Vectores

1. VECTORES

2. Un vector puede ser expresado como la suma de dos vectores, los
que son llamados componentes vectoriales. Usualmente los vectores
componentes son escogidos de manera que sean perpendiculares
entre si.
Suma de Vectores por medio de
componentes
FIGURA. Descomposición de un vector V en sus componentes a lo largo de un
conjunto de ejes x y y
→
Como se observa en la figura 10, Vx+Vy=V por el método del paralelogramo para sumar
vectores.
→ → →

3. Figura.
Como las componentes son
perpendiculares, ellas pueden ser
calculadas usando funciones
trigonométricas.
Suma de Vectores por medio de componentes
Las componentes escalares, Vx y Vy son las
magnitudes con unidades de las
componentes vectoriales, a las que se les
asigna un signo positivo o negativo, según
apunten en el sentido positivo o negativo de
los ejes x o y.
Llamaremos a las componentes escalares
simplemente como componentes del vector.

4. Las componentes son efectivamente unidimensionales, así
ellos pueden ser sumados aritmeticamente:
Suma de Vectores por medio de componentes
FIGURA. Las componentes de V son
Vy = V1y + V2y
V = V + V
→
Observación:
Si no especificamos si
se habla de
componentes
vectoriales o
escalares, se asume
que son las escalares.

5. EJEMPLO 2. Desplazamiento de un cartero. Un cartero rural sale de la oficina
de correos y maneja 22,0 km en dirección hacia el norte. Luego maneja en una
dirección a 60,0° al sur del este una distancia de 47,0 km (figura 13a). ¿Cuál
será su desplazamiento medido desde la oficina de correos?

6. SOLUCIÓN. Se descompone cada vector desplazamiento en sus componentes, como
se muestra en la figura 13b. Dado que D1 , tiene 22,0 km de magnitud y apunta hacia
el norte, sólo tiene una componente y:
→
D1x = 0, D1y = 22,0 km.
D2 tiene ambas componentes x y y:
→
D2x = +(47,0km)(cos60o) =+(47km)(0,500)=+23,5km
D2y = (47,0km)(sen60o) =(47km)(0,866)=40,7km
El vector resultante D, tiene las componentes:
→
Dx = D1x + D2x = 0 km + 23,5 km = +23,5 km
Dy = D1y + D2y = 22.0 km +(-40,7km) =18,7km
D= √ Dx + Dy = √ (23,5km)+(-18,7km) = 30,0km
2 2
 
2 2
tanθ=  =  = 0,796
Dx
Dy
θ=38,56
o
+23.5 km
18.7km
El desplazamiento resultante
D es de 30,0 km dirigidos a
38,5° en una dirección hacia
el sureste.
→

7. EJEMPLO 3. Tres viajes cortos. Un viaje en avión comprende tres etapas con dos
escalas, como se muestra en la figura 14a. En la primera etapa el avión recorre 620 km
hacia el Este; en la segunda, 440 km hacia el Sureste (45°); y en la tercera etapa, 550 km
a 53° al sur del oeste, como se indica. ¿Cuál será el desplazamiento total del avión?
Figura 14a

8. Por lo tanto, el desplazamiento total tiene una magnitud de 960 km y apunta a
51° debajo del eje x (sur del este), como se indica en el bosquejo original (figura
14a).

9. Vectores unidad
Un vector unidad tiene una magnitud exactamente igual a uno (sin
unidades - adimensional).
Sirven para indicar una dirección.
Es conveniente definir ciertos vectores unidad señalando a lo largo de
los ejes coordenados positivos,
y en un sistema coordenado rectangular x, y y z.
FIGURA Vectores unidad i, j y k a lo
largo de los ejes x, y y z.
^ ^ ^
Las componentes vectoriales de un vector V
pueden escribirse
Vx=Vx i, Vy=Vy j Vz=Vz k
y por consiguiente, cualquier vector puede
escribirse en términos de sus componentes
como
→
→ → →
^ ^ ^
V = Vx i + Vy j + Vz k
ˆ ˆ ˆ
→
Observación: Distinga entre
componente vectorial Vx=Vx i, y
componente escalar Vx
→
ˆ

10. EJEMPLO 4 Uso de vectores unidad. Escriba los vectores del ejemplo 2 en
notación de vectores unidad y haga la suma.
D1x = 0, D1y = 22,0 km.
D2x = +23,5km, D2y = 40,7km.

11. Ejercicios y Problemas

12. (II) En la figura 38 se muestran tres vectores. Sus magnitudes están dadas en
unidades arbitrarias. Determine la suma de los tres vectores. Dé la resultante en
términos de (a) componentes, (b) magnitud y ángulo medido a partir del eje x
positivo.

13. (II) La figura 36 muestra dos vectores, A y B cuyas magnitudes son A= 6,8
unidades y B = 5,5 unidades. Determine C si a) C=A+B b) C=A-B c) C=B-A. Dé
la magnitud y la dirección de cada uno.
→ →
→ → → → → → → → → →

14. El tornillo de la figura está sujeto a dos fuerzas F1
y F2. Determine la magnitud y dirección de la
fuerza resultante.

15. Determinar la magnitud y el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje y positivo
de la resultante fuerza que actúa sobre el soporte si FB = 600 N y θ = 20 °.

16. Determine la magnitud de la fuerza resultante y su dirección medida
en sentido antihorario desde el eje x positivo.

17. Escriba cada fuerza en sus componentes en los ejes x e y

18. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante

19. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante y su dirección 
medido en sentido antihorario con respecto a +x.

20. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza resultante y su dirección  medido
en sentido antihorario con respecto a +x.

21. Determine la magnitud y dirección medido en sentido antihorario desde el eje x
positivo de la resultante la fuerza de las tres fuerzas que actúan sobre el anillo A. Tomar
F1 = 500 N y θ = 20°.