Este documento presenta una guía sobre vectores para un curso de física de ingeniería en la Universidad de El Salvador. Incluye una cita sobre la enseñanza, un cuestionario con 26 preguntas sobre vectores, y 26 problemas para resolver relacionados con vectores. El profesor Samuel Adolfo Dueñas Aparicio es el orientador del curso.

1. UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE
DEPARTAMENTO DE FISICA
MATERIA: FISICA I INGENIERÍA
ORIENTADOR: ING. IND. Y MEd. SAMUEL ADOLFO DUEÑAS APARICIO
GUIA # 1 “VECTORES”
“El maestro mediocre dice,
el buen maestro explica,
el maestro superior demuestra,
el gran maestro inspira”
William A. Ward (1921-1994)
Profesor Estadounidense
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2. CUESTIONARIO
1. Si al multiplicar dos vectores escalarmente, el resultado es cero, podemos asegurar que:
a) Son perpendiculares b) Uno de ellos necesariamente es cero c) Son paralelos
2. Si al multiplicar dos vectores vectorialmente, el resultado es cero, podemos asegurar que:
a) Son paralelos b) Son perpendiculares c) Uno de ellos necesariamente es cero
3. Si sumamos dos vectores uno de modulo 3 y otro de modulo 2 el resultado:
a) Es un vector de modulo 5
b) Es un escalar de modulo 5
c) Es un vector, pero es necesario conocer sus direcciones para poder sumarlos
4. Cualquier vector se puede expresar en función de sus componentes:
a) En todos los casos
b) Solo cuando el vector se encuentra en un plano
c) Cuando no sea un vector unitario
5. Si dividimos un número por un vector, el resultado es:
a) Un vector b) Un número c) No es posible dividir por un vector
6. La superficie es una magnitud:
a) Escalar y nos da el área
b) Es un vector perpendicular a la superficie en cada punto de ésta, y su modulo e área
c) La superficie no es una magnitud
7. Si queremos sumar un sistema de vectores:
a) Sumaremos los módulos
b) Hay que tener en cuenta tanto el modulo como la dirección de cada uno
c) Da igual el modulo, lo importante es la dirección
8. La diferencia entre una cantidad escalar y un campo escalar es:
a) No hay diferencia es lo mismo
b) Un campo escalar es una función cuyo valor depende del punto del espacio que se
considere. Una cantidad escalar tiene valor constante
c) Son de signo contrario
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3. PROBLEMAS
1. Considérense dos desplazamientos, uno de 3 m de magnitud y otro de 4 m. Demostrar como
pueden combinarse estos vectores para obtener un desplazamiento resultante cuya magnitud sea a)
de 7 m, b) de 1 m y c) de 5 m.
R/ a) paralelos, b) anti paralelos, c) perpendiculares.
2. Un jugador de golf mete su pelota en un hoyo en tres golpes. El primer golpe desplaza la pelota 12
pies hacia el norte; el segundo, 6 pies al sureste y el tercero, 3 pies al suroeste. ¿Qué
desplazamiento seria necesario para meter la pelota en el hoyo al primer golpe?
R/ 6 pies, 20.5o
hacia el este del norte.
3. Determinar la suma de los vectores de desplazamiento c y d cuyas componentes en kilómetros a
lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares sean:
cx = 5.0, cy = 0, cz = -2.0; dx = -3.0, dy = 4.0, dz = 6.0.
R/ rx = 2.0 km; ry = rz = 4.0 km.
4. Dados los vectores, A=4i−3j y B=6i8j , encontrar la magnitud y dirección de
A ,de B ,de AB ,de B−A y de A− B.
R/ Las magnitudes son 5, 10, 11,11 y 11. Los ángulos con el eje x positivo son 323˚, 53˚,
27˚, 80˚ y 260˚.
5. Un tren recorre las estaciones A, B y C en ese orden, de A a B recorre 75 Km. Al sur y de B a C
viaja1.0x102
Km. Al noroeste: a) indique la ubicación de A, B y C en un diagrama que tenga
indicado con claridad sus ejes coordenadas, b) calcule las componentes del desplazamiento del tren
entre A y C, c) ¿cual es la magnitud y la dirección del desplazamiento?
R/ b) Rx = -70.71 Km, Ry = - 4.28 Km; c) R = 70.84 Km., 3.46o
al suroeste.
6. Dos vectores a yb tienen magnitudes iguales, digamos de 10 unidades; están orientados como se
muestra en la figura 1, y su suma vectorial es r . Encontrar a) las componentes x y y de r , b) la
magnitud de r y c) el ángulo que r forma con el eje x.
R/ a) ax = 8.7 u, ay = 5 u, bx = -7.1 u, by = 7.1 u, rx = 1.6 u, ry = 12.1 u b) r = 12.1 u;
c) Ør = 82.5˚
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4. 7. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, de la siguiente manera: 4 m
al suroeste, 5 m al este y 6 m en una dirección de 60˚ al norte del este. Encontrar: a) las
componentes de cada desplazamiento, b) las componentes del desplazamiento resultante, c) la
magnitud y la dirección del desplazamiento resultante y d) el desplazamiento requerido para
regresar a su punto de partida.
R/ a) ax = -2.8 m, ay = -2.8 m; bx = 5 m, by = 0; cx = 3 m, cy = 5.2 m
b) dx =5.2 m, dy = 2.4 m.
c) 5.7 m, 25˚ al norte del este.
d) 5.7 m, 25˚ al sur del oeste.
8. Un vector d tiene una magnitud de 2.5 m y apunta hacia el norte.¿cuáles son las magnitudes y
direcciones de los vectores:
a) – d, b) d/2, c) –2.5d y d) 4d?
R/ a) 2.5 m al sur, b) 1.25 m al norte, c) –6.25 m al sur, d) 10 m al norte.
9. Un hombre anda 10 m hacia el noreste y luego otros 10 m hacia el este. Hacer un gráfico de estos
desplazamientos y hallar el vector desplazamiento resultante.
R/ el vector desplazamiento resultante es 18.6 m, 22˚ al norte del este.
10. Un insecto comienza a moverse en un punto A, se arrastra 8.0 cm al este, 5.0 cm al sur, 3.0 cm al
oeste, y 4.0 cm al norte hasta un punto B. a) ¿Qué tan retirado se encuentran el punto B del A en
dirección norte y en dirección este? b) Calcular el desplazamiento de A a B gráficamente y
algebraicamente.
R/ a) 5.0 cm a; este, 1.0 cm al norte; b) 5.10 cm a 11.3o
al sureste.
11. Partiendo del centro de una ciudad, un automóvil viaja hacia el este hasta recorrer 80.0 km y, a
continuación, da vuelta hacia el sur y recorre 192 km, en donde se le termina la gasolina.
Determine el desplazamiento del automóvil detenido a partir del centro de la ciudad.
R/ 208 km, 67.4 o
hacia el sureste.
12. Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano xy (este
es, los desplazamientos son coplanares); 60 mm en dirección +y, 30 mm en dirección -x, 40 mm a
150o
, y 50 mm a 240o
, Calcular el desplazamiento resultante gráfica y algebraicamente.
R/ 97 mm a 158o
13. Hallar los componentes rectangulares de los vectores comprendidos en el plano xy y que tienen un
modulo ∣A∣ formando un ángulo Ø con el eje x, para los siguientes valores de ∣A∣ y Ø: a)
∣A∣=10m , Ø = 30˚; b) ∣A∣=5m , Ø = 45˚; c) ∣A∣=7m , Ø = 60˚; d) ∣A∣=5m , Ø = 90˚; e)
∣A∣=15m/s , Ø = 150˚; f) ∣A∣=10m/ s , Ø = 240˚; g) ∣A∣=8m/ s
2
, Ø = 270˚.
14. Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comida rápida preferido. Sale de su
apartamento, baja 10 pisos en el elevador (cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur
hacia la salida del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina 0.1 km hasta
la entrada del restaurante. a) Determine el desplazamiento entre su departamento y el restaurante.
Use notación con vectores unitarios en su respuesta, dejando bien en claro qué sistema de
coordenadas eligió. b) ¿Qué distancia recorrió por el camino que siguió de su departamento al
restaurante y qué magnitud tiene el desplazamiento que calculó en el inciso a)?
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5. R/ a) 200mi 85mj−30 mk , b) 345 m , 219 m.
15. Dos vectores están dados por a=4i−3jk yb=−i j4k . Encontrar:
a) ab , b) a−b y c) un vector c tal que a−bc=0 .
R/ a) 3i – 2j + 5k, b) 5i – 4j –3k c) igual que b), pero con signo contrario.
16. Hallar el modulo y la dirección de los siguientes vectores: a) A=5i3j ; b) B=10i−7j ; c)
C=−2i−3j
R/ a) ∣A∣=5.83m , Ø = 31˚; b) ∣B∣=12.2m , Ø = 325˚ ó -35˚; c) ∣C∣=3.60m ,
Ø = 235º.
17. Describir los vectores siguientes utilizando los vectores unitarios i y j: a) una velocidad de 10 m/s
con un ángulo de elevación de 60˚; b) un vector A de modulo = 5 m y Ø = 225˚; c) un
desplazamiento desde el origen al punto x = 14 m, y y = -6 m.
R/ a) v=5i8.66jm/s ; b) A=−3.54i−3.54jm m; c) r=14i−6jm .
18. En el caso de los dos vectores A y B indicados en la figura 2 hallar gráficamente a) AB ; b)
A−B ; c) 2 AB ; d) B−A ; e) 2 B−A .
19. El anillo de la figura esta sujeto a la acción de dos fuerzas F1 y F2 . si se quiere que la fuerza
resultante tenga una magnitud de 1 KN y esta dirigida verticalmente hacia abajo, determine las
magnitudes de F1 y F2 (Sugerencia: Utilice la ley de los senos del triangulo que se forma al
sumar las dos fuerzas)
R/ ∣F1∣=652.7 N ,∣F2∣=446.5 N.
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6. 20. Determinar la resultante del sistema de fuerzas indicado en la figura. Aplique el método de
componentes rectangulares.
R/ 153 N
21. La suma de las fuerzas de la figura es de 700 N, dirigida verticalmente. ¿cuál es la magnitud de los
ángulos α y β? (Sugerencia: Aplique la ley del coseno y la ley de los senos al triangulo que se
forma al sumar las dos fuerzas)
R/ α = 55.9o
, β = 45.5o
22. Hallar el módulo de “ ” para que la resultante del sistema sea una fuerza horizontal de 280 N.
R/ 56√10 N
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αβ

7. 23. Dados los vectores A, B y C tal como se muestran en la figura siguiente, donde:
A = 10 m, B = 20 m y C = 15 m. Determinar por el método de Componentes rectangulares
la resultante de sumar los vectores A, B y C.
R/ 10.5 m
24. Determinar en la figura que se muestra, el ángulo “ ” para que la resultante quede en el
eje “x ”.
R/ 30
o
25. Una rueda con un radio de 45.0 cm. rueda sin patinar a lo largo de un piso horizontal (ver figura).
En el tiempo t1, el punto p pintado en el borde de la rueda está en el punto de contacto entre la
rueda y el piso. En un tiempo posterior t2, la rueda ha girado la mitad de una vuelta. ¿Cuáles son a)
la magnitud y b) el ángulo (con respecto al piso) del desplazamiento de p durante este intervalo?
R/ a) 168 cm.; b) 32.5º sobre el piso
26. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared se
selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones.
Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2.00,1.00)m, la lejanía que
tendría la mosca con respecto a la esquina del cuarto es:
R/ 2.00 m
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8. 27. Imagine que pasea en canoa en un lago. Desde su campamento en la orilla, rema 240 m en una
dirección 32º al sur del este para llegar a un almacén donde compra víveres. Conoce la distancia
porque ha localizado tanto el campamento como el almacén en un mapa. Al regreso, rema una
distancia B en la dirección 48º al norte del oeste y una distancia C en la dirección 62º al sur del
oeste para volver a su campamento. Ha medido con su brújula las direcciones en que remó, pero no
conoce las distancias. Dado que le interesa conocer la distancia total que remó, use métodos
vectoriales para calcular B y C.
R/ B = 255 m, C = 70 m.
28. Imagine que acampa con dos amigos, José y Carlos. Puesto que a los tres les gusta la privacía, no
levantan sus tiendas juntas. La de José está a 21.0 m de la suya, en dirección 23.0º al sur del este.
La de Carlos está a 32.0 m de la suya, en dirección 37.0º al norte del este. ¿Qué distancia hay entre
las tiendas de José y de Carlos?
R/ 28.2 m
29. Dados los vectores A=3i4jk y B=i−2j5k calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su
producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su
producto vectorial.
R/ a) 26 ,30 , b) 4i +2j +6 k, c) 0, d) 90o
, e) 0, f) 22i –14j –10 k
30. Dado el sistema de ecuaciones vectoriales ab=3i−2j5k ,a−b=i−6j−3k determinar
∣a∣y∣b∣.
R/ ∣a∣=21 y∣b∣=21
31. Hallar el ángulo que existe entre A=3i jk y B=−3i j2k
R/ 118.91o
32. En el producto F=qv X B , tome q = 2,
v=2.0i4.0 j6.0k y F=4.0i−20j12k
¿Entonces cuál es B en notación de vector unitario si Bx = By?
R/ B=−3i−3j−4k
33. Dados los vectores A=5i−2j−3k ; B=bx i−2jbz k ; C=3icy jk ; determinar bx, bz y cy,
para que A , B y C sean mutuamente perpendiculares.
R/ bx =16/7, bz = 36/7, Cy = 6
34. Para los siguientes tres vectores, ¿Cuál es 3 C .2 A x B?
A=2.00i3.00 j−4.00 k
B=−3.00i4.00 j2.00k
C=7.00i−8.00 j
R/ 540 u
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