 0,56718636 0,56718636 0,02098221
14 0,567 0,567118864 0,567118864 0,011901532
15 0,567 0,567157144 0,567157144 0,006749355
16 0,567 0,567135434 0,567135434 0,003828018
17 0,567 0,567147746 0,567147746 0,002170981
18 0,567 0,567140763 0,567140763 0,001231275
19 0,567 0,567144724 0,567144724 0,000698304
20 0,567 0,567142478 0,567142478 0,00039604
21 0,567 0,567143751 0,567143751 0,000224611
22 0,567 0,567143029 0,567143029 0,000127387
23 0,567 0,567143439 0,567143439 7,22465E-05
24 0,567 0,567143206 0,567143206 4,09741E-05
25 0,567 0,567143338 0,567143338 2,32382E-05

9. 25
20
15 Biseccion
Falsa Posicion
Secante
10 NR
Punto fijo
5
0
0 5 10 15 20