Este documento presenta conceptos básicos sobre vectores. Explica que un vector contiene magnitud y dirección, mientras que una cantidad escalar solo contiene magnitud. Describe cómo se representan vectores mediante flechas con longitud y orientación, y cantidades escalares mediante números y unidades. También cubre temas como componentes de vectores, coordenadas polares y rectangulares, y cómo calcular desplazamientos resultantes de varios vectores.

1. Capítulo 3B - Vectores Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University © 2007

4. Vectores Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.

5. ¿Qué son las magnitudes físicas? ¿Cuál es la diferencia entre cantidad vectorial y escalar? En nuestra vida cotidiana nos referimos y hablamos de diversas magnitudes físicas

6. ¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales? Se representa mediante una flecha con una escala establecida previamente.

8. Clasificación de vectores

9. Vector deslizante Es el vector que se puede trasladar a lo largo de su dirección a un punto arbitrario de la recta en que se encuentra

10. Vector fijo Es el vector que está ligado al origen o punto de aplicación que permite localizar un punto o un objeto en el plano o en el espacio con respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas.

11. La física es la ciencia de la medición Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección. Longitud Peso Tiempo

14. ¿Trayectoria o desplazamiento?

15. Sistema de coordenadas

19. Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares ( R ,  ) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 50 0 N del E . R es la magnitud y   la dirección . 40 m 0 o 180 o 270 o 90 o  0 o 180 o 270 o 90 o R 50 o

20. Vectores y coordenadas polares ( R ,  ) = 40 m, 50 o ( R ,  ) = 40 m, 120 o ( R ,  ) = 40 m, 210 o ( R ,  ) = 40 m, 300 o Se dan coordenadas polares ( R ,  ) para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 50 o 60 o 60 o 60 o 0 o 180 o 270 o 90 o 120 o 210 o 300 0

21. Coordenadas rectangulares La referencia se hace a los ejes x y y , y los números + y – indican posición en el espacio. Derecha, arriba = (+, +) Izquierda, abajo = (-, -) ( x, y) = (?, ?) x y (+3, +2) (-2, +3) (+4, -3) (-1, -3) + + - -

23. Solución: Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida. En cualquiera de estos casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso será blanco .

25. Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30 o . h 90 m 30 0

26. Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector ( R ,   . x = R cos  y = R sen  Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a rectangular x y R 

27. Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? El componente y ( N ) es OP : El componente x ( E ) es ADY : x = R cos  y = R sen  E N x y R  x = ? y = ? 400 m   E N

28. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?

29. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? x = ? y = ? 400 m   E N

30. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30 o N del E . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?

31. Signos para coordenadas rectangulares Primer cuadrante: R es positivo ( + ) 0 o >   < 90 o x = + ; y = + + + 0 o 90 o R  x = R cos  y = R sen 

32. Signos para coordenadas rectangulares Segundo cuadrante: R es positivo ( + ) 90 o >   < 180 o x = - ; y = + + R  180 o 90 o x = R cos  y = R sen 

33. Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo ( + ) 180 o >   < 270 o x = - y = - - R  180 o 270 o x = R cos  y = R sen 

34. Cuarto cuadrante: R es positivo ( + ) 270 o >   < 360 o x = + y = - 360 o + R  270 o Signos para coordenadas rectangulares x = R cos  y = R sen 

35. Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares . R siempre es positivo;  es desde el eje + x x y R 

36. Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?

37. Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar ( R,  ) a partir de ( x, y ) dados = (+40, -30) R R y R x  = -36.9 o  = 323.1 o 40 lb 30 lb 40 lb 30 lb   R = x 2 + y 2 R = (40) 2 + (30) 2 = 50 lb tan   = -30 40

38. Cuatro cuadrantes (cont.)  = 36.9 o ;  = 36.9 o ; 143.1 o ; 216.9 o ; 323.1 o 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R  R y R x  40 lb 30 lb R  R y R x R = 50 lb R = 50 lb

39. Notación vector unitario ( i, j, k ) Considere ejes 3D ( x , y , z ) Defina vectores unitarios i, j, k Ejemplos de uso: 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k x z y i j k

40. Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W ; luego 40 m, N . Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R ,  .

41. Ejemplo 4 (cont.): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R ,  .

42. Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B . Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades.

43. Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 28 0 con el suelo.

44. Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 32 0 .

45. Método de componentes 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j . 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j . Luego convierta a ( R ,  ). 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás.

46. Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante. E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D

47. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j : A = +2 i B = + 4 j C = -3 i D = - 2 j 4. Sume algebraicamente los vectores A , B , C , D para obtener la resultante en notación i, j . E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D 5. Convierta a notación R ,  Vea página siguiente.

48. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento resultante. Ahora encuentre R ,  E N 2 km, E A 4 km, N B 3 km, O C 2 km, S D La suma resultante es: R = -1 i + 2 j R 

49. Recordatorio de unidades significativas: En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: E N 2 km A 4 km B 3 km C 2 km D Por conveniencia, siga la práctica de suponer tres (3) cifras significativas para todos los datos en los problemas.

50. Dígitos significativos para ángulos  = 36.9 o ; 323.1 o Puesto que una décima de grado con frecuencia puede ser significativa, a veces se necesita un cuarto dígito. Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes: 40 lb 30 lb R   R y R x 40 lb 30 lb R  R y R x

51. Ejemplo 10: Encontrar R ,  para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: 1. Primero dibuje los vectores A , B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. ( R ,  ) 3. Escriba cada vector en notación i, j . (continúa...)

52. Ejemplo 10: Encuentre R ,  para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) Vector   componente x ( i ) componente y ( j ) A = 5 m B = 2.1 m 20 0 B C = 0.5 m R  Para notación i, j , encuentre los componentes x , y de cada vector A , B , C .

53. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, 90 0 . 4. Sume los vectores para obtener la resultante R en notación i, j . componente x ( i ) componente y ( j )

54. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 0 0 ; B = 2.1 m, 20 0 ; C = 0.5 m, 90 0 .

55. Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60 o N del W , y finalmente 30 m a 210 o . ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente?

56. A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: Nota: R x = A x + B x + C x B A C R y = A y + B y + C y B y 60 o 30 o R   A x B x R x C x 0 R y C y

57. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de componentes para encontrar la resultante .

58. Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes Sume algebraicamente: A = 20 i B = -20 i + 34.6 j C = -26 i - 15 j R = -26 i + 19.6 j  = 143 o 60 30 o R   A x B B x R x A C C x R y B y C y R -26 +19.6  R = (-26) 2 + (19.6) 2 = 32.6 m tan   = 19.6 -26

59. Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.

60. Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación.

61. Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C

62. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). R = A + B Considere primero A + B gráficamente: B A B R A B

63. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B : primero cambie el signo (dirección) de B , luego sume el vector negativo. B A B - B A - B R ’ A

64. Suma y resta R = A + B R ’ = A - B Comparación de suma y resta de B B A B R A B - B R’ A La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |( A – B )| = | A | - | B |

65. Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8 km N : encuentre A – B y B – A . A - B (2.43 N – 7.74 S) 5.31 km, S B - A (7.74 N – 2.43 S) 5.31 km, N R R A 2.43 N B 7.74 N A – B; B - A +A -B +B -A

69. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B : primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B A B - B A - B R’ A

70. Conclusión del Capítulo 3B - Vectores