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Cuaderno Técnico nº 018

Análisis de las redes trifásicas en
régimen perturbado con la ayuda
de las componentes simétricas




                    Benoit de Metz-Noblat
La Biblioteca Técnica constituye una colección de títulos que recogen las novedades electrotécnicas
y electrónicas. Están destinados a Ingenieros y Técnicos que precisen una información específica o
más amplia, que complemente la de los catálogos, guías de producto o noticias técnicas.


Estos documentos ayudan a conocer mejor los fenómenos que se presentan en las instalaciones, los
sistemas y equipos eléctricos. Cada uno trata en profundidad un tema concreto del campo de las
redes eléctricas, protecciones, control y mando y de los automatismos industriales.


Puede accederse a estas publicaciones en Internet:
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reproducidos en la presente obra y no serán responsables de eventuales errores u omisiones, ni de las consecuencias
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Cuaderno Técnico no 018

Análisis de las redes trifásicas en
régimen perturbado con la ayuda de las
componentes simétricas



                            Benoit de METZ-NOBLAT
                            Ingeniero ESE, trabajó en Saint Gobain como
                            Ingeniero de investigación y después en la sección
                            de pruebas y equipos nuevos en una empresa de
                            producción.
                            Entró en Merlin Gerin en 1 986, trabajando como
                            Ingeniero en el servicio de estudios de redes,
                            especializándose en el estudio de las
                            sobretensiones, armónicos y la estabilidad dinámica
                            de las redes.



Trad.: E. Milà; J.M. Giró


Original francés: diciembre 1 990
Versión española: marzo 2 000
Análisis de las redes trifásicas en régimen
                             perturbado con la ayuda de las
                             componentes simétricas


                             La determinación de las dimensiones de una instalación y los materiales que la
                             componen, la regulación de las protecciones y el análisis de los fenómenos
                             eléctricos precisan, a menudo, el cálculo de las corrientes y las tensiones
                             presentes en las redes.
                             El desarrollo de este Cuaderno Técnico persigue, como finalidad primordial, la
                             presentación o recordatorio de un método simple de cálculo (con la ayuda de las
                             componentes simétricas) de todos los parámetros en las redes trifásicas en
                             régimen perturbado.




1 Presentación                                                                                              p.    5
2 Repaso matemático de la    2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico                             p.    6
  teoría de vectores         2.2 Definición de base                                                         p.    6
                             2.3 Representación vectorial                                                   p.    7
                             2.4 Componentes simétricas                                                     p.    8
                             2.5 Descomposición de un sistema trifásico en                                  p.    9
                                 sus componentes simétricas
                             2.6 Cálculo de las componentes simétricas                                      p.   10
                             2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia                                  p.   11
3 Aplicaciones elementales   3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados                         p.   12
                             3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar)                            p.   13
                             3.3 Defecto bifásico a tierra                                                  p.   15
                             3.4 Defecto trifásico                                                          p.   16
                             3.5 Red con cargas desequilibradas                                             p.   17
                             3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas                         p.   18
                             3.7 Formulario de recapitulación                                               p.   20
4 Ejemplos resueltos         4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático                     p.   23
                             4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático                     p.   24
                             4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una                   p.   28
                                 red MT con neutro a tierra
                             4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de                       p.   30
                                 un sistema de tensión y de corriente




                                                                             Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 4
1   Presentación


          Si consideramos el funcionamiento en régimen        El método general, aplicando de las leyes de
          normal equilibrado simétrico, el estudio de las     Ohm y de Kirchhoff, es posible, pero resulta
          redes trifásicas puede reducirse al estudio de      largo y complicado.
          una red monofásica equivalente de tensiones         El método de las componentes simétricas,
          iguales a las tensiones simples de la red, de       descrito en el presente documento, simplifica
          corrientes iguales a las de la red e impedancias    los cálculos y permite una solución mucho más
          iguales a las de la red, denominadas                fácil que la superposición de tres redes
          impedancias cíclicas.                               monofásicas independientes. Después de
          Al aparecer una asimetría significativa en la       repasar las nociones vectoriales, se aplica este
          configuración de la red, ya no es posible aplicar   método a los diferentes tipos de cortocircuito,
          la simplificación, pues no podemos establecer       acabando con unos ejemplos de casos
          las relaciones entre los diferentes conductores     prácticos reales.
          con la ayuda de una impedancia cíclica para
          cada elemento de la red.




                                                                         Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 5
2     Repaso matemático de la teoría de vectores



2.1   Representación vectorial de un fenómeno físico

              Un fenómeno físico vibratorio es senoidal                n Recíprocamente, se puede hacer
              cuando la elongación de un punto vibrante es             corresponder un vector giratorio a cualquier
              una función senoidal del tiempo                          función senoidal
              x = a cos (ωt + ϕ)                                       x = a cos (ωt + ϕ).
              Esta aplicación es perfectamente conocida en             Por convenio, se representa la función x por el
                                                                               uuuu
                                                                                  r
              electrotecnia, donde tanto corrientes como               vector OM en la posición que ocupa en el
              tensiones son fenómenos senoidales.                      instante inicial t = 0; el módulo del vector
                                              uuuu
                                                 r                     representa lauuu uuuu
                                                                                      amplitud, a, de la función senoidal,
              n Consideremos un vector uuu de módulo a,                                 r    r
                                      (
                                          uuu OM
                                            r r
                                              )
              girando sobre el plano Ox, Oy alrededor de su                          (        )
                                                                       y el ángulo Ox, OM representa su fase inicial.
              origen O con una velocidad angular constante ω           n Por tanto, el estudio de un fenómeno físico
              (figura 1).                                              senoidal puede reducirse al estudio del vector
                                                         uuu uuuu
                                                           r    r
                                                       (
              Si en el instante inicial t = 0, el ángulo Ox, OM    )   que le corresponde, lo que es muy interesante,
                                                                       porque la utilización matemática de los vectores
              tiene un valor ϕ, en el instante t, tendrá un valor
              (ωt + ϕ).                                                es accesible. Se aplica en particular al dominio
                                                   uuuu
                                                      r                de los fenómenos eléctricos trifásicos en los que
              Proyectamos el vector corriente OM sobre el eje
               uuu
                 r                                                     las tensiones y corrientes están representadas
               Ox . El valor algebraico de esta proyección es,         por vectores giratorios.
              en el instante t
              x = a cos (ωt + ϕ).
              Con lo que:                                                                         y
              o el movimiento de la proyección rdel extremo
                                                uuu
              del vector giratorio sobre el eje Ox es un                                                        M
                                                                                                      IaI
              movimiento senoidal de amplitud a, igual al                                                   t
              módulo de este vector,                                                 -a           O             x        x
                                                                                                                    +a
              o la pulsación ω del movimiento senoidal es
              igual a la velocidad angular del vector giratorio,
              o la fase inicial ϕ es igual al uuu
                                               ángulo formado por
                                                r
              el vector giratorio con el eje Ox en el                  Fig. 1.
              instante t = 0.




2.2   Definición de base
                                                                                   ur
              n Sea un fenómeno eléctrico pulsatorio                   n El vector V , cuyo origen se sitúa en O, se
              senoidal, representado por un vector giratorio
              uur                                                      caracteriza esencialmente por:
               V (figura 2).                                                            ur
                                                                       o una amplitud V : en un instante dado, la
              n Se toma previamente sobre el plano:                    longitud del vector es numéricamente igual al
                                     uuu
                                       r                               módulo de la amplitud máxima del fenómeno,
              o un eje de referencia Ox de vector unitario
              uu uu
                r   r                                                  o una fase ϕ: es, en un instante dado, el ángulo
               x : x = 1,                                               uuu ur
                                                                           r               ur
                                                                       (         )
                                                                        Ox, V , que forma V con el eje de referencia
              o un sentido de rotación, convencionalmente              uuu
                                                                         r
              definido como positivo en el sentido                     Ox , teniendo en cuenta el sentido de rotación
              antihorario + .                                          adoptado.




                                                                                     Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 6
o una pulsación: es la velocidad de rotación
              constante del vector, en radianes por segundo.
              Se expresa habitualmente en revoluciones por
              segundo y en tal caso da la frecuencia del
              fenómeno expresada en Hz (1 Hz = 2 π rad/s).                   +                          V
              n Un sistema trifásico es un conjunto de 3
                       → → →
              vectores V1, V2, V3 con origen común, de igual
                                                                           O
              pulsación y que tengan cada uno una amplitud                               x                             x
              constante.
              n Un sistema eléctrico es lineal cuando
              presenta proporcionalidad de relación causa-
              efecto.                                            Fig. 2.




2.3   Representación vectorial
                        →
              El vector V se representa clásicamente en un
              sistema de ejes de coordenadas rectangulares                           y
                                                                           +
              (figura 3):
               ur uuuu uuur uuur
                     r                 r       r                                 Y                                 M
               V = OM = OX + OY = OX. x + OY . y
              n Operador «j»                                                                        V
              Para facilitar las operaciones con los vectores,
              uur                                                              y
               V puede representarse de forma equivalente
                                                                                 O       x                     X       x
              con un número complejo utilizando el
              operador «j».
                                                                 Fig. 3.
              «j» es un operador vectorial que consiste en
              girar el vector al que se aplicauuu ángulo de
                                                un uu
                                                 r   r
              + π/2; por tanto, en la figura,  jx = y .                                      aV
                                                                                     +
              Por tanto, se ve que:                                                                     120o

                                        π    
               j2 = −1  rotación de 2 x   = π                                      120o                      V
                                        2    
                                                                                                        120o
                                        π   3π 
               j = − j  rotación de 3 x
               3
                                           =    
                                        2    2                                             a2 V


                                        π      
               j4 = +1  rotación de 4 x   = 2π                 Fig. 4.
                                        2      
                                                                 a2 hace girar un vector un ángulo:
              de donde:
              ur      r        uu r
                                 r                                    2π   4π                          2π 
                                      (
              V = OX. x + OY . j y = x OX + j OY    )            2x
                                                                      3
                                                                         =
                                                                           3
                                                                                     
                                                                                      equivalente a −
                                                                                                      3 
                                                                                                          ,

              n Operador «a»                                     a3 hace girar un vector un ángulo:
              «a» es un operador vectorial que consiste en           2π
                                   2π                            3x      = 2π (equivalente a 0 ) ,
              aplicar un giro de +     al vector sobre el que         3
                                   3                                            3                   3 ,
                                                                 a = − 0,5 + j    ; a2 = − 0,5 − j
              se realiza la operación (figura 4).                              2                   2
              Vemos que:

                                                                 de donde:



                                                                                   Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 7
a0 = a3 = a6 ... = 1                                Esta última relación se verifica gráficamente
              a=   a4   =   a7   = ...                            constatando, sobre la figura, que la suma de los
                                                                  vectores representados es nula:
              a=   a–2      =   a–5   = ...                       ur    ur      ur
                                                                  V + a.V + a2 .V = 0
                                                                             ur
                                                                                  (          )
              a2   =   a5   =   a8   = ...
                                                                  de donde V 1 + a + a2 = 0 ,
              a2 = a–1 = a–4 = ...
                                                                  y, por tanto:
              a − a2 = j 3                                        1 + a + a2 = 0.
              y
              1 + a + a2 = 0.




2.4   Componentes simétricas

              Sea un conjunto de tres vectores trifásicos         n El «sistema inverso», todavía denominado
              senoidales que giran a la misma velocidad. Se       por los anglosajones «secuencia negativa»
              consideran fijos unos respecto a los otros.         (figura 6):
                                                                   uu uur uur
                                                                    r
              Existen tres disposiciones particulares que          V1,V2,V3 :
              representan una simetría de los vectores entre
              sí y que se ha dado en calificarlas como            o tienen la misma amplitud,
              «componentes simétricas».                           o están desfasados 120o,
              n El «sistema directo», todavía denominado por      o están dispuestos de forma que un observador
              los anglosajones «secuencia positiva»               en reposo vea desfilar los vectores en el orden
                          uuur uuuu uuuu
                                  r    r
              (figura 5): V1 , V2 , V3 :                          uu uur uuu
                                                                   r       r
                                                                  V1,V3 ,V2;
              o tienen la misma amplitud,                         uur
                                                                  V1
              o están desfasados 120o,                            uur     uur
                                                                  V2 = a. V1
              o están dispuestos de forma que un observador       uur      uur     uur
              en reposo vea desfilar los vectores en el orden     V3 = a2 .V1 = a. V2 .
              uuur uuuu uuuu
                      r    r
               V1 , V2 , V3 :
              uur
              V1
                                                                                      V2
              uur      uur     uur
              V2 = a2 .V1 = a. V3                                                                120o
              uur    uur                                                                                 V1
              V3 = a.V1 .
                                                                                      120o
                                                                                                  120o


                                                 V3
                                                                                        V3

                                                      120o
                                                                  Fig. 6: Sistema inverso.
                                             o
                                      120

                                                             V1
                                                  120o
                                V2



              Fig. 5: Sistema directo.




                                                                               Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 8
n El «sistema homopolar», denominado por los
                             anglosajones «secuencia nula» (figura 7)                                                        V3
                             uu uur uur
                              r                                                                                         V2
                             V1,V2,V3 :                                                                            V1

                             o tienen la misma amplitud,
                             o están en fase y por tanto son colineales; un
                             observador en reposo los vería pasar al mismo
                             tiempo.                                                                   Fig. 7: Sistema homopolar.




    2.5       Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas

                             Sea un sistemar trifásico cualquiera formado por                          uu uur uu uur
                                                                                                         r         r
                                            uu uur uur                                                 V1 = Vd + Vi + Vo
                             tres vectores V1,V2 ,V3 (definiciones de base);                           uur       uur     uu uur
                                                                                                                          r
                             se demuestra que este sistema es la suma de 3                             V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo
                             sistemas trifásicos equilibrados: directo, inverso                        uur     uur       uu uur
                                                                                                                          r
                                                                                                       V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo
                             y homopolar.
                                                     uuur uuuu uuuu
                                                              r    r
                             Sistema directo:        Vd1, Vd2, Vd3                                     Se pueden calcular las componentes simétricas:
                                                     uur uuu uuu
                                                            r r
                             Sistema inverso:        Vi1, Vi2, Vi3                                     uur 1            uu
                                                                                                                         r            uur          uur
                                                     uuur uuuu uuuu
                                                              r
                             Sistema homopolar: Vo1, Vo2 , Vo3 .
                                                                   r                                   Vd =
                                                                                                            3
                                                                                                                   ( V + a. V
                                                                                                                         1              2   + a2 . V3    )
                                                                                                       uu
                                                                                                        r 1         uu
                                                                                                                     r                  uur     uur
                             Se verificará que:
                                                                                                       Vi =
                                                                                                            3
                                                                                                                   (V + a
                                                                                                                        1
                                                                                                                                  2
                                                                                                                                      . V2 + a. V3      )
                             uu uuur uur uuur
                               r                                                                       uur 1            uu
                                                                                                                         r      uur         uur
                             V1 = Vd1 + Vi1 + Vo1
                             uur uuuu uuu uuuu
                                     r     r      r
                                                                                                       Vo =
                                                                                                             3
                                                                                                                    ( V1 + V2 + V3 )
                             V2 = Vd2 + Vi2 + Vo2
                             uur uuuu uuu uuuu
                                     r     r      r
                             V3 = Vd3 + Vi3 + Vo3                                                      La construcción geométrica de las componentes
                                                                                                       simétricas se consigue teniendo en cuenta el
                             Si elegimos los vectores con índice 1 como                                                                           2π 
                                                                                                       significado del operador «a»  rotación de
                                                                                                                                                 3 
                             vectores de origen y hacemos intervenir el
                                                                                                                                                    
                             operador «a» se tiene que:
                                                                                                       (figura 8).



                                   O
                                                      V2                                                                                          Vo                              V3
               +                                                                                                            O
 V2
                                                                                 O
                                                                                             Vi                                                               V2
                              Vd
                        V3                    120o
                                                           V1
                                                                                                       aV3
O                                      aV2                                                                                                         V1
                                                             V3

                                                                                                  V1
                                                                                                                                                             uur 1     uu
                                                                                                                                                                        r   uur   uur
                                             120o                                                                                                            Vo =
                                                                                                                                                                  3
                                                                                                                                                                      ( V1 + V2 + V3 )
                                                    uur 1       uu
                                                                 r    uur          uur
                                                    Vd =
                                                         3
                                                             ( V + a. V
                                                                  1    2    + a2 . V3    )                                        a2 V 2


                   V1
                                                                                                  uu
                                                                                                   r 1       uu
                                                                                                              r                uur     uur
                                                                                                             (V + a                               )
Sistema dado
                                   a2 V 3                                                         Vi =                  2
                                                                                                                             . V2 + a. V3
                                                                                                               1
                                                                                                       3
    Fig. 8.




                                                                                                                             Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 9
De forma más práctica se pueden construir las           baricentro del triángulo ABC; un cálculo sencillo
              componentes simétricas directamente sobre la            (ver apartado siguiente) indica que:
              figura sin necesidad de relacionar los vectores
                                                                             uuuu
                                                                                r
              (figura 9).                                              uur Ea
                                                                       Vd =
              En efecto, sean los puntos D y E tales que                      3
              BDCE sea un rombo compuesto de dos                            uuuur
                                                                                u
                                                                       uu DA
                                                                        r
              triángulos equiláteros BDC y BCE y siendo O' el          Vi =
                                                                              3
                                                                       uur uuuuu r
                                                                       Vo = OO '


                                                                                                                     E
                                V2

                                                                  +                                             Vd

                                                             V3                         B



                              O                                                        V2                  V3            C

                                                                                        O                  O'
                                                                                                 Vo
                                                                                         D            V1
                                                                                            Vi
                                                        V1
                              Sistema dado


                                                                                                                 A
              Fig. 9: Sistema homopolar.



2.6   Cálculo de las componentes simétricas
                                                                      uuu
                                                                        r      uuu uuu
                                                                                  r    r
              Sean los puntos D y E tales que (BDCE) sea un           DA = a.BC + BA
              rombo compuesto de dos triángulos equiláteros                    uuur     uuur uuur uuur
                                                                                           u             u
              (BDC) y (BCE).                                              = a.BO + a.OC + BO + OA
                                                                            uuur uuur
                                                                               u                      uuur
                                                                                                         u
                                   uuu uuu uuu
                                     r    r  r
              n Sistema directo: EA = EB + BA, pero como                  = OA + OB ( −a − 1) + a.OC
                                                                            uuur
                                                                               u      uuur      uuur
                                                                                                   u
               uuu
                 r     uuu
                         r                                                = OA + a.2 OB + a.OC
              EB = a2 .BC , se tiene que:                                   uu
                                                                             r      uur      uur     uur
                                                                          = V1 + a2.V2 + a.V3 = 3Vi
              uuu
                r        uuu uuu
                            r       r
              EA = a2 .BC + BA
                         uuur         uuur uuur uuur
                                         u              u                   uuuur
                                                                                u
                  = a2 .BO + a2 .OC + BO + OA                          uu DA
                                                                        r
                    uuur uuur
                       u                             uuuu
                                                        r              Vi =
                                  (        )
                  = OA + OB −a2 − 1 + a2 .OC                                  3
                    uuur
                       u        uuur        uuur
                                               u
                  = OA + a.OB + a2 .OC                                n Sistema homopolar: sea O' el baricentro del
                                                                                               uuuuu uuuur uuuuu
                                                                                                   r      u       r
                    uu
                     r        uur       uur      uur                  triángulo ABC. Se tiene: O ' A + O 'B + O ' C = 0
                  = V1 + a.V2 + a2 .V3 = 3Vd
                                                                      uu uur uur
                                                                       r               uur
                                                                      V1 + V2 + V3 = 3Vo
                    uuuur                                                   uuur uuur uuur
                                                                               u           u
               uuu EA
                 r                                                        = OA + OB + OC
               Vd =                                                         uuuuu uuuuu uuuuu uuuur uuuuu uuuuu
                                                                                 r     r      r      u       r      r
                      3                                                   = OO ' + O ' A + OO ' + O 'B + OO ' + O ' C
                                                                              uuuuu uuuuu uuuur uuuuu
                                                                                   r     r      u       r     uuuuu
                                                                                                                  r
                                 uuu uuu uuu
                                   r    r   r                             = 3 OO ' + O ' A + O 'B + O ' C = 3 OO '
              n Sistema inverso: DA = DB + BA , pero como
              uuu
                r    uuu
                       r                                               uur uuuuu
                                                                               r
              DB = a.BC , se tiene que:                                Vo = OO '




                                                                                     Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 10
2.7   Conclusión: aplicación a la electrotecnia

               El método expuesto en el párrafo anterior tiene      pueden medirse tanto las impedancias
               un interés inmediato en la electricidad en caso      simétricas de los materiales eléctricos (ver
               de redes trifásicas lineales y a frecuencia única.   capítulo 3) como las componentes simétricas de
               En efecto, los sistemas trifásicos aplicados a las   un sistema de tensiones o de corrientes
               redes eléctricas pueden estar desequilibrados        (capítulo 4, ejemplo nº 4).
               por asimetría de la carga o por defectos. Es         Notas
               evidente la simplicidad que ofrecen estos            n por simplificación, en el texto que sigue, los
               cálculos, basados en la superposición de tres        vectores tensión y corriente se escribirán sin la
               sistemas independientes, al permitir tratarlos       flecha,
               separadamente, convirtiendo cada uno en un
               caso simple monofásico.                              n las componentes simétricas de tensiones y
                                                                    corrientes elegidas para la representación
               Observaremos que estas manipulaciones                simple del sistema, son las de la fase 1:
               matemáticas corresponden, de hecho, a una
               realidad física de los fenómenos, puesto que         V1 =Vd + Vi + Vo.




                                                                               Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 11
3     Aplicaciones elementales



3.1   Método de cálculo de los regímenes desequilibrados

              Principio de superposición

              Vamos a examinar el comportamiento de una
                                                                                                        Zd
              red trifásica lineal y simétrica, es decir,                              E
              compuesta de impedancias constantes e                                                     d
              idénticas para las tres fases (que es el caso                                                     Vd
              práctico) que no produce más que fuerzas
                                                                                                        Zi
              electromotrices (f.e.m.) equilibradas pero cuyas
              corrientes y tensiones pueden estar                                                        i
              desequilibradas debido a la conexión a una zona                                                   Vi
              asimétrica D.                                                                             Zo
              Las f.e.m. constituyen por naturaleza los
                                                                                                        o
              sistemas directos, si los sistemas inverso y                                                      Vo
              homopolar son nulos.
              Se interpreta el funcionamiento de la red como
              la superposición de tres regímenes que                   Fig. 10.
              corresponden, cada uno, a uno de los sistemas
              directo, inverso y homopolar.
              En efecto, en esta red lineal y simétrica, las           Método de resolución práctica
              corrientes de cada sistema se relacionan sólo
              con las tensiones del mismo sistema y                    El método resumido a continuación se
              recíprocamente por medio de las impedancias              desarrollará con detalle en el ejemplo del párrafo
              del sistema considerado. Téngase presente que            siguiente (defecto monofásico a tierra):
              estas impedancias Zd, Zi y Zo son función de las         n la red se divide en 2 zonas:
              impedancias reales y también de las
                                                                       o una zona asimétrica D (red desequilibrada),
              inductancias mutuas.
                                                                       o una zona simétrica S (red equilibrada),
              Para una red que presente una sola f.e.m. y con
              las componentes simétricas de tensión y de               n se escriben las ecuaciones que relacionan las
              corriente situadas respectivamente en el lado D          corriente y tensiones:
              de la asimetría Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, las relaciones   o en la zona D (componentes reales),
              que definen a los tres regímenes son:
                                                                       o en la zona S (componentes simétricas),
              E = V d + Zd . I d
                                                                       o continuidad en la frontera D-S,
              0 = Vi + Z i . I i
                                                                       o funcionamiento en la zona S,
              0 = Vo + Zo . Io,
                                                                       n la resolución matemática de las ecuaciones
              representadas esquemáticamente en la                     permite calcular los valores de las componentes
              figura 10.                                               simétricas y de las componentes reales de las
              Para las redes con varias fuentes (generadores)          corrientes y tensiones de las zonas D y S.
              estas ecuaciones son válidas con la condición            Hay que indicar que los esquemas
              de considerar E y Zd, Zi, Zo, respectivamente            representativos de los sistemas simétricos
              como la f.e.m. y como las impedancias internas           ofrecen la posibilidad de calcular directamente
              del generador equivalente de Thévenin.                   los valores de las componentes simétricas.




                                                                                  Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 12
3.2   Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar)

              Se supone que el circuito está sin carga.
              Planteamiento de las ecuaciones                                            E                                fase 1

              n Aislamiento de la zona de asimetría                                     a2E                               fase 2
              (figura 11)
              n Ecuaciones de las componentes reales                                    aE                                fase 3
              en (D)
                                                                                                                       d, i, o
                I 2 = I3 = 0                                                                                         Vd ,Vi , Vo
                                                                             zona S
                V1 = Z I1
                                                                                                   3         2        1
              Estas ecuaciones describen el caso examinado                                    V3        V2       V1
              y son las únicas que corresponden a la figura.                                                          Z
                                                                                              zona D
              n Ecuaciones de las componentes simétricas
              en (S).
                                                                 Fig. 11.
               I1 = I d + Ii + Io
               
               I 2 = a . I d + a. Ii + Io
                        2
                                                                 Estas tres ecuaciones se encuentran
               
               I3 = a. I d + a . Ii + Io
                                2                                sistemáticamente en todos los casos de cálculo
                                                                de regímenes desequilibrados con una sola
                V1 = Vd + Vi + Vo                               fuente de tensión.
               
                V2 = a .Vd + a.Vi + Vo
                         2
                                                                 Resolución de las ecuaciones
                V = a.V + a2. V + V
                3          d         i    o
                                                                 n Los valores de las componentes simétricas
                                                                 de las corrientes y de las tensiones:
              Estas ecuaciones relacionan respectivamente
                                                                 E + 0 + 0 = Vd + Vi + Vo + Zd.Id + Zi.Id + Zo.Io
              las corrientes reales y las tensiones reales con
                                                                           = 3 Z.Io + ( Zd + Zi + Zo). Io
              sus componentes simétricas. Se encontrarán de
              forma idéntica en todos los cálculos de            siendo:
              regímenes desequilibrados. Se deducen de las
                                                                                               E
              definiciones anteriores (capitulo 2).               Io = Id = Ii =
                                                                                       Zd + Zi + Zo + 3Z
              n Continuidad en la frontera D-S
              Por combinación entre las ecuaciones de las                                                      E
              componentes reales en (D) y las ecuaciones de      Vd = E − Zd . Id = E − Zd
                                                                                                       Zd + Zi + Zo + 3Z
              las componentes simétricas en (S), se obtiene:

               a2.I d + a. Ii + Io = 0                                         Zi + Zo + 3Z
                                                                 Vd = E
                                                                             Zd + Zi + Zo + 3Z
               a.Id + a . Ii + Io = 0
                          2

                V + V + V = Z. I
                d
               
                        i     o       1
                                                                 V i = – Z i .I i

                                                                                        E
                              I1                                 Vi = − Zi
                I = Ii = Io =                                                  Zd + Zi + Zo + 3Z
               ⇒ d            3
                 V + V + V = 3 Z. I
                 d    i    o        o                           V o = – Z o .I o

              n Ecuaciones del funcionamiento de S                                          E
                                                                  Vo = − Zo
                                                                                    Zd + Zi + Zo + 3Z
               E = Vd + Zd . Id
               
               0 = Vi + Zi + Ii
               0 = V + Z . I
                    o     o o




                                                                                    Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 13
n Esquema de la red, según las componentes                                            
                                                               Z + a. Zi + a2 . Zo
simétricas (figura 12).                          V3 = a.E  1 − d                      
                                                               Zd + Zi + Zo + 3Z      
                                                                                      
n Valores de las tensiones y de las corrientes
reales:
                                                 Nota:
I 1 = Id + I i + Io
                                                                 Zd + a.Zi + a 2 .Zo      
             3E                                  El término  1 − Z + Z + Z + 3Z
                                                                                           se llama factor
                                                                                           
 I1 =                                                             d    i    o             
      Zd + Zi + Zo + 3Z
                                                 de «defecto a tierra». Su valor varía entre 1 y
 I2 = 0                                          1,8.
                                                 Casos particulares
 I3 = 0
                                                 n Con defecto franco, Z = 0, la corriente de
                                                 defecto fase-tierra toma el valor:
V1 = Z.I1
                                                             3E
                                                 I1 =
 V1 = 3Z
                 E                                      Z d + Zi + Z o
         Zd + Zi + Zo + 3Z
                                                 n Con defecto impedante a tierra,
                                                 3Z >> Zd + Zi + Zo, la corriente de defecto de
                                                 fase-tierra se define por la impedancia de
V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo =
                                                 defecto:
                   Zi + Zo + 3Z
    = a2.E                         −                    E
                 Zd + Zi + Zo + 3Z               I1 =     .
                                                        Z
                         Zi
      − a.E                        −
                 Zd + Zi + Zo + 3Z
                    Zo                                                   Vd
      −E                      =
            Zd + Zi + Zo + 3Z                                                 d

             (           )     (       )
                                                                   E
          Zi a − a + Zo a − 1 + 3a . Z
                  2                2       2
                                                                         Vi
                                                                                  Zd
    =E
                       Zd + Zi + Zo + 3Z                                      i

                                                                                  Zi
                                                                         Vo
                Z + a2.Zi + a. Zo                                           o
 V2 = a2 .E  1 − d                        
                Zd + Zi + Zo + 3Z                                               Zo
                                          
                                                                                        d = i=   o

                                                                                  3Z
V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo =
                                                 Fig. 12.
            Zi + Zo + 3Z
    = a.E                   −
          Zd + Zi + Zo + 3Z
                          Zi
      − a2 .E                       −
                  Zd + Zi + Zo + 3Z
                   Zo
      −E                     =
           Zd + Zi + Zo + 3Z

    =E
             (           )
          Zi a − a 2 + Zo (a − 1) + 3a. Z
                      Zd + Zi + Zo + 3Z




                                                               Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 14
3.3   Defecto bifásico a tierra

               (figura 13)
                                                                           −E                  Zi
                                                             Io =                       x              =
               Escritura de las ecuaciones                               Zi ( Zo + 3Z )   Zi + Zo + 3Z
                                                                    Zd +
               n En la zona (D)                                          Zi + Zo + 3Z
                                                                                  − E Zi
               I1 = 0
                                                               =
                                                                   Z d .Zi + ( Z d + Zi ) (3Z + Zo )
                V2 = V3 = Z ( I2 + I3 )
               

               n En la zona (S)                                                    E              Zi ( Zo + 3Z )
                                                             Vd = Vi =                          x
                                                                                Zi ( Z o + 3Z )   Zi + Zo + 3Z
                                                                           Zd +
               I1 = I d + Ii + Io                                              Zi + Zo + 3Z
               
               I 2 = a . I d + a. Ii + Io
                        2

                                                                           E                 Zo .Zi
               I3 = a. I d + a . Ii + Io
                                2
                                                             Vo =                       x
                                                                        Zi ( Zo + 3Z )   Zi + Zo + 3Z
                V1 = Vd + Vi + Vo                                  Zd +
                                                                        Zi + Zo + 3Z
                V2 = a .Vd + Vi + Vo
                         2

                V = a.V + a2. V + V                         I1 = 0
                3         d          i    o


                                                                                      Zo + 3Z − a.Zi
               n Continuidad en la frontera (D) - (S)        I2 = − j 3 E
                                                                               Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )
                I d + Ii + I o = 0
               
                Vd = Vi                                                            Zo + 3Z − a2 .Zi
                V = V + 3 Z. I                              I3 = j 3 E
                o        d         o
                                                                              Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )

               n Funcionamiento de (S)                                         3Zi ( Zo + 2Z )
                                                             V1 = E
                                                                        Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )
               E = Vd + Zd . I d
               
               0 = Vi + Zi . Ii                                                          − 3Z. Zi
               0 = V + Z + I                                V2 = V3 = E
                    o      o     o                                           Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z )

               Resolución de las ecuaciones
                                                                                 E                            fase 1

                              E
               Id =                       =                                    a2E                            fase 2
                           Zi ( Zo + 3Z )
                      Zd +
                           Zi + Zo + 3Z
                                                                                 aE                           fase 3
                                 Zi + Zo + 3Z
                  =E
                         Zd .Zi + (3Z + Zo )( Zd + Zi )                                                  d, i, o,
                                                                                                        Vd ,Vi , Vo
                                                                        zona S
                                                                                           3      2       1
                             −E               Zo + 3Z
               Ii =                       x              =
                           Zi ( Zo + 3Z )
                                                                                      V3        V2 V1
                                            Zi + Zo + 3Z
                      Zd +                                                                     Z   zona D
                           Zi + Zo + 3Z
                              −E ( Zo + 3Z )
                 =
                      Zd .Zi + ( Zd + Zi ) (3Z + Zo )        Fig. 13.




                                                                            Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 15
n Esquema de la red según las componentes
                                                                                                    Vd
               simétricas (figura 14) .
                                                                                                         d
               Casos particulares                                                       E
                                                                                                                  Zd
               n Defecto franco, con Z = 0: la corriente del
               defecto fase-tierra tomará el valor:                                                 Vi

                                       3E.Zi                                                              i
               I 2 + I3 = −
                              Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo                                                            Zi
                                                                               3Z
               n Defecto bifásico aislado, con Z = ∞, la                                                 o
               corriente de defecto de fase vale entonces:
                                                                                                                  Zo

               I 2 = − I3   =E
                               (a   2
                                        −a   ) = − jE       3
                                                                                                    Vo

                                                                   Fig. 14.
                                Z d + Zi                Z d + Zi




3.4   Defecto trifásico

               (Figura 15).
                                                                                       E                                    fase 1
               Escritura de las ecuaciones
                                                                                    a2E                                     fase 2
               n En la zona (D)
               V 1 = V 2 = V 3 = Z ( I1 + I2 + I3 )                                                                         fase 3
                                                                                       aE
               n En la zona (S)
                                                                                                                        Vd ,Vi ,Vo
               I1 = I d + Ii + Io                                            zona S
               
               I 2 = a . I d + a.Ii + Io
                        2
                                                                                                    d         i         o
               
               I3 = a.I d + a . Ii + Io
                                2
                                                                                               V3        V2        V1
               
                V1 = Vd + Vi + Vo                                                             Z              zona D
               
                V2 = a .Vd + a.Vi + Vo
                         2

                V = a.V + a2 .V + V
                3         d         i    o                        Fig. 15.

                                                                                                    Vd = 0
               n Continuidad en la frontera (D) - (S)

                                      Vo
               I1 + I 2 + I3 = 3 Io = Z
                                                                                                         d
                Vd = Vi = 0                                                               E
               V = V = V = V                                                                                     Zd
                1       2    3     o
               
               
                                                                                                                  Zi
               n Funcionamiento de (S)

               E = Vd + Zd . Id                                                                                  Zo
               
               0 = Vi + Zi . Ii
               0 = V + Z . I                                      Fig. 16.
                    o      o o




                                                                                Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 16
Resolución de las ecuaciones                                           E
                                                                          I3 = a
                                                                                     Zd
                     E
              Id =         y Ii = I o = 0
                     Zd
                                                                          V1 = V2 = V3 = 0

              Vd = Vi = Vo = 0                                            Los resultados son independientes de los
                                                                          valores de Z, Zi y Zo.
                     E
              I1 =                                                        n Esquema de la red según las componentes
                     Zd
                                                                          simétricas (figura 16).

                          E
              I 2 = a2
                          Zd




3.5   Red con cargas desequilibradas

              (Figura 17).                                                n Continuidad en la frontera (D) - (S)
              Escritura de las ecuaciones                                 I o = 0
                                                                          
              n En la zona (D)                                             I d = Ii
                                                                          V − V = Z . I
              I1 = 0                                                       d        i c d


              V3 − V2 = I3 . Zc = − I2 . Zc                               n Funcionamiento de (S)

              n En la zona (S)                                            E = Vd + Zd . Id
                                                                          
                                                                          0 = Vi + Zi . Ii
              I1 = I d + Ii + Io                                         0 = V + Z . I
                                                                               o      o o
              
              I 2 = a . I d + a. Ii + Io
                       2

                                                                         Resolución de las ecuaciones
              I3 = a. I d + a . Ii + Io
                               2
              
               V1 = Vd + Vi + Vo                                         Id =
                                                                                       E
                                                                                Z d + Zi + Zc
               V2 = a . Vd + a. Vi + Vo
                        2

               V = a. V + a2. V + V
               3          d         i    o
                                                                                        E
                                                                          Ii = −
                                                                                   Zd + Zi + Zc

                                                                          Io = 0
                                   E                             fase 1
                                                                                   E ( Zi + Z c )
                                a2E                              fase 2   Vd =
                                                                                   Z d + Zi + Z c
                                   aE                            fase 3
                                                              d , i, o,              E.Zi
                                                             Vd ,Vi ,Vo   Vi =
                          zona S                                                 Z d + Zi + Zc

                                                    2        1
                                            3
                                                                          Vo = 0
                                         V3 Zc V2       V1
                                        zona D                            I1 = 0

                                                                                        E 3
                                                                          I2 = − j
              Fig. 17.                                                               Zd + Zi + Zc




                                                                                          Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 17
jE 3
              I3 =
                     Z d + Zi + Zc
                                                                                                Vd
                   E ( 2 Zi + Zc )
              V1 =                                                                                   d
                   Z d + Zi + Z c                                                        E
                                                                                                         Zd


              V2 =
                        (
                     E a2.Zc + Zi      )                                                        Vi
                                                                                                                  Zc

                       Z d + Zi + Zc
                                                                                                     i


                     E (a.Zc − Zi )                                                                      Zi
              V3 =
                     Z d + Zi + Zc

              n Esquema de la red según las componentes                                                  Zo
              simétricas (figura 18).
              Casos particulares                                    Fig. 18.

              n Carga de baja potencia, siendo Zc → ∞ :
                                                                    n Cortocircuito bifásico aislado, con Zc = 0.
              I1 e I3 → 0 y V1, V2 y V3                             La corriente de defecto es, en este caso:

              tienden hacia los valores de red simétrica, es                         E 3
              decir, hacia E, a2E, a.E.
                                                                    I3 = − I 2 = j
                                                                                     Z d + Zi




3.6   Impedancias asociadas a las componentes simétricas

              En este párrafo, se pasa revista a los elementos      n La reactancia inversa es inferior a la
              principales que pueden intervenir en una red          reactancia directa transitoria.
              eléctrica.                                            n La reactancia homopolar no se toma en
              Para las máquinas rotativas y los                     consideración salvo que el neutro del alternador
              transformadores, los órdenes de magnitud de           esté conectado a la tierra directamente o a
              las impedancias son idénticos en porcentaje:          través de una bobina o de una resistencia.
                                                                  Su valor es del orden de la mitad de la
                           S
               z% = 100 Z n
                            2
                                       
                                                                   reactancia subtransitoria.
                         Un           

              Máquinas sincrónicas

              Las generatrices provocan el nacimiento de la
              componente directa de la potencia. Los defectos
                                                                    Reactancia                polos           entrehierro
              son los creadores de las componentes inversa y
                                                                    %                        salientes         constante
              homopolar que se dirigen desde el punto de
              defecto hacia los elementos equilibrados,             subtransitoria              30                20
              atenuándose progresivamente.                          transitoria                 40                25
              n Después de una perturbación, la reactancia          síncrona                    120              200
              directa de una máquina pasa del valor
              subtransitorio al valor síncrono. En el cálculo del
              defecto, se pueden tomar los valores en %             Fig. 19.
              (figura 19).




                                                                                  Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 18
Máquinas asíncronas                                 o líneas con 2 conductores por fase (400 kV)

La componente directa genera, en los motores,       Rd = Ri ≈ 0,04 Ω /km
los campos rotativos en el sentido directo          Xd = Xi ≈ 0,32 Ω /km
(par útil).
                                                    Cd = Ci ≈ 12 nF/km
La componente inversa produce los campos
                                                    n La impedancia homopolar vale aproximada-
rotativos generadores de pares de frenado.
                                                    mente tres veces la impedancia directa.
n Usualmente podemos considerar la
                                                    La capacidad homopolar se puede valorar en
reactancia directa como una impedancia pasiva
                                                    unas seis veces la capacidad directa.
U2 / (P-jQ).
n La reactancia inversa varía entre el 15 y el      Cables
30%. Es aproximadamente igual a la reactancia       n La reactancia y la capacidad directas e
de arranque.                                        inversas dependen de la geometría de los
n La reactancia homopolar es muy baja.              cables.
Transformadores                                     Rd = Ri
                                                    Xd = Xi ≈ 0,1 a 0,15 Ω /km
La circulación de una corriente homopolar por
los arrollamientos de un transformador precisa      Cd = Ci ≈ 120 a 320 nF/km
una conexión con un punto neutro unido a tierra     n Las características homopolares de un cable
o a un conductor de neutro.                         no se deducen fácilmente de las características
n Los transformadores presentan, a las              directa e inversa. En general son despreciables
corrientes de los sistemas directo e inverso, una   ante las de los transformadores que alimentan
impedancia igual a su impedancia de                 dichos cables.
cortocircuito, del orden del 4 al 15%.
n La reactancia homopolar depende de la
conexión de los arrollamientos y de la naturaleza
del circuito magnético. La tabla de la figura 20
resume los diferentes casos detallados en las
figuras 22 a y b.
                                                    Transformador                     Reactancia
Lineas aéreas                                       (visto lado secundario)           homopolar
Consideremos las líneas transpuestas.               Sin neutro                        ∞
n La impedancia y la capacidad directas e           Yyn o Zyn       flujo libre       ∞
inversas dependen de la geometría de la línea.                      flujo forzado     10 a 15 Xd
o líneas con 1 conductor por fase (63, 90, 150 y    Dyn o YNyn                        Xd
225 kV)
                                                    primario zn                       0,1 a 0,2 Xd
Rd = Ri ≈ 0,16 Ω /km
Xd = Xi ≈ 0,4 Ω /km
                                                    Fig. 20.
Cd = Ci ≈ 9 nF/km




                                                                 Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 19
3.7   Formulario de recapitulación

              Parámetros empleados:
              n Tensión eficaz compuesta de la red trifásica                  U
                                                                                        U
              n tensión eficaz simple de la red trifásica                     V=
                                                                                         3

              n corriente de cortocircuito, en módulo                         Icc
              n corriente de defecto a tierra, en módulo                      Itierra
              n impedancias simétricas                                        Zd, Zi, Zo
              n impedancia de cortocircuito                                   Zc
              n impedancia de tierra                                          Z
              La tabla de la figura 21 resume los valores de las corrientes, en módulos, en los diferentes casos de
              asimetría.




              Tipo de asimetría                 Asimetría impedante                               Asimetría franca
                                                                                                  (Z = 0 y/o Zc = 0)

                                                             U 3                                              U 3
              Cortocircuito monofásico          Icc =                                              Icc =
                                                        Zd + Zi + Zo + 3Z                                  Z d + Zi + Z o


                                                                      U    3 Zi                                       U 3 Zi
                                                Itierra =                                          Itierra =
              Cortocircuito bifásico a tierra               Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z )                   Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo
              (Zc = 0)

                                                              U                                               U
              Cortocircuito bifásico aislado    Icc =                                              Icc =
                                                        Z d + Zi + Z c                                     Z d + Zi
              (Z = ∞)

                                                              U                                                 U
              Cortocircuito trifásico           Icc =                                              Icc =
                                                        Z d + Zc     3                                     Zd       3
              (Z cualquiera)


              Fig. 21.




                                                                                             Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 20
Conexión                                                 Valor de la reactancia homopolar
                                                Esquema unifilar               del transformador, vista desde:
          primario   secundario     terciario       equivalente         los bornes        bornes           bornes
                                                                        primarios 1    secundarios 2     terciarios 3




                                                1                 2       infinito        infinito
        1                    2




                                                1                 2       infinito        infinito
          1                 2

                                                                        Flujos libres
                                                                                        Flujos libres
                                                                           infinito
                                                1   X11           2                        infinito
                                                                      Flujos forzados
                                                                                      Flujos forzados
                                                1                 2    X11 = 10 a 15
         1                  2                                                              infinito
                                                                         veces Xcc




                                                1                 2      X12 = Xcc       X12 = Xcc
         1




                                                                          infinito        infinito
                                                1                 2
          1                  2



                                                    X12
                                                                         X12 = Xcc        infinito
                                                1                 2
         1                   2




                                                1                 2       infinito        infinito
        1                       2



                                                           X 22
                                                1                 2       infinito    X22 = 1% de Sn
                                2
        1

                                                                        Flujos libres
                                                                           infinito    Flujos libres
                                                1   X11           2                       infinito
                                                                      Flujos forzados
                                                1                 2    X11 = 10 a 15 Flujos forzados
         1                      2                                        veces Xcc        infinito




Fig. 22 (a).




                                                                             Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 21
Conexión                                                                                 Valor de la reactancia homopolar
                                                           Esquema unifilar                                   del transformador, vista desde:
         primario   secundario     terciario                     equivalente                       los bornes               los bornes              los bornes
                                                                                                   primarios 1            secundarios 2             terciarios 3


                                                                                X 22
                                                         1                             2                infinito          X22 = 1% de Xn
         1                     2

                                                                                                   Flujos libres   Flujos libres
                                                                                X22
                                                                                                      infinito   X22 = 1% en X n
                                                         1                             2         Flujos forzados Flujos forzados
                                                                                 X22
                                                                                                  X11 = 10 a 15 X = 1% de X
                                                         1                             2                          22             n
        1                      2                                                                    veces Xcc




                                                         1                             2                infinito              infinito
         1                     2

                                                                                                   Flujos libres
                                                                 X11                                  infinito
                                                                                       2
                                                                                                 Flujos forzados
                                                         1                                                                    infinito                 infinito
                                                                                                  X11 = 10 a 15
        1                  2               3                                           3
                                                                                                    veces X12

                                                                                  2
                                                                            X2         X02
                                                                                                         ( x2 + x02 )( x3 + x03 )               ( x1 + x01 )( x2 + x02 )
                                                     X01              X1                          x1 +                                   x3 +
                                                                                                          x 2 + x 3 + x 02 + x 03                x1 + x 2 + x01 + x02
                                                             1
                            2
        1                                  3                                X3         X03                                ( x1 + x01)( x3 + x03 )
                                                                                  3                                x2 +
                                                                                                                           x1 + x 3 + x 01 + x 03

                                                                                   2
                                                                           X2
                                                                  X1
                                                                                                           x 2 x3
                                                             1                                   x1 +                         infinito                 infinito
                                                                           X3                             x 2 + x3
        1                   2                  3
                                                                                   3

                                                                            2
                                                                                                         x 2 ( x 3 + x 03 )                            x 2 ( x1 + x 01 )
                                                                       X2
                                                                 X1
                                                   X01                                           x1 +                                           x3 +
                                                         1                                               x 2 + x 3 + x 03     infinito                 x1 + x 2 + x 01
                                                                       X3
        1                   2              3                                               X03
                                                                            3

                                                                            2
                                                                       X2
                                                                 X1
                                                         1                      X33              X1 + X2 = X12                infinito           X 33 = 1% de Xn
        1                   2                  3
                                                                            3



Fig. 22 (b).




                                                                                                            Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 22
4     Ejemplos resueltos



4.1   Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático

              Esquema de la figura 23
              Problema                                                                   100MVA
              ¿Qué poder de ruptura ha de tener, como
              mínimo, el interruptor automático?                                2500 MVA
                                                                                17 kV
              Solución
                                                                                       8% 36 kV
              Cuando interviene el interruptor automático, la
                                                                             X'd = 35%
              componente aperiódica está latente en el interior              X'i = 25%
              de la red pero no en los devanados del
              alternador.
                                                                  Fig. 23.
              n Impedancias:
              o del alternador, referidas al secundario del
              transformador:                                      o monofásico
                                      2
                             35    36                                     36 3
              Za directa:       x      = j0,18 Ω                  =                     = 18 kA
                            100   2500                                1,22 + 1,17 + 1,0

                             25    362                            o bifásico aislado
              Za inversa:       x      = j0,13 Ω
                            100   2500                                      U           36
                                                                  Icc =           =             = 15 kA
                                                                          Zd + Zi   1,22 + 1,17
              Za homopolar: despreciable.
              o del transformador, referida al secundario del     o bifásico a tierra
              transformador:
                                                                              U Z o − a Zi
                             8    362                             Icc =
              Zt directa:       x     = j1,04 Ω                           Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd
                            100   100
                                                                          36 . 1,915
                                                                      =              = 17,6 kA
              Zt inversa: j1,04 Ω                                           3,91
              Zt homopolar = j1,04 Ω
                                                                  n el interruptor automático deberá cortar una
              o totales
                                                                  corriente de cortocircuito de 18 kA o, lo que es
              Z directa = j1,22 Ω                                 lo mismo, su potencia de ruptura deberá ser de:
              Z inversa = j1,17 Ω                                 18 x 36    3 = 1122 MVA .
              Zt homopolar = j1,04 Ω
              n corrientes de cortocircuito:
              o trifásico

                       U/ 3   36 / 3
               Icc =        =        = 17 kA
                        Zd     1,22




                                                                              Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 23
4.2   Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático

              Esquema de la figura 24.                                 Solución
              Problema                                                 n Esquema global directo o inverso (reducción
                                                                       a 60 kV) (figura 25)
              En una red de 60 kV, determinar el poder de
              ruptura de los interruptores automáticos de los                 U2   25   60 2    25
              centros C y E, que alimentan a la línea de 15 km.        a=j       x    =      x     = j 22,5 Ω
                                                                              Pcc 100   40     100
              La reactancia de cortocircuito de los
              transformadores de grupo y de red es del 10% y
                                                                                  U2     10   602
              la de los otros transformadores, del 8%.                 b = jUcc       =     x     = j9 Ω
                                                                                  Pcc   100 400
              Para una línea de 60 kV la reactancia es de
              0,4 Ω/km en régimen directo e inverso y de
                                                                       C1 = j0,40 x 60 = j24 Ω
              3 x 0,40 Ω/km en régimen homopolar.
                                                                       C2 = j0,40 x 50 = j20 Ω
              Los grupos presentan una reactancia directa o
              inversa de 25%.                                          C3 = j0,40 x 40 = j16 Ω
              Las cargas de potencia activa P presentan                C4 = j0,40 x 40 = j16 Ω
              una reactancia equivalente estimada
              de j.0,6 U 2 /P.



                                          40 MVA




                                          40 MVA


                                                                      30 MW
                                                       A


                                      40 km                   60 km

                                              15 MVA                       40 MVA


                          8 MW 12 MVA                                             15 km         20 MVA 14 MW
                                                 10 MW
                                          B                   C
                                                                                            E
                                                 10 MW


                                              15 MVA
                                                                           50 MVA
                                      40 km                   50 km

                                                                     red
                                                                   150 kV
                                                       D
                                                                  1500 MVA


                                          20 MVA



                                          20 MVA


              Fig. 24.




                                                                                   Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 24
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Ct 018 Analisis De Redes Con Componentes SiméTricas

  • 1. Cuaderno Técnico nº 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de Metz-Noblat
  • 2. La Biblioteca Técnica constituye una colección de títulos que recogen las novedades electrotécnicas y electrónicas. Están destinados a Ingenieros y Técnicos que precisen una información específica o más amplia, que complemente la de los catálogos, guías de producto o noticias técnicas. Estos documentos ayudan a conocer mejor los fenómenos que se presentan en las instalaciones, los sistemas y equipos eléctricos. Cada uno trata en profundidad un tema concreto del campo de las redes eléctricas, protecciones, control y mando y de los automatismos industriales. Puede accederse a estas publicaciones en Internet: http://www.schneiderelectric.es Igualmente pueden solicitarse ejemplares en cualquier delegación comercial de Schneider Electric España S.A., o bien dirigirse a: Centro de Formación Schneider C/ Miquel i Badia, 8 bajos 08024 Barcelona Telf. (93) 285 35 80 Fax: (93) 219 64 40 e-mail: formacion@schneiderelectric.es La colección de Cuadernos Técnicos forma parte de la «Biblioteca Técnica» de Schneider Electric España S.A. Advertencia Los autores declinan toda responsabilidad derivada de la incorrecta utilización de las informaciones y esquemas reproducidos en la presente obra y no serán responsables de eventuales errores u omisiones, ni de las consecuencias de la aplicación de las informaciones o esquemas contenidos en la presente edición. La reproducción total o parcial de este Cuaderno Técnico está autorizada haciendo la mención obligatoria: «Reproducción del Cuaderno Técnico nº 018 de Schneider Electric».
  • 3. Cuaderno Técnico no 018 Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas Benoit de METZ-NOBLAT Ingeniero ESE, trabajó en Saint Gobain como Ingeniero de investigación y después en la sección de pruebas y equipos nuevos en una empresa de producción. Entró en Merlin Gerin en 1 986, trabajando como Ingeniero en el servicio de estudios de redes, especializándose en el estudio de las sobretensiones, armónicos y la estabilidad dinámica de las redes. Trad.: E. Milà; J.M. Giró Original francés: diciembre 1 990 Versión española: marzo 2 000
  • 4. Análisis de las redes trifásicas en régimen perturbado con la ayuda de las componentes simétricas La determinación de las dimensiones de una instalación y los materiales que la componen, la regulación de las protecciones y el análisis de los fenómenos eléctricos precisan, a menudo, el cálculo de las corrientes y las tensiones presentes en las redes. El desarrollo de este Cuaderno Técnico persigue, como finalidad primordial, la presentación o recordatorio de un método simple de cálculo (con la ayuda de las componentes simétricas) de todos los parámetros en las redes trifásicas en régimen perturbado. 1 Presentación p. 5 2 Repaso matemático de la 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico p. 6 teoría de vectores 2.2 Definición de base p. 6 2.3 Representación vectorial p. 7 2.4 Componentes simétricas p. 8 2.5 Descomposición de un sistema trifásico en p. 9 sus componentes simétricas 2.6 Cálculo de las componentes simétricas p. 10 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia p. 11 3 Aplicaciones elementales 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados p. 12 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) p. 13 3.3 Defecto bifásico a tierra p. 15 3.4 Defecto trifásico p. 16 3.5 Red con cargas desequilibradas p. 17 3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas p. 18 3.7 Formulario de recapitulación p. 20 4 Ejemplos resueltos 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático p. 23 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático p. 24 4.3 Ejemplo 3: Regulación de protecciones homopolares en una p. 28 red MT con neutro a tierra 4.4 Ejemplo 4: Medición de las componentes simétricas de p. 30 un sistema de tensión y de corriente Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 4
  • 5. 1 Presentación Si consideramos el funcionamiento en régimen El método general, aplicando de las leyes de normal equilibrado simétrico, el estudio de las Ohm y de Kirchhoff, es posible, pero resulta redes trifásicas puede reducirse al estudio de largo y complicado. una red monofásica equivalente de tensiones El método de las componentes simétricas, iguales a las tensiones simples de la red, de descrito en el presente documento, simplifica corrientes iguales a las de la red e impedancias los cálculos y permite una solución mucho más iguales a las de la red, denominadas fácil que la superposición de tres redes impedancias cíclicas. monofásicas independientes. Después de Al aparecer una asimetría significativa en la repasar las nociones vectoriales, se aplica este configuración de la red, ya no es posible aplicar método a los diferentes tipos de cortocircuito, la simplificación, pues no podemos establecer acabando con unos ejemplos de casos las relaciones entre los diferentes conductores prácticos reales. con la ayuda de una impedancia cíclica para cada elemento de la red. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 5
  • 6. 2 Repaso matemático de la teoría de vectores 2.1 Representación vectorial de un fenómeno físico Un fenómeno físico vibratorio es senoidal n Recíprocamente, se puede hacer cuando la elongación de un punto vibrante es corresponder un vector giratorio a cualquier una función senoidal del tiempo función senoidal x = a cos (ωt + ϕ) x = a cos (ωt + ϕ). Esta aplicación es perfectamente conocida en Por convenio, se representa la función x por el uuuu r electrotecnia, donde tanto corrientes como vector OM en la posición que ocupa en el tensiones son fenómenos senoidales. instante inicial t = 0; el módulo del vector uuuu r representa lauuu uuuu amplitud, a, de la función senoidal, n Consideremos un vector uuu de módulo a, r r ( uuu OM r r ) girando sobre el plano Ox, Oy alrededor de su ( ) y el ángulo Ox, OM representa su fase inicial. origen O con una velocidad angular constante ω n Por tanto, el estudio de un fenómeno físico (figura 1). senoidal puede reducirse al estudio del vector uuu uuuu r r ( Si en el instante inicial t = 0, el ángulo Ox, OM ) que le corresponde, lo que es muy interesante, porque la utilización matemática de los vectores tiene un valor ϕ, en el instante t, tendrá un valor (ωt + ϕ). es accesible. Se aplica en particular al dominio uuuu r de los fenómenos eléctricos trifásicos en los que Proyectamos el vector corriente OM sobre el eje uuu r las tensiones y corrientes están representadas Ox . El valor algebraico de esta proyección es, por vectores giratorios. en el instante t x = a cos (ωt + ϕ). Con lo que: y o el movimiento de la proyección rdel extremo uuu del vector giratorio sobre el eje Ox es un M IaI movimiento senoidal de amplitud a, igual al t módulo de este vector, -a O x x +a o la pulsación ω del movimiento senoidal es igual a la velocidad angular del vector giratorio, o la fase inicial ϕ es igual al uuu ángulo formado por r el vector giratorio con el eje Ox en el Fig. 1. instante t = 0. 2.2 Definición de base ur n Sea un fenómeno eléctrico pulsatorio n El vector V , cuyo origen se sitúa en O, se senoidal, representado por un vector giratorio uur caracteriza esencialmente por: V (figura 2). ur o una amplitud V : en un instante dado, la n Se toma previamente sobre el plano: longitud del vector es numéricamente igual al uuu r módulo de la amplitud máxima del fenómeno, o un eje de referencia Ox de vector unitario uu uu r r o una fase ϕ: es, en un instante dado, el ángulo x : x = 1, uuu ur r ur ( ) Ox, V , que forma V con el eje de referencia o un sentido de rotación, convencionalmente uuu r definido como positivo en el sentido Ox , teniendo en cuenta el sentido de rotación antihorario + . adoptado. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 6
  • 7. o una pulsación: es la velocidad de rotación constante del vector, en radianes por segundo. Se expresa habitualmente en revoluciones por segundo y en tal caso da la frecuencia del fenómeno expresada en Hz (1 Hz = 2 π rad/s). + V n Un sistema trifásico es un conjunto de 3 → → → vectores V1, V2, V3 con origen común, de igual O pulsación y que tengan cada uno una amplitud x x constante. n Un sistema eléctrico es lineal cuando presenta proporcionalidad de relación causa- efecto. Fig. 2. 2.3 Representación vectorial → El vector V se representa clásicamente en un sistema de ejes de coordenadas rectangulares y + (figura 3): ur uuuu uuur uuur r r r Y M V = OM = OX + OY = OX. x + OY . y n Operador «j» V Para facilitar las operaciones con los vectores, uur y V puede representarse de forma equivalente O x X x con un número complejo utilizando el operador «j». Fig. 3. «j» es un operador vectorial que consiste en girar el vector al que se aplicauuu ángulo de un uu r r + π/2; por tanto, en la figura, jx = y . aV + Por tanto, se ve que: 120o  π  j2 = −1  rotación de 2 x = π 120o V  2  120o  π 3π  j = − j  rotación de 3 x 3 =   2 2  a2 V  π  j4 = +1  rotación de 4 x = 2π  Fig. 4.  2  a2 hace girar un vector un ángulo: de donde: ur r uu r r 2π 4π 2π  ( V = OX. x + OY . j y = x OX + j OY ) 2x 3 = 3   equivalente a −  3  , n Operador «a» a3 hace girar un vector un ángulo: «a» es un operador vectorial que consiste en 2π 2π 3x = 2π (equivalente a 0 ) , aplicar un giro de + al vector sobre el que 3 3 3 3 , a = − 0,5 + j ; a2 = − 0,5 − j se realiza la operación (figura 4). 2 2 Vemos que: de donde: Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 7
  • 8. a0 = a3 = a6 ... = 1 Esta última relación se verifica gráficamente a= a4 = a7 = ... constatando, sobre la figura, que la suma de los vectores representados es nula: a= a–2 = a–5 = ... ur ur ur V + a.V + a2 .V = 0 ur ( ) a2 = a5 = a8 = ... de donde V 1 + a + a2 = 0 , a2 = a–1 = a–4 = ... y, por tanto: a − a2 = j 3 1 + a + a2 = 0. y 1 + a + a2 = 0. 2.4 Componentes simétricas Sea un conjunto de tres vectores trifásicos n El «sistema inverso», todavía denominado senoidales que giran a la misma velocidad. Se por los anglosajones «secuencia negativa» consideran fijos unos respecto a los otros. (figura 6): uu uur uur r Existen tres disposiciones particulares que V1,V2,V3 : representan una simetría de los vectores entre sí y que se ha dado en calificarlas como o tienen la misma amplitud, «componentes simétricas». o están desfasados 120o, n El «sistema directo», todavía denominado por o están dispuestos de forma que un observador los anglosajones «secuencia positiva» en reposo vea desfilar los vectores en el orden uuur uuuu uuuu r r (figura 5): V1 , V2 , V3 : uu uur uuu r r V1,V3 ,V2; o tienen la misma amplitud, uur V1 o están desfasados 120o, uur uur V2 = a. V1 o están dispuestos de forma que un observador uur uur uur en reposo vea desfilar los vectores en el orden V3 = a2 .V1 = a. V2 . uuur uuuu uuuu r r V1 , V2 , V3 : uur V1 V2 uur uur uur V2 = a2 .V1 = a. V3 120o uur uur V1 V3 = a.V1 . 120o 120o V3 V3 120o Fig. 6: Sistema inverso. o 120 V1 120o V2 Fig. 5: Sistema directo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 8
  • 9. n El «sistema homopolar», denominado por los anglosajones «secuencia nula» (figura 7) V3 uu uur uur r V2 V1,V2,V3 : V1 o tienen la misma amplitud, o están en fase y por tanto son colineales; un observador en reposo los vería pasar al mismo tiempo. Fig. 7: Sistema homopolar. 2.5 Descomposición de un sistema trifásico en sus componentes simétricas Sea un sistemar trifásico cualquiera formado por uu uur uu uur r r uu uur uur V1 = Vd + Vi + Vo tres vectores V1,V2 ,V3 (definiciones de base); uur uur uu uur r se demuestra que este sistema es la suma de 3 V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo sistemas trifásicos equilibrados: directo, inverso uur uur uu uur r V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo y homopolar. uuur uuuu uuuu r r Sistema directo: Vd1, Vd2, Vd3 Se pueden calcular las componentes simétricas: uur uuu uuu r r Sistema inverso: Vi1, Vi2, Vi3 uur 1 uu r uur uur uuur uuuu uuuu r Sistema homopolar: Vo1, Vo2 , Vo3 . r Vd = 3 ( V + a. V 1 2 + a2 . V3 ) uu r 1 uu r uur uur Se verificará que: Vi = 3 (V + a 1 2 . V2 + a. V3 ) uu uuur uur uuur r uur 1 uu r uur uur V1 = Vd1 + Vi1 + Vo1 uur uuuu uuu uuuu r r r Vo = 3 ( V1 + V2 + V3 ) V2 = Vd2 + Vi2 + Vo2 uur uuuu uuu uuuu r r r V3 = Vd3 + Vi3 + Vo3 La construcción geométrica de las componentes simétricas se consigue teniendo en cuenta el Si elegimos los vectores con índice 1 como 2π  significado del operador «a»  rotación de  3  vectores de origen y hacemos intervenir el   operador «a» se tiene que: (figura 8). O V2 Vo V3 + O V2 O Vi V2 Vd V3 120o V1 aV3 O aV2 V1 V3 V1 uur 1 uu r uur uur 120o Vo = 3 ( V1 + V2 + V3 ) uur 1 uu r uur uur Vd = 3 ( V + a. V 1 2 + a2 . V3 ) a2 V 2 V1 uu r 1 uu r uur uur (V + a ) Sistema dado a2 V 3 Vi = 2 . V2 + a. V3 1 3 Fig. 8. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 9
  • 10. De forma más práctica se pueden construir las baricentro del triángulo ABC; un cálculo sencillo componentes simétricas directamente sobre la (ver apartado siguiente) indica que: figura sin necesidad de relacionar los vectores uuuu r (figura 9). uur Ea Vd = En efecto, sean los puntos D y E tales que 3 BDCE sea un rombo compuesto de dos uuuur u uu DA r triángulos equiláteros BDC y BCE y siendo O' el Vi = 3 uur uuuuu r Vo = OO ' E V2 + Vd V3 B O V2 V3 C O O' Vo D V1 Vi V1 Sistema dado A Fig. 9: Sistema homopolar. 2.6 Cálculo de las componentes simétricas uuu r uuu uuu r r Sean los puntos D y E tales que (BDCE) sea un DA = a.BC + BA rombo compuesto de dos triángulos equiláteros uuur uuur uuur uuur u u (BDC) y (BCE). = a.BO + a.OC + BO + OA uuur uuur u uuur u uuu uuu uuu r r r n Sistema directo: EA = EB + BA, pero como = OA + OB ( −a − 1) + a.OC uuur u uuur uuur u uuu r uuu r = OA + a.2 OB + a.OC EB = a2 .BC , se tiene que: uu r uur uur uur = V1 + a2.V2 + a.V3 = 3Vi uuu r uuu uuu r r EA = a2 .BC + BA uuur uuur uuur uuur u u uuuur u = a2 .BO + a2 .OC + BO + OA uu DA r uuur uuur u uuuu r Vi = ( ) = OA + OB −a2 − 1 + a2 .OC 3 uuur u uuur uuur u = OA + a.OB + a2 .OC n Sistema homopolar: sea O' el baricentro del uuuuu uuuur uuuuu r u r uu r uur uur uur triángulo ABC. Se tiene: O ' A + O 'B + O ' C = 0 = V1 + a.V2 + a2 .V3 = 3Vd uu uur uur r uur V1 + V2 + V3 = 3Vo uuuur uuur uuur uuur u u uuu EA r = OA + OB + OC Vd = uuuuu uuuuu uuuuu uuuur uuuuu uuuuu r r r u r r 3 = OO ' + O ' A + OO ' + O 'B + OO ' + O ' C uuuuu uuuuu uuuur uuuuu r r u r uuuuu r uuu uuu uuu r r r = 3 OO ' + O ' A + O 'B + O ' C = 3 OO ' n Sistema inverso: DA = DB + BA , pero como uuu r uuu r uur uuuuu r DB = a.BC , se tiene que: Vo = OO ' Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 10
  • 11. 2.7 Conclusión: aplicación a la electrotecnia El método expuesto en el párrafo anterior tiene pueden medirse tanto las impedancias un interés inmediato en la electricidad en caso simétricas de los materiales eléctricos (ver de redes trifásicas lineales y a frecuencia única. capítulo 3) como las componentes simétricas de En efecto, los sistemas trifásicos aplicados a las un sistema de tensiones o de corrientes redes eléctricas pueden estar desequilibrados (capítulo 4, ejemplo nº 4). por asimetría de la carga o por defectos. Es Notas evidente la simplicidad que ofrecen estos n por simplificación, en el texto que sigue, los cálculos, basados en la superposición de tres vectores tensión y corriente se escribirán sin la sistemas independientes, al permitir tratarlos flecha, separadamente, convirtiendo cada uno en un caso simple monofásico. n las componentes simétricas de tensiones y corrientes elegidas para la representación Observaremos que estas manipulaciones simple del sistema, son las de la fase 1: matemáticas corresponden, de hecho, a una realidad física de los fenómenos, puesto que V1 =Vd + Vi + Vo. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 11
  • 12. 3 Aplicaciones elementales 3.1 Método de cálculo de los regímenes desequilibrados Principio de superposición Vamos a examinar el comportamiento de una Zd red trifásica lineal y simétrica, es decir, E compuesta de impedancias constantes e d idénticas para las tres fases (que es el caso Vd práctico) que no produce más que fuerzas Zi electromotrices (f.e.m.) equilibradas pero cuyas corrientes y tensiones pueden estar i desequilibradas debido a la conexión a una zona Vi asimétrica D. Zo Las f.e.m. constituyen por naturaleza los o sistemas directos, si los sistemas inverso y Vo homopolar son nulos. Se interpreta el funcionamiento de la red como la superposición de tres regímenes que Fig. 10. corresponden, cada uno, a uno de los sistemas directo, inverso y homopolar. En efecto, en esta red lineal y simétrica, las Método de resolución práctica corrientes de cada sistema se relacionan sólo con las tensiones del mismo sistema y El método resumido a continuación se recíprocamente por medio de las impedancias desarrollará con detalle en el ejemplo del párrafo del sistema considerado. Téngase presente que siguiente (defecto monofásico a tierra): estas impedancias Zd, Zi y Zo son función de las n la red se divide en 2 zonas: impedancias reales y también de las o una zona asimétrica D (red desequilibrada), inductancias mutuas. o una zona simétrica S (red equilibrada), Para una red que presente una sola f.e.m. y con las componentes simétricas de tensión y de n se escriben las ecuaciones que relacionan las corriente situadas respectivamente en el lado D corriente y tensiones: de la asimetría Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, las relaciones o en la zona D (componentes reales), que definen a los tres regímenes son: o en la zona S (componentes simétricas), E = V d + Zd . I d o continuidad en la frontera D-S, 0 = Vi + Z i . I i o funcionamiento en la zona S, 0 = Vo + Zo . Io, n la resolución matemática de las ecuaciones representadas esquemáticamente en la permite calcular los valores de las componentes figura 10. simétricas y de las componentes reales de las Para las redes con varias fuentes (generadores) corrientes y tensiones de las zonas D y S. estas ecuaciones son válidas con la condición Hay que indicar que los esquemas de considerar E y Zd, Zi, Zo, respectivamente representativos de los sistemas simétricos como la f.e.m. y como las impedancias internas ofrecen la posibilidad de calcular directamente del generador equivalente de Thévenin. los valores de las componentes simétricas. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 12
  • 13. 3.2 Defecto fase-tierra (llamado defecto homopolar) Se supone que el circuito está sin carga. Planteamiento de las ecuaciones E fase 1 n Aislamiento de la zona de asimetría a2E fase 2 (figura 11) n Ecuaciones de las componentes reales aE fase 3 en (D) d, i, o  I 2 = I3 = 0 Vd ,Vi , Vo  zona S  V1 = Z I1 3 2 1 Estas ecuaciones describen el caso examinado V3 V2 V1 y son las únicas que corresponden a la figura. Z zona D n Ecuaciones de las componentes simétricas en (S). Fig. 11. I1 = I d + Ii + Io  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2 Estas tres ecuaciones se encuentran  I3 = a. I d + a . Ii + Io 2 sistemáticamente en todos los casos de cálculo  de regímenes desequilibrados con una sola  V1 = Vd + Vi + Vo fuente de tensión.   V2 = a .Vd + a.Vi + Vo 2 Resolución de las ecuaciones  V = a.V + a2. V + V  3 d i o n Los valores de las componentes simétricas de las corrientes y de las tensiones: Estas ecuaciones relacionan respectivamente E + 0 + 0 = Vd + Vi + Vo + Zd.Id + Zi.Id + Zo.Io las corrientes reales y las tensiones reales con = 3 Z.Io + ( Zd + Zi + Zo). Io sus componentes simétricas. Se encontrarán de forma idéntica en todos los cálculos de siendo: regímenes desequilibrados. Se deducen de las E definiciones anteriores (capitulo 2). Io = Id = Ii = Zd + Zi + Zo + 3Z n Continuidad en la frontera D-S Por combinación entre las ecuaciones de las E componentes reales en (D) y las ecuaciones de Vd = E − Zd . Id = E − Zd Zd + Zi + Zo + 3Z las componentes simétricas en (S), se obtiene: a2.I d + a. Ii + Io = 0 Zi + Zo + 3Z  Vd = E  Zd + Zi + Zo + 3Z a.Id + a . Ii + Io = 0 2  V + V + V = Z. I  d  i o 1 V i = – Z i .I i E  I1 Vi = − Zi I = Ii = Io = Zd + Zi + Zo + 3Z ⇒ d 3  V + V + V = 3 Z. I  d i o o V o = – Z o .I o n Ecuaciones del funcionamiento de S E Vo = − Zo Zd + Zi + Zo + 3Z E = Vd + Zd . Id  0 = Vi + Zi + Ii 0 = V + Z . I  o o o Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 13
  • 14. n Esquema de la red, según las componentes   Z + a. Zi + a2 . Zo simétricas (figura 12). V3 = a.E  1 − d   Zd + Zi + Zo + 3Z    n Valores de las tensiones y de las corrientes reales: Nota: I 1 = Id + I i + Io  Zd + a.Zi + a 2 .Zo  3E El término  1 − Z + Z + Z + 3Z   se llama factor  I1 =  d i o  Zd + Zi + Zo + 3Z de «defecto a tierra». Su valor varía entre 1 y I2 = 0 1,8. Casos particulares I3 = 0 n Con defecto franco, Z = 0, la corriente de defecto fase-tierra toma el valor: V1 = Z.I1 3E I1 = V1 = 3Z E Z d + Zi + Z o Zd + Zi + Zo + 3Z n Con defecto impedante a tierra, 3Z >> Zd + Zi + Zo, la corriente de defecto de fase-tierra se define por la impedancia de V2 = a2 . Vd + a. Vi + Vo = defecto: Zi + Zo + 3Z = a2.E − E Zd + Zi + Zo + 3Z I1 = . Z Zi − a.E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo Vd −E = Zd + Zi + Zo + 3Z d ( ) ( ) E Zi a − a + Zo a − 1 + 3a . Z 2 2 2 Vi Zd =E Zd + Zi + Zo + 3Z i Zi Vo  Z + a2.Zi + a. Zo  o V2 = a2 .E  1 − d   Zd + Zi + Zo + 3Z  Zo   d = i= o 3Z V3 = a. Vd + a2 . Vi + Vo = Fig. 12. Zi + Zo + 3Z = a.E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zi − a2 .E − Zd + Zi + Zo + 3Z Zo −E = Zd + Zi + Zo + 3Z =E ( ) Zi a − a 2 + Zo (a − 1) + 3a. Z Zd + Zi + Zo + 3Z Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 14
  • 15. 3.3 Defecto bifásico a tierra (figura 13) −E Zi Io = x = Escritura de las ecuaciones Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + n En la zona (D) Zi + Zo + 3Z − E Zi I1 = 0  =  Z d .Zi + ( Z d + Zi ) (3Z + Zo )  V2 = V3 = Z ( I2 + I3 )  n En la zona (S) E Zi ( Zo + 3Z ) Vd = Vi = x Zi ( Z o + 3Z ) Zi + Zo + 3Z Zd + I1 = I d + Ii + Io Zi + Zo + 3Z  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2  E Zo .Zi I3 = a. I d + a . Ii + Io 2 Vo = x  Zi ( Zo + 3Z ) Zi + Zo + 3Z  V1 = Vd + Vi + Vo Zd +  Zi + Zo + 3Z  V2 = a .Vd + Vi + Vo 2  V = a.V + a2. V + V I1 = 0  3 d i o Zo + 3Z − a.Zi n Continuidad en la frontera (D) - (S) I2 = − j 3 E Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z )  I d + Ii + I o = 0   Vd = Vi Zo + 3Z − a2 .Zi  V = V + 3 Z. I I3 = j 3 E  o d o Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) n Funcionamiento de (S) 3Zi ( Zo + 2Z ) V1 = E Zd .Zi + ( Zd + Zi )( Zo + 3Z ) E = Vd + Zd . I d  0 = Vi + Zi . Ii − 3Z. Zi 0 = V + Z + I V2 = V3 = E  o o o Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Resolución de las ecuaciones E fase 1 E Id = = a2E fase 2 Zi ( Zo + 3Z ) Zd + Zi + Zo + 3Z aE fase 3 Zi + Zo + 3Z =E Zd .Zi + (3Z + Zo )( Zd + Zi ) d, i, o, Vd ,Vi , Vo zona S 3 2 1 −E Zo + 3Z Ii = x = Zi ( Zo + 3Z ) V3 V2 V1 Zi + Zo + 3Z Zd + Z zona D Zi + Zo + 3Z −E ( Zo + 3Z ) = Zd .Zi + ( Zd + Zi ) (3Z + Zo ) Fig. 13. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 15
  • 16. n Esquema de la red según las componentes Vd simétricas (figura 14) . d Casos particulares E Zd n Defecto franco, con Z = 0: la corriente del defecto fase-tierra tomará el valor: Vi 3E.Zi i I 2 + I3 = − Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo Zi 3Z n Defecto bifásico aislado, con Z = ∞, la o corriente de defecto de fase vale entonces: Zo I 2 = − I3 =E (a 2 −a ) = − jE 3 Vo Fig. 14. Z d + Zi Z d + Zi 3.4 Defecto trifásico (Figura 15). E fase 1 Escritura de las ecuaciones a2E fase 2 n En la zona (D) V 1 = V 2 = V 3 = Z ( I1 + I2 + I3 ) fase 3 aE n En la zona (S) Vd ,Vi ,Vo I1 = I d + Ii + Io zona S  I 2 = a . I d + a.Ii + Io 2 d i o  I3 = a.I d + a . Ii + Io 2 V3 V2 V1   V1 = Vd + Vi + Vo Z zona D   V2 = a .Vd + a.Vi + Vo 2  V = a.V + a2 .V + V  3 d i o Fig. 15. Vd = 0 n Continuidad en la frontera (D) - (S)  Vo I1 + I 2 + I3 = 3 Io = Z  d  Vd = Vi = 0 E V = V = V = V Zd  1 2 3 o   Zi n Funcionamiento de (S) E = Vd + Zd . Id Zo  0 = Vi + Zi . Ii 0 = V + Z . I Fig. 16.  o o o Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 16
  • 17. Resolución de las ecuaciones E I3 = a Zd E Id = y Ii = I o = 0 Zd V1 = V2 = V3 = 0 Vd = Vi = Vo = 0 Los resultados son independientes de los valores de Z, Zi y Zo. E I1 = n Esquema de la red según las componentes Zd simétricas (figura 16). E I 2 = a2 Zd 3.5 Red con cargas desequilibradas (Figura 17). n Continuidad en la frontera (D) - (S) Escritura de las ecuaciones I o = 0  n En la zona (D)  I d = Ii V − V = Z . I I1 = 0  d i c d V3 − V2 = I3 . Zc = − I2 . Zc n Funcionamiento de (S) n En la zona (S) E = Vd + Zd . Id  0 = Vi + Zi . Ii I1 = I d + Ii + Io 0 = V + Z . I  o o o  I 2 = a . I d + a. Ii + Io 2  Resolución de las ecuaciones I3 = a. I d + a . Ii + Io 2   V1 = Vd + Vi + Vo Id = E  Z d + Zi + Zc  V2 = a . Vd + a. Vi + Vo 2  V = a. V + a2. V + V  3 d i o E Ii = − Zd + Zi + Zc Io = 0 E fase 1 E ( Zi + Z c ) a2E fase 2 Vd = Z d + Zi + Z c aE fase 3 d , i, o, E.Zi Vd ,Vi ,Vo Vi = zona S Z d + Zi + Zc 2 1 3 Vo = 0 V3 Zc V2 V1 zona D I1 = 0 E 3 I2 = − j Fig. 17. Zd + Zi + Zc Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 17
  • 18. jE 3 I3 = Z d + Zi + Zc Vd E ( 2 Zi + Zc ) V1 = d Z d + Zi + Z c E Zd V2 = ( E a2.Zc + Zi ) Vi Zc Z d + Zi + Zc i E (a.Zc − Zi ) Zi V3 = Z d + Zi + Zc n Esquema de la red según las componentes Zo simétricas (figura 18). Casos particulares Fig. 18. n Carga de baja potencia, siendo Zc → ∞ : n Cortocircuito bifásico aislado, con Zc = 0. I1 e I3 → 0 y V1, V2 y V3 La corriente de defecto es, en este caso: tienden hacia los valores de red simétrica, es E 3 decir, hacia E, a2E, a.E. I3 = − I 2 = j Z d + Zi 3.6 Impedancias asociadas a las componentes simétricas En este párrafo, se pasa revista a los elementos n La reactancia inversa es inferior a la principales que pueden intervenir en una red reactancia directa transitoria. eléctrica. n La reactancia homopolar no se toma en Para las máquinas rotativas y los consideración salvo que el neutro del alternador transformadores, los órdenes de magnitud de esté conectado a la tierra directamente o a las impedancias son idénticos en porcentaje: través de una bobina o de una resistencia.   Su valor es del orden de la mitad de la S  z% = 100 Z n  2   reactancia subtransitoria.  Un  Máquinas sincrónicas Las generatrices provocan el nacimiento de la componente directa de la potencia. Los defectos Reactancia polos entrehierro son los creadores de las componentes inversa y % salientes constante homopolar que se dirigen desde el punto de defecto hacia los elementos equilibrados, subtransitoria 30 20 atenuándose progresivamente. transitoria 40 25 n Después de una perturbación, la reactancia síncrona 120 200 directa de una máquina pasa del valor subtransitorio al valor síncrono. En el cálculo del defecto, se pueden tomar los valores en % Fig. 19. (figura 19). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 18
  • 19. Máquinas asíncronas o líneas con 2 conductores por fase (400 kV) La componente directa genera, en los motores, Rd = Ri ≈ 0,04 Ω /km los campos rotativos en el sentido directo Xd = Xi ≈ 0,32 Ω /km (par útil). Cd = Ci ≈ 12 nF/km La componente inversa produce los campos n La impedancia homopolar vale aproximada- rotativos generadores de pares de frenado. mente tres veces la impedancia directa. n Usualmente podemos considerar la La capacidad homopolar se puede valorar en reactancia directa como una impedancia pasiva unas seis veces la capacidad directa. U2 / (P-jQ). n La reactancia inversa varía entre el 15 y el Cables 30%. Es aproximadamente igual a la reactancia n La reactancia y la capacidad directas e de arranque. inversas dependen de la geometría de los n La reactancia homopolar es muy baja. cables. Transformadores Rd = Ri Xd = Xi ≈ 0,1 a 0,15 Ω /km La circulación de una corriente homopolar por los arrollamientos de un transformador precisa Cd = Ci ≈ 120 a 320 nF/km una conexión con un punto neutro unido a tierra n Las características homopolares de un cable o a un conductor de neutro. no se deducen fácilmente de las características n Los transformadores presentan, a las directa e inversa. En general son despreciables corrientes de los sistemas directo e inverso, una ante las de los transformadores que alimentan impedancia igual a su impedancia de dichos cables. cortocircuito, del orden del 4 al 15%. n La reactancia homopolar depende de la conexión de los arrollamientos y de la naturaleza del circuito magnético. La tabla de la figura 20 resume los diferentes casos detallados en las figuras 22 a y b. Transformador Reactancia Lineas aéreas (visto lado secundario) homopolar Consideremos las líneas transpuestas. Sin neutro ∞ n La impedancia y la capacidad directas e Yyn o Zyn flujo libre ∞ inversas dependen de la geometría de la línea. flujo forzado 10 a 15 Xd o líneas con 1 conductor por fase (63, 90, 150 y Dyn o YNyn Xd 225 kV) primario zn 0,1 a 0,2 Xd Rd = Ri ≈ 0,16 Ω /km Xd = Xi ≈ 0,4 Ω /km Fig. 20. Cd = Ci ≈ 9 nF/km Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 19
  • 20. 3.7 Formulario de recapitulación Parámetros empleados: n Tensión eficaz compuesta de la red trifásica U U n tensión eficaz simple de la red trifásica V= 3 n corriente de cortocircuito, en módulo Icc n corriente de defecto a tierra, en módulo Itierra n impedancias simétricas Zd, Zi, Zo n impedancia de cortocircuito Zc n impedancia de tierra Z La tabla de la figura 21 resume los valores de las corrientes, en módulos, en los diferentes casos de asimetría. Tipo de asimetría Asimetría impedante Asimetría franca (Z = 0 y/o Zc = 0) U 3 U 3 Cortocircuito monofásico Icc = Icc = Zd + Zi + Zo + 3Z Z d + Zi + Z o U 3 Zi U 3 Zi Itierra = Itierra = Cortocircuito bifásico a tierra Zd .Zi + ( Zd + Zi ) ( Zo + 3Z ) Zd .Zi + Zi .Zo + Zd .Zo (Zc = 0) U U Cortocircuito bifásico aislado Icc = Icc = Z d + Zi + Z c Z d + Zi (Z = ∞) U U Cortocircuito trifásico Icc = Icc = Z d + Zc 3 Zd 3 (Z cualquiera) Fig. 21. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 20
  • 21. Conexión Valor de la reactancia homopolar Esquema unifilar del transformador, vista desde: primario secundario terciario equivalente los bornes bornes bornes primarios 1 secundarios 2 terciarios 3 1 2 infinito infinito 1 2 1 2 infinito infinito 1 2 Flujos libres Flujos libres infinito 1 X11 2 infinito Flujos forzados Flujos forzados 1 2 X11 = 10 a 15 1 2 infinito veces Xcc 1 2 X12 = Xcc X12 = Xcc 1 infinito infinito 1 2 1 2 X12 X12 = Xcc infinito 1 2 1 2 1 2 infinito infinito 1 2 X 22 1 2 infinito X22 = 1% de Sn 2 1 Flujos libres infinito Flujos libres 1 X11 2 infinito Flujos forzados 1 2 X11 = 10 a 15 Flujos forzados 1 2 veces Xcc infinito Fig. 22 (a). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 21
  • 22. Conexión Valor de la reactancia homopolar Esquema unifilar del transformador, vista desde: primario secundario terciario equivalente los bornes los bornes los bornes primarios 1 secundarios 2 terciarios 3 X 22 1 2 infinito X22 = 1% de Xn 1 2 Flujos libres Flujos libres X22 infinito X22 = 1% en X n 1 2 Flujos forzados Flujos forzados X22 X11 = 10 a 15 X = 1% de X 1 2 22 n 1 2 veces Xcc 1 2 infinito infinito 1 2 Flujos libres X11 infinito 2 Flujos forzados 1 infinito infinito X11 = 10 a 15 1 2 3 3 veces X12 2 X2 X02 ( x2 + x02 )( x3 + x03 ) ( x1 + x01 )( x2 + x02 ) X01 X1 x1 + x3 + x 2 + x 3 + x 02 + x 03 x1 + x 2 + x01 + x02 1 2 1 3 X3 X03 ( x1 + x01)( x3 + x03 ) 3 x2 + x1 + x 3 + x 01 + x 03 2 X2 X1 x 2 x3 1 x1 + infinito infinito X3 x 2 + x3 1 2 3 3 2 x 2 ( x 3 + x 03 ) x 2 ( x1 + x 01 ) X2 X1 X01 x1 + x3 + 1 x 2 + x 3 + x 03 infinito x1 + x 2 + x 01 X3 1 2 3 X03 3 2 X2 X1 1 X33 X1 + X2 = X12 infinito X 33 = 1% de Xn 1 2 3 3 Fig. 22 (b). Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 22
  • 23. 4 Ejemplos resueltos 4.1 Ejemplo 1: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 23 Problema 100MVA ¿Qué poder de ruptura ha de tener, como mínimo, el interruptor automático? 2500 MVA 17 kV Solución 8% 36 kV Cuando interviene el interruptor automático, la X'd = 35% componente aperiódica está latente en el interior X'i = 25% de la red pero no en los devanados del alternador. Fig. 23. n Impedancias: o del alternador, referidas al secundario del transformador: o monofásico 2 35 36 36 3 Za directa: x = j0,18 Ω = = 18 kA 100 2500 1,22 + 1,17 + 1,0 25 362 o bifásico aislado Za inversa: x = j0,13 Ω 100 2500 U 36 Icc = = = 15 kA Zd + Zi 1,22 + 1,17 Za homopolar: despreciable. o del transformador, referida al secundario del o bifásico a tierra transformador: U Z o − a Zi 8 362 Icc = Zt directa: x = j1,04 Ω Zd Zi + Zi Zo + Zo Zd 100 100 36 . 1,915 = = 17,6 kA Zt inversa: j1,04 Ω 3,91 Zt homopolar = j1,04 Ω n el interruptor automático deberá cortar una o totales corriente de cortocircuito de 18 kA o, lo que es Z directa = j1,22 Ω lo mismo, su potencia de ruptura deberá ser de: Z inversa = j1,17 Ω 18 x 36 3 = 1122 MVA . Zt homopolar = j1,04 Ω n corrientes de cortocircuito: o trifásico U/ 3 36 / 3 Icc = = = 17 kA Zd 1,22 Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 23
  • 24. 4.2 Ejemplo 2: Poder de corte de un interruptor automático Esquema de la figura 24. Solución Problema n Esquema global directo o inverso (reducción a 60 kV) (figura 25) En una red de 60 kV, determinar el poder de ruptura de los interruptores automáticos de los U2 25 60 2 25 centros C y E, que alimentan a la línea de 15 km. a=j x = x = j 22,5 Ω Pcc 100 40 100 La reactancia de cortocircuito de los transformadores de grupo y de red es del 10% y U2 10 602 la de los otros transformadores, del 8%. b = jUcc = x = j9 Ω Pcc 100 400 Para una línea de 60 kV la reactancia es de 0,4 Ω/km en régimen directo e inverso y de C1 = j0,40 x 60 = j24 Ω 3 x 0,40 Ω/km en régimen homopolar. C2 = j0,40 x 50 = j20 Ω Los grupos presentan una reactancia directa o inversa de 25%. C3 = j0,40 x 40 = j16 Ω Las cargas de potencia activa P presentan C4 = j0,40 x 40 = j16 Ω una reactancia equivalente estimada de j.0,6 U 2 /P. 40 MVA 40 MVA 30 MW A 40 km 60 km 15 MVA 40 MVA 8 MW 12 MVA 15 km 20 MVA 14 MW 10 MW B C E 10 MW 15 MVA 50 MVA 40 km 50 km red 150 kV D 1500 MVA 20 MVA 20 MVA Fig. 24. Cuaderno Técnico Schneider n° 018 / p. 24