Este documento describe los conceptos de integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Introduce las integrales paramétricas con límites de integración independientes y dependientes. Luego, cubre las integrales dobles iteradas en dominios simples y su intercambio de orden de integración, así como el cálculo de áreas y volúmenes con integrales dobles. Finalmente, examina las integrales triples iteradas, las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas en el cambio de variables, e introduce las integrales dobles de Riem
Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricasF Blanco
Este documento presenta el análisis de redes eléctricas trifásicas en condiciones perturbadas utilizando el método de las componentes simétricas. Primero repasa conceptos matemáticos de vectores y componentes simétricas. Luego aplica este método para calcular parámetros en diferentes tipos de cortocircuito como defecto fase-tierra, defecto bifásico a tierra, defecto trifásico y redes con cargas desequilibradas. Finalmente incluye ejemplos numéricos resueltos.
Este sílabo describe el curso de Análisis Matemático II para la carrera de Ingeniería Civil. El curso se enfoca en el cálculo integral, incluyendo técnicas de integración como reglas, sustitución y por partes. También cubre aplicaciones de las integrales como el cálculo de áreas, volúmenes y otros problemas de ingeniería. El curso tiene una carga de 64 horas divididas en 3 unidades y se imparte los miércoles y jueves de 4 a 6 pm.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento presenta un resumen de varios temas matemáticos. En el Capítulo 1, introduce conceptos sobre funciones como gráficos de funciones, funciones biyectivas e inversas. Luego, analiza transformaciones elementales del plano como traslaciones y homotecias. El Capítulo 2 cubre desigualdades y posiciones relativas de curvas en el plano. Los Capítulos 3 y 4 tratan sobre inducción completa, polinomios, factoriales de números enteros y sus factores primos. Finalmente, el Capítulo 5 examina construcciones
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
El documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Jacobi y Gauss-Seidel. El método de Jacobi involucra iterar una ecuación de recurrencia para mejorar sucesivamente las aproximaciones a la solución, mientras que Gauss-Seidel mejora sobre Jacobi actualizando las variables una por una en cada iteración en lugar de todas juntas.
Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricasF Blanco
Este documento presenta el análisis de redes eléctricas trifásicas en condiciones perturbadas utilizando el método de las componentes simétricas. Primero repasa conceptos matemáticos de vectores y componentes simétricas. Luego aplica este método para calcular parámetros en diferentes tipos de cortocircuito como defecto fase-tierra, defecto bifásico a tierra, defecto trifásico y redes con cargas desequilibradas. Finalmente incluye ejemplos numéricos resueltos.
Este sílabo describe el curso de Análisis Matemático II para la carrera de Ingeniería Civil. El curso se enfoca en el cálculo integral, incluyendo técnicas de integración como reglas, sustitución y por partes. También cubre aplicaciones de las integrales como el cálculo de áreas, volúmenes y otros problemas de ingeniería. El curso tiene una carga de 64 horas divididas en 3 unidades y se imparte los miércoles y jueves de 4 a 6 pm.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento presenta un resumen de varios temas matemáticos. En el Capítulo 1, introduce conceptos sobre funciones como gráficos de funciones, funciones biyectivas e inversas. Luego, analiza transformaciones elementales del plano como traslaciones y homotecias. El Capítulo 2 cubre desigualdades y posiciones relativas de curvas en el plano. Los Capítulos 3 y 4 tratan sobre inducción completa, polinomios, factoriales de números enteros y sus factores primos. Finalmente, el Capítulo 5 examina construcciones
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento es un curso sobre análisis complejo que incluye seis capítulos. Introduce los números complejos y funciones elementales, la teoría de Cauchy elemental, propiedades locales de funciones holomorfas, la forma general del teorema de Cauchy y singularidades aisladas de funciones holomorfas. El documento proporciona definiciones, teoremas, ejemplos resueltos y ejercicios para cada tema.
El documento describe métodos iterativos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de Jacobi y Gauss-Seidel. El método de Jacobi involucra iterar una ecuación de recurrencia para mejorar sucesivamente las aproximaciones a la solución, mientras que Gauss-Seidel mejora sobre Jacobi actualizando las variables una por una en cada iteración en lugar de todas juntas.
Este documento describe los pasos seguidos para crear un mapa temático de la Comunidad de los Puertos de Altagracia utilizando software de SIG. Inicialmente, se creó una región de interés usando ENVI y se extrajeron curvas de nivel de un modelo digital de elevación con Global Mapper. Luego, se generó un índice de vegetación de diferencia normalizada con ArcGIS para mostrar áreas de vegetación. Finalmente, se creó un proyecto en ArcGIS incorporando las capas creadas y otras datos para generar el mapa temático.
La Universidad Nacional de Ucayali presenta un documento de 10 puntos sobre integrales triples realizado por el Lic. Olmedo Pizango Isuiza de la Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales. El documento analiza conceptos matemáticos avanzados relacionados con integrales triples.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de integrales triples. Primero, explica cómo escribir una integral triple de diferentes formas dependiendo de las proyecciones de la región de integración. Luego, resuelve varios problemas que involucran calcular el volumen de regiones limitadas por superficies dadas mediante el uso de integrales triples.
El documento describe las integrales dobles, que representan el volumen bajo una superficie y sobre una región del plano. Explica que se calculan como dos integrales iteradas, manteniendo fija una variable e integrando respecto a la otra. También describe que los límites de integración pueden definirse por funciones que delimitan secciones transversales verticales u horizontales de la región.
1. El documento presenta cuatro problemas resueltos sobre álgebra lineal que involucran valores y vectores propios, polinomio característico y diagonalización de matrices. En el primer problema se calcula el polinomio característico de una transformación lineal dada y se identifica la opción correcta. En el segundo problema se identifica la proposición falsa sobre valores y vectores propios. En el tercer problema se analiza si una transformación lineal dada es diagonalizable. En el cuarto problema se identifica cuál de las proposiciones dadas sobre diagonal
Este documento trata sobre integrales múltiples. Explica conceptos como áreas de regiones planas y volúmenes de regiones sólidas utilizando integrales dobles e integrales triples en coordenadas rectangulares y polares. Incluye ejemplos para calcular estas áreas y volúmenes mediante el uso de estas integrales.
Ejercicios resueltos integrales dobles y triples manoleter
Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento presenta apuntes de clases sobre cálculo II. En la introducción, los autores explican que estos apuntes buscan entregar los contenidos del curso de una forma más directa que los libros de texto generales sobre el tema. El capítulo 1 introduce conceptos básicos sobre integrales dobles, incluyendo definiciones de integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales, así como la relación entre integrales iteradas e integrales dobles. Los siguientes capítulos abordan temas como integrales dobles en coordenadas polares, integrales
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El profesor Javier Pérez González del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada impartirá la asignatura con el objetivo de proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales para la ingeniería.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta apuntes para el curso de Cálculo Avanzado y Aplicaciones dictado en la Universidad de Chile. Los apuntes cubren temas de cálculo vectorial como divergencia, rotor, integral de flujo y teorema de Gauss, así como funciones de variable compleja, series de potencias y ecuaciones en derivadas parciales. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y fue escrito por profesores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo diferencial e integral. El libro contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: números reales y sucesiones, funciones reales de variable real, cálculo diferencial en una variable, funciones de varias variables, cálculo integral en una variable y cálculo integral con varias variables. Cada capítulo incluye un breve resumen de la teoría relevante, una colección de ejercicios resueltos y una colección de ejercicios propuestos extraídos
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento describe los pasos seguidos para crear un mapa temático de la Comunidad de los Puertos de Altagracia utilizando software de SIG. Inicialmente, se creó una región de interés usando ENVI y se extrajeron curvas de nivel de un modelo digital de elevación con Global Mapper. Luego, se generó un índice de vegetación de diferencia normalizada con ArcGIS para mostrar áreas de vegetación. Finalmente, se creó un proyecto en ArcGIS incorporando las capas creadas y otras datos para generar el mapa temático.
La Universidad Nacional de Ucayali presenta un documento de 10 puntos sobre integrales triples realizado por el Lic. Olmedo Pizango Isuiza de la Facultad de Ciencias Forestales y Ambientales. El documento analiza conceptos matemáticos avanzados relacionados con integrales triples.
Este documento presenta varios problemas relacionados con el cálculo de integrales triples. Primero, explica cómo escribir una integral triple de diferentes formas dependiendo de las proyecciones de la región de integración. Luego, resuelve varios problemas que involucran calcular el volumen de regiones limitadas por superficies dadas mediante el uso de integrales triples.
El documento describe las integrales dobles, que representan el volumen bajo una superficie y sobre una región del plano. Explica que se calculan como dos integrales iteradas, manteniendo fija una variable e integrando respecto a la otra. También describe que los límites de integración pueden definirse por funciones que delimitan secciones transversales verticales u horizontales de la región.
1. El documento presenta cuatro problemas resueltos sobre álgebra lineal que involucran valores y vectores propios, polinomio característico y diagonalización de matrices. En el primer problema se calcula el polinomio característico de una transformación lineal dada y se identifica la opción correcta. En el segundo problema se identifica la proposición falsa sobre valores y vectores propios. En el tercer problema se analiza si una transformación lineal dada es diagonalizable. En el cuarto problema se identifica cuál de las proposiciones dadas sobre diagonal
Este documento trata sobre integrales múltiples. Explica conceptos como áreas de regiones planas y volúmenes de regiones sólidas utilizando integrales dobles e integrales triples en coordenadas rectangulares y polares. Incluye ejemplos para calcular estas áreas y volúmenes mediante el uso de estas integrales.
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Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre cálculo de integrales dobles en coordenadas rectangulares cartesianas. En total se presentan 7 problemas con sus respectivas soluciones, donde se calculan áreas, volúmenes y otras integrales dobles sobre diferentes regiones delimitadas por funciones.
Este documento presenta apuntes de clases sobre cálculo II. En la introducción, los autores explican que estos apuntes buscan entregar los contenidos del curso de una forma más directa que los libros de texto generales sobre el tema. El capítulo 1 introduce conceptos básicos sobre integrales dobles, incluyendo definiciones de integrales dobles sobre rectángulos y regiones generales, así como la relación entre integrales iteradas e integrales dobles. Los siguientes capítulos abordan temas como integrales dobles en coordenadas polares, integrales
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El profesor Javier Pérez González del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada impartirá la asignatura con el objetivo de proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales para la ingeniería.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta apuntes para el curso de Cálculo Avanzado y Aplicaciones dictado en la Universidad de Chile. Los apuntes cubren temas de cálculo vectorial como divergencia, rotor, integral de flujo y teorema de Gauss, así como funciones de variable compleja, series de potencias y ecuaciones en derivadas parciales. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y fue escrito por profesores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo diferencial e integral. El libro contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: números reales y sucesiones, funciones reales de variable real, cálculo diferencial en una variable, funciones de varias variables, cálculo integral en una variable y cálculo integral con varias variables. Cada capítulo incluye un breve resumen de la teoría relevante, una colección de ejercicios resueltos y una colección de ejercicios propuestos extraídos
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un resumen de los principales métodos numéricos para la solución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones, derivadas numéricas, integrales numéricas y ecuaciones diferenciales. Explica conceptos como precisión, error y convergencia, así como métodos iterativos, de interpolación y de diferenciación/integración numérica. El documento provee una introducción general a estos temas y métodos a través de ejemplos expresados en lenguaje Scheme.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento presenta un manual de uso de MATLAB. Explica conceptos básicos como variables, vectores, matrices, operaciones matemáticas, bucles y condicionales. También cubre cálculo simbólico, gráficos, ecuaciones diferenciales y funciones numéricas. El manual proporciona instrucciones detalladas sobre cómo utilizar estas herramientas en MATLAB.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral. Incluye 10 lecciones que cubren temas como los números reales y complejos, funciones, sucesiones, límites, derivadas, integrales de Riemann, series y cálculo diferencial en Rn. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada tema, así como ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen los conceptos. El objetivo general es enseñar los fundamentos del cálculo necesarios para ingenieros de telecomunicaciones.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral. Incluye 10 lecciones que cubren temas como los números reales y complejos, funciones, sucesiones, límites, derivadas, integrales de Riemann, series y cálculo diferencial en Rn. El documento proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada tema, así como ejercicios resueltos para que los estudiantes practiquen los conceptos. El objetivo general es enseñar los fundamentos del cálculo necesarios para ingenieros de telecomunicaciones.
Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de acciones para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección y conservación del medio ambiente. También señala que busca equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer esas demandas de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluy
Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de acciones para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección y conservación del medio ambiente. También señala que busca equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer esas demandas de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluy
El documento habla sobre el medio ambiente y los recursos naturales. Define el medio ambiente como la suma de factores bióticos y abióticos que afectan a los organismos y soportan la vida en la Tierra. Describe los ecosistemas y cómo estos mantienen un equilibrio entre los organismos y los flujos de energía y materiales. Sin embargo, las actividades humanas han causado degradación de los recursos y rompimiento del equilibrio ecológico.
El documento habla sobre el medio ambiente y los recursos naturales. Define el medio ambiente como la suma de factores bióticos y abióticos que afectan a los organismos y permiten la vida en la Tierra. Describe los ecosistemas y cómo estos están compuestos por elementos bióticos como plantas y animales, y elementos abióticos como el agua, el aire y el suelo. Finalmente, explica que los recursos naturales son utilizados por los humanos y que debido a la sobreexplotación, estos se están agotando y alterando
El documento describe las problemáticas ambientales regionales, incluyendo la contaminación del aire, agua y suelo tanto en zonas rurales como urbanas. Esto se debe a la percepción de los recursos naturales como ilimitados, lo que ha llevado a la degradación de ecosistemas, pérdida de biodiversidad y riesgos para la humanidad. En particular, analiza cómo la contaminación afecta los entornos rurales debido a procesos agrícolas y ganaderos.
El documento describe las diferentes formas de contaminación ambiental que afectan el medio rural, incluyendo la contaminación del aire, agua y suelo. Explica que la contaminación del aire en zonas rurales puede ser causada por polvo de maquinaria agrícola, vehículos y quemas agrícolas. La contaminación hídrica incluye vertidos químicos de la agricultura que afectan la calidad del agua. La contaminación del suelo puede ser resultado de la erosión causada por la agricultura en pendientes y la actividad minera.
El documento trata sobre los principales problemas ambientales globales como el cambio climático, la capa de ozono, la lluvia ácida y la desertificación. Explica las causas de cada problema, sus efectos, y los esfuerzos internacionales para abordarlos, pero que aún queda trabajo por hacer debido a la magnitud de los desafíos.
El documento trata sobre los principales problemas ambientales globales como el cambio climático, la capa de ozono, la lluvia ácida y la desertificación. Explica las causas de cada problema, sus efectos, y los esfuerzos internacionales para abordarlos, pero que aún quedan desafíos por delante debido a la magnitud de los impactos y la necesidad de reducir las emisiones contaminantes.
El documento trata sobre la importancia de reciclar y cuidar el medio ambiente. Alienta a amar el colegio y mantener limpio el entorno mediante la dedicación y el trabajo en grupo. Promueve la siembra de árboles y la biodiversidad como forma de conservar la vida en el planeta para el presente y el futuro.
El documento trata sobre la importancia de reciclar y cuidar el medio ambiente. Alienta a amar el colegio y mantener limpio el entorno mediante la dedicación y el trabajo en grupo. Resalta la biodiversidad de Colombia y la necesidad de conservar la vida en el planeta para el presente y el futuro mediante acciones como sembrar árboles.
Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de esfuerzos para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección del medio ambiente. También se define como buscar equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer esas demandas de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluyendo la
Este documento define la gestión ambiental como el conjunto de esfuerzos para lograr un equilibrio entre el desarrollo económico, el crecimiento de la población, el uso racional de los recursos y la protección del medio ambiente. También se define como equilibrar la demanda de recursos naturales con la capacidad del ambiente de satisfacer dicha demanda de manera sostenible. Explica que la evolución de la gestión ambiental corresponde a diferentes formas de entender la relación entre el hombre y la naturaleza, incluyendo la economía
Ethernet es un estándar para redes de área local que utiliza el protocolo CSMA/CD para el acceso al medio, permitiendo que múltiples estaciones accedan de forma compartida al canal. Ethernet ha evolucionado para soportar mayores velocidades de transmisión. Define las especificaciones para los diferentes tipos de medios físicos, formatos de tramas de datos y subcapas de las capas física y de enlace de datos del modelo OSI.
Una dirección IP identifica de manera lógica una interfaz de red dentro de una red que usa el protocolo IP. Existen diferentes clases de direcciones IP (A, B, C, D y E) y también direcciones privadas. La máscara de red delimita el ámbito de una red indicando qué parte de la dirección IP corresponde a la red y qué parte al host específico.
El documento describe el modelo TCP/IP, que consta de cuatro capas: Capa de aplicación, Capa de transporte, Capa de internet e Capa de acceso a la red. Cada capa se encarga de un aspecto diferente de la comunicación de red, como la representación de datos, control de flujo, direccionamiento lógico y control físico del acceso a la red. El modelo TCP/IP fue desarrollado en la década de 1970 y se ha convertido en un estándar ampliamente utilizado para la comunicación de red.
Este documento clasifica los protocolos de enrutamiento en estáticos, adaptativos centralizados, algoritmos por vector de distancia y adaptativos distribuidos, que son estáticos, y algoritmos de estado de enlace y adaptativos aislados, que son dinámicos. Además, clasifica los protocolos de enrutamiento en protocolos de encaminamiento Ad hoc, IGPs para rutas internas de un sistema autónomo, y EGPs para rutas externas entre sistemas autónomos.
El documento habla sobre la detección y corrección de errores en la transmisión de datos. Explica que la detección de errores usa códigos como CRC y paridad para identificar errores, mientras que la corrección de errores intenta corregirlos mediante técnicas como códigos de Hamming. También describe los métodos ARQ y FEC para el control de errores y el flujo de datos, así como el funcionamiento de la ventana deslizante para regular el envío de tramas entre el emisor y receptor.
El documento describe el Modelo OSI, un modelo de referencia desarrollado por la Organización Internacional para la Normalización (ISO) para abordar el problema de la incompatibilidad entre redes. Divide la comunicación de red en siete capas para simplificar la interoperabilidad entre sistemas de redes de diferentes fabricantes y permitir su comunicación. Sin embargo, el modelo OSI nunca se implementó ampliamente debido a que los protocolos TCP/IP ya estaban muy extendidos cuando apareció OSI.
El documento describe el Modelo OSI, un modelo de referencia desarrollado por la Organización Internacional para la Normalización (ISO) para abordar el problema de la incompatibilidad entre redes. Divide la comunicación de red en siete capas para simplificar la interoperabilidad entre sistemas de redes de diferentes fabricantes y permitir su comunicación. Sin embargo, el modelo OSI nunca se implementó ampliamente debido a que los protocolos TCP/IP ya estaban ampliamente utilizados cuando aparecieron los protocolos OSI.
1. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples.
e
*
Eleonora Catsigeras
19 de julio de 2006
Notas para el curso de C´lculo II
a
de la Facultad de Ingenier´
ıa.
´
PROLOGO:
Este texto es complementario al libro de Burgos sobre funciones de varias variables (referencia
[1] de la Bibliograf´ al final de este texto). Fue escrito para ser estudiado despu´s de los cap´
ıa e ıtulos
1, 2 y 3 del libro de Burgos y antes de su cap´ ıtulo 4.
Est´ dirigido a estudiantes universitarios de grado de las carreras de Ingenier´ que est´n
a ıa a
cursando C´lculo II.
a
Se supone conocidos el C´lculo Diferencial e Integral de funciones reales de una variable real
a
(curso de C´lculo I) y el C´lculo Diferencial de funciones reales de varias variables (los primeros
a a
tres cap´
ıtulos del libro de Burgos).
Los objetivos de este texto son:
Estudiar las integrales simples param´tricas (continuidad y derivabilidad respecto al par´metro).
e a
Introducir el tema de integrales dobles y triples, como integrales iteradas de funciones con-
tinuas, antes de estudiar las mismas como integrales de Riemann.
Dar ejemplos resueltos de c´lculo de integrales dobles y triples, y del c´lculo de areas y
a a ´
vol´menes.
u
El texto est´ dividido en seis secciones tem´ticas que no son independientes, sino que cada
a a
una presupone conocido el contenido de las anteriores.
Para seguir el texto es imprescindible dibujar figuras. Pedimos disculpas por no incluir las
figuras en estas notas.
*
Instituto de Matem´tica y Estad´
a ıstica Rafael Laguardia (IMERL), Fac. Ingenieria. Universidad de la Rep´blica.
u
Uruguay. Address: Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay.
1
3. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.
e 19 Julio 2006. 3
1. Integrales param´tricas.
e
1.1. Integrales param´tricas con l´
e ımites de integraci´n independientes.
o
1.1.1. L´
ımites de integraci´n constantes.
o
Sea R = [a, b] × [c, d] el rect´ngulo {a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} contenido en R2 , donde a < b, c < d
a
son n´meros reales fijos.
u
Sea f (x, y) continua para todo (x, y) ∈ R.
Para cada segmento vertical x = x0 fijo, con x0 ∈ [a, b] (hacer figura) se considera la integral
d
c f (x0 , y) dy, de f (x0 , y) respecto de y en el intervalo [c, d], como funci´n de una sola variable y
o
(con x0 constante). Es un n´mero real, que depende del valor constante x0 que se haya elegido en
u
[a, b]. Llam´mosle entonces F (x0 ), y definamos:
e
Definici´n 1.1.2. Integral param´trica con l´
o e ımites de integraci´n constantes.
o
Dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] su integral respecto de y en el intervalo [c, d]
(tomando, mientras se integra respecto de y, un valor constante para x en el intervalo [a, b]) es:
d
F (x) = f (x, y) dy
c
y se llama Integral param´trica de par´metro x (fijo), con l´
e a ımites de integraci´n (c y d) constantes.
o
Ejemplo 1.1.3. Sea f (x, y) = 3(x+y)2 ∀ (x, y) ∈ [a, b]×[c, d]. La integral param´trica con l´
e ımites
de integraci´n c, d y con par´metro x, es:
o a
d d
F (x) = 3(x + y)2 dy = (3x2 + 6xy + 3y 2 ) dy
c c
y=d
2y2 y3
F (x) = 3x y + 6x + 2
2 3 y=c
F (x) = 3x2 (d − c) + 3x(d2 − c2 ) + (d3 − c3 ) (1)
Teorema 1.1.4. Continuidad y derivabilidad de la integral param´trica con l´ e ımites de
integraci´n constantes.
o
Sea f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], y sea la integral param´trica
e
d
F (x) = f (x, y) dy
c
Se cumple:
a) F (x) es una funci´n continua de x para todo x ∈ [a, b].
o
b) Si adem´s la derivada parcial ∂f (x, y)/∂x existe y es continua en (a, b) × [c, d], entonces
a
F (x) es derivable para todo x ∈ (a, b), su derivada F (x) existe y es continua, y verifica la siguiente
igualdad para todo x ∈ (a, b):
d
∂f (x, y)
F (x) = dy
c ∂x
4. 4 Integrales param´tricas e integrales dobles y triples.
e Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.
Demostraci´n: Se ver´ junto a la demostraci´n del teorema 1.1.8.
o a o
1.1.5. L´
ımites de integraci´n variables.
o
Sea como en el p´rrafo 1.1.1, el rect´ngulo R = [a, b] × [c, d] y f (x, y) continua para todo
a a
(x, y) ∈ R.
Sean dadas dos variables reales independientes φ, ψ ambas tomando valores en el intervalo
[c, d]. Para cada valor fijo de la terna (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d] consideremos la integral
ψ
φ f (x, y) dy, integrando respecto de y, como funci´n de una sola variable y (con x constante).
o
Esta integral es un n´mero real, que depende del valor constante x que se haya elegido en [a, b], y
u
que depende tambi´n de los valores φ y ψ dados a los l´
e ımites de integraci´n1 dentro del intervalo
o
[c, d]. Llam´mosle H(x, φ, ψ), y definamos:
e
Definici´n 1.1.6. Integral param´trica con l´
o e ımites de integraci´n variables.
o
Dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], y dados valores reales φ y ψ en el intervalo [c, d],
la integral respecto de y (tomando, mientras se integra respecto de y, un valor constante para x
en el intervalo [a, b]), con l´
ımites de integraci´n φ y ψ es:
o
ψ
H(x, φ, ψ) = f (x, y) dy
φ
y se llama Integral param´trica de par´metro x y l´
e a ımites de integraci´n φ y ψ.
o
Ejemplo 1.1.7. Sea f (x, y) = 3(x + y)2 ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. La integral param´trica de f
e
respecto de y con l´
ımites de integraci´n φ, ψ y con par´metro x, es, aplicando la f´rmula (1) del
o a o
ejemplo 1.1.3:
ψ
H(x, φ, ψ) = 3(x + y)2 dy = 3x2 (ψ − φ) + 3x(ψ 2 − φ2 ) + (ψ 3 − φ3 ) (2)
φ
Teorema 1.1.8. Continuidad y derivabilidad de la integral param´trica con l´ e ımites de
integraci´n variables.
o
Sea f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], y sea la integral param´trica
e
ψ
H(x, φ, ψ) = f (x, y) dy ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d]
φ
Se cumple:
a) H(x, φ, ψ) es una funci´n continua ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d].
o
b) Las derivadas parciales de H(x, φ, ψ) respecto de φ y ψ, existen y son continuas para todo
(x, φ, ψ) ∈ [a, b] × (c, d) × (c, d), y verifican las siguientes igualdades:
∂H(x, φ, ψ)
= f (x, ψ)
∂ψ
∂H(x, φ, ψ)
= −f (x, φ)
∂φ
1
No es necesario que se cumpla φ ≤ ψ.
5. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.
e 19 Julio 2006. 5
c) Si adem´s la derivada parcial ∂f (x, y)/∂x existe y es continua en (a, b) × [c, d], entonces
a
la derivada parcial de H(x, φ, ψ) respecto de x, existe y es continua para todo (x, φ, ψ) ∈ (a, b) ×
[c, d] × [c, d] y verifica la siguiente igualdad:
ψ
∂H(x, φ, ψ) ∂f (x, y)
= dy
∂x φ ∂x
d) En las hip´tesis de la parte c), la funci´n H(x, φ, ψ) es diferenciable ∀ (x, φ, ψ) ∈ (a, b) ×
o o
(c, d) × (c, d).
Demostraci´n de los teoremas 1.1.4 y 1.1.8: Observemos primero que el teorema 1.1.4 se
o
obtiene de aplicar las partes a) y c) del teorema 1.1.8, usando φ = c, ψ = d, como caso particular.
Prueba de la parte a) del teorema 1.1.8: Probaremos que H es uniformemente continua
en su dominio, que es el conjunto M = [a, b] × [c, d] × [c, d].
Por la definici´n de continuidad uniforme, dado > 0 habr´ que probar que existe δ > 0 tal
o a
que
(x, φ, ψ) ∈ M, (x0 , φ0 , ψ0 ) ∈ M, ||(x, φ, ψ) − (x0 , φ0 , ψ0 )|| < δ ⇒
⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| < (a probar) (1)
Tomemos un valor de ∗ > 0, cuya elecci´n se especificar´ despu´s.
o a e
Por ser f (x, y) continua en el rect´ngulo compacto R = [a, b] × [c, d], es uniformemente com-
a
pacto en R. Luego, existe δ1 > 0 tal que
∗
(x, y) ∈ R, (x0 , y) ∈ R, ||(x, y) − (x0 , y)|| = |x − x0 | < δ1 ⇒ |f (x, y) − f (x0 , y)| < (2)
Acotemos ahora H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ):
ψ ψ
|H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ)| = f (x, y) − f (x0 , y) dy ≤ |f (x, y) − f (x0 , y)| dy (3)
φ φ
Sustituyendo (2) en (3) se obtiene:
ψ
∗ ∗
|x − x0 | < δ1 ⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ)| ≤ dy = · |ψ − φ| (4)
φ
Siendo ψ y φ reales del intervalo [c, d], se cumple |ψ − φ| ≤ (d − c), y por lo tanto de (4) se deduce:
∗
|x − x0 | < δ1 ⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ)| ≤ · (d − c) (5)
Por otro lado, llamando M al m´ximo de |f (x, y)| en el rect´ngulo compacto R (tal M existe
a a
porque por hip´tesis f es una funci´n continua en el compacto R), se obtiene:
o o
ψ ψ0
|H(x0 , φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| = f (x0 , y) dy − f (x0 , y) dy =
φ φ0
φ0 ψ
= f (x0 , y) dy + f (x0 , y) dy ≤ M · |φ − φ0 | + M · |ψ − ψ0 | (6)
φ ψ0
6. 6 Integrales param´tricas e integrales dobles y triples.
e Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.
En la igualdad del medio de (6) hemos usado que la integral de una funci´n entre φ y ψ es igual a
o
la integral de la misma funci´n entre φ y φ0 , m´s la integral entre φ0 y ψ0 , m´s la integral entre
o a a
ψ0 y ψ.
Eligiendo δ2 = ∗ /(2M ), se deduce de (6):
∗
|φ − φ0 | < δ2 , |ψ − ψ0 | < δ2 ⇒ |H(x0 , φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| ≤ 2M δ2 = (7)
Aplicando la propiedad triangular del valor absoluto, y las desigualdades (5) y (7), se obtiene:
|H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| ≤ |H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ)| + |H(x0 , φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| ≤
∗ ∗ ∗
≤ (d − c) + = (1 + d − c) < (8)
donde, dado > 0 se eligi´ cualquier ∗ > 0 menor que /(1 + d − c).
o
La desigualdad (8) vale para toda pareja de puntos (x, φ, ψ) y (x0 , φ0 , ψ0 ) en M tales que
|x − x0 | < δ1 , |φ − φ0 | < δ2 y |ψ − ψ0 | < δ2 .
Si se llama δ > 0 al menor entre los n´meros positivos δ1 y δ2 se deduce de (8) lo siguiente:
u
(x, φ, ψ) ∈ M, (x0 , φ0 , ψ0 ) ∈ M, ||(x, φ, ψ) − (x0 , φ0 , ψ0 )|| < δ ⇒
⇒ |H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ0 , ψ0 )| <
Esta ultima es la afirmaci´n (1) que quer´
´ o ıamos probar.
Prueba de la parte b) del teorema 1.1.8:
Sea, para x ∈ [a, b] fijo, y para φ ∈ [c, d] tambi´n fijo, la funci´n:
e o
Y
F (Y ) = f (x, y) dy
φ
donde el extremo de integraci´n superior Y es variable en el intervalo (c, d). Por el teorema
o
fundamental del c´lculo integral en una variable real y, se sabe que F (Y ) es una primitiva de
a
f (x, Y ) respecto de la variable Y . (Recordar que aqu´ x es una constante.) Es decir, F (Y ) es
ı
derivable respecto de Y , y su derivada es
F (Y ) = f (x, Y ) ∀ Y ∈ (c, d) (9)
Observemos que, por construcci´n de la funci´n H(x, φ, ψ), se cumple lo siguiente:
o o
∂H(x, φ, Y )
F (Y ) = H(x, φ, Y ) ∀ Y ∈ (c, d) ⇒ F (Y ) = ∀ Y ∈ (c, d) (10)
∂Y
Por lo tanto, reuniendo (9) y (10), y usando Y = ψ se obtiene:
∂H(x, φ, ψ)
= f (x, ψ) ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × [c, d] × (c, d)
∂ψ
Esta ultima es la primera de las igualdades que quer´
´ ıamos probar. La igualdad anterior implica
que existe la derivada parcial de H respecto de ψ y es continua, porque f es por hip´tesis una
o
funci´n continua.
o
7. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.
e 19 Julio 2006. 7
Sea ahora, para x ∈ [a, b] fijo, y para ψ ∈ [c, d] tambi´n fijo, la funci´n:
e o
ψ Y
G(Y ) = f (x, y) dy = − f (x, y) dy =
Y ψ
Y
G(Y ) = −f (x, y) dy
ψ
donde el extremo de integraci´n Y es variable en el intervalo (c, d).
o
Por el teorema fundamental del c´lculo integral en una variable real y, se sabe que G(Y ) es
a
una primitiva de −f (x, Y ) respecto de la variable Y . (Recordar que aqu´ x es una constante.) Es
ı
decir, G(Y ) es derivable respecto de Y , y su derivada es
G (Y ) = −f (x, Y ) ∀ Y ∈ (c, d) (11)
Observemos que, por construcci´n de la funci´n H(x, φ, ψ), se cumple lo siguiente:
o o
∂H(x, Y, ψ)
G(Y ) = H(x, Y, ψ) ∀ Y ∈ (c, d) ⇒ G (Y ) = ∀ Y ∈ (c, d) (12)
∂Y
Por lo tanto, reuniendo (11) y (12), y usando Y = φ se obtiene:
∂H(x, φ, ψ)
= −f (x, ψ) ∀ (x, φ, ψ) ∈ [a, b] × (c, d) × [c, d]
∂φ
Esta ultima es la segunda de las igualdades que quer´
´ ıamos probar. La igualdad anterior implica
que existe la derivada parcial de H respecto de φ y es continua, porque f es por hip´tesis una
o
funci´n continua.
o
Prueba de la parte c) del teorema 1.1.8:
Basta demostrar que para todo x0 ∈ (a, b) fijo, y para todo (φ, ψ) ∈ [c, d] × [c, d] fijos, se
cumple:
ψ
H(x, φ, ψ) − H(x0 , φ, ψ) ∂f (x, y)
l´
ım = dy (13)
x→x0 x − x0 φ ∂x x=x0
En efecto, si probamos la igualdad (13), por definici´n de derivada parcial como l´
o ımite de cociente
incremental, deducimos que existe la derivada parcial ∂H/∂x de H respecto de x, en x = x0 ; y
que cumple la igualdad de la tesis c) que quer´ıamos probar. Adem´s, como es ∂H/∂x igual a la
a
integral param´trica de una funci´n continua (en este caso ∂f (x, y)/∂x, entonces, por la parte a)
e o
ya probada, es ∂H/∂x continua.
ψ
Ahora probemos (13). Sabiendo que H(x, φψ) = φ f (x, y) dy, sustituyendo en (13) deducimos
que basta probar lo siguiente:
Dado > 0 probar que existe δ > 0 tal que:
ψ
φ (f (x, y) − f (x0 , y)) dy ψ
∂f (x, y)
|x − x0 | < δ ⇒ − dy < (a probar) (14)
x − x0 φ ∂x x=x0
8. 8 Integrales param´tricas e integrales dobles y triples.
e Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.
En efecto:
ψ
φ (f (x, y) − f (x0 , y)) dy ψ ψ
∂f (x0 , y) f (x, y) − f (x0 , y) ∂f (x0 , y)
− dy ≤ − dy (15)
x − x0 φ ∂x φ x − x0 ∂x
Por el teorema del valor medio del c´lculo diferencial para funciones de dos variables, existe
a
un punto intermedio ξ entre x0 y x tal que:
f (x, y) − f (x0 , y) ∂f (ξ, y)
= , ξ = x0 + t(x − x0 ), t ∈ [0, 1]
x − x0 ∂x
Luego, sustituyendo en el segundo miembro de la desigualdad (15):
ψ
φ (f (x, y) − f (x0 , y)) dy ψ
∂f (x0 , y)
− dy ≤
x − x0 φ ∂x
ψ
∂f (ξ, y) ∂f (x0 , y)
≤ − dy, ξ = x0 + t(x − x0 ), t ∈ [0, 1] (16)
φ ∂x ∂x
Tomemos un intervalo cerrado [a , b ] , tal que x0 ∈ [a , b ] ⊂ (a, b). Como por hip´tesis la funci´n
o o
∂f (x, y)/∂x es continua en el compacto R = [a , b ] × [c, d], es uniformemente continua en ´l. Por
e
lo tanto, para todo ∗ > 0 existe δ > 0 (independiente de x, y), tal que:
∂f (ξ, y) ∂f (x0 , y) ∗
(ξ, y) ∈ R , (x0 , y) ∈ R , |ξ − x0 | < δ ⇒ − < (17)
∂x ∂x
Si elegimos x tal que |x − x0 | < δ, entonces para ξ = x0 + t(x − x0 ), t ∈ [0, 1], se cumple:
|x − x0 | < δ; ⇒ |ξ − x0 | = |t(x − x0 )| = |t||x − x0 | < 1 · δ = δ
Por lo tanto se puede aplicar (17). Sustituyendo (17) en el segundo miembro de la desigualdad
(16), se deduce:
|x − x0 | < δ ⇒
ψ
φ (f (x, y) − f (x0 , y)) dy ψ ψ
∂f (x0 , y) ∗ ∗ ∗
− dy ≤ dy ≤ |ψ − φ| ≤ · (d − c) < (18)
x − x0 φ ∂x φ
Al final de la desigualdad (18) se us´ que φ y ψ est´n en el intervalo [c, d], y por lo tanto distan
o a
menos que la longitud d − c de ese intervalo. Tambi´n se eligi´, dado > 0, un valor de ∗ > 0
e o
menor que /(d − c).
Se observa que la afirmaci´n (18) es la misma (14) que quer´
o ıamos probar.
Prueba de la parte d) del teorema 1.1.8: Seg´n lo probado en las partes b) y c) las
u
tres derivadas parciales de H existen y son continuas para todo (x, φ, ψ) ∈ (a, b) × (c, d) × (c, d).
Si una funci´n real de tres variables tiene sus tres derivadas parciales continuas en un abierto,
o
entonces es diferenciable en todos los puntos de ese abierto. Por lo tanto H es diferenciable en
(a, b) × (c, d) × (c, d), como quer´
ıamos demostrar.
9. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.
e 19 Julio 2006. 9
Ejemplo 1.1.9. Retomando la igualdad (2) del ejemplo 1.1.7, con f (x, y) = 3(x2 + y 2 ), ten´
ıamos:
H(x, φ, ψ) = 3x2 (ψ − φ) + 3x(ψ 2 − φ2 ) + (ψ 3 − φ3 ) (2)
Denotando con Hx , Hφ , Hψ a las tres derivadas parciales de H(x, φ, ψ), respecto de x, de φ y de
ψ respectivamente, resulta de (2):
Hx = 6x(ψ − φ) + 3(ψ 2 − φ2 ) (3)
Por otro lado, usando la parte b) del teorema 1.1.8 se obtiene:
ψ
∂ 3(x + y)2
Hx = dy =
φ ∂x
y=ψ
ψ
y2
= 6(x + y) dy = 6xy + 6 = 6x(ψ − φ) + 3(ψ 2 − φ2 )
φ 2 y=φ
Este resultado coincide con el encontrado en (3).
Por un lado usando la igualdad (2) se obtiene
Hψ = 3x2 + 6xψ + 3ψ 2 = 3(x + ψ)2 , Hφ = −3x2 − 6xφ + −3φ2 = −3(x + φ)2 (4)
Por otro lado, usando la parte b) del teorema 1.1.8 se obtiene:
Hψ = 3(x + y)2 y=ψ
= 3(x + ψ)2 , Hφ = −3(x + y)2 y=φ
= −3(x + φ)2 (5)
los resultados de (5) son los mismos encontrados en (4).
1.2. Integrales param´tricas con l´
e ımites de integraci´n dependientes
o
del par´metro.
a
Ahora consideraremos los l´ımites de integraci´n dependientes del par´metro x:
o a
Sea como en los p´rrafos 1.1.1 y 1.1.5, el rect´ngulo R = [a, b] × [c, d].
a a
Sean dadas dos funciones reales continuas φ, ψ : [a, b] → [c, d] y usemos los resultados vistos
hasta ahora usando φ = φ(x), ψ = ψ(x) como l´ ımites de integraci´n. (Tomaremos para fijar ideas
o
φ(x) ≤ ψ(x) para todo x ∈ [a, b]).
Consideremos el dominio D contenido en el rect´ngulo [a, b] × [c, d] dado por la siguiente
a
condici´n:
o
D = {a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}
Hacer figura: En el plano (x, y) dibujar el rect´ngulo [a, b] × [c, d], y en ´l las gr´ficas de las
a e a
funciones y = φ(x) y y = ψ(x) cuando x ∈ [a, b], cumpliendo φ(x) ≤ ψ(x). Entonces D es la
regi´n comprendida entre esas gr´ficas, que se proyecta en el eje de las x sobre el intervalo [a, b].
o a
Est´ formada por la uni´n de “bastones”verticales (es decir segmentos de recta verticales), con
a o
abscisa x constante, con extremo inferior de ordenada φ(x) y extremo superior de ordenada ψ(x).
Al variar x en el intervalo [a, b] este segmento vertical barre el dominio D.
Sea dada una funci´n f (x, y) continua para todo (x, y) ∈ D.
o
10. 10 Integrales param´tricas e integrales dobles y triples.
e Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.
Para cada valor fijo de x ∈ [a, b] tomemos la terna (x, φ(x), ψ(x)) ∈ [a, b] × [c, d] × [c, d] Ahora
no son las tres variables (x, φ, ψ) independientes entre s´ sino que las dos ultimas dependen de la
ı, ´
ψ(x)
primera. Consideremos la integral φ(x) f (x, y) dy, integrando respecto de y, como funci´n de una
o
sola variable y (con x constante). Esta integral es un n´mero real. Llam´mosle F (x), y definamos:
u e
Definici´n 1.2.1. Integral param´trica con l´
o e ımites de integraci´n variables dependien-
o
tes del par´metro.
a
Sean dadas dos funciones continuas2 φ = φ(x) y ψ = ψ(x) del intervalo [a,b] al intervalo [c, d],
y sea dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ D = {x ∈ [a, b], y ∈ I(x)}, donde I(x) es el segmento vertical
de extremos (x, φ(x)), (x, ψ(x)).
Consideremos la integral de f (x, y) respecto de y (tomando, mientras se integra respecto de
y, un valor constante para x en el intervalo [a, b]), con l´ımites de integraci´n φ(x) y ψ(x):
o
ψ(x)
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) = f (x, y) dy
φ(x)
A F (x), definida por la f´rmula anterior, se le llama integral param´trica de par´metro x y l´
o e a ımites
de integraci´n φ(x) y ψ(x).
o
(Observaci´n: En esta definici´n, la funci´n H es la definida en 1.1.6.)
o o o
Observaci´n: Un caso particular es cuando las funciones φ y ψ son constantes φ(x) = c, ψ(x) =
o
d para todo x ∈ [a, b]. En ese caso la funci´n F (x) definida en 1.2.1 coincide con la funci´n F (x)
o o
definida en 1.1.2.
Ejemplo 1.2.2. Sea f (x, y) = 3(x + y)2 ∀ (x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. La integral param´trica de f
e
ımites de integraci´n φ = 2x, ψ = x3 es, aplicando la f´rmula (2) del ejemplo
respecto de y con l´ o o
1.1.7:
x3
F (x) = 3(x + y)2 dy = 3x2 (x3 − 2x) + 3x(x6 − 4x2 ) + (x9 − 8x3 ) = x9 + 3x7 + 3x5 − 26x3 (6)
2x
Teorema 1.2.3. Continuidad y derivabilidad de la integral param´trica con l´ e ımites de
integraci´n dependientes del par´metro.
o a
Sean dadas dos funciones continuas φ = φ(x) y ψ = ψ(x) del intervalo [a, b] al intervalo [c, d],
y sea dada f (x, y) continua ∀ (x, y) ∈ D = {x ∈ [a, b], y ∈ I(x)}, donde I(x) es el segmento vertical
de extremos (x, φ(x)), (x, ψ(x)).
Sea la integral param´trica
e
ψ(x)
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) = f (x, y) dy ∀ x ∈ [a, b]
φ(x)
Se cumple:
a) F (x) es una funci´n continua ∀ x ∈ [a, b].
o
b) Si adem´s la derivada parcial ∂f (x, y)/∂x existe y es continua3 en D, y las derivadas φ (x)
a
y ψ (x) existen y son continuas4 en [a, b]; entonces F (x) es derivable ∀ x ∈ (a, b), su derivada
2
No es necesario que φ(x) ≤ ψ(x)
3
Quiere decir que existe en el interior de D y tiene una extensi´n continua al borde de D
o
4
Quiere decir que existen en el interior del intervalo [a,b] y que tienen extensiones continuas a los extremos de
ese intervalo.
11. Integrales param´tricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras.
e 19 Julio 2006. 11
F (x) es continua y verifica la siguiente igualdad:
ψ(x)
∂f (x, y)
F (x) = dy + f (x, ψ(x))ψ (x) − f (x, φ(x))φ (x)
φ(x) ∂x
Demostraci´n: La funci´n F (x) es la composici´n siguiente:
o o o
F (x) = H(x, φ(x), ψ(x)) ∀ x ∈ [a, b]
donde H(x, φ, ψ) es la funci´n definida en el teorema 1.1.8.
o
Por el resultado de la parte d) del teorema 1.1.8, la funci´n H es diferenciable, con derivadas
o
parciales continuas, y por hip´tesis φ(x) y ψ(x) tambi´n lo son. Luego, por la regla de la cadena
o e
F (x) existe, es continua y cumple:
∂H ∂H ∂H
F (x) = + φ (x) + ψ (x) (1)
∂x ∂φ ∂ψ
Usando las f´rmulas de las partes b) y c) del teorema 1.1.8, se tiene:
o
∂H ∂H
= −f (x, φ), = f (x, ψ)
∂φ ∂ψ
Sustituyendo en (1) se concluye la tesis del teorema.
Ejemplo 1.2.4. Hallar la derivada de la siguiente funci´n F (x) (sin hallar la funci´n F (x)):
o o
x3
F (x) = 3(x + y)2 dy
2x
Llamando
ψ
H(x, φ, ψ) = 3(x + y)2 dx
φ
se cumple, para φ = x y para ψ = x2 la siguiente igualdad:
F (x) = H(x, 2x, x3 )
Por la regla de la cadena (llamando Hx , Hφ , Hψ a las tres derivadas parciales de H respecto de x,
de φ y de ψ respectivamente):
F (x) = Hx + Hφ φ (x) + Hψ ψ (x) = Hx + 2Hφ + 3x2 Hψ (7)
Usando las igualdades al final de la parte b) del teorema 1.1.8 se encuentran los resultados (3) y
(4) del ejemplo 1.1.9:
Hx = 6x(ψ − φ) + 3(ψ 2 − φ2 ), Hψ = 3(x + ψ)2 , Hφ = −3(x + φ)2 (8)
Sustituyendo (8) en (7), y recordando que φ = 2x, ψ = x3 , resulta:
F (x) = 9x8 + 21x6 + 15x4 − 78x2 .