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MATEMÁTICA I
ifna
Instituto Federal
Nicolás Avellaneda
EDITORIAL DEL CENTRO EDUCATIVO ARGENTINO
BUENOS AIRES - ARGENTINA
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sin permiso escrito del autor y del editor.
I.S.B.N.: 987 – 9464 – 10 – 9

ÍNDICE
Introducción y orientación para el estudio del espacio curricular.......................................... 7
Cómo trabajar con este libro................................................................................................... 9
Algunas convenciones........................................................................................................... 10
UNIDAD 1: NÚMEROS ENTEROS
Objetivos................................................................................................................................. 13
1. Números naturales............................................................................................................... 13
2. Relaciones de los números naturales................................................................................... 14
2.1. De igualdad................................................................................................................... 14
2.2. De desigualdad.............................................................................................................. 14
3. Números enteros.................................................................................................................. 14
4. Valor absoluto de un número entero................................................................................... 15
5. Representación de los números enteros.............................................................................. 15
6. Relaciones entre números enteros...................................................................................... 16
6.1. De igualdad................................................................................................................... 16
6.2. De la desigualdad.......................................................................................................... 16
7. Operaciones en Z................................................................................................................. 16
7.1. Adición o suma en Z.................................................................................................... 16
7.2. Sustracción o resta en Z................................................................................................ 18
7.3. Suma algebraica............................................................................................................ 19
7.4. Cancelación de términos............................................................................................... 19
7.5. Supresión de paréntesis................................................................................................. 19
7.6. Multiplicación en Z....................................................................................................... 20
7.7. División en Z................................................................................................................. 22
Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 24
Soluciones sugeridas............................................................................................................... 26
UNIDAD 2: POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N y Z
Objetivos................................................................................................................................. 30
1. Potenciación en N............................................................................................................ 30
1.1. Propiedades de la potenciación en N............................................................................ 31
1.2. Propiedades distributivas.............................................................................................. 32
1.3. Propiedades recíprocas................................................................................................. 32
1.4. Producto de potencias de igual base............................................................................. 33
1.5. Cociente de potencias de igual base.............................................................................. 33
1.6. Potencia de una potencia............................................................................................... 33
1.7. Cuadrado de la suma de dos números........................................................................... 33
1.8. Cuadrado de la diferencia de dos números.................................................................... 33
1.9. Producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos........................ 34

2. Radicación en N.................................................................................................................. 34
2.1. Propiedades de la radicación en N................................................................................ 34
2.2. Propiedades distributivas.............................................................................................. 35
2.3. Propiedades recíprocas................................................................................................. 36
2.4. Raíz de una raíz............................................................................................................. 36
2.5. Simplificación de índices y exponentes........................................................................ 36
3. Potenciación en Z................................................................................................................ 36
3.1. Regla de los signos........................................................................................................ 37
3.2. Propiedades de la potenciación en Z............................................................................. 37
4. Radicación en Z................................................................................................................ 37
4.1. Regla de los signos....................................................................................................... 37
4.2. Propiedades de la radicación en Z................................................................................ 38
UNIDAD 3: NÚMEROS RACIONALES
Objetivos................................................................................................................................. 46
1. Múltiplos y divisores....................................................................................................... 46
1.1. Propiedades de los múltiplos de un número.................................................................. 47
1.2. Criterios de divisibilidad............................................................................................... 47
2. Números primos y compuestos........................................................................................... 48
2.1. Descomposición de un número en factores primos....................................................... 49
3. Máximo común divisor....................................................................................................... 49
4. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)....................................................................................... 49
5. Casos de imposibilidad de división..................................................................................... 50
5.1. Imposibilidad de división de números enteros.............................................................. 50
6. Números racionales......................................................................................................... 50
6.1. Representación de los números racionales sobre la recta numérica.............................. 51
7. Reducción de fracciones..................................................................................................... 51
7.1. Denominador común menor......................................................................................... 51
8. Operaciones con números racionales.................................................................................. 53
8.1. Adición de números racionales..................................................................................... 53
8.2. Sustracción de números racionales............................................................................... 54
8.3. Multiplicación de números racionales.......................................................................... 55
8.4. División de números racionales.................................................................................... 56
8.5. Potenciación de números racionales............................................................................. 58
8.6. Radicación de números racionales................................................................................ 60
9. Fracción y número decimal............................................................................................. 61
10. Fracción ordinaria............................................................................................................. 61

UNIDAD 4: ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Objetivos................................................................................................................................. 69
1. Ecuaciones.......................................................................................................................... 69
1.1. Concepto....................................................................................................................... 69
1.2. Propiedades................................................................................................................... 70
2. Resolución de ecuaciones con una incógnita...................................................................... 70
3. Planteamiento de problemas............................................................................................... 71
4. Inecuaciones con una incógnita.......................................................................................... 72
5. Ecuaciones fraccionarias..................................................................................................... 74
UNIDAD 5: CONJUNTO DE PUNTOS
Objetivos................................................................................................................................. 81
1. La geometría....................................................................................................................... 81
1.1. El punto......................................................................................................................... 81
1.2. La recta......................................................................................................................... 81
1.3. El plano......................................................................................................................... 82
2. Axiomas del punto, la recta y el plano............................................................................... 82
3. Semiplano............................................................................................................................ 83
3.1. Axioma de la separación del plano............................................................................... 84
4. Semirrecta........................................................................................................................... 84
4.1. Axioma de la separación de la recta............................................................................. 85
5. Segmento............................................................................................................................ 85
5.1. Relaciones y propiedades de segmentos....................................................................... 85
5.2. Igualdad y desigualdad de segmentos........................................................................... 86
6. Ángulos............................................................................................................................... 87
6.1. Ángulo convexo............................................................................................................ 87
6.2. Ángulo cóncavo............................................................................................................ 87
6.3. Ángulo llano.................................................................................................................. 88
6.4. Ángulo nulo.................................................................................................................. 88
6.5. Bisectriz de un ángulo................................................................................................... 88
6.6. Clasificación de los ángulos.......................................................................................... 89
7. Posiciones de la recta en el plano........................................................................................ 92
7.1. Rectas oblicuas.............................................................................................................. 92
7.2. Rectas perpendiculares.................................................................................................. 92
7.3. Rectas paralelas............................................................................................................. 93
8. Ángulos particulares............................................................................................................ 94
8.1. Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una tercera........................... 94

UNIDAD 6: TRIÁNGULOS
Objetivos................................................................................................................................. 107
1. Introducción........................................................................................................................ 107
1.1. Abierto.......................................................................................................................... 107
1.2. Cerrado.......................................................................................................................... 107
2. Triángulo............................................................................................................................. 108
2.1. Clasificación de los triángulos...................................................................................... 109
2.2. Congruencia de triángulos............................................................................................ 110
2.3. Construcción de triángulos............................................................................................ 111
2.4. Alturas de triángulo....................................................................................................... 112
2.5. Medianas de un triángulo.............................................................................................. 113
2.6. Bisectrices de un triángulo............................................................................................ 113
2.7. Mediatrices de un triángulo........................................................................................... 114
UNIDAD 7: MEDIDAS. SISTEMAS
Objetivos................................................................................................................................. 120
1. Medidas............................................................................................................................... 120
2. Sistema métrico legal argentino.......................................................................................... 121
2.1. Medidas de longitud...................................................................................................... 122
2.2. Medidas de superficie................................................................................................... 122
2.3. Medidas de volumen..................................................................................................... 123
2.4. Medidas de peso............................................................................................................ 124
2.5. Medidas de capacidad................................................................................................... 125
3. Cuadro de relaciones entre unidades................................................................................... 125
3.1. Capacidad, peso y volumen........................................................................................... 125
4. Sistema sexagesimal............................................................................................................ 125
*

- Matemática I -
- 7 -
Introducción y orientaciones para el estudio de este espacio curricular
Estimado alumno:
La idea de este espacio curricular, es la de facilitarle a Ud. la comprensión de la
importancia que tiene Matemática I.
En la primera Unidad de este texto encontrará: Números naturales. Relaciones de los números
naturales. Números enteros: valor absoluto; representación; relación. Operaciones en Z: adición,
sustracción, suma algebraica, cancelación de términos, supresión de paréntesis. Multiplicación,
división: leyes; propiedades.
A posteriori analizaremos en la segunda Unidad: Potenciación en N. Propiedades. Operaciones.
Radicación en N. Propiedades. Operaciones. Simplificación de índices y exponentes. Potenciación
en Z. Propiedades. Radicación en Z. Propiedades. Regla de los signos.
En la tercera Unidad veremos: Múltiplos y divisores. Propiedades de la relación y de los múltiplos
de un número. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Descomposición de un
número en factores primos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Casos de
imposibilidad de división de números enteros. Números racionales. Reducción de fracciones a
denominador común. Operaciones con números racionales. Fracción compuesta. Fracción decimal y
número decimal. Fracción ordinaria.
Pasaremos luego a estudiar en la cuarta Unidad: Ecuaciones: Concepto. Resolución de ecuaciones
de primer grado con una incógnita. Interpretación gráfica. Problemas que se resuelven mediante
ecuaciones de primer grado. Inecuaciones: concepto. Interpretación gráfica. Ecuaciones
fraccionarias.
En la quinta Unidad: El punto, la recta y el plano. Segmento: relaciones y propiedades; igualdad y
desigualdad. Ángulos: clasificación. Posición de la recta en el plano.
Seguidamente en la sexta Unidad: Triángulos: clasificación y propiedades. Construcción de
triángulos. Alturas; medianas; bisectrices; mediatriz. Propiedades.
En séptima instancia, nos internaremos en: Medidas. Sistema métrico legal Argentino. Medidas de
longitud; superficie; volumen; peso. Múltiplos y submúltiplos; cuadro de relaciones Sistema
sexagesimal.
Se tratarán temas para adentrarse al aprendizaje del manejo de Matemática I, tratando los mismos
de justificar su uso y permitirle a Ud. comenzar a trabajar y crear estructuras válidas que sean
sustento de aplicaciones que irá desarrollando en el transcurso de las unidades componentes.
Los temas abordados le permitirán diferenciar entre los distintos tipos, determinar criterios y
opciones como así también definir estructuras, poder comprender selecciones y actualizaciones de
contenidos.
Así, usted encontrará las características básicas. Podrá conocer y aplicar conceptos específicos.

- Matemática I -
- 8 -
En otro orden de ideas no se olvide que usted está estudiando bajo la modalidad...
A DISTANCIA
Lo cual le permitirá:
- organizar su aprendizaje de acuerdo con sus horarios;
- enfrentar los materiales de aprendizaje en forma independiente;
- aunque no descarte contactarse con sus compañeros y... ¡por supuesto!, con su tutor.
- en este camino, le solicitamos no olvidar las técnicas de trabajo intelectual que le
permiten un aprendizaje acorde con las exigencias de la carrera.
Es nuestro deseo que este recorrido le resulte agradable y cumpla con sus expectativas.
¿Empezamos?

- Matemática I -
- 9 -
Cómo trabajar con este libro
Le pedimos que trate de respetar la secuencia planteada, dado que supone un estudio
teórico, marco de las actividades que se le proponen.
Las mismas, le permitirán retroalimentar los contenidos.
Si duda, busque a su tutor: él lo orientará de acuerdo con sus necesidades.

- Matemática I -
- 10 -
Algunas convenciones
Indicamos a continuación los íconos que utilizaremos a lo largo de este texto:
ÍCONOS DESCRIPCIÓN Y USO
Pregunto......¿Qué opina Ud. de tal tema?
¿Cómo le parece que puede encararse tal situación?
Actividades
CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN
Señala que determinado tema es importante y debe ser
tenido presente.
SOLUCIONES SUGERIDAS
ABC GLOSARIO
LECTURA / BIBLIOGRAFÍA
Remite a leer un tema tratado anteriormente en el libro.
Indica que lo expresado en un párrafo es importante y
debe ser tenido en cuenta.
No olvide que…

UNIDAD 1
NÚMEROS ENTEROS

- Matemática I -
- 13 -
UNIDAD 1
NÚMEROS ENTEROS
OBJETIVOS:
Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de:
- Definir relaciones de los números naturales.
- Identificar propiedades.
- Resolver productos.
1
1 NÚMEROS NATURALES
Para empezar a hablar de los números enteros, vamos a hablar primero de los números
naturales.
Los números naturales están incluidos dentro de los números enteros.
A B
En estos dos conjuntos se relaciona cada elemento de A con un elemento de B. De la misma
manera se pueden relacionar los elementos de B con los elementos de A.
La propiedad común de dos conjuntos finitos coordinables es el cardinal de esos conjuntos.
El cardinal es un número natural.
El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee.
# = cardinal
Por ejemplo:
 El cardinal de los conjuntos unitarios es el número natural 1.
 El cardinal de los conjuntos binarios es el número natural 2.
 El cardinal de A = { 0, 1, 2 } es el número natural 3.
 El cardinal del conjunto vacío es el número natural 0.
a
b
c
d
e
f

- Matemática I -
- 14 -
Designamos N al conjunto de números naturales.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
2
2 RELACIONES DE LOS NÚMEROS NATURALES
2.1 De igualdad
Los cardinales de dos conjuntos coordinables son números naturales iguales.
Ej: # A = 1 y # B = 1  # A = # B
2.1.1 Propiedades de la igualdad
— Reflexiva: todo número natural es igual a sí mismo.
— Simétrica: si un número natural es igual a otro, éste es igual al primero..
— Transitiva: si un número natural es igual a otro, y éste es igual a un tercero,
el primero es igual al tercero.
2.2 De desigualdad
Si dos conjuntos no son coordinables, sus cardinales no son iguales.
Hay dos tipos de relación:
π Relación de mayor: # A = 6 y # B = 1  # A > # B
π Relación de menor: # A = 3 y # B = 7  #A < # B
2.2.1 Propiedades de la desigualdad
— No Reflexiva: es falso que A > A
— No Simétrica: si a > b es falso que b > a.
— Transitiva: si a > b y b > c  a < c.
3
3 NÚMEROS ENTEROS
Los números naturales y los números negativos forman al conjunto de números enteros que
se designa Z.
Si consideramos un par de números {4, 2} tenemos una clase de equivalencia. Cada clase de
equivalencia definirá a un número entero.

- Matemática I -
- 15 -
A los números naturales también se los llama enteros positivos. En este caso, el primer
elemento del par es mayor que el segundo.
Por ejemplo, {4, 2} = +2.
Estos números se representan por un número natural precedido por el signo +. Generalmente
no hace falta escribir al sino +, ya que si un número no tiene signo se entiende que es positivo.
Si el primer elemento del par es menor que el segundo, tendremos un número entero
llamado entero negativo. A estos números se los representa por medio de un número natural
precedido del signo -.
Por ejemplo: {1, 2} = -1
También puede darse el caso de un par cuyos componentes sean iguales. Al número que
surge se lo llama cero (0). Este número no tiene signo.
Por ejemplo: {2, 2} = 0
4
4 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO
El número entero queda definido por un número natural y un signo ( + o -).
El número natural es el valor absoluto del número entero.
Ej: + 8 y – 8
8 = valor absoluto
+ y - = signos
Estos dos son números opuestos simétricos, tienen el mismo valor absoluto, pero distinto
signo.
5
5 REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Dada una recta y un punto 0, se representan sobre una de las semirrectas los enteros
positivos y los enteros negativos sobre la semirrecta opuesta, a cada uno de los lados de 0.
El valor absoluto del 0 es el mismo número.

- Matemática I -
- 16 -
Cada número entero corresponde a un punto de la recta. Existen infinitos puntos de la recta a
los que no corresponde ningún número entero, por lo tanto, podemos decir que no la completan.
6
6 RELACIONES ENTRE NÚMEROS ENTEROS
6.1 De igualdad
Dos números enteros son iguales si tienen el mismo signo e igual valor absoluto.
Ej: +12 = +12
(- 1) = ( - 1)
6.1.1 Propiedades de la igualdad
Goza de las mismas propiedades que la igualdad de los números naturales: Reflexiva,
Simétrica y Transitiva.
6.2 De la desigualdad
Si dos números enteros son positivos, es mayor el de mayor valor absoluto.
Ej: 12 > 6
Si dos números enteros tienen distinto signo, es mayor el positivo.
Ej: 15 > - 40
Si dos números enteros son negativos, es mayor el de menor valor absoluto.
Ej: - 1 > - 16
6.2.1 Propiedades de la desigualdad
Goza de las mismas propiedades que la desigualdad de los números naturales: No Reflexiva,
No Simétrica y Transitiva.
7
7 OPERACIONES EN Z
7.1 Adición o suma en Z
La adición es una operación que aplicada a un par de números enteros, da como resultado
otro número entero.
Ej: (+ 3) + (+ 4) = (+ 7)
(+ 3) y (+ 4) son los términos de la adición o sumandos.
(+ 7) es la suma de los números dados.

- Matemática I -
- 17 -
En la adición en Z puede haber dos posibilidades:
7.1.1 Sumandos de igual signo
Se suman los valores absolutos de los sumandos y el resultado tiene el mismo signo.
Ej: (+ 3) + (+ 4) = (+ 7)
(- 3) + (- 4) = (- 7)
7.1.2 Sumando de distinto signo
Se restan los valores absolutos de los sumandos, en el sentido posible y el resultado tiene el
signo del de mayor valor absoluto.
Ej: (- 5) + 10 = 5
(- 10) + 5 = (- 5)
15 + (- 2) = 13
7.1.3 Propiedades de la adición en Z
1. Conmutativa
Si en la adición de dos números enteros se cambia el orden de los sumandos, el resultado no
varía.
Ej: (- 5) + 10 = 5
10 + (- 5) = 5
2. Ley de cierre
La suma de dos números enteros es siempre un número entero.
Si (- 5) ∈ Z y (+ 10) ∈ Z ⇒ 5 ∈ Z
3. Ley asociativa
Si en la adición de tres o más números enteros se reemplazan dos de ellos por su suma, no
varía el resultado.
Ej: (- 2 + 3) + 5 = (- 2) + (3 + 5)
1 + 5 = (- 2) + 8
6 = 6
4. Ley uniforme
Si se suma un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se obtiene otra
igualdad.

- Matemática I -
- 18 -
Ej: (- 15) = (- 18) + 3
⇓
(- 15) + 2 = (- 18 + 3) + 2
(- 13) = (- 13)
5. Ley cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad figura un sumando, puede suprimirse.
Ej: (- 15) + 6 = (- 18 + 3) + 6
(- 15) = (- 18) + 3
6. Existencia de elemento neutro
Cero (0) es el elemento neutro de la adición en Z.
Ej: (- 15) + 0 = 0 + (- 15) ⇒ (- 15)
7. Existencia de opuesto aditivo
Para cada número entero existe otro número entero tal que al aplicar a ambos la adición el
resultado es el neutro (0).
Ej: 15 + (- 15) = 0
7.2 Sustracción o resta en Z
La diferencia entre un número entero a y otro número entero b, es otro número entero n que
sumado a b, de cómo resultado el número a.
a – b = n ⇔ n + b = a
El primer término de una resta se llama minuendo y el segundo
término se llama sustraendo.
El resultado de esta operación es la resta o diferencia.
Ej: 2 – 5 = 2 + (- 5)
2 – 5 = (- 3)
La diferencia en enteros es igual a la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo.

- Matemática I -
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7.3 Suma algebraica
Una suma algebraica es una combinación de sumas y de restas.
Ej: 15 + 3 – 5 – 1 + 2
Cada uno de estos números es un término de la suma algebraica.
Se resuelve restando a la suma de los términos que suman, la suma de los términos que
restan.
Ej: 15 + 3 – 5 – 1 + 2
(15 + 3 + 2) – ( 5 + 1)
20 – 6 = 14
7.4 Cancelación de términos
En la adición y en la sustracción, dos términos pueden cancelarse en los siguientes casos:
0 Si un número figura en ambos miembros de una igualdad con el mismo signo.
0 Si en un mismo miembro de una igualdad figuran dos números opuestos.
7.5 Supresión de paréntesis
12 – 6 + 4 – 3 – 4 = 15 – 6 + 2 – 8
9 = 9
Los paréntesis se usan para agrupar términos indicando el orden de las operaciones.
5 – 8 – 6 + 2 – 7 = (5 + 2) – ( 8 + 6 + 7)
0 Todo paréntesis precedido por el signo más puede suprimirse escribiendo los
términos encerrados en él con sus propios signos.
0 Todo paréntesis precedido por el signo menos puede suprimirse escribiendo los
términos encerrados en él con los signos contrarios.
Ej: 8 + (9 – 1) – (7 + 4) – (5 – 2)
Resuelto según indican los paréntesis:
= 8 + 8 – 11 – 3
= 2
Resuelto previa supresión de los paréntesis:
= 8 + 9 – 1 – 7 – 4 – 5 + 2
= (8 + 9 + 2) – (1 + 7 + 4 + 5)
= 19 – 17
= 2

- Matemática I -
- 20 -
7.6 Multiplicación en Z
El producto es el resultado de esta operación.
Los términos se llaman factores.
El producto de dos números enteros distintos de cero (0) es otro
número entero cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos
de los factores y cuyo signo es + ó – , según que los factores tengan o no
distinto signo.
Si tenemos en cuenta el signo, se pueden dar dos casos:
7.6.1 Producto de números enteros del mismo signo
(+ 4) (+ 3) = (+ 12)
(- 4) (- 3) = (+ 12)
El producto de números enteros del mismo signo es otro número entero tal que:
π Su signo es positivo (+).
π Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
7.6.2 Producto de números enteros de distinto signo
(- 4) (+ 3) = (- 12)
El producto de números enteros de distinto signo es otro número entero tal que:
π Su signo es negativo (-).
π Su valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
7.6.3 Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Conmutativa
Si en la multiplicación de dos números enteros se cambia el orden de los factores, el
resultado no varía.
Ej: (- 2) (- 3) = (+ 6)
(- 3) (- 2) = (+ 6)

- Matemática I -
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2. Ley de Cierre
El producto de dos números enteros es siempre un número entero.
Si (- 3) ∈ Z y (- 2) ∈ Z ⇒ (+ 6) ∈ Z
3. Ley asociativa
Si en la multiplicación de tres o más factores se reemplazan dos de ellos por su producto, no
varía el resultado.
Ej: (2 . 3) (- 2) = 2 [3 (- 2)]
6 (- 2) = 2 (- 6)
- 12 = - 12
4. Ley uniforme
Si se multiplican por un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se
obtiene otra igualdad.
Ej: (- 6) = 3 (- 2)
⇓
(- 6) . 5 = 3 (- 2) . 5
(- 30) = (- 30)
5. Ley cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad figura un mismo factor distinto de cero (0) que
multiplica a todo el miembro, éste puede suprimirse.
Ej: (- 6) . 5 = 3 (- 2) . 5
⇓
(- 6) = 3 (- 2)
6. Existencia de elemento neutro
La multiplicación de cualquier número entero y uno (1), es dicho número entero. Uno (1) es,
por lo tanto, el elemento neutro de la multiplicación.
Ej: (- 2) . 1 = 1 . (- 2) = (- 2)
7. Propiedad distributiva

- Matemática I -
- 22 -
La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a la adición de números
enteros.
Ej: [(+ 3) + (- 7)] (- 5) = (+ 3) (- 5) + (- 7) (- 5)
(- 4) (- 5) = (- 15) + (+ 35)
(+ 20) = (+ 20)
7.7 División en Z
Dividir un número entero a por otro b, siendo a múltiplo de b y b distinto de cero (0), es
hallar un tercer número c tal que multiplicado por b, de por resultado a.
Este número c es el cociente entre a y b.
Ej: (- 28) : 7 = (- 4) ⇒ (- 4) 7 = (- 28)
Si tenemos en cuenta el signo, se pueden dar dos casos:
7.7.1 Cociente de dos números enteros del mismo signo
(+ 12) : (+ 3) = (+ 4) ya que (+ 4) (+ 3) = (+ 12)
(- 12) : (- 3) = (+ 4) ya que (+ 4) (- 3) = (- 12)
7.7.2 Cociente de dos números enteros de distinto signo
(+ 12) : (- 3) = (- 4) ya que (- 4) (- 3) = (+ 12)
(- 12) : (+ 3) = (- 4) ya que (- 4) (+ 3) = (- 12)
Por lo tanto:
_ El signo es positivo (+) si los números tienen el mismo signo.
_ El signo es negativo (-) si los números tienen distinto signo.
_ El valor absoluto es el cociente de los valores absolutos de los números dados.
7.7.3 Propiedades de la división de números enteros
1. No es conmutativa
Ej: 15 : (- 3) ≠ (- 3) : 15
El primer término se llama dividendo y el segundo
se llama divisor.

- Matemática I -
- 23 -
2. No cumple la Ley de cierre
3. No es asociativa
4. Ley uniforme
Si se divide por un mismo número entero a los dos miembros de una igualdad, se obtiene
otra igualdad.
Ej: (- 12) = 2 (- 6)
⇓
(- 12) : 3 = 2 (- 6) :3
(- 4) = (- 4)
5. Ley cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad figura un mismo número entero como divisor de
todo el miembro, éste puede simplificarse.
Ej: (- 12) : 3 = 2 (- 6) : 3
⇓
(- 12) = 2 (- 6)
6. Propiedad distributiva
La división de números enteros es distributiva con respecto a la adición de números enteros.
Ej: [(- 6) + 8 + 10] : 2 = (- 6) : 2 + 8 : 2 + 10 : 2
12 : 2 = (- 3) + 4 + 5
6 = 6
*
¡Perfecto! Ha finalizado Ud. La Unidad 1 ¿Continuamos
con la 2?
Si tiene dudas, por favor, comuníquese con su tutor

- Matemática I -
- 24 -
1. Expresar el cardinal de:
A = { x/x es provincia de la República argentina }
B = { x/x es satélite natural de la Tierra }
C = { x/x es jugador de un equipo de fútbol }
2. Ordenar de menor a mayor los números a, b, c, 9, 2, 5 sabiendo que:
5 < b; 2 > a; b > 9; c > 2; c < 5
3. 1. Dados los siguientes números enteros:
- 5, 2, 0, - 3, 1, 8, - 6, - 2
a) representarlos en la recta numérica.
b) ordenarlos en forma decreciente.
c) indicar entre ellos pares de opuestos.
d) escribir el valor absoluto de cada uno de ellos.
4. Resolver las siguientes adiciones:
a) ( - 23 ) + 45 =
b) ( - 28 ) + 28 =
c) 30 + ( - 8 ) =
d) 42 + ( - 50) =
e) ( - 15 ) + ( - 15 ) =
f) ( - 9 ) + ( - 4 ) =
5. Resolver las siguientes sustracciones:
a) ( - 20) – 8 =
b) ( - 4 ) – ( - 18 ) =
c) 11 – 9 =
d) 16 – 24 =
e) 28 – 0 =
f) 0 – 13 =
6. Resolver las siguientes sumas algebraicas:

- Matemática I -
- 25 -
a) - 8 + 14 + 2 – 15 – 9 =
b) 20 – 40 + 50 – 30 + 60 =
c) 11 + 4 – 19 + 1 – 21 + 4 =
7. Resolver suprimiendo paréntesis y cancelando términos:
- 7 + [ 6 – ( 4 – 7 ) + ( 4 – 8 ) – 1 ] + 3 =
8. Resolver los siguientes productos:
a) ( - 7 ) ( - 9 ) =
b) ( + 12 ) ( + 3 ) =
c) ( + 20 ) ( - 5 ) =
d) ( - 14 ) ( + 2 ) =
e) ( - 6 ) ( + 5 ) =
f) ( - 13 ) ( - 2 ) =
g) ( - 5 ) ( - 4 ) ( - 3 ) ( + 1 ) =
h) ( - 2 ) ( - 5 ) ( - 10 ) ( - 3 ) =
i) ( + 2 ) ( - 3 ) ( + 5 ) ( - 4 ) =
9. Resolver las siguientes divisiones:
a) ( + 32 ) : ( + 16 ) =
b) ( + 15 ) : ( + 3 ) =
c) ( - 18 ) : ( + 3 ) =
d) ( - 21 ) : ( - 7 ) =
e) ( + 100 ) : ( - 5 ) =
f) ( - 63 ) : ( - 9 ) =
10. Resolver aplicando la propiedad distributiva:
a) [ ( + 6 ) + ( - 5 ) ]. ( - 2 ) =
b) [ ( - 6 ) + 10 + 12 ] : 2 =
*

- Matemática I -
- 26 -
1.
a) 23 b) 1 c) 11
2. a < 2 < c < 5 < 9 < b
3. 1. a)
- 6 - 5 - 3 - 2 0 1 2 8
b) 8 > 2 > 1 > 0 > - 2 > - 3 > - 5 > - 6
c) 2 y – 2 0 y 0
d) | - 6 | = 6 | - 5 | = 5 | - 3 | = 3 | - 2 | = 2 | 0 | = 0 | 1 | = 1 | 2 | = 2 | 8 | = 8
4.
a) = 22 b) = 0c) = 22
d) = (-8) e) = (-30) f) = (-13)
5.
a) = (-28) b) = 14 c) = 2
d) = (-8) e) = 28 f) = (-13)
6.
a) = (-16) b) = 60 c) = (-20)
7.
– 7 + [ 6 – ( 4 – 7 ) + ( 4 – 8 ) – 1 ] + 3 =
= - 7 + [ 6 – 4 + 7 + 4 – 8 – 1 ] + 3
= - 7 + 6 – 4 + 7 + 4 – 8 – 1 + 3

- Matemática I -
- 27 -
= 6 – 8 – 1 + 3
= ( 6 + 3 ) – ( 8 – 1 )
= 9 – 9
= 0
8.
a) = (+63) b) = (+36) c) = (-100)
d) = (-28) e) = (-30) f) = (+26)
g) = (-60) h) = (+300) i) = (+120)
9.
a) = (+2) b) = (+5) c) = (-6)
d) = (+3) e) = (-20) f) = (+7)
10.
a) = ( +6 ) (- 2 ) + ( -5 ) ( -2 )
= ( -12 ) + 10
= - 2
b) = ( - 6 ) : 2 + 10 : 2 + 12 : 2
= ( - 3 ) + 5 + 6
= 8
*

- Matemática I -
- 28 -

UNIDAD 2
POTENCIACIÓN Y
RADICACIÓN EN N y Z

- Matemática I -
- 30 -
UNIDAD 2
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN N y Z
OBJETIVOS:
- Identificar propiedades de la radicación.
- Diferenciar leyes.
- Calcular potencias.
1
1 POTENCIACIÓN EN N
Se llama potencia enésima de un número natural a, siendo n ³ 1, al producto de n factores
iguales a a.
an = a . a . a ...
n factores
Se lee: a a la enésima
a = base
n = exponente
El resultado de an
se llama potencia.
Ej: 34
= 3 . 3 . 3 . 3
34
= 81
♦ La potenciación es una manera abreviada de escribir el producto de factores
iguales.
♦ Si el exponente es uno, la potencia es igual a la base.
Ej:
121
= 12

- Matemática I -
- 31 -
♦ Si el exponente es cero y la base distinta de cero, la potencia es igual a uno.
Ej:
250
= 1
♦ Si el exponente es dos, la potencia se llama cuadrado.
Ej:
62
= 36
♦ Si el exponente es tres, la potencia se llama cubo.
Ej:
33
= 27
♦ Toda potencia de base cero y exponente distinto de cero es igual a cero.
Ej:
01
= 0
♦ Toda potencia de base uno es igual a uno.
Ej:
112
= 1
1.1 Propiedades de la potenciación en N
1.1.1 No es conmutativa
No es lo mismo elevar un número a un exponente que intercambiarlos, siendo el exponente
del valor de la base y la base del valor del exponente.
Ej:
62
≠ 26
1.1.2 Ley de monotonía
Si un número es menor que otro y se elevan a la misma potencia, ese número seguirá siendo
menor que el otro, y en forma inversa, si un número es mayor que otro y se elevan a la misma
potencia, ese número seguirá siendo mayor que el otro.
Ej:
Si a < b ⇒ an
< bn
ó también
2 < 5 será 22
< 52
5 > 2 será 52
> 22
4 < 25 25 > 4

- Matemática I -
- 32 -
1.1.3 Ley Uniforme
Si ambos miembros de una igualdad se elevan al mismo exponente, se obtiene otra igualdad.
Ej:
2 = 2 ⇒ 22 = 22
4 = 4
1.1.4 Ley cancelativa
Si ambos miembros de una igualdad están elevados a un mismo exponente distinto de cero
(0), pueden simplificarse los exponentes.
Ej:
Si an
= bn
⇒ a = b
22
= 22
Þ 2 = 2
1.2 Propiedades distributivas
La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la
división. No ocurre lo mismo con respecto a la adición y a la sustracción.
1.2.1 Con respecto a la multiplicación: Potencia de un producto
La potencia enésima de un producto es igual al producto de las potencias enésimas de cada
uno de los factores.
( a . b )n
= an
. bn
(7 . 5 )4
= 74
. 54
1.2.2 Con respecto a la división: Potencia de un cociente
La potencia enésima de un cociente es igual al cociente de las potencias enésimas del
dividendo y del divisor.
( a : b )n
= an
: bn
( 25 : 5 )4
= 254
: 54
1.3 Propiedades recíprocas
1.3.1 Producto de potencias del mismo exponente
Se da por la propiedad simétrica de la igualdad de relación.

- Matemática I -
- 33 -
an
. bn
= ( a . b )n
1.3.2 Cociente de potencias del mismo exponente
an
: bn
= ( a : b )n
1.4 Producto de potencias de igual base
El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es
la suma de los exponentes de los factores dados.
a3
. a2
= a3
+ 2 = a5
33
. 32
= 3 . 3 . 3 . 3 . 3 ⇒ 33 + 2
= 35
1.5 Cociente de potencias de igual base
El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es
la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
a5
: a2
= a5 – 2
= a3
1.6 Potencia de una potencia
La potencia de otra potencia es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el
producto de los exponentes dados.
(a3
)2
= a3
. a3
⇒ a3 . 2
(85
)4
= 85 . 4
1.7 Cuadrado de la suma de dos números
El cuadrado de la suma de dos números, es igual al cuadrado del primero, más el doble
producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.
( a + b )2
= a2
+ 2ab + b2
1.8 Cuadrado de la diferencia de dos números
El cuadrado de la diferencia de dos números, es igual al cuadrado del primero, menos el
doble producto del primero por el segundo, menos el cuadrado del segundo.
( a – b )2
= a2
- 2 ab + b2

- Matemática I -
- 34 -
1.9 Producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos
El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos, es igual al cuadrado
del primero menos el cuadrado del segundo.
( a + b ) . ( a – b) = a2
- b2
2
2 RADICACIÓN EN N
Se llama raíz enésima de un número natural a siendo n ≥ 1, a otro número natural b tal que
elevado a la potencia enésima sea a.
bn
= a ⇔ =
n
a = b
a = radicando
n = índice
b = raíz
= signo radical
a = bn
⇒ b es raíz exacta de a
3
125= 5 ya que 53
= 125
125 = radicando
5 = raíz
3 = índice
La radicación es posible en N si y sólo si el número a es potencia de b.
Por convención el índice 2 no se escribe.
3
raíz cúbica
√ raíz cuadrada
Si el índice es uno, la raíz es igual al radicando.
1
2 = 2
2.1 Propiedades de la radicación en N
2.1.1 No es conmutativa
5
32 32
5
≠
La radicación es la operación inversa a la potenciación.

- Matemática I -
- 35 -
2.1.2 Ley de monotonía
Si un número es menor que otro y se les extrae la misma raíz, ese número seguirá siendo
menor que el otro, y por el contrario, si un número es mayor que otro y se les extrae la misma raíz,
ese número seguirá siendo mayor que el otro.
Ej:
a < b luego
n
a <
n
b
a > b luego
n
a >
n
b
2.1.3 Ley uniforme
Si a ambos miembros de una igualdad de números naturales se les extrae la raíz de igual
índice, se obtiene otra igualdad.
Si b
a
b
a n
n
=
⇒
= b
a
b
a n
n
=
⇒
=
Esta propiedad permite simplificar en una igualdad los índices, si la raíz afecta a todo el
miembro.
2.2 Propiedades distibutivas
La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división. No ocurre lo
mismo con respecto a la adición y a la sustracción.
2.2.1 Con respecto a la multiplicación: Raíz de un producto
La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de
los factores.
25
.
100
25
.
100 =
= 10 . 5
= 50
2.2.2 Con respecto a la división: Raíz de un cociente
La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y
del divisor.
3
3
3 8
:
64
8
:
64 =
= 4 : 2
= 2
Si dos raíces de igual índice son iguales, sus radicandos
también son iguales.

- Matemática I -
- 36 -
2.3 Propiedades recíprocas
2.3.1 Producto de raíces del mismo índice
n
n
n
b
a
b
a .
. =
2.3.2 Cociente de raíces del mismo índice
n
n
n
b
a
b
a :
: =
2.4 Raíz de una raíz
La raíz de una raíz es otra raíz cuyo índice es el producto de los índices de las raíces dadas.
6
3
.
2
3
64
64
64
=
=
= 2
2.5 Simplificación de índices y exponentes
Si el índice de una raíz y el exponente tienen un factor común, ambos pueden simplificarse
dividiendo por dicho factor.
a
a =
3 3
 El índice de una raíz que afecta a todo un miembro de una igualdad entre números naturales,
puede pasarse al otro miembro como exponente.
3
3
2
8
2
8 =
⇒
=
 El exponente de una potencia que afecta a todo un miembro de una igualdad entre números
naturales puede pasarse al otro mimbro como índice.
34
= 81
3
81
4
=
3
3 POTENCIACIÓN EN Z
Se llama potencia enésima de un número entero x, siendo n un número natural, al producto
de n factores iguales a x.

- Matemática I -
- 37 -
3.1 Regla de los signos
La potencia de un número entero sólo es negativa cuando la base es negativa y el exponente
impar. En los demás casos es positiva.
Por ejemplo:
23 = 2 . 2 . 2 = 8
(-5)4 = (-5) . (-5) . (-5) . (-5) = 625
(-7)3 = (-7) . (-7) . (-7) = (-343)
3.2 Propiedades de la potenciación en Z
Goza de las mismas propiedades que la potenciación en N.
4
4 RADICACIÓN EN Z
La raíz enésima de un número entero es igual a otro número entero
cuyo valor absoluto se obtiene del mismo modo que con los números
naturales, y cuyo signo está dado por la ley de los signos de la radicación.
4.1 Regla de los signos
4.1.1 Índice par y radicando positivo
Tiene como resultado dos números opuestos.
16 = 4 porque 4 . 4 = 16
y
16 = -4 porque (-4) . (-4) = 16
4.1.2 Índice impar y radicando positivo
Tiene un resultado positivo.
3
64 = 4 porque 4 . 4 . 4 = 64
y
3
64 ≠ - 4 porque (-4) . (-4) . (-4) = (-64)
4.1.3 Índice impar y radicando negativo
Tiene un resultado negativo.

- Matemática I -
- 38 -
( )
3
27
−
= (-3) porque (-3) . (-3) .(-3) = (-27)
y
( )
3
27
−
≠ 3 porque 3 . 3 . 3 = 27
4.1.4 Índice par y radicando negativo
No tiene solución en el conjunto de los números enteros.
( )
16
−
No existe ningún número entero que elevado al cuadrado de (- 16).
4.2 Propiedades de la radicación en Z
Goza de las mismas propiedades que la radicación en N, pero la radicación en Z no cumple
la ley de uniformidad.
*
¡Bien! Ha finalizado Ud. la Unidad 2 ¿Vamos por la 3?
Le recuerdo que ante cualquier duda, su tutor puede ayudarlo

- Matemática I -
- 39 -
1. Potenciación en N
1.1 Calcular las siguientes potencias:
a) 35
= b) 113
= c) 104
=
d) 100
= e) 141
=
1.2 Expresar como potencia los siguientes productos:
a) 4 . 4 . 4 = b) 1 . 1 . 1 . 1 . 1 =
c) 2 . 2 = d) 6 . 6 . 6 . 6 . 6 . 6 =
e) 5 . 5 . 5 =
1.3 Escribe al lado de cada igualdad si es verdadero o falso:
a) a0
= 17
b) 31
= 13
c) 24
= 42
d) 01
= 10
1.4 Resuelve aplicando la propiedad distributiva:
a) ( ) =
⋅
⋅
3
4
10
5 b) ( ) =
⋅
5
2
3
c) ( )2
8
4
7 ⋅
⋅ = d) ( ) =
2
6
:
24
e) ( ) =
3
5
:
10 f) ( ) =
4
2
:
6
1.5 Calcular
a) =
0
2
4
5
.
3
.
2
.
3
.
5 b) =
4
.
7
:
4
.
7 5
3
6
c) ( ) ( ) ( )=
7
9
2
3
5
:
.
:
.
: a
a
a
a
a
a
1.6 Aplicar la ley cancelativa y resolver:
a)
5
5
2
=
x b) (x . 5)2 =
(5.4)2
c) (x + 7)5
= (2 + 7)5
d) (x – 2 + 3)2
= (4 + 3 – 2)2
1.7 Calcular el cuadrado
a) (a + 2)2
= b) (2ª + 3b)2
=
c) (5x + 2y)2
= d) (2 ab + 7 ac)2
=
e) (5ª -2)2
= f) (7 – 3y)2
=

- Matemática I -
- 40 -
g) (2ª - 3b)2
= h) (4a - 2y)2
=
1.8 Resolver
a) (3a - 2b) . (3a + 2b) = b) (5 – 4x) . (5 + 4x) =
c) (2m + 6r) . (2m – 6r) = d) (7 p + 3q) . (7 p – 3q) =
2. Potenciación en Z
2.1 Calcular las siguientes potencias
a) (+2)2
= b) (-3)2
=
c) (+3)3
= d) (-5)3
=
e) (+7)0
= f) (-2)5
=
g) -32
=
2.2 Resolver aplicando las propiedades convenientes
a) (-2)2
. (-2) . (-2)3
= b) (-3) . (-3) . (-3)2
=
c) (-5)5
: (-5)2
= d) [(- 4)7
: (- 4)5
] (- 4) =
3. Radicación en N
3.1 Calcular las siguientes raíces
a) 36 = b) 169 =
c) 144 = d) 81 =
3 4
e) 27 = f) 16 =
5
g) 32 =
3.2 Calcular x aplicando la ley cancelativa
3 3 4 4
a) x = 5 b) x = 7
x 3 x
c) 7 = 7 d) 18 = 18
3.3 Calcular x
a) 2 . x = 24
b) x . 3 = 12.3
3

- Matemática I -
- 41 -
c) x . 5 = 40. 25 d) 49 . x = 49
3.4 Calcular x
a) x = 3 b) x = 5
c) 2 . x = 4 d) 3 . x = 6
3 4
e) x = 5 f) 3 . x = 3
g) x3
= 27 h) x3
= 125
i) x2
= 36 j) x2
= 64
k) 2 . x5
= 64 l) 3 . x3
= 81
4. Radicación en Z
4.1 Resolver aplicando la propiedad distributiva
3
a) ( 125) . 8 . 27 = b) 16 . 25 =
4 3
c) 16 . 10.000 = d) ( - 125) . ( - 1000)
3
[(- 3) . 5 + 4 . 5 ( - 3)] [( - 4) : 2]2
. ( - 8) + ( - 2)2
4.2 Resolver
3
a) [( -4) : 2]2
. ( -8) + ( -2)2
b) b) [5 – 8 . (- 3) – 3] : 13 + ( - 10) =
3
c) [ ( - 3 ) . 5 + 4 . 5 – ( -3)] d) ( - 3) . 6 + 3 + ( - 4 ) . ( - 6) - ( - 25) . ( - 1) =
*

- Matemática I -
- 42 -
1.1 a) = 243 b) = 1331
c) = 10.000 d) = 1
c) = 14
1.2 a) = 43
b) = 15
c) = 22
d) = 66
d) = 53
1.3 a) V b) F
c) V d) F
1.4 a) (5)3
. 103 .43 =125 . 1000 64 =8000.000
b) 35
. 25 =
243.32 = 7.776
c) 72
42
82
= 49.16.64 = 501476
d) 242
: 62
= 576 : 36 = 16
e) 103
: 53 = 1000 : 125 = 8
f) 64
: 24
= 1296 : 16 = 81
1.5 a) 54
. 33
. 2 = 33.750 b) 7 . 42
= 112
c) = a7
1.6 a) x = 2 b) x = 4
c) x = 2 d) x = 4
1.7 a) a2
+ 4a + 4 b) 4a2
+ 12 ab + 9b2
c) 25x2
+ 20 xy + 4y2
d) 4a2
b2
+ 28 a2
bc + 49 a2
c2
e) 25 a2
- 20a + 4 f) 49 – 42 y + 9 y2
g) 4 a2
– 12 ab + 9 b2
h) 16 a2
– 16 ay + 4 y2
1.8 a) 9 a2
- 4 b2
b) 25 – 16 x2
c) 4m2
– 36 r2
d) 49 p2
– 9q2
2.1 a) ( +4 ) b) ( +9 )
c) ( +27 ) d) ( -125 )
e) ( +1) f) ( -32 )
g) ( -9 )

- Matemática I -
- 43 -
2.2 a) ( -2 )6
= ( + 64 ) b) ( -3 )4 = ( + 81 )
c) ( - 5 )3
= ( -125 ) d) ( -4 )3
= ( -64 )
2.3 a) 4 a2
– 12 ab + 9 b2
b) 25 a4
- 20 a3
+ 4 a2
c) 16 x6
+ 16 x3
n2
+ 4 n4
d) 100 x8
- 100 x4
+ 25
3.1 a) 6 b) 13
c) 12 d) 9
e) 3 f) 2
g) 2
3.2 a) x = 5 b) x = 7
c) x = 3 d) x = 2
3.3 a) x = 2 b) x = 2
c) x = 2 d) x = 1
3.4 a) x = 9 b) x = 25
c) x = 8 d) x = 4
e) x = 125 f) x = 1
g) x = 3 h) x = 5
i) x = 6 j) x = 8
k) x = 2 l) x = 3
4.1 a) ( -30 ) b) 20
c) 20 d) 50
4.2 a) ( -28 ) b) ( -2 )
c) 2 d) ( -2 )
*

UNIDAD 3
NÚMEROS RACIONALES
XXXXXXXX
XXXXXXXXX
XXXXXX

XXX

- Matemática I -
- 46 -
UNIDAD 3
NÚMEROS RACIONALES
OBJETIVOS:
- Definir casos de imposibilidad de división de números enteros.
- Diferenciar máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
- Comprender criterios de divisibilidad.
1
1 MÚLTIPLOS Y DIVISORES
El conjunto de los múltiplos de un número natural a, se obtiene multiplicando a dicho
número a por cada uno de los números naturales.
a . 0 = 0
•
a . 1 = a a . n es a, n ∈ N
a . 2 = 2a
•
{ x /x es 8 } = { 0, 8, 16, 24, 32 }
Observaciones:
— El cero es múltiplo de todos los números.
— Todo número es múltiplo de sí mismo.
— El conjunto de múltiplos de un número tiene infinitos elementos.
Un número a es divisible por otro b cuando el cociente a : b es exacto, para ello a debe ser
múltiplo de b.
·
Si a : b = c ⇒ a es b y a es divisible por b y b es divisor de a.
a es múltiplo de b y a es divisible por b son expresiones equivalentes.
28 : 7 = 4 ⇒ 28 es 7, 28 es divisible por 7 y 7 es divisor de 28.
a es múltiplo de b y b es divisor de a son relaciones inversas.

- Matemática I -
- 47 -
{ x/x es divisor de 24 } = { 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 }
1.1 Propiedades de los múltiplos de un número
 La suma y la diferencia de múltiplos de un número son múltiplos de dicho número.
· · · ·
35 es 5 y 25 es 5 Þ ( 35 + 25 ) es 5 y ( 35 - 25 ) es 5
 El múltiplo del múltiplo de un número es múltiplo de dicho número.
· ·
15 es 3 Þ 15 . 2 es 3
1.2 Criterios de divisibilidad
Los criterios de divisibilidad permiten averiguar si un número es o no divisible por otros sin
efectuar la división.
 Un número es divisible por 2 si la cifra de sus unidades es múltiplo de 2.
· ·
458 es 2 porque 8 es 2.
En efecto 458 : 2 = 229
 Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
· ·
231 es 3 porque 2 + 3 + 1 = 6 y 6 es 3.
En efecto 231 : 3 = 77
 Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es
múltiplo de 4.
· ·
En efecto 728 : 4 = 182
 Un número es divisible por 5 si la cifra de sus unidades es múltiplo de 5.
· ·
En efecto 230 : 5 = 46
El conjunto de divisores de un número es un conjunto finito.

- Matemática I -
- 48 -
 Un número es divisible por 8 si el número formado por sus tres últimas cifras es
múltiplo de 8.
· ·
2.840 es 8 porque 840 es 8.
En efecto 2.840 : 8 = 355
 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
· ·
801 es 9 porque 8 + 0 + 1 es 9.
En efecto 801 : 9 = 89
 Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras de los lugares
pares y la suma de las cifras de los lugares impares ( en el sentido posible ) es múltiplo
de 11.
· ·
9.042 es 11 porque ( 9 + 4 ) – ( 0 + 2 ) = 13 – 2 = 11 y 11 es 11.
En efecto 9.042 : 11 = 822
 Un número es divisible por 10, 100, 1.000, etc. si la última cifra, las dos últimas cifras,
las tres últimas cifras, etc., son respectivamente ceros.
·
450 es 10 porque la última cifra es 0.
·
7.400 es 100 porque las dos últimas cifras son 0.
·
9.000 es 1000 porque las tres últimas cifras son 0.
2
2 NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número a mayor que 1 es primo si sus únicos divisores son a ( él mismo ) y 1.
5 es primo porque sus únicos divisores son 5 y 1.
Un número a mayor que 1 es compuesto cuando tiene al menos otro divisor además de a y
de 1. ( Tiene más de dos divisores ).
12 es compuesto porque tiene como divisores a 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Observación: los números 0 y 1 no se consideran
primos ni compuestos.
Los números primos menores que 100 son:

- Matemática I -
- 49 -
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67. 71, 73, 79, 83, 89, 97.
2.1 Descomposición de un número en factores primos
Para hallar los factores primos de un número se lo divide sucesivamente por el menor
divisor hasta que el cociente sea 1.
Esta descomposición es única.
3
3 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)
El m.c.d. de varios números es el mayor de los divisores comunes a dichos números.
Para 24 y 36 los conjuntos de sus divisores son:
{ x/x es divisor de 24 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
{ x/x es divisor de 36 } = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
24 y 36 tienen varios divisores comunes, entre ellos el mayor es 12.
En la práctica se lo obtiene hallando el producto de los factores primos comunes con su
menor exponente.
2 4 2 3 6 2
1 2 2 1 8 2
6 2 9 3
3 3 3 3
1 1
2 4 = 2 ³ . 3 3 6 = 2 ² . 3 ²
m .c .d ( 2 4 , 3 6 ) = 2 ² . 3
m .c .d ( 2 4 , 3 6 ) = 1 2
4
4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)
El m.c.m. de varios números es el menor de los múltiplos comunes a dichos números,
excluido el cero.
Todo número puede expresarse como producto de
potencia de sus factores primos.

- Matemática I -
- 50 -
Para 8 y 12 los conjuntos de sus múltiplos son:
{ x/x es múltiplo de 8 ^ x ¹ 0 } = { 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ... }
{ x/x es múltiplo de 12 ^ x ¹ 0 } = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ... }
Entre los múltiplos comunes a 8 y 12, el menor es 24.
En la práctica se lo obtiene hallando el producto de los factores primos comunes y no
comunes con su mayor exponente.
8 2 1 2 2
4 2 6 2
2 2 3 3
1 1
8 = 2 ³ 1 2 = 2 ² . 3
m .c ..m . ( 8 , 1 2 ) = 2 ³ . 3
m .c ..m . ( 8 , 1 2 ) = 2 4
5
5 CASOS DE IMPOSIBILIDAD DE DIVISIÓN
5.1 Imposibilidad de división de números enteros
Dada la división 7 : 3, no existe ningún número entero que sea resultado de la misma, es
decir, no existe ningún número entero tal que multiplicado por 3 de por resultado 7; para interpretar
las divisiones de este tipo se crearon los números llamados números fraccionarios puros.
DEFINICIÓN: Se llama número fraccionario puro al cociente indicado de
dos números enteros, distintos de cero, y tales que el dividendo no sea
múltiplo del divisor.
En general, un número fraccionario puro se representa: , , que expresa la división del
número a por el número b. Toda expresión de la forma se llama fracción y se lee a sobre b.
El dividendo a, se llama numerador, el divisor b se llama denominador y ambos se llaman
términos de la fracción.
6
6 NÚMEROS RACIONALES
Los números enteros y los números fraccionarios puros constituyen en conjunto los números
racionales.

- Matemática I -
- 51 -
Notación: al conjunto de los números racionales es costumbre designarlo con la letra Q, es
decir:
Q = { q/q es un número racional }
6.1 Representación de los números racionales sobre la recta numérica
Se fija la unidad U sobre la recta numérica. Para representar el número fraccionario se
divide U en b partes iguales y se cuenta a veces el segmento U en el sentido que indique el signo a
partir de 0. El punto obtenido sobre la recta representa la fracción
Ejemplos:
7
7 REDUCCION DE FRACCIONES
7.1 Denominador común menor
Dadas dos fracciones de distinto denominador siempre pueden conseguirse dos fracciones
equivalentes a las dadas con el mismo denominador. La forma más simple de obtener tales
fracciones consiste en multiplicar ambos términos de cada una de ellas por el denominador de la
otra.
Por ejemplo:

- Matemática I -
- 52 -
7
4
y
9
5
7
4
=
9
.
7
9
.
4
=
63
36
e l m is m o d e n o m in a d o r
9
5
=
7
.
9
7
.
5
=
63
35
Pero cuando los denominadores son grandes esta forma no resulta práctica.
7
4
y
9
5
7
4
=
9
.
7
9
.
4
=
63
36
el m ism o denom inador
9
5
=
7
.
9
7
.
5
=
63
35
Si tratamos de encontrar el denominador común que pueden tener dos fracciones
equivalentes a las dadas, en lugar del producto, calculamos el mínimo común múltiplo de los
denominadores:
m.c.m (72, 48 ) = 144
144 es el denominador común menor d.c.m = 144
Hay que encontrar ese número:
72 . ? = 144 ⇒ 144 : 72 = 2 ( Hay que multiplicar por 2 )
48 . ? = 144 ⇒ 144 : 48 = 3 ( Hay que multiplicar por 3 )
Para calcular los numeradores debemos multiplicar
numerador y denominador por un mismo número

- Matemática I -
- 53 -
. 2
72
5
=
2
.
72
2
.
5
=
144
10
72
5
=
144
10
. 2
. 3
48
7
=
3
.
48
3
.
7
=
144
21
48
7
=
144
21
. 3
8
8 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
8.1 Adición de números racionales
Al sumar números racionales pueden presentarse dos casos:
1° Que todos los sumandos tengan igual denominador.
2° Que los sumandos tengan distinto denominador.
8.1.1 Suma de fracciones de igual denominador
Por ejemplo:
7
2
+
7
4
=
7
4
2 +
=
7
6
Se observa que el resultado tiene el mismo denominador 7 que los sumandos y que el
numerador 6 es la suma de los denominadores 2 y 4.
Se llama suma de dos o más números fraccionarios de igual denominador al
número fraccionario de igual denominador cuyo numerador es la suma se
los numeradores de los números dados con sus respectivos signos.
Para sumar dos fracciones del mismo denominador:

- Matemática I -
- 54 -
0 Se suman los numeradores.
0 Se escribe el mismo denominador.
8.1.2 Suma de fracciones de distinto denominador
En este caso, en que los sumandos tienen distinto denominador, queda incluido en el
anterior, reduciendo los números fraccionarios a común denominador. Se acostumbra reducir a
mínimo común denominador, porque así se simplifican los cálculos.
La suma de dos o más números fraccionarios de distinto
denominador es la suma de los mismos, previamente reducidos a mínimo
común denominador
Por ejemplo:
4
3
+
6
1
=
12
2
9 +
=
12
11
En este caso el mínimo común denominador es 12.
8.1.3 Regla práctica para calcular el denominador común
0 Si los denominadores son primos entre sí, el denominador común es producto de los
denominadores.
0 Si los denominadores no son primos entre sí, el denominador común es el mínimo
común múltiplo de los denominadores.
8.1.4 Elemento neutro para la adición de números racionales
El número racional ( 0, 1 ) es neutro para la adición.
( a, b ) + ( 0, 1 ) = ( 0, 1 ) + ( a, b ) = ( a, b )
8.1.5 Elementos inversos
Los números racionales ( a, b ) y ( - a, b ) son inversos para la adición en Q porque su suma
es igual al elemento neutro.
(a, b) + (-a, b) = (0, b)
8.1.6 Propiedades de la adición de números racionales

- Matemática I -
- 55 -
La adición de números racionales goza de las mismas propiedades que la de los números
naturales.
8.2 Sustracción de números racionales
Restar de un número fraccionario a/b otro c/d , es encontrar un
tercer número fraccionario x/y tal que, sumado al sustraendo, de por
resultado el minuendo
Ejemplo:
7
5
-
7
3
=
7
2
pues
7
2
+
7
3
=
7
5
8.2.1 Procedimiento para hallar la diferencia de dos números fraccionarios
a) Números fraccionarios de igual denominador
Por ejemplo:
Calcular la diferencia:
11
9
-
11
3
=
11
6
La diferencia de dos números fraccionarios de igual denominador se obtiene
escribiendo la fracción de igual denominador, cuyo numerador es la diferencia entre
el numerador del minuendo y el del sustraendo
b) Números fraccionarios de distinto denominador
Para restar dos números fraccionarios de distinto denominador se reducen a común
denominador y se procede como en el caso anterior.
Por ejemplo:
Calcular la diferencia:
:
9
8
-
5
2
=
45
18
40 −
=
45
22
8.2.2 Propiedades de la sustracción de números racionales

- Matemática I -
- 56 -
La sustracción de números racionales goza de las mismas propiedades que la de los números
naturales.
8.3 Multiplicación de números racionales
Definición: El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo signo se obtiene
aplicando la regla de los signos de la multiplicación de números enteros, y cuyo valor absoluto es la
fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de
los denominadores de las fracciones dadas
Ejemplos:
2
1
7
11
3
5
⋅
⋅ =
2
.
7
.
3
1
.
11
.
5
=
42
55






−
⋅






−
⋅
2
1
9
7
3
1
=
54
7
Observación:
En los ejercicios de multiplicación resulta ventajoso efectuar todas las simplificaciones
posibles en los productos indicados del numerador y del denominador, antes de obtener el resultado
final.
La simplificación se hace entre un factor del numerador y uno del denominador, siendo
evidente que conviene siempre simplificarlos por el mayor número posible.
Por ejemplo:
25
1
11
15
27
14
16
9
⋅
⋅
⋅
9 y 27 se simplifican por 9; luego, en lugar de 9 queda 1 y en lugar de 27 queda 3.
14 y 16 se simplifican por 2; luego, en lugar de 14 queda 7 y en lugar de 16 queda 8.
15 y 25 se simplifican por 5; quedando, respectivamente, 3 y 5.
Y por último el 3 que quedó en lugar de 27 se simplifica con el 3 que quedó en lugar de 15,
quedando 1 en lugar de cada uno de ellos.
La operación es igual a 5
.
11
.
8
7
=
440
7
8.3.1 Propiedades de la multiplicación de números racionales
Las simplificaciones que pueden hacerse son las siguientes:

- Matemática I -
- 57 -
La multiplicación de números racionales goza de las mismas propiedades que la
multiplicación de números enteros
8.4 División de números racionales
Dividir un número racional por otro es hallar un tercer número
racional tal que, multiplicando por el segundo, de por resultado el primero
Ejemplo:
3
:
7
3
7
6
2
1
= pues
7
3
2
1
7
6
=
⋅
1
Definición: Dividir un número racional por otro es hallar un tercer número racional tal que,
multiplicando por el segundo, de por resultado el primero
Si en el ejemplo, en lugar de dividir 3 por 1 se multiplica 3 por 2, se tiene:
7 7
3 . 2 = 6 resultado que coincide con el anterior.
7 7
Para obtener el cociente de un número racional; por otro,
se multiplica el dividendo por el recíproco o inverso del
divisor.
32
15
4
3
8
5
3
4
:
8
5
=
⋅
=
8.4.1 Propiedades de la división de números racionales
La división de números racionales goza de las mismas propiedades que la división de
números enteros.
8.4.2 Fracción compuesta
Recordemos que la división a : b puede expresarse a/b. Cuando el dividendo y el divisor son
números racionales, su cociente puede indicarse en la siguiente forma:

- Matemática I -
- 58 -
40
9
:
16
15
o bien
40
9
16
15
Esta es una fracción compuesta, cuyo numerador es 15/16 y cuyo denominador es 9/40. A
los numeradores 15 y 9 se los llama numeradores secundarios, y a los denominadores 16 y 40
denominadores secundarios.
Para transformar esta fracción compuesta en una fracción ordinaria se razona así:
Como:
40
9
16
15
=
40
9
:
16
15
5 5
16
25
9
40
16
15
=
⋅
2 3
Se observa que la fracción compuesta se ha transformado en una fracción simple, cuyo
numerador es el producto del numerador 15 del dividendo por el denominador 40 del divisor, y el
denominador es el producto del denominador 16 del dividendo por el numerador 9 del divisor; de
donde se deduce, como se ha hecho en el ejemplo dado, que en una fracción compuesta pueden
simplificarse los numeradores secundarios entre sí y los denominadores secundarios entre sí.
8.5 Potenciación de números racionales
Se llama potencia enésima de un número racional a/b (siendo n un
número natural) al producto de n factores iguales a a/b
Ejemplo:
3
3
2






=
27
8
3
.
3
.
3
2
.
2
.
2
3
2
3
2
3
2
=
=
⋅
⋅
Para hallar la potencia enésima de un número racional se forma el número
racional cuyo signo es menos, si el exponente es impar y la base negativa,
y más en todos los otros casos, y cuyo valor absoluto tiene por numerador
la potencia enésima del numerador y por denominador la potencia enésima
del denominador.

- Matemática I -
- 59 -
Ejemplo:
125
8
5
2
5
2
3
3
3
=
=






Son válidas para los números racionales las siguientes definiciones:
Se llama potencia primera de un número racional a ese mismo número
Es decir:
4
3
4
3
1
=






Se llama potencia cero de un número racional al número 1
Es decir:
1
8
5
0
=






−
8.5.1 Propiedades de la potenciación de números racionales
♦ Producto de potencias de igual base
El producto de potencias de igual base racional es otra potencia de igual base cuyo
exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas.
Ejemplo:
7
7
7
4
1
2
4
2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
=






=






=






⋅






⋅






+
+
♦ Cociente de potencias de igual base
El cociente de dos potencias de igual base racional, tales que el exponente del dividendo es
mayor que el exponente del divisor, es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la
diferencia entre el exponente del dividendo y del divisor.
Ejemplo:
125
1
5
1
5
1
5
1
:
5
1
3
6
9
6
9
=






=






=












−

- Matemática I -
- 60 -
♦ Potencia de potencia de un número racional
La potencia de otra potencia de un número racional es otra potencia de la misma base, cuyo
exponente es el producto de los exponentes de las potencias dadas.
Ejemplo:
6
6
6
3
.
2
3
2
5
3
5
3
5
3
5
3
=






=






=














♦ Potencias con exponentes negativos
Al resolver los cocientes de potencias de igual base como otra potencia de la misma base
cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, así:
y
x
y
x
a
b
a −
=
:
Se ha impuesto hasta ahora la condición de que el exponente del dividendo sea mayor que el
del divisor, para que el exponente x – y del resultado sea un número positivo. Pero es preciso
interpretar los casos en que el exponente del dividendo es menor que el del divisor, por ejemplo:
5
3
: a
a
Si se admite que sigue siendo válida la regla anterior, resulta:
2
5
3
5
3
: −
−
=
= a
a
a
a
resulta:
2
2 1






=
−
a
a
Toda potencia enésima con exponente negativo de un número es igual a 1 sobre dicho
número elevado a un exponente de igual valor absoluto, pero positivo.
Ejemplo:
125
1
5
1
5 3
3
=
=
−
Podemos decir que:
Toda potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada al mismo
exponente pero positivo.
Ejemplo:
( )
27
1
27
1
3
1
3 3
3
−
=
−
=
−
=
−
−

- Matemática I -
- 61 -
27
64
3
4
3
4
4
3
3
3
3
3
=
=






=






−
8.6 Radicación de números racionales
Definición: La raíz “n” de un número racional, es otro número racional cuyo numerador y
denominador se obtienen extrayendo la raíz enésima al numerador y al denominador dados
Ejemplo:
n
b
a
=
b
a
y
x
y
x
b
a
n
n
n
n
=
⇒
=
16
25
=
4
5
16
25
=
49
9
− no tiene solución en el conjunto de los números racionales
8.6.1 Propiedades de la radicación de números racionales
La radicación de los números racionales goza de las mismas propiedades que la radicación
de los números enteros.
9
9 FRACCIÓN Y NÚMERO DECIMAL
Llamamos fracción decimal a toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10 ( 10,
100, 1.000, etc. ).
Ejemplo:
1000
18
;
100
15
;
10
3
Se leen: 3 décimos; 15 centésimos y 18 milésimos.
A estas fracciones las podemos escribir en forma entera. Para esto escribiremos el
numerador y con una coma separamos sus cifras desde la derecha según ceros tenga el
denominador. Por ejemplo: 4/10 tenemos sólo una cifra en el numerador y debemos separar una
después de la coma, como indica el denominador, para esto agregamos un cero a la izquierda y nos
queda que es = 0,4; de la misma forma 5/100 = 0,05. Vemos que después de la coma deben
quedarnos tantas cifras como ceros tenga el denominador.

- Matemática I -
- 62 -
1
10
0 FRACCIÓN ORDINARIA
Las fracciones que poseen denominadores distintos de 10, se las llama fracciones ordinarias.
Ejemplo:
3
4
;
5
10
;
9
5
*
¡Bravo! Ud. ha finalizado la Unidad 3 ¿Continuamos?
Su tutor puede ayudarlo, no lo olvide
1. Representar en la recta numérica los siguientes números racionales:
a )
4
7
;
4
5
;
2
3
;
2
1
;
2
5
;
2
3
−
−
−
b )
6
7
;
3
5
;
6
11
;
3
2
;
6
5
;
3
4
−
−
−
2. Calcular la fracción irreducible equivalente a cada una de las dadas:

- Matemática I -
- 63 -
a )
24
16
b )
36
18
c )
28
21
d )
84
60
e )
108
90
f )
144
96
g )
225
75
h )
240
122
i )
143
121
3. Sumar los siguientes números racionales:
§
a ) =
+
+
8
1
2
7
4
3
b ) =
+
+
6
4
3
15
2
3
c ) =
+
+
3
4
18
3
9
2
d ) =
+
+
35
6
21
4
7
5
4. Resolver las siguientes operaciones:
a ) =
−
+
−
4
1
2
3
5
2
4
1
b ) 3
6
1
5
4
3
2
−
+
− =
c ) =
+
−
+ 6
1
9
1
2
7
d ) =
−
+
−
+
6
1
5
3
4
3
1
6
9
5. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x = 5 b) 5(x+3) = 2
c)
2
1
4
3
=
+
x d)
3
2
4
5
=
−x
6. Calcula los siguientes productos. Simplifica antes de efectuar las operaciones:

- Matemática I -
- 64 -
a) =
⋅
⋅
15
5
21
12
40
35
b) =






−
⋅
⋅






−
24
15
25
39
26
16
c) =
⋅






−
⋅






−
36
21
18
30
14
9
d) =
⋅
⋅






−
⋅






−
32
24
15
18
81
55
22
6
7. Calcular:
a ) =






−






−
+
10
1
:
3
2
1
4
b ) =
−
+






⋅
2
5
:
4
1
7
7
2
c ) =






−






+






−
5
2
:
4
1
:
3
1
2
1
:
5
d ) =
−
−
6
5
2
2
1
3
4

- Matemática I -
- 65 -
d ) =
−
−
6
5
2
2
1
3
4
e )
2
2
4
3
3
2
1
2
1
:
8
7
1 





−
−






−








− =
3
§ ( ) =
−






−
⋅






−
− 2
2
2
:
2
1
1
3
5
10
3
5
3
g ) 3
2
5
3
1
5
2
9
1
1
4
3
3
2
2
1






−
−
+
−
+
=
h )
2
4
3
1
5
3
5
2
3
5
2












−
+
−
+
=
i ) =






−
−






−
−
− 2
2
1
2
1
3
2
1
6
1
9
5
1
*

- Matemática I -
- 66 -
1.
§ a)
b)
2.
a)
3
2
b)
2
1
c)
4
3
d)
7
5
e)
6
5
f)
3
2
g)
3
1
h)
120
61
i)
13
11
3.
a)
8
35
b)
6
43
c)
18
31
d)
105
113
4.
a)
10
11
b)
30
89
− c)
18
155
d)
60
131

- Matemática I -
- 67 -
5.
a) x =
3
5
b) x = -
5
13
c) x = -
4
1
d) x =
12
7
6.
a)
6
1
b)
5
3
c)
8
5
d)
6
1
7.
a) 29 b)
5
7
c) -5 d)
7
5
e)
36
5
f) 2 g) -
40
1
h)
1936
1681
i)
4
17
*

UNIDAD 4
ECUACIONES E
INECUACIONES CON UNA
INCÓGNITA

- Matemática I -
- 69 -
UNIDAD 4
ECUACIONES E INECUACIONES CON UNA
INCÓGNITA
OBJETIVOS:
- Definir problemas.
- Identificar errores.
- Resolver ecuaciones e inecuaciones.
1
1 ECUACIONES
1.1 Concepto
Dada una función f::x y ó y = f (x) se presentan dos problemas:
1. Conocido x, calcular y.
2. Conocido y, calcular x.
Por ejemplo:
3x + 2 = y
1. sabiendo que x = 5, calcular y
3 . 5 + 2 = 17 y = 17 FUNCIÓN
2. sabiendo que y = 14, calcular x
Si 3x + 2 = 14
x = ( 14 – 2 ) : 3 x = 4 ECUACIÓN
Resolver la ecuación significa encontrar los valores de x, que
verifican la igualdad.

- Matemática I -
- 70 -
1.2 Propiedades
π Todo término de una ecuación puede pasarse de un miembro a otro de la misma como
opuesto. En efecto, por la propiedad se suma a ambos miembros el término opuesto y
luego se aplica la ley cancelativa.
3x – 4 = 2x + 8
3x – 4 – 2x + 4 = 2x + 8 – 2x + 4
x = 4
π Todo factor de un miembro de una ecuación puede pasarse al otro miembro de la misma
como divisor. En efecto, por la propiedad se multiplican ambos miembros por el inverso
del factor y luego se aplica la ley cancelativa.
2
2 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
El proceso de resolución de una ecuación consiste en obtener sucesivas ecuaciones más
sencillas, equivalentes a la dada.
En la práctica se procede así:
 Se resuelven las operaciones indicadas.
 Se reúnen en un miembro los términos en los que figura la incógnita y en el otro los
términos independientes.
 Se efectúan las reducciones a ambos miembros.
 Si el coeficiente de x es distinto de 1, pasa al otro miembro como divisor.
Ejemplo:

- Matemática I -
- 71 -
5 (x – 1) + 3x = 4x + 3
27 se resuelven las operaciones
5x – 5 + 3x = 4x + 3 se reúnen en un miembro los términos en x y
en el otro los independientes por propiedad
uniforme y cancelativa.
5x + 3x – 4x = 3 + 5
4x = 8
x =
8
4
x = 2
• Si en los términos de una ecuación figuran números fraccionarios, se multiplican ambos
miembros por el m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo:
2
1
- x =
5
3
-
4
3
x m.c.m (2, 5, 4) = 20
20 (
2
1
- x ) = 20 (
5
3
-
4
3
x )
10 – 20 x = 12 – 15 x
-20 x + 15 x = 12 – 10
-5 x = 2
x = -
5
2
3
3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS
Propuesto un problema se trata de interpretar el enunciado mediante la lectura comprensiva
del mismo, cuidando de identificar la incógnita y la información sobre ésta, o sea, los datos.
Se expresan simbólicamente las condiciones que la incógnita debe satisfacer, de lo que
resulta la ecuación. ( Indicar claramente qué incógnita es la que se designa x ).
Se resuelve el problema y luego se discute si la raíz hallada satisface las condiciones del
problema.
Las ecuaciones permiten resolver problemas cuyas
condiciones son expresables por igualdades.

- Matemática I -
- 72 -
Ejemplos:
π Hallar dos números consecutivos sabiendo que el duplo de su suma es 38.
Resolución:
Se designa con x al menor de los dos números, entonces su consecutivo es x + 1.
( x + x + 1 ) = suma de los dos números
Para calcular el duplo, multiplico por 2:
2 ( x + x + 1 ) = 38
2x + 2x + 2 = 38
4x = 38 – 2
4x = 36
x =
4
36
x = 9
El primer número es 9, su siguiente es 10. Estos son los dos números consecutivos. Para
poder comprobarlo, vemos que su suma es 19 y el duplo de la suma es 38.
π Hallar tres números pares consecutivos tales que la suma de los dos primeros sea igual a
la suma del tercero y 14.
Resolución:
Se designa con x al menor de los números, los pares consecutivos son: x + 2; x + 4.
x + x + 2 = x + 4 + 14
x + x – x = 4 + 14 – 2
x = 16
Los números son 16, 18 y 20.
Esto se comprueba ya que la suma de los dos primeros es 34 y la suma del tercero y 14
también es 34.
4
4 INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA
Una desigualdad en la que figura una variable o incógnita es una INECUACIÓN.

- Matemática I -
- 73 -
En este caso tendremos que averiguar cuáles son los valores de x para los que el valor del
polinomio es mayor o menor que cero.
P (x) > 0 ó P (x) < 0
Ejemplos de inecuaciones:
12x < 24 x > -
3
5
Resolver una inecuación es encontrar los valores que la satisfacen, el conjunto de ellos es el
conjunto solución.
Para 2x > 10 es x > 5 y el conjunto solución es : Sx = { x/x ∈ℜ ^ x > 5 }
Este conjunto también puede expresarse como intervalo Sx = ( 5, + ∞ )
Un intervalo puede ser abierto o cerrado, a derecha o a izquierda. Es abierto si no incluye al
respectivo extremo, se indica con un paréntesis. El cerrado incluye al respectivo extremo, se indica
con corchete.
El símbolo + ∞ indica que hay infinitos elementos a la derecha, considerando la ubicación
en la recta numérica. Se lee infinito o más infinito.
El símbolo - ∞ indica que hay infinitos elementos a la izquierda, considerando la ubicación
en la recta numérica. Se lee menos infinito.
En la resolución de inecuaciones se procede de forma análoga al caso de las ecuaciones,
teniendo en cuenta que:
— Todo término de una inecuación puede pasarse de un miembro a otro como opuesto.
x – 3 > 1 x < 1 + 3 x < 4
Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x < 4 } o bien Sx = ( - ∞, 4 )
— Todo factor positivo de un miembro de una ecuación puede pasar al otro miembro como
divisor, con su signo.
4 x > - 24 x < - 24 : 4 x < - 6
Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x > - 6 } o bien Sx = ( - 6, + ∞ )
— Todo factor negativo de un miembro de una ecuación puede pasar al otro miembro como
divisor con su signo, cambiando el sentido de la desigualdad.
- 2 x > 8 x < 8 : ( - 2 ) x < - 4
Sx = { x/x ∈ ℜ ^ x < - 4 } o bien Sx = ( - ∞, - 4 )

- Matemática I -
- 74 -
Estas propiedades se justifican por la ley de monotonía de la adición
y por la ley de monotonía de la multiplicación.
Ejercicio:
π Hallar el conjunto solución y representar en la recta numérica.
a) - 4x ≤ 12
b) x – 5 < - 1 Respuesta:
a) - 4x ≤ 12
x ³ 12 : ( - 4 )
x ³ - 3
Sx = [ -3, + ∞ )
La representación gráfica del conjunto solución es la semirrecta de origen A.
b) x – 5 < - 1
x < - 1 + 5
x < 4
Sx = ( - ∞, 4 )
La representación gráfica del conjunto solución es la semirrecta abierta de origen B.
Abierta porque el valor de x = 4 no pertenece a la solución de x < 4, por lo tanto no incluye
al origen de ella.
5
5 ECUACIONES FRACCIONARIAS
Las expresiones algebraicas fraccionarias dan origen a las ecuaciones fraccionarias.
0
1
3
2
1
3
=
−
+
−
+
x
x
x
x
8
7
5
2
=
−
x
x

- Matemática I -
- 75 -
Las ecuaciones fraccionarias no están definidas para los valores de
las variables que anulan a alguno de los denominadores.
En el primer ejemplo, si x = 2 el primer denominador es 0, si x = 1 el segundo denominador
es 0, por ello se requiere x ≠ 2 ^ x ≠ 1.
El segundo ejemplo debe ser x ≠ 0.
0 Si al resolver la ecuación el valor que se obtiene es uno de los excluidos, no hay
solución.
Para resolver ecuaciones fraccionarias:
0 Se multiplican ambos miembros de la ecuación por el múltiplo común de menor grado
de los denominadores, se simplifica lo posible teniendo en cuenta las restricciones
requeridas.
0 Se resuelve la ecuación entera que resulta.
0 Se verifica si la raíz hallada satisface a la ecuación dada porque:
1°: no debe ser uno de los valores excluidos.
2°: al multiplicar ambos miembros de una ecuación por una expresión entera se obtiene una
ecuación que tiene al menos las mismas raíces que la dada, pero que puede admitir además nuevas
raíces.
Ejemplo:

- Matemática I -
- 76 -
1
4
−
x
x
- 4 =
x
5
debe ser x ≠ 1 ∧ x ≠ 0
m.c.m denom inadores: x (x – 1)
[
1
4
−
x
x
- 4 ] . x . (x – 1 ) =
x
5
. x . (x – 1)
1
4
−
x
x
. x . (x – 1) – 4x . (x – 1) = 5 . (x – 1)
4x2
- 4x2
+ 4x = 5x – 5
4x – 5x = -5
-1x = -5
x = 5
Sx = { 5 }
V erificació n:
1
5
20
−
- 4 =
5
5
4
20
- 4 = 1
5 – 4 = 1
1 = 1
*
Ha finalizado Ud. la Unidad 4 ¿Vamos por la 5?
Si tiene dudas, hable con su tutor
1. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 12 = 8 – 5x
b) 2 ( x – 1 ) + 4 ( x + 3 ) = 0
c) 4x . 2
2
5 −
=
=
2
3
2 +
x
x - 1

- Matemática I -
- 77 -
d) 6x 2 = - x - 1
e) 2x + 5 = 0
f) x – 3 = 0
g) – 8 – 4x = 0
h) – 3 – 6x = 0
i) 2x + 5 = 9
j) – 2x + 3 = 3
k) 5x – 2 + 4x – 3 + 1 – 5 = 0
l) 6 – ( - x + 3 – 2 ) – 3x = - 5
m) 12 + 2x – [ - ( - x + 6 ) – 2 + 4 – x ] + 5 = 7x + 6
2. Representar gráficamente e indicar el conjunto solución:
( Indicar dos números que pertenezcan a la solución ).
a) 1 – x ≤ - 7
b) 2 – x ≥ - 3
c) 3 – x < 6
d) 4 – x < 1
3. Hallar el conjunto solución y representarlo.
2x – 1 ≥ - 3
*
1. a) x = 2
b) x =
3
5
−
c) x = 3/10

- Matemática I -
- 78 -
d) x = -1
15
e) x = - 5
2
f) x = 3
g) x = - 2
h) x = -1
2
i) x = 2
j) x = 0
k) x = 1
l) x = 5
m) x = 3
2. a) Sx = [8; + ∞)

- Matemática I -
- 79 -
8 9 10 11
b) Sx = (-∞; 5]
2 3 4 5
c) Sx = (-3; +∞)
-3 -2 -1 0
d) Sx = (3; +∞)
3 4 5 6
3. x ≥ - 1
*

UNIDAD 5
CONJUNTO DE PUNTOS

- Matemática I -
- 81 -
UNIDAD 5
CONJUNTO DE PUNTO
OBJETIVOS:
- Definir segmento, relaciones y propiedades.
- Identificar ángulos.
- Diferenciar posiciones de la recta en el plano.
1
1 LA GEOMETRÍA
Los conceptos primitivos de la geometría son:
_ el Punto
_ la Recta
_ el Plano
1.1 El punto
Se representa por la marca que deja el lápiz sobre el papel o por dos pequeños trazos que se
cortan. En símbolos se lo representa por una letra minúscula.
El punto es un ente que tiene ubicación pero que carece de dimensión.
1.2 La recta
Se representa por medio de un trazo continuo, con una flecha en cada uno de los extremos
para indicar que se extiende infinitamente. En símbolos se expresa por medio de letras mayúsculas
de imprenta.
La Recta es una sucesión infinita de puntos que se ordenan en una misma dirección.
El estudio de las figuras y sus propiedades corresponde
a la geometría.

- Matemática I -
- 82 -
1.3 El plano
Se representa por convención con paralelogramos. En símbolos se expresa con letras
griegas (α,β,γ,ε,etc)
α
En geometría el Universal se llama espacio, y es el conjunto de todos los puntos.
U = E = { x/x es un punto }
Las rectas y los planos son subconjuntos del espacio.
2
2 AXIOMAS DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
 Axioma 1: existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos.
α
 Axioma 2: todo punto pertenece a infinitas rectas.
o ∈ A, o ∈ B, o ∈ C, o ∈ D
Decimos que A, B, C y D concurren o pasan por o.
 Axioma 3: una recta es un conjunto infinito de puntos.
 Axioma 4: un plano es un conjunto infinito de puntos.
 Axioma 5: toda recta está incluida en infinitos planos.

- Matemática I -
- 83 -
α β δ
A ⊂ α, A ⊂ β, A ⊂ δ
Decimos que α β δ pasan por Α
 Axioma 6: Dados dos puntos distintos existe una y sólo una recta a la cual
pertenecen. Esos dos puntos la determinan.
a, b º A
Se lee: a y b determinan a A
a ∈ A ^ b ∈ A
º = determina
 Axioma 7: Una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano tal que
el punto pertenece al plano y la recta está incluida en el mismo.
Si a ∉ B ⇒ a ^ B ≡ α , tal que a ∈ α ^ B ∈ α
 Axioma 8: Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que determinan está incluida
en el plano.
Si a ∈ α , b ∈ α ^ a, b ≡ R ⇒ R ⊂ α
3
3 SEMIPLANO
Toda recta incluida en un plano determina dos subconjuntos llamados semiplanos.

- Matemática I -
- 84 -
La recta A separa al plano en dos semiplanos. A es el borde de dichos semiplanos.
Los semiplanos son:
Semiplano de borde A que contiene a x.
Semiplano de borde A que contiene a y.
En símbolos sería: S (A, x) y S (A, y)
3.1 Axioma de la separación del plano
Toda recta de un plano lo separa en dos semiplanos tales que:
1. Todo punto del plano pertenece a la recta o a uno de los semiplanos.
2. Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta la recta de
separación.
3. Dos puntos de diferentes semiplanos determinan un segmento que corta la recta de
separación
4
4 SEMIRRECTA
Todo punto de una recta determina en ella dos partes llamadas semirrectas.
O es el origen de las semirrectas.
A cada una de las semirrectas que determina el punto o pertenecen ese punto, que es su
origen y todos los puntos que le siguen en uno de los sentidos posibles.
Decimos:
 Semirrecta de origen o que contiene a x ox
 Semirrecta de origen o que contiene a y oy
Estas dos semirrectas son semirrectas opuestas. Cada una de ellas es un conjunto infinito de
puntos.

- Matemática I -
- 85 -
ox ∩ oy = {o} ox ∪ oy = {R}
4.1 Axioma de la separación de la recta
Todo punto de una recta la separa en dos semirrectas de tal modo que:
1. Todo punto de la recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen.
2. Dos puntos de la misma semirrecta determinan un segmento que no contiene a o.
5
5 SEGMENTO
Si marcamos en una recta dos puntos a y b, quedan determinadas cuatro semirrectas: dos de
origen a y dos de origen b.
→ →
Considerando las semirrectas ab y ba, diremos que la figura formada por los puntos comunes
a las dos semirrectas se llama segmento ab.
Los puntos a y b se llaman extremos del segmento.
—
El segmento ab es la intersección de la semirrecta de origen a que contiene a b y la
semirrecta de origen b que contiene a a.
En símbolos :
→ → —
ab ∩ ba = ab a y b son los extremos.
—
ab se lee: segmento ab
Dos puntos de diferentes semiplanos determinan un segmento que corta a la recta de
separación.
Si a ∈ S (R,a) ^ b ∈ S (R,b) ⇒ ab ∩ R = {c}
5.1 Relaciones y propiedades de segmentos
5.1.1 Segmentos encadenados
Son aquellos cuya intersección es un extremo de los mismos, o sea, un extremo en común.

- Matemática I -
- 86 -
— —
Por ejemplo: ab ∩ bc = b
5.1.2 Segmentos consecutivos
Son aquellos segmentos que tienen un extremo común y ningún otro punto común. Son dos
segmentos encadenados que pertenecen a una misma recta.
— —
ab y bc son consecutivos
Pueden estar:
0 alineados
.b es el extremo común
0 no alineados
.b es el extremo común
5.2 Igualdad y desigualdad de segmentos
Dos segmentos son iguales si y sólo si, superponiendo uno sobre otro, sus extremos
coinciden. Cuando estos extremos no coinciden son desiguales.
   

- Matemática I -
- 87 -
ab = cd ef ≠ gh
Son congruentes
5.2.1 Propiedades de la igualdad de segmentos
0 Reflexiva: Todo segmento es igual a sí mismo.
 
ab = ba
0 Simétrica: Si un segmento es igual a otro, éste es igual al primero.
— — — —
ab = cd ⇒ cd = ab
0 Transitiva: Si un segmento es igual a otro, y éste es igual a un tercero, el primero es igual
al tercero.
— — — — — —
ab = cd ^ cd = ef ⇒ ab = ef
6
6 ÁNGULOS
6.1 Ángulo convexo
Si trazamos dos rectas ab y bc que se cortan en b, quedan determinados dos semiplanos: dos
de borde ab y dos de borde bc. La figura formada por los puntos comunes a ambos semiplanos se
llama ángulo convexo abc.
∧ ∧
abc o α
Se lee: ángulo abc o ángulo alfa.
En símbolos: S ( ab, c) ∩ S ( bc, a) = abc
6.2 Ángulo cóncavo
Dados tres puntos a, b, c que no pertenecen a la misma recta, se llama ángulo cóncavo
∧

- Matemática I -
- 88 -
abc al conjunto de puntos de la unión de dos semiplanos: el que determina la recta ab que no
contiene al punto c y el que determina la recta bc que no contiene al punto a.
ba y bc son los lados del ángulo
b es el vértice
En símbolos sería:
∧
S ( ab, no c) ∪ S ( bc, no a) = abc cóncavo
6.3 Ángulo llano
Es el conjunto de puntos de un semiplano, cuyos lados son semirrectas opuestas.
6.4 Ángulo nulo
Es el ángulo que tiene sus lados coincidentes y no tiene puntos interiores.
∧
a = ángulo nulo
6.5 Bisectriz de un ángulo
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior que lo divide en dos ángulos congruentes
o iguales.
a
d
b
c
∧

- Matemática I -
- 89 -
Semirrecta bd = bisectriz de abc
6.6 Clasificación de los ángulos
Dos rectas al cortarse determinan cuatro ángulos convexos.
O es el vértice de cada uno de los ángulos.
α, β, γ y δ son ángulos convexos.
A ∩ B = {o}
Los ángulos pueden ser:
 Rectos: Se llama así a cada uno de los ángulos que resulta de bisectar a un ángulo llano
(180°). El ángulo recto tiene 90°.
 Agudo: Es todo ángulo menor que un ángulo recto (menores de 90°).
 Obtuso: Es todo ángulo mayor que un ángulo recto (mayores de 90°).
6.6.1 Ángulos complementarios

- Matemática I -
- 90 -
Si la suma de dos ángulos es igual a un ángulo recto (90°) , decimos que los ángulos son
complementarios.
∧ ∧
Si α + β = 1 Recto ⇒ son complementarios.
Por ejemplo:
 Un ángulo de 30° es complemento de un ángulo de 60°.
 De la misma manera, un ángulo de 60° es complemento de un ángulo de 30°.
6.6.2 Ángulos suplementarios
Si la suma de dos ángulos es igual a un ángulo llano (180°) , decimos que los ángulos son
suplementarios.
∧ ∧
Si α + β = 1 Llano ⇒ son suplementarios.
Por ejemplo:
 Un ángulo de 70° es suplemento de un ángulo de 110°.
 De la misma manera, un ángulo de 110° es suplemento de un ángulo de 70°.
6.6.3 Ángulos congruentes
Un ángulo es congruente con otro, si y sólo si haciendo coincidir a ambos vértices y un lado,
los restantes lados coinciden también.

- Matemática I -
- 91 -
6.6.4 Ángulos consecutivos
Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y pertenecen a distintos semiplanos
respecto al lado en común.
6.6.5 Ángulos adyacentes
Son aquellos ángulos que son consecutivos y sus lados no comunes son semirrectas opuestas.
6.6.5.1 Propiedades de los ángulos adyacentes
π Los ángulos adyacentes son suplementarios porque forman un ángulo llano. La suma de
ambos vale 180°.
π Si dos ángulos son adyacentes y uno de ellos es recto, el otro también es recto.
6.6.6 Ángulos opuestos por el vértice
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a
los lados del otro.

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