Este documento presenta una introducción a los vectores en R2 y R3. Explica qué son los vectores y por qué son importantes para resolver problemas de física. Define las características principales de un vector, como su módulo, dirección y sentido. También introduce conceptos como vectores equivalentes y la notación de vectores con origen en el punto (0,0) o (0,0,0).

1. ALGEBRA PARA EL CBC – PARTE 1

3. ALGEBRA
Para el CBC
* VECTORES EN R2 Y R3
* MATRICES
* DETERMINANTES
* ESPACIOS VECTORIALES
PARTE 1
LAL-1

4. Algebra para el CBC, Parte 1
- 2da
edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2010
160 p.; 21x27 cm.
ISBN: 978-987-23462-0-1
Algebra para el CBC : parte I - 2a ed. - Buenos Aires :
Asimov, 2010.
v. 1, 160 p. ; 20x28 cm.
ISBN 978-987-23462-0-1
1. Algebra. I. Título
CDD 512
Fecha de catalogación: 08/03/2007
© 2010 Editorial Asimov
Derechos exclusivos
Editorial asociada a Cámara del Libro
Impreso y encuadernado por:
Gráfica Laiglón - Lavalle 2047, C.A.B.A.
2da
edición. Tirada: 100 ejemplares.
Se terminó de imprimir en agosto de 2010
HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723
Prohibida su reproducción total o parcial
IMPRESO EN ARGENTINA

5. ¿ Ves algo en este libro que no está bien ?
¿ Hay algo que te parece que habría que cambiar ?
¿ Encontraste algún error ?
¿ Hay algo mal explicado ?
Mandame un mail y lo corrijo.
www.asimov.com.ar
Podés bajar Parciales viejos
de www.asimov.com.ar
LAL-1

6. OTROS APUNTES
ASIMOV
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ALGEBRA.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* PARCIALES RESUELTOS
Son parciales que fueron tomados el año pasado. Hay también
parciales de años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos.
* FINALES DE ALGEBRA RESUELTOS
* LIBRO ANALISIS PARA EL CBC
* LIBRO FISICA PARA EL CBC
* LIBRO QUIMICA PARA EL CBC

7. ALGEBRA PARA EL CBC
Hola. Bienvenido a álgebra, la materia más difícil del CBC. Este no es el libro oficial
de la cátedra. Este es un libro que escribí yo junto con otros docentes. Lo hicimos a
nuestra manera siguiendo el programa de la materia álgebra del CBC. La idea es que
puedas estudiar si te perdiste una clase, si tenés que dar el final o si te tocó un
docente medio-medio. En principio lo que pongo acá sirve principalmente para las
carreras de exactas, ingeniería y ciencias económicas de la UBA. Pero álgebra es
álgebra en todos lados. Perfectamente podés usar este librito si estás cursando en
una universidad privada, en la UTN, o en alguna facultad del interior. Incluso si
alguna vez viajás afuera, te llevarás una sorpresa al descubrir que lo que ellos
estudian allá, es lo mismo que vos estudiás acá. No hay magia. Algebra es álgebra .
Vamos a unas cosas importantes: Por favor recordá que saber álgebra es SABER
RESOLVER EJERCICIOS. Está perfecto que quieras leer teoría, pero no te olvides
de agarrar la guía de TP y hacerte todos los problemas. Y no sólo eso. Conseguite
parciales y finales viejos y resolvelos todos. Esta materia se aprende haciendo
ejercicios. Tenés ejercicios en la guía de TP de la cátedra. Tenés parciales y finales
viejos para bajar de página de Asimov:
www.asimov.com.ar
Ahora, vamos a esto otro: es cierto que álgebra de CBC es difícil. Pero atención.
Recién vas a ver lo que es una materia realmente difícil cuando entres a la facultad.
Si seguís Ingeniería te toparás con 2 monstruos gigantescos: Álgebra II y Análisis II.
Si seguís Química te toparás también con Análisis II, con las Orgánicas, con las
inorgánicas y las FQ. Si seguís computación te toparás con Análisis II, Algoritmos II
y otras. Una vez que curses estas materias en los años que vengan, recordarás con una
sonrisa el haber pensado que el CBC era un filtro y que álgebra de CBC era una
materia difícil. ( Esto no es mala onda. Esto es así ).
Vamos a esto: ¿ Por que cuesta tanto entender álgebra ? Rta: Hay 2 motivos básicos:
1 - Vos hiciste un secundario que en la práctica casi ni existió. No te explicaron nada.
No te enseñaron nada. No tenés el nivel suficiente para ponerte a cursar álgebra. No
se puede entender álgebra si no se sabe matemática antes.

8. Salvo algunos pocos colegios que se salvan, el secundario no existe como entidad
educativa. Te engañaron. Te hicieron creer que te estaban enseñando algo. Pues te
mintieron, che. El secundario no existe. El verdadero secundario existía en la época
de tu abuelo. Ahí se aprendía. Ahora el secundario, fue.
2 - La rapidez con la que se dan los temas en álgebra es tan grande, que tu cabeza no
tiene tiempo de procesar la información. Tu cerebro se tilda, lo mismo que le pasa a
la computadora cuando le pedís que ejecute 20 tareas al mismo tiempo. Simplemente
uno no puede asimilar tanta información en tan poco tiempo y colapsa.
¿ Pero entonces qué hago ?! ¿ Cómo superar todo esto ?! ¿ Está todo perdido ?!
Rta: Bueno, no está todo perdido. O sea, casi. Pero hay una salida. Es muy simple:
Tenés que estudiar. Estudiar como un salvaje. Tenés que hacerlo por varios motivos.
Por un lado, tenés que aprobar la materia. Pero por otro lado, el año que viene vas a
tener materias más difíciles que álgebra. Y para entender estas materias, vas a tener
razonar en forma parecida a como lo hiciste en álgebra de CBC.
Pero también hay una cosa: Matarte estudiando no te va a venir mal. Después de que
apruebes el final te vas a dar cuenta de que ya no sos el mismo de antes. Vas a ser un
hombre nuevo. Un ser pensante. Notarás esto que te digo cuando hables con tus
viejos amigos de la secundaria. Dirás: ¿ Pero a estos que les pasa ? ¿ Son tontos o se
hacen ? ¿ Qué pasó acá ?
Rta: No, ellos no son tontos. Ellos son los mismos de siempre. VOS cambiaste. Ellos se
quedaron en el pasado. En cambio vos sos una persona que aprobó álgebra de CBC. No
es lo mismo.
Resumiendo: No hay salida. La materia va rápido. Ellos explican poco. No hay tiempo.
Imposible seguirles el ritmo. Encima vos venís con poco nivel matemático... Solo te
queda estudiar como un salvaje.
Así son las cosas, amigo. Bienvenido a la Universidad de Buenos Aires.
Por último: ¿ Te fue mal ? ¿ Tenés que recursar ? Bueno. No es terrible, che. Es lo
normal. No pasa nada. Cursala de nuevo y sacate mil.
Por cualquier consulta o sugerencia entrá a la página y mandame un mail. Y sino vení a
verme directamente a mi. Los chicos saben donde encontrarme.
SUERTE EN EL EXAMEN !

9. Índice
Pág.
1.............Vectores en R2 y en R3
4...................Operaciones con vectores
8 Módulo y Norma de un vector
11...................Producto escalar
16 Producto Vectorial
20...................Rectas
22 Intersección de Rectas
25...................Angulo entre Rectas
27 Planos
31...................Planos paralelos – Intersección entre planos
32 Intersección entre un plano y una recta
34...................Distancia de un punto a un plano
36 Ejercicios de parciales
43.............Sist. lineales - Matrices
44...................Sistemas compatibles e incompatibles
45 Sistemas Lineales Homogéneos
46...................Matrices
47 Tipos de Matrices
48...................Propiedades de los sistemas lineales
51 Método de Gauss
53...................Rango de una Matriz
53 Sistemas Li y Ld
55...................Operaciones entre Matrices
58 Inversa de una Matriz
61...................Ejercicios de parciales

10. 71.............Determinantes
72..................Determinante de una matriz cuadrada
74 Propiedades de los determinantes
75..................Desarrollo por cofactores
76 Cálculo del determinante de una matriz usando cofactores
78..................Regla de Cramer
78 Matriz de cofactores y matriz adjunta
79..................Solución única
82 Ejercicios de parciales
85............Espacios Vectoriales
88..................Definición de Espacio Vectorial
91 Combinación Lineal
93..................Dependencia e Independencia lineal
102 Subespacios
106..................Subespacios generados
109 Base y dimensión de un Subespacio
113..................Coordenadas de un vector en una base
118 Matriz de cambio de base
120..................Propiedades de la matriz de cambio de base
121 Unión, Intersección y Suma de Subespacios
126..................Suma directa
127 Extensión de bases
130..................Producto Interno
131 Angulo entre vectores
134..................Complemento Ortogonal
135 Proyección Ortogonal
137..................Coordenadas en una base ortonormal
139 Ejercicios de parciales

11. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 1 -
VECTORES EN R2
Y R3
.
Vectores es un tema medianamente simple, pero uno de los más importantes en todo
lo que sea álgebra lineal. Por eso es lo primero que vemos.
- ¿ Por qué son tan importantes los vectores ?
- Porque se usan mucho. Acordate que la matemática no es otra cosa que una
herramienta para resolver problemas reales de física. Y muchos de estos
problemas (casi todos) se resuelven mucho más fácil con vectores. Hasta ahora
venimos resolviendo problemas físicos donde solamente aparecen magnitudes
escalares.
- ¿Ehhhhh? ¿Qué es eso?
Por ejemplo, las distancias y los tiempos son magnitudes escalares. Si me preguntan
cuánto tarda una maceta en caerse desde un séptimo piso yo respondo 12 segundos.
Y si me preguntan a qué distancia llega una bala de cañón yo respondo 5 kilómetros.
¿Qué tienen en común esas dos respuestas?
Fijate que las dos incluyen un número (o sea un escalar) y una unidad (segundos,
kilómetros); y nada más. Eso significa que, si nos pusiéramos todos de acuerdo en
usar una sola unidad (por ejemplo, si midiéramos los tiempos en segundos), hace
falta un solo número para que la respuesta sea completa: la maceta tarda 12
(segundos) en caer.
A eso se le llama magnitud escalar, cuando solamente hace falta un escalar para
dar la información completa. Algunos ejemplos son las distancias, los tiempos, la
temperatura, las masas, y muchos más.
Pero para otras magnitudes no alcanza con un solo escalar. Imaginate esta
situación: estás en tu casa y le preguntás a tu hermano donde está el control
remoto y te contesta: "a 3 metros". Lo querés matar, porque eso no te dice dónde
está el control remoto: hay muchos lugares que están a 3 metros. La respuesta
correcta sería "3 metros a tu izquierda"
O sea que para dar una posición, además de un número hace falta una dirección. Por
eso decimos que la posición es una magnitud vectorial.
Y pasa lo mismo con muchas magnitudes físicas: velocidades, fuerzas, ....
Bueno, ahora que tenemos una idea de qué es un vector, veamos una definición.
Definición. Un vector en R2
o en R3
es una "flecha" entre dos puntos, uno llamado
origen y otro llamado extremo que lo determinan completamente. (o sea, que si
fijamos el origen y el extremo, hay un solo vector entre esos dos puntos).

12. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 2 -
Los vectores tienen tres tristes características principales:
• Módulo o Norma: de alguna forma nos dice cuánto mide el vector. Por eso,
también se lo llama la longitud del vector.
• Dirección: nos dice sobre qué recta está ubicado el vector. Por ejemplo, si es
vertical u horizontal.
• Sentido: esto no tiene secreto, es exactamente lo que dice el nombre: nos dice
si la "flecha" apunta para adelante o para atrás (o para arriba – abajo)
Como vimos en la definición, para decir cuánto vale un vector, tenemos que dar el
origen y el extremo. Así, por ejemplo, el vector AB es el que tiene origen en el
punto A y extremo en el punto B
Una aclaración de notación: la flecha arriba de AB quiere decir que es un vector.
Esto es muy importante, para no confundirse: si no tuviera flecha arriba, AB
significa: la recta que pasa por los puntos A y B.
Muchas veces, en vez de usar una flecha arriba, lo que se hace para indicar que es
un vector es escribirlo en "negrita", así: AB es lo mismo que AB .
A veces también es cómodo ponerle un nombre a los vectores. Así, en vez de
llamarlos por el origen y el extremo, decimos que AB es el vector v.
Vectores equivalentes.
Se dice que dos vectores son equivalentes si tienen el mismo módulo, la misma
dirección y el mismo sentido.
– ¿Pero, si tienen todo eso iguales, no son el mismo vector?
– No, acordate que cada vector viene definido por su origen y su extremo.

13. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 3 -
Mejor te muestro un ejemplo gráfico:
Los vectores u, v, w y z son equivalentes. No tiene el mismo origen ni extremos,
pero fijate que lo longitud, dirección y sentido son iguales
– ¿Sirven de algo los vectores equivalentes?
– Sí, porque muchas veces lo único que nos interesa de un vector es su longitud,
dirección y sentido. Entonces, para ese caso es como si fueran todos iguales, y
me puedo manejar con cualquier de los cuatro vectores.
Lo más cómodo siempre es trabajar con vectores que tengan su origen en el
centro de coordenadas, o sea en el (0,0) si estamos en R2
o el (0,0,0) si estamos
hablando de R3
.
– ¿Y por qué es más cómodo eso?
– Bueno .... La idea es que si todos nos ponemos de acuerdo y ponemos el origen de
todos los vectores en un mismo punto (en el 0), solamente necesitamos decir cuál
es el extremo para definir al vector. O sea, podemos dar un solo punto en vez de
dos.
Por eso, es lo mismo hablar del punto P que del vector OP (en realidad, como el
origen ya sabemos que es el O, podemos llamarlo directamente vector P).
Entonces, por ejemplo el vector v = (3,2) es aquel con origen en O y extremo en el
punto P = (3,2). En R3
es exactamente lo mismo.
– ¿Cómo hago para darme cuenta si dos vectores son equivalentes?
– Muy fácil. La idea es buscar el equivalente de cada uno con origen en el O y ver
si son iguales. O sea, fijate en el gráfico:

14. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 4 -
– Bueno, a ojo se ve que los vectores AB y CD no son equivalentes, porque no
tienen la misma dirección, y uno es más largo que el otro.
– Sí, en este caso se ve muy fácil en el dibujo. ¿Pero no hay ninguna forma,
haciendo cuentas en vez de graficando?
– Sí, para eso buscamos los equivalentes con origen en el O.
– ¿Y cómo se hace eso?
– Muy simple, todo lo que hay que hacer es restar el extremo menos el origen,
componente a componente. Fijate:
AB = B – A = (3,2) – (0,1) ⇒ AB = (3,1)
CD = D – C = (-4,3) - (-1,2) ⇒ CD = (-3 , 5)
Como no nos dio el mismo resultado, no son equivalentes.
Bueno, ahora que sabemos qué son los vectores equivalentes, solamente vamos a
trabajar con vectores con origen en el O. Entonces, cada vector viene dado por un
solo punto (el extremo).
OPERACIONES BÁSICAS CON VECTORES: SUMA Y PRODUCTO POR UN ESCALAR
Suma: si tenemos dos vectores de R2
: v = (v1, v2) y w = (w1, w2) se define la suma de
v y w como:
v + w = (v1 + w1 , v2 + w2)
Nota: la operación de suma es cerrada: toma dos vectores y da como resultado algo
del mismo tipo, o sea otro vector.
En R3
es exactamente lo mismo, sumamos componente a componente. Esta operación
de suma cumple con algunas propiedades muy importantes:
1) Es conmutativa, o sea que u + v = v + u
2) Es asociativa, o sea que (u + v) + w = u + (v + w)
3) Hay un elemento neutro, que es el vector O = (0,0,) en R2
o O = (0,0,0) en R3
.
Eso significa que O + v = v para cualquier vector v.
4) Hay un elemento inverso. O sea que a cualquier vector v le puedo sumar otro
vector y que me de como resultado el O: v + (-v) = O
Estas propiedades no tienen mucho misterio. Fijate que son exactamente las
mismas propiedades que tiene la suma entre dos números reales.
Eso es porque no estamos haciendo otra cosa que sumar números reales: la suma es
componente a componente, y esos son números.

15. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 5 -
Formas gráficas de la suma: regla del paralelogramo y regla de la cadena.
Ya tenemos una fórmula para sumar dos vectores, pero también se puede hacer sin
ninguna cuenta, de forma gráfica. Para eso hay dos métodos.
Método del paralelogramo.
La idea es, a partir del extremo de uno de los vectores, trazar una recta paralela al
otro. Si hacemos eso con los dos vectores, nos queda dibujado un paralelogramo, de
vértices O,A,C y B.
Bueno, la suma de u y v es igual a la diagonal OC del paralelogramo.
Este método está bueno, porque es muy simple; y podemos obtener la suma de dos
vectores sin hacer ninguna cuenta. Pero tiene un solo defecto: solamente sirve para
sumar de a dos vectores.
– ¿ Entonces, qué pasa si yo quiero sumar v1 + v2 + v3 + v4 + v5 ?
– Ya vimos antes que una de las propiedades de la suma es que es asociativa.
Entonces, lo que se puede hacer es ir sumando los vectores de a 2. Pero eso es
muy rebuscado. Por eso es que hay otro método gráfico:
Regla de la cadena.
Este método es mucho más simple, y es más general, porque sirve para sumar
cualquier cantidad de vectores. Es una cosa así:
La idea es así: Lo que hay que hacer es poner un vector a continuación del otro. El
resultado final lo tengo uniendo el origen del primer vector con la punta del último.
También sirve para sumar dos vectores solos, y a mucha gente le resulta más
cómodo que el método del paralelogramo

16. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 6 -
Producto por un escalar.
Antes que nada, aclaremos una cosa: un escalar es un número, o sea que estamos
multiplicando un vector por número. Igual que en la suma, se define componente a
componente. O sea que si v = (a,b) es un vector y k es un escalar, se define el
producto entre k y v como:
k . v = k . (a ,b) = (k . a, k . b)
Esta operación tiene algunas propiedades básicas:
1) Es distributiva con la suma de vectores, o sea:
k . (u + v) = k . u + k . v
2) Es distributiva con la suma de escalares, o sea:
(k1 + k2) . v = k1 . v + k2 . v
3) Es asociativa: (k1 . k2) . v = k1 . (k2 . v)
4) k = 1 es el elemento neutro, o sea que 1 . v = v
5) Si k = 0, 0 . v = O para cualquier vector v.
– ¿Tiene alguna interpretación geométrica el producto por un escalar?
– Rta: Sí. Mirá el gráfico:
Fijate que cuando multiplicamos por un escalar, no cambia la dirección. O sea que el
resultado es un vector paralelo al original. Esto es muy importante, acordátelo: si
dos vectores son paralelos, uno es múltiplo del otro (o sea que puede multiplicarlo
por un escalar y que me de como resultado el otro).
Entonces, si no cambia la dirección, lo único que puede cambiar es el módulo, y el
sentido.

17. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 7 -
Por ejemplo, al calcular ½ . w, el resultado tiene el mismo sentido que w, pero se
achicó el módulo (fijate que la flecha es más chica).
Y cuando calculamos -2 . u, cambió también el sentido. Hay una regla general:
• Si k es positivo, k . v tiene el mismo sentido que v
• Si k es negativo, k . v tiene sentido contrario a v.
• Si |k| > 1, k . v tiene mayor módulo que v
• Si |k| < 1, k . v tiene menor módulo que v
• Si |k| = 1 (o sea k = 1, ó k = -1), k . v tiene igual módulo que v.
Todavía no sabemos muy bien qué es el módulo de un vector, ni cómo se calcular. Lo
único que sabemos es que de alguna forma nos dice cuán larga es la "flecha". Pero
bueno, eso lo vamos a ver mejor después.
Ahora que ya sabemos sumar y multiplicar por un escalar, veamos un par de
problemas típicos:
• Calcular el punto medio del segmento AB con A = (2, 3) y B = (-4 , 1)
Como siempre es mucho más fácil de resolver si primero hacemos un gráfico:
Fijate que el punto medio (C) es exactamente el punto donde se cruzan las dos
diagonales del paralelogramo. Y, como una de las propiedades de los paralelogramos
es que las diagonales se cortan en el mundo medio, podemos calcular el punto C
como:
C = ½ . (A + B)
Y esto no es otra cosa que una suma de dos vectores y un producto por un escalar.
Bueno, hagamos las cuentas:

18. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 8 -
C = ½ . [(2,3) + (-4,1)] = ½ . (-2 , 4) ⇒ C = (-1,2)
• Encontrar un punto D tal que los vectores AB y CD sean paralelos, con:
A = (3,0,1) ; B = (2,1,-2) ; C = (-2,-3,4)
Acordate que para que dos vectores sean paralelos, uno tiene que ser múltiplo del
otro. Entonces, planteamos algo así:
AB = k . CD ⇒ B – A = k . (D – C)
– ¿Y cuánto vale k?
– Puede valer cualquier número real distinto de cero. Digo distinto de cero, porque
sino nos quedaría que AB = O, y eso no es verdad. Entonces, si podemos elegir
cualquier número, elegimos uno fácil: k = 1
B – A = D – C ⇒ D = B – A + C
D = (2,1,-2) – (3,0,1) + (-2,-3,4) = (-3 , -2 , 1)
Y listo, encontramos una solución. Digo UNA solución porque hay muchas. Acordate
que k podía valer cualquier número distinto de cero. Si tomamos k = 2, vamos a
llegar a otro resultado, y las dos cosas están bien.
Módulo de un vector.
Acordate que dijimos que el módulo de un vector nos dice cuánto mide. Primero
veamos el caso más fácil: en R2
. Fijate en el gráfico.
La norma de un vector v = (x1, x2) en R2
se define como:
||v|| =
2
2
2
1 xx +
Y en R3
es algo similar. La norma de v = (x1 , x2 , x3) se define como:

19. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 9 -
||v|| =
2
3
2
2
2
1 xxx ++
En R2
esto tiene bastante sentido, no es otra cosa que el Teorema de Pitágoras.
( Pensalo ). Entonces, la norma nos dice exactamente cuánto mide el vector.
En R3
no es tan fácil de verlo; pero la norma es una extensión de Pitágoras a
dimensiones más grandes (después vamos a ver que esto también vale para Rn
).
Algunas propiedades importantes:
1) Como estamos calculando una raíz, la norma de un vector es siempre positiva
o cero (o sea que no es negativa). Y el único caso en que puede valer cero es
si x1 = x2 = x3 = 0, o sea si el vector es el vector nulo. Esto lo escribimos así:
Si v = O ⇒ ||v|| = 0 ; Si v ≠ O ⇒ ||v|| > 0
2) ||c . v|| = |c| . ||v||
Esto quiere decir que podemos sacar los escalares afuera de la norma, pero
en módulo. O sea que da lo mismo si c es positivo o negativo., Una
consecuencia de esto es que ||v|| = ||(-1) . v|| = ||-v||
3) Desigualdad triangular: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||
El único caso en que son iguales es cuando u y v tienen la misma dirección y
el mismo sentido. Sino, la norma de la suma es menor.
Veamos algunos ejemplos:
• v1 = (1,2,3) ⇒||v1|| = 222
321 ++ = √14
• v2 = (-2,3,0) ⇒ ||v2|| = 222
03)2( ++− = √13
• v3 = (3,-1,3) ⇒ ||v3|| = 222
3)1(3 +−+ = √19
Fijate que v1 = v2 + v3, y se verifica la desigualdad triangular. Un caso particular, es
el de los vectores de norma 1. Se los llama versores, porque, sirven para indicar una
dirección. Si tenemos un vector v, puedo encontrar el versor que le corresponde
como
w =
v
1
. v
– ¿En serio? ¿Y w es un versor?

20. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 10 -
- Rta: Sí, porque fijate que tiene norma 1:
||w|| = ||
v
1
. v || =
v
1
. ||v|| ⇒ ||w|| = 1 ⇒ w es un versor
Los versores se usan mucho, y en particular los que dan las direcciones de los ejes
(x,y) en R2
o (x,y,z) en R3
. Esos tiene nombre propio:
• i es el versor del eje x
• j es el versor del eje y
• k es el versor del eje z
Pero acordate que los versores tienen, además de una dirección, un sentido. Decimos que
i es el versor en el sentido positivo del eje x, y lo mismo con los demás.
Estos son los nombres más comunes, pero también hay veces que se los llama
directamente x, y y z. Es lo mismo, es solo una cuestión de notación.
Estos tres versores nos sirven para escribir cualquier vector de R3
(en R2
es lo
mismo) como una suma de tres vectores. Veamos un ejemplo:
(2,1,5) = 2 . i + 1 . j + 5 . k
2 es la primera componente, o sea la componente del eje x. Por eso es que lo
multiplicamos por el versor del eje x. Y lo mismo con los demás.
Esto parece que no sirve para nada, pero a veces es más fácil hacer cuentas, con los
vectores escritos así como suma en vez de cómo una terna de números.
Interpretación de la norma como distancia.
Esto es algo parecido a lo que pasa con los números reales: el módulo de un número
es su distancia al cero, por eso nunca es negativo
Bueno, con los vectores también es algo así: dijimos que la norma de un vector es su
longitud, entonces es igual a la distancia entre el origen y el extremo.
Si siempre tomamos el origen en el O, entonces la norma de un vector es la
distancia de ese punto al O. Veamos algún ejemplo:
• Hallar todos los puntos X = (x1, x2) tal que ||X – (2,1)|| = 3
/2 .
Bueno, una forma de resolver esto es calcular la norma como la raíz, y resolver la
ecuación. Pero también hay otra forma que es más gráfica y más fácil.

21. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 11 -
Como la norma significa algo así como distancia; estamos buscando todos los puntos
X que están a una distancia 3
/2 del punto (2,1). O sea, es una cosa así:
– ¿ Y si fuera lo mismo pero en R3
?
– Bueno, es lo mismo: todos los puntos que están a esa distancia de ese punto. La única
diferencia es que, en vez de formar una circunferencia forman una esfera.
• Calcular la distancia entre los puntos A = (1,0,2) y B = (-3,2,-2)
Como dijimos antes, la distancia es igual a la norma del vector que une esos dos
puntos. Entonces, la cuenta que tenemos que hacer es:
d(A,B) = ||B – A|| = ||(4,-2,4)|| = 222
4)2(4 +−+ = 6
PRODUCTO ESCALAR ENTRE VECTORES ( PRODUCTO INTERNO )
Esta es una operación nueva, que no tiene nada que ver con las que vimos antes. En
realidad hay muchos tipos de productos internos posibles (eso lo vamos a ver bien
en el capítulo de espacios vectoriales), pero por ahora solamente vamos a ver el más
común, el que se usa casi siempre.
En R2
, se define el producto escalar entre los vectores v = (v1, v2) y w = (w1, w2) como:
v . w = v1 . w1 + v2 . w2
Nota: fijate que el resultado de este producto es un número. Por eso se lo llama
producto escalar. Hay que tener cuidado con la notación que se usa: el símbolo es el
mismo que el del producto común entre números: solamente un punto. Por eso,
siempre conviene acordarse de escribir la flechita sobre los vectores, o marcarlos
en negrita, para no confundirse. A veces también se usa un punto gordo para marcar
que es un producto escalar entre dos vectores.
En R3
es exactamente lo mismo. Si v = (v1, v2, v3) y w = (w1, w2, w3):
v . w = v1 . w1 + v2 . w2 + v3 . w3

22. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 12 -
Veamos algunas propiedades del producto escalar, que salen directo de la definición:
1) Fijate que v . v = ||v||2
Esto que parece poco importante te va a servir mucho cuando veas otros tipos de
productos internos (claro, este que vimos recién no es el único que existe,
solamente es el más común) en alguna otra materia: la norma se define a partir del
producto interno, pero ya nos estamos yendo de tema
2) Es conmutativo, o sea que v . w = w . v
3) También es distributivo con la suma: u . (v + w) = u . v + u . w
4) Es asociativo con el producto por escalares: k . (v . w) = (k . v) . w
Estas son las propiedades más básicas. También hay un propiedad muy importante,
llamada la Desigualdad de Cauchy – Schwarz, que dice así:
|v . w| ≤ ||v|| . ||w||
Esta propiedad es muy importante, porque se cumple para cualquier producto
interno. La demostración general es bastante rebuscada, pero te muestro la
demostración para el caso particular del producto escalar que usamos nosotros.
Para eso, nos conviene hacer esta cuenta:
(||v|| . ||w||)2
– (v. w)2
Hagamos el caso fácil, donde v y w son vectores de R2
. v = ( v1, v2 ) y w = ( w1, w1 ).
Si estuviéramos trabajando en R3
es algo muy parecido.
(||v|| . ||w||)2
– (v. w)2
= (v1
2
+ v2
2
) . (w1
2
+ w2
2
) – (v1 . w1 + v2 . w2)2
=
v1
2
. w1
2
+ v2
2
. w2
2
+ v1
2
. w2
2
+ v2
2
. w1
2
– (v1
2
. w1
2
+ v2
2
. w2
2
+ 2 . v1 . w1 . v2 . w2) =
v1
2
. w2
2
+ v2
2
. w1
2
– 2 . v1 . w1 . v2 . w2 =
(v1 . w2 – v2 . w1)2
Y esto, no sé cuanto da, pero seguro que es positivo o cero, porque es el cuadrado
de un número real, y eso nunca puede dar negativo. Entonces:
(||v|| . ||w||)2
– (v. w)2
≥ 0 ⇒ (||v|| . ||w||)2
≥ (v. w)2

23. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 13 -
||v|| . ||w|| ≥ |v. w|
Y listo, acabamos de demostrar la desigualdad. Te muestro esta demostración para
que vayas aprendiendo como se hacen este tipo de cosas que aparecen a cada rato.
Fijate que empezamos calculando algo que, en principio, parecía que no servía nada.
Bueno, muchas veces es así. Las demostraciones siempre salen con algún truco:
calculo algo porque sé que así funciona. Ya te vas a ir dando cuenta solo a medida
que hagas muchos ejercicios.
– Y de qué sirve esa desigualdad?
– Nos sirve para hacer una interpretación geométrica del producto escalar. El
ángulo a entre dos vectores v y w se puede calcular como el valor de α entre 0 y
180 grados que cumple que:
–
cosα =
||||.||||
.
wv
wv •
Y si no fuera por la desigualdad de Cauchy-Schwarz no podríamos hacer esta
interpretación con el ángulo
– Por qué?
– Porque gracias a esa propiedad sabemos que esa división va a dar como resultado
un número entre -1 y 1; y entonces va a haber un único valor de a que cumpla con
esa ecuación.
– ¿ Sí ? ¿Y qué pasa si fuera cos α = 3, por ejemplo?
– Bueno, eso no tiene solución, porque el seno y el coseno siempre dan como
resultado un número entre -1 y 1.
Con esta interpretación del ángulo, encontramos otra forma de calcular el producto
escalar. Simplemente, despejando de esa última expresión:
v . w = ||v|| . ||w|| . cos α
Entonces, si conocemos el ángulo podemos calcular el producto escalar, y al revés
también. Así queda bien claro, veamos algunos ejemplos:
• Calcular el ángulo entre v = (1,2) y w = (-2,1)

24. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 14 -
Esto es fácil, todo lo que hay que hacer es usar la fórmula anterior:
cosα =
||||.||||
.
wv
wv •
Fijate que nos queda v . w = 0 ⇒ cos α = 0 ⇒ α = 90º
Esto quiere decir que son perpendiculares. Y sí, fijate en el gráfico.
Pero en el idioma del álgebra no se dice perpendiculares, sino que decimos que v y w
son ortogonales. Quiere decir exactamente lo mismo, pero bueno, a los matemáticos
les gusta usar palabras rebuscadas (más adelante vas a ver por qué). Es más, si los
vectores son ortogonales y además tienen ambos norma uno (o sea son versores),
decimos que son ortonormales.
• Encontrar un vector w = (w1,w2,w3) de norma 4 que forme un ángulo de 60º con
u = (1,0,0) y un ángulo de 120º con v = (0,1,0).
Veamos, acá tenemos tres incógnitas: w1, w2 y w3, y nos dan tres condiciones que
tienen que cumplir. Vamos de a una:
– Sabemos que forma un ángulo de 60 grados con u, o sea:
cos(60º) =
||||.||||
.
wu
wu •
0,5 =
||),,(||.||)0,0,1(||
).,,()0,0,1(
321
321
www
www•
⇒ 0,5 = w1 / 4 ⇒ w1 = 2
– También sabemos el ángulo que forma con v:
cos(120º) =
||||.||||
.
wv
wv •
- 0,5 =
||),,(||.||)0,1,0(||
).,,()0,1,0(
321
321
www
www•
⇒ - 0,5 = w2 / 4 ⇒ w2 = - 2

25. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 15 -
Ahora solamente nos falta calcular w3. Para eso usamos el dato de la norma. Para no
tener que andar haciendo cuentas con raíces, mejor elevamos la norma al cuadrado,
y nos queda algo así:
||w|| = 4 ⇒ ||w||2
= 16 ⇒ w1
2
+ w2
2
+w3
2
= 16
22
+ (-2)2
+ w3
2
= 16 ⇒ w3
2
= 8
Acá hay que tener cuidado, porque hay dos soluciones. O sea, hay dos valores de w3
que elevados al cuadrado dan como resultado 8: w3 = √8 y w3 = -√8.
Como no nos dicen nada en especial del vector w podemos elegir cualquiera de los
dos resultado: nos quedamos con el positivo. Entonces, el resultado es:
w = (2 , -2 , √8) = 2 . (1, - 1, √2)
En este ejercicio llegamos a dos soluciones posibles. Pero hay ejercicios donde hay
más todavía. Por ejemplo, si nos dan solamente dos condiciones:
• Encontrar los vectores w = (w1,w2,w3) ortogonales a v = (0,0,1) y de norma 2.
Como w es ortogonal a v, tenemos que w . v = w3 = 0.
Y también sabemos que la norma de w es 2, o sea que:
||w|| = 2 ⇒ ||w||2
= w1
2
+ w2
2
+ w3
2
= 4
Como ya sabemos cuánto vale w3, esta ecuación nos queda:
w1
2
+ w2
2
= 4
Hay infinitas soluciones, porque hay muchas combinaciones de w1 y w2 que cumplen
con esa ecuación. Pero como solamente nos piden un vector, elegimos una solución
cualquiera, por ejemplo w1 = 0 , w2 = 2.
⇒ w = (0,2,0)

26. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 16 -
PRODUCTO VECTORIAL EN R3
En R3
existe otro tipo de producto entre vectores además del escalar: Se llama
" Producto vectorial ". Cuando decís " multiplico dos vectores de R3
" tenés que
aclarar cuál de los dos productos usás.
- ¿Te vas dando una idea de cómo funciona este nuevo producto?
- El otro se llama producto escalar y da como resultado un número (escalar).
- Bueno, entonces me imagino que éste da como resultado un vector.
- Exacto.
Si v = (v1,v2,v3) y w = (w1,w2,w3) son dos vectores de R3
, se define el producto
vectorial entre ellos como:
Por más feo que parezca, esto es simplemente un fórmula. Si te la acordás, podés
calcular cualquier producto escalar. Veamos un ejemplo:
• Calcular v x w con v = (1,2,0) y w = (3,-2,-1)
Todo lo que hay que hacer es meter los números en la fórmula y hacer las cuentas:
v x w = (2 . 3 – 0 . (-2) ; 0 . 3 – 1 . (-1) ; 1 . (-2) – 2 . (-1))
⇒ v x w = (6 ; 1 ; 0)
Sí, ya sé, esto no es muy complicado, todo lo que hay que hacer es meter números
en una fórmula. El único problema es que esa fórmula es bastante complicada para
acordársela. Hay otra forma. Podemos calcular el producto vectorial entre v y w
como el determinante de la matriz:
Más adelante vamos a ver bien cómo se calculan los determinantes. Por ahora,
solamente te voy diciendo que en este caso, lo podemos calcular multiplicando en
tres números diagonal: las diagonales hacia la derecha van sumando, y hacia la
izquierda van restando. Entonces nos queda así:
v x w = (v2 . w3 – v3 . w2) i + (v3 . w1 – v1 . w3) j + (v1 . w2 – v2 . w1) k
Fijate que es lo mismo que la fórmula anterior, pero es más fácil acordarse.
v x w = (v2 . w3 – v3 . w2 ; v3 . w1 – v1 . w3 ; v1 . w2 – v2 . w1)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
321
321
www
vvv
kji

27. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 17 -
Este producto tiene unas cuantas propiedades:
1) A diferencia de todo lo que vinimos viendo hasta ahora, no es conmutativo.
O sea que no es lo mismo v x w que w x v. Bueno, pero tampoco es tan grave,
la única diferencia es que tienen distinto signo:
v x w = - (w x v)
2) Es distributivo con la suma de vectores, a izquierda y a derecha:
u x (v + w) = u x v + u x w y (u + v) x w = u x w + v x w
3) Es asociativo con el producto por escalares:
(k . v) x w = k . (v x w)
4) v x v = O para cualquier vector v
5) Todas las propiedades anteriores se pueden ver muy fácil a partir de la
definición. Esta última propiedad no es tan obvia, y es la más importante:
v x w es ortogonal a v y a w
O sea que el producto vectorial es una forma de encontrar vectores ortogonales.
Ahora cierra más el porqué a alguien se le ocurrió usar esa fórmula extraña: porque
sirve para algo. Entonces, ahora sabemos resolver problemas del estilo:
• Encontrar un vector w que sea ortogonal a u = (1,1,1) y v = (-2,0,3)
Todo lo que hay que hacer es el producto vectorial entre u y v, o sea:
w = u x v = (1,1,-1) x (-2,0,3) = (3,-5,2)
- ¿Y ese es el único?
- No, fijate que cualquier vector que sea paralelo a w también es ortogonal a u
y a v. O sea, que ese resultado lo podemos multiplicar por cualquier número
(que no sea 0), y también es solución. Pero como solamente nos piden uno, no
nos hacemos problema

28. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 18 -
Esto también se puede hacer de otra forma: usando el producto escalar. Queremos
que w sea ortogonal a u y a v. O sea, que se cumplan las dos ecuaciones:
w . u = 0 y w. v = 0
(w1,w2,w3) . (1,1,-1) = 0 y (w1,w2,w3) . (-2,0,3) = 0.
w1 + w2 – w3 = 0 y -2 . w1 + 3 . w3 = 0
Acá tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas. Esto no es muy complicado de resolver
pero sí es más difícil que calcular el producto vectorial. Justamente para eso se inventó
el producto vectorial, para no tener que hacer tantas cuentas.
Como en el producto escalar, hay una relación con el ángulo entre los vectores.
Es una cosa así:
|| u x v|| = ||u|| x ||v|| . |senα|
O sea que para ||u|| y ||v|| fijos, el producto vectorial es máximo cuando α = 90º y es
mínimo cuando α = 0º. Es exactamente al revés que en el producto escalar
A partir de esta relación con el ángulo, sabemos que ||u x v|| es igual al área del
paralelogramo de lados u y v. Mirá el gráfico:
Claro, el área del paralelogramo la podemos calcular como base por altura. La base
mide ||v||, y la altura mide ||u|| . |senα| (acá hay que usar módulo porque no
sabemos si el seno es positivo o negativo, y no nos puede quedar nunca una altura
negativo). Entonces nos queda:
Área = ||u|| . ||v|| . |senα| = ||u x v||

29. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 19 -
Veamos un ejemplo:
• Calcular el área del triángulo de vértices A = (0,2,-1); B = (0,0,1) y C = (-3,2,0)
Bueno, antes que nada hagamos un dibujito:
Podemos calcular el área del triángulo como la mitad del área del paralelogramo de
lados AB y AC. O sea que:
Área triángulo = ½ . ||AB x AC||
Entonces, lo primero que hay que hacer es encontrar esos dos vectores y después
hacer el producto vectorial:
AB = B- A = (0,0,1) – (0,2,-1) = (0,-2,2)
AC = C – A = (-3,2,0) – (0,2,-1) = (-3,0,1)
Ahora calculamos el producto vectorial:
AB x AC = (0,-2,2) x (-3,0,1) = (-2,-6,-6) = -2 . (1,3,3)
Bueno, lo único que nos falta es calcular el módulo de este vector:
||-2. (1,3,3)|| = 2 . ||(1,3,3)|| = 2 . 222
331 ++ = 2 . √19
Área triángulo = ½ . 2 . √19 ⇒ Área triángulo = √19
Bueno, ya vimos bastante sobre los vectores: qué son, qué operaciones se pueden
hacer… Ahora pasemos a otra cosa, veamos qué interpretación geométrica tienen
los vectores.

30. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 20 -
Rectas
Vos sabés lo que es una recta, lo venís viendo desde la primaria. Pero viste que en
álgebra siempre hace falta una definición formal para que no haya lugar a
confusiones. ¿Se te ocurre algo?
- Y … podemos decir que una recta es una línea que no tiene ni extremo ni origen;
bueno… la definición que nos dieron en la primaria
- Mmmm… eso está bien como para empezar a tener idea de qué es una recta. Pero
ahora que sabemos un poco de vectores, y de la ubicación de los puntos en R2
y
R3
, con los ejes x,y,z, y todo eso, podemos dar una definición más completa. Es
algo así: una recta es un conjunto de puntos que están alineados
- ¿Y qué significa que unos puntos estén alineados?
- Decimos que los puntos A,B y C están alineados si los vectores AB y BC son
paralelos. Fijate en el gráfico:
Los puntos A,B y C están alineados. Por eso están en la misma recta. Lo mismo pasa
con los puntos B,D y E. De acuerdo a la definición que vimos recién, para fijarme si
el punto D está en la misma recta que A,B y C tengo que fijarme si está alineado, o
sea si AD // AB (esto significa que AD es paralelo a AB)
Como eso no se cumple, D no está en la misma recta que A,B y C.
- Bueno, eso lo podíamos ver fácil en el gráfico.
- Sí, pero también lo podemos hacer sin ningún gráfico, solamente haciendo
cuentas. Y eso es muy importante, porque hoy en día todas estas cosas se
pueden hacer con computadoras, que las únicas cuentas que hacen son sumar
y multiplicar.
Bien, ya sabemos cómo fijarnos si un punto está o no en una recta. Ahora veamos
qué pinta tienen todos los puntos X que están en una recta.
Dijimos que para que X esté en la misma recta que A y B, tiene que ser:
AX // AB

31. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 21 -
Y, como vimos antes, para que dos vectores sean paralelos, uno tiene que ser
múltiplo del otro. Entonces nos queda una cosa así:
X – A = k . AB ⇒ X = k . AB + A
En realidad, acá tendríamos que haber sido un poco más cuidadosos. En principio, k no
puede valer 0. Pero fijate que no hay problema, porque nos queda X = A, y ese es un
punto de la recta.
Por lo general, a las rectas se les da nombre con una letra mayúscula, y a AB se lo
llama vector director de la recta. Entonces nos queda algo así:
L = {(x,y) є R2
tal que (x,y) = k . v + A donde k es un número real}
Esa es la definición precisa de la recta L, que tiene la dirección del vector v y pasa
por el punto A. A esta expresión se la llama forma paramétrica de la recta L,
porque todo queda definido a partir del parámetro k: si voy cambiando el valor de k,
encuentro nuevos puntos de la recta. Veamos un par de ejemplos:
• Encontrar la forma paramétrica de la recta que pasa por (1,0,2) y (0,0,1)
En R3
es exactamente lo mismo que en R2
: primero tenemos que encontrar el vector
director de la recta, restando esos dos puntos:
v = (1,0,2) – (0,0,1) ⇒ v = (1,0,1)
Y listo, esa es la parte difícil del problema. Porque lo otro que necesitamos es un
punto de la recta, y eso ya lo tenemos: podemos elegir cualquiera de los dos que nos
dan. Si elegimos el primero, nos queda:
L = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = k .(1,0,1) + (1,0,2)}
OJO:
Muchas veces la gente solamente escribe la parte de k.(1,0,1) + (1,0,2). Pero eso
está mal. Acordate que una recta es un conjunto de puntos, y entonces tenemos
que escribirlo como un conjunto, no solamente como una ecuación.
Otra cosa: fijate que esta igualdad también la podemos escribir así:
x = k . 1 + 1
y = 0
z = k + 2
Esto es exactamente igual a lo otra, así que también se la llama forma paramétrica.

32. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 22 -
O sea que cuando te pidan que paremetrices una recta, podés dar cualquiera de las
dos respuestas.
- ¿Qué pasaba si en vez de tomar el punto (1,0,1) tomamos el (0,0,1)?
- Nada, nos hubiera quedado algo así:
L = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = t .(1,0,1) + (0,0,1)}
Es la misma recta, la única diferencia es que está "corrida"; o sea que fijate que
cuando k = 0 tenemos el mismo punto que cuando t = 1. Pero en definitiva, están los
mismo puntos, así que la recta es la misma.
Intersección de rectas
Ahora que definimos las rectas como conjuntos de puntos, esto no tiene ningún
secreto: la intersección es como con los conjuntos: incluye todos los puntos que
están en ambas rectas. Veamos, si tenemos dos rectas:
L1 = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = k . v + A}
L2 = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = t . w + B}
Si un punto está en la intersección L1 ∩ L2 es porque cumple con las dos
ecuaciones, o sea que:
(x,y,z) = k . v + A = t . w + B
Quizás es más fácil de ver si lo escribimos en cada componente:
x = k . v1 + a1 = t . w1 + b1
y = k . v2 + a2 = t . w2 + b2
z = k . v3 + a3 = t . w3 + b3
Acá tenemos tres ecuaciones y solamente dos incógnitas (los únicos que no sabemos
cuánto valen son k y t). Y esto puede tener una única solución, infinitas o ninguna.
O sea que dos rectas en R3
pueden cortarse en un solo punto, o en infinitos (si son
la misma), o nunca. Veamos algunos ejemplos:
• Calcular la intersección entre L = {X є R3
tal que X = t . (1,2,3) + (1,0,0)} y
M = {X є R3
tal que X = s . (2,2,1) + (0,0,2)}
Si x є L ∩ M, entonces se tienen que cumplir tres ecuaciones:

33. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 23 -
t . 1 + 1 = s . 2
t . 2 = s . 2
t . 3 = s + 2
En realidad no hay ningún método fijo para resolver estas ecuaciones. Conviene
empezar por la más fácil: en esta caso, la segunda nos dice que t = s. Entonces, eso
lo podemos reemplazar en la tercera ecuación, y nos queda
3s = s + 2 ⇒ 2s = 2 ⇒ s = 1 ⇒ t = 1.
Ahora hay que ver si también se cumple la primera ecuación. Para eso reemplazamos
estos valores y vemos qué pasa:
1 . 1 + 1 = 1 . 2 ⇒ 2 = 2
Sí, se verifica así que está todo bien. Las soluciones son esas que encontramos.
Fijate que la solución es única (un solo valor de s y uno solo de t). Entonces, el único
punto de la intersección L ∩ M lo podemos calcular de dos formas: reemplazando
t = 1 o s = 1:
X = 1 . (1,2,3) + (1,0,0) = (2,2,3)
• L = {X є R2
tal que X = k . (1,1) + (2,0)} y M = {X є R2
tal que X = t . (2,2) + (1,-4)}
Es lo mismo que antes, nada más que en R2
, así que hay solamente dos ecuaciones:
k + 2 = 2 . t
k = 2t – 4
A partir de la primera ecuación, podemos despejar k en función de t ⇒ k = 2t – 2, y
podemos reemplazar esto en la segunda ecuación:
2t – 2 = 2t – 4 ⇒ -2 = -4
Esto no tiene sentido, es un absurdo. Entonces, no hay ningún valor de k ni de t que
sea solución de esas dos ecuaciones al mismo tiempo. Esto quiere decir que esas dos
rectas no se cruzan, o sea que L∩ M = φ.
Y claro, si esas dos rectas son paralelas, no se cruzan nunca. Me dí cuenta de que son
paralelas porque los vectores directores son paralelos ⇒ (1,1) // (2,2).

34. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 24 -
Si hacemos un gráfico de las dos rectas, se ve muy fácil que no se cruzan nunca:
fijate que las dos rectas son iguales, nada más que corridas. Eso es exactamente lo
que significa ser paralelas.
Pero OJO: En R2
, la única forma en que dos rectas no se cruzan nunca es si son
paralelas, pero en R3
no. Por ejemplo:
L = {X є R3
tal que X = t . (1,1,1)}
y
M = {X є R3
tal que X = s . (1,0,0) + (3,2,1)}
Hacé las cuentas y fijate que no se cruzan nunca. Pero no son paralelas, porque los
vectores directores no son paralelos (o sea que uno no es múltiplo del otro).
Además de la forma paramétrica hay varias formas más de decir cuánto vale una
recta. Una de las más comunes es la forma implícita. La idea es escribir una ecuación
del estilo
a . x + b . y = c
que cumpla todos los puntos de la recta.
- ¿Y cómo se encuentra esta forma implícita?
- La idea siempre es depejar el parámetro t en función de una de las
componentes, y reemplazarlo en la otra ecuación. Por ejemplo:
L = {X є R2
tal que X = k . (1,1) + (2,0)
⇒ x = k + 2 ⇒ k = x – 2
y = k ⇒ y = x – 2 ⇒ x – y = 2
Esto no tiene mucho secreto, y por eso no se le da mucho importancia. Además, la
forma más útil es la paramétrica.

35. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 25 -
En R3
es algo muy parecido, con la única diferencia de que, en vez de una sola
ecuación hay dos, porque hay tres compontes x,y,z. Por ejemplo:
M = {X є R3
tal que X = s . (2,2,1) + (0,0,2)} ⇒ x = 2s ⇒ s = ½ . x
y = 2s ⇒ y = x ⇒ y – x = 0
z = s + 2 = ½ x + 2 ⇒ z – ½ . x = 2
Ángulo entre rectas
Definimos el ángulo entre dos rectas como el ángulo que forman sus vectores
directores (andá un poco más atrás y leé la parte de ángulo entre vectores).
OJO: acá hay que tener cuidado, porque dos vectores forman dos ángulos, uno mayor
que 90º y otro menor.La costumbre es quedarnos con el ángulo menor que 90º. Esto
es bastante arbitrario, como cuando calculamos raíces cuadradas y nos quedamos
solamente con el resultado positivo.
Esta definición es bastante intuitiva cuando las rectas se cruzan, porque ahí forman
un ángulo. Pero lo raro de esta definición es que también existe un ángulo entre
rectas que no se cruzan, porque siempre podemos calcular el ángulo entre dos
vectores. En el ejemplo anterior, las rectas L y M forman un ángulo α, que lo
calculamos como:
cosα =
||)0,0,1(||.||)1,1,1(||
).0,0,1()1,1,1( •
=
3
1
⇒ α = 54,7 º
• Otro ejemplo: calcular el ángulo entre:
L = {X є R2
tal que X = k . (1,0)} y M = {X є R2
tal que X = (-1,1) . t + (2,-1)}

36. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 26 -
En el gráfico se vé bastante fácil que forman un ángulo de 45º. Ahora veamos qué
dicen las cuentas:
cosα =
||)1,1(||.||)0,1(||
).1,1()0,1(
−
−•
=
2
1−
⇒ α = 135º
Pero acordate que nos tenemos que quedar con el ángulo menor que 90º. Ese lo
calculamos como 180º - 135º = 45º.
Por último, decimos que dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo
son; y son paralelas si sus vectores directores lo son.
O sea, fijate que todo el tiempo nos estamos haciendo cuentas con los vectores
directos. Ahora vas viendo qué impotancia tienen los vectores, porque las rectas
aparecen en todos lados, y para hacer cuentas con las rectas necesitamos a los
vectores.
¿ Tendiste ?
¿ No ?
Es razonable que no logres captar las cosas de entrada. Algebra no se entiende
leyendo. O sea, hay que leer, pero después tenés que hacer miles de ejercicios.
¿ entendés como es la cosa ?
Ya vimos rectas. Ahora pasemos a los planos.

37. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 27 -
Planos en R3
Antes que nada, aclaremos algo: sólo tiene sentido hablar de planos en R3
(o quizás
algún espacio más grande): NO EN R2
. Eso es porque R2
es solo un plano en particular
de R3
(el plano xy), pero eso lo vemos después.
Lo primero que tenemos que hacer es dar una definición de plano. Esto es un poco
más comlpicado que con las rectas, pero podemos empezar de la misma forma: un
plano es un conjunto de puntos (de R3
). Ahora veamos que características tienen
esos puntos.
Fijate cuando definimos las rectas: decimos que A, B y C están en la misma recta si
AB // AC. O sea que la característica en común que tienen todos esos vectores es
que son paralelos. En el caso de los planos, la característica en común es que todos
son perpendiculares a un vector normal N.
Entonces, decimos que los puntos A,B,C y D están en el mismo plano si todos los
vectores AB, AC, AD, BC, BD y CD son perpendiculares al normal N.
Fijate en el gráfico:
Fijate que dibujé los bordes del plano como medio borrosos. Con eso te quiero decir
que los planos son infinitos, que no se terminan ahí donde se termina el dibujo: siguen
y siguen…
Ah, una aclaración: a los planos se les da nombre con letras griegas. La que se usa
siempre es π, ( Pi ) que equivale a nuestra letra "p" (de plano).
Entonces, un plano viene definido por un vector normal. Pero eso no alcanza, por
ejemplo, en el gráfico, el plano π2 y el plano xz tienen el mismo vector normal, pero
no son iguales.

38. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 28 -
Entonces, igual que con las rectas, necesitamos decir un punto P por el que pasa. Y,
como dijimos antes, para que un punto X pertenezca al plano, PX debe ser
perpendicular a N, o sea que:
PX . N = 0 ⇒ (P – X) . N = 0 ⇒ P . N = X . N
O sea que nos queda algo así: si π es el plano normal al vector N que pasa por el
punto P entonces:
π = {X є R3
tal que X . N = P . N}
Antes de seguir con tanta teoría, veamos un ejemplo:
• Encontrar el plano normal al vector N = (1,2,3) que pasa por el punto P = (0,0,1)
No hay que hacer otra cosa que usar la fórmula que tenemos arriba:
X . N = P . N ⇒ (x,y,z) . (1,2,3) = (0,0,1) . (1,2,3)
⇒ x + 2y + 3z = 3
Esta expresión se conoce como la ecuación del plano. Fijate que los coeficientes que
acompañan a x,y,z son los componentes del vector normal. Por eso decimos que la
ecuación de un plano normal a (a,b,c) es:
a . x + b.y + c. z = d
OJO: Esta es la ecuación del plano. Pero si queremos definirlo bien, acordate que un
plano es un conjunto, entonces tenemos que escribir algo así:
π = {(x,y,z) є R3
tal que x + 2y + 3z = 3 }
Espero que hayas entendido bien esto, porque la parte difícil todavía no llegó. El
problema es siempre el mismo: encontrar la ecuación del plano. Esto es muy fácil si
tenemos el vector normal. Pero, ¿y si no lo tenemos?.
Bueno, habrá que encontrarlo de alguna forma: para esto nos sirve el producto
vectorial que vimos antes. Hay tres casos posibles:
• Encontrar la ecuación del plano a partir de dos vectores v = (1,1,0); w =
(-2,0,1) y un punto P = (0,1,2)
Este es el caso más simple. En definitiva, los demás casos se terminan reduciendo a

39. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 29 -
este. La idea es encontrar un vector N = (a,b,c) que sea perpendicular a v y a w al
mismo tiempo. La forma más fácil de hacerlo es con el producto escalar entre esos
dos vectores:
N = v x w = (1,1,0) x (-2,0,1) = (1,-1,2)
Y a partir de ahora ya sabes cómo sigue:
N . X = N . P ⇒ (1,-1,2) . (x,y,z) = (1,-1,2) . (0,1,2)
⇒ x – y + 2z = 1
Lo bueno de la ecuación del plano es que es la forma más fácil de ver si un punto
está en el plano o no. Por ejemplo, el (2,1,0) está en π porque cumple con esa
ecuación, y el (1,1,1) no.
• A partir de 3 puntos no alineados: A = (1,2,0) ; B = (3,3,1) y C = (-2,0,3)
La idea es reducir este problema al caso anterior. Para eso, necesitamos encontrar
dos vectores del plano. Ah, eso es fácil, uno es el AB y otro el AC:
AB = B – A = (2,1,1) ; AC = C- A = (-3,-2,3)
Ahora que tenemos dos vectores, calculamos el vector normal:
N = AB x AC = (2,1,1) x (-3,-2,3) = (5,-9,-1)
Y ahora, con el vector normal y un punto del plano (podemos elegir cualquiera de los
tres y el resultado es el mismo) encontramos el plano:
N . X = N . A ⇒ (5,-9,-1). (x,y,z) = (5,-9,-1) . (1,2,0)
⇒ 5x – 9y – z = -13
Este tipo de problema es bastante común, porque muchas veces te dan como datos
las intersecciones del plano con los tres ejes, algo así como en el gráfico.
Una aclaración importante: si un punto está en cada eje, está claro que no están
alineados. Pero, ¿qué pasa si están alineados? Bueno, si están alineados, los tres
forman parte de una misma recta, y hay infinitos planos que pasan por ella. Más
adelante vamos a ver que una recta es un intersección de dos planos.

40. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 30 -
Tenemos tres puntos del plano: (x0,0,0) ; (0,y0,0) y (0,0,z0), y sabemos que la
ecuación del plano va a tener esta forma:
a.x + b.y + c.z = d
donde (a,b,c) es el vector normal. Pero en realidad, podemos tomar como vector
normal a cualquier múltiplo de (a,b,c). Para hacer las cuentas fáciles, nos conviene
trabajar con un múltiplo tal que k.a = 1 ⇒ (1,b’ , c’). Entonces, la ecuación del plano
nos queda:
x + b’ . y + c’ . z = d’
Fijate que tenemos tres incógnitas (b’ , c’ y d’) y nos dan tres datos (los tres
puntos, que cumplen con esa ecuación). Bueno, reemplazando esos tres puntos en la
ecuación, podemos calcular estas tres incógnitas, así:
x0 = d’
b’ . y0 = d’
c’ . z0 = d’
Y listo. Una vez que calculamos b’, c’ y d’ ya tenemos la ecuación del plano.
• A partir de un vector v = (0,0,1) y dos puntos: A = (3,1,2) y B = (-4,0,-2)
Bueno, ya tenemos un vector, y el otro lo podemos encontrar con los dos puntos:
AB = B – A = (-4,0,-2) – (3,1,2) = (-7,-1,-4)
Ahora podemos calcular el vector normal como:
N = v x AB = (0,0,1) x (-7,-1,-4) = (1,-7,0)
Y ahora con el vector normal, la ecuación del plano nos queda:

41. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 31 -
N . X = N . A ⇒ (1,-7,0) . (x,y,z) = (1,-7,0) . (3,1,2)
⇒ x – 7y = -4
Y listo, esos son los tres casos posibles. Fijate que en realidad son todas
variaciones del primero, así que si te acordás ese está bien.
Un cuarto caso es cuando te dan una recta y un punto, pero en realidad es exactamente
igual que el segundo, porque nos dicen el vector director de la recta, un punto de la
recta y otro punto más, o sea tenemos un vector y dos puntos.
Planos paralelos
Al principio dijimos que un plano viene definido por su vector normal. Entonces,
decimos que dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos.
De la misma forma decimos que son perpendiculares si los vectores normales son
perpendiculares.
En realidad, podemos generalizar y dar una definición del ángulo entre dos planos
como el ángulo que forman sus vectores directores. Aunque esto no se usa nunca, lo
único que se usa es lo de los planos paralelos.
Hay una forma muy fácil de ver si dos planos son o no paralelos a partir de las
ecuaciones, ya que los coeficientes son los componentes de la normal. Los planos:
π1 : ax + by + cz = d y π2: k.a.x+ k.b.y + k.c.z = e
son paralelos, porque las normales: (a,b,c) y (k.a, k.b ,k.c) son paralelos entre sí.
• Un ejemplo: encontrar el plano paralelo a π1: x + 2y – 3z = 4 que pasa por el punto
P = (1,-1,2)
Como es paralelo a π1, tiene el mismo vector normal N = (1,2,-3). Entonces, la
ecuación del nuevo plano π2 va a ser:
N . X = N . P ⇒ x + 2y – 3z = -7
Intersección entre planos.
Pasa algo parecido a la intersección entre rectas: pueden no cruzarse nunca (si son
paralelos), cruzar una vez o siempre (si son el mismo plano).
La gran diferencia es que si se cruzan una vez, en vez de hacerlo en un solo punto, la

42. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 32 -
intersección resulta ser toda una recta. Esto lo vas a entender mejor cuando veas
espacios vectoriales. Por ahora dejémoslo así.
• Ejemplo: encontrar la intersección entre los planos
π1 = {(x,y,z) tal que x – y = 2} y π2 = {(x,y,z) tal que 2x + y – z = 5}
La idea es que si un punto pertenece a π1 ∩ π2 entonces cumple con las dos
ecuaciones, o sea:
Y esto no es otra cosa que la forma implícita de una recta en R3
. Si querés, se puede
despejar la forma paramétrica, despejando todo en función de una sola de las
componentes, por ejemplo de la x:
x – y = 2 ⇒ y = x-2
2x + y – z = 5 ⇒ 2x + x -2 – z = 5 ⇒ z = 3x – 7
⇒ (x,y,z) = (x,x-2,3x-7) = x . (1,1,3) + (0,-2,-7)
Y esa es la forma paramétrica. Quizás parece medio rara, porque nos quedó x como
parámetro. No hay problema, si no te gusta así podés cambiarle el nombre a t y nos
queda algo un poco más lindo:
π1 ∩ π2 = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = t . (1,1,3) + (0,-2,-7)}
Si dos planos distintos son paralelos, no se cruzan nunca, o sea que su intersección
es vacía. Esto es bastante obvio, porque no hay forma de que un punto (x,y,z)
cumpla al mismo tiempo las dos ecuaciones:
a . x + b . y + c . z = d y a . x + b . y + c . z = e si d ≠ e
Intersección entre un plano y una recta
Siempre acordate que definimos a las rectas y los planos como conjuntos de puntos.
Entonces, la intersección va a ser el conjunto de todos los puntos que están en los
dos: o sea, donde se cruzan. Hay tres casos posibles: la intersección entre un plano
π y una recta L puede ser:
• Una recta: si la recta está incluida en el plano, entonces la intersección es la
misma recta.
⎩
⎨
⎧
=−+
=−
52
2
zyx
yx

43. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 33 -
• Un punto: este es el caso típico donde realmente la recta "cruza" el plano. Por
ejemplo, en el gráfico, la recta L1 y el plano π se cruzan en un solo punto.
- ¿Cómo calculamos ese punto?
- Como siempre, en la intersección están los puntos que cumplen las dos
condiciones: está en el plano (o sea cumple la ecuación del plano) y está en la
recta (o sea también cumple la ecuación paramétrica de la recta).
En este caso, tenemos π: z = 4 y L: (x,y,z) = t.(0,01) + (0,3,0).
Veamos para qué valor de t se encuentra la intersección:
(x,y,z) = (0,3,t) ⇒ t = 4 ⇒ (x,y,z) = (0,3,4)
• Vacía: cuando la recta es paralela al plano pero no está incluida en él. En el
gráfico anterior, L2 es paralela al plano π y por eso no se intersecan.
- ¿Cómo es esto de una recta paralela a un plano? Hasta ahora solamente
veníamos hablando de vectores paralelos
- Bueno, en este caso decimos que la recta y el plano son paralelos si el vector
normal del plano es perpendicular al vector director de la recta.

44. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 34 -
Y, del mismo modo, decimos que son perpendiculares si N y v son paralelos. Esto
parece medio rebuscado, pero si te fijás en el gráfico tiene bastante sentido.
Distancia de un punto a un plano
Unas páginas atrás aprendimos cómo se calcula la distancia entre dos puntos:
Se calcula como la norma del vector que los une.
La distancia de un punto Q a un plano π se define como la distancia entre Q y P,
donde P es un punto del plano π tal que la recta PQ es perpendicular a π .
Pará pará, vamos más despacio. Primero veámoslo en un gráfico.
P es el punto del plano π que está más cercano a Q.
- ¿Por qué es eso?
- Porque se puede demostrar que la menor distancia siempre es la
perpendicular. Pensalo así: si vos estás en Av. Rivadavia y querés llegar a Av.
Corrientes, la forma más rápida es por una de las calles que cortan
perpendicular, no te conviene ir por una diagonal. Y la demostración no es
para nada complicada, se puede hacer usando solamente el Teorema de
Pitágoras, o la Desigualdad Triangular que vimos más arriba, pero eso te lo
dejo para que lo pienses
Y entonces solamente tenemos que calcular la distancia entre dos puntos, y eso lo
sabemos hacer. Bueno, en realidad no es tan fácil, porque primero tenemos que
encontrar el punto P, y eso no es para nada sencillo.
Dijimos que PQ es perpendicular al plano π, o sea que es paralelo al vector normal N.
La forma correcta de resolver este problema es primero encontrando una recta L
que pase por Q y que sea paralela a N.

45. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 35 -
Una vez que tenemos esa recta, podemos encontrar el punto P como la intersección
entre la recta y el plano. Mejor veámoslo en un ejemplo:
• Calcular la distancia del punto Q = (2,-2,1) al plano π de ecuación x + 2y – z = 1
Lo primero que hay que hacer es encontrar la recta perpendicular al plano π (o sea,
paralela al vector normal (1,2,-1)) que pasa por el punto Q. Eso es fácil, es como los
primero ejercicios de rectas. Nos queda así:
L = { (x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = t . (1,2,-1) + (2,-2,1) }
Ahora que tenemos la recta, podemos calcular el punto P como la intersección de
esa recta con el plano, así:
(x,y,z) = (t+2 , 2t – 2 , -t + 1) ⇒ t + 2 + 2 . (2t – 2) – (-t+1) = 1
⇒ 6t – 1 = 1 ⇒ 6t = 2 ⇒ t = 1
/3
P = 1
/3 . (1,2,-1) + (2,-2,1) ⇒ P = (7
/3 , -4
/3 , 2
/3)
Y una vez que tenemos el punto P, todo lo que hay que hacer es calcular la distancia
entre P y Q así:
d(P,Q) = ||PQ|| = ||P – Q|| = ||(7
/3 , -4
/3 , 2
/3) – (2,-2,1)|| =
= ||(1
/3 , 2
/3 , -1
/3)|| = 1
/3 . ||(1,2,-1)|| = 1
/3 . 222
)1(21 −++
⇒ d(P,Q) = 1
/3 . √6
Fijate que nos quedó justamente 1
/3 . (1 , 2 , -1), que es el término t . v.
La distancia del punto Q al plano p es 1
/3 . √6, y se escribe así: d(Q,π) = 1
/3 . √6
Vectores en Rn
.
En este tema nos enfocamos más que nada en las interpretaciones geométricas de
los vectores. Por eso solamente trabajamos en R2
y R3
. El asunto de Rn
lo dejamos
para después: en el capítulo de espacios vectoriales.
Para terminar vamos a algunos ejercicios sacados de parciales

46. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 36 -
EJERCICIOS DE PARCIALES
Antes de empezar a resolver el ejercicio, siempre conviene tener todo escrito como
nos conviene: las rectas en su forma paramétrica, y los planos con sus ecuaciones.
En este caso, nos conviene primero calcular la ecuación del plano π2 a partir de esos
tres puntos. ¿Te acordás como se hace? Primero buscamos dos vectores que estén
en ese plano. Eso es fácil:
AB = B – A = (1,0,-1) – (1,-1,0) = (0,1,-1)
AC = C – A = (3,-1,0) – (1,-1,0) = (2,0,0)
Una vez que tenemos estos dos vectores, podemos encontrar el vector normal n2
como el producto vectorial de esos dos:
n2 = AB x AC = (0,1,-1) x (2,0,0) = (0,-2,-2)
Si ya tenemos el vector normal, podemos obtener la ecuación del plano π2 como:
n2 . X = n2 . A ⇒ (0,-2,-2) . (x,y,z) = (0,-2,-2) . (1,-1,0)
⇒ -2 y – 2 z = 2 ⇒ y + z = -1
Entonces, repasemos un poco los datos que tenemos:
π1: x + 3y – z = 2 y π2: y + z = -1
Bueno, recién ahora veamos qué nos piden. Fijate que todavía no empezamos a hacer
nada, así que mejor practicá muchos ejercicios, porque si perdés mucho tiempo en
lo que hicimos recién en un parcial, estás sonado.
Nos piden una recta que no se intersecte con ninguno de los dos planos. Por lo que
vimos antes, para que pase eso, la recta tiene que ser paralela a ambos planos; o sea
que el vector director v de la recta, tiene que ser perpendicular a n1 (el vector
normal al plano π1, lo sacamos a partir de la ecuación del plano 1) y a n2, que son los
dos vectores normales.
Ah bueno, entonces podemos encontrar a v como el producto vectorial entre n1 y n2.
1 - Sea π1 el plano de ecuación x + 3 y – z = 2
y π2 el plano que pasa por A = (1,-1,0) , B = (1,0,-1) y C = (3,-1,0)
Hallar una recta L tal que:
L ∩π1 = φ , L ∩ π2 = φ y (1,2,0) є L

47. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 37 -
Nos queda algo así:
v = n1 x n2 = (1,3,-1) x (0,-2,-2) = (-6,2,-2)
¿ Te acordás qué nos hace falta para encontrar la ecuación de una recta ?
Rta: Solamente un punto y el vector director. Recién encontramos y el vector
director, y además nos piden que pase por el punto (1,2,0). Entonces, la ecuación
paramétrica de la recta L es
(x,y,z) = t . (-6,2,-2) + (1,2,0)
Pero esta no es la respuesta final del ejercicio, porque no nos piden la ecuación
paramétrica. Nos piden que digamos cuál es la recta. Y como una recta es un
conjunto, tenemos que escribirlo como conjunto, así:
L = {(x,y,z) є R3
tal que (x,y,z) = t . (-6,2,-2) + (1,2,0) para algún t є R}
Y listo, así está bien. Mucho cuidado con esto, es un error muy común.
Este problema te puede llegar a resultar fácil si te hacés una buena idea de lo que
te están pidiendo. ¿ Y qué te están pidiendo ? ¿ Cómo lo tenés que interpretar ?
Vamos a ir viendo poco a poco así no te perdés.
Lo más difícil suele ser elegir por dónde empezar. Lo ideal en este caso es atacar el
problema buscando los puntos que están a distancia 3 del plano. Estos puntos forman
dos planos paralelos a Π, que están a distancia 3 para un lado y para el otro. Para
encontrar los dos planos necesitamos conocer un vector normal (que es el mismo que
tiene Π porque tienen que ser paralelos a éste para que TODOS los puntos estén a
la misma distancia) y dos puntos cualesquiera que pertenezcan cada uno a cada plano.
La dirección normal (n) la podemos sacar de la ecuación de Π.
2 4 4 0x y zΠ : − + =
( )2, 4,4n = −
¿ Y los puntos ? Tenemos que hacer esto: primero buscamos un punto que esté en Π -
por ejemplo el ( 0, 0, 0)- y le sumamos un versor –o vector unitario- que tenga la
2

48. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 38 -
dirección normal al plano y esté multiplicado por 3, que es la distancia a la que tienen
que estar. El versor normal lo encontramos fácilmente dividiendo n por su propia
norma:
( )
( )1 2 2
3 3 3
2, 4,4
ˆ , ,
4 16 16
n
n
n
−
−
= = =
+ +
Ahora buscamos uno de los puntos como te dije recién:
( ) ( )1 2 2
1 3 3 3
ˆ0,0,0 3 3 , ,P n −
= + =
( )1 1, 2,2P = −
Si querés fijarte que la distancia al (0,0,0) es 3, calculála como siempre:
( )1 1d ,P PΘ = − Θ . Para encontrar el otro punto que está a distancia 3 del origen
sobre la dirección de ˆn vamos ahora a RESTARLE ˆ3n:
( ) ( )1 2 2
2 3 3 3
ˆ0,0,0 3 3 , ,P n −
= − = −
( )2 1,2, 2P = − −
Ahora tenemos la dirección de los planos paralelos a Π y un punto que pertenece a
cada uno de ellos. Con esto es suficiente para escribir sus ecuaciones. Vamos a
hacerlo, te va a venir bien el repaso. Empecemos por el primero de los dos planos al
que vamos a llamar Π1. La ecuación la escribimos haciendo: ( )1 0X P n− ⋅ = , o lo que es
lo mismo: 1X n P n⋅ = ⋅ .
( ) ( ) ( ) ( )1 : , , 2, 4,4 1,2, 2 2, 4,4x y zΠ ⋅ − = − − ⋅ −
2 4 4 18x y− + = −
Y hacemos lo mismo para encontrar el segundo plano:
( ) ( ) ( ) ( )2 : , , 2, 4,4 1, 2,2 2, 4,4x y zΠ ⋅ − = − ⋅ −
2 4 4 18x y− + =
Bien, bien. Ahora ya conocemos los dos planos Π1 y Π2 donde están todos los puntos
del espacio que están a distancia 3 de Π. ¿ Qué quiere decir esto ? Que las rectas
que nos piden tienen que estar incluidas en alguno de estos planos. Pero ¡ ojo !, nos
dicen que las rectas tienen que ser alabeadas, o sea que no tienen que cortarse ni
ser paralelas. Si las dos rectas están en un mismo plano esto no sería posible: o son

49. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 39 -
paralelas o se cortan, no hay otra. Por lo tanto, las rectas que buscamos tienen que
estar una en cada plano y, además, NO pueden que ser paralelas.
Para encontrar los vectores directores de las rectas, vamos a buscar dos vectores
paralelos a los planos pero que NO sean paralelos entre sí. ¿ Cómo hacemos ?
Rta: Así: para encontrar todas los vectores paralelos a los planos, agarramos el
plano que nos dan y despejamos una de las variables en función de las otras, por
ejemplo:
2 4 4 0 2 2x y z x y z− + = → = −
Y ahora podemos escribir todos los vectores ( x, y, z) paralelos a los planos usando
esto :
( ) ( ) ( ) ( ), , 2 2 , , 2,1,0 2,0,1x y z y z y z y z= − = + −
Estos dos vectores –el ( 2 , 1 , 0) y el ( -2 , 0 , 1 )- son paralelos a los planos, y al
mismo tiempo NO son paralelos entre sí. Así que éstos podrían ser los vectores
directores de nuestras rectas.
Para terminar, vamos a buscar por qué puntos pasan estas rectas. Como sabemos
que las rectas pertenecen a los planos y se cortan con L , podemos encontrar estos
puntos buscando la intersección entre L y cada uno de los planos Π1 y Π2. Llamemos
( x, y, z ) al punto de cada intersección, entonces:
( ) ( ) ( )
Cumple con la ecuación de
, , 0,1,2 1, 1,0x y z λ= + −
L
desarrollando…
1
1
1
2 2
2
x
x
y
z y
z
λ
λ
=⎧
=⎧⎪
= − →⎨ ⎨
= +⎩⎪ =⎩
Reemplazamos en la ecuación de Π1:
( )
Ecuación de
1
2 2
2 4 4 18 2 4 4 2 2 18
x
z y
x y z y y
1Π
=
= +
− + = − ⎯⎯⎯→ − + + = −
( )1
1
7 1, 7, 12
12
x
y Q
z
=⎧
⎪
= − → = − −⎨
⎪ = −⎩
:1∩ ΠL

50. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 40 -
( )
2Ecuación de
1
2 2
2 4 4 18 2 4 4 2 2 18
x
z y
x y z y y
Π
=
= +
− + = ⎯⎯⎯→ − + + =
( )2
1
2 1,2,6
6
x
y Q
z
=⎧
⎪
= → =⎨
⎪ =⎩
¡ Ahora sí !, tenemos dos vectores directores y dos puntos por donde pasan las
rectas. Elegite la combinación que te guste, es lo mismo, porque de todas maneras,
todos los puntos de las rectas van a estar a distancia 3 de Π, van a ser alabeadas y
van a cortar a la recta L. Te dejo una posibilidad:
( ) ( ) ( ), , 2,1,0 1, 7, 12x y z λ= + − − y ( ) ( ) ( ), , 2,0,1 1,2,6x y z µ= − +
Este ejercicio no tiene demasiadas vueltas pero es bastante largo. Lo que hay que buscar son los
puntos que están en la intersección de Π1 y Π2, y que al mismo tiempo estén a 14
14 de distancia
de Π3. ¿ Y como hacemos eso ? Así: Primero buscamos el conjunto de puntos que está en la
intersección de los dos primeros planos ( P 1 2∈Π ∩ Π ). Después buscamos el conjunto de los
puntos que están a 14
14 de distancia del tercero (P tal que ( ) 14
14d ,P 3Π = ).
Por último buscamos la intersección de estos dos conjuntos, es decir, todos los puntos que
cumplen con las dos condiciones que nos piden.
Arranquemos con la intersección de Π1 y Π2. Los puntos de esa intersección tienen que cumplir
con las ecuaciones de ambos planos, así que tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales:
Despejando2 1 1 2 1 4 2 2
2 1 2 1 2 1
x y z y x z y x x y
x y z z x y z x y
+ − = = − + = − + + −⎧ ⎧ ⎧
⎯⎯⎯⎯→ →⎨ ⎨ ⎨
+ − = = + − = + −⎩ ⎩ ⎩
Seguimos despejando y nos queda:
3 1y x
z x
= − +⎧
⎨
= −⎩
( ) ( ), , , 3 1,x y z x x x= − + −
:2∩ ΠL
3-

51. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 41 -
Entonces, los puntos de la intersección tienen la forma de una recta y son:
( ) ( ) ( ), , 1, 3, 1 0,1,0x y z x= − − +
Busquemos ahora todos los puntos del espacio que están a distancia 14
14 de Π3. Estos puntos
forman dos planos paralelos a cada lado de Π3, o sea que el vector normal es el mismo para los
tres planos. Saquémoslo, pues, de la ecuación que nos da el enunciado.
( ): 3 2 6 3,1, 2x y z n3Π + − = → = −
Para poder escribir las ecuaciones sólo nos falta encontrar un punto que pertenezca a cada uno de
los dos planos. Esto lo hacemos así: buscamos un punto P3 perteneciente a Π3, y le sumamos el
vector n dividido por su norma y multiplicado por la distancia a la que queremos que estén. Para
encontrar el punto del otro plano, en lugar de sumarle ese choclo, se lo restamos. A P3 lo pode-
mos sacar a ojo. Usemos, por ejemplo, el (2, 0, 0) . Fijáte que cumple con la ecuación de Π3 .
Ahora llamemos P3´ y P3´´ a los puntos que están a distancia 14
14 del (2, 0, 0) en la dirección del
vector normal a los planos. Haciendo las cuentas que dije, encontramos que son:
( ) 14
3 2,0,0P′ = +
( )
14
3,1, 2
9 1 4
−
+ +
( ) ( )3 1 1
14 14 7
14
2,0,0 , ,= + −
( )31 1 1
3 14 14 7, ,P′ = −
( ) ( )3 1 1
3 14 14 72,0,0 , ,P′′ − −
( )25 1 1
3 14 14 7, ,P′′ = −
Ahora sí, ya encontramos los dos planos cuyos puntos están todos a distancia 14
14 de Π3.
Escribamos sus ecuaciones…
( ) 3: , ,x y z n P n3
′ ′Π ⋅ = ⋅
( ) ( )31 1 1
14 14 73 2 3,1, 2 , , 7x y z+ − = − ⋅ − =
: 3 2 7x y z3
′Π + − =
( ) 3: , ,x y z n P n3
′′ ′′Π ⋅ = ⋅
( ) ( )25 1 1
14 14 73 2 3,1, 2 , , 5x y z+ − = − ⋅ − =

52. ASIMOV Vectores en R2 y R3- 42 -
: 3 2 5x y z3
′′Π + − =
Bueno, paremos un poco porque ya estoy mareado… ¿ Qué sacamos hasta ahora ? Primero, la
intersección entre Π1 y Π2: una recta. Y después, dos planos que tienen a todos los puntos que
están a distancia 14
14 de P3. Los puntos que nos pide el problema son los que están en la
intersección de la recta con los planos. Los puntos de la recta los escribimos:
( ) ( ) ( ): , , 1, 3, 1 0,1,0x y z x1 2Π ∩ Π = − − +
Así que tienen que cumplir que:
Resolviendo eso y reemplazando el valor de x en las ecuaciones que sacamos de la recta
encontramos que x = 3 ; y = -8 y z = -3. Y ahora, sacamos el segundo:
( ) ( )
Ecuación de
3 3 1 2 5 2 1 5x x x x
3
′′Π
+ − + − − = → + =
Entonces: x = 2 ; y = -5 y z = -2.
Por lo tanto, los punto que cumplen con las dos condiciones que pide el enunciado son:
( ) ( ){ }3, 8, 3 ; 2, 5, 2− − − −
FIN VECTORES EN R2
Y EN R3
3 1
x x
y x
z x
=⎧
⎪
= − +⎨
⎪ = −⎩
( ) ( )
Ecuación de
3 3 1 2 7 2 1 7x x x x
3
′Π
+ − + − − = → + =( )1 2 3
′Π ∩ Π ∩ Π

53. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 43 -
SISTEMAS LINEALES - MATRICES
INTRODUCCION
Los sistemas de ecuaciones son cosas interesantes. A veces uno tiene que resolver un
sistema de varias ecuaciones para encontrar la solucion a un problema. Por otro lado
los sistemas de ecuaciones también son útiles en geometría: las ecuaciones lineales se
interpretan a veces como rectas y a veces como planos.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales usamos dos herramientas matemáticas
que nos van a facilitar los cálculos: las matrices y los determinantes. En este capítulo
vamos a entender bien el tema de MATRICES y vamos a ver como se relacionan estos
nuevos objetos matemáticos con la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
SISTEMAS LINEALES
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de m ecuaciones
lineales en las variables {x1, x2, …, xn}, y se define según la siguiente fórmula:
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a3n xn = b3
………………………
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + amn xn = bm
Las variables a y b con subíndices son constantes y {x1, x2, …, xn} son las incógnitas, o
sea lo que vos tenés que encontrar haciendo algunas cuentitas. Se dice que el sistema
es lineal porque las incógnitas están elevadas a la 1, o sea, (x1) 1
= x1.
Por ejemplo:
3 x1 + 4 x2 + 7 x3 + x4 = 2
x1 + 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 = 0
En este caso, tenemos:
• número de ecuaciones m = 2
• numero de incógnitas n = 4
• Para la primera ecuación: a11 = 3, a12 = 4, a13 = 7, a14 = 1, b1 = 2
• Para la segunda ecuación: a12 = 1, a22 = 6, a23 = 2, a24 = 3, b2 = 0
Todavía faltan algunas definiciones importantes, pero enseguida vamos a ver
ejemplos y todo esto te va a quedar mucho más claro, no desesperes.

54. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 44 -
Sistemas compatibles e incompatibles
Llamamos solución del sistema lineal a la n-upla {s1, s2,…, sn} tal que al reemplazar {x1,
x2, …, xn} por {s1, s2,…, sn} se satisface cada una de las m ecuaciones. Podemos tener 3
casos distintos:
• El sistema se dice INCOMPATIBLE si no tiene NINGUNA SOLUCIÓN
• El sistema se dice COMPATIBLE DETERMINADO si tiene UNA ÚNICA
SOLUCIÓN
• El sistema se dice COMPATIBLE INDETERMINADO si tiene INFINITAS
SOLUCIONES.
Veremos ahora algunos ejemplos sencillos para que esto te quede bien claro.
Ejemplo 1:
⎩
⎨
⎧
=+−
=+
=
14
72
21
21
xx
xx
S
S es un sistema de m = 2 ecuaciones con n = 2 incógnitas. Veamos en cual de los 3
casos anteriores estamos si pedimos que {1,1} sea solución. Reemplazando {x1, x2} por
{1,1}, nos da esto:
⎩
⎨
⎧
≠=+−=+−
≠=+=+
=
13411*41*1
73121*11*2
S
Vemos que {1,1} no verifica el sistema, entonces el sistema es incompatible.
Veamos qué pasa si pedimos que {3,1} sea solución del sistema. Reemplazando {x1, x2}
por {3,1}, te va a quedar este sistemita:
⎩
⎨
⎧
=+−=+−
=+=+
=
1431*43*1
7161*13*2
S
Entonces decimos que el sistema es compatible determinado.
Ahora analicemos el caso en el cual tengo m ecuaciones con m+1 incógnitas. Sea por
ejemplo, un sistema con m = 3 ecuaciones y 4 incógnitas {x1, x2, x3, x4}. Este tipo de
sistema SIEMPRE VA A TENER SOLUCION, PORQUE SIEMPRE VAMOS A
PODER ESCRIBIR AL MENOS UNA INCOGNITA EN FUNCION DE OTRA.
Mirá este ejemplo:

55. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 45 -
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=+++
=+++
=
3
222
4
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
S
Después te voy a contar cómo resolver este tipo de sistemas. Lo importante es que
veas que resolviendo este sistema de 3 ecuaciones con 4 incógnitas, obtenemos el
siguiente conjunto de soluciones { -2-x3, 5, x3, 1 } y que para cada valor que le demos
a x3 , tendremos una solución distinta y válida. Para que te convenzas de esto, veamos
qué pasa si le asignamos distintos valores a x3.
Con x3 = 1 tenemos que la solución es { -3, 5, 1, 1 }, y reemplazando estos valores en S
llegamos a:
Entonces vemos que las tres igualdades se verifican, como esperábamos. Podés
intentar asignarle cualquier valor a x3 y vas a llegar a la misma conclusión: UN
SISTEMA CON M ECUACIONES Y M+1 INCÓGNITAS TIENE INFINITAS
SOLUCIONES. SE TRATA DE UN SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO.
Sistemas Lineales Homogéneos
Se dice que el sistema es homogéneo cuando bm es cero en las m ecuaciones
simultáneamente. Por ejemplo:
2x1 +x2 + 9x3 + 5x4 = 0
7x1 + 4 x2 +2 x3 + x4 = 0
x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 0
Además fijate que {0, 0,…, 0, 0} siempre va a ser solución de un sistema homo-
géneo ya que al reemplazar {x1, x2, …, xn} por {0, 0,…, 0, 0} obtendremos "0 = 0", que
es trivial. Por último, decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes
cuando tienen el mismo conjunto de soluciones.
MATRICES – DEFINICIONES
El sistema de ecuaciones lineales (1) puede escribirse en notación matricial de la
siguiente manera:
Ax = B
Es decir:
( )
3 5 1 1 4
2* 3 5 2*1 1 2
3 5 1 3
S
− + + + =⎧
⎪
= − + + + =⎨
⎪− + + =⎩

56. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 46 -
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
mn
mnmmm
n
b
b
b
x
x
x
aaaa
aaa
aaaa
......
*
.......
......................
......................
.........
........
2
1
2
1
321
232221
1131211
Donde podés ver que:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmmm
n
aaaa
aaa
aaaa
A
.......
......................
......................
.........
........
321
232221
1131211
X = (x1, x2, …, xn)
B = {b1, b2, …, bm}
OJO CON ESTO:
Llamamos filas a los arreglos de números horizontales y columnas a los arreglos
verticales. Tenés que ser prudente con el tema de las dimensiones. Fijate lo siguien-
te. A es una matriz de dimensión m x n, o sea con m filas y n columnas. El
vector X por el cual multiplicás a la matriz A tiene que tener la dimensión de la
las columnas de A, es decir, X tiene dimensión n. El vector B entonces va a
tener la misma dimensión que las filas de A, es decir, B tiene dimensión m.
OTRA COSITA MÁS, PARA FIJAR IDEAS:
Fijate que el número de filas viene directamente asociada a la cantidad de
ecuaciones y el número de columnas viene dado por la cantidad de incógnitas.
El vector X es la solución del sistema, y es lo que hay que buscar.
ADEMAS: Mirá esto otro:
* Si x e y son dos soluciones distintas del sistema homogéneo, entonces, la suma de
ambas x + y también lo es.
* Si x es una solución del sistema, entonces un múltiplo de x, kx también lo es, siendo
k un número real.
* Si x e y son soluciones de un sistema no homogéneo entonces, x – y es solución del
homogéneo asociado ( que es el mismo que el no homogéneo, pero que en lugar de B
tiene el vector columna nulo ).

57. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 47 -
* Cualquier solución particular del sistema puede obtenerse si le sumás a una solución
del no homogéneo una solución del homogéneo asociado
MATRICES: MODELOS
Matriz cuadrada: Diremos que una matriz A de dimensión m x n es cuadrada si m=n
(igual número de filas y columnas). Ejemplo:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
43
21
Matriz rectangular: Diremos que una matriz m x n es rectangular si tiene m
distinto de n (distinto número de filas y columnas).
Matriz o vector fila: matriz o vector que sólo tiene una fila : ( )571
Matriz o vector columna: matriz o vector que sólo tiene una columna.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
7
23
8
1
Matriz nula: Es aquella que tiene todos sus elementos iguales a cero.
Matriz diagonal: Una matriz CUADRADA
se llama DIAGONAL si son cero los elementos
que no pertenecen a su diagonal principal.
Matriz identidad: Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es diagonal y los
1 2
3 4
5 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 0 0
0 4 0
0 0 9
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

58. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 48 -
elementos de su diagonal principal valen la unidad.
Matriz traspuesta: Sea A una matriz de m x n. Llamamos matriz traspuesta de A a
la matriz At
de dimensiones n x m.
Siendo su traspuesta:
O sea, tomo la primera fila de A y la pongo como primer columna de At
, tomo la
segunda fila de A y la pongo como segunda columna de At
, etc…
SISTEMAS LINEALES Y MATRICES – PROPIEDADES
Ahora vamos a ver algunas propiedades que te van a resultar útiles para resolver
sistemas de ecuaciones lineales.
Todas estas propiedades dejan el sistema de ecuaciones intacto respecto a su
solución, es decir, por más que operemos en el sistema, la solución es la misma.
1- Multiplicar una de las ecuaciones por una constante no nula.
Por ejemplo, consideremos esta ecuación de una incógnita:
X + 1 = 2
La solución de esta ecuación es x = 1. Si multiplicamos esta ecuación por un número
real distinto de cero, por ejemplo por 5, nos da:
5 * (X + 1) = 5 * 2
Lo que equivale a multiplicar cada uno de los miembros de la ecuación por 5:
5 * X + 5 * 1 = 5 * 2 o sea 5x + 5 = 10
Y si te fijás, la solución sigue siendo x = 1.
2- Intercambiar dos de las ecuaciones. Esto es bastante obvio no ? Fijate:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 7 5 0 1
9 1 1 3 0
A
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 9
7 1
5 1
0 3
1 0
t
A
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

59. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 49 -
2 x + y = 3
4 x – 5 y = - 1
Haciendo la cuentita vas a ver que la solución te da: { 1, 1 } . Resulta evidente (o, para
usar un término que te debe resultar muy conocido, TRIVIAL ) que intercambiando
las ecuaciones:
4 x – 5 y = - 1
2 x + y = 3
Nos da la misma solución. Si no te parece obvio, podés probar resolver ambos
sistemas y convencerte
3- Sumar un múltiplo de una de las ecuaciones a otra ecuación. Usemos el último
sistema para ver que esto es así.
2 x + y = 3 (1)
4 x – 5 y = - 1 (2)
Sumemos tres veces la ecuación (1) a la ecuación (2):
2x + y = 3
3 * (2x + y) + 4x – 5y = -1 + 3*3
Distribuyendo y agrupando "x con x" e "y con y", este choclito da:
2x + y = 3
10x – 2y = 8
Si haces la cuenta vas a ver que el conjunto solución del sistema viejo y del nuevo es
{1, 1}.
ATENCION CON ESTO: notá que al sumar 3 veces la ecuación (1) a la (2)
multipliqué por 3 a ambos lados del signo "=" en (1) y sumé a ambos lados del
signo "=" en (2) y esto es algo re importante a tener en cuenta para que esta
propiedad se verifique. No te olvides de esto.
Las tres propiedades que te conté acá arriba para ecuaciones lineales se correspon-
den totalmente con las siguientes operaciones sobre las filas de la matriz asociada al

60. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 50 -
sistema. Entonces, existen 3 operaciones elementales sobre las filas y son las
siguientes:
1- Multiplicar una de las filas por una constante no nula. Por ejemplo, veamos qué
pasa con el siguiente sistema escrito en notación matricial:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
2
43
11
y
x
NOTACIÓN: Fijate que la expresión
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
7
2
43
11
y
x
es equivalente a escribir:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
7
2
43
11
que es la matriz aumentada o ampliada del sistema. A partir de ahora vamos a usar
esta notación, pero no te olvides de lo que representa en realidad.
Si hacés la cuenta te da que la solución es {1, 1}. Ahora, agarro y multiplico la primera
fila por 5 y me da:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⇔⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
7
10
43
55
7
2*5
43
1*51*5
Donde {1, 1}.es también la solución.
2- Intercambiar dos o más las filas. Considerá por ejemplo el sistema que sigue:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
16
6
3
745
132
111
La solución de este sistema es {1, 1, 1}. Intercambiemos
ahora la fila (2) con la (3). Ahora reemplazá { 1, 1, 1 } en
este sistema y fijate que las igualdades se verifican.
1 1 1 3
5 4 7 16
2 3 1 6
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

61. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 51 -
Ahora reemplazá { 1, 1, 1 }.en este sistema y fijate que las igualdades se verifican.
3- Sumar un múltiplo de una de las filas a otra. Por ejemplo, usando la matriz de
3 x 3 de acá arriba, sumemos 4 veces la fila (1) a 2 veces la fila (3). Nos queda este
sistema equivalente:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++++ )16*2()3*4(
6
3
)7*2()1*4()4*2()1*4()5*2()1*4(
132
111
Que es igual a
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
44
6
3
181214
132
111
Y si multiplicás esta matriz por el vector solución del sistema {1, 1, 1} te da:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
44
6
3
1
1
1
181214
132
111
Tal como lo esperábamos.
Me imagino que hay cosas hasta acá te deben parecer medio sacadas de la galera.
No te preocupes, que enseguida te voy a explicar bien algunos métodos para resolver
estos problemas matemáticos y todo te va a resultar un poco más fácil.
¿ COMO RESOLVER ESTOS SISTEMAS ? – METODO DE GAUSS
El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos
permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones
y de incógnitas. La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de
tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya
primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene
así un sistema triangular o en cascada. Fijate :
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
6
4
6
024
112
321
(1)

62. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 52 -
Ahora vas a ver qué significa sistema triangular y cómo obtener tal sistema haciendo
uso de las propiedades que vimos más arriba. La idea es tratar de poner un 0 en lugar
del 2 en el primer lugar de la fila 2. Para lograr esto, podemos multiplicar por ejemplo
la fila 1 por 2 y luego restarle la fila 2, esto es: 2F1 – F2. Fijate:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−−
6
4)6*2(
6
024
1)3*2(1)2*2()2()1*2(
321
Y fijate cómo esto da un 0 en el primer lugar de la fila 2:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
6
8
6
024
530
321
Ahora vamos a hacer lo mismo con la fila 3: multipliquemos la fila 1 por 4 y restémosle
la fila 3: 4F1 – F3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−− )6()6*4(
8
6
)0()3*4()2()2*4()4()1*4(
530
321
Y este choclazo da:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
18
8
6
1260
530
321
Ahora el punto es poner un 0 en el segundo lugar de la fila 3, es decir en lugar del 6.
Operamos de la siguiente forma: 2L2 – L3:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−− )18()8*2(
8
6
)12()5*2()6()3*2(0
530
321
Ahora resolvemos las cuentitas y da:
(2)
1 2 3 6
0 3 5 8
0 0 2 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠

63. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 53 -
¿ Ves que el tema era llegar a una cosa de esta pinta para poder resolver todo bien
fácil ? La resolución del sistema es ahora inmediata. Basta calcular z en la tercera
ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así
despejar la incógnita x en la primera ecuación, conocidos ya z e y.
En la fila 3 da z = (-2/-2) = 1. Ahora metemos este valor de z en la fila 2 para
calcular y:
3y + 5z = 8 o sea 3y + 5 * 1 = 8
Despejando y nos da: y = 1. Con estos valores de {y, z} queda que:
x + 2y + 3z = 6 o sea x + 2 * 1 + 3 * 1 = 6
Y entonces, x = 1. O sea obtenemos el siguiente conjunto solución del sistema: {1, 1, 1}
¿ QUE COSAS PODEMOS APRENDER DE UNA MATRIZ ?
Estudiamos en este apartado el concepto de rango de una matriz y la forma de
hallarlo. Sea A una matriz m x n. Definimos los siguientes conceptos primero, y
después te cuento qué significa cada uno.
rang f (A) = Número de vectores fila linealmente independientes
rang c (A) = Número de vectores columna linealmente independientes
Además se cumple que rang f (A) = rang c (A), es decir que el rango por filas es igual
al rango por columnas. Llamaremos rango de una matriz A, rang(A), al número de
vectores fila o vectores columna linealmentes.
A esta altura ya te debés estar preguntando qué quiere decir linealmente indepen-
diente. No te hagas drama, aquí llega la explicación. Dicho en criollo, un sistema de
ecuaciones es linealmente independiente ( L.i.) cuando ninguna de las filas puede ser
obtenida como suma de múltiplos de otras filas. Esto significa que cuando triangules
la matriz no te va a quedar ninguna fila nula (o sea, todos ceros). Para que termine de
cerrar el concepto sin demostraciones complicadas, veámoslo con este ejemplito:
1 1 1 3
1 5 2 8
1 13 4 18
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

64. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 54 -
Si mirás fijo el problema te vas a dar cuenta de que la fila 3 es el resultado de la
siguiente operación: 2 F1 – 3 F2, es decir, 2 veces la fila 1 menos 3 veces la fila 2
( verificalo !!! ). Si ahora te ponés a triangular el sistema con Gauss, vas a ver que la
última fila te va a quedar 0 = 0. Si no me creés, fijate esto: Pongo un cero en el
primer lugar de la fila 2 haciendo: F2 – F1:
Ahora pongo un cero en el primer lugar de la fila 3 sumando F1 y F2:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−− 15
5
3
3120
140
111
Fijate que la fila 3 es (-3) veces la fila 2. Si todavía no lo ves hacé esta cuenta para
poner un cero en el segundo lugar de la fila 3: 3F2 + F3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
5
3
000
140
111
Entonces el sistema original no era linealmente independiente. Decimos que es un
sistema linealmente dependiente ( L.d.). Para expresar la solución cuando un
sistema te queda indeterminado, tenés que elegir una o más variables como
parámetros, y escribir el resto en función de estas. La cantidad de parámetros que
vas a usar para expresar las demás variables tiene que ser igual a:
Cantidad de parámetros total – cantidad de ecuaciones no nulas
En este caso eso se reduce a 3 – 2 = 1.
En cambio, el sistema (1) es linealmente independiente . Podés comprobarlo después
de operar con el método de Gauss y llegar al sistema equivalente (2) .
1 1 1 3
0 4 1 5
1 13 4 18
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠

65. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 55 -
OPERACIONES ENTRE MATRICES
Así como los vectores, las matrices se suman y se multiplican. Suena lógico, no?
Ya vimos que los vectores pueden pensarse como matrices fila o columna. Entonces,
veamos cómo se opera entre matrices.
SUMA y RESTA:
Viste que para sumar vectores necesitas que tengan la misma dimensión. O sea, no
podés sumar un vector de dimensión 2 con uno de dimensión 3, por ejemplo, (2, 7) +
(3, -9, -4) no es una operación válida.
Consideremos dos matrices A, B con las mismas dimensiones. No importa que sean
cuadradas o rectangulares, sólo importa que tengan la misma dimensión.
Supongamos:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
45
82
A y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
69
207
B
La suma A + B es:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−+
+−+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=+
64)9(5
208)7(2
69
207
45
82
BA
Es decir: suma de matrices de las mismas dimensiones, es la aplicación que asocia a
cada par de matrices otra matriz de las mismas dimensiones cuyos elementos se
obtienen sumando término a término los elementos correspondientes en dichas
matrices. Y esto da:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=+
24
285
BA
Propiedades de la suma de matrices:
Dadas A, B y C tres matrices de m x n, se cumplen las siguientes propiedades:
1- A + 0 = A
2- 0A = 0
3- A + B = B + A
4- (A + B ) + C = A + ( B + C )
MULTIPLICACION
Ahora vamos a ver cómo multiplicar matrices. Para que se puedan multiplicar dos
matrices, preciso que el número de columnas de la primera es igual al número de filas
de la segunda matriz.
Para que te quede más claro veámoslo con un ejemplo :

66. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 56 -
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
654
321
A y
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1674
1310
4211
B
¿ Ahora, qué hacemos con esto ? Gráficamente, la cosa es así:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++++++
++++++++
=×
)1*6()1*5()4*4()6*6()3*5()2*4()7*6()1*5()1*4()4*6()0*5()1*4(
)1*3()1*2()4*1()6*3()3*2()2*1()7*3()1*2()1*1()4*3()0*2()1*1(
BA
O sea, en el primer lugar de la fila 1 de la matriz producto pongo la suma de lo
siguiente:
(el lugar 1 de la fila 1 de A por el lugar 1 de la columna 1 de B) +
(el lugar 2 de la fila 1 de A por el lugar 2 de la columna 1 de B) +
(el lugar 3 de la fila 1 de A por el lugar 3 de la columna 1 de B) +
En el segundo lugar de la fila 1 de la matriz producto pongo:
(el lugar 1 de la fila 1 de A por el lugar 1 de la columna 2 de B) +
(el lugar 2 de la fila 1 de A por el lugar 2 de la columna 2 de B) +
(el lugar 3 de la fila 1 de A por el lugar 3 de la columna 2 de B) +
Y así sucesivamente, como vas a darte cuenta siguiendo las cuentas de la matriz
producto. O sea, lo que hacés es tomar cada fila de A con cada columna de B y hacer
el producto escalar entre ambas. Siempre controlá las dimensiones del resultado para
quedarte tranquilo/a, en este caso, como A es de 2 x 3 y B es de 3 x 4, el resultado
te queda de 2 x 4.
Es más complicado escribirlo que la cuenta en sí, no te preocupes. Con un par de
ejercicios de multiplicación de matrices todo va a quedar realmente claro. Pero, seguí
las cuentas que hice arriba para tener el detalle.
Propiedades de la multiplicación:
1-Es asociativa: (A . B) . C = A . ( B . C )
para mostrar un ejemplo Sean A, B y C 3 matrices de 2 x 2 :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
23
41
A ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
12
15
B y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
41
02
C
Veamos cuánto da el producto A.B:

67. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 57 -
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++−
−++−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
111
33
)2*1()1*3()2*2()3*5(
)4*1()1*1()2*4()1*5(
12
15
23
41
.BA
Y multipliquemos el resultado por C:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+−
−+−+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
421
123
)4*1()0*11()1*1()2*11(
)4*3()0*3()1*3()2*3(
41
02
111
33
)..( CBA
Ahora veamos el producto B.C:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+
+−+−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=
43
49
)4*1()0*2()1*1()2*2(
)4*1()0*5()1*1()2*5(
41
02
12
15
.CB
Y multipliquemos por A a la izquierda:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++−
−++−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
421
123
)2*4()4*3()3*2()3*9(
)4*4()4*1()3*4()1*9(
43
49
23
41
)..( CBA
Y quedo demostrado que la multiplicación de matrices es asociativa.
2-Es distributiva: A (B + C) = A B + A C
Veamos la suma B + C:
Ahora multipliquemos A por la izquierda:
Ahora veamos el producto A.C:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
88
166
)4*2()0*3()1*2()2*3(
)4*4()0*1()1*4()2*1(
41
02
23
41
.CA
Y sumémosle lo que nos dio A.B más arriba:
5 1 2 0 5 2 1 0 3 1
2 1 1 4 2 1 1 4 3 3
B C
− − + + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− + − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 4 3 1 ( 3*1) (4*3) (1*1) (3*4) 9 13
.( )
3 2 3 3 ( 3*3) (2*3) (3*1) (3*2) 3 9
A B C
− − + +⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− + + −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 3 6 16 3 6 3 16 9 13
. .
11 1 8 8 11 8 1 8 3 9
A B AC
− + − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − + + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

68. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 58 -
Y quedó demostrado que la multiplicación es distributiva. Pero ojo, no es
conmutativa !!!!!!!! Mira lo que pasa con los productos A.C y C.A:
A.C ya lo tenemos. Calculemos C.A.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1213
82
2*4())4*1()3*4()1*1(
)2*0()4*2()3*0()1*2(
23
41
41
02
.AC
Y A.C daba:
Así que ya quedo demostrado que no es conmutativa. Sin embargo, para algunas
matrices particulares si se cumple, pero esto no ocurre siempre, así que ojo con esto !
INVERSA DE UNA MATRIZ
Primero unas definiciones. Para poder definir inversa es preciso aclarar que sólo
podemos calcularla si la matriz es cuadrada, sino, no. Sea entonces A una matriz de n
x n y sea B su inversa. A y B verifican que:
A. B = B. A = I
Donde I es la matriz identidad de dimensión n x n, y como te darás cuenta en este
caso la multiplicación de A. B es conmutativa, ya que A. B = B. A.
El tema es que no siempre es posible calcular la inversa, pero esto ya lo vamos a ver
más adelante, cuando estudiemos determinantes. La cosa es que si existe, B es única
y por notación escribimos: A-1
como la inversa de A.
¿ Cómo obtener la matriz inversa de A ?
Para obtener la inversa trabajamos en 2 etapas. Para verlo claramente, usemos la
siguiente matriz:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
51
32
A
Calculemos su inversa de esta forma:
El tema es triangular A por encima y por debajo de su diagonal principal de modo que
nos quede la identidad de 2 x 2 a la izquierda, y a la derecha, la matriz inversa de A.
Ojo, que si no te queda la identidad a la izquierda, significa que A no es inversible.
6 16
.
8 8
A C
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 3 1 0
1 5 0 1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

69. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 59 -
Parece complicado, pero no es tan terrible si la matriz no es enorme. El primer paso
es triangular por debajo, como hicimos cuando estudiamos el método de Gauss.
Hagámoslo ! Hago esta operación entre filas: L1 – 2 L2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−− 1*200*21
01
5*231*22
32
Y esto nos da:
Ahora triangulemos por encima de la diagonal. O sea, queremos poner un cero en lugar
del 3 que esta en la fila 1 y en la columna 2 de la matriz de la izquierda. Para eso,
hacemos esta cuenta: 7L1 + 3L2:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−++
−
−++
21
)3*2()0*7()1*3()1*7(
70
)3*7()3*7()0*3()2*7(
Esto da:
Ahora lo que queremos es dejar la identidad a la izquierda, así que vamos a dividir la
fila 1 de cada matriz por 14 y la fila 2 por -7:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−
−−− )7/(2)7/(1
14/614/10
)7/(7)7/(0
14/014/14
Y tenemos finalmente, simplificando cuando es posible:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
7/27/1
7/37/5
10
01
Siendo la matriz de la derecha, la inversa de A. Ahora verifiquemos que esté bien el
resultado ! Es re importante que siempre verifiques para estar tranquilo de que no
cometiste ningún error de cuentas. Es fácil tener errores pavos al hacer una doble
triangulación.
Para verificar, te alcanza con ver que A. A-1
= I, con I la matriz identidad de 2 x 2.
Mirá:
2 3 1 0
0 7 1 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
1 4 0 1 0 6
0 7 1 2
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
− −⎝ ⎠

70. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 60 -
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
+−−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−+
+−−+
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−
10
01
7/70
07/7
7/107/37/57/5
7/67/67/37/10
)7/2*5()7/3*1()7/1*5()7/5*1(
)7/2*3()7/3*2()7/1*3()7/5*2(
7/27/1
7/37/5
51
32
. 1
AA
Y entonces podemos decir que el resultado que tenemos para la inversa de A es
correcto, y no sólo eso: ES UNICO ! Esto es súper importante: SI EXISTE LA
INVERSA, ES ÚNICA, O SEA, SOLO HAY UNA MATRIZ A-1
QUE VERIFIQUE
QUE A.A-1
= I.
CONCLUSIONES:
Todas estas afirmaciones son equivalentes, y tenés que entenderlas y poder usarlas
indistintamente:
• A es inversible
• La solución del sistema Ax = b es única, cualquiera sea b. (O sea que la solución sea
única depende sólo de cómo es la matriz A)
• El sistema homogéneo Ax = 0 sólo admite la solución trivial: x = 0
Cuando veamos determinantes, vamos a poder imponer otro criterio para saber qué
tipo de sistema tenemos.
Fin de la teoría de Matrices y sistemas de ecuaciones. Vamos a los ejercicios.

71. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 61 -
EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES
El tema acá es no asustarse y mirar fijo el enunciado. Lo que tenemos acá es un
sistema del tipo Ax = x + b. Como lo que te piden es que encuentres todos los valores
de a real para que el sistema sea compatible, lo más práctico es que pongas todas las
"x" del mismo lado… al fin y al cabo, se trata de una ecuación matricial, así que, res-
petando las propiedades matriciales, lo podés manejar como una ecuación cualquiera.
Ax = x + b => Ax – x = b
Como te dije antes, usamos esta propiedad de la matriz identidad:
x = x * I = I * x
Entonces, hacemos:
Ax – x = b => Ax – Ix = b => (A - I) x = b
Y ahora el sistema que vamos a resolver es (A - I) x = b
Calculemos A – I:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
=−
3341
2011
0372
1512155
1000
0100
0010
0001
4341
2111
0362
1512156
IA
De manera general, para ver si un sistema es compatible hay dos maneras:
• Triangulando por Gauss
• Con el cálculo del determinante de (A - I)
Vamos a triangular por Gauss. Resolvamos:
1

72. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 62 -
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
−
−−
a
a
a
a
2
1
2
3341
2011
0372
1512155
=>
41
31
21
5
5
52
FF
FF
FF
−
−
−
=>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
+−
+
−− 24
211
93
2
0350
512200
3039650
1512155
a
a
a
a
Como 65 y 20 son múltiplos de 5, vamos a hacer el cambiazo de filas, y nos va a
quedar:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
+−
+
−−
93
211
24
2
3039650
512200
0350
1512155
a
a
a
a
=>
42
32
13
4
FF
FF
+
+
=>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
+−
+
−−
3555
105
24
2
30000
5000
0350
1512155
a
a
a
a
6 F3 – F4 =>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
+−
+
−−
2525
105
24
2
0000
5000
0350
1512155
a
a
a
a
Entonces, después de triangular toda la matriz, Se nos anuló una sola fila, la última.
Fijate bien que si a es distinto de -1, queda un absurdo del tipo "cero igual a algo
distinto de cero". De esta forma, concluimos que el único valor de a para el cual el
sistema es compatible es:
a = - 1
Como te piden que para alguno de los valores de a encontrados resuelvas el sistema,
reemplazamos por a = -1, que es el único valor de a tal que el sistema sea compatible.
Como ya tenemos la matriz triangulada, la cosa es sencilla:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
0
15
6
1
0000
5000
0350
1512155
De la tercera fila, queda: x4 = 3. En la segunda fila despejamos x2.en función de x3.
Esto nos da:
- 5 x2 = 6 + 3 x3 => 32
5
3
5
6
xx −−=

73. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 63 -
Y con los valores de x2 y x4 vamos a despejar x1 en función de x3
3334321 3263*1512
5
3
5
6
15115121515 xxxxxxx +−=−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=−−−=
De modo que 31
5
3
5
26
xx +−=
Conclusión: El conjunto de soluciones del sistema compatible para a = -1 es
infinito (hay una solución para cada valor de x3):
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+−= 0,1,
5
3
,
5
3
3,0,
5
6
,
5
26
3,,
5
3
5
6
,
5
3
5
26
3333 xxxxS
O sea, con a = -1 te queda un sistema compatible, pero como la solución te queda en
función de una de las variables, el sistema es indeterminado.
Acá te están pidiendo todos los valores de k tales que (0, 1, k, -1) sea una de las
infinitas soluciones del sistema.
Primero, veamos que (0, 1, k, -1) es efectivamente solución
Lo que hacemos es reemplazar la cuaterna (x1, x2, x3, x4) por (0, 1, k, -1) e igualar a b
= (7, -3, 3, -11). Nos queda el siguiente sistemita:
0 + 6 – (-1) = 7 = 7
0 – k2
– (-1) = 1 – k2
= -3
0 + 4 + (-1) = 3 = 3
- 8 + (-3) = -11 = -11
Tres de las cuatros ecuaciones se verifican de manera trivial. Entonces nos queda
sólo por analizar la ecuación:
1 – k2
= -3 => 4 – k2
= 0 => (2 - k) (2 + k) = 0
Esto se cumple si y sólo si: k = 2 o k = -2

74. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 64 -
Entonces, hasta acá, recapitulemos: Encontramos dos valores de k tales que el vector
(0, 1, k, -1) sea solución del sistema planteado, o sea, para otros valores de k distintos
de 2 o de -2 este vector no va a verificar las 4 ecuaciones.
Veamos que (0, 1, k, -1) es sólo una de las INFINITAS soluciones
Ahora, el enunciado dice: " hallar todos los valores de k tales que (0, 1, k, -1) ES
UNA DE LAS INFINITAS SOLUCIONES ". Entonces, tenemos que ver que tipo de
sistema nos queda para cada uno de los dos únicos valores de k obtenidos. Así que
manos a la obra.
Vamos a reemplazar por los valores de k en el sistema y vamos a triangularlo. Si nos
quedan una o más filas como combinación lineal de otras filas, entonces el sistema
tendrá infinitas soluciones (que es lo que estamos buscando). En cambio, si el sistema
es linealmente independiente, (0, 1, k, -1) será la única solución posible. Primero
escribamos el sistema en forma matricial, como lo hicimos anteriormente:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−
−
11
3
3
7
3080
104
103
1061
k
k
Empecemos reemplazando por k = -2 y triangulemos. Te dejo a vos ver qué
operaciones entre filas uso, pero es bastante evidente de todos modos:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
11
3
3
7
3080
1042
1203
1061
=>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
−
11
17
24
7
3080
10160
22180
1061
Intercambio las filas 2 y 4 y sigo triangulando:
=>
Ya no vale la pena seguir adelante con la triangulación. Claramente el sistema es
linealmente independiente, ya que ninguna de sus filas puede ser obtenida como
1 6 0 1 7
0 8 0 3 11
0 16 0 1 17
0 18 2 2 24
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟−
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1 6 0 1 7
0 8 0 3 11
0 0 0 5 5
0 18 2 2 24
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
− −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

75. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 65 -
combinación lineal de otra/s. Fijate que F1, F2 y F3 son L. i. y además F2 y F4 también
lo son, así que por carácter transitivo, el sistema es L. i. para k = - 2.
Ahora reemplacemos por k = 2 y triangulemos:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−−
−
11
3
3
7
3080
1042
1203
1061
=>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
11
11
24
7
3080
3080
22180
1061
Acá ya podemos parar un cachito, porque es trivial que F4 = ( -1 ) F3. Así que con k = 2
obtenemos un sistema de infinitas soluciones
Resolución del sistema:
Ahora, y por último, nos piden que resolvamos el sistema para alguno de los k hallados
(o sea, para el único en este caso).
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0
3
24
7
0000
19800
22180
1061
Elijo poner todo en función de x4. Me queda:
8x3 = - 3 – 19 x4 => 43
8
19
8
3
xx −−=
Asimismo:
( )
4
44
43
2
8
3
8
11
18
2
8
19
8
3
224
18
2224
x
xx
xx
x +=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−
=
+−
=
Y finalmente:
Conclusión: Las infinitas soluciones del sistema con k = 2 se pueden escribir
según:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+−−= 4444 ,
8
19
8
3
,
8
3
8
11
,
4
5
4
5
xxxxS
Que también puede expresarse según:
1 2 4 4 4 4
11 3 5 5
x 7 6x x 7 6 x x x
8 8 4 4
⎛ ⎞
= − + = − + + = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠

76. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 66 -
Fijate que el ejercicio es bastante fácil. Lo más importante es saber por dónde vas a
empezar y hacia donde tenés que ir, antes de comenzar a resolver… tenés que
tener en claro el plan del trabajo a realizar.
En este problema el razonamiento es similar al del ejercicio anterior, así que sólo te
pongo las cuentas claves y listo.
Si (1, 1, 1, -1) es solución, entonces tenemos el sistema S1:
1 + a2
+ 5 a -1 = - a2
+ 3
1 + 2 - b = 9
2 + 9 - 13 + 5 = 3
Si (3, 4, 3, 0) es solución, entonces tenemos el sistema S2:
3 + 4 a2
+ 15 a + 0 = -a2
+ 3
3 + 6 + 0 = 9
6 + 36 -39 + 0 = 3
De S1 tenemos que b debe ser tal que:
1 + 2 – b = 9 => b = -6
Además, de S1 nos queda:
1 + a2
+ 5 a -1 + a2
– 3 = 0 => 2 a2
+ 5 a – 3 = 0
Y resolviendo la cuadrática en a nos quedan estos dos valores posibles:
3a = −
1
2
a =
4
5 11 3 5 3 19
S , , , 0 , , ,1 x
4 8 8 4 8 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3

77. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 67 -
Por otro lado, de S2 tenemos que:
3 + 4 a2
+ 15 a + a2
– 3 = 0 => 5 a2
+15 a = 0
De donde sacamos que: a= -3 o a = 0
Por lo tanto, para satisfacer ambos sistemas S1 y S2 de modo tal que ambos
vectores (1, 1, 1, -1) y (3, 4, 3, 0) sean soluciones sólo puede ser el valor de
a común a S1 y S2: a = -3
Ahora, para a = -3 y b = -7, resolvemos el problema:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
−−
−
−
3
9
6
51392
6201
11591
=>
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
15
15
6
71790
71790
11591
Fijate que la fila 3 es igual a la fila 2, así que nos quedan 2 parámetros libres. Elijo
arbitrariamente a x3 y a x4 y despejo:
( )432 71715
9
1
xxx −+−=
434343
43434321
62915)71715(6
15)71715(
9
1
*961596
xxxxxx
xxxxxxxx
+−=−+−+−−−=
−+−+−−−=−+−−=
De modo que la solución a nuestro problema se puede escribir como:
O, lo que es lo mismo,
43 1,0,
9
7
,60,1,
9
17
,20,0,
3
5
,9 xxS ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
( )3 4 3 4 3 4
1
9 2 6 , 15 17 7 , ,
9
S x x x x x x
⎛ ⎞
= − + − + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
4

78. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 68 -
Nos piden encontrar una solución de Ax = b que también lo sea de Bx = b. O sea, lo
que tenemos que hacer es buscar la intersección de los conjuntos solución de ambos
sistemas lineales. El conjunto solución SA de Ax = b es un dato del problema. El
conjunto solución SB de Bx = b es desconocido por el momento, pero nos dan dos
soluciones particulares de este sistema, así que no es tan complicado calcularlo. En lo
único que tenés que tener cuidado es en lo que te explico a continuación. Estamos en
R3
, de modo que podemos tener las siguientes soluciones en un tal espacio vectorial:
• un punto
• una recta
• un plano
Como el enunciado nos da 2 puntos que verifican Bx = b, entonces, sabemos que como
mínimo el conjunto de soluciones será una recta, y como máximo, un plano. Como igual
lo que nos interesa es ver la intersección de SA y de SB, y además, cualquier recta que
una dos puntos que pertenecen a un plano cualquiera está también incluida en dicho
plano. Es decir que si encontramos la recta que une a los puntos dados por el
enunciado, podemos asegurar que esta recta pertenece a SB.
Podemos calcular la pendiente de esta recta LB restando los puntos dados:
(3, 0, -2) – (0, 3, -5) = (3, -3, 3)
Además, como ambos puntos pertenecen a la recta, podemos escribir la ecuación de
LB como:
LB : β (3, -3, 3) + (3, 0, -2)
Ahora la cosa ya es sencillita: buscamos la intersección de LB y la recta solución de
Ax = b, LA, cuya ecuación es dato, como ya dijimos antes:
LA: λ (1, 1, -2) + (-2, -1, 2)
Te acordás cómo hacíamos esto? Igualábamos ambas ecuaciones componente a
componente y hallábamos los parámetros desconocidos.
3 β + 3 = λ - 2
-3 β = λ - 1
3 β – 2 = -2 λ + 2
Restando la tercera ecuación a la primera, eliminamos β y obtenemos:
5 = 3 λ - 4 => λ = 3
De la segunda ecuación obtenemos: β = - 2/3. Reemplazando λ en la ecuación de LA

79. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 69 -
obtenemos:
3 (1, 1, -2) + (-2, -1, 2) = (1, 2, -4)
Fijate que da lo mismo que reemplaces λ en la ecuación de LA o β en la ecuación de LB.
Si esto no te convence, hacé la cuenta para comprobarlo.
Conclusión: El punto que pertenece simultáneamente a ambos conjuntos de
soluciones, SA Y SB es: ( 1, 2, -4 ).
Este problema es muy similar a los primeros que resolvimos. Es incluso un poco más
sencillo, porque tiene menos cuentas. Como te piden que ( 1, 0, 1, 2 ) sea solución del
sistema, metemos esto en las ecuaciones y resolvemos:
2 + 0 + 1 + 0 = 3
1 - 0 + 3 – 2 = 2
2 a + 0 + 7 – 4 = 7
1 + 0 – a + 2 = b
De la tercera ecuación obtenemos a: 2 a = 7 – 7 + 4 => a = 2. Metiendo este valor
en la cuarta ecuación, obtenemos b:
1 – 2 + 2 = b => b = 1
Y para estos valores de a y b, nos piden que resolvamos el sistema, así que al igual que
antes, vamos a triangular…
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
1
7
2
3
1231
2704
1311
0122
=>
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
−
−
1
1
1
3
2540
2540
1140
0122
La fila 4 es múltiplo de la fila 3, entonces, ni vale la pena seguir con esa fila.
5

80. ASIMOV Sistemas lineales - Matrices- 70 -
Me alcanza con hacer una operación más y chau.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0
0
1
3
0000
1400
1140
0122
Me quedará un parámetro libre únicamente. Elijo que sea x3. Entonces:
x4 = 4x3
333432
4
3
4
1
)41(
4
1
)1(
4
1
xxxxxx −−=−+−=−+−=
Y por último,
( ) 333321
4
1
4
7
4
3
4
1
23
2
1
23
2
1
xxxxxx +=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=−−=
Conclusión: El conjunto de soluciones del sistema, para a = 2 y b = 1 puede
escribirse como:
33333 4,1,
4
3
,
4
1
0,0,
4
1
,
4
7
4,,
4
3
4
1
,
4
1
4
7
xxxxxS ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+=
FIN MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

81. ASIMOV DETERMINANTES- 71 -
DETERMINANTES
INTRODUCCION
En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede
hacer de muchas formas. La definición que daremos nos permite obtener un
procedimiento relativamente fácil para el cálculo de determinantes, parte de la
teoría de determinantes envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán
expuestos. Así que asumiremos sin prueba aquellos resultados que caen dentro de
esta categoría. El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden
n, un único número real llamado el determinante de la matriz.
DEFINICIONES Y DEMAS YERBAS:
Primero lo primero: SOLO ES POSIBLE PENSAR EN CALCULAR UN
DETERMINANTE SI LA MATRIZ ES CUADRADA, SI NO, NO.
Entonces, a partir de esto comencemos…
Dada una matriz cuadrada cualquiera A, el DETERMINANTE es una operación que
se realiza sobre matrices cuadradas cuyo resultado es un número real. Para enten-
der su definición consideremos previamente algunos conceptos.
PERMUTACIÓN DE UN CONJUNTO DE N DATOS
Consideremos un ejemplo concreto. Sean 3 números cualesquiera, {1, 2, 3}, se
entiende por permutación de esos 3 números a las distintas formas que tenemos de
ordenar ese conjunto. De esta forma podemos decir que este conjunto tiene las
siguientes permutaciones:
{1,2,3}, {1,3,2},{2,3,1}, {2,1,3}, {3,1,2}, {3,2,1}
Es decir un total de 6 permutaciones, número que coincide con 3 ! ( Tres factorial ).
En general si tenemos un total de n-elementos y deseamos obtener todas las
permutaciones que podemos obtener al ordenar esos n-elementos, podremos
conseguir un total de n ! permutaciones.
TRASPOSICIÓN DE UNA PERMUTACIÓN
Una trasposición de una permutación es el cambio de orden entre dos elementos de
una permutación, así por ejemplo si pasamos de la permutación { 1, 3, 2 } a la permu-
tación { 1, 2, 3 } hemos realizado una trasposición pues hemos intercambiado los
lugares del 2 y 3.

82. ASIMOV DETERMINANTES- 72 -
En este terreno suele resultar conveniente obtener el número de trasposiciones
necesarios para reordenar una permutación cualquiera y transformarla en la
permutación inicial { 1, 2,...., n }. Veamos esto con un ejemplo.
Las siguientes permutaciones requieren los siguientes cambios:
{3, 2, 1} -> {1, 2, 3} 1 sola trasposición
{2, 3, 1} -> {1, 3, 2} 2 trasposiciones: cambio 1 por 2 -> {1, 2, 3} y el 2
por el 3.
A partir de estos conceptos, podemos llegar a la definición de determinante. Fijate:
DEFINICIÓN DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define el determinante de A y se suele
denotar por |A| o bien det(A) a la suma de los n ! productos (con el signo que
corresponde al número de permutaciones) formados por n-factores que se obtienen
al multiplicar n-elementos de la matriz de tal forma que cada producto contenga un
solo elemento de cada fila y columna de A. En forma analítica:
dónde:
• (j1, j2,..., jn) es una de las n ! permutaciones del conjunto { 1,2,...., n }.
• sk es el número de trasposiciones requeridos para reordenar la permutación
{j1, j2,..., jn} en el orden de {1, 2,..., n}.
De este modo, si sk es un número par, (-1) sk
es igual a 1 y decimos que la
permutación es PAR, mientras que si sk es un número impar, (-1) sk
es igual a -
1, y decimos que la permutación es IMPAR.
Ahora vamos a ver un par de ejemplillios para que todo te quede más claro, porque
con el choclo de acá arriba todo parece más complicado de lo que realmente es.
Veamos cómo se calcula el determinante de una matriz de 2 x 2:
Sea A la matriz tal que:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
18
23
A
Todas las posibles permutaciones de {1, 2} son:
{1, 2} que es permutación par, signo + y {2, 1} que es permutación impar, signo -
1 2 3
!
1 2 3
1
det( ) ( 1) ....k
n
n
s
j j j nj
k
A A a a a a
=
= = −∑

83. ASIMOV DETERMINANTES- 73 -
Entonces, el determinante de A es:
( ) 198*)2(*)1(1*3)1(1)det( 2112
1
2211
2
=−−+=−+−== aaaaAA
Dónde el primer producto corresponde a la permutación par con 0 trasposiciones:
{1, 2} -> {2, 1}, mientras que el segundo producto corresponde a la permutación
impar: {1, 2} -> {2, 1}
Veamos cómo se calcula el determinante de una matriz de 3 x 3:
Sea A la matriz tal que:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
116
250
131
A
Las permutaciones posibles en este caso son 3! = 3 x 2 x 1 = 6, y son las siguientes:
{1, 2, 3} -> permutación par -> signo +
{1, 3, 2} -> permutación impar -> signo -
{2, 1, 3} -> permutación impar -> signo -
{2, 3, 1} -> permutación impar -> signo -
{3, 1, 2} -> permutación impar -> signo -
{3, 2, 1} -> permutación par -> signo +
Entonces el determinante de A es:
Y reemplazando por los valores de los coeficientes, tenemos:
Y mirá esto: cada uno de los productos involucrados en el cálculo de det(A) se
llaman productos elementales. Llamamos producto elemental al producto de
n elementos de la matriz en cuestión, sin que dos de ellos, cualesquiera sean,
provengan de una misma fila ni de una misma columna. Comprobalo así te
convencés.
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31det( )A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a= = + − − − − +
1* 5 *1 1* 2 *1 ( 3) * 0 *1 ( 3) * 2 * ( 6) 1* 0 *1 1* 5 * ( 6)
5 2 0 36 0 30 63
A = − − − − − − − + −
= − + − + − = −

84. ASIMOV DETERMINANTES- 74 -
ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES ( Ver )
1- Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se
descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos
determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos,
respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
2- Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un
número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k det (L1, L2, L3...)
Asimismo, si se multiplican a todos los elementos de A por un número, el
determinante es:
det (kA) = kn
x det (A)
3- Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) x det (B)
4- Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante
cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = - det (L2, L1, L3...)
5- Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su
determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0
6- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale
cero.
det (L1, L1, L3...) = 0
7- Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su
determinante se anula.
det (L1, k·L1, L3...) = 0
8- Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de algunas de
las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.

85. ASIMOV DETERMINANTES- 75 -
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
9- Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante
no varía.
det (F1 + F2, F2) = det (F1, F2) + det (F2, F2) = det (F1, F2)
10- Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por
un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) =
det (L1, L2, L3...) + 0
11- Si A es una matriz de n x n, y B es la matriz traspuesta de A, entonces:
det (A) = det (B)
12- Si el determinante de una matriz A es distinto de cero, entonces la matriz es
inversible y viceversa.
13- Si A es inversible, y su inversa es B, entonces se cumple que:
)det(
1
)det(
A
B =
DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR COFACTORES
Antes de definir el determinante por cofactores de una matriz, tenemos que
definir otros conceptos.
Menor de un elemento:
Sea una matriz cuadrada n x n. Llamaremos menor del elemento aij (fila i, columna
j) de A, y lo denotaremos Mij al determinante de la submatriz resultante de
eliminar la fila i y la columna j donde se encuentra el elemento.
Veamos un ejemplo. Sea A la matriz tal que:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
13
12
A
Veamos los menores asociados a cada uno de los elementos de esta matriz:

86. ASIMOV DETERMINANTES- 76 -
El menor asociado al elemento a11 = 2 es M11 = det(1) = 1
El menor asociado al elemento a12 = -1 es M12 = det(3) = 3
El menor asociado al elemento a21 = 3 es M21 = det(-1) = -1
El menor asociado al elemento a22 = 1 es M22 = det(2) = 2
Cofactor asociado a un elemento:
El cofactor cij asociado al elemento aij de A está dado por.
ij
ji
ij Mc +
−= )1(
Ahora, veamos los cofactores asociados a cada uno de los 4 elementos que vimos
hace un ratito.
El cofactor asociado al elemento a11 = 2 es c11 = (-1)1+1
M11 = (-1)2
* 1 = 1
El cofactor asociado al elemento a12 = -1 es c12 = (-1)1+2
M12 = (-1)3
* 3 = -3
El cofactor asociado al elemento a21 = 3 es c21 = (-1)2+1
M21 = (-1)3
* (-1) = 1
El cofactor asociado al elemento a22 = 1 es c22 = (-1)2+2
M22 = (-1)4
* 2 = 2
Cálculo del determinante de una matriz usando cofactores
Para calcular el determinante mediante cofactores, multiplicamos los elementos de
cualquier fila (o columna) por sus cofactores, y sumamos los productos que resulten.
O sea, la formulita que tenés que aplicar cada vez que uses este método con una
matriz A de i filas y j columnas es:
Esto es el determinante desarrollando cofactores por la j-ésima columna.
Desarrollando cofactores por la i-ésima fila, tenés esto:
NOTA: Fijate que vas a ir usando el método de cofactores hasta que los Mij
sean de orden 2 x 2, y recién ahí usás que
bcad
dc
ba
A −==
Ahora veamos como se calcula det(A)
Siendo A una matriz de 3 x 3 tal que:
1 1 2 2det( ) ...j j j j nj njA a C a C a C= + + +
1 1 2 2det( ) ...i i i i in inA a C a C a C= + + +
1 2 1
0 3 1
2 1 4
A
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

87. ASIMOV DETERMINANTES- 77 -
Antes de largarte a calcular a lo bestia, te conviene mirar fijo la matriz para ver
por donde te conviene desarrollar los cofactores:
* por fila o por columna
y * por cual de las filas o por cual de las columnas
El tema es este: si tenés una fila o una columna con más ceros que otra, te va a
convenir desarrollar los cofactores por esa línea, ya que te vas a ahorrar el cálculo
de uno o más menores. De hecho, sólo vas a calcular los Cij que correspondan a los aij
no nulos. Cuando la matriz es de orden 2 x 2, está todo bien y ni vale la pena usar
cofactores, pero si tenés una matriz de orden 3 x 3 o mayor es un alivio ahorrar
cuentas. Ojo, puede haber más de una opción igualmente buena.
Entonces, para la matriz dada acá arriba lo mejor es desarrollar cofactores por la
columna 1 o por la fila 2, ya que en el lugar a21 tenemos un 0.
Lo vamos a calcular de las dos formas.
1) Desarrollo de cofactores por la columna 1 de la matriz A:
Desarrollando por la columna 1 tenemos:
Det(A) = a11c11 + a21c21 + a31c31
La cosa funciona así: Me paro en el elemento a11 y elimino la primera fila y la primera
columna de A, y calculo el menor asociado, M11
111121*14*3
41
13
11 =−=−==M
Como el elemento a21 es 0, ni me gasto en calcular el menor M21. Me paro en el
elemento a31 y elimino la tercera fila y la primera columna de A y calculo el menor
asociado, M31
532)1(*31*2
13
12
31 =+=−−=
−
=M
Así que el determinante de A es:
Det(A) = 1 * C11 + 2 * C31 = 1 * (-1)1+1
* 11 + 2 * (-1)1+3
*5 = 11 + 10 = 21
2) Desarrollo de cofactores por la fila 2 de la matriz A:
Desarrollando por la fila 2 tenemos:

88. ASIMOV DETERMINANTES- 78 -
Det(A) = a21c21 + a22c22 + a23c23
Como a21 = 0, nos queda:
Det(A) = a22c22 + a23c23
Me paro en el elemento a22 y elimino la segunda fila y la segunda columna de A, y
calculo el menor M22
Ahora me paro en el elemento a31 y elimino la segunda fila y la tercera columna de
A, y calculo M23
3412*21*1
12
21
23 −=−=−==M
Entonces, el determinante de A es:
Det(A) = 3 * (-1)2+2
* M22 + 1 * (-1)2+3
* M23 = 3 * 1 * 6 + 1 * (-1) * (-3) = 21
De modo que comprobamos que da lo mismo por dónde desarrolles los cofactores.
Lo importante es simplificar al máximo los cálculos.
REGLA DE CRAMER
El método de Gauss que vimos en el capítulo de matrices es sencillo y eficaz para
resolver un sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, tiene un inconveniente. Si
de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de
Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran
todas ellas.
La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de
las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, cualquiera de las
incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Entonces, para poder usar la regla
de Cramer, pedimos que el sistema sea compatible determinado, o sea, que tenga
solución única. Primero veamos un par de conceptos, algunos ya conocidos, pero
vistos desde otro ángulo.
1) Matriz de cofactores y matriz adjunta de A:
Habíamos visto que el cofactor del elemento aij de una matriz A n x n, denotado cij ,
está definido como:
22
1 1
1*4 ( 1)*2 4 2 6
2 4
M
−
= = − − = + =

89. ASIMOV DETERMINANTES- 79 -
ij
ji
ij Mc +
−= )1(
Reemplazando los elementos aij de una matriz A por sus cofactores, se obtiene la
matriz de cofactores de A, denotada por cof(A). De este modo tenemos:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
Acof
...
............
...
...
)(
21
22221
11211
Asimismo, la matriz adjunta adj(A) es la traspuesta de la matriz de cofactores:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
Aadj
...
............
...
...
)(
21
22212
12111
Seguro que ahora no le ves utilidad a esas definiciones, pero vas a ver que estos
conceptos serán necesarios a la hora de usar la regla de Cramer.
2) Solución única y determinantes: ¿cómo se relacionan estos conceptos?
Ahora te voy a contar qué tiene que ver el determinante con que un sistema tenga o
no solución única.
Cuando vimos matrices, te conté que para que un sistema tenga solución única, tenía
que pasar alguna de estas 3 cosas:
• A es inversible
• La solución del sistema Ax = b es única, cualquiera sea b. (O sea que la
solución sea única depende sólo de cómo es la matriz A)
• El sistema homogéneo Ax = 0 sólo admite la solución trivial: x = 0
Ahora vamos a introducir una nueva forma de determinar rápidamente si el sistema
es compatible determinado o no lo es.
Te voy a hacer una mini demostración, sólo para que te convenzas de lo que te digo,
y además, porque de paso vemos un truquito sencillo y bastante piola que te puede
servir para resolver algunos ejercicios. Aquí vamos…
Suponete que tenés este sistema:
Ax = b

90. ASIMOV DETERMINANTES- 80 -
Donde:
• A matriz cuadrada, para poder calcularle el determinante.
• x vector de incógnitas que solíamos calcular usando Gauss
• b, el vector de términos independientes.
Para ver si A es inversible sin calcular su inversa la cosa es simple:
Sabemos que vale siempre que A sea cuadrada que:
A. A-1
= A-1
. A = I
También sabemos que det(A.B) = det(A). det(B). Entonces tenemos:
111
=== −−
IAAAA
Si det(A) es distinto de cero, despejemos det(A-1
).
A
A
11
=−
Como supusimos que det(A) es no nulo, entonces exite el determinante de A-1
, y
obviamente, si existe el determinante de A-1
es porque existe A-1
.
O sea, pudimos determinar si la matriz posee inversa sin siquiera calcularla,
usando sólo el determinante de A.
Ahora bien, cómo conectamos todo esto con lo primero que te dije, lo de encontrar
la solución única sin usar Gauss. De Ax = b, tenemos que, si A es inversible, podemos
usar este truco:
A-1
Ax = A-1
b => x = A-1
b
Entonces, no sólo hallamos el valor del vector incógnita x, sino que además
comprobamos que este es único, ya que A-1
y b también lo son. Aparte, fijate
que multipliqué por A-1
por izquierda a ambos lados… acordate que la multiplicación
de matrices no es conmutativa.
3) Y por fin, la famosa regla de Cramer
Primero voy a enunciar la regla y después te voy a contar bien para qué sirve.
Regla de Cramer: Tenemos A de n x n. Sea Ax = b un sistema de n ecuaciones
con n incógnitas tal que det(A) sea distinto de 0, es decir, tal que la solución
sea única. Entonces, podemos decir que la solución del sistema es (x1, x2, …,xn)
donde definimos:

91. ASIMOV DETERMINANTES- 81 -
A
A
x
j
j =
Con xj la componente j-ésima del vector solución, y Aj la matriz que se obtiene
al reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b.
O sea, el valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo
numerador es un determinante que se obtiene al reemplazar la columna j por la
columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador es det(A).
No voy a hacer la demostración, pero vamos a ver un ejemplo así esto te termina de
cerrar. Resolvamos el siguiente sistema Ax = b según Cramer:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
2
1
4
112
311
121
3
2
1
x
x
x
Calculemos primero det(A) desarrollando cofactores por la columna 1, dado que lo
vamos a necesitar para el cálculo de cada xj.
112
311
121
−
−−
−
=A
Y acomodando esto da:
71012)det( =+−−=A
Ahora sí, calculemos el valor de x1:
( )
7
3
7
)16(*2)12(*131*4
7
112
311
124
1
1 =
−++−−−
=
−
−
−
==
A
A
x
Donde desarrollé |A1| por cofactores por la primera columna de A1.
Del mismo modo, calculamos el valor de x2:
( )1 1 2 1 3 1
1*( 1) * 1*1 ( 1)*( 3) 1*( 1) *( 2*1 ( 1)*1) 2*( 1) *( 2*( 3) 1*1)A + + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − − + − − − − − + − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

92. ASIMOV DETERMINANTES- 82 -
7
17
7
)22(*1)61(*4)61(*1
7
122
311
141
2
2
−
=
−−++−−+
=
−−
==
A
A
x
Donde desarrollé |A2| por cofactores por la primera fila de A2.
Finalmente, calculemos x3
7
9
7
)41(*1)82(*1)44(*1
7
212
111
421
3
3
−
=
+−−−++−
=
−
−
−
==
A
A
x
Donde calculé por cofactores en la segunda fila de A3… atención con los signos eh !!!
Te recomiendo que pruebes seguir las cuentas
Entonces, finalmente resolvimos el problema Ax = b, y podemos decir que el vector
solución es: ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
7
9
,
7
17
,
7
3
.
Entonces, recapitulando: Cramer es super práctico cuando sólo necesitás
calcular alguna incógnita, porque no tenés que triangular todo el sistema para
por fin llegar a la variable deseada. El tema es que te obliga a calcular dos
determinantes: el de A y el de Aj para la j-ésima componente.
AHORA… UN EJERCICIO DE PARCIAL
Este problema ya lo resolvimos en el capítulo de “Sistemas Lineales y Matrices”.

93. ASIMOV DETERMINANTES- 83 -
Ahora vamos a resolverlo desde otro punto de vista, usando una nueva herramienta:
el DETERMINANTE.
La primera parte del ejercicio se resuelve igual que en el capítulo anterior, así que
no lo voy a hacer ahora. Sólo te pongo el resultado al que llegamos: Los valores de k
tales que (0, 1, k, -1) sea una solución del sistema son:
k = - 2 o k = 2
Acordate que para ver esto, agarrábamos y reemplazábamos (0, 1, k, -1) en las
ecuaciones, y resolvíamos la ecuación que nos quedaba para k (quedaba una
cuadrática de la forma (a + b) (a - b) = 0). Ahora, en lugar de triangular el sistema
para cada valor de k y ver si queda l. i. o l. d., vamos a calcular el determinante y ver
si se anula o no. La matriz asociada al sistema queda así:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
3080
104
103
1061
k
k
A
Yo creo que lo más práctico es calcular det(A) en función de k y reemplazar al final,
porque de este modo, calculamos el determinante una sóla vez… acordate que
ahorrar en cuentas es ahorrar en tiempo durante un examen !
380
14
161
380
14
161
)1(*
3080
104
103
1061
52
−
−
×=
−
−
−−=
−
−−
−
= +
kkkk
k
k
A
Donde hice un desarrollo por cofactores por la tercera columna (porque tiene más
ceros y hago menos cuentas). Ahora desarrollo por cofactores por la primera
columna de la matriz de 3 x 3:
( ) ( )[ ] ( )kkkkA 1020818)8(121 −=−−−−=
Ahora, reemplazamos por los valores de k y vemos qué da para cada uno.
Si k = -2, queda:
Det(A) = -2 (20 – 10 * (-2)) = -2 * 40 = -80 ≠ 0
Entonces, si k = - 2, det(A) es distinto de cero, el sistema tiene solución única (que

94. ASIMOV DETERMINANTES- 84 -
claramente es la que da el enunciado: (0, 1, k, -1)). Si k = 2, queda:
Det(A) = 2 (20 – 10 * 2) = 2 * 0 = 0
De modo que el único valor de k tal que el sistema tenga infinitas soluciones
es k = 2
Ahora te piden que resuelvas el sistema para alguno de los k hallados tal que haya
infinitas soluciones. Como esto ya lo hicimos en el capítulo anterior, sólo te escribo
los resultados la solución. Sale triangulando A…
44444 1,
8
19
,
8
3
,
4
5
0,
8
3
,
8
11
,
4
5
,
8
19
8
3
,
8
3
8
11
,
4
5
4
5
xxxxxS ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+−−=
Observación:
Fijate que de todos modos, como te piden que resuelvas y halles la solución,
vas a tener que triangular, así que, a mi modo de ver te conviene ver qué pasa
para cada valor de k usando Gauss directamente y no el cálculo del
determinante. Claro, vos me vas a decir seguro; “En vez de usar Gauss, puedo
usar la regla de Cramer” para calcular (x1, x2, x3, x4).
Rta:No!!! Acordate de que Cramer sólo vale para matrices cuadradas, y a vos
TE ESTÁN PIDIENDO QUE DES LA SOLUCIÓN PARA EL VALOR DE k TAL
QUE EL SISTEMA TENGA INFINITAS SOLUCIONES. Ojo con esto!!!!
FIN DETERMINANTES

95. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 85 -
ESPACIOS VECTORIALES
- Hola !
Primero, antes de meternos con ochocientos mil teoremas y cuentas y fórmulas y
vectores quiero hacer una pregunta: ¿ Por qué estudiar álgebra lineal ?
-¿Qué tul? ¿Respuestas? ¿Nada? ¿Ni la menor idea?
Claro que si sos estudiante de Matemática la respuesta es simplemente porque
en el álgebra lineal hay una gran belleza. Es como una torre altísima construida
con cimientos que definiciones, con ladrillos que son teoremas y lemas y
corolarios que son un revoque finísimo. A diferencia del Cálculo, en el Álgebra
todo es limpito, claro y reluciente.
Ahora, si no sos matemático probablemente esta respuesta te parezca más bien
un delirio... Entonces te puedo dar otra.
El pensar en rectas y planos y puntos es una cosa más o menos abstracta.
El pensar en espacios generales de cualquier número de dimensiones, y en
objetos que viven ahí y en sus propiedades e interrelación, es TOTALMENTE
ABSTRACTO. Y aprender a pensar en eso sirve y mucho.
- ¿ Para qué ? Para TODO!!
¿Por qué ?, por que todo el tiempo, en cualquier actividad se nos plantean
situaciones, " problemas " a resolver (desde hacerte un sánguche hasta resolver
un examen de la facultad; desde planear la construcción de un edificio hasta
pilotear una cena con una suegra insoportable). La resolucion de cualquier tipo de
situación requiere de la abstracción. Así funciona el cerebro y cuanto más
"abierta" tengas la cabeza, más capacidad de resolución.
El álgebra lineal te abre la cabeza y mucho. Y eso, al menos para mi ya es
suficiente motivo para ponerle ganas al estudio de estas cosas que para algunos
pueden resultar tediosas sólo por ser abstractas.
Ah... y otro detallecito... el único truco acá es hacer miles de millones de
problemas!!!!.
Así que.... Manos a las cuentas !!

96. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 86 -
ESPACIOS VECTORIALES
Para poder arrancar te digo cómo vamos a atacar esta materia tan "matemática".
En álgebra lineal todo SE CONSTRUYE, todo se basa en algunas
DEFINICIONES formales y PROPIEDADES, que dan lugar a LEMAS,
TEOREMAS y COROLARIOS. Todo cierra muy bien. Nada queda "colgado". Pero
para que cierre, las definiciones a veces tienen que ser muy formales. Esto hace
que a veces no se entiendan. Las lees y no te dicen nada !!. Entonces, como la idea
de este libro es APRENDER y ENTENDER, nuestro modus operandi en este
capítulo será primero explicarte qué es la cosa, y ahí, ya con la idea de qué es lo
que estamos estudiando, tratar de llevarlo a un plano más formal, más sintético y
conciso y firme, para convertirlo en ladrillito y utilizarlo para seguir
construyendo nuestro edificio/torre matemática.
Guarda que ahí vá !!!!
¿Qué es un espacio vectorial?
Cuando yo escucho espacio vectorial (EV), lo primero en lo que pienso es en
vectores. Los vectores los vimos cuando vimos rectas y planos: son como flechas
que tienen una dirección, un sentido y un módulo. Son muy importantes, porque
hay muchísimas cosas (problemas matemáticos) que pueden describirse por
medio de vectores; para darles una representación geométrica (o sea con
rectas, planos y cosas por el estilo).
Ese es el caso más simple, porque tiene una interpretación geométrica. Pero un
EV es un bicho complejo. Con un montón de estructura. Son conjuntos de
objetos, con ciertas propiedades que iremos viendo, claro, que se llaman
vectores. Se llaman así porque tienen las mismas propiedades (no desesperes,
ahora vemos cuáles son) que los que vimos antes como "flechas"; pero un vector
en realidad puede ser cualquier cosa. Las más comunes son:
- n-uplas: así se llaman los paquetitos de n componentes. Por ejemplo: (0,1) es
una 2-upla; y (8,2,5,2,7,4) es una 6-upla. Antes vimos que las n-uplas de dos o de
tres componentes, las podemos pensar como "flechas" en R2
o en R3
. Esos son más
fáciles porque te los podés imaginar y hacer un dibujito. Bueno, y las de un solo
componente son los números comunes. Pero las n-uplas pueden tener cualquier
número de componentes (n).
Ya sé qué estás pensando: las de 2 y 3 componentes sirven para algo, pero ¿y el
resto?. Claro, parece que no sirven para nada porque hasta ahora no las usamos
nunca, pero en realidad sí. Son una forma de dar mucha información junta.

97. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 87 -
Por ejemplo, si te pregunto cuántas horas de clase tenés cada día de la semana, vos
me podés responder (4,4,0,3,3,0,0), y yo entiendo 4 horas los lunes, 4 los martes,
ninguna los miércoles, 3 los jueves, 3 los viernes y ninguna el fin de semana.
Entonces, en lenguaje matemático solamente hace falta una 7-upla para decir algo
que en lenguaje normal lleva un renglón y medio. Este es un vector de R7
.
- Matrices: son como las n-uplas pero más complicadas. También forman un EV,
así que tienen las mismas propiedades que los vectores.
- Funciones: bueno esto ya es muy abstracto. Pero por más complicado que parezca,
también son vectores. Esto es bastante abstracto pero es muy importante. Las
funciones (quizás ya lo viste en otra materia como análisis) son operaciones que
relacionan dos conjuntos de números: agarran valores de uno, y tiran resultados en
el otro. Por ejemplo, la función y = 2.x, agarra valores de x ( por ejemplo x = 1, x = 3),
y me da un resultado y (y = 2 , y = 6). Esta es bastante sencillita, pero hay funciones
tan complicadas como se te ocurra; por ejemplo y = x3
+ 4; y = 3.x.sen(2x) ; y = 1/x
Está bien, parecen mucho más complicadas, pero la idea es siempre la misma. Las
funciones agarran valores de x, hacen la cuenta que dice ahí, y me da un
resultado y. Muchas veces, en vez de escribir y = 2x se pone f(x) = 2x. Eso es
nada más para darle nombre: a esa función la llamamos f(x). Bueno, si ya quedó
claro qué es una función, ahora vamos un paso más allá.
Imaginate un conjunto tal que sus elementos son funciones. Por ejemplo, el
conjunto A = {f(x) = x2
; g(x) = 3-x}. O sea, los elementos del conjunto A son las
funciones f(x) y g(x). Ahora imaginate un conjunto con más elementos: un
conjunto con todas las funciones que existen. Pará pará, eso son muchas
funciones. Sí son infinitas; pero bueno, tratá de imaginártelo. La idea es que ese
conjunto es un EV; y las funciones se portan igual que vectores.
- OK, los EV son conjuntos de vectores, pero eso es muy amplio, qué más me
podés decir sobre estos espacios?
- Bueno para que un conjunto sea un EV tiene que contar con dos tipos de
operaciones: una adición, entre sus elementos ( los vectores ), y un producto,
entre vectores y escalares. (Acordate que los escalares son números, que pueden
ser reales, complejos, etc.). Entonces ya tenemos: 1 conjunto de vectores, 1
conjunto de escalares y dos operaciones.
- Y esto es un espacio vectorial ?

98. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 88 -
- Casi.
- Casi ?
- Sí, casi. Porque para que todo esto sea un EV, estas operaciones de adición
entre vectores y producto por escalares tienen que satisfacer una serie de
propiedades que te voy a dar en la definición formal.
Bueh, pero entonces está claro no?
Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que pueden "sumarse" entre sí
y pueden "multiplicarse" por escalares (pertenecientes a un conjunto de
escalares llamado cuerpo), y estas dos operaciones cumplen ciertas propiedades.
Ya tenés idea de lo que es un espacio vectorial. Ahora más formalmente:
Espacio Vectorial. Definición formal
Según los libros, un "espacio vectorial V sobre un cuerpo F" es un objeto
compuesto que consta de
1. Un conjunto V de objetos llamados vectores. Acordate que los vectores
pueden ser cualquier cosa, así se llama a los objetos de V.
2. Un cuerpo F de escalares, o sea números, que pueden ser reales o complejos,
pero eso lo dejamos para después.
3. Una operación llamada "adición" que, dados dos vectores α y β de V, asocia un
elemento α + β en V. La adición es:
(a) cerrada (Toma dos elementos de V y su suma también está en V )
(b) tiene elemento neutro (único): α + 0 = 0 + α = α
(c) asociativa : α + ( β + γ ) = ( α + β ) + γ
(d) conmutativa : α + β = β + α
(e) elemento opuesto (único): α + ( -α) = 0
4. Una operación llamada "multiplicación por escalar" que, dado cualquier vector
α en V y cualquier escalar k en F, asocia un vector k . α en V, llamado producto de
k y α. Esta operación satisface ciertas propiedades:
(a) es cerrada (Toma un elemento de V y devuelve otro también en V)
(b) tiene elemento neutro ( único ): 1. α = α.1 = α
(c) asociatividad: (k1 . k2).α = k1 (k2.α)
(d) distributividad: k.(α + β) = k.α + k.β
(e) (k1 + k2).α = k1.α + k2.α

99. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 89 -
Leíste la definición ? Esta definición, que parece muy formal y muy fea, es muy
importante. Para ver si algo es un EV, tengo que fijarme si cumple con todas las
propiedades esas. Leela de nuevo, y seguimos.
Ahora... ¿Notas algo raro en las propiedades ?
Yo la primera vez que las vi dije: y ?!? claro que la adición y el producto son
distributivo y asociativo y que el 0 y el 1 son neutros para estas operaciones...
Eso lo sé desde la primaria !
Peeeero... yo pensaba en términos de números. Claro, con los números funciona
porque el conjunto de los números reales tiene estructura de EV sobre el cuerpo
de números reales ( o sea, sobre sí mismo ).
Bueno, acá hay que empezar a abrir la cabeza. Alfa y beta no son números. Son
bichos mucho más generales, cualquier tipo de vectores, o sea cualquier cosa que
cumpla con todas esas propiedades.
Por lo tanto, los simbolitos + y . no significan necesariamente lo mismo que la
adición un multiplicación usuales entre números.
Por ejemplo, si los elementos del conjunto V, o sea, los vectores, son n-uplas, la
adición y el producto por escalares usuales se definen como:
α + β = (α1, α2, ... , αn) + (β1, β2, ... , βn) = (α1+ β1, α2 + β2, ... , αn + βn)
y
k.α = k.(α1, α2, ... , αn) = (k.α1, k.α2, ... , k.αn)
Esos son la suma y el producto más comunes, los que se usan casi siempre. Pero
también puede haber otros. Por ejemplo, en R2
, o sea, con vectores de la forma
(α1,α2) podemos usar
la suma α + β = (α1,α2) + (β1,β2) = (α1 + β1 – 1 ; α2 + β2 – 1)
y el producto k . α = k . (α1,α2) = (k . α1 – k + 1 ; k . α2 – k + 1)
Ya sé, esta suma y este producto son medio raros, pero si te fijás bien, cumplen
con todas las propiedades que dijimos antes; así que R2
con estas operaciones
raras es un espacio vectorial. Este tipo de cosas son muy raras, no aparecen casi
nunca, pero es bueno saber que existen.
¿ Qué aprendimos ? Que para decir de qué EV estamos hablando, no alcanza con
decir R2
o R3
, también tenemos que decir como son la suma y el producto.

100. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 90 -
No todos los espacios vectoriales son grandes y tienen muchos elementos.
Por ejemplo, si los elementos del espacio vectorial se resumen a dos números,
V = { 0, 1 }, tenemos un espacio vectorial definiendo las operaciones según:
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 ; 1 + 0 = 1 ; 1 + 1 = 0
y
0.0 = 0 ; 0.1 = 0 ; 1.0 = 0 ; 1.1 = 1
Todas estas operaciones cumplen las propiedades de la definición1
.
- Seguro ? Mirá que acá pasa algo rarísimo como que sumo 1 más 1 y me da cero!!
Eso no es precisamente una suma usual...
- Te digo que sí. Fijate, de la definición nomás ya tenemos que tanto la suma como
la multiplicación son operaciones asociativas y además cerradas ya que el
resultado siempre cae en V. También tienen al 0 como elemento neutro para la
suma y el 1 para la multiplicación, ya que no cambian el valor del elemento al cual
se suma o multiplica, ya sea el 0 ó el 1 ..
Claro que este es un ejemplo bastante particular, un conjunto con solamente 2
elementos al que se le puede dar la estructura de espacio vectorial!! 2
Pero lo que quiero mostrarte es precisamente eso. A partir de ahora, + y . ya no
son los simbolitos inocentes que conocemos desde la primaria. Ahora pueden ser
cosas muy raras. Son operaciones abstractas entre bichos abstractos.
A ver, que quede claro una cosa: cuando digo abstracto no me refiero a ninguna
cuestión esotérica, sino a algo que en principio no representa una cosa tangible.
Si pienso en la suma de aritmética, y digo 2 + 2 puede ser la abstracción de
llevarme de la ferretería 2 tornillos con sus tuercas, dos tornillos más dos
tuercas. Ahora, si hablo de la suma de dos funciones continuas, o de matrices, o
de ceros y unos como en el ejemplo de arriba, no estoy hablando de la suma como
una acumulación de objetos sino como algo más abstracto estamos?.
1
Ojo!, acá el cero y el uno, además de ser los “vectores” o elementos del
conjunto V, también la juegan de escalares (elementos del cuerpo F = { 0, 1 }) y
por eso la multiplicación por escalares es, simplemente, multiplicar a los vectores
0 ó 1 por los escalares 0 ó 1.
2
En realidad el conjunto {0,1} es un Cuerpo, que es un objeto que tiene
todas las propiedades de un EV y algunas más, por lo que tiene más estructura
que un EV.

101. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 91 -
Ya vimos un par de ejemplos de espacios raros que son EV. Ahora te voy a
mostrar uno que no es EV. Por ejemplo, tomemos vectores de R2
, o sea 2-uplas,
pero en vez de usar la suma y el producto comunes usamos
la suma α + β = (α1 , α2) + (β1 , β2) = (α1 + 2 β1 ; α2 + 2 β2)
y el producto común k . (α1 , α2) = (k . α1 , k . α2)
Para ser un EV, tiene que cumplir con todas las propiedades de la definición. Si no
cumple con una (cualquiera) ya está, no es un EV. La más fácil de ver es que la
suma no es conmutativa. ¿ Cómo ? Muy fácil, te lo muestro con un ejemplo:
(1,1) + (2,3) = (1 + 2.2 , 1 + 2.3) = (5 , 7)
(2,3) + (1,1) = (2 + 2.1 , 3 + 2.1) = (4, 5)
Como no da lo mismo, la suma no es conmutativa, y no es un EV.
- Cómo? R2
no es un espacio vectorial?. Si siempre hablamos de "vectores en
R2
"
- Claro, pero acordate que un EV no está formado solamente por los elementos
que llamamos "vectores". También es una parte importante la suma y el
producto que usamos. Entonces, R2
es un EV con la suma y el producto usuales
(y también con el otro ejemplo que vimos y muchos más); pero no lo es con esta
suma y este producto que definimos recién.
Combinación lineal ( Atento )
Definición muuuy fácil, pero MUY importante porque se usa para definir los
conceptos de dependencia o independencia lineal, generadores, bases y
dimensión de los espacios vectoriales. Así que hoy mismo te la aprendés
¿Estamos? Je!. Para decirlo en pocas palabras es simplemente la suma de
vectores multiplicados cada uno por un "coeficiente" escalar. Fijate:
Se dice que un vector β de un espacio vectorial V es combinación lineal de los
vectores α1, α2, .... , αn) si existen escalares k1, k2, ..., kn que verifiquen la igualdad
β = k1 . α1 + k2 . α2 + ..... + kn . αn
Eso es todo, no tiene mucho secreto. Para dejarlo bien en claro, te muestro un
par de ejemplos medio pavos:
* El vector (2 , 3) es combinación lineal de los (2 , 1) y (1 , 1), porque

102. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 92 -
(2 , 3) = -1 . (2 , 1) + 4 . (1 , 1)
* La matriz ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
51
24
es CL de ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
01
; ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
10
; ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
porque
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
51
24
= 4 . ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
01
– 2 . ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
10
+ 1 . ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
+ 5 . ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
No es muy complicado, no? Claro, así parece fácil, porque te estoy mostrando
cuales son los coeficientes, entonces vos decís "Ah, sí, mirá, es una CL". Eso es
demasiado cómodo. ¿ Qué pasa si te doy un vector y te pregunto si es CL de otros
dos ? Veamos con algunos ejemplos:
• El vector (1 , 2, 3), ¿ es CL de (-1 , 4 , 2) y (0 , 0 , 1) ?
Hay una sola forma de resolver esto. La definición nos dice que es CL si podemos
encontrar dos coeficientes k1 y k2 que cumplan:
(1 , 2, 3) = k1 . (-1 , 4, 2) + k2 . (0 , 0, 1)
Pará un segundo, acá nos salteamos una parte muy importante. Nadie nos dijo en
qué EV estamos, así que no sabemos como sumar vectores ni como multiplicarlos
por un escalar. Bueno, cuando no nos dicen nada, las operaciones son las usuales.
Entonces nos queda algo así:
(1 , 2, 3) = (-k1 , 4k1 , 2k1 + k2)
Acordate que para que dos vectores sean iguales todas las componentes tienen
que ser iguales. Así que en realidad tenemos tres ecuaciones:
1 = - k1 ⇒ k1 = - 1
2 = 4 k1 ⇒ k1 = ½
3 = 2 k1 + k2
Para que se cumpla la primera igualdad, k1 tiene que tener un valor, y para que se
cumpla la segunda, otro. O sea, no se pueden cumplir las dos al mismo tiempo, y no
hay forma de escribir ( 1,2,3 ) como CL de los otros dos vectores.
• Ahora uno más fácil: ¿ (5,3) es CL de (1,0) y (0,1) ?
Hacemos lo mismo que en el caso anterior: buscamos dos coeficientes k1 y k2

103. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 93 -
para que se cumpla:
(5, 3) = k1 . (1 , 0) + k2 . (0, 1) ⇒ (5,3) = (k1 , k2)
Como todas las componentes tienen que ser iguales, k1 = 5 y k2 = 3. Entonces sí,
como encontramos los coeficientes, es una CL.
• ¿ (5,10) es CL de (1,2) y de (2,4) ?
Ya sabés que hacer, hay que plantear la igualdad
( 5 , 10 ) = k1 . (1 , 2) + k2 . (2 , 4) ⇒ (5 , 10) = (k1 + 2k2 , 2k1 + 4k2)
Igual que en los otros casos, tenemos dos igualdades:
5 = k1 + 2 k2
10 = 2 k1 + 4 k2
Fijate que estas dos ecuaciones son básicamente la misma: la segunda es igual a
la primera, pero toda multiplicada por 2. Así que en realidad tenemos una sola
ecuación, y dos incógnitas (k1 y k2). Como hay más incógnitas que ecuaciones, esto
no tiene una sola solución, tiene infinitas. Pero eso a nosotros no nos importa. Leé
bien la definición de CL: solamente hace falta que existan unos coeficientes k1 y
k2 que cumplan con la igualdad, si hay muchos, mejor.
Una solución es k1 = 5 y k2 = 0; otra es k1 = 1 y k2 = 2; en fin ... hay muchas.
Elegí la solución que más te guste. Lo importante es que hay alguna solución:
entonces (5 , 10) es CL de (1 , 2) y de (2, 4)
Esos son los tres casos que te pueden tocar cuando querés verificar una CL: que
no sea CL, que sí sea con solución única, o con muchas soluciones.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
La dependencia o independencia lineal es una cualidad de un conjunto de vectores,
y tiene que ver con la relación que tienen estos entre sí. La "dependencia" lineal
refiere a que los vectores dependen de alguna forma entre ellos.¿ De qué forma ?
La definición es clara, pero hablando en criollo podemos decir que un conjunto es
linealmente dependiente (LD), si es posible escribir alguno de los vectores del
conjunto como combinación lineal de los restantes.

104. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 94 -
( Vaya ya mismo unos párrafos más arriba y lea otra vez la definición de comb.
Lineal !! ). Y un conjunto es linealmente independiente (LI) cuando... bueno...
simplemente cuando no es LD. Escribamos esto formalmente:
Dependencia lineal. Definición.
Un conjunto de vectores A ={α1 , α2, .... , αn} es linealmente dependiente si
existen algunos coeficientes k1, k2, ... , kn no todos nulos que cumplan:
k1 . α1 + k2 . α2 + .... + kn . αn = 0
Si no existen esos coeficientes (o sea, si la única solución es k1 = k2 = ...= kn =0), el
conjunto A es linealmente independiente
Acá hay que aclarar algo muy importante. Cuando alguien dice vector cero, está
hablando del elemento neutro del EV. Se le dice cero porque casi siempre (o sea,
con las operaciones más comunes) es un vector con todas las componentes iguales
a cero. Pero antes vimos que hay EV con otras operaciones. En esos casos, el
vector cero ya no será (0 , 0 , 0, ...).
¿ Cómo se ve si un conjunto de vectores {α1, α2, ... αn} es LI o LD ?
Muy fácil. Imponemos la ecuación vectorial:
k1.α1 + k2. α2 + ... + kn. αn = 0
con k1, k2,..., kn arbitrarios.
Si el conjunto es LI, por definición, ninguno de los vectores puede escribirse
como combinación lineal de los otros. Pero entonces la única solución que tiene
esta ecuación es que todos los escalares sean nulos (k1 = k2 = ... = kn = 0). Caso
contrario, si hubiera k’s distintos de cero, por ejemplo kj, podríamos escribir
-kj . αj = k1. α1 + ... + kj-1 . αj-1 + kj+1 . αj+1 + ... + kn. αn
o, si pasamos –kj dividiendo (eso solo se puede hacer si kj ≠ 0),
αj = -( k1/kj ).α1 - ... - (kj-1/kj ).αj-1 - ( kj+1/kj ).αj+1 - ... - ( kn/kj ). αn
y esto no es otra cosa que expresar al vector αj como CL de los otros vectores
del conjunto, lo cual contradice la definición de conjunto LI !!
En resumen, el conjunto es LI si la única solución posible es que todos los
coeficientes sean cero. Sino, el conjunto es LD.

105. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 95 -
Bueno, hasta acá lo planteamos formalmente. ¿ Qué tal unos ejemplos ?
• ¿El conjunto de vectores de R3
A = {(-2,0,1) ; (1,3,0) ; (-5,-3,2)} es LI o LD?
La única forma de responder esa pregunta es plantear una combinación lineal de
los tres vectores igualada a cero (al vector (0 , 0 , 0)), o sea:
k1 . (-2 , 0 , 1) + k2 . (1 , 3 , 0) + k3 . (-5 , -3 , 2) = (0 , 0 , 0)
(-2 k1 + k2 – 5 k3 ; 3 k2 -3 k3 ; k1 + 2k3) = (0 , 0 , 0)
Acordate que en realidad acá hay tres ecuaciones, una por cada componente:
- 2 k1 + k2 – 5 k3= 0
3 k2 – 3 k3 = 0 ⇒ k2 = k3
k1 + 2k3 = 0
Fijate que como k2 = k3, la primera y la tercera ecuación son iguales (la primera
queda -2k1 -4k3 = 0; y eso es igual a la última ecuación, toda multiplicada por -2).
Así que en realidad hay dos ecuaciones con tres incógnitas; y esto no tiene
solución única. Hay una solución que funciona siempre, y es k1 = k2 = k3 = 0. Si la
solución fuera única, sería esa, y los tres vectores serían LI., pero no es la única.
¿Entonces ya está? ¿Ya demostramos que no son LI, o sea, que son LD? Bueno, en
realidad sí, pero con esta demostración nadie se va contento. Podemos hacer un
pasito más: mostrar un ejemplo de una solución que no sea la de todos los
coeficientes nulos. Por ejemplo, una solución es k1 = 2 ; k2 = k3 = -1. Ahora sí,
estamos mostrando una CL con no todos los coeficientes nulos. Si te fijás en la
definición, esto significa que el conjunto A es linealmente dependiente (LD).
Como este fue el primer ejercicio de dependencia lineal que hicimos, nos llevó un
ratito largo. Después de muchos ejercicios, te vas a acostumbrar a hacerlo a ojo:
fijate que el tercer vector es CL de los primeros dos. Es igual a dos veces el
primero menos una vez el segundo. Entonces, si uno de los vectores es CL de los
demás, el conjunto es LD.
En general, es más fácil probar que un conjunto es LD que probar que es LI. ¿Por
qué ? Porque para probar que es LD, todo lo que hay que hacer es mostrar una CL
con algunos coeficientes no nulos y listo. Cómo se te ocurre esa combinación
lineal no importa, puede ser totalmente sacada de la galera y vale igual. Para
probar que es LI, hay que demostrar que hay una sola solución, y eso ya es más

106. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 96 -
complicado. Veamos un ejemplo de eso, uno sencillito.
• Probar que el conjunto de vectores de R2
B= {(1 , 2) ; (3 , 4)} es LI.
¿Cómo se hace eso? Siempre que hay que ver que un conjunto es LI o LD,
planteamos una CL y la igualamos a cero.
k1 . (1 , 2) + k2 . (3 , 4) = (k1 + 3 k2 , 2k1 + 4k2) = (0 , 0)
De esta igualdad sacamos dos ecuaciones:
k1 + 3k2 = 0
2k1 + 4k2 = 0
Este es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Hay una solución más o
menos obvia, y es que k1 = k2 = 0. Sí, eso ya lo sabíamos: siempre que todas las
ecuaciones estén igualadas a cero, esta esa solución. Lo difícil es demostrar que
es la única solución. Hay muchas formas de resolver esto: vamos a hacerlo de una
forma fácil. De la primera ecuación despejamos una incógnita en función de la
otra, y reemplazamos eso en la otra ecuación:
k1 + 3 k2 = 0 ⇒ k1 = -3 k2
2k1 + 4k2 = 2 . (-3 k2) + 4k2 = - 2 k2 = 0 ⇒ k2 = 0 ⇒ k1 = 0
Como la única solución es k1 = k2 = 0, el conjunto es LI.
Fijate que en realidad, cuando queremos ver si un conjunto es LI o no, no nos
interesa encontrar todas las soluciones de la ecuación
k1 .α1 + k2 . α2 + .... + kn . αn = 0
solamente nos interesa saber si la solución es única o no. Para eso no necesitamos
resolver toda la ecuación, hay formas más fáciles. Veamos cómo se hace para los
casos más fáciles, o sea para n-uplas (en general, se puede hacer para cualquier
espacio vectorial con cualquier forma, pero eso es más complicado, y lo vemos
más adelante cuando veamos coordenadas).
Si queremos ver si el conjunto {α1, α2, .... , αr} es LI, armamos una matriz donde
ponemos los vectores como filas. La idea es, mediante una serie de operaciones
permitidas, dejar la máxima cantidad de ceros posible en alguna fila. Si se puede
llenar una fila toda de ceros, el conjunto es LD, y sino, es LI. Así de simple.

107. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 97 -
Las operaciones permitidas entre dos filas son:
1) Intercambiar filas de lugar: eso no tiene mucho secreto, y casi nunca la
usamos porque lo único que queremos hacer es llenar una fila de ceros, no
nos importa si es la primera, la segunda o la última.
2) Multiplicar una fila por un escalar que no sea el 0.
3) Sumar a una fila, otra fila multiplicada por un escalar que no sea el 0.
Para entender bien esto mejor veamos un ejemplo:
• El conjunto {(1,3,2) ; (4,0,-2) ; (3,3,1)} es LI?
Bueno, antes que nada nos armamos la matriz:
Ahora tratamos, con las operaciones permitidas de llenar una fila de ceros: la
más fácil parece la del medio, porque ya hay un cero. Pero eso es bastante
engañoso, porque se termina complicando más de lo que parece. Casi siempre
(excepto en algún caso que parezca muy obvio otra cosa) lo más fácil es llenar de
ceros toda la parte que está por abajo de la diagonal principal, o sea el triangulo
de la izquierda. Bueno, vamos por partes.
Para poner un cero en la posición Fila 2 – Columna 1 ( o sea posición 2 – 1 ),
podemos restarle a la fila 2 cuatro veces la fila 1; y para poner un cero en la
posición 3-1, le restamos a la fila 3, tres veces la fila 1. Nos queda algo así:
Fijate que nos quedó: la fila del medio es exactamente el doble de la última fila.
Entonces, si a la fila 2 le restamos dos veces la fila 3 nos queda:
Y listo, como nos quedó una fila llena de ceros, es un conjunto LD.
f2 – 4 * f1
f3 – 3 * f1⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
133
204
231
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
560
10120
231
⇒⇒
f2 – 2 * f3
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−− 560
000
231
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
560
10120
231
⇒⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
133
204
231

108. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 98 -
Ya sé lo que estás pensando. Esto parece más complicado que resolver la ecuación.
Pero no es así, cuando te acostumbres, esto lo vas a poder hacer en dos segundos.
Un ejercicio que aparece mucho es el de independencia lineal con parámetros.
Un ejemplito rápido para entender bien qué es un parámetro:
El conjunto A = {(1,0) ; (1, k)} es LD si k = 0, y es LI si k ≠ 0.
En este caso decimos que k es un parámetro, porque dependiendo de cuanto
valga k, cambia alguna propiedad del conjunto A: es LI o LD.
Y bueno, los ejercicios son siempre como este, un poco más complicados. Veamos
uno típico, antes de pasar a otro tema:
• ¿Para qué valores de k є R es LI el conjunto {(0,1,-2) ; (-1,1,k) ; (k + 2,-2,0)}?
Lo resolvemos armando la matriz, y operando con las filas:
Acordate que el conjunto es LD si podemos llenar alguna fila de ceros. Entonces,
solamente es LD si k = 0, y es LI para cualquier otro valor de k є R.
Consecuencias
De la definición de dependencia/independencia lineal se desprenden algunas
consecuencias directas que permiten saber rápidamente si algunos conjuntos son
LI o LD, a ojo, sin hacer muchas cuentas.
Uno. "Cualquier conjunto que contenga al vector cero es LD."
Esto es muy fácil de ver. Si tenemos el conjunto {α1, α2, ... αr, 0 }, me alcanza
porque me alcanza con escribir una combinación lineal
k1.α1 + k2. α2 + ... + kr. αr + kr+1. 0
Podemos tomar k1 = ... = kr = 0 y kr+1 = 1 entonces tenemos
kr+1. 0 = 1. 0 = 0
O sea, el vector cero escrito como una combinación lineal de los vectores del
conjunto, con escalares no todos nulos. En otras palabras, un conjunto LD !
Dos. "Cualquier conjunto que contenga a un subconjunto LD es también LD"
f3 + (k+2) * f1 f3 - k * f2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
−
022
210
11
k
k
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
kkk
k
20
210
11
2 ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
2
00
210
11
k
k
⇒ ⇒ ⇒ ⇒

109. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 99 -
Esto también es muy fácil de ver. Si yo tengo un conjunto LD {α1, α2, ... αr}, puedo
escribir al cero como comb. lineal de sus vectores con coeficientes que no sean
todos nulos ( eso me dice la definición )
k1.α1 + k2. α2 + ... + kr. αr = 0
Si ahora tengo un conjunto más grande que lo contiene ({ α1,... αr, β1, ... βs}), puedo
escribir una combinación lineal que sea la misma que antes, pero agregando los
vectores que faltan, cada uno con su coeficiente
k1.α1 + ... + kr. αr + kr+1 . β1 + kr+2.β2 + ... + kr+ s. βs = 0
Y ahora ? Muy fácil !, eligiendo los escalares kr+1 = kr+2 = ... = kr+ s = 0, y el resto
igual que antes, lo que tenemos es una combinación lineal que da el vector cero,
con los escalares no todos nulos, pues el conjunto de los vectores alfa es LD.
Tres. " Todo subconjunto de un conjunto LI es LI ".
A ver ? pensemos un cachito... Tenemos un conjunto LI. Entonces ninguno de los
vectores puede escribirse como combinación lineal de los otros. Si ahora nos
quedamos con un subconjunto de esos vectores, menos todavía vamos a poder
escribir alguno de ellos como combinación de los otros. Es decir, tenemos menos
vectores, menos vectores que antes. Si los vectores del conjunto inicial ya eran
independientes entres sí, son independientes todos de todos así que por más que
nos quedemos con un puñadito no los vamos a poder obligar a depender los unos
de los otros !!
Cuatro. " Un conjunto de dos vectores es linealmente independiente excepto
cuando uno de los vectores es múltiplo escalar del otro "
Esto es fácil de chequear: si el conjunto es LD, entonces podemos escribir al
vector cero como combinación lineal de ellos:
k1.α1 + k2. α2 = 0
Pero entonces
k1.α1 = -k2. α2 ⇒ α1 = (-k2/ k1 ). α2
O sea, α1 es múltiplo de α2. En caso contrario el conjunto es LI.
Todo esto de hablar de un espacio vectorial V muy general está muy lindo, pero
en la práctica, los EV que más usamos son R2
o R3
. Y en estos dos espacios, la
dependencia lineal tiene toda una interpretación geométrica.

110. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 100 -
En R2
.
Un par de párrafos más arriba vimos que dos vectores son LD cuando uno es un
múltiplo del otro. ¿Y eso qué significa geométricamente?
Significa que tiene la misma dirección. O sea que si dibujamos los dos en un
grafiquito de ejes x,y; los dos quedan sobre la misma recta.
Así es mucho más fácil: un conjunto de dos vectores de R2
es LD si están en la
misma recta, y sino, son LI.
Los vectores v y w son LD porque están en la misma recta; pero los conjuntos
{ u, v } y { u , w } son LI porque los vectores no están en la misma recta.
En R3
.
Si tenemos dos vectores, es exactamente lo mismo que en R2
. . ¿Y si tenemos
tres vectores?. ¿Y cuatro?, ¿Y muchos vectores?. Bueno, vamos más despacio.
Primero veamos qué pasa si tenemos tres vectores en R3
.
x
y
v
wu
w
v2
v3
z
v1
x
y

111. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 101 -
Un vector de R3
es CL de otros dos si están los tres en el mismo plano. Fijate en
el gráfico: los tres vectores v1, v2 y v3 están en el plano x,y (o sea cuando z = 0),
y podemos escribir el vector v3 como la suma de uno que tiene la dirección de v1 (o
sea, un múltiplo de v1) y otro con la dirección de v2 (o sea, un múltiplo de v2). Eso
no es ni más ni menos que una CL. Y si podemos escribir un vector como CL de los
demás, el conjunto es LD.
¿ Y cuándo son LI tres vectores ? Fácil, cuando no son LD, o sea, cuando no están
los tres en el mismo plano. Por ejemplo, el conjunto {v1, v2, w} es LI, porque v1 y v2
están en el mismo plano, pero w no.
¿Qué pasa con un conjunto de cuatro vectores de R3
? Bueno, eso es siempre LD.
La demostración es bastante rebuscada, así que la dejamos para después. Pero
ya te voy adelantando que en R3
no puede haber más de tres vectores LI.
Bueno, ya te imaginás más o menos que significa que dos o tres vectores sean LI:
te armás el dibujito en la cabeza y ya está. ¿Y con las funciones? ¿Cómo sabemos si
dos funciones son linealmente dependientes o no? Esto ya es difícil de imaginárselo,
pero básicamente, son LI cuando no tienen nada que ver una con la otra. Por ejemplo,
f(x) = x2
y g(x) = sen(x). Estas dos seguro que son LI. Pero hay casos más difíciles.
Por ejemplo, ¿el conjunto B = {f1(x) = 3 + x ; f2(x) = 4 – 5x ; f3(x) = x} es LI o LD?
Bueno, esto ya es complicado, no podemos sacarlo "a ojo". La única que nos queda
es plantear la combinación lineal igualada a cero. OJO: cuando digo "cero" quiero
decir el elemento neutro, o sea la función g(x) = 0. Lo que te quiero decir es que
tiene que valer cero para cualquier valor de x.
Bueno, las cuentas son bastante largas, son algo así:
k1 . f1(x) + k2. f2(x) + k3 . f3(x) = 0
k1. (3 + x) + k2 . (4 – 5x) + k3 . x = 0
(k1 – 5k2 + k3) . x + (3k1 + 4k2) = 0
Para que esta suma sea igual a cero para cualquier valor de x, los dos paréntesis
tienen que ser cero. Entonces, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas, y eso
no tiene una única solución. Así que, además de la solución fácil (k1 = k2 = k3 = 0 )
hay otras. Alcanza con mostrar una sola, no importa como se te ocurrió, para
demostrar que son LD.
Por ejemplo, una solución es k1 = 4 ; k2 = -3 ; k3 = -19. ¿Por qué mostré esa solución y no
otra? Porque fue la primera que se me ocurrió: podés mostrar cualquiera, es lo mismo.

112. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 102 -
Subespacios
Un subespacio es una cosa simple de definir pero de gran utilidad. Esta utilidad
radica en que TODAS las propiedades o teoremas que pueden aplicarse a un EV,
pueden se aplican también a un sub-EV. Y esto sale directo de la definición:
Sea V un espacio vectorial. Si W es un subconjunto de V, se dice que W es
un subespacio de V si cumple con todas las propiedades de un espacio vectorial
(las mismas que V)
- En otras palabras un sub-EV es un EV en sí mismo con las operaciones heredadas
del EV.
- Pero entonces un sub-EV es un EV metido adentro de otro!.
– Sí.
- ¿Y cómo puede pasar eso ?
- Y, muy lógico, fijate que de las propiedades que definen a un EV, las de
asociatividad y distributividad son inherentes a las operaciones de adición y
multiplicación, no importa con cuáles de los elementos de V estemos tratando.
Así que con eso no tenemos problemas.
Pero OJO: no todos los subconjuntos W de un EV son subespacios. Por ejemplo,
el conjunto de dos elementos A = {(1,1) ; (5,0)} es un subconjunto de R2
, pero no
es subespacio.
¿Por qué no es un SEV? ¿No cumple las propiedades de la adición y el producto?
Bueno, cumple muchas de las propiedades, por ejemplo, la suma sigue siendo
conmutativa, el producto también. Pero para ser un EV en sí mismo, tiene que
cumplir todas las propiedades, y hay una muy importante que no cumple: la suma
no es cerrada. Eso quiere decir que si yo sumo dos elementos de A, el resultado
no es otro elemento de A.
Entonces hay que tener cuidado: no todos los subconjuntos son SEV. Tienen que
cumplir tres propiedades básicas:
1) Tiene que estar el "cero" o elemento neutro del EV. Esto es muy importante,
porque, como tiene que ser un EV en sí mismo, tiene que tener elemento neutro,
sino está todo mal. En el lenguaje extraño del álgebra, esto se dice que 0 W.
Esto ya me está diciendo que W tiene que tener por lo menos un elemento (el 0),
o sea que no puede ser vacío. Así que ya lo dejamos bien clarito: el conjunto vacío
no es un subespacio !!!!

113. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 103 -
2) La suma tiene que ser cerrada. Esto quiere decir que si sumo dos vectores
cualesquiera de W, me tiene que dar otro vector de W.
O sea que si α W y β W, α + β también tiene que estar en W. Importante: esto se
tiene que cumplir para cualquier α y β W
3) Lo mismo con el producto por escalares, también tiene que ser cerrado. Si α
es un vector de W y k un escalar, k . α tiene que ser un vector de W. Igual que con
la suma, se tiene que cumplir para cualquier k y cualquier a W
Pará pará, vamos más despacio. Antes de seguir con definiciones y propiedades y
cosas por el estilo, vamos a un ejemplo. Uno bien simple: en R2
(pará un segundo,
antes dijimos que no me alcanza con decir R2
, también tenemos que decir como es
la suma y el producto. Bueno, vamos a hacerla fácil, son la suma y el producto
usuales, las que usamos siempre), ¿qué subespacios hay?. Hay dos que se me
ocurren rápido:
• R2
: claro. El mismo EV es un subespacio de sí mismo. Este es el subespacio
"más grande" que podemos encontrar en un EV: el mismo EV. Digo que es el
más grande porque fijate que ocupa todo el plano.
• El conjunto de un solo elemento {0}. Fijate que cumple con todo, está el
cero; y la suma y el producto son cerrados, porque dan siempre 0. Este
subespacio está siempre: en todos los EV, el conjunto formado solamente
por el elemento neutro es un subespacio.
¿Hay alguno más? Sí hay, pero no son tan obvios. Algunas rectas son subespacios,
pero no todas: solamente las que pasan por el cero.
Antes que nada, ¿qué quiere decir eso de una recta?. ¿No estábamos hablando de
vectores en R2
? Sí tenés razón. Pero cada vector de R2
lo podemos representar
por un punto (x,y). Cuando hablamos de una recta nos referimos a todos los
vectores que tienen los puntos (x,y) alineados en una recta. O sea que tienen la
misma dirección. Mejor miralo en el gráfico:
Bueno, ahora que tenemos bien una definición de subespacio, veamos un par de
ejercicios fáciles y rápidos. Decidir si los siguientes conjuntos son SEV:

114. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 104 -
• A = {(x1 , x2 , x3) R3
tal que x1
2
+ x2
2
+ x3
2
> 0}
Siempre la forma más fácil de ver si un conjunto es subespacio o no, es ver si
está el vector 0. Como en este caso nos dicen cómo es el conjunto con una
desigualdad, nos fijamos si el (0,0,0) la cumple: no, porque 02
+ 02
+ 02
= 0, y eso
no es mayor que 0. Listo, ya está, como no está el 0, no es SEV.
• B = {(x1 , x2) R2
con x1 = 0}
Para ver si es un SEV, hay que verificar tres cosas:
1) Primero lo más fácil: veamos si está el (0 , 0). Para eso primero veamos qué
pinta tienen los vectores de B: en la primera componente tienen un cero, y
en la segunda cualquiera cosa. Ah mirá qué bueno: el vector 0 tiene esa
pinta, así que 0 B. Vamos bien, ahora veamos el resto.
2) La suma tiene que ser cerrada, o sea que si tenemos dos vectores α y β de
B, queremos ver si la suma α + β es un elemento de B. Para eso no nos queda
otra que hacer la cuenta y ver qué da:
α + β= (α1 , α2) + (β1 , β2) = (α1 + β1 , α2 + β2)
Veamos: α y β son vectores de B, así que α1 = 0 y β1 = 0. Entonces:
α + β = (0 , α2 + β2)
Fijate que eso tiene la pinta de los elementos de B: un cero en la primera
componente y cualquier cosa en la segunda: entonces α + β B. Listo, así
demostramos que la suma es cerrada para cualquier α y β de B
3) Por último, tenemos que ver si el producto por un escalar es cerrado, o sea
si k . α da como resultado un elemento de B para cualquier escalar k y
cualquier vector α B. Bueno, hagamos la cuenta:
k . α = k . (α1 , α2) = (k . α1 , k . α2)
Ahora usemos los datos que tenemos: como a es un vector de B, α1 = 0, y:
k . α = (0 , k . α2)
Es lo mismo del punto anterior. El resultado nos quedó con un cero en la primera
componente, y algo en la segunda. Eso es exactamente la pinta de los elementos
de B. O sea, k . α es un elemento de B.
Listo, como cumple con las tres cosas, B es un SEV de R2
.

115. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 105 -
• C = {(x1 , x2 , x3) R3
tal que x1
2
= x2
2
}
1) El vector cero está en C, porque 02
= 02
. Vamos bien, sigamos.
2) La suma es cerrada ? Antes que nada, qué te parece: sí o no? Te pregunto eso
porque es mucho más fácil demostrar algo cuando tenés una idea de a qué querés
llegar. A mí me parece que no, porque esta materia se llama Álgebra Lineal, y eso
tiene que ver con sumas y productos, nada más rebuscado que eso, y acá nos
aparecen cosas elevadas al cuadrado. Bueno, entonces a mí me parece que no es
cerrada. Cómo lo demuestro ? Fácil, con un contraejemplo.
α = (1 , 1 , 0) y β = (2 , -2 , 4) son vectores de C, porque cumplen que x1
2
= x2
2
Veamos qué pasa con la suma:
α + β = (1 , 1, 0) + (2 , -2 , 4) = (3 , -1 , 4)
Ese no es un vector de C, porque 32
= 9 y (-1)2
= 1. Como no son iguales, la suma no
es cerrada; y C no es un subespacio. No hace falta que verifiquemos la parte 3 (si
el producto es cerrado), porque tiene que cumplir las tres propiedades al mismo
tiempo: alcanza con demostrar que no cumple una.
Bueno, ya vimos ejemplos de SEV de los más comunes, o sea con vectores de R2
y
R3
. Ahora, para terminar, veamos ejemplos de subespacios de funciones, o sea
que los elementos son funciones.
• D = { f(x) tal que f(1) = 1 + f(0) }
1) Este ejercicio es bastante fácil, porque la función nula no está en D. La función
nula es esa que vale cero para cualquier valor de x, o sea f(x) = 0. Fijate que no es
de la pinta de los elementos de D, porque f(0) = f(1) = 0, y entonces no es verdad
que f(1) = 1 + f(0). Listo, como no está la función nula, D no es un subespacio
Antes de pasar a otro tema, una última cosa sobre los subespacios de R2
, R3
y en
general, de Rn
. Si tenemos un sistema de ecuaciones lineales homogéneo (o sea
que todas las ecuaciones están igualadas a cero), las soluciones forman un
subespacio; y también vale al revés: todo subespacio podemos escribirlo como las
soluciones de algún sistema de ecuaciones lineal y homogéneo (S.L.H.).
En este momento, si ya te fuiste armando una mente matemática, debés estar
pensando en un par de ejemplos y ves que se cumple. Pero, ¿ será verdad eso para
cualquier subespacio, así en general ? Bueno, si estás pensando eso vamos bien,
porque significa que dudas de las cosas que nadie demostró. Y tenés razón, si te
digo algo así de general, te lo tengo que demostrar.

116. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 106 -
Antes de ver si las soluciones de un S.L.H. cumplen con las tres propiedades,
repasemos un poco. Todos los sistemas de ecuaciones se pueden representar con
una matriz, y la solución es un vector. Si lo escribimos así, la ecuación que
tenemos que resolver es A.x = 0 , donde A es una matriz, x es un vector de Rn
y 0
es el vector cero de Rn
(o sea con n componentes iguales a cero.) Ahora sí, si
definimos el conjunto E = { x є Rn
tal que A . x = 0 }, o sea el que tiene todas las
soluciones del S.L.H., para ver si es subespacio nos fijamos en tres cosas:
1) El vector cero pertenece a E, porque cualquier matriz ( acordate que
estamos hablando de cualquier S.L.H., así que A puede ser cualquier
matriz ) multiplicada por el vector cero da como resultado 0.
2) La suma es cerrada. Si tenemos dos vectores x, y de E, la suma también
está en E, porque
A . (x + y) = A . x + A . y = 0 + 0 = 0 ⇒ A . (x + y ) = 0
3) Lo mismo con el producto por un escalar. Es cerrado porque
A . (k . x) = k . (A . x) = k . 0 = 0 ⇒ A . (k . x) = 0
Listo, cumple con las tres propiedades: E es un subespacio de Rn
.
(Sub)Espacios generados
Si tomamos un puñado de vectores { α1, α2, ..., αr }, pertenecientes a un espacio
vectorial V, y escribimos una combinación lineal con ellos, lo que obtenemos es un
nuevo vector, que también está en V. (Obvio, porque una combinación lineal no es
más que multiplicación por escalares y suma de vectores, y estas operaciones son
cerradas, o sea, siempre nos devuelven algo que esta en el EV... ). Si tomamos
esos mismos vectores y escribimos otra combinación lineal, o sea, elegimos otros
escalares, obtendremos un nuevo vector en V. Si ahora tomamos todos los
vectores que pueden obtenerse haciendo combinaciones lineales de los vectores
del puñadito inicial o, lo que es lo mismo, consideramos el conjunto de toooodas
las combinaciones lineales de estos vectores, lo que obtenemos resulta ser un
espacio vectorial. Este EV está contenido en V y por lo tanto es un subespacio de
V, que se le llama subespacio generado por los vectores {α1, α2, ..., αr}; y a ese
grupo de vectores se lo llama sistema de generadores del subespacio.
Hay diferentes notaciones para expresar que un conjunto es un subespacio
generado por tal y tal vectores. Por ejemplo, si llamamos U = {α1, α2, ..., αr}
y W al subespacio de V generado por U, se escribe:

117. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 107 -
W = lin (U) o W = S(U) o W = < U >
o directamente
W = lin {α1, α2, ..., αr} o W = S (α1, α2, ..., αr) o W = < α1, α2, ..., αr >
( La S acá viene de "spanned" que quiere decir "generado por" en inglés y algunos
libros lo usan. Y "lin" viene de "combinaciones lineales ". )
- Una cosa importante que casi nunca se dice: si W = <α1, α2, ...., αr>, todos
los vectores α1, α2, ... , αr pertenecen al subespacio W.
- ¿ Qué significa eso ?
- Nada en especial. Solamente quiero dejar claro que los generadores
pertenecen al subespacio generado. Y claro, esto no tiene ningún secreto:
son CL de ellos, porque α1 = 1 . α1 + 0 .α2 + … + 0 . αr, y lo mismo con los demás.
Como siempre, la forma más intuitiva de ver las cosas es, cuando se puede, mirar
la interpretación geométrica tomando como ejemplo vectores en R2
o R3
. Por
ejemplo, si tomamos un vectorcito a en R2
, y miramos cuál es el espacio que
genera vemos que no hay demasiadas opciones... Cualquier combinación lineal se
escribe como β = k.α . Esto, geométricamente no es otra cosa que una recta con
vector director α.
Si ahora tomamos 2 vectores (no colineales) α y β en R3
, el subespacio por ellos
generado será un plano. Por ejemplo, ej plano xy está generado por los vectores
(1,0,0), en la dirección del eje x, y el (0,1,0), en la dirección del eje y.
Todo muy lindo con esta definición, no parece muy complicada. Pero para
entender en serio de qué estamos hablando hay que ver algunos ejemplos:
• Escribir el sistema de generadores del SEV A = {(x1 , x2) є R2
tal que x1 = 0}
Antes de empezar a hacer cuentas, veamos qué pinta tienen los vectores de A:
tienen un cero en la primera componente, y cualquier cosa en la segunda. O sea,
que si v es un vector de A, lo podemos escribir como
v = (0 , x2) = x2 . (0 , 1)
Fijate qué nos quedó: podemos escribir ese vector v (acordate que v es un
elemento cualquiera de A) como un múltiplo de (0,1). Bueno, eso no es otra cosa
que una CL de un solo vector: el (0,1). Eso quiere decir que podemos generar todo
el subespacio A con ese vector, o sea que A = < ( 0 , 1 ) >

118. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 108 -
Antes dijimos que en general cualquier conjunto que sea la solución de un sistema
de ecuaciones lineales homogéneas (o sea, igualadas a cero, como en el ejemplo
anterior) es un subespacio. Y muchos problemas son así, te dan un sistema de
ecuaciones y tenés que encontrar el sistema de generadores del subespacio.
Veamos un ejemplo más complicado:
S = {(x1, x2, x3, x4, x5) є R5
tal que x1 – 2x3 + x4 = x2 + 2x1 = x3 – 3x4 + x2 = 0}
Esto que tenemos acá, todo escrito en un renglón son tres ecuaciones (una por
cada signo =) todas igualadas a cero. La idea es en cada una, poder despejar una
de las incógnitas en función de las demás, e ir reemplazando en las otras
ecuaciones. No es muy complicado, algo así:
x1 – 2x3 + x4 = 0 ⇒ x1 = 2x3 – x4
x2 + 2x1 = 0 ⇒ x2 = -2 x1 = -2 . (2x3 – x4) ⇒ x2 = 2x4 – 4x3
x3 – 3x4 + x2 = 0 ⇒ x3 – 3x4 + 2x4 – 4x3 = -x4 – 3x3 = 0 ⇒ x4 = -3x3
Bueno, entonces tenemos x1 y x2 en función de x3 y x4. Pero además tenemos x4
en función de x3, así que podemos escribir todo en función de x3 (menos el x5 que
no aparece en ninguna de las ecuaciones).
x1 = 2 x3 – x4 = 2 x3 - (-3 x3) ⇒ x1 = 5 x3
x2 = 2x4 – 4x3 = 2 . (-3 x3) – 4x3 ⇒ x2 = -10 x3
x3 = x3
x4 = -3x3
x5 = x5
Después de tantas cuentas, el vector X = (x1, x2, x3, x4, x5) nos queda:
X = (5x3, -10 x3, x3 , -3x3 , x5) = x3 . (-5,-10,1,-3,0) + x5 . (0,0,0,0,1)
¿Qué quiere decir eso? Quiere decir que cualquier vector X del subespacio B lo
podemos escribir como una CL de dos vectores: el (-5,-10,1,-3,0) y el (0,0,0,0,1)
Y eso es justamente lo que buscamos: con esos dos vectores podemos generar
todo el subespacio, así que
S = < (-5,-10,1,-3,0) , (0,0,0,0,1) >

119. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 109 -
Base de un subespacio
En el ejemplo anterior, con dos vectores pudimos generar el subespacio S. Pero
también lo podemos generar con tres, por ejemplo así:
S = < ( -5,-10,1,-3,0 ) ; ( 0,0,0,0,1 ) ; ( 0,0,0,0,2 ) >
Ah claro, si el tercer vector es un múltiplo del segundo. Con ese mismo truco,
podemos generar S con cuatro vectores, o cinco, o lo que se te ocurra.
Bueno, ya vimos que no hay límite máximo para el número de vectores que
generan un subespacio. La idea ahora es encontrar si hay algún mínimo: se puede
generar ese subespacio S con un solo vector?
Para responder este tipo de preguntas, aparece el concepto de base de un
subespacio. Primero te doy la definición formal.
Si S es un subespacio contenido en un espacio vectorial V, se dice que el
subconjunto B ⊆ V es una base de S si cumple dos propiedades:
1) Es linealmente independiente
2) Es un sistema de generadores de S.
O sea, una base no es otra cosa que un sistema de generadores LI. Entonces, en
el ejemplo anterior:
B = {-5,-10,1,-3,0) , (0,0,0,0,1)} es una base de S, porque lo genera (o sea que
cualquier vector de S se puede escribir como CL de esos vectores), y es LI
(ninguno de los dos vectores es múltiplo del otro);
C = {-5,-10,1,-3,0) , (0,0,0,0,1), (0,0,0,0,2)} no es una base, porque no es LI.
D = {(-5,-10,1,-3,0) ; (0,0,0,0,2)} es una base, porque genera S y es LI.
Acá encontramos dos bases del mismo subespacio S: B Y D. Desde ya te voy
adelantando que para cualquier subespacio de más de un elemento ( o sea, estoy
descartando el subespacio { 0 } ) tiene infinitas bases.
Bueno, y de qué nos sirven las bases? Sirven bastante, porque tienen algunas
propiedades interesantes, por ejemplo:
Teorema: si B1 y B2 son dos bases de un subespacio S (S ≠ 0), B1 y B2 tienen la
misma cantidad de elementos. A la cantidad de elementos de una base de S se la
llama dimensión de S.
Bueno, veamos algún ejemplo: encontrar dos bases distintas del subespacio
T = { (x1,x2,x3,x4) R4
tal que x1 + 2x3 – x2 = x4 – 3x3 + 2x1 = 0 }

120. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 110 -
Como una base es un sistema de generadores LI, primero tenemos que ver con
qué vectores podemos generar el subespacio. Para eso, resolvemos las dos
ecuaciones que tenemos:
x1 + 2x3 – x2 = 0 ⇒ x2 = x1 + 2x3
x4 – 3x3 + 2x1 = 0 ⇒ x4 = 3x3 – 2x1
Con estas dos igualdades, un vector X = (x1,x2,x3,x4) de T nos queda:
X = (x1 , x1 + 2x3 , x3 , 3x3 - 2x1 ) = x1 . (1,1,0,-2) + x3 . (0,2,1,3)
X es CL de dos vectores, y como X es un vector cualquiera de T, entonces
T = <(1,1,0,-2) ; (0,2,1,3)>
Listo, ya tenemos un sistema de generadores (S.G.). Ahora, ¿cómo conseguimos
una base? Acordate que una base es un S.G. LI. Entonces, si ese S.G. que
encontramos es LI ya está. Fijate que es linealmente independiente, porque
ninguno de los vectores es múltiplo del otro. Entonces
B1 = { (1,1,0,-2) ; (0,2,1,3) } es una base de T
Nos piden dos bases. ¿Cómo hacemos para encontrar la otra, si hasta ahora
solamente sabemos encontrar bases resolviendo las ecuaciones y eso ya lo
hicimos?. Pero también podemos encontrar bases nuevas a partir de una base
que ya tenemos. Un truco muy común es reemplazar uno de los vectores por una
CL de todos o algunos de los vectores de la base. Por ejemplo, si en vez del
segundo vector, lo reemplazamos por la suma de los dos, nos queda:
B2 = {(1,1,0,-2) ; (1,3,0,1)} también es una base de T
Y del mismo modo, podemos encontrar muchas bases de T, acordate que hay
infinitas. Como las dos bases tiene dos elementos, decimos que la dimensión de T
es 2, y eso se escribe así: dimT = 2.
Existen espacios de dimensión finita, y de dimensión infinita. Los primeros son
los más fáciles, son aquellos que tienen una base con un número finito de
elementos. Por ejemplo R3
es un espacio de dimensión 3, porque tiene una base
B = {(1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1)} que tiene tres elementos.
Los espacios de dimensión infinita son más complicados, y por eso son menos
frecuentes. Estos espacios no tienen ninguna base con un número finito de
elementos. Quiere decir que no existe ningún conjunto de n elementos con los

121. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 111 -
que pueda generar todo el espacio. El ejemplo más común es el del espacio de
funciones. Como por lo general las funciones son alguna combinación extraña de
las funciones más comunes (potencias, exponenciales, logaritmos, senos y
cosenos, etc.); no necesariamente puedo escribir una función como combinación
lineal de otras. Por ejemplo, la función f(x) = cos (2x
), es una combinación de la
función cos (x) y de 2x
, pero no es lineal. Pero por ahora no te preocupes de los
espacios de dimensión infinita que no aparecen en los ejercicios.
Algunos ejemplos de espacios de dimensión finita:
• Rn
: o sea, las n-uplas (x1,x2, ....., xn): tiene dimensión n. ¿Cómo lo sé? Fácil, la
dimensión es el número de elementos de una base (de cualquier base, acordate
que todas tienen el mismo número de elementos), y acá te muestro una base:
B = { (1,0,0, ....,0,0) ; (0,1,0,.....,0,0) ; ..... ; (0,0,0, ..... , 0,1) }
Esta base con los vectores que tienen un 1 en una componente y un 0 en el resto,
se llama la base canónica de Rn
, y muchas veces se la llama E(Rn
). Entonces
decimos que el vector (1,0,...,0) es el primer vector canónico.
• Una recta en R2
o en R3
, o sea todos los vectores que son múltiplos de un solo
número, por ejemplo A = <(1,2,3)>. Encontrar la base de este subespacio es
muy fácil, es B = {(1,2,3)}. Como la base tiene un solo elemento, dimA = 1.
Esto es en general para cualquiera recta que pase por el cero (acordate que si el
conjunto no incluye al cero, no es subespacio), tiene dimensión 1.
• Un plano en R3
: por ejemplo el plano xy, lo podemos generar con dos vectores:
xy = <(1,0,0) ; (0,0,1)>. Como son LI y son un S.G., forman una base.
Entonces, la dimensión de un plano en R3
es 2
Cuando vimos las primeras cosas de subespacios, dijimos que las soluciones de un
sistema de ecuaciones lineales homogéneas (o sea de la forma A.x = 0 donde A es
una matriz y x es una n-upla (x1, x2, ...., xn)) forman un subespacio.
Y después vimos como hacer para encontrar una base de ese subespacio:
simplemente resolviendo la ecuación. Ahora vamos a ver como es el proceso
inverso, o sea, si tenemos un subespacio y queremos ver qué sistema de
ecuaciones resuelve.
Para esto viene bien la idea de qué son los grados de libertad: básicamente es la
cantidad de números que tenés que dar para dar toda la información. Por
ejemplo, para decir donde está un auto en la ruta 2, solamente me hace falta dar

122. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 112 -
un número: la distancia a Bs As, por ejemplo, o la distancia a Mar del Plata: hay
varias opciones, pero la idea es que con un solo número me alcanza. Y los grados
de libertad están relacionados con la dimensión del subespacio.
Si tomamos a la ruta 2 como una recta, es un subespacio de dimensión 1: esto
coincide con que un auto en la ruta 2 tiene 1 grado de libertad.
Veámoslo mejor en un ejemplo. Si tenemos el subespacio de R4
S = <( 1,-1,0,2 ) ; ( 3,-2,0,0 )>
Este subespacio tiene dimensión 2, porque los dos vectores que lo generan son
LI, así que forman una base de dos elementos. Y es un subconjunto de R4
, así que
tenemos un subespacio de dimensión 2 adentro de otro de dimensión 4.
Un vector cualquiera de R4
, o sea (x1,x2,x3,x4) tiene cuatro grados de libertad,
porque necesito cuatro números: x1, x2, x3 y x4 para decir exactamente cuál es.
Pero en S hay solamente dos grados de libertad, quiere decir que de alguna
forma desaparecieron otros dos grados de libertad.
Esto es porque en S están las soluciones de un sistema de 2 ecuaciones. Por eso
es que la dimensión de S es dimS = 4 – 2 = 2.
El problema ahora es cómo encontrar cuáles son esas dos ecuaciones. Algunas
veces salen a ojo, como en este caso vemos que cualquier vector de S tiene un
cero en la tercera componente. Entonces, una de las ecuaciones es x3 = 0.
Pero y la otra? A simple vista no se ve. Veamos qué pinta tienen los vectores de S.
Como son CL de esos dos vectores, tienen esta forma:
(x1,x2,x3,x4) = a . (1,-1,0,2) + b .(3,-2,0,0) = (a+3b , -a-2b , 0 , 2a)
La idea es encontrar alguna relación lineal entre las componentes (son contar x3,
que ya sabemos que vale 0), que sea igual a cero sin depender de a ni de b.
Para que no dependa de b, podemos sumar 2.x1+3.x2 = -a, por ejemplo
Para que tampoco nos dependa de a, a eso le podemos sumar ½ . x4
2.x1 + 3.x2 + ½ . x4 = 0 ; x3 = 0
Y listo, ese es el sistema de dos ecuaciones que resuelven los elementos de S.
Ya sé no es nada fácil, y hay que sacarlo más o menos a ojo, pero ya te vas a ir
acostumbrando a medida que hagas ejercicios. No hay un método muy estricto
para seguir, solamente fijarte qué pinta tienen los vectores de S, y buscar una
relación lineal entre las componentes que sea igual a cero sin depender de los
coeficientes a y b. Veamos un ejemplo más así queda bien claro:

123. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 113 -
• Escribir el subespacio S = <(2,-1,3) ; (0,2,-5) ; (2,1,-2)> como solución de un
sistema de ecuaciones lineales.
Siempre, antes que nada hay que fijarse qué dimensión tiene el subespacio.
A simple vista parece de dimensión 3, porque está generado por tres vectores.
Pero OJO: acordate qué es la dimensión: es la cantidad de elementos de una
base. Entonces, lo primero que hay que hacer es encontrar una base del
subespacio.
A = {(2,-1,3) ; (0,2,-5) ; (2,1,-2)} no es una base, porque no es LI: fijate que el
último vector es la suma de los dos primeros. Entonces, lo podemos descartar y
quedarnos con la base B = {(2,-1,3) ; (0,2,-5)} que sí es LI
Pero, está bien eso que hicimos? Esos dos vectores generan el mismo subespacio
S que los tres juntos? Sí, porque como el que sacamos era CL de esos dos, no hay
drama, como que sobra en el sistema de generadores.
Entonces, dimS = 2. Como es un subespacio de R3
, quiere decir que es la solución
de 3 - 2 = 1 ecuaciones lineales. Para darnos cuenta cuál es, veamos qué pinta
tienen los vectores de S.
(x1,x2,x3) = a . (2,-1,3) + b.(0,2,-5) = (2a , 2b – a , 3a – 5b)
Acordate que hay que plantear una relación lineal entre las tres componentes
que no dependa de a ni de b. Para sacarnos de encima la dependencia de b,
podemos hacer 5x2 + 2x3 = a
Ahora, para que tampoco nos dependa de a, podemos restarle a ese resultado
½. x1. Entonces, nos queda esta ecuación:
5x2 + 2x3 – ½ . x1 = 0.
Y listo, esa es la ecuación que cumplen todos los elementos de S. Entonces,
podemos escribir al subespacio como S = {X є R3
tal que 5x2 + 2x3 - ½ x1=0
Coordenadas de un vector en una base
Seguramente alguna vez escuchaste hablar de las coordenadas (x,y). Qué
significa que las coordenadas de un vector v sean (x,y) = (3,1)
Quiere decir que ese punto está ubicado 3 (metros o alguna unidad por el estilo)
en la dirección del eje x, y 1 en la dirección del eje y. Mirá el gráfico:

124. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 114 -
x3
1
(3,1)
y
Cuando decimos "3 en la dirección del eje x" estamos diciendo que es tres veces
el vector (1,0); y cuando decimos "1 en la dirección del eje y" estamos diciendo
que es una vez el vector (0,1).
Entonces, lo que nos están diciendo con las coordenadas xy es que
v = 3 . (1,0) + 1 . (0,1)
O sea, las coordenadas del vector v son esos coeficientes (3,1) en una CL de dos
vectores que da como resultado v. Esa es la idea básica de las coordenadas: son
los coeficientes en una CL que da como resultado el vector. No tiene más secreto
que eso. Ahora veamos la definición formal.
Coordenadas. Definición formal
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, y B = {α1, α2, ..... , αn} una base
ordenada de B. Si v es un elemento de V tal que
v = k1 . α1 + k2 . α2 + ..... + kn . αn
entonces decimos que (k1, k2, ...., kn) Rn
es el vector de coordenadas de v en la
base ordenada B, y se escribe como [v]B = (k1,k2,...,kn).
Una propiedad importante: las coordenadas de un elemento v en una base son
únicas, o sea, no existen dos vectores distintos que sean coordenadas de un
mismo elemento del EV.
Acá hay que aclarar algo muy importante: ¿ Qué es una base ordenada?
Rta: Quiere decir que importa el orden qué tienen los vectores α1 , α2, ...., αn de la
base. O sea, que las dos bases de R2
: B1 = {(1,1) ; (2,3)} y B2 = {(2,3) ; (1,1)}, tienen
los mismos elementos pero no son iguales como bases ordenadas de R2.

125. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 115 -
Entonces, en el ejemplo anterior, las coordenadas del vector (2,3) en la base
canónica E = {(1,0) ; (0,1)} son [(2,3)]E = (2,3). Las coordenadas de un vector de Rn
en la base canónica, son iguales al vector.
Las bases canónicas también existen para otro tipo de espacios vectoriales. Por
ejemplo, para espacios de matrices, la base canónica es la que tiene las matrices
con un 1 en una posición y el resto ceros. Para matrices de 2x2:
E2x2 = { ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
01
, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
10
, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
01
00
, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
}
Las bases canónicas sirven mucho porque es muy fácil encontrar las coordenadas
de un vector. Por ejemplo, en R2x2
:
[ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
32
]E2x2 = (2,3,0,1)
También hay bases canónicas en los espacios de polinomios. Los polinomios son
funciones donde solamente aparecen potencias enteras de x, por ejemplo
p(x) = 3x4
– 8x3
+ x2
+ 2x – 5. Como la potencia de x más grande que aparece es x4
,
decimos que f(x) es un polinomio de cuarto grado. No te preocupes ahora mucho
por eso, lo vamos a ver mejor más adelante. Y los polinomios forman una
estructura de espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio de polinomios de cuarto
grado se llama R4[x], y la base canónica es:
ER4[x] = {1 , x , x2
, x3
, x4
}
Fijate que esa base tiene cinco elemento. Así que los polinomios de cuarto grado
forman un EV de dimensión 5. En general, los polinomios de grado n forman un EV
de dimensión n + 1. Fijate que acá también es muy fácil encontrar las
coordenadas. Por ejemplo, para ese polinomio p(x) = 3x4
– 8x3
+ x2
+ 2x - 5
[p(x)]ER4[x] = (-5 , 2 , 1, -8 , 3)
Bueno, ahora veamos algunos ejemplos de encontrar coordenadas en alguna base
que no sea la canónica (esa es demasiado fácil, se puede hacer a ojo).
• Encontrar las coordenadas del vector v = (2,5,0) en la base de R3
B = {(1,4,-2) ; (3,0,1) ; (4,1,-4)}.
Un consejo: siempre antes de empezar con el ejercicio verifica que el conjunto B
sea una base de R3
: con el método de la matriz se hace en dos segundos.

126. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 116 -
En este caso está bien, B es una base de R3
. Pero, y si no era? Y,...., si no era una
base, estaba mal el ejercicio. Bueno, eso no es tan raro, a veces los enunciados
están mal, o es un ejercicio con engaño. Ahora sí, seguimos con el ejercicio.
La definición de coordenadas nos dice que para encontrarlas, tenemos que
plantear una CL de los vectores de la base, igualada a v.
v = (2,5,1/3) = k1 . (1,4,-2) + k2 . (3,0,1) + k3 . (0,1,0)
1 = k1 + 3 k2 ⇒ k2 = 1/3 – 1/3 . k1
5 = 4 k1 + k3 ⇒ k3 = 5 - 4k1
1/3 = k2 – 2k1 = 1/3 – 1/3 k1 – 2k1 ⇒ k1 = 0 ⇒ k2 = 1/3 ⇒ k3 = 5
Una vez que resolvimos el sistema de ecuaciones nos queda:
[v]B = (k1,k2,k3) = (0,1/3,5)
Nos quedó k1 = 0. Eso quiere decir que el primer vector de la base B no aparece
en la CL. O sea, que podemos escribir a v como CL solamente de los otros dos
vectores ⇒ v = 1/3 . (3,0,1) + 5 . (0,1,0)
Y si v es CL de esos dos vectores, pertenece al subespacio que generan esos dos
vectores S = <(3,0,1) ; (0,1,0)>
Este subespacio es " más chico " que R3
, tiene dimensión 2. Entonces, las
coordenadas del vector v en la base B'= {(3,0,1) ; (0,1,0)} están dadas por un
vector de R2
: [v]B'= (1/3 , 5)
Cómo es esto, puede ser que las coordenadas de un vector de R3
sean un vector
de R2
? Y sí, puede ser; porque las coordenadas dependen de la base de la que
estamos hablando. Como B' es la base de S, y dimS = 2, [v]B' es un vector de R2
; y
como B es la base de R3
y dim R3
= 3, [v]B es un vector de R3
.
Y en la base B'' = {(0,1,0) ; (3,0,1)}? Esta base no es igual que la anterior, porque
los vectores tienen distinto orden. Pero no hace falta calcular de vuelta los
coeficientes de la CL, ya sabemos que v = 1/3 . (3,0,1) + 5 . (0,1,0); o sea 5 veces
el primer vector de B'' y 1/3 por el segundo vector. Entonces:
[v]B'' = (5 , 1/3)
Fijate que es igual que [v]B', nada más que cambiado de orden. Y claro, si lo único
que hicimos fue dar vuelta un par de vectores.

127. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 117 -
MUCHO CUIDADO con este tipo de cosas. Acordate que si te dicen que las
coordenadas de un vector en una base son (1,2); esto quiere decir que ese vector
es igual a una vez el primer elemento de la base más dos veces el segundo
elemento. Entonces, hay que tener bien claro cuál es el primero y cuál es el
segundo. Si no, sale todo mal.
Todo muy lindo con este tema de las coordenadas, ya vimos cómo se calculan, y
que dependen de la base. Pero, de qué sirven? Las coordenadas sirven mucho
cuando estamos trabajando con EV que no son los más comunes; porque los
vectores pueden ser cualquier cosa (como polinomios, matrices); y las
coordenadas son siempre vectores de Rn
, y entonces son más fáciles de usar.
Pero, se puede hacer eso así nomás ? En vez de manejarme con los vectores me
puedo manejar con las coordenadas ? Sí, se puede, porque las coordenadas
conservan las propiedades de linealidad.
Eso quiere decir que , si un conjunto es LI (o LD), las coordenadas de los
vectores, en cualquier base, también será LI (o LD). Y también vale al revés.
Veamos un ejemplo:
• Si B = {v1, v2, v3} es una base un espacio vectorial V, decidir para qué valores
de k el conjunto A = {w1,w2,w3} con w1 = v1 – 2v2 ; w2 = v2 + (k+1) v3 ; w3 = (k-1) v1
- v3 es LI.
Esto es mucho más fácil de hacer si en vez de trabajar con los vectores w1,w2,w3
nos manejamos con sus coordenadas en la base B.
[w1]B = (1,-2,0) ; [w2]B = (0,1,k+1) ; [w3]B = (k-1 , 0 , -1)
Ahora es más fácil, tenemos que fijarnos si los tres vectores de coordenadas
(todos vectores de R3
) son LI. Eso lo podemos hacer así:
Para que el conjunto sea LI, no se tiene que anular la última fila, o sea tiene que
ser k2
≠0 ⇒ k ≠ 0. Si k = 0, el conjunto A es LD.
Fijate que en este ejercicio nunca nos enteramos de qué pinta era el espacio
vectorial V. O sea, no sabemos si v1, v2, ... son vectores, matrices o cualquier cosa;
pero pudimos resolver el ejercicio igual usando coordenadas.
f3 – (k-1) * f1 f3 + (k-1) * f2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
2
00
110
021
k
k
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+
−
110
110
021
k
k
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+
−
101
110
021
k
k ⇒⇒⇒⇒

128. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 118 -
Igual, seguro que todavía no te convencen mucho las coordenadas. La verdad, que
no parece que sirvan de mucho, pero se usan mucho para transformaciones
lineales. Siempre los ejercicios de T.L. salen más fácil tomando coordenadas.
Coordenadas en distintas bases. Matriz de cambio de base ( Ojo )
– Si tengo las coordenadas de un vector v en una base B1... ¿ puedo encontrar
las coordenadas en otra base B2 ?
– Y, ...., sí, como poderse se puede, pero son muchas cuentas.
Lo primero que se me ocurre es esto: si conozco [v]B1, puedo calcular cuánto vale
el vector v; porque es la CL de los elementos de la base B1, y los coeficientes son
las coordenadas. Y una vez que sé cuanto vale el vector v, calculo las coordenadas
en la base B2.
– Pero eso es muy largo, no hay una forma más fácil? Alguna formulita rápida
tal que agarro [v]B1, lo meto en la fórmula, hago la cuenta y obtengo [v]B2.
– Sí, se puede. Prestá atención, que te muestro como se arma esa formulita.
Veamos. Antes que nada, tenemos un espacio vectorial V.
También tenemos dos bases de ese EV: B1 = {v1,v2, ...., vn} y B2 = {w1,w2,....,wn}
Como esas dos son bases, generan todo el espacio V. Eso quiere decir que a
cualquier vector v eV lo puedo escribir como CL de los elementos de B1, y también
como CL de los elementos de B2, o sea:
v = a1 . v1 + a2 . v2 + .... + an . vn = b1 . w1 + b2 . w2 + ... + bn . wn
donde (a1, a2, ...., an) = [v]B1 y (b1, b2, ....., bn) = [v]B2
Como w1, ...., wn son elementos de V (para ser base, antes que nada tienen que
estar en el EV), también los puedo escribir como CL de los elementos de B1:
w1 = c11 . v1 + c21 . v2 + .... + cn1 . vn ⇒ (c11, c21, ...., cn1) = [w1]B1
w2 = c12 . v1 + c22 . v2 + .... + cn2 . vn ⇒ (c12, c22, ...., cn2) = [w2]B1
wn = c1n . v1 + c2n . v2 + ..... + cnn . vn ⇒ (c1n, c2n, ..., cnn) = [wn]B1
Si reemplazamos todo eso en la igualdad de más arriba, llegamos a que:
a1 . v1 + ... + an . vn = b1 . (c11 . v1 + .... + cn1 . vn ) + ..... + bn . (c1n . v1 + .... + cnn . vn)
a1 . v1 + .... + an . vn = (c11 . b1 + ..... + c1n . bn) . v1 + .... + (cn1 . b1 + .... + cnn . bn) . vn

129. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 119 -
Como los vectores v1, v2, ...., vn son LI ( porque son una base ), para que se cumpla
la igualdad, v1 tiene que tener el mismo coeficiente en ambos miembros, y lo
mismo para v2, ...., vn. Entonces, tenemos n igualdades:
a1 = c11 . b1 + .... + c1n . bn
...
an = cn1 . b1 + ..... + cnn . bn
Esto que parece tan complicado, y con muchos coeficientes y muchos subíndices,
lo podemos resumir en una sola igualdad:
[v]B1 = CB2B1 * [v]B2
donde CB2B1 es la llamada matriz de cambio de base de B2 a B1, y se forma
poniendo como columnas, a las coordenadas de los elementos de la base B2,
respecto de la base B1, o sea:
CB2B1 = ([w1]B1 [w2]B1 ..... [wn]B1)
– ¿ Se entendió o te perdiste un poco en los cálculos ? Quizás las cuentas te
parezcan rebuscadas porque aparecen muchos subíndices, pero no hay mucho
secreto. Todo lo que hice fue escribir los elementos de una base (B2) como CL
de los elementos de la otra (B1). Y así llegué a n igualdades, que se pueden
resumir en esa formulita.
– Y esa fórmula vale siempre?
– Sí. Te mostré toda la deducción para que veas que no hay ninguna cuenta
extraña, esas cuentas se pueden hacer siempre para cualquier base B1 y B2.
Mejor veamos algún ejemplo así queda bien claro.
• Si tenemos dos bases de R2
: B1 = {(1,1) ; (0,1)} y B2 = {(2,3) ; (-2,0)}. Hallar
la matriz de cambio de base de B1 a B2.
Andá un par de párrafos más arriba y fijate como se arma esa matriz: tenemos
que poner como columnas las coordenadas de los elementos de la base de llegada
(o sea B2) respecto de la base de salida (o sea B1). Bueno, hagamos las cuentas
nomás: las CL lineales nos queda:
(2,3) = c11 . (1,1) + c21 . (0,1) >>>> c11 = 2 , c21 = 1 >>>>> [(2,3)]B1 = (2,1)
(-2,0) = c12 . (1,1) + c22 . (0,1) >>>> c12 = -2 , c22 = 2 >>> [(-2,0)]B1 = (-2,2)

130. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 120 -
⇒ CB1B2 = ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
21
22
Ahora que ya encontramos la matriz, aprovechemos y veamos un ejemplo de cómo
se hace el cambio de base. Tengo un vector v, que no sé cuanto vale pero sé que
sus coordenadas en la base B1 son [v]B1 = (1,0).
Entonces, sus coordenadas en la base B2 son:
[v]B2 = CB1B2 * [v]B1 = (2,-2,1,2) * (1,0) ⇒ [v]B2 = (2, 1)
Como ves, la parte difícil es encontrar la matriz de cambio de base. Pero una vez
que tenés la matriz hacer el cambio de coordenadas es muy fácil, todo lo que hay
que hacer es multiplicar una matriz por un vector.
Propiedades de la matriz de cambio de base
1) CB1B3 = CB2B3 * CB1B2
Si quiero pasar de las coordenadas en la base B1 a las coordenadas en la base B3,
lo puedo hacer pasando primero por la base B2. Para eso, primero multiplico por
CB1B2, y después, para pasar de B2 a B3, multiplico por CB2B3. Por eso es que CB1B3
no es más que el producto de las dos matrices.
2) CB2B1 = (CB1B2)-1.
Esto es un corolario del punto anterior: CB1B1 = CB2B1 * CB1B2.
Pero CB1B1 es la matriz identidad, porque son las coordenadas de los vectores de
B1, en la base B1. Entonces, tenemos unos sobre la diagonal, y ceros en el resto.
Eso no es otra cosa que la matriz identidad. Y si el producto de dos matrices da
como resultado la identidad, quiere decir que una es la inversa de la otra.

131. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 121 -
OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS
Ya vimos muchas cosas de los subespacios: qué son, los sistemas de generadores,
las bases, coordenadas. Pero todavía no sabemos qué hacer con ellos. ¿Qué
operaciones se pueden hacer entre dos subespacios? ¿ Se pueden sumar ?
¿ Se pueden restar ?
Y ...., no sé. En principio, como los subespacios son subconjuntos de un EV más
grande. Así que las operaciones que se me ocurren que pueden funcionar son las
típicas entre conjuntos: unión e intersección. Veamos:
Intersección de subespacios
Se define igual que la intersección de conjuntos que ya conocemos. Si tenemos
dos subespacios S y T incluidos en un EV más grande V, la intersección es:
S ∩ T = {X є V tal que X є S y X є T}
O sea, en la intersección están los elementos que están repetidos en los dos
conjuntos. La intersección de dos subespacios da como resultado otro
subespacio, y la demostración es muy sencilla. Te acordás como se demuestra
que un conjunto es SEV ? Hay que demostrar que cumple tres propiedades:
1) Incluye al vector cero. Esto se cumple, porque 0 є S (porque S es
subespacio) y 0 є T (porque T también es subespacio). Así que, como el
cero está en los dos conjuntos, 0 e S ∩ T.
2) La suma es cerrada, o sea que si α y β son dos vectores de S ∩ T, la suma
α + β también es un elemento de S ∩ T. Como α y β son elementos de S (si
están en S ∩ T, quiere decir que están en S y también en T), la suma es un
elemento de S, porque, como S es un subespacio, la suma cerrada. Lo
mismo con T: la suma α + β es un elemento de T. Entonces, la suma α + β
está en los dos subespacios: α + β e S ∩ T.
3) El producto por un escalar es cerrado. O sea, que si α es un vector de S∩T y
k es un escalar, el producto k . α también es un vector de S ∩ T. La
demostración es igual a la del puntos anterior, como el producto es cerrado en
S y en T (porque son SEV), k . α e S y k . α e T. Entonces, como pertenece a
ambos subespacios, también está en la intersección.
Ya demostramos que S I T es un subespacio, pero cómo lo calculamos? Muy fácil,
es el conjunto de todos los vectores que están en S y en T al mismo tiempo.
Mejor veamos un ejemplo:

132. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 122 -
• S = <(1,0,1,1) ; (0,0,2,3)> T = {X є R4
tal que x1 + 2x2 – x3 = 0}
Encontrar S ∩ T = { X є R4
tal que X є S y X є T }.
Como quiero que X є S, tiene que ser una CL de los dos generadores, o sea:
X = a . (1,0,1,1) + b . (0,0,2,3) ⇒ X = (a , 0 , a + 2b , 3b)
Además, quiero que esté en T, o sea que x1 + 2x2 – x3 = 0. Pero recién vimos
cuánto valen cada componente, así que la ecuación nos queda:
a – (a + 2b) = 0 ⇒ b = 0
Esto quiere decir que para que X pertenezca a ambos subespacios, el coeficiente
que acompaña al (0,0,2,3) en la combinación lineal tiene que ser 0. O sea, X sólo
puede ser CL del (1,0,1,1). Entonces, la intersección nos queda:
S ∩ T = <(1,0,1,1)>
• S = <(1,1,1) ; (0,2,-3)> ; T = <(0,0,1) ; (2,-1,2)>. Calcular S ∩ T.
X є S ⇒ X = a . (1,1,1) + b . (0,2,-3) = (a , a + 2b , a – 3b)
X є T ⇒ X = c . (0,0,1) + d . (2,-1,2) = (2d , -d , c + 2d)
Como X tiene que pertenecer a ambos SEV, esas dos combinaciones lineales
tienen que ser iguales. Así, podemos encontrar una relación entre a,b,c y d:
(a , a + 2b , a – 3b) = (2d , -d , c + 2d)
Acordate que para que dos vectores sean iguales, tienen que ser iguales
componente a componente. Entonces, tenemos tres igualdades:
a = 2 d
a + 2b = -d ⇒ 2d + 2b = -d ⇒ b = -3/2 . d
a – 3b = c + 2d ⇒ 2d – 3 . (-3/2 . d) = c + 2d ⇒ c = 9/2 d
Tenemos todos los coeficientes en función de unos solo (d). Si lo reemplazamos
en la segunda CL nos queda:
X = (2d, -d , c + 2d) = (2d , -d , 9/2 . d + 2d) ⇒ X = d . (2 , -1 , 13/2)
Cualquier vector X e S ∩ T es un múltiplo del (2 , -1 , 13/2). Entonces:

133. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 123 -
S ∩ T = <(2 , -1 , 13/2)>
• S = {X є R4
tal que x1 + 2x3 – x4 = x2 + x3 = 0}
T = {X є R4
tal que x4 - x1 = 0}
La intersección de ambos subespacios incluye a los X que cumplan con las tres
ecuaciones al mismo tiempo. Las resolvemos:
x4 – x1 = 0 ⇒ x4 = x1
x1 + 2x3 – x4 = 0 ⇒ 2x3 = 0 ⇒ x3 = 0
x2 + x3 = 0 ⇒ x2 = 0
Ya sabemos cuánto vale cada componente. Si juntamos todo, los vectores X nos
quedan: X = (x1,x2,x3,x4) = (x1, 0, 0, x1) = x1 . (1,0,0,1)
S ∩ T = <(1,0,0,1)>
Estos tres ejemplos que vimos recién, son los tres casos típicos de un ejercicio
de intersección de subespacios. Claro, porque el subespacio te lo pueden dar a
partir de un sistema de generadores, o a partir de las ecuaciones que resuelve.
Entonces, si entendiste estos tres ejemplos, entendiste todo el tema de
intersección de subespacios, no tiene más secreto,
Unión de subespacios
La otra operación típica entre conjuntos es la unión. Si tenemos dos conjuntos A
y B, en la unión A ∪ B están todos los elementos que estén en, al menos uno de los
dos conjuntos. O sea, se define formalmente así:
A ∪ B = {X tal que X є A ó X є B}
Pero hay un problema, la unión de dos subespacios, no siempre da como resultado
un subespacio; solamente si uno está incluido adentro del otro (en ese caso, el
resultado de la unión es el subespacio más grande). Fallan las propiedades de que
la suma y el producto sean cerrados.
Entonces, como el resultado de la unión no es un subespacio, esta operación no se
usa nunca. Pero existe otra operación, que es muy parecida a la unión, y es la suma
de subespacios, que sí da como resultado otro SEV.
Suma de subespacios
Se define como la suma de dos subespacios S y T ( incluidos en un EV más grande V)

134. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 124 -
al conjunto S + T que incluye todos los vectores que pueden ser escritos como suma
de un vector s є S y otro t є T. O sea:
S + T = {X є V tal que X = s + t con s є S y t є T}
Directamente de la definición podemos sacar un método muy fácil para calcular
S + T. Si S = <v1, v2, ...., vk> y T = <w1, w2, ...., wr>, a cada uno de los vectores s є S
y t є T, los puedo escribir como CL de los vectores generadores. Entonces, un
vector cualquiera X є (S + T) lo puedo escribir como
X = s + t = a1 . v1 + ..... + ak . vk + ak+1 . w1 + ..... + ak+r . wk
Escribimos al vector X como una CL de los vectores v1, ..., vk, w1, ...., wk. Entonces,
el sistema de generadores de S + T es igual a la unión de los S.G. de S y de T. Por
eso es que esta operación es muy parecida a la unión de conjuntos: en vez de unir
los SEV, unimos los sistemas de generadores.
Todo muy lindo, pero... ¿ S + T es un subespacio? Sí. Para demostrarlo, hay que
fijarse que cumple las tres propiedades. Fijate que podemos escribir cualquier
vector de S + T como combinación lineal de un sistema de generadores. Y la suma
de dos CL es otra CL, lo mismo con el producto por un escalar. Entonces, estas
dos operaciones son cerradas. Además, incluye al vector cero, porque podemos
hacer una combinación lineal con todos los coeficientes iguales a cero.
Entonces, cumple las tres condiciones, y S + T es un subespacio de V.
Veamos un par de ejemplos:
• Calcular S + T con S = <(1,1,1,1)> y T = {X є R4
tal que {2x1 – 5x4 = x3 + x2 = 0},
y encontrar una base.
Sería más fácil si tuviéramos los generadores de T, pero nos lo dan como un
sistema de ecuaciones. Entonces, tenemos que resolverlas y encontrar los
generadores, no queda otra opción:
2x1 – 5x4 = 0 ⇒ x4= 2/5 . x1
x3 + x2 = 0 ⇒ x3 = -x2
X = (x1, x2, x3, x4) = (x1,x2,-x2,2/5 x1) = x1 . (1,0,0,2/5) + x2 . (0,1,-1,0)
T = < ( 1,0,0,2/5 ) ; ( 0,1,-1,0 ) >

135. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 125 -
Ahora que tenemos los generadores de los dos subespacios, para la suma S + T
unimos los dos conjuntos de generadores y nos queda:
S + T = <(1,1,1,1) ; (1,0,0,2/5) ; (0,1,-1,0)>
También nos piden encontrar una base. Ya tenemos un S.G., si es LI ya está.
Verificalo, son LI. Entonces
B = {(1,1,1,1) ; (1,0,0,2/5) ; (0,1,-,1,0)} es una base de S + T
– OJO: en este ejercicio, dim S = 1, dim T = 2 y la dimensión de la suma da igual
a la suma de las dimensiones, o sea dimS+T = 3. Pero eso no es siempre así. En
este caso sí, pero en otros casos puede ser que no.
– Y de qué depende eso?
– Depende de como sea la intersección entre S y T.
– Como es eso ?
– Hay un teorema que relaciona las dimensiones de todos esos SEV:
Dim S + dim T = dim S+T + dim S∩T
La demostración es bastante engorrosa, así que no te la muestro, pero te cuento
como es la idea. Si dimS∩T = k ≠ 0, la unión de los dos sistemas de generadores
no es LI, sino que hay k vectores que se pueden escribir como CL de los otros.
Entonces, de ahí sale la igualdad.
Veamos algún ejemplo para ver que se cumple esa igualdad.
• S = <(1,1,3) ; (0,1,0)> ; T = <(1,0,1) ; (1,2,3)>
Antes de calcular la suma y la intersección, veamos qué dimensión tienen S y T.
Como los dos sistemas de generadores son LI (verificalo), dimS = 2 y dimT = 2.
Ahora sí, calculemos la intersección. :
X є S >>>>> X = a . (1 , 1, 3) + b . (0,1,0) = (a, a + b ,3a)
X є T >>>>> X = c . (1,0,1) + d . (1,2,3) = (c + d , 2d , c + 3d)
Como X tiene que estar en ambos subespacios al mismo tiempo:
(a , a + b , 3a) = (c + d , 2d , c + 3d)
Esta igualdad la podemos reemplazar por tres igualdades:
a = c + d

136. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 126 -
a + b = 2 d
3a = c + 3d ⇒ 3 . (c + d) = c + 3d ⇒ 3c = c ⇒ c = 0
Si reemplazamos este resultado en la CL que nos da X, nos queda:
X = c . (1,0,1) + d . (1,2,3) ⇒ X = d . (1,2,3)
S ∩ T = <(1,2,3)> ⇒ dim S ∩ T = 1
Bueno, ya tenemos la intersección, ahora calculemos la suma.
S + T = <(1,1,3) ; (0,1,0) ; (1,0,1) ; (1,2,3)>
Eso fue fácil. Ya sabemos cuál es la suma. Ahora, para saber cual es su dimensión,
tenemos que encontrar una base. Obviamente ese conjunto de generadores no es
una base de S + T porque no es LI (en R3
no puede haber más de tres vectores
LI). Es más, fijate que el último vector es igual a la suma del primero y el
segundo. Entonces, lo descartamos y nos queda:
B = {(1,1,3) ; (0,1,0) ; (1,0,1)}
Este conjunto sí es LI (verificalo), y genera S + T. O sea, B es una base de S + T.
Como tiene tres elementos, dim(S+T) = 3. Fijate que se cumple la igualdad:
Dim S + dim T = dim (S+T) + dim (S∩T) >>>>> 2 + 2 = 3 + 1
Esta formulita sirve mucho. Por ejemplo, en este ejercicio, podíamos calcular
Dim (S+T) = dim S + dim T – dim S∩T = 2 + 2 – 1 = 3
Y el único SEV de dimensión 3 incluido en R3
es todo el espacio R3
, y es el mismo
resultado al que llegamos (fijate que la base B genera todo R3
).
Suma directa
Antes que nada, te aviso que la suma y la intersección son las dos únicas
operaciones entre subespacios que siempre dan como resultado un SEV (antes
vimos que la unión no funcionaba). Así que la suma directa no es otra operación.
La suma de dos subespacios se llama directa cuando la intersección entre ellos es
lo más chica posible, o sea solamente el vector 0 (acordate que la intersección
siempre es un subespacio, y el SEV más chico es el que solamente incluye al 0).
Se usa otro símbolo: cuando la suma entre S y T es directa, la escribimos S ⊕ T.
Así que siempre que te pidan calcular S ⊕ T, primero tenés que verificar que la
suma sea directa ( o sea que la intersección sea el 0 ).

137. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 127 -
La suma directa tiene algunas propiedades:
1) Como la intersección de ambos subespacios es el vector nulo (o sea un SEV de
dimensión 0), la fórmula de las dimensiones que vimos antes nos queda:
dim S ⊕ T = dim S + dim T
2) Cuando definimos la operación suma dijimos que era
S + T = {X tal que X = s + t con s є S y t є T}
Bueno, si la suma es directa, esos vectores s y t son únicos. Hay un solo vector
s є S y un t є T que cumplen esa igualdad para cada X e S ⊕ T.
Esto se puede demostrar. Como la intersección de ambos SEV es nula, la unión de
los dos sistemas de generadores resulta un conjunto LI, o sea una base de S+OT.
Y, como las coordenadas en un base son únicas, hay una sola combinación lineal de
esos generadores que da como resultado X.
Como están fijos todos los coeficientes, hay un solo valor posible para s e S, y un
solo valor posible para t e T. Es algo así:
X = k1 . v1 + .... + k2 . vr + kr+1 . w1 + ..... + kr+d . wd
s є S t є T
Extensión de bases
Un ejercicio típico es, por ejemplo, si tenemos un subespacio de R3
S = < (1,1,1) ; (1,1,0) >, y nos piden que extendamos la base de este subespacio
hasta una base de R3
.
– Cómo se hace ?
– Y, ..., bueno. En principio, tenemos que agregar un vector, porque dim S = 2 y
R3
es un espacio de dimensión 3.
– Cualquier vector?
– No, cualquiera no. Tiene que ser uno que no esté en S, porque sino no es LI con
los generadores de S. Por ejemplo, podemos agregar el (0,1,0).
– Está bien, ese funciona. Pero como me doy cuenta qué vector hay que agregar?
– Podés agregar cualquier que no esté en S, el primero que se te ocurra. Si no
se te ocurre ninguno, una forma segura de hacerlo (pero muy larga) es
escribir a S como un sistema de ecuaciones. Entonces, para encontrar un
vector que no esté en S, elegís uno que no cumpla esas ecuaciones. En este
caso, S= {X є R3
tal que x1 = x2}. Si elegís un vector tal que la primera y la
segunda componente sean distintas, funciona.

138. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 128 -
Este tipo de ejercicios no tienen un método estricto que hay que seguir. La idea
es encontrar a ojo o como sea, un vector que no esté en S.
Otra opción es ir probando con los vectores de la base canónica: fijarse si están
o no en S: seguro que todos no están, porque si estuvieran todos, habría 3
vectores LI en S, que es un subespacio de dimensión 2, y eso no puede ser.
Veamos otro ejemplo:
• Extender una base de S = <(-1,2,-1,2) ; (0,1,1,0)> hasta una base de R4
.
Primero tratamos de extenderlo a un subespacio de dimensión 3, agregando un
vector que no esté en S. Por ejemplo, podemos agregar el (1,0,0,1): fijate que no
está en S porque no se puede escribir como CL de esos dos vectores.
Entonces por ahora tenemos un nuevo subespacio de dimensión 3:
T = <(-1,2,-1,2) ; (0,1,1,0) ; (1,0,0,1)>
Ahora tenemos que agregar un nuevo vector, que no esté en T. Por ejemplo,
podemos agregar el primer vector de la base canónica, el (1,0,0,0). Y listo, con
esto formamos una base de R4
:
B = {(-1,2,-1,2) ; (0,1,1,0) ; (1,0,0,1) ; (1,0,0,0)}
donde los dos primeros vectores son una base de S.
El otro tipo de problemas típico es escribir una base de un espacio vectorial V
que contenga bases de dos espacios vectoriales más chicos S y T. OJO: para que
se pueda hacer el ejercicio, se tiene que cumplir que S + T = V.
Bueno, quizás ni siquiera se haya entendido como es el problema.
Mejor veamos un ejemplo.
• Escribir una base de R3
que contenga bases de los subespacios
S = <(2,0,1) ; (1,-1,1)> y T = {X є R3
tal que x1 = 0}
Antes que nada, escribamos el subespacio T con su sistema de generadores.
Como la única condición es que la primera coordenada sea un cero,
X = (x1,x2,x3) = (0,x2,x3) = x2 . (0,1,0) + x3 . (0,0,1)
T = <(0,1,0) ; (0,0,1)>
Veamos. R3
es un espacio de dimensión 3, y los dos subespacios S y T tienen
dimensión 2 (fijate que los generadores son LI). Así que no podemos unir las dos

139. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 129 -
bases, porque nos quedaría un conjunto de cuatro vectores, y eso nunca puede
ser LI. Entonces, hay que hacer otra cosa.
La idea para resolver esto es encontrar dos bases de los subespacios, que tengan
un vector en común, así la unión tiene tres elementos, no cuatro.
Y cómo se hace para que tengan un vector en común ? Fácil, ese vector tiene que
ser el generador de la intersección. Calculemos S I T:
X є S >>>>> X = a . (2,0,1) + b . (1,-1,1) >>>>> X = (2a + b, -b , a + b)
X є T >>>>> x1 = 0 >>>> 2a + b = 0 >>>>> b = -2a
X = a . (2,0,1) – 2a . (1,-1,1) = (0 , 2a , -a) = a . (0,2,-1)
S ∩ T = <(0,2,-1)>
Ahora que tenemos la intersección, podemos armarnos dos bases de S y T que
contengan al (0,2,-1). Nos queda algo así:
B1 = {(2,0,1) ; (0,2,-1)} es base de S. Fijate que lo único que hicimos fue remplazar
un vector por una CL de todos los elementos de la base, así que este conjunto sigue
generando a S, y además es LI >>> es una base de S
B2 = {(0,2,-1) ; (0,0,1)} es base de T
Si ahora unimos las dos nos queda:
B = {(2,0,1) ; (0,2,-1) ; (0,0,1)} es base de R3
Así encontramos una base de R3
donde los dos primeros vectores son una base
de S, y los dos últimos son una base de T.
¿ Qué aprendimos ?
Rta: Que el truco para resolver estos ejercicios es encontrar la intersección, y
buscar dos bases que incluyan al generador de S ∩ T. Después, unimos los dos
bases y ya está.

140. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 130 -
PRODUCTO INTERNO
Este es un tema muy, pero muy grande. Pero nosotros no vamos a ver mucho,
solamente una pequeña introducción.
Un producto interno es una operación entre dos elementos de un espacio
vectorial V que da como resultado un escalar, y cumple con ciertas propiedades.
Pero mejor no nos metamos en cosas muy generales, y vayamos directo al único
producto interno que vamos a usar: el usual en Rn
.
Si tenemos dos vectores X = (x1, x2, .... , xn) e Y = (y1, y2, .... , yn) de Rn
, se define
el producto escalar (o interno) entre ellos como:
X . Y = x1 . y1 + x2 . y2 + .... + xn . yn
Antes de ver qué interpretación geométrica tiene este producto interno, veamos
qué es la norma de un vector: es algo así como su longitud (si la flecha es más
larga, mayor es la norma), y se define como
||X|| = XX. =
22
2
2
1 .... nxxx +++
Bueno, por ahora vimos un par de definiciones (de producto interno y de norma),
pero .... sirve para algo? Sí, acordate que estamos en Rn, y casi todo tiene una
interpretación geométrica. Veamos:
• Interpretación de la norma. Es algo así como la longitud del vector. Por
ejemplo, en el gráfico
la norma del vector v1 la podemos calcular como:
||v1|| = 22
43 +
v1
3
4

141. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 131 -
Esto quiere decir que "el vector v1 mide 5" . ¿ Pero 5 qué ? Rta: 5 unidades. Eso
depende de cómo estemos midiendo. Si los ejes x e y están en metros, entonces
"el vector v1 mide 5 metros".
Fijate que es exactamente el mismo resultado al que hubiéramos llegado usando
el Teorema de Pitágoras. Claro, porque la norma en este producto interno es algo
así como la generalización del Teorema de Pitágoras a Rn
.
Ahora que sabemos que la norma de un vector es su longitud, podemos usarlo
para medir distancias. Por ejemplo, si quiero calcular la distancia entre los
puntos P1= (10,2) y P2 = (-2,-3), la puedo calcular como la norma del vector que une
esos dos puntos. Ese vector es v = (10,2) - (-2,-3) = (12,5)
Y su norma es ||v|| = 22
512 +
O sea, que la distancia entre los puntos P1 y P2 es 13.
• Interpretación del producto interno como ángulo entre vectores
Hay una fórmula que relaciona el producto escalar entre dos vectores con sus
normas y el ángulo a que forman. Es así:
X . Y = ||X|| . ||Y|| . cosα
En el gráfico anterior, podemos calcular el ángulo que forman los vectores v1 y v2
con esa fórmula. Nos queda así:
cosα = v1 . v2 / (||v1|| . ||v2||) = (3,4) . (0,1) / (||(3,4)|| . ||(0,1)||)
⇒ cosα = 4/5 ⇒ α = 37º
Fijate que este es el mismo resultado al que hubiéramos llegado planteando la
relación trigonométrica cos a = adyacente/hipotenusa = 4/5
De alguna forma el producto interno nos dice cuánto vale el lado adyacente a a.
adyacente = X . Y / (||Y||)
Al vector Y / ||Y|| lo llamamos versor y, porque tiene longitud (norma) 1. Esto
quiere decir que si queremos encontrar cuánto mide la "proyección" de un vector
sobre una recta, todo lo que tenemos que hacer es multiplicarlo por el versor de
esa recta

142. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 132 -
• Un caso particular, cuando v1 . v2 = 0.
Qué quiere decir que el producto de dos vectores (no nulos) sea cero ? Andá un
par de párrafos más arriba y fijate la interpretación como ángulo.
Eso quiere decir que cos a = 0, o sea que a = 90 º. Eso no es otra cosa que decir
que los dos vectores son perpendiculares.
Acá hay que tener cuidado. La palabra perpendicular tiene sentido si estamos
hablando de R2
o de R3
. Para dimensiones más grandes no significa nada. Por eso,
para generalizar, se usa el término ortogonal.
Entonces, decimos que dos vectores v1 y v2 son ortogonales cuando v1 . v2 = 0
Por ejemplo, los vectores (1,1) y (1,-1) son ortogonales porque
(1,1) . (1,-1) = 1 – 1 = 0.
Fijate que si los dibujás en R2
, forman un ángulo de 90 grados, o sea, son
perpendiculares.
Este concepto de ortogonalidad se puede extender a más de dos vectores. Si
tenemos un conjunto A = {v1, v2, ...., vn}, decimos que es un conjunto ortogonal si
cualquier par de vectores de A es ortogonal entre sí. Por ejemplo, el conjunto
A = {(1,2,0,3) ; (-4,2,1,0) ; (0,1,0,0)} es ortogonal.
De la mano del concepto de ortogonal, viene el de ortonormal.Decimos que dos
vectores son ortonormales si son ortogonales y además tienen norma 1. Lo mismo
vale para los conjuntos ortonormales (C.O.N.).
¿ Y cómo armamos un C.O.N ? Muy fácil, a partir de un conjunto ortogonal. Todo
lo que hay que hacer es dividir todos los vectores por su norma.
Teorema: todo conjunto ortogonal que no incluya al cero es LI.
La demostración de este teorema no es muy simple, pero te la muestro así ves
cómo es una demostración por el absurdo. La idea es empezar suponiendo que lo
que queremos demostrar está mal, y después de varios pasos llegar a una
contradicción (o sea un absurdo). Veamos:
Tenemos el conjunto A = {v1, v2, .... , vn} que es ortogonal y no incluye al cero.
Ahora supongamos que es LD, o sea que podemos escribir uno de los vectores
como combinación lineal de los demás, por ejemplo el último:
vn = k1 . v1 + k2 . v2 + .... + kn-1 . vn-1

143. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 133 -
Como el conjunto es ortogonal, el producto de vn con cualquier otro vector vi de A
tiene que dar cero, o sea:
vn . vi = k1 . v1 . vi + k2 . v2 . vi + .... + ki . vi . vi + .... + kn-1 . vn-1 . vi = 0
De vuelta, como el conjunto es ortogonal, el producto de vi con cualquier otro
vector que no sea vi es 0; y el producto de vi . vi no es otra cosa que su norma
elevada al cuadrado. Entonces, la cuenta nos queda:
ki . ||vi||2
= 0
Para que un producto de dos números sea cero, alguno de los dos tiene que ser
cero. Pero ||vi||2
no puede ser cero, porque eso significaría que ||vi|| = 0, o sea
que es un vector de longitud cero. Y el único vector de longitud nula es el 0, y
dijimos que ese vector no está en A. Entonces, ki = 0.
O sea, si multiplicamos vn . v1, llegamos a la conclusión de que k1 = 0. Lo mismo si
multiplicamos vn . v2, llegamos a que k2 = 0. Si hacemos eso con todos los vectores,
vamos a llegar a que todos los coeficientes son cero, o sea que
vn = k1 + v1 + ..... + kn-1 . vn-1 = 0 . v1 + ... + 0 . vn-1 >>>>> vn = 0
Y esto no puede ser (es un absurdo), porque empezamos diciendo que el cero no
es un vector de A. Y donde fallamos ? Todo el procedimiento está bien, así que
fallamos en suponer que el conjunto es LD. Esta es una típica demostración por el
absurdo >>> todo conjunto ortogonal que no incluye al 0 es LI.
– Y de qué sirve que los conjuntos ortogonales sean LI ?
– Bueno, eso quiere decir que existen bases ortogonales (B.O.G.). Por ejemplo,
las bases más comunes, las que usamos siempre: las bases canónicas, son
ortonormales.
– Ah, qué bueno. Y cómo encuentro una B.O.G.
– Veamos un ejemplo:
• Encontrar una base ortogonal del subespacio S = <(1,1,-1) ; (2,2,3)>
La podemos encontrar a partir de una base cualquiera, por ejemplo, a partir de la
base B = {(1,1,-1) ; (2,2,3)}
Cómo se hace? La idea es reemplazar el segundo vector por uno que sea ortogonal
al primero, y que generen juntos el subespacio S. Para eso, tiene que ser una CL
de los vectores de la base B, o sea:

144. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 134 -
v = a . (1,1,-1) + b . (2,2,3) = (a + 2b , a + 2b , 3b – a)
Como además que sea ortogonal al (1,1,-1) se tiene que cumplir que:
v . (1,1,-1) = 0 ⇒ a + 2b + a + 2b + a – 3b = 3a + b = 0 ⇒ b = - 3a
⇒ v =a . (1,1,-1) – 3a . (2,2,3) ⇒ v = a . (-5,-5,-10) = -5a . (1,1,2)
Y cuánto vale a ? Puede valer cualquier cosa (siempre que no sea cero), porque
solamente estamos buscando un vector v cualquiera que cumpla eso. Por ejemplo,
si tomamos – 5 a = 1, v = (1,1,2), y nos queda
B' = {(1,1,-1) ; (1,1,2)}, es una base ortogonal de S.
Se puede hacer lo mismo con subespacios de dimensión más grandes. Siempre es
lo mismo: el primer vector queda igual, y reemplazamos el segundo por un vector
del subespacio que sea ortogonal al primero. Ahora, reemplazamos el tercero por
uno que sea ortogonal a los dos primeros, y así hasta terminar.
Complemento ortogonal
Si tenemos un subespacio S incluido en un EV V, se define el complemento
ortogonal S┴ como el conjunto de todos los vectores de V que son ortogonales a
todos los elementos de S, o sea:
S┴ = {X є V tal que X . s = 0 para todo s e S}
Un detalle importante: S┴ es un subespacio de V. Esto se puede verificar, fijate
que cumple con las tres propiedades que vimos antes.
– Y cómo se calcula S┴ ?
– Fácil, para que un vector sea ortogonal a todos los de S (o sea para que X
pertenezca a S┴), alcanza con que sea ortogonal a todos los generadores de S.
– Seguro? Alcanza con eso?
– Sí, porque como cualquier vector de S es CL de los generadores, el producto
de X con cualquier vector s e S va a ser una CL de los productos de X con cada
uno de los generadores. O sea, una suma de cero, o sea, cero. Mejor veamos
un ejemplo.
• Encontrar el complemento ortogonal del SEV S = <(1,0,1) ; (-2,1,0)>
X є S┴ si es ortogonal a esos dos vectores, o sea si:

145. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 135 -
(x1,x2,x3) . (1,0,1) = 0 ⇒ x1 + x3 = 0 ⇒ x3 = -x1
(x1,x2,x3) . (-2,1,0) = 0 ⇒ - 2 x1 + x2 = 0 ⇒ x2 = 2 x1
X = (x1, 2x1, -x1) = x1 . (1,2,-1)
S┴ = <(1,2,-1)>
– Listo ? Así de corto ?
– Sí, no tiene más secreto que eso. Fijate que los elementos de S son soluciones
de un sistema de ecuaciones, donde los coeficientes son las componentes de
los generadores de S. Eso también nos sirve para encontrar S┴ si nos dan a S
como un sistema de ecuaciones. Por ejemplo
• Encontrar S┴ si S = { X є R4
tal que x1 + x3 – x4 = x2 + 2x3 = 0 }
Respuesta rápida: S┴ = <(1,0,1,-1) ; (0,1,2,0)>. Si haces todas las cuentas como
en el caso anterior, vas a llegar al mismo resultado.
– Hay alguna otra relación entre S y S┴?
– Sí, sí, hay unas cuantas:
1) S ∩ S┴ = {0}. En la intersección están los vectores de S que son
ortogonales a todos los elementos de S, en particular, que son ortogonales
a sí mismo. Y el único vector que cumple con eso es el 0.
2) (S┴)┴ = S
3) Si S es un subespacio incluido en un espacio vectorial V, S ⊕ S┴ = V.
Proyección ortogonal
La última propiedad nos dice que podemos escribir cualquier vector v e V como
suma de un vector s є S y otro s┴ є S┴. Incluso más, esos dos vectores son
único. Bueno, a ese vector s lo llamamos proyección ortogonal de v sobre S.
La proyección ortogonal tiene una propiedad importante: es el vector de S más
cercano a V, o sea que la distancia ||v-s|| es mínima.
Mirá el gráfico.

146. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 136 -
Y claro, si siempre supimos que la menor distancia a un plano o a una recta está
dada por la perpendicular. Bueno, la proyección ortogonal es una generalización
de esa idea a cualquier espacio Rn
.
Cómo se encuentra la proyección ortogonal sobre un subespacio. La mejor
explicación es con un ejemplo:
• Encontrar el vector s є S más cercano al (1,1,1) con S = <(1,0,0) ; (0,1,0)>
Lo primero que hay que hacer es encontrar una base del espacio vectorial (en
este caso de R3
), que contenga una base de S y otra de S┴. En este caso es muy
fácil, podemos tomar la base canónica.
B = {(1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1)}
Los dos primeros vectores forman una base de S, y el último es una base de S┴
El próximo paso es encontrar las coordenadas del vector en esa base. Como es la
canónica, es muy fácil: las coordenadas son iguales al vector:
[(1,1,1)]B = (1,1,1)
Entonces ya tenemos los coeficientes de la CL de los vectores de la base que da
como resultado el vector (1,1,1). En otras palabras:
(1,1,1) = 1 . (1,0,0) + 1 (0,1,0) + 1 . (0,0,1) = (1,1,0) + (0,0,1)
La suma de los dos primeros da como resultado un vector de S, y el último es un
vector de S┴. Entonces ya está, logramos escribir al vector como suma de un
vector de S y otro de S┴; y como la suma de esos dos subespacios es directa, los
vectores son únicos. Listo, ya encontramos la proyección ortogonal sobre S:
s = (1,1,0)
S
S┴

147. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 137 -
Coordenadas en una base ortonormal
Si B ={v1, v2, .... , vn} es una base de un espacio vectorial V, las coordenadas un
vector v є V en esa base se calculan como:
[v]B = (v . v1 , v . v2 , .... , v . vn)
Andá unas páginas más atrás hasta la parte de interpretación del producto
interno como ángulo entres dos vectores, y vas a entender mejor esto.
Por último, para terminar, veamos todo un ejercicio:
• W = {X є R4
tal que x1 + x3 = 0}
T = {X є R4
tal que x2 + x3 + x4 - x1 = x1 + x3 - x4 = x2 + 2x3 + x4= 0}
Encontrar un subespacio S tal que S┴ ⊕ T = W
Bueno, por como viene planteado el ejercicio, nos conviene primero calcular S┴
y después obtener S. Antes que nada, veamos qué dimensión tiene que tener.
Como S┴ ⊕ T = W, la suma es directa y la fórmula de la dimensión nos dice que:
Dim S┴ + dim T = dim W ⇒ dim S┴ + 1 = 3 ⇒ dim S┴ = 2
Además, como la suma tiene que ser directa: S┴ ∩ T = {0}
Esas son las dos condiciones para S┴. La forma más fácil de encontrar S┴ es
escribir una base de W que incluya una base de T. Para eso, primero tenemos que
encontrar bases de los dos subespacios>
T = {X є R4
tal que x2 + x3 + x4 - x1 = x1 + x3 - x4 = x2 + 2x3 + x4= 0}
x2 +x3 +x4 – x1 = 0 ⇒ x1 = x2 +x3 + x4
x1 +x3 – x4 = 0 ⇒ x2 + x3 + x4 + x3 – x4 = 0 ⇒ x2 = -2x3
x2 + 2x3 + x4 = 0 ⇒ x4 = 0 ⇒ x1 = x2 + x3 = -x3
X є T = (-x3, -2x3, x3, 0) = x3 . (-1,-2,1,0)
X es combinación lineal de un solo vector. Como ese vector no es el cero, forma
una base del subespacio. O sea que
B = {(-1,-2,1,0)} es una base de T
Ahora lo mismo con W = {X є R4
tal que x1 + x3 = 0}
X є W >>>> x1 + x3 = 0 >>> x3 = -x1

148. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 138 -
Entonces, un vector cualquiera X de W nos queda:
X = (x1,x2,-x1,x4) = x1 . (1,0,-1,0) + x2 . (0,1,0,0) + x4 . (0,0,0,1)
Como nos quedó una combinación lineal de tres vectores que son LI (verificalo).
Esos tres vectores forman una base. Entonces:
C = {(1,0,-1,0) ; (0,1,0,0) ; (0,0,0,1)} es una base de W.
Ahora tenemos que conseguir otra base de W, que contenga a una base de T. Para
eso, tenemos que reemplazar uno de estos tres vectores por el (-1,-2,1,0). Fijate
que este vector es CL de los dos primeros vectores, pero no del tercero (es igual
dos veces el segundo menos el primero).
Entonces, OJO: no podemos reemplazar al tercer vector por el (-1,-2,1,0), porque
nos quedaría un conjunto LD. La parte difícil del problema es darse cuenta de eso.
Bueno, entonces reemplazamos el primer vector y nos queda:
D = {(-1,-2,1,0) ; (0,1,0,0) ; (0,0,0,1)} es una base de W
Como el primer vector es base de T y S┴⊕ T = W, los últimos dos vectores
forman una base de S┴. O sea que ya encontramos S┴:
S┴ = < (0,1,00) ; (0,0,0,1) >
Pero eso no es lo que nos piden, nos piden encontrar el subespacio S. Bueno, es el
complemento ortogonal de S┴. La forma más fácil es expresar a S como un
sistema de ecuaciones, nos queda:
S = { X є R4
tal que x2 = x4 = 0 }
Y listo, se terminó el problema. Esto es todo lo que necesitás saber de espacios
vectoriales. Ahora, ponerse a resolver ejercicios
FIN ESPACIOS VECTORIALES

149. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 139 -
EJEMPLOS SACADOS DE PARCIALES
Bueno, este ejercicio lo podemos resolver con cierta facilidad si entendemos
bien lo que nos están pidiendo. Vamos a ver: si nos piden una base de
4
R lo que
tenemos que hacer es buscar 4 vectores l.i. de
4
R (son cuatro porque las bases
de subespacios de dimensión finita n tienen n vectores). El tema es que los
mismos vectores agrupados de determinada manera tienen que formar una
base de S y una de T . Primero buscamos las bases de S y T a partir de las
ecuaciones que nos dan:
:S 4 1 2 33x x x x= + −
( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 1 2 3, , , , , , 3x x x x x x x x x x⇒ = + − =
( ) ( ) ( )1 2 31,0,0,1 0,1,0,1 0,0,1, 3x x x= + + −
( ) ( ) ( ){ }1,0,0,1 ; 0,1,0,1 ; 0,0,1, 3B = −S
:T
1 4 2 3 1 3
2 4 2 4
2 2 3 3x x x x x x
x x x x
= − − = −⎧ ⎧
→⎨ ⎨
= =⎩ ⎩
( ) ( )1 2 3 4 3 4 3 4, , , 3 , , ,x x x x x x x x⇒ = − =
( ) ( )3 43,0,1,0 0,1,0,1x x= − +
( ) ( ){ }3,0,1,0 ; 0,1,0,1B = −T
S tiene 3 vectores en su base y T tiene 2, pero fijáte ahora que el ( )0,1,0,1
se repite en ambas bases, así que si ponemos los tres vectores de la base de S
y el vector que nos falta de la base de T , tenemos cuatro vectores de
4
R .
Para que puedan formar una base tienen que ser l.i., así que vamos a triangular
para ver si no se nos elimina ninguno:
1 4 4 33F +F F -F
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3
3 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

150. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 140 -
¡ Son todos l.i. ! Eso quiere decir que los cuatro vectores forman una base del
espacio vectorial
4
R mientras que los primeros tres son también una base de
S y los últimos dos son una base de T :
( ) ( ) ( ) ( ){ }4 ;1,0,0,1 0,0,1, 3 ; 0,1,0,1 ; 3,0,1,0B = − −R
EJEMPLO
Bueno, bueno, este problemita es peludo. Lo primero que tenés que hacer es
acordarte bien qué es una suma directa ′⊕ =V V W . Una suma como ésa es
directa cuando los subespacios a sumar tienen por intersección únicamente al
vector nulo ( )0,0,0,0 :
{ }′∩ = ΘV V
Cuando la suma es directa, la dimensión de W es igual a la suma de las
dimensiones de V y ′V :
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
esto es cero porque
la intersección es
dim dim dim dim
Θ
′ ′= + − ∩W V V V V
( ) ( ) ( )dim dim dim ′⇒ = +W V V
Volviendo al problema, como 1 2= ⊕S W W podemos usar que 1W y 2W están
incluidos en S.
1 ⊂W S y 2 ⊂W S
Y lo mismo podemos hacer con 1 3= ⊕T W W .
1 ⊂W T y 3 ⊂W T
Si te fijás bien en lo que acabo de escribir, te vas a dar cuenta que 1W tiene
que estar en la intersección de S y T porque está incluido en los dos al mismo
tiempo.
1 ⊆ ∩W S T

151. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 141 -
Así que lo mejor que podemos hacer es empezar a buscar la intersección de S
y T . Ya lo debés haber hecho varias veces en la práctica, pero no está de más
recordarte cómo tenés que hacer cuando querés encontrar la intersección
entre dos subespacios cuando a uno te lo dan en forma de generadores y al
otro en forma de ecuaciones.
Cualquier vector v que está en la intersección, tiene que poder ser escrito
como una combinación lineal de los vectores de la base de S , y, al mismo
tiempo, tiene que cumplir con la ecuación de T . Veamos qué nos sale:
∈v S ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )
Combinación lineal de los vectores de la base de
1 2 3 4, , , 0,1, 1,0 0,1,0,1 1,0,1,0v v v v α β γ= = − + +v
S
( ) ( )1 2 3 4, , ,v v v v γ α β α γ β= , + ,− + ,
∈v T ⇒
Ecuación de
2 3 4 0v v v− + =
T
α β α γ β+ + − +
γ α β= 2 + 2
Y ahora reemplazamos γ por 2α + 2β en v:
α β α β= 2 + 2 , + , 2v α β α+ 2 −( )β, =
( ) ( ) ( ) ( )α α α β β β β α β= 2 , , ,0 + 2 , ,2 , = 2,1,1,0 + 2,1,2,1
( ) ( )2,1,1,0 ; 2,1,2,1∩ =S T
Fijáte ahora que ∩S T es de dimensión 2 (porque está generado por dos
vectores l.i.), y como 1W está incluido en ∩S T , su dimensión tiene que ser
menor o igual a 2. Antes de elegir 1W pensemos con cuidado. El problema te
está pidiendo que la intersección entre 2W y 3W no sea el cero, o sea,
( )2 3dim 0∩ >W W . Como 2W y 3W son subespacios de S y T respectivamen-
te, todos los vectores de 2W pertenecen también a S , y todos los de 3W
pertenecen a T . En particular, todos lo vectores que estén en la intersección
de 2W y 3W tienen que pertenecer a S y a T al mismo tiempo. ¡ Opa !,
entonces todos lo vectores de 2 3∩W W pertenecen también a ∩S T .

152. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 142 -
¿ Y para qué tanto lío ? Para que te des cuenta de que 2 3∩W W es un
subespacio que está incluido en ∩S T y que tiene dimensión mayor a 0.
( )2 3 2 3y dim 0∩ ⊆ ∩ ∩ >W W S T W W
Entonces, como antes habíamos dicho que 1W también estaba incluido en
∩S T , la dimensión de 1W tiene que ser o bien 1 (y la dimensión de 2 3∩W W
también es 1) o la dimensión de 1W es 0 y la 2 3∩W W es 2. Fijáte que en los
dos casos, estamos cumpliendo con lo que piden en el problema:
{ }2 3∩ ≠ ΘW W .
El problema lo podés terminar acá, diciendo que { }1 = ΘW , 2 =W S y 3 =W T
( en el enunciado no dice que no pueda ser así ). Te dejo a vos para que
compruebes que cumplen con todos los requisitos.
Pero vamos a seguir y vamos a elegir un 1W de dimensión 1. ¿ Cómo hacemos ?
Simple: tomamos uno de los vectores generadores de ∩S T , cualquiera y
decimos que 1W es el generado por ese vector. Por ejemplo, agarremos el
( )2,1,1,0 .
( )1 2,1,1,0=W
Para encontrar 2W y 3W tenemos que empezar por asegurarnos que la inter-
sección con 1W sea el cero, para que estén en suma directa. Una manera fácil
de hacer esto es decir que 2W y tienen que estar incluidos en el comple-
mento ortogonal de 1W (Acordáte que para cualquier subespacio W se cumple
que { }⊥
∩ = ΘW W ) ¿ Y cómo sacabas el complemento ortogonal ? Buscando
todos los vectores ortogonales al generador de 1W , o sea, todos los
( )1 2 3 4, , ,x x x x que tengan producto escalar nulo con el ( )2,1,1,0 :
( ) ( )1 2 3 4, , , 2,1,1,0 0x x x x ⋅ =
1 2 32 0x x x+ + =
{ }4
1 1 2 3/2 0x x x⊥
= ∈ + + =xW R
3W

153. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 143 -
Vamos a buscar ahora a 2W . ¿Cómo lo encuentro? Bueno, 2W tiene que estar
incluido en S y al mismo tiempo en 1
⊥
W para que la suma con 1W sea directa:
2 1
⊥
= ∩W S W . Lo hacés como antes:
( ) ( )1 2 3 4, , ,v v v v γ α β γ α β= = , + , − ,v
γ α β γ α2 + + + − = 0
β γ= −2
Y volviendo a v:
( ) ( ) ( )γ α γ γ α γ α γ= , − 2 , − ,−2 = 0,1,−1,0 + 1,−2,1,−2v
( ) ( )2 0,1, 1,0 ; 1, 2,1 2= − − −W
Para terminar, vamos a buscar los generadores de 3W . ACORDÁTE: cuando
tenés que buscar la intersección de dos subespacios que tenés dados en forma
de ecuaciones, lo que tenés que hacer es juntar todas las ecuaciones.
2 3 4 4 1 3
2
1 2 3 2 1 3
0 2 2
2 0 2
x x x x x x
x x x x x x
− + = = +⎧ ⎧
∈ ⇒ →⎨ ⎨
+ + = = − −⎩ ⎩
x W
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 1 3 3 1 3 1 3, , , , 2 , ,2 2 1, 2,0,2 0, 1,1,2x x x x x x x x x x x x= − − + = − + −
( ) ( )3 1, 2,0,2 ; 0, 1,1,2= − −W
Así, ya tenés los tres subespacios que necesitamos. Si querés, corroborá que
cumplen con todo lo que piden.
OTRO EJEMPLO

154. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 144 -
Nos dicen que las coordenadas en la base B’ de los vectores de H tienen la
forma ( ), ,0,0a b . Eso quiere decir que cualquier vector x de ese subespacio se
puede escribir como:
( ) ( )1 2 2 3a b∈ → = + + +x x v v v vH
Por otra parte, cualquier vector x del subespacio S puede escribirse como una
c.l. de sus generadores:
( ) ( ) ( )2 3 42α β γ∈ → = + + +1x x v v v vS
En particular, los vectores que estén en ∩S H son aquellos que pueden ser
escritos de ambas maneras al mismo tiempo, o sea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 3 2 3 42a b α β γ+ + + = + + +1v v v v v v v v
Distribuyendo cada producto y agrupando todo del lado derecho nos queda:
1 1 2 2 2 3 3 42a a b bα β β γΘ = − + − − + − +v v v v v v v v
Y agrupando todo lo que multiplica a cada vector:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 42a a b bα β β γΘ = − + − − + − +v v v v
Como estos cuatro vectores son l.i. (porque nos dicen que forman una base de
V ), al igualarse una combinación lineal de ellos al vector nulo los coeficientes
que los multiplican deben ser cero.
0
2 0
0
a a
a b
b b
α α
β
β β
γ
− = → =⎧
⎪ − − =⎪
⎨
− = → =⎪
⎪ = 0⎩
Reemplazando lo que obtuvimos en la primera y tercera ecuación en la segunda,
sacamos que a b= , o lo que es lo mismo: α β= y γ = 0. Reemplazando esto en
las expresiones que sacamos antes nos queda que:
( ) ( ) ( )1 2 2 3 1 2 32a a a= + + + = + +x v v v v v v v
Fijáte que es lo mismo reemplazar α, β y γ en la otra expresión. Esto quiere
decir que ∩S H es el subespacio generado por el vector 1 2 32+ +v v v .
Entonces la base que nos piden es:
{ }1 2 32B ∩ = + +v v vS H

155. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 145 -
De donde deducimos que ( )dim 1∩ =S H porque es un subespacio generado
por un único vector.
OTRO EJEMPLO SACADO DE UN PARCIAL
En este ejercicio lo más fácil es empezar por encontrar a
⊥
S y luego buscar su
complemento ortogonal que es el subespacio que nos piden, o sea S . Hallemos
una base de W y una de T .
De la ecuación de W sacamos que 1 3x x= − , o sea que sus vectores son los que
tienen la forma ( )1 2 1 4, , ,X x x x x= − .
( ) ( ) ( )1 2 41,0, 1,0 0,1,0,0 0,0,0,1X x x x= − + +
( ) ( ) ( )1,0, 1,0 ; 0,1,0,0 ; 0,0,0,1= −W
Hagamos un despeje similar sobre las ecuaciones de T :
1 2 3 4
4 1 3
2 3 42
x x x x
x x x
x x x
= + +⎧
⎪
= +⎨
⎪ = − −⎩
Reemplazando la tercera ecuación el la primera sacamos que 1 3x x= − . Poniendo
este resultado en la segunda ecuación sabemos que 4 0x = , y si llevamos esto a
la tercera nos queda que 2 32x x= − . En definitiva, los vectores de T son los
que tienen la forma:
( ) ( )3 3 3 3, 2 , ,0 1, 2,1,0X x x x x= − − = − −
( )1, 2,1,0= − −T
Averigüemos la dimensión de
⊥
S . Tras haber encontrado sus bases, sabemos
que ( )dim 3=W y que ( )dim 1=T , así que podemos aplicar el Teorema de la
Dimensión:

156. ASIMOV ESPACIOS VECTORIALES- 146 -
( ) ( ) ( )
3 1
dim dim dim 2⊥
= − =S W T
Siendo
⊥
S un subespacio de dimensión 2, tenemos que encontrar dos vectores
de
4
R que estén incluidos en W y que sean l.i. con el generador de T . Esto lo
podemos hacer a ojo, sacándolos de entre los generadores de W , por ejemplo
( )0,1,0,0 y ( )0,0,0,1 cumplen con lo que necesitamos (chequeálo). Así, nuestro
subespacio
⊥
S es el:
( ) ( )0,1,0,0 ; 0,0,0,1⊥
=S
Los vectores de su complemento ortogonal (S ) son todos los X cuyo producto
escalar con los generadores de
⊥
S da cero:
( ) ( )1 2 3 4 2, , , 0,1,0,0 0 0x x x x x⋅ = ⇒ =
( ) ( )1 2 3 4 4, , , 0,0,0,1 0 0x x x x x⋅ = ⇒ =
Ésas son las ecuaciones del subespacio que nos piden, por lo tanto:
{ }4
2 4/ 0x x= ∈ = =xS R

157. - 147 -

158. - 148 -
¿ Viste algo en este libro que no está bien ?
¿ Hay algo que te parece que habría que cambiar ?
¿ Encontraste algún error ?
¿ Hay algo mal explicado ?
Mandame un mail y lo corrijo.
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159. - 149 -
OTROS APUNTES
ASIMOV
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ALGEBRA.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* PARCIALES RESUELTOS
Son parciales que fueron tomados el año pasado. Hay también
parciales de años anteriores.Todos los ejercicios están resueltos.
* FINALES DE ALGEBRA RESUELTOS
* LIBRO ANALISIS PARA EL CBC
* LIBRO FISICA PARA EL CBC
* LIBRO QUIMICA PARA EL CBC

160. - 150 -
Índice
Pág.
Vectores en R2 y en R3
4...................Operaciones con vectores
8 Módulo y Norma de un vector
11..................Producto escalar
16 Producto Vectorial
20..................Rectas
22 Intersección de Rectas
25..................Angulo entre Rectas
27 Planos
31..................Planos paralelos – Intersección entre planos
32 Intersección entre un plano y una recta
34..................Distancia de un punto a un plano
36 Ejercicios de parciales
Sist. lineales – Matrices
44...................Sistemas compatibles e incompatibles
45 Sistemas Lineales Homogéneos
46...................Matrices
47 Tipos de Matrices
48...................Propiedades de los sistemas lineales
51 Método de Gauss
53...................Rango de una Matriz
53 Sistemas Li y Ld
55...................Operaciones entre Matrices
58 Inversa de una Matriz
61...................Ejercicios de parciales

161. - 151 -
Determinantes
72..................Determinante de una matriz cuadrada
74 Propiedades de los determinantes
75..................Desarrollo por cofactores
76 Cálculo del determinante de una matriz usando cofactores
78..................Regla de Cramer
78 Matriz de cofactores y matriz adjunta
79..................Solución única
82 Ejercicios de parciales
Espacios Vectoriales
88..................Definición de Espacio Vectorial
91 Combinación Lineal
93..................Dependencia e Independencia lineal
102 Subespacios
106..................Subespacios generados
109 Base y dimensión de un Subespacio
113..................Coordenadas de un vector en una base
118 Matriz de cambio de base
120..................Propiedades de la matriz de cambio de base
121 Unión, Intersección y Suma de Subespacios
126..................Suma directa
127 Extensión de bases
130..................Producto Interno
131 Angulo entre vectores
134..................Complemento Ortogonal
135 Proyección Ortogonal
137..................Coordenadas en una base ortonormal
139 Ejercicios de parciales

162. ALGEBRA PARA EL CBC – PARTE 2

164. ALGEBRA
Para el CBC
* TRANSFORMACIONES
LINEALES
* NUMEROS COMPLEJOS
* POLINOMIOS
* AUTOVALORES Y
AUTOVECTORES
PARTE 2
LAL-2

165. Álgebra para el CBC, Parte 2
- 2da. edición. – Buenos Aires: Editorial Asimov, 2010
140 p. , 21 x 27 cm.
ISBN: 978-987-23462-1-8
Álgebra para el CBC : parte 2 - 2a ed.
Buenos Aires : Asimov, 2010
v. 2, 140 p. ; 21 x 27 cm.
ISBN 978-987-23462-1- 8
1. Álgebra. I. Título
CDD 512
Fecha de catalogación: 13/03/2007
© 2010 Editorial Asimov
Derechos exclusivos
Editorial asociada a Cámara del Libro
2da edición. Tirada: 100 ejemplares.
Se terminó de imprimir en octubre de 2010
HECHO EL DEPÓSITO QUE ESTABLECE LA LEY 11.723
Prohibida su reproducción total o parcial
IMPRESO EN ARGENTINA

166. OTROS APUNTES
ASIMOV
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ALGEBRA.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* PARCIALES RESUELTOS DE ALGEBRA
Son parciales que fueron tomados el año pasado. Hay también de
años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos.
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ANALISIS.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* LIBRO ANALISIS PARA EL CBC
Tiene la teoría que se da en clase pero explicada en castellano.
* PARCIALES RESUELTOS DE ANALISIS
Son parciales que fueron tomados el año pasado. Hay también de
años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos.
* LIBRO FISICA PARA EL CBC
Tiene toda la teoría de la materia pero hablada en castellano
¿ Ves algo en este libro que no está bien ?
¿ Hay algo que te parece que habría que cambiar ?
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LAL-2

168. Índice
Pág.
1.............TRANSFORMACIONES LINEALES
3....................Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal
3 TEOREMA de la dimensión
6....................Tipos de Transformaciones Lineales
7 Algunas propiedades
10...................Composición de Transformaciones Lineales
12 Rg A = dim Im (f)
20...................MBB’’(gof) = MB’B’’(g) MBB’(f)
20 MB’B(f-1
) = (MBB’(f))-1
21...................Cambio de base
22 MB´(f) = CBB´ MB(f) CB´B
23...................
25 Proyector. V = Nu(p) ⊕ Im(p)
26............... ¿ Cómo armar Transformaciones Lineales ?
27 Resumen
30...................Ejercicios de parciales
45.............NUMEROS COMPLEJOS
46...................Definición de Nro complejo
47 Conjugado de un Nro complejo
47...................El plano complejo
48 Módulo y Argumento
52...................Forma trigonométrica
53 Producto y cociente de Complejos
56...................Notación Exponencial
57 Potencias y raíces de un número complejo
60...................Resumen
63 Ejercicios de parciales
EBEE´ B´E´ BB´M C .M .C=

169. 69.............POLINOMIOS
69...................Definición de Polinomio
70 Grado de un Polinomio
71...................División de Polinomios
72 División por polinomios de la forma Q = x – a
73...................Regla de Ruffini
74 Calculo de raíces
75...................Multiplicidad de una raíz
76 Raíces de Polinomios de 1er y 2do grado
78...................Polinomios de grado mayor que 2
83 Resumen
84...................Ejercicios de parciales
89............AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
89...................Definición de autovalores y autovectores
89 Ecuación característica: det (λI-A)=0
94...................Propiedades de los autovalores y autovectores
104 Diagonalización
109...................Método de Gram-Schmidt
113 Resumen
115...................Ejercicios de parciales

170. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 1 -
TRANSFORMACIONES LINEALES
Antes que nada quiero advertirte que este tema que estás empezando a ver es largo,
pesado, tedioso, engorroso ... pero está bueno ! Masoquismo ? No ! Sólo que con el
tiempo vas a ver que es muy práctico: siempre que exista una matriz habrá realmente
una Transformación Lineal.
Ahora sí, arranquemos con esa pregunta que me querés hacer:
Y eso de las Transformaciones Lineales... ¿ con qué se come ?!
Empezamos. Una Transformación Lineal es una función ( como cualquier otra ), pero
que cumple ciertos requisitos particulares. Como primer cosa a notar es que tiene
como Dominio y Codominio a dos espacios vectoriales f: V → W (o sea, se aplica a
vectores pertenecientes a V, y produce vectores pertenecientes a W), y además
debe cumplir con estas propiedades:
I) f(x + y) = f(x) + f(y) ∀ x, y ∈ V
II) f(λx) = λf(x) ∀ λ∈ K, ∀ x ∈ V
En el ítem II K simboliza a un cuerpo, que es algo parecido a un espacio vectorial de
dimensión igual a 1, pero no te preocupes, λ siempre va a ser un número real, o a lo
sumo, un complejo.
Ejemplos de T.L.? Acá van algunos:
• f(v) = v (se llama Identidad)
Cómo sabemos que es una T.L? Simplemente corroborando que cumple con las
propiedades de vimos recién. Fijate:
f(x + y) = x + y = f(x) + f(y) ∀ x, y ∈ V
f(λx) = λx = λf(x) ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ V
Otro ejemplo no tan fácil, de esos que se ven más seguido, y que es mucho más
parecido a los que te pueden tomar en los parciales.
• Sea f : IR2
→ IR2
dada por: f(x1 , x2) = (0 , x1)
Hay que ver que f cumpla las propiedades. Como x, y son vectores de IR2
los puedo
escribir x = (x1 , x2) y = (y1 , y2)

171. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 2 -
ALGUNAS PROPIEDADES
Ahora veamos si valen las propiedades:
I) f(x + y) = f(x1 + y1 , x2 + y2) = (0 , x1 + y1) = (0 , x1) + (0 , y1) = f(x) + f(y)
∀ x, y ∈ V
II) f(λx) = f( λx1 , λx2) = (0 , λx1) = λ(0 , x1) = λf( x1 , x2) = λf(x)
∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ V
Como llegamos a que cumple con las propiedades, es una T.L.!!
Ahora pasemos a algunos ejemplos más complicados:
• Sea f(x1 , x2) = (cos (x1) , x2)
I) f(x + y) = (cos(x1 + y1) , x2 + y2) ≠ (cos (x1) + cos (y1) , x2 + y2) = f(x) + f(y)
Como una de las propiedades ya no se cumple, entonces f no es una T.L. !!
• Sea f(x1 , x2 , x3 , x4) = 3x1 + x2
2
– x3 + 2x4
Ahora probemos con la segunda propiedad en vez de la primera, para practicar con
esta también:
II) f(λx) = 3λx1 + λ2
x2
2
– λx3 + 2λx4 ≠ 3λx1 + λx2
2
– λx3 + 2λx4 = λf(x)
Por lo que esta tampoco es una T.L. !!
De estos ejemplos se empieza a ver por qué es que se llaman Transformaciones
Lineales: son lineales porque sólo pueden ser funciones lineales de las coordenadas
de los vectores que transforman. Si aparecen cosas raras como funciones
trigonométricas, o coordenadas elevadas a alguna potencia, entonces ya no
corresponde a una T.L.
Si f: V → W es una T.L., entonces cumple estas propiedades:
• f(0) = 0.
• f(-v) = -f(v) ∀ v ∈ V.
• f(v + w) = f(v) + f(w) ∀ v, w ∈ V.
• f(a1x1 + ... + anxn) = a1f(x1) + ... + anf(xn) donde ai ∈ K y xi ∈ V.
• Si S es un subespacio de V entonces f(S) es un subespacio de W.
• Si T es un subespacio de W entonces f-1
(T) es un subespacio de V.

172. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 3 -
Núcleo, Imagen de una Transformación Lineal y otras yerbas
El núcleo de una T.L. dada por f: V → W, es el conjunto de los vectores x ∈ V que
cumplen que f(x) = 0. Lo vas a encontrar como Nu(f) o Kernel de f.
La imagen de una T.L. es el conjunto f(x) o sea, los w ∈ W para los cuales hay algún x
∈ V que cumple que f(x) = w. Hay que tener mucho cuidado y no confundir a W con
Im(f); Im(f) siempre es un subespacio de W, pero no necesariamente son iguales
(aunque varias veces nos vamos a encontrar con que sí).
Algunas cosas para recordar del núcleo, imagen y etcéteras:
Sea una T.L. dada por f: V → W:
Algo útil de saber es que se define como nulidad a la dim Nu(f) y como rango a la dim
Im(f).
Y por último, un teorema que hay que aprender a querer, y después a usar:
Ahora que contamos con ciertas armas podemos enfrentarnos a algunos ejemplos
prácticos.
Calcular las imágenes y los núcleos de las T.L. no es tan difícil como parece. Veamos
un ejemplo particular de este cálculo:
• Sea f : IR2
→ IR3
la T.L. dada por f(v1 , v2) = (v1 + v2 , 0 , v1 - v2)
TEOREMA (de la dimensión)
• El Un (f) es un subespacio de V.
• La Im (f) es un subespacio de W.
• Si la dim V = n ⇒ n ≥ dim Im(f)
• Si la dim V = n ⇒ n ≥ dim Nu(f)
• Si {v1 , v2 , ... , vn} generan a V ⇒ {f(v1) , f(v2) , ... , f(vn)} generan a
Im(f).
Sea f: V → W una T.L. Si la dimV es finita se cumple que
dimV = rango(f) + nulidad(f)

173. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 4 -
Para encontrar el núcleo quiero buscar que
f(v1 , v2) = (0 , 0 , 0)
(v1 + v2 , 0 , v1 - v2) = (0 , 0 , 0)
Y como dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son iguales entre sí,
entonces tengo:
v1 + v2 = 0 ⇒ v1 = -v2
0 = 0
v1 - v2 = 0 ⇒ -v2 - v2 = 0 ⇒ -2v2 = 0 ⇒ v2 = 0 ⇒ v1 = 0
Entonces para que f(v1 , v2) = (0 , 0 , 0) encontramos que (v1 , v2) = (0 , 0)
Y como quería calcular el núcleo, tengo que Nu(f) = {(0 , 0)}
Ya vimos cómo se calcula el núcleo, ahora ¿ cómo veo si algo está en la imagen?
Veámoslo con otro ejemplito:
• Sea f : IR2
→ IR2
tal que f(x1 , x2) = (2 x1 - x2 , - 8 x1 + 4 x2), entonces,
(1 , -4) ∈ Im(f) ?
Para responder la pregunta, tendremos que ver si existe algún vector x para el que
se cumpla que f(x) = (1 , - 4). ¿ Cómo lo buscamos ? Parece muy difícil, pero en
realidad busco x = (x1 , x2) que cumpla:
f(x1 , x2) = ( 1 , - 4 ) ⇒ (2 x1 – x2 , - 8 x1 + 4 x2) = ( 1 , - 4 )
Ahora podremos plantear:
2 x1 – x2 = 1
- 8 x1 + 4 x2 = - 4
Sólo me interesa que haya solución así que veo si este sistema que planteamos es
compatible.
2 1 1 2 1 1
8 4 4 0 0 0
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M M
M M
Me queda la ecuación: 2x1 – x2 = 1 . Y de ahí me doy cuenta que puedo obtener infini-
tas soluciones. Lo que me preguntaba era si (1 , -4) ∈ Im(f) y como encontré “al
menos una” solución entonces es verdad que (1 , -4) ∈ Im(f).
• Definir, si es posible, una T.L. f: IR4
→ IR4
que verifique simultáneamente:
Nu(f) + Im(f) = S

174. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 5 -
(2 , 0 , 1 , 0) ∈ Nu(f) y (2 , 0 , 1 , 0) ∉ Im(f)
(0 , 1 , 1 , 2) ∉ Nu(f) y (0 , 1 , 1 , 2) ∈ Im(f)
Ah !! Se ve muy feo, No? ¿ Cómo hacemos para que se cumpla TODO ESO al mismo
tiempo?!?!?! A no desesperarse ! No es tan complicado, fijate:
Viendo la forma de los vectores que nos dan en el enuciado, llegamos a:
S = { x∈ IR4
/ x1 = -x4 + 2x3 } = { x∈ IR4
/ x = (-x4 + 2x3 , x2 , x3 , x4) }
Entonces, una base de S sería = { (2, 0 , 1 ,0) , (0 , 1 , 1 , 2) , (-1 , 0 , 0 , 1) }
Una de las condiciones que nos imponen es:
(2 , 0 , 1 , 0) ∈ Nu(f) ⇒ f( 2 , 0 , 1 , 0) = (0 , 0 , 0 , 0)
Por otro lado, nos piden:
(0 , 1 , 1 , 2) ∈ Im(f) ⇒ ∃ v /f(v) = (0 , 1 , 1 , 2)
Supongamos que
(-1 , 0 , 0 , 1) ∈ Nu(f) ⇒ f(-1 , 0 , 0 , 1) = (0 , 0 , 0 , 0)
y a su vez (-1 , 0 , 0 , 1) ∈ Im(f) ⇒ ∃ u / f(u) = (-1 , 0 , 0 , 1)
Entonces podemos definir a f de manera tal que:
Nu(f) = gen{ (2 , 0 , 1 , 0) , (-1 , 0 , 0 , 1) }
pues asumo que (0 , 1 , 1 , 2) ∉ Nu(f)
Im(f) = gen{ (0 , 1 , 1 , 2) , (-1 , 0 , 0 , 1) }
pues asumo que (2 , 0 , 1 , 0) ∉ Im(f)
Por lo tanto, tomando el conjunto de vectores (que forman una base de IR4
)
{ (2 , 0 , 1 , 0) ; (-1 , 0 , 0 , 1) ; (0 , 1 , 0 , 0) ; (0 , 0 , 0 , 1) }
Y definiendo:
f(2 , 0 , 1 , 0) = (0 , 0 , 0 , 0)
f(-1 , 0 , 0 , 1) = (0 , 0 , 0 , 0)
f(0 , 1 , 0 , 0) = (-1 , 0 , 0 , 1)
f(0 , 0 , 0 , 1) = (2 , 0 , 1 , 0)
Obtenemos una definición unívoca de f. Además podemos ver que:
Nu(f) + Im(f) = gen{ (2 , 0 , 1 , 0) , (-1 , 0 , 0 , 1) , (0 , 1 , 1 , 2) }

175. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 6 -
= gen { (2 , 0 , 1 , 0) , (-1 , 0 , 0 , 1) , (0 , 1 , 0 , 0) } = S
Como pedía el enunciado !!!
A veces las T.L. se pueden caracterizar de las siguientes formas:
Probar que un T.L. es un monomorfismo parece medio feo, pero usando la definición
se simplifica bastante.
Si queremos saber si una T.L. es un monomorfismo entonces vemos si dos vectores
distintos pueden tener el mismo elemento en la imagen (si esto ocurriera, sería
porque no se trata de un monomorfismo, se entiende?)
Veamos entonces,
Si f(v) = f(w) entonces v = w
Al primer miembro lo podemos escribir de otra manera:
f(v) = f(w) ⇒ f(v) - f(w) = 0
y como es una T.L. vale que
f(v) - f(w) = f(v - w) = 0 y f(0) = 0
⇒ v – w = 0 ⇒ v = w
Entonces lo que realmente vamos a comprobar es que f(v - w) = 0 sólo sucede cuando
v = w. Otra consecuencia importante de lo que estuvimos viendo es la siguiente:
Tipos de T.L.
♦ Monomorfismo: cuando la T.L. es inyectiva, lo cual significa que si
f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.
♦ Epimorfismo: cuando la T.L. es suryectiva, es decir que ∀ w ∈ W
existe algún v tal que f(v) = w.
♦ Isomorfismo: cuando la T.L. es a la vez un monomorfismo y un
epimorfismo. Es el equivalente de decir que una función es
biyectiva (suryectiva e inyectiva a la vez).
Si tengo una T.L. f: V → W que es un monomorfismo,
y además dimV = dimW, resulta que Im(f) = W.

176. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 7 -
PROPIEDADES
Dado que f es un monomorfismo, y sabiendo que f(0) = 0 para todas las T.L. , ya
sabemos que Nu(f) = 0. Entonces, por el teorema de la dimensión, tengo que dimV
= dim Im (f). Pero Im(f) es un subespacio de W, y dimW = dimV = dimIm(f). Esto
significa que la imagen de f es igual a W. De esto se desprende que f es un
epimorfismo.
Un ejemplito corto, para aclarar ( y no oscurecer, esperemos ! ):
Sea f: V → W dada por f(v1 , v2) = (v1 + v2 , v1 - v2). Lo primero que tenemos que
notar es que tanto V como W son de dimensión 2. Ahora resolvamos para ver cuál
es el núcleo de f, haciendo f(v) = 0.
(v1 + v2 , v1 - v2) = 0 ⇒ v1 = v2 = 0
Con lo que el Nu(f) = 0, y de acuerdo al teorema de la dimensión, y a las propiedades
que vimos, Im(f) = W.
Sacamos que la T.L. era un epimorfismo sabiendo muy poco y sin hacer cuentas. Esto
se usa en muchos ejercicios.
Si hubiese tenido que dim V < dim W y la T.L. sigue siendo un monomorfismo,
entonces usando lo de arriba, sabemos que la T.L. no puede ser nunca un epimorfismo
( porque el Rango de f es siempre menor que la dimensión de W ).
Acá vienen algunas propiedades nuevas que generalizan estas ideas.
Si f es una T.L.
La diferencia entre los últimos dos puntos es que cuando f es un isomorfismo la
imagen es W y por eso es base de W. En cambio, como Im(f) no es igual a W, sólo
resulta en una base de Im(f).
• f: V → W es un monomorfismo es lo mismo que decir que Nu(f) = 0
• Si {f(v1) , f(v2) , ... , f(vn)} es un conjunto L.I. ⇒ {v1 , v2 , ... , vn} es L.I.
• Si f es un monomorfismo y {v1 ,v2 , ... , vn} es L.I. ⇒
⇒ {f(v1) , f(v2) , ... , f(vn)} es L.I.
• Si f es un isomorfismo y {v1 , v2 , ... , vn} es base de V ⇒
⇒ {f(v1) , f(v2) , ... , f(vn)} es base de W.
• Si f es un monomorfismo y {v1 , v2 , ... , vn} es base de V ⇒
⇒ {f(v1) , f(v2) , ... , f(vn)} es base de Im(f).

177. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 8 -
Todo muy lindo, pero... ¿ qué pasa si sólo me dan lo que vale una T.L. para una
base ?
Rta: Si tengo lo que una T.L. vale en una base, y como a los vectores los puedo escri-
bir como combinaciones lineales de la base, al final voy a poder aplicar la T.L. a cual-
quier vector. Para que quede más claro acá va un ejemplo:
Sea f : IR3
→ IR3
una T.L. que cumple
f(1 , 0 , 0) = (0 , 3 , 1)
f(0 , 1 , 0) = (0 , 0 , 3)
f(0 , 0 , 1) = (1 , 0 , 0)
Entonces tengo lo que vale la T.L. en una base de IR3
.
Si quiero ver lo que vale en cualquier v = (v1 , v2 , v3) ∈ IR3
, lo pienso así:
f(v) = f(v1(1 , 0 , 0) + v2(0 , 1 , 0) + v3(0 , 0 , 1)) =
= v1f(1 , 0 , 0) + v2f(0 , 1 , 0) + v3f(0 , 0 , 1)
Esto lo puedo hacer porque f es una T.L. Reemplazando f de cada uno de los vectores
de la base obtengo lo siguiente:
f(v) = v1(0 , 3 , 1) + v2(0 , 0 , 3) + v3(1 , 0 , 0) = (v3 , 3v1 , v1 +3 v2)
Y llegamos a la fórmula original de la T.L. !!!
Esto se puede hacer con cualquier T.L. (f: V → W) de la cual nos den su valor para
una base de V (y es importante también darse cuenta de que la T.L. aplicada a esa
base devuelve una base de Im(f), la cual no necesariamente es una base de W ).
Así llegamos a este ...
Lo más importante para saber aplicar este teorema, es que los vectores de V sobre
TEOREMA
Si {v1 , v2 , ... , vn} es base de V y {w1 , w2 , ... , wn} vectores
de W (no tienen por qué ser L.I., ni siquiera tienen que ser distintos).
Hay una (y solamente una) T.L. f: V → W que cumple que
f(v1) = w1 , f(v2) = w2 , ... , f(vn) = wn

178. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 9 -
los cuales estemos trabajando sean linealmente independientes. Si no lo son, enton-
ces no estamos trabajando con una base, y puede que todo el desarrollo no tenga
valor y es probable que sea imposible terminar el cálculo.
A veces es difícil obtener una fórmula explícita de una T.L. Por ejemplo, si
tuviésemos una T.L. dada por:
f(2 , 1) = (0 , 3)
f(1 , 2) = (1 , 1)
Los vectores (2 , 1) y (1 , 2) son linealmente independientes, pero ahora, se complica
bastante para obtener una fórmula de la T.L...
Lo que tenemos que hacer es buscar una forma de escribir cualquier vector del
espacio V en la base de la cual tenemos el valor de f. A ver...
Antes que nada vamos a tener que escribir al vector general v = (v1 , v2) en la base
{(2 , 1) ; (1 , 2)}:
v = (v1 , v2) = a (2 , 1) + b (1 , 2)
v1 = 2a + b ⇒ b = v1 – 2a ⇒ b = 2/3 v2 – 1/3 v1
v2 = a + 2b ⇒ a = v2 – 2b ⇒ a = 2/3 v1 – 1/3 v2
Y ahora aplicamos f a v escrito de esta forma:
f(v) = f[ (2/3 v1 – 1/3 v2)(2 , 1) + (2/3 v2 – 1/3 v1)(1 , 2) ]
= (2/3 v1 – 1/3 v2) f(2 , 1) + (2/3 v2 – 1/3 v1) f(1 , 2)
= (2/3 v1 – 1/3 v2) (0 , 3) + (2/3 v2 – 1/3 v1) (1 , 1)
= (0 , 2v1 – v2) + (2/3 v2 – 1/3 v1 , 2/3 v2 – 1/3 v1)
= (2/3 v2 – 1/3 v1, 5/3 v1 – 1/3 v2)
Y ya tenemos la forma general de esta T.L.:
f(v1 , v2) = (2/3 v2 – 1/3 v1, 5/3 v1 – 1/3 v2)
Con las siguientes propiedades podemos seguir averiguando cosas útiles de las T.L.
con las que nos encontremos, sin sumergirnos en toneladas de cuentas:
Sea f: V → W
Si f es un monomorfismo se cumple que dim W ≥ dim V
Si f es un epimorfismo se cumple que dim V ≥ dim W
Si f es un isomorfismo se cumple que dim V = dim W
Si dimV = dim W entonces es equivalente decir que f es un epimor-
fismo, un isomorfismo o un monomorfismo (si vale una valen todas)

179. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 10 -
Veamos un ejemplito simple, como para entender qué se supone que tenemos que
poder hacer con estas propiedades:
Tengo una T.L. f: IR4
→ IR3
¿ Puede f ser un monomorfismo ?
Si f es un monomorfismo, de las propiedades se desprende que:
Dim W ≥ dim V. Pero dim V = 4 y dim W = 3. Entonces f no puede ser nunca un
monomorfismo.
Composición de Transformaciones Lineales
Ahora, si además de f: V → W, tenemos otra T.L., por ejemplo, g: U → S, podemos
combinarlas para hacer una Transformación Lineal Compuesta. Tendríamos:
gof : V → S y fog : U → W
Decir fog(v) es lo mismo que f(g(v)) igual vale para gof(v) ≈ g(f(v)). Tené cuidado
porque no siempre son posibles de hacer, necesitamos que los espacios involucrados
cumplan con ciertas condiciones. ¿ Cuáles son ? Rta: Estas:
• Si Im(g) ⊆ V, entonces podemos construir fog : U → W
• Si en cambio, Im(f) ⊆ U, entonces podemos construir gof : V → S
Acá va un ejemplo:
Sea f: IR2
→ IR2
y g: IR2
→ IR2
f(x1 , x2) = (2x1 , x2)
g(x1 , x2) = (2x1 - x2 , x1 + x2)
Si calculo fog hago
(fog)(x) = f(g(x)) = f(2x1 - x2 , x1 + x2)
Lo que hago ahora es hacer la cuenta de f usando a (2x1 - x2) como la primer
coordenada y a (x1 + x2) como la segunda.
f ( 2x1 – x2 , x1 + x2 ) = ( 2 ( 2x1 – x2 ) , x1 + x2 ) =
= ( 4x1 – 2x2 , x1 + x2 )
Entonces (fog)(x) = ( 4x1 – 2x2 , x1 + x2 )
Y ahora algunas propiedades de las T.L. y sus composiciones, para ayudarnos en el
futuro.

180. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 11 -
Si tengo dos T.L. f: V → W y g: W → U entonces se cumple:
Olvidemos un rato la composición de T.L. y veamos estos ejemplos de T.L.
• f(v) = v
• f(v) = 5v
• f(x1 , x2) = (0 , x1)
• f(v1 , v2) = (v1 + v2 , 0 , v1 - v2)
• f(v) = (v3 , 3v1 , v1 + 3v2)
Para todas estas T.L., las imágenes se obtienen haciendo cuentas (como sumas,
restas y multiplicaciones por números) con cada una de las coordenadas de los
vectores . Esto lo van a cumplir todas las T.L. Pero también existe un método para
describir las T.L. que es más compacto y menos propenso a errores (una vez que se
aprende bien a manejarse así!!!). Se pueden escribir las transformaciones como
multiplicación de un vector por una matriz, para encontrar el resultado. Hagámoslo
con cada ejemplo de los que copiamos:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
10
01
)(
v
v
v
v
vf
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
1
2
1
5
5
50
05
)(
v
v
v
v
vf
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
12
1 0
01
00
)(
xx
x
xf
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
21
21
2
1
0
11
00
11
)(
vv
vv
v
v
vf
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
21
1
3
3
2
1
3
3
031
003
100
)(
vv
v
v
v
v
v
vf
Como se ve en el cuarto punto, no se necesita que la matriz sea cuadrada, lo que sí
tiene que pasar es que se pueda hacer la multiplicación entre la matriz y el vector.
gof: V → U es una T.L.
Si f es un isomorfismo entonces hay una T.L. f-1
: W → V (que es la
inversa de f) y es un isomorfismo.
Si f y g son isomorfismos entonces gof es un isomorfismo y va a
valer que (gof)-1
= f-1
og-1

181. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 12 -
( La cantidad de columnas de la matriz tiene que ser igual al número de filas del
vector )
Ahora lo que realmente vamos a querer saber es cómo hacemos para obtener esa
matriz en casos más complicados, para esto, tenemos el próximo teorema que
asegura que siempre encontraremos una matriz que nos sirva, como las de arriba.
Y ahora vamos a ver que la dimensión de la imagen de la T.L. es igual al rango de A
(cosa que vamos a comprobar un poco mejor más adelante):
Rg A = dim Im (f)
A esta matriz la voy a llamar la matriz de la T.L. y la armo poniendo en cada columna
la imagen de los vectores de la base canónica.
A lo mejor con algunos ejemplos se entiende un poco más qué es la dim Im(f). De paso
saco el núcleo de la T.L. !
f: IR3
→ IR3
f(x , y , z) = (x + y + z , 2x - y , 3x + z)
Aplicando f a la base canónica:
f(1 , 0 , 0) = (1 , 2 , 3)
f(0 , 1 , 0) = (1 , -1 , 0)
f(0 , 0 , 1) = (1 , 0 , 1)
Escribamos la matriz de la T.L. armándola colocando cada vector que acabamos de
encontrar como columna .
Muy
Importante
TEOREMA
Para cualquier T.L. Sea f: IRn
→ IRm
hay una matriz A ∈ IRmxn
,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnm
n
aa
aa
A
.....
.....
1
111
y entonces podemos escribir a la T.L. como f(v) = Av.

182. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 13 -
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
z
y
x
zyxf
103
012
111
,,
Para calcular el núcleo igualamos el sistema a cero, y resolvemos el sistema
homogéneo, para lo cual usamos todo lo que sabemos de temas anteriores:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
0
0
0
103
012
111
z
y
x
Acá se pueden sacar las soluciones de las ecuaciones a mano, pero muchas veces es
mejor resolver el sistema triangulando por Gauss.
Ya tenemos triangulada la matriz así que logramos una expresión del núcleo de la T.L.
a partir de:
x + y + z = 0 ⇒ x = - y - z
-3y – 2z = 0 ⇒ – 2z = 3y ⇒ z = -3/2 y
con la segunda ecuación reemplazamos en la primera y queda,
x = - y + 3/2 y x = ½ y
además teníamos que z = -3/2 y
Al final me queda que Nu(f) = ( ½ y , y , -3/2 y ) = y(½ , 1 , -3/2)
Como “y” puede valer cualquier número,tengo que Nu(f) = (½ , 1 , -3/2). (o sea
cualquier múltiplo de ese vector)
Lo otro que estábamos por calcular era la dim Im (f). Pero en la cuenta que hicimos
antes para el núcleo, sin querer sacamos el rango de la matriz ! Y como dim Im(f) es
lo mismo que el rango de la matriz, tenemos:
Dim Im (f) = 2
La ventaja de expresar en forma matricial a las transformaciones lineales, es que
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
2 1 0 0 0 3 2 0 0 3 2 0
3 0 1 0 0 3 2 0 0 0 0 0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− ≈ − − ≈ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M M M
M M M
M M M

183. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 14 -
facilitan mucho la mayoría de las cuentas, y organizan mucho mejor los datos para
tenerlos de forma más clara. En este ejemplo lo que hicimos fue resolver sistemas de
ecuaciones. Encontrar el núcleo de la T.L. es como resolver el sistema homogéneo
A.X = 0 siendo A la matriz de la T.L.
Ya que la tenés más clara, te paso este ejercicio que engloba muuuuuuuuucho de que
hablamos hasta ahora:
Sea f : IR3
→ IR3
f(x1 , x2 , x3) = (3x1 - 2x2 , 2x1 + 2x2 , x2 - x3)
1) Es una T.L.?
2) Encontrar la matriz de la transformación.
3) Hallar una base del núcleo y una de la imagen de esta transformación.
4) Cuál es la dimensión del Nu(f)? Y la de la Im(f)? O sea, encontrar nulidad y rango.
5) El vector (1 , 0 , 0) pertenece a Im(f)?
1) Primero veamos que efectivamente es una T.L. Recordá que para hacerlo
verificamos las propiedades que la definen:
I) f(x + y) = f(x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3) =
= (3(x1 + y1) – 2(x2 + y2) , 2(x1 + y1)+ 2(x2 + y2) , (x2 + y2) – (x3 + y3 ) =
= (3x1 - 2x2 + 3y1 – 2y2 , 2x1 + 2x2 + 2y1 + 2y2, x2 - x3 + y2 - y3 ) =
= f(x) + f(y) ∀ x, y ∈ V
II) f(λx) = f(λx1 , λx2 , λx3) = (λ(3x1 - 2x2) , λ(2x1 + 2x2) , λ(x2 - x3)) =
= λ(3x1 - 2x2 , 2x1 + 2x2 , x2 - x3)
= λf(x1 , x2 , x3) = λf(x) ∀ λ ∈ K, ∀ x ∈ V
Concluimos entonces que sí es una T.L porque efectivamente cumple con las
propiedades.
2) Para hallar la matriz de la transformación deberemos escribirla buscando primero
la imagen de la función aplicada a la base canónica:
f(1 , 0 , 0) = (3 , 2 , 0)
f(0 , 1 , 0) = (-2 , 2 , 1)
f(0 , 0 , 1) = (0 , 0 , -1)
Así que nuestra matriz de transformación sería:

184. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 15 -
3) Empecemos por el Nu (f), recordá que por definición: Nu (f) es el conjunto de los
vectores x ∈ V que cumplen que f(x) = 0. Si replanteamos f(x) = 0 ⇒ f(x1 , x2 , x3)
= (0 , 0 , 0). Entonces podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones
3x1 - 2x2 = 0
2x1 + 2x2 = 0
x2 - x3 = 0
Las cuentas te las dejo a vos, sólo te digo que llegás a que x1 = x2 = x3 = 0
Entonces:
Nu(f) = {x ∈ IR3
/ x = (x1 , x2 , x3) = (0 , 0 , 0)} ⇒ la dim Un (f) = 0
Para hallar la base de la Im (f), usamos 2), ya que en ese inciso aplicamos la
Transformación a la base canónica, por lo que:
Im(f) = {(3 , 2 , 0) ; (-2 , 2 , 1) ; (0 , 0 , -1)} ⇒ la dim Im = 3
4) Nu(f) = {x ∈ IR3
/ x = (x1 , x2 , x3) = (0 , 0 , 0)} ⇒ la dim Nu = 0
Corroboremos si es correcto a lo que hemos llegado respecto de las dimensiones:
Sabemos que dimV = 3, y por el Teorema de la dimensión:
Dim V = dim Nu + dim Im ⇒ 3 = 0 + 3 perfecto ! Todo concuerda !
5) Esta parte es fácil: Dado que el Nu(f) = 0, entonces todos los vectores distintos
de 0 (incluido este, por supuesto) pertenecen a Im(f), y listo !
Pero para practicar, veamos que es lo que haríamos de no saber que el núcleo de f
sólo contiene al vector nulo.
Sea un vector x para el cual f(x) = (1 , 0 , 0), entonces:
f(x1 , x2 , x3) = (3x1 - 2x2 , 2x1 + 2x2 , x2 - x3) = (1 , 0 , 0)
3x1 - 2x2 = 1
( )
3 2 0
2 2 0
0 1 1
M f
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠

185. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 16 -
2x1 + 2x2 = 0
x2 - x3 = 0
Con lo que el sistema queda resuelto para (x1 , x2 , x3) = (1/5 , -1/5 , -1/5), o sea, en-
contramos el x para el cual f(x) = (1 , 0 , 0), con lo que (1 , 0 , 0) pertenece a Im (f) !!!
Sigamos ahora con nuevos conceptos. Fijate esta propiedad:
Lo que esta propiedad nos dice es justamente que si A es la matriz que caracteriza a
la T.L. f, entonces el conjunto S de soluciones del sistema homogéneo AX = 0, es el
Nu(f). Si te fijás bien es justamente lo que estuvimos haciendo en los ejemplos
anteriores cuando calculábamos el núcleo.
Este teorema es una consecuencia del teorema de la dimensión, y de la propiedad de
arriba. Todas estas propiedades y teoremas se desprenden unos de otros, es por eso
que es útil saberlo, y por lo que es bueno aprenderlos ( además de que algunos son
importantísimos para poder resolver varios problemas ).
Volvamos a la composición de T.L. Miremos qué pasa con sus matrices.
Sean f: IR2
→ IR2
y g: IR2
→ IR2
T.L. con las matrices:
Encontrar la matriz de la composición M(fog).
Acordate que ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
y
x
fMyxf )(),( y lo mismo para g. Entonces
(fog)(x , y) = f(g(x , y))
TEOREMA
Si A ∈ IRmxn
y S ⊆ IRn
es el subespacio de soluciones del sistema
AX = 0, entonces S = Nu(f) si f es la T.L. que hace f(x) = Ax.
Si A ∈ IRmxn
, entonces la dimensión del subespacio de soluciones del
sistema de ecuaciones AX = 0 es “n - rgA”
2 1
( )
4 7
M f
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 0
( )
3 9
M g
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

186. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 17 -
Entonces la matriz de la composición queda:
que es hacer M(f) M(g)
Esto es algo que se usa bastante, así que a prestar atención ! Siempre para la
composición de T.L. se multiplican las matrices de cada una en el orden en que se
haga la composición.
M(fog)= M(f)M(g)
Con las T.L. escritas como matrices hay muchas cosas que son re fáciles de calcular,
qué bueno, no?
Para calcular el rango y la nulidad de f, ahora es mucho más simple, dado que
dim Im(f) = rg(M(f)), donde M(f) es la matriz de la T.L.
Y usando el teorema de la dimensión se calcula cuánto vale dim Nu(f). Así de rápido,
también se puede averiguar si una T.L. es un epimorfismo, un monomorfismo o un
isomorfismo.
Si tengo que f: IR3
→ IR3
f(x1 , x2 , x3) = (x1 - x2 , x1 + x3 , x1 + x2 + 2x3)
Armo la matriz de la T.L. (acordate que era aplicar la transformación a la base
canónica y escribir los vectores de la imagen obtenida en columnas)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
211
101
011
)( fM
Y ahora triangulo la matriz para ver cuál es el rango
Entonces el rg(M(f)) = 2 así que dim Im (f) = 2.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
000
110
011
220
110
011
211
101
011
1 0 2 1 1 0
3 9 4 7 3 9
x x
f
y y
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2 1 1 0
4 7 3 9
x
y
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
2 1 1 0
4 7 3 9
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠

187. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 18 -
Por el teorema de la dimensión me queda que dim Nu (f) = 3 – 2 = 1. Con esto puedo
decir que la T.L. no es un monomorfismo ni un epimorfismo (entonces tampoco es un
isomorfismo).
Por ahora siempre las T.L. estaban escritas en la base canónica, pero podría pasar
que me la den en otra base, y ahora nos metemos en otro lío, que son los cambios de
base. Ahora realmente hay que prestar atención, el cambio de base es un tema
complicado, pero por enredado, no por difícil.
Sean V, W dos espacios vectoriales con dimV = n y dimW = m
Tenemos B = {v1 , v2 , ... , vn} base de V
B´ = {w1 , w2 , ... , wm} base de W
Para cualquier T.L. f: V → W se puede escribir f(vi) = a1iw1 + a2iw2 + ... + amiwm
Y vamos a decir que
es la matriz de f en las bases B, B’
Las columnas de la matriz son los coeficientes de f(vi) en la base B’. Cuando las
bases B, B’ son las mismas, llamamos MB(f) a la matriz de la T.L.
Si una T.L. es un isomorfismo, lo va a seguir siendo aunque cambie de base. Lo mismo
con epimorfismo y monomorfismo. Para todos los teoremas de antes no nos importaba
la base de la T.L., tampoco para calcular las dimensiones del núcleo ni de la imagen.
Lo que sí cambia con la base es la matriz.
Sea una T.L. f: IR3
→ IR3
, donde la matriz de la transformación en las bases B, B’ es:
Es f un isomorfismo ?
Para verlo hacemos lo mismo que antes y no nos preocupamos por el hecho que esté
en otra base.
TEOREMA
11 1
´
1
( )
n
BB
m mn
a a
M f
a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
L L
M O M
M O M
L L
´
4 3 2
2 3 4
1 5 5
BBM
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠

188. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 19 -
Calculemos el rango de la matriz:
La matriz MBB´(f) tiene rango = 3 así que dim Im = 3 y dim Nu = 0. Entonces la T.L.
es un isomorfismo !!!
A veces nos dan la T.L. escrita en una base B = {v1 , v2 , v3} y piden que calculemos
cosas, pero sin darnos la forma explícita de los vectores de la base. Por ejemplo:
Sea B base como arriba y una T.L. f: V → V con una matriz correspondiente,
Calcular:
Como f es una T.L. , cumple que f(2v1) = 2f(v1) entonces lo que debemos encontrar es
f(v1). La matriz de f la tenemos en la base B así que escribiremos a v1 en esa base:
v1 = 1.v1 + 0.v2 + 0.v3 = (1 , 0 , 0)B
entonces
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
0
0
0
0
0
1
000
100
120
)( 1vf
y f(2v1) = 2f(v1) = (0 , 0 , 0)
Ahora calculemos f(- v1 - v2) haciendo lo mismo f(- v1 - v2) = - f(v1) - f(v2)
como f(v1) = 0 :
f(- v1 - v2) = - f(v2)
Repetimos lo que hicimos en el cálculo de f(v1): v2 = 0.v1 + 1.v2 + 0.v3 = (0 , 1 , 0)B
entonces
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
0
0
2
0
1
0
000
100
120
)( 2vf
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
4800
630
234
18170
630
234
18170
630
234
551
432
234
• f(2v1)
• f(- v1 - v2)
0 2 1
( ) 0 0 1
0 0 0
BM f
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

189. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 20 -
f(v2) = (2 , 0 , 0)B = 2v1
f(-v1- v2) = -f(v2) = -2v1
----------------------------
La regla de multiplicación de matrices para composición de T.L. sigue valiendo con
cambios de base, con una regla adicional:
La T.L. MBB’’(gof) se aplica sobre vectores expresados en la base B, y devuelve
vectores expresados en la base B’’. Esta regla lo que nos dice es que la base B’ debe
ser la misma para f y para g.
Veamos cómo es que funciona esto:
Sean f: V → W y g: W → U, y un vector (v)B de V (expresado en la base B)
La matriz MBB´(f) se aplica primero sobre (v)B y devuelve un vector (w)B’ que perte-
nece a W. Luego aplicamos la matriz MB’B’’(g) a (w)B’, y eso nos arroja un vector (u)B’’.
MBB’(f) (v)B = (w)B’
MB’B’’(g) (w)B’ = (u)B’’
Si queremos hacer fog, entonces lo que los queda es lo siguiente:
fog(v) = u → MB’B’’(g) MBB’(f) (v)B = MB’B’’(g) (w)B’ = (u)B’’
PROPIEDAD
Observá que cambia el orden de las bases. Esto pasa porque
PROPIEDAD
Sean f: V → W y g: W → U transformaciones lineales.
Sean B, B´, B´´ bases de V, W, U en ese orden. Entonces, vale que
MBB’’(gof) = MB’B’’(g) MBB’(f)
Tengo f: V → W una T.L. que es un isomorfismo (tiene inversa).
Sean B, B´ bases de V, W (en ese orden), entonces:
MB’B(f-1
) = (MBB’(f))-1

190. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 21 -
Matrices de cambio de base
VB
f
(W)B´
Si queremos ir de atrás para adelante (que es lo que hace la inversa), partimos de B´
y llegamos a B. Veamos un ejemplo:
Si f: IR3
→ IR3
tiene la siguiente matriz:
Calcular MBB´(f-1
).
Primero que nada tenemos que ver si es que f es un isomorfismo. Como dim V = dimW,
para hacer eso sólo nos fijamos si dim Nu(f) = 0.
Con eso vemos que el rango de la matriz es 3, con lo que dim Im(f) = 3, y por lo tanto
dimNu(f) = 0. Ahora que sabemos que f es un isomorfismo, podemos aplicar la pro-
piedad que mencionamos arriba, MB´B(f-1
) = (MBB´(f))-1
, y lo único que debemos hacer,
entonces, es invertir MBB´(f).
CAMBIOS DE BASE ( Atento )
Hay unas matrices que se usan para pasar vectores de una base a otra. Son como
traductores. Si tenemos un vector escrito en una base, nos lo “traduce” a otra base
( nos dice como lo escribimos en otra base, sus nuevas coordenadas ).
Si B = {v1 , v2 , ... , vn} B´ = {w1 , w2 , ... , wn} dos bases de un mismo espacio
vectorial V, se llama a CBB´ la matriz de cambio de base B a la base B´. Cómo la
conseguimos ?
Tenemos que escribir a cada vector de B en la base B´
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−− 400
110
021
130
110
021
111
110
021
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
=−
4/14/34/1
4/14/14/1
2/12/12/1
1
' fM BB
´
1 2 0
( ) 0 1 1
1 1 1
B BM f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠

191. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 22 -
vi = a1iw1 + a2iw2 + ... + aniwn
y la matriz va a ser
Podemos pensar que en realidad son la matriz de la T.L. identidad pero en donde la
base de salida es B y la base de llegada es B´.
CBB´= MBB´(id)
Ahora que tenemos la matriz de cambio de base podemos pasar la T.L. escrita en una
base a otra cualquiera. Esto sirve para lo que viene ahora:
Si pensamos que multiplicamos por un vector (escrito en la base B’), vamos de atrás
para adelante. Primero multiplicamos por la matriz de cambio de base, y queda escri-
to en base B. Después le aplico la T.L. y me lo tira en la base B y después lo paso a la
base B’.
Volvamos a un ejemplo viejo. Si nos dan una la T.L. así:
f(2 , 1) = (0 , 3)
f(1 , 2) = (1 , 1)
Queremos averiguar la matriz en la base canónica.
PROPIEDAD
PROPIEDAD
Si tenemos una matriz de cambio de una base B a otra base B’, la
matriz que cambia de B’ a B está dada por:
BBBB CC ´
1
´)( =−
Si f: V → V es una T.L. y tengo B y B’ bases de V
Entonces
MB´(f) = CBB´ MB(f) CB´B
11 1
´
n
BB
mi mn
a a
C
a a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
L L
M O M
M O M
L L
Muy
Importante

192. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 23 -
Pensemos que tenemos la matriz escrita en otra base. Como salimos de los vectores
(2 , 1) y (1 , 2), los tomamos para que sean nuestra base B y a sus imágenes las
tomamos como nuestra base B´. Entonces la matriz de f la podemos pensar como:
Para obtener la matriz en la base canónica buscamos las de cambio de base a la
canónica. Tenemos
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
21
12
BEC Y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
13
10
´EBC
Como ME(f)= CB´E MBB´(f) CEB. Entonces nos falta CEB, pero CEB = (CBE)-1
. Calcular la
inversa de una matriz de dos por dos se hace rápido.
Entonces
Por ahora vimos lo de cambio de base si la T.L. sale y llega al mismo espacio vectorial.
Pero podemos hacer lo mismo aunque los E.V. no sean el mismo o las bases sean
distintas.
La idea es la misma que antes. Sean f y h dos T.L.
f(x1 , x2) = (3x1 - x2 , x2)
h(x1 , x2) = (3x1 + x2 , 2x1 + x2 , x1 + x2)
y las bases B = { (1 , 1) ; (0 , -1) } y B’ = { (1 , -1 , 1) ; (0 , -1 , 2) ; (0 , 0 , 1) }
Calcular MBB´(hof)
PROPIEDAD
Sean V , W dos e.v. con E, B bases de V y E´, B´ bases de W.
Si f: V → W es una T.L. Entonces
EBBBEBEE CMCM .. ´´´´ =
´
1 0
( )
0 1
BBM f
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2/ 3 1/3
1/ 3 2 / 3
EBC
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
0 1 1 0 2/3 1/3
( ) . .
3 1 0 1 1/3 2/3
EM f
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1/3 2/ 3
( )
5/ 3 1/ 3
EM f
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠

193. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 24 -
Tenemos las matrices de las T.L. expresadas en la base canónica,
Como hay que encontrar MBB´(hof) tenemos que salir de la base B y llegar a la base
B´. Para salir de la base B calculamos MBE(f)
MBE(f) = ME(f) . CBE
Ahora hacemos algo parecido con la matriz de h. Como queremos que todo termine
en la base B´ calculamos MEB´(h)
MEB´(h) = CE´B´ . MEE´(h)
Es mas fácil calcular CB’E’ y sabemos que CE’B’ = (CB’E’)-1
Calculando la inversa nos queda que:
MEB´(h) = CE´B´ MEE´(h)
3 1
( )
0 1
EM f
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
´
3 1
( ) 2 1
1 1
EEM h
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
( )
1 1
BEM f
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
3 1 1 0
( ) .
0 1 1 1
BEM f
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 0
1 1
BEC
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠
´ ´
1 0 0
1 1 0
1 2 1
B EC
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
´ ´
1 0 0
1 1 0
1 2 1
E BC
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
´
1 0 0 3 1
( ) 1 1 0 . 2 1
1 2 1 1 1
EBM h
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
´
3 1
( ) 5 2
8 4
EBM h
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

194. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 25 -
Ahora que tenemos esas dos matrices podemos calcular MBB´(hof)
MBB´(hof) = MEB´(h) MBE(f)
Como cambiamos la T.L. de bases se “enganchan” bien las bases para hacer la
multiplicación.
Hay otra manera de resolver este ejercicio. Puedo calcular primero la matriz de la
composición en la base canónica MEE´(hof). Después cambio de base con las matrices
de cambio de base. La cantidad de cuentas que tenemos que hacer es la misma que
arriba.
Antes de terminar veamos un tipo de T.L. que tiene algunas propiedades especiales.
Si p: V → V es una T.L. que cumple que pop = p se llama proyector. O sea si aplicamos
p dos veces la T.L. es lo mismo que hacerlo una sola.
Un ejemplo de un proyector es: Sea f: IR2
→ IR2
dada por: f(x1 , x2) = (0 , x2)
Probemos qué pasa al hacer fof
f(f(x1 , x2)) = f(0 , x2) = (0 , x2)
No hay muchos ejercicios con proyectores pero es un nombre que hay que saber por
las dudas.
Definir un proyector p: IR2
→ IR2
que cumpla que
Nu(p) = <(-1 , 1)> e Im(p) = <(1 , 1)>
PROYECTOR
PROPIEDAD
Si p: V → V es un proyector entonces
V = Nu(p) ⊕ Im(p)
´
3 1
2 1
( ) 5 2 .
1 1
8 4
BBM hof
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
´
7 2
( ) 12 3
20 4
BBM hof
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= − −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

195. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 26 -
Nos dicen que (-1,1) esta en Nu(p) entonces p(-1,1)=(0,0)
Además como (1,1) esta en Im(p) hay algún vector v que cumple: p(v)=(1,1)
y como p es proyector, pop(v) = p(v) entonces p(1,1)=(1,1)
Si tomamos como base B = {(1,1);(-1,1)} nos queda la matriz
Y ya definimos nuestro proyector.
¿ Cómo armar Transformaciones Lineales ?
Hay muchos ejercicios en los que nos piden que encontremos una T.L. que cumpla
ciertas condiciones. Como el ejercicio de recién, o por ejemplo:
Encontrar f: IR4
→ IR4
que cumpla :
fof = 0
f(1 , 0 , 0 , 0) = (1 , 2 , 2 , -1)
f(0 , 1 , 0 , 0) = (0 , -1 , 1 , 0)
Para estos ejercicios no hay una regla segura. Todo depende de lo que nos pidan, pero
con todo lo que vimos antes, se pueden hacer. Mirá cómo se hace este para tener una
idea. Como fof = 0 tiene que valer
f( f(1 , 0 , 0 , 0) ) = (0 , 0 , 0 , 0)
f( f(0 , 1 , 0 , 0) ) = (0 , 0 , 0 , 0)
Entonces,
f(1 , 2 , 2 , -1) = (0 , 0 , 0 , 0)
f(0 , -1 , 1 , 0) = (0 , 0 , 0 , 0)
Como los cuatro vectores son L.I y sabemos lo que vale f ahí, la T.L. queda definida.
Si queremos escribir la matriz de la T.L. podemos hacerla armando una base como
hicimos en otros ejercicios. Tomamos B = { (1 , 0 , 0 , 0) ; (0 , 1 , 0 , 0) ;
(1 , 2 , 2 , -1) ; (0 , -1 , 1 , 0) } que son los vectores donde esta definida la T.L. Me da:
Y ya tenemos la matriz de la T.L. !!
FIN TEORIA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
1 0
( )
0 0
BM p
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 0 0 0
2 1 0 0
( )
2 1 0 0
1 0 0 0
BEM f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠

196. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 27 -
Hagamos un pequeño resumen
TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRIZ CAMBIO DE BASE
Una Transformación Lineal f: ℜn
→ℜn
es una función que toma un vector x del
espacio ℜn
y nos devuelve otro vector y de este mismo espacio ( f(x) = y ).
Ahora, este vector x sobre el que actúa f puede estar expresado en cualquiera de
las bases que describa al espacio ℜn
( Acordate que base es un conjunto de n
vectores linealmente independientes, donde n es la dimensión del espacio ). Es decir,
si consideramos la base B que genera a ℜn
, el vector x tiene asociado una terna de
coordenadas (x)B respecto a esta base. A su vez, la transformación f puede asociarse
a una matriz MBB’(f) “con base de entrada B y base de salida B’ ” que, al multiplicarla
por el vector de coordenadas de x respecto a B, nos da el vector de coordenadas de
y respecto a la base B’.
Tanto palabrerío lo escribimos así
MBB’(f)(x)B = (y)B’
Pero qué pasa si queremos escribir un vector dado en la base B, en otra B’ ? Es
posible esto también? Sí, ellos están relacionados por medio de la matriz de cambio
de base CBB’ de esta forma:
CBB’ (x)B = (x)B’
( fijate que el vector x es el mismo, sólo que están dadas sus coordenadas en relación
a distintas bases ).
Lo mismo si tengo un vector expresado en la base B’ y lo quiero escribir expresado
en la base B, uso la matriz de cambio de base CB’B, de esta manera
CB’B (x)B’ = (x)B.
Podemos ver entonces que CBB’ = (CB’B)-1
, lo que significa que CBB’ hace lo inverso que
CB’B . Bien. Muy bonito todo, pero… Cómo calculamos CBB’ ?
Rta:Es una receta...lo que hacemos es:
1) tomar cada vector de la base B y escribirlo como combinación lineal de los
vectores de la base B’.
2) colocarlos como columnas de una matriz y luego bautizar a ésta como CBB’.
Veamos un ejemplo para que resulte más fácil entenderlo: Sean las bases de ℜ3

197. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 28 -
B = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), ( 1, 0, 0 ) } y B’ = { ( −1, 1, 0 ), ( 0, 1, 0), ( 0, 1, 1 ) }
Tomamos el primer vector de la base B y lo escribimos como combinación lineal de los
de la base B’
( 1, 1, 1 ) = a ( −1, 1, 0 ) + b ( 0, 1, 0 ) + c ( 0, 1, 1 ) = ( −a, a + b + c, c )
Y encontramos que los valores de los coeficientes, para que la igualdad se satisfaga,
deben ser: a = −1, b = 1 y c = 1. Estas son entonces las coordenadas del vector ( 1, 1,
1 ) en la base B’:
( 1, 1, 1 )B’ = ( −1, 1, 1 )
Calculamos de la misma manera las coordenadas de los demás vectores de la base B
en la B’ y obtenemos que:
( 1, 1, 0 )B’ = ( −1, 2, 0 ) y ( 1, 0, 0 )B’ = ( −1, 1, 0 )
Y finalmente colocamos estos vectores escritos en la base B’ como columnas en una
matriz a la que llamaremos “ matriz de cambio de base de B a B’ ”:
Si necesitamos la de cambio de base de B’ a B, esto es CB’B , sólo tenemos que
calcular la inversa de CBB’. ( pues CB’B = (CBB’)−1
).
También puede pasar que en ciertos casos, nos den la matriz de transformación de f,
MBB’(f), que es la que actúa sobre vectores expresados en la base B y nos devuelve
otros en la base B’. Pero qué pasa si queremos que nos devuelva vectores en la misma
base B? es posible esto? Cómo es la matriz MBB(f) que hace esto??
Veamos qué podemos hacer… MBB’(f) (x)B es un vector (y)B’. Lo que nosotros estamos
buscando es que este vector esté expresado en la base B, pero ya vimos que con la
matriz de cambio de base CB’B podemos escribir CB’B (y)B’ = (y)B. De modo que
aplicando CB’BMBB’(f) a (x)B obtenemos (y)B , un vector expresado en la base B, como
queríamos.
Por lo tanto, podemos identificar MBB(f) = CB’B MBB’(f) como la matriz de
transformaciones de f que toma y devuelve vectores expresados en la base B.
Estas son algunas de las situaciones o problemas en los que nos podemos encontrar.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
=
001
121
111
C 'BB

198. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 29 -
Pero como estamos viendo, pensando un poquito y valiéndonos de lo que sabemos,
vamos a poder encontrarle la vuelta para resolverlos.
Volviendo ahora a la f, de la que todavía tenemos para hablar un rato, pues ni
mencionamos que existe la función f -1
muy emparentada con ella, ya que es la inversa
de f y actúa exactamente al revés, esto es, f -1
(y) = x.
Hasta ahora, hablamos de transformaciones lineales. Vimos que éstas transforman
vectores, pero nos preguntamos porqué decimos " lineales " ??
Rta: Simplemente, porque tienen esta importante cualidad:
f(a x1 + b x2 ) = a f( x1 ) + b f( x2 ).
Existen además otras propiedades que deben cumplir las transformaciones lineales,
una muy importante y que vamos a usar mucho es el teorema de la dimensión:
Sean los espacios vectoriales V y W , y la T.L. f : V → W , entonces se cumple que
dim V = dim Nu(f) + dim Im(f)
Donde el núcleo de f ( Nu(f) ) es el conjunto de todos los vectores del dominio V, que
al ser transformados por f dan cero ( van a parar al vector nulo del codominio ):
Nu(f) = { v ∈ V/ f(v) = 0 }
Y el otro conjunto, la imagen de f ( Im(f) ), está formado por todos los vectores de
W que son imagen de algún vector de V :
Im(f) = { w ∈ W/ f(v) = w para algún v ∈ V }
Ahora, si además de f : V → W, tenemos otra T.L., por ejemplo, g: U → S, podemos
combinarlas para hacer una Transformación Lineal Compuesta. Con estas 2
podríamos hacer las siguientes composiciones: g ο f: V → S y f ο g: U → W. Pero
ojo ! No siempre son posibles de hacer, sólo si los espacios involucrados cumplen con
ciertas relaciones, veamos… Si Im(g) ⊆ V, entonces podemos construir f ο g: U → W

199. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 30 -
Si en cambio, Im(f) ⊆ U, entonces podemos construir gof : V → S
( Un detallecito, decir f ο g(x) es lo mismo que f(g(x)), son expresiones equivalentes).
EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES
1. Sean f: IR3
→ IR3
g: IR3
→ IR2
dos T.L. Sean B base de IR3
y B´ base de IR2
que cumplen que,
Probar que:
a) f es un isomorfismo
b) Hallar MBB’(g)
a) Como f sale de un espacio de dim = 3 y llega a otro de la misma dimensión, nos
alcanza con probar que es epimorfismo o que es monomorfismo. Triangulamos MB(f) y
miramos qué rango tiene:
La matriz que queda tiene rango = 3. Entonces MB(f) tiene rango = 3. La T.L. f es un
epimorfismo y por lo que dijimos antes, entonces es un isomorfismo. Ya probamos la
parte a) !
b) Tenemos MBB’(gof), entonces para sacar MBB’(g) debemos hacer desaparecer a f de
la composición. Como f es un isomorfismo, sabemos que tiene inversa, y usando las
propiedades, podemos calcular MBB’(g) a partir de los datos que tenemos.
Pensemos que g = go(fof -1
) porque fof –1
= identidad. Entonces,
MBB´(g) = MBB´(gofof-1
) = MBB´(gof) MB(f-1
) = MBB´(gof) (MB(f))-1
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
100
110
031
010
110
031
010
110
031
021
110
031
´
1 0 1
( )
2 1 0
BBM gof
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 3 0
( ) 0 1 1
1 2 0
BM f
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠

200. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 31 -
Hay que encontrar (MB(f))-1
que es la inversa de la que tenemos
Calculemos los determinantes chiquitos
Primera columna 2
02
11
=
−
, 0
02
03
= , 3
11
03
−=
−
Segunda columna 1
01
10
=
−
, 0
01
01
= , 1
10
01
−=
−
Tercera columna 1
21
10
−= , 1
21
31
−= , 1
10
31
=
Ahora escribimos la matriz con estos minideterminantes
A esta matriz la trasponemos y dividimos todos los números por el det de MB(f).
La traspuesta es
Y para el determinante podemos usar los determinantes chiquitos que calculamos
antes
Entonces al dividir por –1 nos queda la matriz
1
1 3 0
0 1 1
1 2 0
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1 1
0 0 1
3 1 1
− −⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 0 3
1 0 1
1 1 1
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 1 3 0 3 0
det( ( )) 1. 0. 1.
2 0 2 0 1 1
1.2 0.0 1.( 3) 2 3 1
−
= − + =
−
= − + − = − = −
BM f
1
2 0 3
1 0 1 ( ( ))
1 1 1
BM f −
−⎛ ⎞
⎜ ⎟
− =⎜ ⎟
⎜ ⎟− −⎝ ⎠

201. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 32 -
Y finalmente tenemos que
MBB´(g) = MBB´(gof) (MB(f))-1
Entonces:
Que era lo que nos pedían !!
2. Sean:
B = { (1 , 1 , 1) ; (1 , 0 , -1) ; (0 , 0 , 1) } , B’ = { (-1 , 1 , 1) ; (0 , 1 , -1) ; w } y
f: IR3
→ IR3
la T.L. tal que:
Hallar w tal que B’ sea base de IR3
y f(4 , -5 , 1) = (2 , 1 , 1)
Tenemos MBB’(f) que es la matriz que define f con respecto a B y B’. Entonces, para
poder aplicar f al vector (4, -5, 1), tenemos que escribirlo en la base B. Nos queda
(4 , -5 , 1) = - 5 (1 , 1 , 1) + 9 (1 , 0 , -1) + 15 (0 , 0 , 1)
Entonces ahora le aplicamos la matriz de f:
Como esto está representado en la base B’, y nos piden que el resultado sea igual al
vector (2,1,1) escribimos:
5 (-1 , 1 , 1) + (−4) (0 , 1 , -1) + 3 (w1 , w2 , w3) = (2, 1, 1)
Entonces podemos escribir este sistema de ecuaciones:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−=
120
011
102
)(' fMBB
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−=−
3
4
5
15
9
5
120
011
102
1,5,4)f(M BB'B
´
2 0 3
1 0 1
( ) . 1 0 1
2 1 0
1 1 1
BBM g
−⎛ ⎞
−⎛ ⎞ ⎜ ⎟
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
´
3 1 4
( )
3 0 5
BBM g
−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
−⎝ ⎠

202. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 33 -
-5 + 3 w1 = 2 ⇒ w1 = 7/3
1 + 3 w2 = 1 ⇒ w2 = 0 ⇒ w = (7/3 , 0 , -8/3)
9 + 3 w3 = 1 ⇒ w3 = -8/3
Ahora solamente falta verificar que con este vector w que obtuvimos el conjunto
B’ = { (-1 , 1 , 1) , (0 , 1 , -1) , w } es una base de IR3
. Para eso hay que ver si los
vectores son linealmente independientes ... pero... ¿ y cómo hacemos eso?
⇒ si (-1, 1, 1), (0, 1, -1), (7/3, 0, -8/3) son base, la combinación lineal
0 = a (-1,1,1) + b (0,1,-1) + c (7/3, 0, -8/3)
tiene que dar a = b = c = 0
Resolvamos las ecuaciones y corroboremos si los resultados son los correctos...
-a + c 7/3 = 0 ⇒ a = 7/3 c
a + b = 0 ⇒ b = -a =- 7/3 c
a – b – c 8/3 = 0 ⇒ 7/3 c – (-7/3 c) – 8/3 c = 14/11 c = 0
⇒ a = b = c = 0
Por lo que podemos ver, el resultado es el esperado, es decir B’ es base de IR 3
!!
Así que el vector que encontramos nos sirve !!
1) Tenemos que definir una transformación lineal g ( de ℜ4
en ℜ4
) que no sea un iso-
morfismo y que actúe sobre los elementos del conjunto S, de modo tal que f(g(S)) = T
Para encontrar una g que satisfaga esto, antes que nada tenemos que saber cómo son
los vectores que generan S. Y a estos los vamos a encontrar a partir de la información
que nos dan sobre las componentes de los vectores que pertenecen a este espacio:
S = { x ∈ ℜ4
/ x1 + x2 − x4 = x1 + x3 = 0 }
De aquí, vemos que podemos expresar algunas componentes en función de otras,
porque reescribiendo las ecuaciones tenemos que x3 = −x1 y x4 = x1 + x2 .

203. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 34 -
Y así podemos decir que los vectores x que forman S sólo dependen de 2 variables
( x1 y x2 ) y se pueden escribir como
x = ( x1, x2, −x1, x1 +x2 ) = x1 ( 1, 0, −1, 1 ) + x2 ( 0, 1, 0, 1 )
Así, cualquier combinación lineal de estos últimos 2 vectores nos dará algún vector
en S y, por lo tanto, estos vectores generan el espacio. Como además son linealmente
independientes ( LI ) también forman una base para S: ( se ve a ojo, no?? )
S = { s1, s2 } = { ( 1, 0, -1, 1 ); ( 0, 1, 0, 1 ) }
¿ Por qué queríamos conocer estos vectores de la base ? Rta: Porque queremos
definir g(S), O sea, decir cómo g transforma a los vectores de este espacio. Pero
como a todo vector de S lo puedo expresar como una combinación lineal de los
vectores de la base, esto es:
xS = a. s1 + b. s2, vemos que es lo mismo hacer g( xS ) que g( a s1 + b s2 ).
Además, nos piden que g sea lineal, por lo que debe cumplir g( a.s1 + b.s2 ) = a g(s1) +
b g(s2). Y acá vemos bien clarito que definiendo cómo transforma g a los vectores de
la base de S, estamos definiendo como transforma g a todo el espacio.
Bueno…. Todo esto salió de que queremos que f(g(S)) = T. Este último espacio, está
generado por los vectores t1 = ( 1, 3, 1, 2 ) y t2 = ( 1, 1, 0, 1 ), que también son LI y
por lo tanto base de T, con lo que un vector de T tiene la pinta xT = c.t1 + d.t2 .
Entonces, si por ejemplo definimos la ley de transformación en una forma resimple:
f(g( s1)) = t1 y f(g( s2)) = t2 ,
g satisface parte de lo que buscamos. Ahora, del enunciado sabemos cómo transfor-
ma f y cómo son los vectores t1 y t2, veamos qué podemos hacer con este saber…
Queremos que sea f(g(s1)) = ( 1, 3, 1, 2 ), pero considerando que la f actúa según
f( x1, x2, x3, x4 ) = ( x1 + x3 + x4, 2x1 + x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2 + x3 ).
Entonces deben cumplirse las relaciones
⇒ g(s1) = ( 1, 1, 0, 0 )
x1 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x3 = 1
x1 + x2 + x3 = 2
Despejando encontramos que las componentes del vector sobre
el cual actúa f para darnos t1, es decir, las componentes de g(s1)
ni mas ni menos, son
x1 = 1 ; x2 = 1 ; x3 = 0 ; x4 = 0

204. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 35 -
Del mismo modo, si queremos que f(g( s2)) = ( 1, 1, 0, 1 ), tenemos el siguiente sistema
de ecuaciones a resolver
⇒ g(s2) = ( 0, 1, 0, 1 )
Entonces ya tenemos definida g de modo que cumple con f(g(S)) = T. Pero para
definir g completamente debemos dar g(ℜ4
), esto es, decir cómo actúa sobre el
espacio ℜ4
entero, no sólo sobre el subespacio S. Y para esto, debemos decir cómo
transforma a alguna base de ℜ4
. Por supuesto que podemos, y vamos a, utilizar una
base que contenga a los vectores s1 y s2, pues ya definimos de qué manera g actúa
sobre ellos.
Agarrando 2 vectores linealmente independientes, entre ellos y además con s1 y s2,
tendremos una base de ℜ4
. Busquemos una entonces…
Tomemos un vector humilde y sencillo como el ( 1, 0, 0, 0 ) por ejemplo, e intentemos
escribirlo como combinación lineal de s1 y s2.
s3 = ( 1, 0, 0, 0 ) = a ( 1, 0, -1, 1 ) + b ( 0, 1, 0, 1 ) = ( a, b, −a, a + b )
Pero entonces debe ser a = 1 y - a = 0 al mismo tiempo… → Absurdo !
Y así vemos que este s3 no puede ser escrito a partir de s1 y s2, por lo tanto ya
tenemos una terna de vectores L.I. Pero necesitamos un vector más, tomemos otro
vector sencillo, como el ( 0, 1, 0, 0 ) y veamos si podemos escribirlo o no en función
de los otros.
( 0, 1, 0, 0 ) = a ( 1, 0, -1, 1 ) + b ( 0, 1, 0, 1 ) + c ( 1, 0, 0, 0 )
= ( a + c, b, −a, a + b )
Luego debe ser a + b = 0 y además b = 1 y −a = 0, lo que es imposible.
⇒ s4 = ( 0, 1, 0, 0 ).
Y así encontramos 4 vectores LI que forman una base de ℜ4
. ( B = {s1, s2, s3, s4 } ).
Como dijimos, tenemos que definir la acción de g sobre toda la base del espacio
donde actúa ( ℜ4
). Para esto, sólo nos falta definir g( s3 ) y g( s4 ).
x1 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 + x3 = 1
x1 + x3 = 0
x1 + x2 + x3 = 1
Despejando vemos que las componentes del vector g(s2) son
x1 = 0 ; x2 = 1 ; x3 = 0 ; x4 = 1

205. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 36 -
Pero ojo ! Acá falta imponer la última restricción que nos pide el enunciado: que g sea
no isomorfa.
Bien. Isomfris, eh…isofrismo, isfomsri.. frismosis… mmm.. sí morfi… snif, snif.
¿ Es qué ???!
Aclaremos: “ …se dice que una transformación que va desde un espacio vectorial a
otro es un isomorfismo si es lineal y biyectiva ( esto es: inyectiva y sobreyectiva ) ”
Uff.. viste por qué siempre es bueno saber estas cosas ? Je je.. Bueno son dos
definiciones bien sencillas:
Una aplicación inyectiva es aquella que lleva siempre dos vectores distintos en dos
vectores distintos.
Si x1 ≠ x2 entonces f( x1 ) ≠ f( x2 )
Una aplicación se dice sobreyectiva si todo elemento del espacio de llegada es
imagen de algún elemento del espacio de salida. O sea
Si f: V → W entonces todo w ∈ W,
puede escribirse como w = f( v ), para algún v de V.
Pero nosotros queremos justamente que g no sea isomorfismo, como ella es lineal,
deberá pasar que no sea biyectiva. Hay muchas formas de lograr eso. Basta con que
g no sea inyectiva o sobreyectiva.
Entonces, podemos definir, por ejemplo, que g lleve dos vectores distintos a un solo
vector en el espacio de llegada ( vector imagen ), con esto g no deja de ser inyectiva.
Teniendo esta arbitrariedad con respecto a la definición de g, es posible obtener
muchas ( hasta infinitas ) funciones g que satisfagan lo que nos piden.
Una posible es:
g: ℜ4
→ ℜ4
tal que g( s1 ) = g ( ( 1, 0, -1, 1 ) ) = ( 1, 1, 0, 0 )
g( s2 ) = g ( ( 0, 1, 0, 1 ) ) = ( −1, 2, 1, 1 )
g( s3 ) = g ( ( 1, 0, 0, 0 ) ) = ( 0, 0, 0, 0 )
g( s4 ) = g ( ( 0, 1, 0, 0 ) ) = ( 0, 0, 0, 0 )
O sea, matamos la inyectividad de g mandando dos vectores ( s3 y s4 ), al mismo
vector (el vector nulo ).

206. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 37 -
La matriz asociada a la transformación f, MBE(f), toma vectores de ℜ3
escritos en la
base B que nos dan y luego de actuar sobre ellos nos devuelve un vector, también de
ℜ3
pero expresado en la base canónica que es la E = {( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), ( 0, 0, 1 )}
Ahora bien, lo que nos piden es encontrar a y b tales que ocurran simultáneamente
estas dos cosas:
i) dim Nu(f) = 1
ii) f( b, 1, 1 ) = ( 1, 1 − b, 0)
Empecemos con la primera.... que nos quiere decir? Si el núcleo de la transformación
tiene dimensión uno quiere decir que existe sólo un vector v0 ≠ 0 tal que f(v0) = 0.
( En realidad esto pasa con v0 y todos sus múltiplos, pero la cuestión es que no hay
dos o más vectores LI que estén en el núcleo…).
Podemos pensar que v0, escrito en la base B, tiene estas componentes (v0)B = ( v1, v2,
v3 ), entonces, aplicando la matriz MBE(f) a este vector, debemos obtener el vector
nulo. Hagamos este producto y veamos qué condiciones encontramos sobre a y b para
que esto pase:
⇒ v1 + a v1 − b a v1 = 0
⇒ ( 1 + a − a b ) v1 = 0
Fijate que v1 tiene que ser ≠ 0, pues sino el vector v0 sería nulo pues las 3
coordenadas dependen de este valor. Por lo tanto, para que se cumpla la ecuación lo
que debe ser nulo es el paréntesis que multiplica a v1, esto es:
( ) ( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0va-bav-v
vv
va-v
0
0
0
vbv-v
v-v
vva
v
v
v
b1-1
1-10
01a
)(f)(M
111
23
12
321
32
21
3
2
1
BBE 0v
0ba-a1 =+

207. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 38 -
Y acá ya tenemos una condición y relación sobre a y b. Fijate que el único valor que b
no puede tomar es el 1, pues en este caso el denominador es nulo y la división por
cero no es posible !!!
Ahora, lo segundo que debe pasar es que f( b, 1, 1 ) = ( 1, 1 − b, 0). Hagamos
entonces esta cuenta matricialmente, pero ojo !! Debemos escribir los vectores en
sus bases correspondientes !!!
La matriz de transformación de la función f actúa sobre vectores escritos en la base
B, por lo tanto, vamos a encontrar como es ( b, 1, 1 )B. … y cómo hacíamos esto? Fácil,
fácil !! Escribiéndolo como combinación lineal de los vectores de B:
( b, 1, 1 )B = c1 ( 1, 0, 1 ) + c2 ( 0, 1, 1 ) + c3 ( 1, 0, 0 )
( b, 1, 1 )B = ( c1 + c3 , c2 , c1 + c2 )
Debe ser entonces
Estos coeficientes que encontramos son justamente las coordenadas del vector en la
base B. Así, lo escribimos como:
( b, 1, 1 )B = ( 0, 1, b )
Por otro lado, el ( 1, 1 − b, 0 ) ( que debemos imponer como vector resultado ) ya
está expresado en la base en que la f nos devuelve los vectores ( la base canónica ),
así que no necesitamos hacer nada más, ya podemos ir a las cuentas y ver que pasa…
Para que se cumpla la igualdad debe cumplirse
b2
- 1 = 0 ⇒ b = ± 1.
bc
0c
1c
3
1
2
=⇒
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
=
bcc
1cc
31
21
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
b-1
1
1-b
b-1
1
pedimosy
1-b
b-1
1
b
1
0
b1-1
1-10
01a
22
con 1b
1-b
1
a ≠=⇒

208. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 39 -
Encontramos entonces que b puede tomar sólo 2 valores, 1 ó −1. Pero si además
debe cumplir con la primera condición, sólo nos queda la opción de b = - 1. Como
además, a está en función de b, simplemente reemplazamos el valor de b en esa
relación y encontramos que a = - 1/2 .
∴ ( ← por lo tanto ) b = −1 y a = −1/2 son los bichos que buscábamos
Estos problemas en los que nos piden definir una transformación lineal que cumpla
tal y tal cosa, generalmente tienen varias soluciones, es decir, podemos definir más
de una función que satisfagan el pedido ( o infinitas, depende las restricciones ). Así
que ahora vamos a encontrar sólo una de esas…
Veamos… la condición i) nos exige Nu f = Im f ( oja aca!!! este Im es imagen y no
imaginario!!! ). Al leer el resumen teórico recordamos o aprendimos el teorema que
relaciona la dimensión del espacio, la imagen y el núcleo no? Mmm… por si sos poco
memorioso:
Teorema de la dimensión.
Sea f: V → W ⇒ dim V = dim Nu(f) + dim Im(f)
En nuestro problema, el espacio vectorial de llegada y salida sobre los cuales actúa f
es ℜ4
, por lo que el teo de la dim queda:
dim ℜ4
= dim Nu(f) + dim Im(f)
4 = dim Nu(f) + dim Nu(f) ( pues tenemos Nu(f) = Im(f) )
4 = 2. dim Nu(f)
⇒ dim Nu(f) = dim Im(f) = 2
Y así encontramos que la dimensión del núcleo, tanto como la de la imagen, es 2.

209. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 40 -
Esto nos indica que vamos a tener exactamente 2 vectores LI tal que f de ellos es
cero (de estos 2 vectores y todas sus combinaciones lineales posibles) y que a la vez,
estos 2 vectores pertenecen a la imagen, así que también precisamos que ellos sean
el resultado de alguna transformación de f.
Y de acá vemos que v3 ∈ Im f y, por ende, él también ∈ Nu(f), ( pues Nu(f) = Im(f) ).
Sabemos que la dimensión de los mismos es 2, por lo que todavía nos está faltando un
vector linealmente independiente con v3 que pertenezca al núcleo e imagen
simultáneamente.
La transformación f que estamos queriendo definir, es lineal. Esto quiere decir que
cumple que f( a u1 ± b u2 ) = a f( u1 ) ± b f( u2 ) , donde a, b son ctes y u1 y u2 son
vectores.
Tenemos además que f( v1 ) = f( v2 ) = v3, lo que nos da pie para generar al vector
nulo restando simplemente f( v2 ) a f( v1 )
f( v1 − v2 ) = f( v1 ) − f( v2 ) = 0 ⇒ f( v1 − v2 ) = 0
Este nuevo vector v1 − v2 = ( 1, 1, −4, −1 ) es LI con v1 ( y con v2 ), esto lo vemos sin
necesidad de hacer cuentas ya que v1 tiene la cuarta componente nula, lo que hace
imposible generarnos el −1 del vector v1 − v2.
Entonces, ya encontramos otro vector que está en el Nu(f) y en consecuencia en la
Im(f). Entonces nos falta definir una transformación de algún vector que mediante
la acción de la f vaya a parar a v1 − v2 , es decir definir un v4, tal que f( v4 ) = v1 − v2.
Y este v4 puede ser cualquier vector ? Cómo lo encontramos ?
Recordemos que la f actúa sobre todo el espacio ℜ4
, por lo tanto, para definirla
completamente debemos decir como actúa no sobre cada uno de los vectores que
forman ℜ4
, ( esto sería una locura pues son infinitos !! ), sino sobre cada uno de los
vectores de alguna base de este espacio.
Hasta ahora definimos que
La condición ii) nos dice f( 2, 1, −1, 0 ) = f( 1, 0, 3, 1 ) = ( 1, 0, 2, 1 )
↓ ↓ ↓
Para simplificar llamemos: v1 v2 v3
Estos 3 vectores v1, v1−v2, v3 son LI.
Por lo tanto, encontrando un vector v4,
LI con los otros 3, tenemos una base de ℜ4
.
f(v1) = v3
f(v1 – v2 ) = 0
f(v3) = 0

210. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 41 -
Tomemos uno bien sencillo, como el ( 1, 0, 0, 0 ) y veamos si es posible expresarlo
como combinación lineal de los otros 3.
Igualando componente a componente tenemos por la 2º y 4º que debe ser a = −b =
−c. Reemplazando estas relaciones en la ecuación resultante de la 3º componente
tenemos que −a − 4b + 2c = −a + 4a − 2a = a = 0 ⇒ a = 0 y, en consecuencia,
b = c = 0.
Por lo tanto, el vector ( 1, 0, 0, 0 ), al que vamos a llamar v4, no puede escribirse
como comb. lineal de los otros y es LI con ellos.
Y entonces listo !!! No es eso lo que queríamos ? Saber quien era v4 ? Pues ya
definimos cómo debe transformar f este vector, debía ser f( v4 ) = v1 − v2.
Así que ya tenemos definida una f que verifica simultáneamente i) y ii). Ella es
f: ℜ4
→ ℜ4
tal que f( v1 ) = v3 f( v1 − v2 ) = 0
f( v4 ) = v1 − v2 f( v3 ) = 0
Bien. Ahora sólo nos falta calcular f( 0, 0, 3, 0 ). Cómo ??!?!!
No habíamos terminado ?!?!?
Rta: No. Pero falta poquito… pues ahora que tenemos definida la f, sabemos cómo
actúa sobre cualquier vector de ℜ4
. Sólo basta expresar a éste en la base que
conocemos… Hagámoslo:
De la 2da. y 4ta. componentes tenemos que:
Y de la primera y tercera componentes tenemos
Luego los coeficientes son: a =3, b = −3, c = −3, d = 0
Y así, podemos escribir al vector ( 0, 0, 3, 0 ) como:
( ) ( ) ( ) ( )
( )cb-2c,4b-a-b,ac,b2a
12,0,1,c1-4,-1,1,b01,-1,2,a00,0,1,
+++++=
++=
?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )cb-2c,4b-a-b,ad,cb2a
00,0,1,d12,0,1,c1-4,-1,1,b01,-1,2,a03,0,0,
++++++=
+++=
a + b = 0 ⇒ b = −a
−b + c = 0 ⇒ c = b
⇒ c = b = −a
2a + b + c + d = 0 ⇒ d = − c − a = −(−a) − a = 0
−a − 4b + 2c = 3 ⇒ −a + 4a − 2a = a = 3
⇒ d = 0 y a = 3

211. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 42 -
( 0, 0, 3, 0 ) = 3 v1 − 3 ( v1 − v2 ) − 3 v3 + 0 v4.
Considerando entonces la linealidad de f podemos calcular lo que nos piden:
f( 0, 0, 3, 0 ) = f( 3 v1 − 3 ( v1 − v2 ) − 3 v3 )
= 3 { f( v1 ) − f( v1 − v2 ) − f( v3 ) }
⇒ f( 0, 0, 3, 0 ) = 3 v3 = 3 ( 1, 0, 2, 1 )
Uffff…. Al siguiente !
La función f actúa así f( x ) = y y su inversa f−1
de esta manera f−1
( y ) = x. Por lo
tanto, una forma alternativa de calcular f−1
( y ) es encontrar para qu x pasa que f( x )
= y. Resolverlo de esta forma resulta conveniente en este caso que lo que conocemos
es la matriz de transformación de f y no de f−1
.
Pero tenemos que tener en cuenta que esta matriz de transformación, MBB’ ( f ),
actúa sobre vectores x expresados en la base B y nos devuelve vectores y escritos
en la base B’. Esto es:
MBB’ f( xB ) = yB’
Así que lo que debemos hacer es escribir nuestra y = ( 1, 2, −3, −2 ) en la base de
salida.
⇒ yB’ = ( 1, 2, −3, −2 )B’
( ) ( )
( ){
( ) ( ) v3vfvvfvf3
3-)-3(-3f03,0,0,f
3
0
3
0
21
v
1
3
)fdelinealidadpor( =
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
=
→
32143421
3211 vvvv

212. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 43 -
= a ( 1, 2, 1, 1 ) + b ( 0, 1, 2, 1 ) + c ( 0, 0, 2, 1 ) + d ( 0, 0, 0, 1 )
= ( a, 2 a + b, a + 2 b +2 c, a + b + c + d )
O sea
∴ yB’ = ( 1, 2, −3, −2 )B’ = ( a, b, c, d ) = ( 1, 0, −2, −1 )
Y ahora sí, podemos hacer el producto considerando un xB con componenetes x1, x2,
x3 en la base B, las cuales vamos a determinar para que la igualdad efectivamente se
cumpla:
Tenemos un sistema de 4 ecuaciones a resolver
Entonces los vectores de la forma
(x)B = ( −1 − 2x3, x3 + 2, x3 ) = x3 ( −2, 1, 1 ) + ( −1, 2, 0 ) con x3 ∈ℜ
son llevados por f a (y)B’ = ( 1, 0 ,−2,−1 ). Bien, ya casi tenemos la respuesta, sólo
debemos expresar estos vectores en la base canónica, lo que no es complicado,
porque ya conocemos los coeficientes que multiplican a los vectores de la base B.
A ver:
( −2, 1, 1 ) → −2 ( 1, 0, 1 ) + 1 ( −1, 0, 1 ) + 1 ( 0, 1, 0 ) = ( −3, 1, −1 )B
( −1, 2, 0 ) → −1 ( 1, 0, 1 ) + 2 ( −1, 0, 1 ) + 0 ( 0, 1, 0 ) = ( −3, 0, 1 )B
B'
31
32
321
321
3
2
1
BB'B (
1-
2-
0
1
x2x
xx
x3xx2
xxx
x
x
x
201
11-0
312
111
)(f)(M )yx =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+−
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1d
2c
dc12-
2c13-
0b
dcba
c2b2a
ba2
a
2
3
2
1
−=
−=
⇒
⇒
++=
+=
=
⇒
⇒
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+++
++
+
=
=
=
=
−
−
Si reemplazamos estos valores en las
otras 2 ecuaciones, vemos que ellas se
cumplen para todo x3 y no sólo para un
valor en particular.
x21x
2xx
1
2
0
1
x2x
xx
x3x2x
xxx
31
32
31
32
321
321
−−=
+=
⇒
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−
−
=
=
=
=
+
+−
++
++

213. ASIMOV TRANSFORMACIONES LINEALES- 44 -
∴ x = x3 ( −3, 1, −1 ) + ( −3, 0, 1 ) con x3 ∈ℜ
Así que no tenemos una respuesta, tenemos infinitas !!!! Porque por cada valor
distinto que de a la variable x3 obtengo otro valor de f−1
( 1, 2, −3, −2 ). Pero como
hoy día se trata de economizar en todo, también lo vamos hacer en las palabras… por
eso reducimos estas quichicientas soluciones en un simple renglón:
f−1
( 1, 2, −3, −2 ) = x3 ( −3, 1, −1 ) + ( −3, 0, 1 ) con x3 ∈ ℜ
FIN TRANSFORMACIONES LINEALES

214. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 45 -
NÚMEROS COMPLEJOS
Hasta ahora veníamos haciendo cuentas con números reales, y parecía que estaba
todo bien. Pero ahora aparecen los números complejos. ¿ Para qué sirven estos
números raros ? ¿ Hacen falta en serio o son un invento más de los matemáticos para
complicar las cosas ?
Rta: Los números complejos se “inventaron” porque hay cuentas que no se pueden
hacer con los números reales. Eso quizás suene medio raro, pero en realidad es lo
mismo que venimos haciendo desde la primaria: cuando hay cuentas que no se pueden
hacer, inventamos un tipo de números nuevos. Fijate:
Al principio, empezamos haciendo cuentas con los números naturales (N), o sea 1,2,3,
... Se llaman así porque son los que usamos para contar, y uno siempre sabe contar
aunque no sepa nada de álgebra (es algo natural...). Pero cuando empezamos a
trabajar con las operaciones más comunes (sumar, restar, multiplicar, dividir), vemos
que hay cuentas muy simples que no se pueden hacer con los números naturales.
Por ejemplo, 2 – 5. Eso no se puede calcular, porque 5 es más grande que 2. Para
arreglar eso, inventamos un nuevo conjunto de números: los números enteros (Z),
que incluyen a los positivos y los negativos. Ahora sí, la cuenta 2 – 5 nos da como
resultado -3.
También hay problemas con las divisiones. Por ejemplo 2/3 no se puede calcular,
porque no da como resultado un número entero. Entonces, inventamos el conjunto de
los números racionales (Q), que incluye todas las fracciones, positivas y negativas.
Cuando nos metemos con operaciones más complicadas, como las potencias y las
raíces, también nos aparecen problemas, porque las raíces casi nunca dan como
resultado una fracción. El ejemplo típico es √2. Como no se puede escribir como una
fracción, decimos que es un número irracional (o sea, que no es racional, que no está
en Q). Y como los números irracionales aparecen mucho (por ejemplo, π es un número
irracional), inventamos el conjunto de los números reales (R).
Pero con los números reales no está todo arreglado, porque sigue habiendo muchas
cuentas que no se pueden hacer: dividir por cero, raíces pares de números negativos,
log(0), y muchas más. Con los números complejos (C) arreglamos el tema de las raíces
de números negativos. Para eso, definimos un nuevo número “i” que cumple que
i2
= -1
Fijate que “i” no puede ser un número real, porque cualquier número real elevado al
cuadrado da como resultado un número positivo (o cero). Entonces, como no es un
número real, decimos que es un número imaginario.

215. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 46 -
Todos los múltiplos de “i” también son imaginarios, porque cuando los elevamos al
cuadrado dan como resultado un número negativo. Fijate que, si k es un número real
nos queda:
(k . i)2
= k2
. i2
= k2
(-1) = - k2
Como k є R, k2
es positivo (o cero) y -k2
es negativo. Entonces, definimos como
número imaginario a cualquier múltiplo de “i”.
Ahora que ya sabemos qué es un número imaginario, veamos una definición más o
menos formal de complejos.
NÚMEROS COMPLEJOS. DEFINICIÓN
Se define como un número complejo, a la suma de un número real y otro imaginario.
O sea que z es un número complejo (z є C) si se lo puede escribir como
z = a + b . i
En la expresión z = a + b . i, a y b son números reales.
Veamos ahora un par de definiciones más:
• La parte real de z es Re(z) = a. Cuando a = 0, decimos que z = b . i es un número
imaginario puro, porque su parte real es 0.
• La parte imaginaria de z es Im(z) = b. Cuando b = 0, nos queda z = a, que es un
número real. Esto quiere decir que los números reales son solamente un caso
particular de los números complejos ( cuando Im(z) = 0 ). Esto no es tan sorpren-
dente, es lo mismo que cuando vimos por primera vez los números enteros: los
naturales son solamente un caso particular de los enteros.
Sumar, restar o multiplicar dos números complejos no tiene mucho secreto: es
exactamente lo mismo que con los números reales, acordandote que i2
= -1. Veamos
algunos ejemplos:
• z = (1 + 2i) . (-4 – i) = ?
Distribuimos el producto de los dos paréntesis como:
z = (1 + 2i) . (-4) – (1 + 2i) . (i) = -4 – 8i – i – 2 .i2
= -4 – 9i + 2 ⇒ z= -2 – 9i
• z = (2 + i) . (5 – 3i) – (4 – 2i) = ?
z = 2 . (5 – 3i) + i . (5 – 3i) – 4 + 2i = 10 – 6i + 5i – 3i2
– 4 + 2i
⇒ z = 9 + i

216. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 47 -
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
El conjugado de un complejo z = a + bi se define como:
z = a – bi
O sea, todo lo que hicimos fue cambiar el signo de la parte imaginaria. Ya vamos a ver
de qué sirve, por ahora veamos qué propiedades tiene.
1) Es distributivo con la suma, resta, producto y división (siempre que no se
divida por cero). O sea, que el conjugado de una suma es igual a la suma de los
conjugados, y lo mismo con la resta, el producto y la división
21 zz + = 21z z+
2) z + z = 2 . a = 2 . Re(z)
3) z – z = 2 . b . i = 2 . Im(z) . i
4)
z . z = a2
+ b2
= [Re(z))2
+ (Im(z)]2
Estas últimas tres propiedades se pueden demostrar muy fácil: solamente hay que
hacer la cuenta y ver que son verdad.
Plano complejo
El plano complejo es el equivalente a la “recta real” en el caso de los números
complejos. ¿ Cómo era eso?
– En la recta real aparecen todos los números reales positivos y negativos
ordenados de menor a mayor.
– Y en los complejos es lo mismo?
– Es algo parecido, pero no es lo mismo. Una propiedad muy importante de los
complejos es que no están ordenados, o sea que no se puede decir que un
complejo sea más grande o más chico que el otro. ( Atento ! ). Entonces lo que
hacemos es ubicarlos en un plano.
Para eso, hacemos un gráfico con dos ejes: en uno ponemos la parte real de z (eje
real), y en el otro la parte imaginaria (eje imaginario). Lo bueno de esto es que
como Re(z) y Im(z) son números reales, los dos ejes son algo así como “dos rectas
reales” porque sí están ordenados.
El gráfico es una cosa así:

217. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 48 -
O sea que a cada número le corresponde un punto en el plano complejo. Y ese punto
lo podemos representar por un vector de R2
. Entonces, el número z = a + b . i corres-
ponde al vector (a,b). Esto sirve solamente para tener una interpretación “geométri-
ca” de los números complejos: podemos pensarlos como vectores en un plano
MÓDULO Y ARGUMENTO
Hasta ahora venimos escribiendo a los números complejos como z = a + b .i. Esta
forma de escribirlos se llama la forma binómica de z (“bi” quiere decir dos: es la
suma de dos términos, uno real y otro imaginario).
Pero no es la única forma de escribir un número complejo. Como vimos que son algo así
como vectores de R2
, para decir cuánto vale z tenemos que dar dos números.
– Y bueno, esos dos números son la parte real y la parte imaginaria
– Sí, está bien. Esa es una forma (la binómica). Pero también podemos dar otros dos
datos de z. La más común es con el módulo y el argumento.
• El módulo de un complejo z = a + b . i es |z| = 22
ba +
Fijate que el módulo de un complejo no es otra cosa que la norma del vector (a,b).
O sea, nos está diciendo la longitud de ese vector. De alguna forma, significa lo
mismo que para los números reales: el módulo es la distancia al cero.
Nota: |z|2
= a2
+ b2
= z . z
• El argumento de un complejo z = a + b . i es el ángulo que forma el vector (a,b) con
el eje real. Acordate que los ángulos se miden en el sentido antihorario (o sea, al
revés que como giran las agujas del reloj).
Veámos todo esto en un gráfico.
Re(z)
Im(z)
a
b REPRESENTACIÓN DEL
NÚMERO COMPLEJO
z = a + b . i

218. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 49 -
Entonces, el argumento de z es el ángulo α. Bueno, ¿ y cómo se calcula ?
Rta: No es tan simple. Antes repasemos un poco de ángulos y trigonometría.
Antes que nada, veamos un poco cómo medimos los ángulos. Hasta ahora, los venimos
usando el sistema sexagesimal: o sea, con grados, minutos y segundos ( 1 grado son
60 minutos y un minuto son 60 segundos ). Así, un ángulo recto mide 90º, y uno llano
mide 180º. Este sistema se inventó porque 60 es el número menor que cien con mayor
cantidad de divisores. Entonces, es más fácil hacer cuentas.
Pero una vez que se inventó la calculadora, dejó de ser importante que las cuentas
sean fáciles, total las hace una máquina. Entonces, se buscó un nuevo sistema que
arregle las pequeñas fallas del sistema sexagesimal:
• hay que manejarse con unidades (grados, minutos, segundos); y pasar de una a
otra es engorroso (hay que hacer muchas cuentas)
• El ángulo más grande que hay es 360º, que sería todo un círculo.
Para eso se inventó el sistema de radianes. Ahora los ángulos se definen distinto. En el
sistema sexagesimal, 1 grado se define como 1/90 de un ángulo recto ( que entonces
mide 90º ). Ahora, se definen a partir de una circunferencia.
Re(z)
Im(z)
a
b
α
α
(x,y)
x
y
EL ARGUMENTO DE
Z ES EL ÁNGULO α.

219. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 50 -
Definimos los ángulos a partir de la relación entre el arco de circunferencia y el
radio, así:
α = longitud arco / radio
Fijate que α no tiene unidades de nada porque las longitudes están en metros. Enton-
ces, las unidades son m/m = 1. Un ángulo de 1 radián es aquel donde el arco y el radio
son iguales. Pero como suena muy mal eso, decimos que ese ángulo mide 1 radián.
– Y cómo paso un ángulo en radianes a grados ?
– Para eso necesitamos saber cuánto vale algún ángulo en particular. Lo más fácil es
tomar la circunferencia entera, o sea un ángulo de 360º.
- ¿ Cuánto vale en radianes?
Muy fácil. Usamos la fórmula anterior y nos queda:
α = long. circunferencia / radio = 2 π . radio / radio = 2 π
O sea que 360º es lo mismo que 2π radianes. O sea que un radián equivale a
1 radián = 360 / 2π = 57,29577... º
Pero no hace falta que te acuerdes ese número feo. Nada más acordate que 2π es lo
mismo que 360º. Y a partir de ahí podés sacar cualquier ángulo.
Por ejemplo, 180º es π; 90º es π/2; 60º es π/3 .....
Ya vimos que no tenemos más el problema de las unidades. Tampoco tenemos el pro-
blema de ángulos mayores a 360º. Ahora está todo bien: un ángulo de 540º (o sea, de
3π radianes) equivale a una circunferencia y media.
– ¿ Pero entonces 180º ( π ) es lo mismo que 540º ( 3π ) ?
– No, no es lo mismo. Pensá en una carrera de atletismo. No es lo mismo dar media
vuelta ( 180º ) que una vuelta y media ( 540º ). Es verdad que terminás en el
mismo lugar, pero recorriste más distancia. Entonces de alguna forma, los ángulos
“se repiten” cada 2π.
Fijate en la circunferencia de la página anterior, de radio R. A cada ángulo a le
corresponde un punto (x,y) de la circunferencia. A partir de esto, se definen las
tres funciones trigonométricas básicas, que van a aparecer todo el tiempo.
sen α = y / R ; cos α = x / R ; tang α = y / x
Así nomás de la definición, salen dos propiedades de estas funciones que se usan
mucho:
1) (senα)2
+ (cos α)2
= 1 >>>>>> también se escribe como sen2
α + cos2
α = 1
2) tang α = sen α / cos α

220. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 51 -
Ahora que ya repasamos un poco, volvamos a nuestro tema: ¿cómo calculamos el
argumento de un número complejo ? Veamoslo en el plano complejo:
A cada punto z = (a,b) = a + b .i , lo podemos poner sobre una circunferencia de radio
|z|. Entonces, fijate que en las definiciones de seno y coseno de un ángulo. Queda así:
Cos (α) = a / |z| y sen (α) = b / |z|
El argumento de z es el valor de α que verifica esas dos ecuaciones al mismo tiempo.
– Pero, .... hay un problema. Antes te dije que los ángulos de alguna forma se
“repiten” cada 2π. Entonces, hay infinitas soluciones de esas ecuaciones
– Es verdad. Como nos tenemos que quedar con una sola, nos quedamos con la que
está en el intervalo [0 , 2π). O sea, a es mayor o igual que cero y menor que 2π.
– En ese intervalo, la solución es única.
Fijate que si dividimos la segunda ecuación por la primera nos queda:
tangα = b / a = Im (z) / Re (z)
Veamos un ejemplo:
• Hallar el módulo y el argumento de z = 3 + 4 . i
El módulo es siempre la parte más fácil. Nos queda:
|z| = 22
43 + ⇒ |z| = 5
Ahora el argumento. Es el valor de a entre 0 y 2π que cumple las dos ecuaciones:
cosα = 3/5 ; senα = 4/5
Para resolver esto, nos conviene dividir la segunda ecuación por la primera:
α
z
a
b

221. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 52 -
senα / cosα = 4
/5 / 3
/5
>>>>> tangα = 4/3
Para resolver esto, tenemos que “pasar la tangente al otro miembro”. Para eso
existen las funciones inversas a las trigonométricas. En este caso, usamos la función
arco tangente, ( a veces se la llama tang-1
). Esta función resuelve el problema:
tangα = 4/3 >>>>> α = tang-1
(4/3) = 53º = 0,925 radianes
Y listo, eso es todo. Ahora que tenemos el módulo y el argumento, podemos escribirlo
como:
z = 3 + 4.i = 5 . (cos 53º + i . sen 53º )
Esta última es la forma trigonométrica de z., justamente porque aparecen el seno y
el coseno (funciones trigonométricas) del argumento. Encontrar la forma binómica a
partir de la trigonométrica no tiene ningún secreto, todo lo que hay que hacer es
calcular el seno y el coseno.
• Encontrar la forma trigonométrica de z = -3 – 4.i
Haciendo las mismas cuentas de antes, llegamos a que |z| = 5, y que tangα = 4/3
Si usamos la arco tangente, llegamos al mismo resultado de antes. Y eso no puede ser,
porque los dos números son distintos, entonces no pueden tener el mismo módulo y el
mismo argumento. Claro, pasa que nos estamos olvidando de algo.
La ecuación tangα = 4/3 tiene dos soluciones en el intervalo [0, 2π)
– Pero la arco tangente nos da una sola solución. ¿Cómo encontramos la otra?
– Por cada ángulo a entre 0 y 2π hay dos ángulos para los que el seno, el coseno y la
tangente valen lo mismo y otros dos con el signo cambiados. Algo así
α
α
α
α
PS
T C

222. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 53 -
– ¿ Y cómo sabemos en qué cuál es el positivo y cuál el negativo ?
– Ah, para eso hay una regla que sirve mucho:
• En el Primer cuadrante, todas las funciones son Positivas
• En el Segundo cuadrante, solamente el Seno es positivo, y el resto negativos
• En el Tercero, la Tangente es positiva
• En el Cuarto, el Coseno es positivo, y los demás negativos
Se entendió la reglita ? Bueno, en este caso, estamos buscando que la tangente sea
positiva. Entonces, el resultado puede estar en el primer o en el tercer cuadrante.
Por eso siempre conviene ubicar primero al número en el plano complejo. Como las a y
b (las partes real e imaginaria) son negativas, está en el tercer cuadrante. Entonces,
el argumento es 53 º + 180 º = 233 º = 4,066 radianes.
z = - 3 – 4 . i = 5 . ( cos 233 º + i . sen 233 º )
Por últimos, veamos cuáles son los argumentos en casos muy simples:
• Los números reales tienen argumento 0 si son positivos o 180º = π si son negativos.
¿Y si es cero? Bueno, el número z = 0 es el único que no tiene argumento. Eso es
porque, como su módulo es |0| = 0, no importa cuál sea el valor de α
• Los números imaginarios puros tienen argumento 90º = π/2 si son positivos, o
270º = 3π/2 si son negativos.
Esto que hicimos recién de pasar de la forma binómica a la trigonométrica se hace
mucho; y no solamente para números complejos sino para cualquier vector de R2
.
En definitiva, hicimos un cambio de coordenadas, porque en vez de manejarnos con
(x,y), trabajamos con el módulo y el ángulo. Esto se llama pasar de coordenadas
rectangulares (x,y) a polares. Y se usa mucho, en especial cuando son problemas con
circunferencias, donde el módulo es una constante (el radio) y sólo cambia el ángulo.
PRODUCTO ENTRE COMPLEJOS
La suma y la resta de complejos se puede hacer muy fácil con la forma binómica; pero
el producto no es tan fácil. Es mucho más simple multiplicar trabajando con la forma
trigonométrica. Hay un teorema, llamado “Teorema de De Moivre” que dice que si z y
w son dos números complejos con argumentos a y b respectivamente:
z . w = |z| . |w| . ( cos (α + β) + i . sen (α + β) )
O sea que el módulo del producto es igual al producto de los módulos; y el argumento
es igual a la suma de los argumentos.

223. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 54 -
OJO: si esta suma es mayor que 2π (o menor que 0), hay que restarle (o sumarle) 2π;
porque acordate que el argumento tiene que ser un número entre 0 y 2π
Este teorema no es para nada difícil de demostrar. Todo lo que hay que hacer es
multiplicar los dos números a partir de su forma trigonométrica; y ver que da ese
resultado. Para eso hay que usar las fórmulas del coseno de la suma de dos ángulo,
y lo mismo para el seno; por eso no te lo muestro, pero no es nada complicado.
Veamos algunos ejemplos:
• (√2 + √2 . i) . (-3 + 4 . i) = ?
Tenemos el producto de dos complejos:
z = √2 + √2 . i = 2 . ( cos (45º ) + i . sen ( 45º) ) y
w = -3 + 4.i = 5 . ( cos (127º ) + i . sen ( 127º )
Como dijimos antes, el módulo del resultado es |z . w| = |z| . |w| = 2 . 5 = 10
Y el argumento es 45º + 127º = 172º. Entonces, el resultado es:
(√2 + √2 . i) . (-3 + 4 . i) = 10 . ( cos 172º + i . sen 172º)
Así de simple. Ahora veamos: ¿qué pasa si multiplicamos por un número de módulo 1
y argumento α ?
El módulo no cambia, porque todo lo que hacemos es multiplicar por 1. Pero sí cambia
el argumento porque le estamos sumando α. Entonces, todo lo que hicimos fue girar
el número complejo un ángulo α.
Por ejemplo, si multiplicamos (3 + 2.i) . i, todo lo que hicimos fue rotar (3 + 2 . i) un
ángulo de 90º, porque el argumento de i es 90º. Esto refuerza la idea de la interpre-
tación geométrica de los números complejos como vectores de R2
.
COCIENTE ENTRE COMPLEJOS
Antes que nada, dejemos en claro que igual que en los números reales, no se puede
dividir por 0. Ese es un principio básico de la matemática, y todo va a cambiar el día
que se descubra cómo dividir por cero. Entonces, a partir de ahora, siempre que diga
“dividimos por z”, estamos suponiendo que z no es 0.
– ¿Te acordás de cuando vimos el conjugado, que vimos unas cuántas propiedades
pero no para qué sirve? Bueno, uno de los usos que tiene es para dividir.
– ¿Cómo es eso?
Una de las propiedades más importantes del conjugado es que:
z . z = a2
+ b2
= |z|2
⇒ z . (z / |z|2
) = 1

224. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 55 -
O sea que encontramos un números que cuando lo multiplicamos por z nos da 1. Eso no
es otra cosa que el inverso multiplicativo de z, y se escribe z-1
.
z-1
= z / |z|2
Para entenderlo un poco mejor, pensémoslo en los números reales. ( Acordate que los
números reales son un caso particular de los complejos ).
El inverso multiplicativo de 3 es 3-1
= 1
/3. Esto quiere decir que si yo quiero dividir
por 3, tengo que multiplicar por 1
/3. O sea que 8/3 = 8 . 1
/3. Entonces, estamos
diciendo que dividir por z es lo mismo que multiplicar por z-1. Veamos algún ejemplo
en los complejos:
• Calcular w/z con w = 3 + i y z = 1 – i
Lo primero que hay que hacer es calcular z-1
.
z = 1 + i ; |z|2
= 12
+ (-1)2
= 2
⇒ z-1
= (1 + i) / 2
Ahora que tenemos el inverso multiplicativo de z, hacemos la cuenta:
w/z = w . z-1
= (3 + i) . (1 + i)/2 = (3 + i + 3i + i2
) /2
⇒ w/z = 1 + 2 i
Bueno, eso no fue tan complicado. Pero si fuera un ejercicio con números no tan
simples, o si hubiera que hacer muchas divisiones seguidas, se complicaría más.
Para eso hay un método más fácil, trabajando con la forma trigonométrica; o sea,
con el módulo y el argumento. La idea es la misma, multiplicar por z-1
. Pero veamos:
• El módulo de z-1
es :
|z-1
| = | z | / |z|2
= |z| / |z|2
>>>>> |z-1
| = 1 / |z| = |z|-1
• También podemos calcular el argumento, así:
z . z-1
= 1 ⇒ arg (z) + arg (z-1
) = arg (1) = 0
⇒ arg (z-1
) = - arg (z)
Nota: como z-1
es un múltiplo de z , también se cumple que arg ( z ) = - arg (z)
O sea que si z = |z| . (cos α + i . sen α) >>>>

225. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 56 -
z-1
= 1/|z| . (cos (−a) + i . sen (−a))
Entonces veamos cómo queda la división de dos complejos w /z con:
w = |w| . (cos β + i . sen β) ; z = |z| . ( cos α + i . sen α )
w/z = w . z-1
= |w| / |z| . ( cos (β−α) + i . sen (β−α ) )
Fijate que nos quedó algo muy parecido al producto:
• El módulo de un producto es igual al producto de los módulos. Bueno, con la
división es lo mismo pero al revés: el módulo de un cociente es igual al cociente
de los módulos
• El argumento de un producto es igual a la suma de los argumentos: para la división
es al revés, nos da la resta de ambos argumentos.
Veamos cómo nos queda la división del ejemplo anterior con este método:
• Calcular w/z con w = 3 + i y z = 1 – i
Lo primero que hay que hacer es pasar ambos números a su forma trigonométrica.
Esto te dejo que lo hagas vos, te paso los resultados. Nos quedan así:
w = √10 . (cos 18,4º+ i . sen 18,4º) ; z = √2 . (cos 315º + i . sen 315º)
w/z = √10 / √2 . (cos(18,4º-315º) + i . sen(18,4º – 315º)
w/z = √5 . (cos -296,6º + i . sen-296,6º)
OJO: acordate que el argumento es un número entre 0 y 2π ( o sea entre 0 y 360º ).
Entonces, tenemos que sumarle 2π (360º), y nos queda -296,6º + 360º = 63,4º
w/z = √5 . (cos 63,4º + i . sen 63,4º) = 1 + 2 . i
Llegamos al mismo resultado. O sea que las dos formas valen. Elegí la que más te
guste. Cuando hay que hacer una división muy simple, quizás convenga hacerlo con la
forma binómica; pero por lo general siempre conviene manejarse con el módulo y el
argumento.
NOTACIÓN EXPONENCIAL
Ya vimos que los números complejos se pueden escribir de dos formas: la binómica
(con la parte real y la imaginaria) y la trigonométrica (con el módulo y el argumento).

226. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 57 -
La notación exponencial es como un forma resumida de la trigonométrica. Si z es un
complejo de módulo |z| y argumento α, se escribe:
z = |z| . (cos α + i . sen α) = |z| . eiα
.
Esta notación es mucho más simple para las divisiones y productos, porque todo lo
que hay que hacer es sumar (si es producto) o restar (si es división) los exponentes.
Veamos algunos ejemplos:
• w = 3 . eiπ
= -3 ; z = 2 . eiπ/3
= 1 + √3 . i
w . z = 3 . eiπ
. 2 . eiπ/3
= 6 . ei4π/3
= 6 . (cos4π/3 + i . sen4π/3) = -3 – 3 . √3 i
w / z = 3 . eiπ
/ (2 . eiπ/3
) = 3/2 . ei2π/3
= 3/2 . (cos2π/3 + i . sen2π/3)
⇒ w/z = -3/4 + 3/4 . √3 i
No tiene más secreto, y sirve mucho para productos y cocientes.
POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO
La potencia es multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo,
z2
= z . z; z3
= z . z . z
En general, zn
= z . z ..... z , n veces. Entonces, si aprendiste bien cómo es el producto
no vas a tener problema con la potencia. Las potencias grandes son difíciles de calcular
con la forma binómica. Por ejemplo, para calcular (1 + i)8
, hay que multiplicar 1 + i por sí
mismo 8 veces, y eso es muy complicado. Por eso, siempre se trabaja con la forma
trigonométrica (o la notación exponencial, que es lo mismo); excepto para calcular z2
,
que se puede hacer con la forma binómica, porque no son tantas cuentas. Con la
notación exponencial es más fácil:
zn
= (|z| . eiα
)n
= |z|n
. einα
Esto es muy fácil. Entonces, la única parte difícil de calcular una potencia es pasar
primero el número complejo a la forma trigonométrica o exponencial. Algunos
ejemplos:
• Calcular z6
con z = √3 + i
Primero buscamos la forma exponencial. Para eso necesitamos:
– el módulo: |z| = 22
1)3( + = 2

227. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 58 -
– el argumento α: tang α = Im(z) / Re(z) = 1 / √3.
Como α es un ángulo del primer cuadrante, nos queda a = 30º = π/6
El número z en forma exponencial es z = 2 . eiπ/6
. Y ahora es muy simple.
z6
= (2 .eiπ/6
)6
= 26
. e6.iπ/6
= 64 . eiπ
= 64 . (cosπ + i . senπ)
z6
= - 64
RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO
La radicación es la operación inversa de la potencia. O sea, que si decimos que
z = 7
2 , queremos decir que z7
= 2.
– Ah, entonces si sé como calcular potencias, también se cómo calcular raíces: es la
operación inversa.
– Sí, pero no es tan simple. Para los números reales sí es así de simple, porque las
raíces son únicas. Quiero decir que hay un sólo número real tal que x3
= 8, y es
– x = 2. Esto quiere decir que la raíz cúbica de 8 es única y vale 2.
– ¿ Y en los complejos no es única ?
– No. Por ejemplo, existen tres raíces cúbicas de 8. Además de x = 2, hay dos
soluciones más. Quizás suene raro, pero es así. Es más, en general, hay n raíces
n-ésimas distintas de cualquier número complejo. Esto es muy poco intuitivo, pero
ya lo vamos a ver mejor. Veamos cómo se calculan las raíces.
Dijimos que es la operación inversa de la potencia. O sea que, si la z1/n
= w, quiere
decir que wn
= z. Una vez más, es mucho más fácil con la forma exponencial. Si α es el
argumento de w y β es el argumento de z nos queda:
wn
= z ⇒ |w|n
. einα
= |z| . eiβ
.
Para que dos números complejos sean iguales, tienen que ser iguales los módulos y los
argumentos tienen que diferir en un múltiplo de 2π (acordate que los ángulos se
“repiten” cada 2p, porque el seno y coseno valen lo mismo). Entonces tenemos dos
ecuaciones:
|w|n
= |z| y n . α = β + 2 . k . π donde k es un número entero.
La primera ecuación es fácil, porque los módulos son números reales. La solución es
|w| = |z|1/n
.
La segunda ecuación nos queda:
α = (β + 2 kπ) / n

228. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 59 -
Entonces vemos que hay más de 1 solución, porque k puede tomar muchos valores.
Es más, en principio hay infinitas soluciones, porque k es cualquier número entero.
Pero en realidad, no hay más de n soluciones distintas. Porque después de n valores de
k, se empiezan a repetir, ya que si los argumentos difieren en un múltiplo de 2π es como
si fueran iguales. Para entender mejor esto, veamos un ejemplo:
• Calcular todas las raíces cúbicas de 1.
O sea, buscamos números complejos w = |w| . eiα
tales que w3
= 1
|w| = |1|1/3
= 11/3
= 1
α = (arg (1) + 2 kπ)/ 3 = (0 + 2 kπ)/3 = 2/3 kπ
En principio, k es un número entero cualquiera. Pero en realidad no puede tomar
cualquier valor, porque a (el argumento de w) tiene que estar entre 0 y 2π. Entonces,
k puede tomar solamente tres valores:
k1 = 0 ⇒ α1 = 0 ⇒ w1 = 1 . ei0
= 1 . (cos0 + i . sen0) ⇒ w1 = 1
k2 = 1 ⇒ α2 = 2π/3 ⇒ w2 = 1 . ei2π/3
= 1 . (cos2π/3 + i . sen2π/3)
⇒ w2 = -1
/2 + √3/2 i
k3 = 2 ⇒ α3 = 4π/3 ⇒ w3 = 1 . ei4π/3
= 1 . (cos4π/3 + i . sen4π/3)
⇒ w3 = -1
/2 - √3/2 i
Si tomamos k = 3 nos da exactamente el mismo resultado que con k = 0. Eso es lo que
dijimos antes: las raíces se empiezan a “repetir” después de n valores de k.
Y con esto podemos resolver muchas ecuaciones con números complejos. No hace
falta saber nada más. Veamos un ejemplo más y ya terminamos:
•
Encontrar todos los valores de z є C tales que z3
= (1 + i)6
Lo primero que uno piensa en hacer es pasar el 3 para el otro miembro como raíz
cúbica y simplificarla con el seis. Nos quedaría algo así:
z3
= (1 + i)6
⇒ z = (1 + i)2
Pero acá hay un problema: llegamos a una solución única, y eso no puede ser. Si esta-
mos calculando una raíz cúbica, tiene que haber tres soluciones distintas. Entonces,
no podemos simplificar así nomás. Mejor calculemos primero cuánto vale (1 + i)6
.

229. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 60 -
Para eso, primero escribimos 1 + i en su forma exponencial: 1 + i = √2 . eiπ/4.
(1 + i)6
= (√2 . eiπ/4
)6
= 23
. e6iπ/4
= 8 . ei3π/2
= - 8 . i
Nos quedó para resolver z3
= 8 . ei3π/2
. O sea, tenemos que calcular las tres raíces
cúbicas de ese números. Para eso necesitamos:
– el módulo: |z| = 81/3
= 2
– el argumento: arg(z) = α = (3π/2 + 2kπ)/3 = π/2 + 2/3 kπ
k es un número entero, que puede tomar 3 valores (porque son raíces cúbicas). Y
como α tiene que estar entre 0 y 2π, los únicos valores para k son 0, 1 y 2 (si k es
más grande o más chico, α queda afuera del intervalo [0,2π))
k = 0 ⇒ α1 = π/2 ⇒ z1 = 2 . eiπ/2
= 2 . (cosπ/2 + i . senπ/2)
⇒ z1 = 2.i
k = 1 ⇒ α2 = 7π/6 ⇒ z2 = 2 . ei7π/6
= 2 . (cos7π/6 + i . sen7π/6)
⇒ z2 = -√3 - i
k = 2 ⇒ α3 = 11 π/6 ⇒ z3 = 2 . ei11π/6
= 2 . (cos11π/6 + i . sen11π/6)
⇒ z3 = √3 - i
Entonces, las tres soluciones son z1 = 2.i ; z2 = -√3 - i y z3 = √3 – i.
NÚMEROS COMPLEJOS - RESUMEN
No existe una única forma de escribir a los números complejos z, pero esto no es
para confusión, al contrario, es conveniente manejarse bien con todas las represen-
taciones pues esto nos permite luego tener más opciones a la hora de encarar un
problema, pues saber elegir en qué notación trabajar suele simplificar muchísimo el
trabajo. Vamos entonces a repasar o conocer las distintas formas de escribir este
mismo Nº:
REPRESENTACIÓN BINÓMICA.
Expresamos al número z como suma de un término real y otro puramente imaginario:
z = x + iy, donde x e y ∈ ℜ
Y es por esto entonces que se dice que x es la parte real de z, esto es: x = Re (z) y

230. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 61 -
del mismo modo que y = Im (z) es la parte imaginaria de z ( ← ojo ! La notación
y = Im (z) no tiene nada que ver con la imagen de una función !! ).
En esta notación, el módulo del número se obtiene tomando la raíz a la suma de los
cuadrados de la parte real e imaginaria, esto es:
El complejo conjugado z de z, se obtiene cambiando la parte Im(z) por −Im(z), es
decir
REPRESENTACION TRIGONOMÉTRICA.
Escribimos a z en función de un radio r y un ángulo polar θ: z = r (cos θ + i sen θ )
Donde
y en esta notación el complejo conjugado se escribe ( )senicosrz θ−θ=
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Es fácil representar a z gráficamente, veamos… Consideremos el espacio bidimen-
sional, es decir, un plano. Coloquemos un eje coordenado, xy, donde decimos ahora
que el eje de las x representa el eje real y el de las y, el eje imaginario. Ya dijimos
cómo obtener r, la longitud del vector que parte desde el origen, pero hacia dónde?
Esto es fácil de responder si conocemos θ ( o cómo calcularlo ) pues éste es el ángulo
que forma el vector con respecto al eje real. Veamos el dibujito :
( ) ( ) 2222
yx)zIm(Re(z)z +=+=
yixz −=
complejo.nºdellongitudlaeszrvimoscomoyyxr 22
=→+= ,
complejo.delargumentoelesArg(z)
x
y
arctan =→⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= θθ

231. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 62 -
Del gráfico podemos ver un “detalle” muy importante: hay infinitas formas de
describir al mismo nº complejo z. Del gráfico vemos eso ?? Infinitas ???!!!
Rta: Sí! Fijate, marquemos en el mismo plano el nº z’ = r ( cos (θ + 2π) + i sen (θ +
2π )). No es exactamente el mismo que z ? sí, porque dimos una vuelta entera y
llegamos al mismo punto. (Acordate que 2π es equivalente a 360 grados, por lo que
cambiar el valor de θ en 2π es lo mismo que sumarle una vuelta, después de la cuál
caemos en el mismo punto que al comienzo...) Y si en vez de una damos 2, 3, 4, 1000
??? Es lo mismo. De modo que si sumamos al argumento de un Nro. complejo múltiplos
de 2π, vamos a seguir hablando del mismo número.
REPRESENTACIÓN EXPONENCIAL.
Como en la forma anterior, de nuevo escribimos a z en función de un radio r y un
ángulo polar θ:
z = r eiθ
, donde eiθ
≡ cos θ + i senθ
El módulo de z es r ( siempre positivo eh ?!!! ), pues para cualquier argumento (ángulo)
pasa que
⇒ | z | = | r.eiθ
| = |r|.|eiθ
| = r
El conjugado θ
= i-
ez y el arg(z) = θ ( o lo que sea que esté multiplicando a la i en la
exponencial ).
Ahora rapidito veamos cómo escribir 2 números muy usados en las distintas repre-
sentaciones: el i y el −1. Empezamos por este último. Fijate que en la forma
binominal es simplemente tomar x = −1 e y = 0, quedando z = −1. Y tanto en la
forma trigonométrica como en la exponencial, es r = 1 y el ángulo θ es tal que
Ahora, i en la forma binomial exige que x = 0 e y = 1. Mientras que en las otras
representaciones tenemos que debe ser 110r 22
=+= y el ángulo tal que
Ζ∈=⇒Ζ∈+=+=→
⎩
⎨
⎧
=
= +
ncone1-n)12n(2n
0
1-cos )12n(i π
πππθ
θ
θ
,
sen
Ζ∈=⇒Ζ∈+=+=→
⎩
⎨
⎧
=
= +
mconeim
2
)14m(2m
21
0cos 2
)14m(i
π
π
π
π
θ
θ
θ
,
sen
( ) ( ) ,1sencossenicose 22i
=θ+θ=θ+θ=θ

232. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 63 -
EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES
Viste que en el resumen teórico ya hablamos de las diferentes formas de expresar a
los números complejos no? Depende de nosotros decidir con que notación es más
sencillo trabajar teniendo en cuenta el problema que tengamos que resolver. Y para
esta decisión no hay receta que valga, solo intuición que se adquiere con la práctica.
Se que a esta altura de mi sermón ya perdí todo el aprecio que me tenías, pero…
Es sassií… que le vamo a ssshasser….
Bueno, vamos a encontrar todos esos z que deben cumplir con
i) arg (−6 z4
) = arg (−i z2
)
En la notación exponencial z = r eiθ
el argumento aparece de forma explícita, ya que
es la cantidad que multiplica a i en la exponencial, es decir, el ángulo. Por lo tanto
vamos a escribir a z de esa forma.
−6 z4
= (−1 ).6 r4
ei4 θ
= 6 r4
ei( 2 m + 1 ) π
ei4 θ
pues −1 = ei( 2 m + 1 ) π
⇒ −6 z4
= 6 r4
ei( 4 θ + ( 2 m + 1 ) π )
∴ arg ( −6 z4
) = 4 θ + ( 2 m + 1 ) π con m ∈ Ζ
−i z2
= ( −1 ) i r2
ei2 θ
= r2
ei( 2 k + 1 ) π
ei( 4n + 1 ) π /2
ei2 θ
pues ei 2
π
)14n(i +
=
⇒ −i z2
= r2
ei( 2 θ + ( 2 k + 1 ) π + ( 4n + 1 ) π /2
con k,n ∈ Ζ
∴ arg (−i z2
) = 2 θ + ( 2 k + 1 ) π + ( 4n + 1 ) π /2
Ya tenemos los argumentos buscados. Ahora tenemos que ver para que θ´s se cumple
la igualdad:
arg (−6 z4
) = arg (−i z2
)

233. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 64 -
4 θ + ( 2 m + 1 ) π = 2 θ + ( 2 k + 1 ) π + ( 4n + 1 ) π /2
4 θ − 2 θ = ( 2 k + 1 ) π −( 2 m + 1 ) π + ( 4n + 1 ) π /2
θ = ( k − m + n ) π + π/4
⇒ θ = ( 4( k − m + n ) + 1 ) π/4
Para simplificar un poco, es conveniente considerar lo siguiente: como k, m y n son
números enteros arbitrarios, cualquier valor de ellos es válido y nos da una solución.
Pero cada combinación de k, m y n nos producen un nuevo nº entero dentro del
paréntesis ahí arriba, que podemos llamar p ( o sea p = k − m + n ). Al variar k, m
y n sobre todos los valores posibles, p tomará también todos los valores enteros
posibles. Y así, podemos directamente escribir
θ = ( 4p + 1 ) π/4, con p ∈ Ζ
Y por lo tanto, los z que cumplen con la primera condición tienen esta pinta:
ii)
De sólo recordar que el módulo de eiθ
es 1 independientemente del valor de θ,
y además de ya venir trabajando con esa notación, creo que es conveniente que
hagamos las cuentas considerando a z en la representación polar z = r eiθ
.
Pero el radio r es una cantidad positiva, por lo que el único valor que puede tomar es
50 . Y así, los z que cumplen esta segunda condición tienen este radio y cualquier
argumento:
z = 50 eiθ
Pero nosotros estamos interesados sólo en los z que cumplan simultáneamente ambas
condiciones. Por lo tanto, estos z deben tener el argumento determinado por i) y el
radio dado en ii). Esto es:
( )
p;erz 4
1p4i
Ζ∈=
π
+
( ) 250i-1z2
=
( ) 2r11ri-1eri-1zi-1z 22222i222
=+=== θ
( )
p;e50z 4
1p4i
Ζ∈=
π
+
( ) 50r2502ri-1z 22
±=⇒==⇒

234. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 65 -
Fijate que son infinitos los z que satisfacen lo que queremos, pues para cada valor
que de a p, obtengo un z distinto que cumple con i) y ii).
* Cuando nos dan un ejercicio de números complejos lo más importante es saber
bien de qué manera nos conviene escribir al número. Tenemos tres opciones:
• Binómica:
Lo que se hace es separar al número complejo en su parte real ( Re z ) y su parte
imaginaria ( Im z , se escribe igual que la imagen de una T.L. pero no tiene nada que
ver). Si suponemos que a es la parte real de z, y b es su parte imaginaria, la forma
binómica de z es:
z a ib= +
Esa i es el número imaginario 1i = −
Trigonométrica:
El ángulo α que hay entre el eje de los reales y el número complejo es llamado argu-
mento, es por eso que se lo suele escribir arg z . El módulo de un número complejo es,
la distancia entre el origen y el número en el plano complejo. Si usamos un poco de
trigonometría podemos escribir que:
adyacente
cos cos
hipotenusa
a
a z
z
α α= = → =
opuesto
sen sen
hipotenusa
b
b z
z
α α= = → =
Si metemos esto en la forma binómica, nos queda:
a
b z
arg zα =
Im z
Re z
z
Hallar todos los z que pertenecen a C tal que 3 5z = y 3 5 5− =z
( )
Sacando como
factor común
cos sen cos sen= + ⎯⎯⎯⎯⎯→ = +
a b
z
z z i z z z iα α α α

235. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 66 -
Ésta es la forma trigonométrica de un número complejo. Muchas veces al módulo
de z se le pone otro nombre en lugar de usar las barras. No importa qué nombre
tenga, si tiene esa forma podés estar seguro de que es el módulo del complejo.
• Exponencial:
Para escribir un complejo usando la notación exponencial se usa un resultado
conocido que no te voy a demostrar para evitar confusiones innecesarias. Si
te interesa el tema te recomiendo que te busques en alguno de los libros de
la bibliografía que tenés en la última hoja de la guía. Este resultado dice que
es lo mismo escribir cos seniα α+ que i
eα
. Entonces, metiendo esto en la forma
trigonométrica nos queda:
i
z z eα
=
Y ésa es la llamada notación exponencial del número complejo. Hecha esta intro
vamos a arrancar con nuestro ejercicio. En el enunciado nos dan dos condiciones para
hallar el complejo. Éstas son 3 5z = y 3 5 5z − = . De la primera podemos despejar
el módulo del complejo:
5
33 3z z z= → =
Como el módulo de un complejo z a ib= + es 2 2
z a b= + , esto nos queda:
2
Elevamos todo
al cuadrado Y despejamos2 2 2 2 2 25 25 25
3 9 9
a
a b a b a b+ = ⎯⎯⎯⎯⎯→ + = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = −
En la segunda condición nos hablan del complejo conjugado de z, o sea z . El
conjugado de un complejo tiene la misma parte real, pero la parte compleja está
cambiada de signo. En nuestro caso sería ( )z a i b a ib= + − = − . Ahora vamos con
esto a la segunda condición:
( ) ( ) ( )3 5 5 3 5 3 5a ib a i b− − = → − + − =
El término izquierdo de esta igualdad es el módulo de un número complejo, o sea
que podemos escribir:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
3 5 3 5 3 5 3 25 9 30 25a b a b a a− + − = → − + − = → − + 2
9 25b+ =
Y vamos a reemplazar a2
por lo que sacamos de la primera condición:
( )2 2 225
99 30 9 0 25 9− − + = → −b a b b 2
30 9− +a b 0 30 25= → =a

236. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 67 -
Ya encontramos la parte real de z, y ésta es 5
6a = . Para terminar vamos a volver con
este resultado a lo que extrajimos de la primera condición para sacar la parte
imaginaria de z:
2 2 2 225 25 25 25 25
9 9 9 36 12a b b a b= − → = − = − → = ±
Esto no quiere decir más que tenemos dos complejos z que satisfacen las condiciones
que nos dan en el enunciado. Éstos son:
5 25
1 6 12z i= + y 5 25
2 6 12z i= −
FIN NUMEROS COMPLEJOS

237. ASIMOV NUMEROS COMPLEJOS- 68 -

238. ASIMOV POLINOMIOS- 69 -
POLINOMIOS
Antes que nada, tenemos que decir que los polinomios son funciones de x. O sea que
a cada valor de x le asignan otro número, que se calcula con alguna fórmula.
– Bueno, eso es muy general. ¿ Pueden ser cualquier función ? Entonces sen(x) es un
polinomio?
– No, no. Son un tipo muy especiales de funciones. Pero, antes que nada son
funciones. Entonces, cumplen con todas las propiedades de las funciones. Por
ejemplo, forman un espacio vectorial; y para que dos polinomios sean iguales entre
sí, tienen que ser iguales para cualquier valor de x.
Esas son las primeras generalidades sobre los polinomios. Ahora veamos una
definición.
POLINOMIOS. DEFINICIÓN
Un polinomio es una función de x que se forma solamente con potencias enteras y no
negativas de x. Entonces, la forma general de un polinomio es:
P(x) = a0 . x0
+ a1 . x1
+ a2 . x2
+ ...... + an . xn
a0, a1, .... ,an son los coeficientes del polinomio P, y no son otra cosa que números.
Si son números reales, decimos que P es un polinomio real, o un polinomio a
coeficientes reales. Lo mismo si son racionales, complejos o lo que sea.
Se define el “espacio de polinomios” K [X] como el conjunto de todos los polinomios
con coeficientes en K ( K puede ser N, Z, Q, R ó C ). Este espacio, con la suma y el
producto usuales es un EV.
Un detalle importante: de acá en adelante, excepto que se aclare lo contrario,
suponemos que, en principio, los coeficientes pueden ser números complejos. O sea,
estamos tomando el caso más general aj є C
Este dato de que K[X] es un EV nos sirve de algo: podemos hablar de cosas como
combinación lineal, conjuntos LI y demás. En particular, las potencias de x con
distintos exponentes son linealmente independientes: o sea que, por ejemplo {x2
, x5
}
es LI
– Y eso de qué sirve?
– En realidad no sirve de mucho. Casi lo único para lo que sirve es para demostrar
que dos polinomios son iguales solamente cuando todos sus coeficientes son
iguales.
Si tenemos dos polinomios: P(x) = a0 . x0
+ ..... + an . xn
y Q(x) = b0 . x0
+ .... + bn . xn
,
veamos qué tiene que pasar para que sean iguales:

239. ASIMOV POLINOMIOS- 70 -
a0 . x0
+ .... + an . xn
= b0 . x0
+ ... + bn . xn
⇒ (a0 – b0) . x0
+ .... + (an – bn) . xn
= 0
Fijate que nos quedó una CL de {x0
, .... , xn
} igualada a cero. Como ese conjunto es LI,
todos los coeficientes tienen que ser iguales a cero, o sea:
a0 – b0 = 0 , .... , an – bn = 0 ⇒ a0 = b0 , ...... , an = bn
Y eso es justamente lo que dijimos antes: dos polinomios son iguales cuando lo son
coeficiente a coeficiente.
GRADO DE UN POLINOMIO
Acá hay que hacer una distinción. Como K [X] es un espacio vectorial, tiene un
elemento neutro de la suma. Ese no es otra cosa que el polinomio nulo, que es el que
tiene todos los coeficientes aj = 0. Ese polinomio es muy poco interesante, porque
básicamente vale siempre cero. Por eso casi siempre se lo deja afuera de todos los
análisis.
Si P(x) = a0 . x0
+ .... + an . xn
con an ≠ 0 y aj = 0 para todo j > n, decimos que el
grado de P es n. O sea, el grado es la máxima potencia de x que aparece con
coeficiente no nulo en P.
Veamos algunos ejemplos rápidos:
• P(x) = 3x4
+ x2
– 5x + 8 ⇒ El grado de P es 4 y se escribe gr(P) = 4
• P(x) = -x3
+ 2 ⇒ gr(P) = 3
• P(x) = 0 ⇒ Lo primero que se te ocurre es que gr(P) = 0, pero no es así.
Este es el polinomio nulo, y no tiene grado, porque no hay ningún coeficiente no
nulo. Los polinomios de grado cero son las constante (distintas de cero), o sea los
de la forma P(x) = k, con k ≠ 0. Fijate que acá no aparece la x, entonces el
máximo exponente es x0
( acordate que x0
= 1 ). Por eso, el grado es cero.
Al coeficiente que está con la mayor potencia se lo llama coeficiente principal.
Entonces, si P es un polinomio de grado n, el coeficiente principal es an. Y al que está
con la menor potencia (o sea, con x0) se lo llama término independiente, justamente
porque no está multiplicado por x
•
Calcular el grado de P + 2Q con P = 2x3
+ 8x – 4 y Q(x) = -x3
+ 3x2
P + 2Q = (2x3
+ 8x – 4) + 2 .(-x3
+ 3x2
) = 6x2
+ 8x – 4
Fijate lo que pasó: estamos sumando dos polinomios de tercer grado, y el resultado

240. ASIMOV POLINOMIOS- 71 -
nos quedó un polinomio de segundo grado. O sea, se achicó el grado. Y claro, eso pasó
porque los coeficientes principales de P y de 2Q son opuestos. Entonces, al sumarlos,
se anula el término de x3
, y se achica el grado. Este ejemplo es para mostrarte que,
si P + Q ≠ 0:
gr (P + Q) ≤ g rP y gr (P + Q) ≤ gr Q
– Eso es para la suma. ¿ Y para las demás operaciones ?
– Bueno, para la resta es lo mismo, porque acordate que la resta no es otra cosa que
sumar el opuesto; así que valen las misas propiedades. Para el producto, si ninguno
de los polinomios P,Q son el polinomio nulo, se cumple que
gr (P . Q) = gr P + gr Q
La división de polinomios es una cosa más complicada, así que mejor la dejamos para
después. Antes definamos la especialización de P en z simplemente como P(z).
Así, por ejemplo, si P(x) = x2
+ 3x – 2, la especialización de P en 4 se calcula como:
P(4) = 42
+ 3 . 4 – 2 = 26. Si P(z) = 0, se dice que z es una raíz de P.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Esta parte no es nada fácil, así que prestá atención. Si tenemos dos polinomios P y Q
(Q ≠0) tales que gr P > gr Q, podemos escribir:
P = S . Q + R
donde S y R son polinomios únicos. S es el cociente y R es el resto, y cumple que R = 0
ó grR < grQ. Si R = 0, decimos que Q divide a P.
– Ahhhh.... bueno .... todo muy lindo. Pero cómo hago para encontrar S y R?
– Esa es la parte complicada. Primero te muestro unos ejemplos.
Si P = x3
+ 8 x2
– 4 x - 5 y Q = x + 2, la división de P por Q se hace así:
x3
+ 8 x2
– 4 x -5 | x + 2
- x3
+ 2 x2
x2
+ 6x - 16
6x2
– 4 x – 5
- 6x2
+ 12 x
-16 x - 5
- -16 x – 32
27
La idea es dividir el primer término del dividiendo (P) por el primer término del divisor

241. ASIMOV POLINOMIOS- 72 -
(Q). Así nos queda x3
/x = x2
. El próximo paso es multiplicar ese resultado por Q, y
restárselo al dividendo P. Y después, repetir el procedimiento hasta que nos quede un
resto de grado menor que el divisor. En este caso, nos quedó R = 27, un polinomio de
grado cero, mientras que gr Q = 1 , así que está bien.
Decimos que el cociente de la división es S = x2
+ 6x – 16; y el resto es R = 27.
Ahora veamos un ejemplo un poco más difícil:
P = 2x4
- 5x3
- 3x2
+ 2x – 1 ; Q = x2
– 2x + 3
2x4
- 5x3
- 3x2
+ 2x – 1 | x2
– 2x + 3
- 2x4
– 4x3
+ 6x2
2x2
– x - 11
-x3
– 9x2
+ 2x - 1
- -x3
+ 2x2
– 3x
-11x2
+ 5x -1
- -11x2
+ 22x -33
-17x + 32
Ahora el resto nos quedó R = - 17 x + 32, un polinomio de primer grado. Eso está bien,
porque gr Q = 2. Y bueno, la idea es siempre la misma. El procedimiento es parecido a
la división entre números. Veamos un ejemplo fácil >
128 | 3
- 12 42
8
- 6
2
El cociente es 42, y el resto es 2. Entonces 128 = 42 . 3 + 2. Fijate que la división
se terminó cuando el resto quedó más chico que el divisor (2 < 3). En el caso de los
polinomios es más o menos lo mismo: la división se termina cuando el grado del resto
es menor que el del divisor, o el resto es cero.
DIVISIÓN POR POLINOMIOS DE PRIMER GRADO DE LA FORMA Q = X – A
Hay un caso muy particular en la división de polinomios y es cuando el divisor tiene la
forma Q = x – a. Como son polinomios de primer grado, el resto de la división tiene
que tener grado cero o R = 0. Sea como sea, el resto será una constante, o sea un
número. Hay un teorema bastante importante, llamado “Teorema del Resto” que
dice:
“El resto de dividir P(x) por (x – a) es R = P(a)”

242. ASIMOV POLINOMIOS- 73 -
Una consecuencia importante de este teorema es que si P(a) = 0, o sea, si a es una
raíz de P, el resto de P(x) dividido x – a es cero. O sea, que x – a divide a P y podemos
escribir:
P(x) = (x – a) . Q(x)
Esto nos sirve mucho para encontrar todas las raíces de un polinomio P. Si conocemos
una , podemos dividirlo por x – a, y ahora tenemos que encontrar las raíces del polino-
mio Q, que es un grado más chico. Mejor veamos un ejemplo.
• Encontrar todas las raíces de P(x) = x2
+ x – 12 sabiendo que una raíz es a = 3
Lo primero que hacemos es dividir P(x) por (x-3). Nos queda así:
x2
+ x - 12 | x - 3
- x2
– 3x x + 4
4x - 12
- 4x – 12
0
Como era de esperar por el Teorema del resto, el resto nos dio cero. Y el cociente
nos dio Q = x + 4. Entonces, el polinomio P lo podemos escribir como:
P(x) = (x – 3) . (x + 4)
Las raíces son los valores de x para los que P(x) = 0. Para que se anule un producto, se
tiene que anular alguno de los paréntesis. Entonces, las dos raíces son a = 3 y b = - 4.
REGLA DE RUFFINI
Ya dijimos que los polinomios de la forma Q = x - a son bastante especiales para las
divisiones. Son tan especiales, que para ellos hay un método más simple de calcular
las divisiones: el método de Ruffini. Te lo explico con un ejemplo:
P = x3
+ 2x2
– 4x + 5 ; Q = x – 3
La idea es ubicar en una primera fila a los coeficientes de P, desde el coeficiente prin-
cipal hasta el término independiente, sin dejar ninguna (o sea, que si hay alguno que “no
aparece” porque vale cero, ponemos un cero). También ubicamos sobre un costado al
valor de a (en este caso a = 3). El procedimiento es:
1 2 - 4 5
3 3 15 33
1 5 11 38

243. ASIMOV POLINOMIOS- 74 -
– bajar el coeficiente principal
– Multiplicar el número de la última fila por a, y ubicar el resultado en la segunda
columna
– Sumar la segunda columna y ubicar el resultado en la última fila
– Multiplicar por a y ubicar en la tercera columna .... y así hasta terminar
– Y cómo se lee el resultado?
– Bueno, acordarte que el resultado va a ser un polinomio un grado menor que P.
De los n números (n es el grado de P) que quedaron en la última fila, el último es el
resto de la división y el resto es el cociente.
Entonces, en este caso, el cociente es S = x2
+ 5x + 11 y el resto es 38. Fijate que
se verifica el teorema del resto, porque P(3) = 38.
Veamos un último ejemplo de Ruffini antes de cambiar de tema:
• P = 5x4
– 8x3
+ x2
– 2x + 4 ; Q = x + 2
El cociente es S(x) = 5x3
– 18x2
+ 37x – 72 y el resto es R = 156.
CÁLCULO DE RAÍCES
Ahora que sabemos cómo hacer operaciones entre polinomios, vamos a lo que realmente
importa: ćomo calcular las raíces. Esto es tan importante porque muchas veces tenemos
ecuaciones con polinomios, y las podemos transformar a la forma P(x) = 0. O sea que
todo el problema se reduce a encontrar las raíces de P.
– Pará pará pará.... Estamos seguros de que P(x) = 0 siempre tiene solución ? O sea,
siempre cualquier polinomio P tiene raíces ?
– Y... no, no siempre hay solución. Por ejemplo, con los polinomios de grado cero, o
sea de la forma P(x) = k ≠0, esos no tienen ninguna raíz.
– Bueno, está bien. Para los de grado cero seguro que no. Y para los demás ?
– Sí, los polinomios de grado mayor o igual que 1 siempre tienen al menos una raíz.
Pero eso no es tan obvio, sino que hay un teorema muy fuerte que dice eso: es el
Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema lo desarrolló Gauss. (Maestro)
Es muy importante (fundamental) porque dice que siempre hay solución. Eso sirve
porque hay veces que cuesta mucho encontrar las soluciones, y uno empieza a
dudar de que haya o no soluciones. Bueno, Gauss y su Teorema Fundamental dicen
que sí, siempre que gr P ≥ 1, P tiene al menos una raíz compleja.
5 -8 1 -2 4
-2 -10 36 -74 152
5 -18 37 -76 156

244. ASIMOV POLINOMIOS- 75 -
Y este teorema también nos está diciendo que si gr P = n (con n ≥ 1) P tiene a lo sumo
n raíces distintas. Claro, porque si P tiene al menos una raíz x1 (y el Teorema
Fundamental asegura que sí), lo puedo dividir por x – x1 y nos queda:
P = (x – x1) . Q
Ahora bien, si gr Q = n – 1 ≥ 1, también tiene una raíz x2, y puedo hacer lo mismo. Si
seguimos haciendo lo mismo hasta llegar a un polinomio de grado cero, este polinomio
será el coeficiente principal an y nos queda:
P(x) = an . (x – x1) . (x – x2) . ..... . (x – xn)
– Y si ahí aparecen n raíces, ¿ por qué decimos que P tiene “a lo sumo” n raíces ?
– Porque no necesariamente todas las raíces x1, x2, .... , xn son distintas. Entonces
tiene a lo sumo n raíces distintas.
OJO: hay que tener mucho cuidado, porque los teoremas de matemática usan un
lenguaje demasiado preciso, tanto que confunde.
MULTIPLICIDAD DE UNA RAÍZ
Decimos que x = a es una raíz de multiplicidad k del polinomio P si
P(x) = (x – a)k
. Q(x) con Q(a) ≠ 0
Esto quiere decir que si hacemos lo que dijimos antes: encontrar las raíces de a una,
y dividir por x – x1, después por x - x2, y así; la raíz x = a aparece repetida k veces.
La multiplicidad de una raíz también tiene que ver con que sea o no raíz de los polinomios
derivados, que no son otra cosa que las derivadas de P, y se calculan como:
P = a0 + a1 . x + a2 . x2
+ ...... + an . xn
P' = a1 . x1-1
+ a2 . 2 .x2-1
+ ...... + an . n . xn-1
= a1 + 2a2 x + .... + n an xn-1
P'' = 2 . a2 + 3 . 2 . a3 . x + ..... + n . (n-1) . an . xn-2
Y así lo mismo para calcular P(k)
, derivamos k veces.
Hay un teorema que dice que si a es una raíz de multiplicidad k de P entonces:
P(a) = P'(a) = P''(a) = ..... = P(k-1)
(a) = 0 y P(k)
(a) =/ 0
Veamos algún ejemplo para ver que se cumple.
• P(x) = (x – 1)3
. (x + 2) = x4
– x3
- 3x2
+ 5 x – 2
x = 1 es una raíz triple (porque x – 1 aparece elevado al cubo). Entonces, se tendría
que anular P(1) y las primeras dos derivadas, y la tercera no. Veamos:

245. ASIMOV POLINOMIOS- 76 -
P(x) = x4
– x3
-3x2
+ 5x – 2 ⇒ P(1) = 14
– 13
– 3.12
+ 5.1 -2 = 0
P'(x) = 4 .x3
– 3.x2
– 6.x + 5 ⇒ P'(1) = 4.13
– 3.12
– 6.1 + 5 = 0
P''(x) = 12 x2
– 6x – 6 ⇒ P''(1) = 12 . 12
– 6 . 1 – 6 = 0
P''' (x) = 24x – 6 ⇒ P''' (1) = 24 . 1 -6 = 18 ≠ 0
Esto por ahora parece que no sirve de mucho, pero más adelante en análisis vas a ver
que sí. O sea, está diciendo que se anula la función y las primeras k-1 derivadas. Pero
bueno, eso va más allá de esta materia.
Hasta ahora vimos muchas cosas sobre las raíces, pero todavía no vimos cómo se
calcular. Ya dijimos que los polinomios de grado cero no tienen raíces, así que
empecemos por los que les siguen en facilidad: los de primer grado.
RAÍCES DE UN POLINOMIO DE PRIMER GRADO
Son polinomio de la forma P = a . x + b con a ≠ 0. En principio, a y b pueden ser
números complejos. Si son reales, podemos dibujarlas en un par de ejes (x,y); en el
eje y ponemos los resultado de la cuenta P(x) = a . x + b. Esos gráficos son rectas ni
horizontales ni verticales; y que siempre pero siempre cortan al eje x una vez. Eso
quiere decir que tienen una raíz, porque el eje x corresponde a P(x) = 0.
– Cómo se calcula esa raíz?
– Muy fácil. Simplemente de la ecuación a . x + b = 0 ⇒ x = -b/a. Y esa cuenta
siempre se puede hacer, porque dijimos que a ≠ 0. Por ejemplo, si P(x) = 2x + 3,
la única raíz es x = -3/2.
– Ah bueno pero eso no tiene ningún secreto. Pasemos a algo más difícil
RAÍCES DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
Estos son polinomios de la forma P(x) = ax2
+ bx + c, con a =/ 0.
Una vez más, en principio los coeficientes pueden ser complejos; pero si son reales
tienen una interpretación geométrica. Si los coeficientes son reales, las curvas de la
forma y = ax2
+ bx + c son parábolas. Y estas pueden cruzar dos veces, una sola o
ninguna al eje x, dependiendo de la forma que tengan.
– Cómo es eso? Pueden no tener ninguna raíz ? Si recién vimos un Teorema que nos
dice que siempre los polinomios de grado mayor que uno tienen raíces.
– Claro, pero ese teorema dice que siempre existen raíces complejas. Y esas no
tienen ninguna interpretación geométrica como una parábola. Eso solamente
funciona para los números reales. Entonces, todo lo que estamos diciendo que de
las raíces del polinomio, 2, 1 o ninguna pueden ser reales.

246. ASIMOV POLINOMIOS- 77 -
– Bueno, y más allá de la interpretación, ¿ cómo se calculan las raíces?
Para resolver la ecuación ax2
+ bx + c = 0 existe una fórmula bien conocida, que es:
x =
- b + w
2 a
donde w es un número complejo que cumple w2
= b2
– 4.a.c.
Como vimos antes, si b2
– 4.a.c ≠ 0 , hay dos soluciones para w, que dan dos soluciones
para x. Y si b2
– 4 ac = 0 hay una única solución. Entonces decimos que esa raíz es doble.
Veamos un par de ejemplillos:
• Con coeficientes reales: P(x) = 4x2
- 4x - 3
Las raíces son x = (4 + w)/8, donde w2
= (-4)2
+ 4.4.3 = 64 ⇒ w1 = 8 ; w2 = -8
x1 = (4 + 8)/8 = 3/2 ; x2 = (4 - 8)/8 = -½
Las dos raíces son reales. Esto quiere decir que si graficamos la parábola, esta cruza
dos veces al eje x, una vez en x = -½ y otra vez en x = 3/2.
Nota: si los coeficientes de un polinomio de segundo orden son reales, hay algunas
relaciones interesantes entre las dos raíces x1,x2, sean reales o complejas:
1) x1 + x2 = -b / a
2) x1 . x2 = c /a
Estas dos relaciones, que parecen sacadas de la galera, salen directamente de la
fórmula para calcular las raíces, no hay ningún secreto. Fijate que en ese ejemplo
se verifican.
• Con coeficientes complejos: P(x) = x2
+ (1 – i) x + 1 – 5
/4 i
Las raíces son x =
2
1 wi ++−
donde w2
= (1 – i)2
– 4 . 1 . (1 – 5
/4 i) = - 4 + 3 i
Los dos valores posibles para w son las dos raíces complejas de -4 + 3 i. La cuenta te
la dejo que la hagas vos, te digo directo el resultado:
w1 = √2 + 3
/2 . √2 . i y w2 = - w1 = - √2 - 3
/2 . √2 . i

247. ASIMOV POLINOMIOS- 78 -
Entonces, las dos raíces del polinomio son
x1= i
2
2.2/31
2
12 +
+
−
y x2 = i
2
2.2/31
2
12 −
+
−−
Vemos que la única diferencia entre los polinomios con coeficientes reales y comple-
jos es que las cuentas son más complicadas, nada más.
POLINOMIOS DE GRADO MAYOR QUE 2
Ya para polinomios de grado 3 o mayor no existe ninguna fórmula explícita para
calcular las raíces. Entonces estamos bastante perdidos, hay que encontrarlas de
alguna forma que nadie sabe cómo es. Pero hay algunos trucos para encontrarlas. Y
acordate que una vez que encontrás una raíz x = a, podés dividir el polinomio por x – a
y te queda un polinomio de un grado más chico. La idea es ir haciendo eso hasta llegar
a un polinomio de segundo grado, donde podemos usar la fórmula de antes.
Uno de los trucos para encontrar las raíces es el Teorema de Gauss. Este teorema
dice que si P(x) = a0 + a1 x + .... + an . xn
es un polinomio con coeficientes enteros (o
sea que todos los a0, a1, ...., an son enteros) y tiene raíces racionales, se pueden
calcular como:
x = p/q, con q > 0
donde p divide al término independiente a0 y q es un divisor del coeficiente principal
an. Esto parecería que no sirve de mucho, porque solamente se puede usar para
coeficientes enteros, y solamente me permite encontrar raíces racionales.
- Pero, y ¿qué pasa si las raíces no son racionales?
- Y bueno, en ese caso el teorema no nos sirve para encontrar las raíces
Y sí, el teorema es un poco limitado. Pero bueno, es lo que tenemos para trabajar, sirve
en algunos casos, por ejemplo:
• P(x) = 4x3
+ 3x – 2.
El teorema de Gauss dice que si estamos buscando raíces racionales, solamente hay
un puñado de valores posibles p/q, que cumplen que
p es un divisor de a0 = 2. Entonces, p puede valer 1, 2, -1, ó -2.
q es un divisor de an = 4. Entonces q puede valer 1, 2 ó 4.
Vemos que hay varias posibilidades, porque podemos combinar cualquier valor de p
con cualquier valor de q. Y todo lo que podemos hacer es probar con esas posibili-
dades hasta encontrar una raíz.
Veamos:

248. ASIMOV POLINOMIOS- 79 -
P(1) = 4 . 13
+ 3 . 1 – 2 = 7
P(½) = 4 . (½)3
+ 3 . (½) – 2 = 0 ⇒ x = ½ es una raíz de P
Y ahora que tenemos una raíz, podemos dividir por x – ½ y así achicamos un poco el
problema. Como estamos dividiendo por un polinomio de la forma x – a, podemos usar
Ruffini, que es mucho más fácil que el otro método.
Nos queda que P(x) = (x – ½) . (4x2
+ 2x + 4)
Ahora tenemos que encontrar las raíces del polinomio de segundo grado que nos
quedó. Pero eso ya es más fácil, porque tenemos una fórmula para hacerlo. Todo lo
que hay que hacer es meter los números en la fórmula y hacer las cuentas, no hay
mucho secreto.
El teorema de Gauss dice bien claro que solamente funciona cuando los coeficientes
del polinomio son enteros. Pero también se lo puede hacer andar cuándo los coefi-
cientes son racionales. Fijate en este ejemplo:
P(x) = ½ x3
+ x2
– 4
En este caso, los coeficientes son racionales, no enteros, pero veamos. Encontrar las
raíces de ese polinomio no es otra cosa que resolver la ecuación:
½ x3
+ x2
– 4 = 0
Ahora bien, si multiplicamos esta ecuación por 2 a ambos miembros nos queda:
x3
+ 2x2
– 8 = 0
Y esto es encontrar las raíces de un polinomio con coeficientes enteros, donde
podemos usar el Teorema de Gauss. Entonces, si bien solamente se puede usar para
coeficientes enteros, hay un truquito cuando los coeficientes son racionales
Pero bueno, muchas veces este teorema no nos sirve simplemente porque las raíces
no son racionales. En ese caso, no hay nada que se pueda hacer: no se pueden calcular
las raíces sin conocer alguna otra.
Mejor dicho, no hay ninguna fórmula a seguir para encontrarlas; pero se pueden
encontrar probando. Por eso, siempre que parezca imposible encontrar raíces,
conviene probar con números sencillos como 0, 1 , -1, 2, i, -i, ....
4 0 3 –2
½ 2 1 2
4 2 4 0

249. ASIMOV POLINOMIOS- 80 -
Y una vez que encontramos una raíz (no importa cómo, si fue probando o si alguien
nos la dijo), encontrar las otras es más fácil, porque podemos reducir el grado del
polinomio.
La cosa es un poquito más fácil cuando los coeficientes son reales, porque hay un
teorema que ayuda un poco.
TEOREMA:
Si P es un polinomio de coeficientes reales y z є C es una raíz de P, entonces z
también es una raíz de P. Aun más, si z es una raíz de multiplicidad k, z también lo es
de multiplicidad k.
Nota: Fijate que si z es una solución real, este teorema no dice nada nuevo, porque
z = z .
Esta propiedad ayuda mucho, porque cuando encontramos una raíz compleja (que no
sea puramente real), en realidad estamos encontrando 2. Eso facilita el problema.
Veamos un ejemplo:
• P(x) = 9 x4
+ 6 x3
+ 10 x2
+ 6 x + 1
Este es un polinomio de cuarto grado. No hay ninguna forma de encontrar las raíces.
Así que vamos a tener que encontrar dos raíces de alguna forma de la galera para
poder reducir el grado hasta un polinomio de segundo grado.
Por suerte es un polinomio con coeficientes enteros, así que podemos usar el
Teorema de Gauss. Entonces, buscamos raíces de la forma x = p/q, donde
p es un divisor de a0 = 1 ⇒ p = 1 ó p = -1
q es un divisor de an = 9 ⇒ q= 1 , 3 , 9
Te ahorro el trabajo de probar con todas las combinaciones posibles entre p y q. Una
que funciona es x1 = -1/3. Una vez que encontramos esta raíz, dividimos al polinomio
por x + 1/3. Obviamente, como es mucho más fácil, usamos el método de Ruffini.
Nos queda P(x) = (x + 1
/3) . (9x3
+ 3x2
+ 9x + 3).
Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, podemos sacarlo como factor común,
así no trabajamos con números tan grandes y nos queda:
9 6 10 6 1
-1/3 -3 -1 -3 -1
9 3 9 3 0

250. ASIMOV POLINOMIOS- 81 -
P(x) = 3 . (x + 1
/3) . (3x3
+ x2
+ 3x + 1)
Como de vuelta nos quedó un polinomio de coeficientes enteros, podríamos probar de
vuelta de usar el Teorema de Gauss. Pero te propongo otra cosa, mejor probemos con
números sencillos a ver si funcionan. Ensayamos con x = 0, x = 1, x = -1, x = 2.
Todos esos no funcionaron. Ahora probemos con x2 = i. Ese sí funciona. Entonces
ahora sabemos por el teorema anterior que x3 = -i también es raíz. La ventaja de este
método de tanteo es que encontramos las raíces de a 2. Ahora reducimos de vuelta el
grado del polinomio dividiendo por (x+i) . (x-i) = (x2
+1)
3x3
+x2
+ 3x + 1 |x2
+1
- 3x3
+3x 3x + 1
x2
+ 1
x2
+ 1
0
El polinomio P(x) escrito como producto de polinomio de primer grado nos queda:
P(x) = 3 . (x + 1
/3) . (x – i) . (x + i) . (x + 1)
Esta forma de escribir al polinomio se conoce como factorización de P, porque está
escrito como un producto de varios factores. Y la ventaja de que sean todos polino-
mios de primer grado es que salta a simple vista cuáles son las raíces: -1/3 , i , -i , -1.
– Cómo darse cuenta tan rápido?
– Fácil. x es una raíz si P(x) = 0. Ahora bien, para que un producto se anule, alguno
de los factores (en este caso cada factor es un paréntesis) tiene que valer 0.
Entonces así salen muy pero muy fácil las raíces.
– Cada uno de eso factores se llaman polinomios irreducibles en C, porque no se
pueden factorizar más. Si estuviéramos trabajando solamente sobre los números
reales hay algo mal, porque no puede aparecer un término (x + i). Entonces, el
factor irreducible es x2
+ 1; porque no lo podemos reducir a (x + i) . (x - i)
Y eso es todo lo que hay que saber sobre polinomios. Para terminar, veamos algunos
ejercicios típicos que no son como los que vimos hasta ahora de calcular raíces. Hay
de varios tipos:
• Un tipo de ejercicio es el de calcular cuánto vale un parámetro a para que se
cumpla una condición. Bueno, eso no tiene mucho secreto, son ejercicios de la
forma:
Cuánto tiene que valer a є R para que P(x) = a.x2
+ a.x + 5 cumpla que P(-1) = 5 y
gr P = 2 ?

251. ASIMOV POLINOMIOS- 82 -
Para resolver estos ejercicios, todo lo que hay que hacer es reemplazar esas
condiciones y hacer las cuentas.
P(-1) = a . (-1)2
+ a . (-1) + 5 = a – a + 5 = 5
Vemos que la primera condición se cumple para cualquier valor de a. Entonces, en
principio uno diría que a puede valer cualquier cosa. Pero eso no es verdad, porque
también se tiene que cumplir la segunda ecuación.
Para que gr P = 2, el coeficiente que va con x2
no puede ser cero. O sea a ≠ 0.
Entonces, la respuesta a este problema es que a puede valer cualquier número real
excepto el 0. Listo.
• Otro ejercicio típico es el de encontrar un polinomio que cumpla con ciertos
requisitos. Veamos un ejemplo:
Encontrar un polinomio P de coeficientes reales de grado mínimos tal que x = 4 es una
raíz simple de P ; x = 3 + i es una raíz doble y P(5) = 50.
Lo primero que hay que hacer en este tipo de ejercicios es averiguar de qué grado es
el polinomio que estamos buscando. Eso lo podemos averiguar a partir de las raíces.
Como tiene que tener una raíz simple (x = 4) y una doble (x = 3 + i), debe ser grP ≥ 3.
Ahora bien, como los coeficientes son reales, si z es un raíz de P entonces z también,
por el teorema que vimos antes.
Entonces, x = 3 – i también es una raíz doble de P.
Quiere decir que buscamos un polinomios con una raíz simple y dos raíces dobles.
Para eso, tiene que ser gr P ≥ 5. Como nos piden un polinomio de grado mínimo,
buscamos un polinomio de grado 5.
– Y cómo lo encontramos ?
– La forma más fácil es a partir de sus raíces en la forma factorizada. Nos queda:
P(x) = A . (x – 4) . [x – (3+i)]2
. [x – (3 -i)]2
= A . (x – 4) . [(x – 3)2
+ 1]2
P(x) = A . (x – 4) . [x2
– 6x + 10]2
Pero el problema no se terminó acá, porque todavía no sabemos cuanto vale la
constante A. Para eso usamos la última condición que nos dan, que P(5) = 50.
P(5) = A . (5-4) . [52
– 6 .5 +10]2
= A . 25 = 50

252. ASIMOV POLINOMIOS- 83 -
⇒ A = 2
Listo, ahora que sabemos cuánto vale A ya tenemos el polinomio.
P(x) = 2 . (x – 4) . [x2
– 6x + 10]2
En realidad el problema se terminó acá, pero como por lo general no estamos
acostumbrados a leer los polinomios como productos sino como suma de potencias,
conviene desarrollar los productos y expresar el resultado como:
P(x) = 2x5
– 32 x4
+ 108 x3
– 688 x2
+ 1.160 x – 800
POLINOMIOS - RESUMEN
Supongamos un polinomio cualquiera: P( x ) = a0 + a1 x1
+ …. + an xn
, donde los
coeficientes a0, a1,…, an pueden ser reales o complejos.
Ahora mirémoslo un poquito… que podemos decir sobre él? Sabemos a simple vista
cuáles son sus raíces? Cómo son? Cuántas tiene?
Así de sólo mirarlo, podemos responder algunas de estas cuestiones… por ejemplo,
P(x) es de grado n (esto es que la mayor potencia del polinomio es xn ) y por lo tanto,
tiene n raíces, ya sean estas reales o imaginarias.
Que tenga n raíces, quiere decir que existen n números z1, z2,…, zn ( ojo! no
necesariamente distintos ) tales que P( z1 ) = P( z2 ) =…. = P( zn ) = 0.
De este hecho, surge una forma alternativa de expresar al polinomio, ya que podemos
reescribirlo como un producto de términos que involucran solamente a sus raíces y a
la variable x:
P(x) = an ( x − z1 ) ( x − z2 ) … ( x − zn )
Bien. Y algo más podemos decir? Hay un teoremita que es muy útil, a la hora de
buscar raíces, si conocemos los coeficientes a0,…,an. Así que es bueno tenerlo
siempre a mano en el bolsillo de la memoria, fijate:
“Si 1 polinomio tiene todos sus coeficientes reales, y si z0 es una raíz del polinomio,
entonces su conjugado 0z también es raíz”.
Y por último, un detalle no sobre P(x), si no para cuando estés calculando
explícitamente sus raíces, no te vayas a olvidar que i1- = .
Y acá cerramos esta parte imaginaria, listos para volver a la realidad y resolver
problemas.

253. ASIMOV POLINOMIOS- 84 -
EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES
Qué es una raíz de un polinomio ??? Simplemente es un punto en el cual el polinomio
se anula. y conociendo al polinomio (de sólo verlo), sabemos cuantas raíces él tiene?
Sí. Tantas como el grado del polinomio ( la potencia más alta de equis ).
Así que por ejemplo, mirando el polinomio P( x ) = x4
− 10 x3
+ 39 x2
− 70 x + α , que
nos dan, podemos asegurar que tiene 4 raíces, es decir, que existen 4 números xi
( generalmente distintos ) tales que P(xi) = 0. Lo que tenemos que hacer es hallar
todas estas raíces. En realidad tres de ellas, pues ya nos dan una. Sabemos que
(2 + i ) es raíz de P(x), es decir P( 2 + i ) = 0.
Haciendo esta cuenta, determino cuánto debe valer α para que la igualdad se cumpla.
P( 2 + i ) = ( 2 + i )4
− 10 ( 2 + i )3
+ 39 ( 2 + i )2
− 70 ( 2 + i ) + α = 0
Calculemos primero las potencias de ( 2 + i )
( 2 + i )2
= ( 2 + i ) ( 2 + i ) = 4 + 4 i − 1 = 3 + 4i
( 2 + i )3
= ( 2 + i )2
( 2 + i ) = ( 3 + 4i ) ( 2 + i ) = 6 + 3i + 8i − 4 = 2 + 11i
( 2 + i )4
= ( 2 + i )3
( 2 + i ) = ( 2 + 11i ) ( 2 + i ) = 4 + 22i + 2i − 11 = −7 + 24i
Ahura reemplacemos todos estos valores en el polinomio… prestemos atención que
son muchos números y un error de cuentas ( que es lo más común en los parciales!!! ),
nos puede llevar a cualquier lado ! Así que después de una buena dosis de café
seguimos…
⇒ P( 2 + i ) = −7 + 24i − 10 ( 2 + 11i ) + 39 ( 3 + 4i ) − 70 ( 2 + i ) + α
= −7 + 24i − 20 − 110i + 117 + 156i − 140 − 70i + α
= −50 + 0i + α
⇒ P( 2 + i ) = −50 + α = 0
⇒ α = 50
Y así el querido polinomio ( de quien tenemos que encontrar 3 raíces todavía ) es:

254. ASIMOV POLINOMIOS- 85 -
P( x ) = x4
− 10 x3
+ 39 x2
− 70 x + 50
Pero a no desesperar ya que leímos el resumen teórico (ah no???!! ) y sabemos de
este teoremita que nos viene a dar una mano en esta situación:
“…si 1 polinomio tiene todos sus coeficientes reales, y z0 es una raíz del polinomio,
entonces su conjugado 0z también es raíz”
⇒ si (2 + i ) es raíz también lo es i2i2 −=+
Conociendo ya 2 de sus raíces podemos reescribir el polinomio de esta forma
( acordate que todo polinomio se puede expresar como producto de los términos
( x − zi ) donde los zi son sus raíces ):
P( x ) = ( x − ( 2 + i )) ( x − ( 2 − i )) Q ( x )
= ( x2 − 4 x + 5 ) Q ( x )
Y las raíces restantes serán las de Q( x ). Y quién es este polinomio???
Fijate que simplemente despejando obtenemos que:
Sí, lo que en realidad es simple es despejar, pero no tanto la cuentita !!!
La división está hecha acá
( Existen otras formas de hacer esta división, por ejemplo, por el método del viejo
Rufinni. Pero en realidad no importa el medio, el resultado tiene que ser siempre el
mismo, así que hacela como sepas o prefieras y compará los cocientes).
0
50x40-x10
50x40-x100_
x30-x42x6-
50x70-x43x6-0_
)xQ(10x6-xx5x4-x
5x4-x50x70-x39x10-x_
2
2
23
23
2234
2234
+
++
+
++
→++
+++
10x6-x
)5x4-x(
)x(P
)x(Q 2
2
+=
+
=

255. ASIMOV POLINOMIOS- 86 -
Bueno basta !! Calculado Q( x ), vamos a buscar lo que nos interesa: sus raíces. Fijate
que Q( x ) es un polinomio de grado 2, por lo tanto, tiene exactamente 2 raíces, que
nos la da la famosa formula que ya sabés desde cole…
Entonces
( Acá no pasó nada raro, acordate que i1- = ). Y finalmente podemos escribir a
P ( x ) en función de sus raíces
P( x ) = ( x − ( 2 + i )) ( x − ( 2 − i )) ( x − ( 3 + i )) ( x − ( 3 − i ))
En resumen:
α = 50 y las raíces de P( x ) son 2 ± i y 3 ± i.
Hallar un polinomio con coeficientes reales de grado mínimo que verifique 2+i es raíz
de P, 0 es raíz triple de P y la parte imaginaria de P(-2i) es igual a 5.
Como 2 + i debe ser raíz del polinomio, entonces su conjugada compleja 2-i también
es raiz. Por lo tanto el polinomio tiene que tener un término del tipo:
Para que 0 sea raíz triple del polinomio, simplemente tenemos que multiplicar al
término anterior por x3 :
Donde ( )xQ es algún polinomio, aún desconocido. Para determinar que aspecto tiene,
notemos que ( )xP tiene que tener el mínimo grado posible y que en el enunciado ya
no hay condiciones sobre raíces, entonces ( )xQ es simplemente una constante real,
0Q (porque todos los coeficientes de ( )xP tienen que ser reales)
)x(Qderaícesi3
2
4-6
2
101..4-)6-()6-(- 2
→±=
±
=
±
a2
ac4bb
x0cbxax
2
0
2 −±−
=⇒=++
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2
4 2i 2i i 5
x 2 i x 2 i x x 2 i 2 i 2 i 2 i x 4x 5
+ − − =
− + ⋅ − − = − + + − + + − = − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )2 3
P x x 4 x 5 x Q x⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦
( ) 2 3
0P x Q x 4 x 5 x⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

256. ASIMOV POLINOMIOS- 87 -
Por último, la parte imaginaria de ( )iP 2− es igual a 5:
( )[ ] ⇒=− 52iPIm
( ) ( ) ( )[ ] ⇒−⋅+−⋅−−=− 32
0 252422 i)(iiQiP
( ) [ ] [ ]⇒+−=⋅++−=− iQiiQiP 86485842 00
8
5
85 00 =⇒= QQ
Finalmente, el polinomio que estamos buscando es:
FIN POLINOMIOS
( ) 2 35
P x x 4 x 5 x
8
⎡ ⎤= − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

257. ASIMOV POLINOMIOS- 88 -

258. ASIMOV AUTOVALORES- 89 -
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
Vamos a ver un poco de teoría sobre autovalores y autovectores. Quizás en algún
otro libro los encuentres como eigenvalores (o valores propios) y eigenvectores
(o vectores propios). Te lo cuento para que no te desorientes si encontrás estos
nombres raros.
Bien, empecemos por definir esto: ...
Se va entendiendo hasta ahora ? No ? Bueno, veamos un ejemplo:
Si tenemos la matriz A, decimos que x es un autovector asociado a λ donde:
Porque
La pregunta sería: ¡¿cómo encontramos uno de estos autovalores?! Pues bien, veamos:
Ax = λx ≈ Ax = λIx ≈ (λI − A)x = 0
O sea, hemos reescrito la definición de autovalor (autovector) de manera de poder
expresarlo como un sistema homogéneo, y por un viejo Teorema ya conocido, sabemos
que el sistema tiene solución distinta de 0 si y solo si el determinante de esa
expresión es igual a 0. Eso es lo que a nosotros nos permitiría decir que λ es
autovalor de A !!!!
Entonces llegamos a la expresión:
Det (λI-A) = O que es la llamada “ecuación característica de A”
3
2
1
18
03
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= λxA
xxAx λ==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= 3
2
1
3
6
3
2
1
18
03
Definición: “Si A es una matriz n x n, decimos que un vector distinto de
0 en Rn
es un autovector de A si se cumple:
Ax = λx
Donde λ es algún escalar, que es entonces llamado autovalor de A.
Además, decimos que x es un autovector asociado al autovalor λ.”

259. ASIMOV AUTOVALORES- 90 -
Los escalares que satisfagan esta ecuación serán los autovalores de A. Si desarro-
llamos este determinante, llegamos a lo que llamamos “el polinomio característico de
A = P(λ)”.
Como ayuda-memoria, recordá estas propiedades:
Sí, ya sé, querés un ejemplito que aclare un poco más todo esto que hemos dicho
(con justos motivos, es algo complicado) ... ahí va:
Ejemplo:
Si nos piden que hallemos los autovalores y los autovectores asociados de alguna
matriz, hago esto: Tengo la matriz:
Calculo (λI-A):
Ahora veamos su determinante:
Qué nos quedó ? Sí ! Una ecuación cuadrática ! Para resolver el valor de λ tenemos
que calcular las raíces de:
Ahora, para ver qué autovectores tiene asociado cada unos de estos autovalores, lo
que voy a hacer es escribir: Ax = λix (i = 1, 2)
λ1 = 0 :
Nos queda un sistemita de ecuaciones:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
16
2/13
A
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−
16
2/13
16
2/13
0
0
16
2/13
10
01
λ
λ
λ
λ
λλ AI
)(4
)2/1.6()1)(3(
16
2/13
det)det(
2
λλλ
λλ
λ
λ
λ
PAdeticocaracteríspolinomio
AI
==−=
=−−−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
≈⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≈=
0
0
6
2/3
0
16
2/13
21
21
2
1
2
1
1
xx
xx
x
x
x
x
xAx λ
λ es autovalor ⇔ ∃ un autovector x ≠ 0 asociado a él.
λ es autovalor ⇔ (λI-A) es no inversible ⇔ det(λI-A) = 0
λ2
− 4λ = 0 ⇒ tenemos 2 autovalores para A: λ1 = 0 y λ2 = 4

260. ASIMOV AUTOVALORES- 91 -
Si tomamos x1 = 1 ⇒ x2 = - 6 ⇒ (x1 , x2) = ( 1 , - 6 )
¿ Qué nos dice esto ? Que todo vector de la forma (k , -6k) con k ≠ 0, es un
autovector de A asociado a λ1 = 0; en particular elegimos el vector (1 , -6) y le
llamaremos autovector asociado al autovalor λ1 = 0. Una manera más formal y
bonita de escribir esto que puse sería:
Estos subespacios asociados son también llamados Espacios Invariantes. Esto se
debe a que al aplicar la Transformación Lineal que la matriz A representa, a los
vectores de este subespacio, resulta un vector que también pertenece al subespacio.
O sea, el aplicar A al subespacio asociado, devuelve el mismo subespacio !
También podemos darle otro significado más al efecto de una matriz y sus
autovectores, la llamada interpretación geométrica:
Si λ es un autovalor de A que tiene asociado el autovector x, entonces Ax = λx,
de modo que la multiplicación por A dilata o contrae a x, o invierte su dirección,
dependiendo del valor de λ.
Uy nos fuimos! ... volvamos al ejemplo ... Repetimos la historia para el otro autovalor
λ2 = 4 : En este caso nos queda un sistema de ecuaciones de la forma:
Si tomamos x1 = 1 ⇒ x2 = 2 ⇒ (x1 , x2) = (1 , 2)
De nuevo traducimos: con el autovalor λ2 = 4 esta asociado el autoespacio vectorial
generado por (1 , 2).
W1 = { (x1 , x2) ∈ R2
/ (x1 , x2) = (k , -6k) ∀ k ∈ R }
El conjunto de vectores x que cumplen que Ax = λx conforman
el subespacio asociado al autovalor λ, más el vector nulo .
( No confundirse ! el vector nulo no es autovector asociado,
solo aparece por definición de subespacio).
3x1 + x2/2 = 0 ⇒ -6x1 = x2
6x1 + x2 = 0 ⇒ 6x1 = 6x1
3x1 + x2/2 = 4x1 ⇒ 2x1 = x2
6x1 + x2 = 4x2 ⇒ 8x1 = 8x1

261. ASIMOV AUTOVALORES- 92 -
Todo vector de la forma (k , 2k) con k ≠ 0 de este subespacio, es un autovector de A
asociado a λ2 = 4 ...
Ahora veamos otro ejemplo, para no quedarnos sólo con las ocasiones en que todo
funciona perfecto, porque no siempre es así...
Ejemplo:
Si ahora la matriz que nos dan es y nos vuelven a pedir sus
autovalores, repetimos lo anterior. Recordá, primero escribimos ( λ I − A ):
Ahora vemos su determinante:
Ahora la ecuación que deberemos resolver será: λ2
+ 9 = 0. Peroooooo ... sus raíces
son λ = ± 3 i que son números imaginarios ! Si estamos suponiendo que trabajamos
sólo para valores reales, en este caso diríamos que A no tiene autovalores.
En estos dos casos fue más que simple la resolución, en general es siempre así ... ¿ en
qué se puede complicar ? Pues bien, podemos tener un determinante feo de calcular o
que la ecuación del polinomio característico sea molesta de resolver ... pero ya
estamos acostumbrados a eso, ¿ no ?
En general lo complicado del cálculo de autovalores y autovectores aumenta con el
tamaño de la matriz que estemos tratando. Te paso un último ejemplo que engloba
lo que te digo para que veas a qué me refiero:
Ejemplo: Supongamos que tenemos una matriz 3x3, y hay que averiguar sus
autovalores. Hacemos igual que antes. Primero veamos cuál es la matriz:
Y el pedazo de cuenta que hay que hacer es el siguiente:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
05
30
A
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−
λ
λ
λ
λ
λλ
3
3
03
30
0
0
03
30
10
01
AI
)(9
3
3
det)det( 2
λλ
λ
λ
λ PAI =+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
263
372
481
A
W2 = { (x1 , x2) ∈ R2
/ (x1 , x2) = (k , 2k) ∀ k ∈ R }
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−−
−−−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
263
372
481
det
263
372
481
00
00
00
detdet
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ AI

262. ASIMOV AUTOVALORES- 93 -
El cálculo es largo, feo, y sobre todo, propenso a que hagamos muuuuchos errores en
el camino. Es justo acá donde más cuidado hay que tener. El resultado es:
( Se entiende a lo que me refiero con determinantes feos de calcular ? Ni un solo 0
que permita simplificar la cuenta !! )
Ahora que resolvimos este horrible determinante, lo que tenemos que hacer es calcu-
lar las raíces del polinomio característico ... que también es una espantosidad !!!
Tenemos que resolver una ecuación cúbica !
Bueno, finalmente podemos decir que los autovalores de la matriz A son:
En definitiva, el método de calcular autovalores no es complicado, sólo te la complican
el determinante y el polinomio característico.
Hay que tener siempre en cuenta todas las propiedades de los determinantes para
hacer más fácil los cálculos, sino podemos vernos metidos en una cantidad impensable
de cuentas, y a recordar: cuantas menos cuentas hagamos, mejor! De eso se trata la
matemática: poder resolver las cosas tratando de hacer la menor cantidad de
cálculos posibles.
Ahora veamos algunas propiedades de los autovalores y autovectores:
Acá van un poco más de ejemplos, confirmando algunas de estas propiedades.
P(λ) = λ3
– 10 λ2
– 23 λ
3453450 321 −=+== λλλ
• Una matriz real simétrica tiene sus autovalores reales.
• Los autovalores de una matriz, son los recíprocos de los autovalores
de su matriz inversa, pero los autovectores son los mismos.
• Los autovalores de una matriz son iguales a los de su transpuesta.
• Los autovalores de una matriz diagonal o triangular, son los elementos
de la diagonal principal.
• La suma de los autovalores de una matriz cualquiera, es igual a la
traza de esa matriz.
• Si una matriz se multiplica por una constante, los autovalores
resultarán multiplicados por esa constante, pero los autovectores no
cambian.
• Los autovectores de autoespacios diferentes de una matriz simétrica
son siempre ortogonales entre sí.
• Si dos matrices son semejantes, tienen los mismos autovalores.

263. ASIMOV AUTOVALORES- 94 -
Ytambién para que veas el método a seguir en la resolución de este tipo de problemas
con esto de los autovalores y los autovectores. (y qué problemas ! )
Ejemplos (son muchos, pero es para que quede claro qué son estas propiedades):
•
Ahora los que tenemos que hacer es encontrar las soluciones del polinomio
característico, es decir, las soluciones de:
λ3
- 6λ2
+ 11λ - 6 = 0
Trabajando un poquito llegamos a que λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3. Ahora busquemos sus
autovectores asociados:
Para λ1 = 1:
Nos queda:
Si tomamos x3 = 1 ⇒ x2 = -2 ⇒ (x1 , x2 , x3) = (0 , -2 , 1)
W1 = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (0 , -2k , k) ∀ k ∈ R }
Para λ2 = 2:
Nos queda:
6116)det(
311
220
211
)(
311
220
211
23
−+−=−⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−−−
=−⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
λλλλ
λ
λ
λ
λ
AI
AIA
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
+
++
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
3
2
1
321
32
321
3
2
1
3
2
1
1
3
22
2
1
311
220
211
x
x
x
xxx
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
xAx λ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
+
++
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
3
2
1
321
32
321
3
2
1
3
2
1
2
2
2
2
3
22
2
2
311
220
211
x
x
x
xxx
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
xAx λ
x1 + x2 + 2x3 = x1 ⇒ x2 = -2x3
2x2 + 2x3 = x2 ⇒ x2 = -2x3
-x1 + x2 + 3x3 = x3 ⇒ x1 = 0
x1 + x2 + 2x3 = 2x1 ⇒ 2x3 = x1 - x2
2x2 + 2x3 = 2x2 ⇒ x3 = 0 ⇒ x2 = x1
-x1 + x2 + 3x3 = 2x3 ⇒ 2x3 = 0

264. ASIMOV AUTOVALORES- 95 -
Si tomamos x1 = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ (x1 , x2 , x3) = (1 , 1 , 0)
W2 = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (k , k , 0) ∀ k ∈ R }
Para λ3 = 3:
Nos queda:
Si tomamos x3 = 1 ⇒ x1 = x2 = 2 ⇒ (x1 , x2, x3) = (2 , 2 , 1) es un autovector
asociado a λ3 = 3 y el subespacio generado:
W3 = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (2k , 2k , k) ∀ k ∈ R }
Sin mucho esfuerzo podemos darnos cuenta de que λ1 + λ2 + λ3 = 6 y eso es igual a
la traza de A (la suma de los elementos de la diagonal de A). Veamos que pasa con
la inversa de A, para comprobar. Primero calculamos A-1
:
Después calculamos el polinomio característico:
P(λ) = λ3
- 11/6 λ2
+ λ - 1/6
Y calculamos sus raíces (notemos que son los inversos de los autovalores de A),
λ1 = 1 λ2 = 1/2 λ3 = 1/3
Y para finalizar, los autovectores asociados a estos autovalores (los cuales son los
que generan los autoespacios asociados) son:
v1 = (0 , -2 , 1) v2 = (1 , 1 , 0) v3 = (2 , 2 , 1)
¿ Notás que los autovectores son los mismos que los de A ?
Veamos que sucede con una matriz simétrica, por ejemplo:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
+
++
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
3
2
1
321
32
321
3
2
1
3
2
1
3
3
3
3
3
22
2
3
311
220
211
x
x
x
xxx
xx
xxx
x
x
x
x
x
x
xAx λ
x1 + x2 + 2x3 = 3x1 ⇒ x2 + 2x3 = 2x1
2x2 + 2x3 = 3x2 ⇒ 2x3 = x2
-x1 + x2 + 3x3 = 3x3 ⇒ x1 = x2
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
=−
3/13/13/1
3/16/53/1
3/16/13/2
1
A
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
142
412
227
A

265. ASIMOV AUTOVALORES- 96 -
Calculemos su polinomio característico, haciendo det (λI –A) = 0
P(λ) = λ3
- 9λ2
- 9λ + 81
Y sus raíces, por ende autovalores, son:
λ1 = 3 λ2 = -3 λ3 = 9 Reales !
Los cálculos quedan de ejercicio, para que practiques ! Sus autovectores asociados
son:
v1 = (1 , 1 , 1) v2 = (0 , -1 , 1) v3 = (-2 , 1 , 1)
Y como podemos comprobar tr(A) = 9 = λ1 + λ2 + λ3. Además, como se trata de una
matriz simétrica, podemos ver que sus autovectores son ortogonales:
v1 . v2 = (0 , -1 , 1) . (1 , 1 , 1) = 0 – 1 + 1 = 0
v2 . v3 = (-2 , 1 , 1) . (0 , -1 , 1) = 0 – 1 + 1 = 0
v1 . v3 = (-2 , 1 , 1) . (1 , 1 , 1) = -2 + 1 + 1 = 0
Al principio del capítulo teníamos un ejemplo con la matriz:
Y habíamos llegado a que sus autovalores eran λ1 = 0 y λ2 = 4. Los cuales tenían aso-
ciados lo autovectores (1 , -6) y (1 , 2). Supongamos ahora que hacemos: 2A, nos
quedaría:
Calculemos autovalores y autovectores comenzando por:
Ahora veamos su determinante:
Nos quedan los mismos autovalores pero multiplicados por 2 !! Ahora, con respecto
a los autovectores, sabemos que todo vector de la forma (k , -6k) con k ≠ 0, es un
autovector de A asociado a λ1 = 0. En particular elegimos el vector (1 , - 6)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
16
2/13
A
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
212
16
16
2/13
22A
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−
212
16
212
16
0
0
212
16
10
01
λ
λ
λ
λ
λλ AI
2
6 1
det( ) det ( 6)( 2) 12
12 2
8 ( )
I A
P
λ
λ λ λ
λ
λ λ λ
− −⎛ ⎞
− = = − − − =⎜ ⎟
− −⎝ ⎠
= − =
λ2
− 8λ = 0 ⇒ tenemos 2 autovalores para A: λ1 = 0 y λ2 = 8

266. ASIMOV AUTOVALORES- 97 -
Veamos λ2 = 8:
En este caso nos queda un sistema de ecuaciones de la forma:
Si tomamos x1 = 1 ⇒ x2 = 2 ⇒ (x1 , x2) = (1 , 2)
De nuevo traducimos: con el autovalor λ2 = 8 esta asociado el autoespacio vectorial
generado por (1 , 2). Todo vector de la forma ( k , 2k ) con k ≠ 0 de este subespa-
cio, es un autovector de A asociado a λ2 = 4 ...
O sea, llegamos que los autovectores asociados siguen siendo los mismos !!
• Ahora un caso en el que nos ahorraríamos muchísimo tiempo y esfuerzo, con
tan sólo notar una cosa:
Sea la matriz 4x4 siguiente,
Este determinante estuvo facilito ! Alcanzaba con recordar que el determinante de
una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal !, bueno,
sigamos ....
Como el polinomio característico está en su forma factorizada es fácil ver cuales son
las raíces:
λ1 = 1 λ2 = 3 λ3 = 2 λ4 = -1
1 6 8 9 1 6 8 9
0 3 5 6 0 3 5 6
( )
0 0 2 3 0 0 2 3
0 0 0 1 0 0 0 1
A I A
λ
λ
λ
λ
λ
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⇒ − =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
++
+++
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
4
3
2
1
4
43
432
4321
4
3
2
1
4
3
2
1
1
32
653
986
1
1000
3200
6530
9861
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xAx λ
W1 = { (x1 , x2) ∈ R2
/ (x1 , x2) = (k , -6k) ∀ k ∈ R }
W2 = { x1 , x2) ∈ R2
/ (x1 , x2) = (k , 2k) ∀ k ∈ R }
6x1 + x2 = 8x1 ⇒ 2x1 = x2
12x1 + 2x2 = 8x2 ⇒ 16x1 = 16x1
( )( )( )( )det( ) 1 3 2 1I Aλ λ λ λ λ⇒ − = − − − +

267. ASIMOV AUTOVALORES- 98 -
Nos queda:
Si tomamos x1 = 1, un autovector asociado a λ1 = 1 es (1 , 0 , 0 , 0), y el subespacio
asociado a este autovalor es:
W1 = { (x1 , x2 , x3 , x4) ∈ R4
/ (x1 , x2 , x3 , x4) = (k , 0 , 0 , 0) ∀ k ∈ R }
Ahora veamos para los demás autovalores: Para λ2 = 3:
El sistema de ecuaciones correspondiente es:
Tomamos x2 = 1, y el autovector asociado a λ2 = 3 resulta (3 , 1 , 0 , 0)
El subespacio generado es entonces de la forma:
W2 = { (x1 , x2 , x3 , x4) ∈ R4
/ (x1 , x2 , x3 , x4) = (3k , k , 0 , 0) ∀ k ∈ R }
Con λ3 = 2:
-x4 = x4 ⇒ x4 = 0
2x3 + 3x4 = x3 ⇒ x3 = 0
3x2 + 5x3 + 6x4 = x2 ⇒ x2 = 0
x1 + 6x2 + 8x3 + 9x4 = x1 ⇒ 0 = 0
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
++
+++
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
4
3
2
1
4
43
432
4321
4
3
2
1
4
3
2
1
2
3
3
3
3
32
653
986
3
1000
3200
6530
9861
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xAx λ
- x4 = 3 x4 ⇒ x4 = 0
2x3 + 3x4 = 3x3 ⇒ x3 = 0
3x2 + 5x3 + 6x4 = 3x2 ⇒ 0 = 0
x1 + 6x2 + 8x3 + 9x4 = 3x1 ⇒ x1 = 3x2
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
4
3
2
1
4
3
2
1
3 2
1000
3200
6530
9861
x
x
x
x
x
x
x
x
xAx λ
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
++
+++
≈
4
3
2
1
4
43
432
4321
2
2
2
2
32
653
986
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx

268. ASIMOV AUTOVALORES- 99 -
Que corresponde a:
Tomamos x3 = 1, y el autovector asociado a λ3 = 2 resulta (-22 , -5 , 1 , 0).
El subespacio generado es entonces de la forma:
W3 = { (x1 , x2 , x3 , x4) ∈ R4
/ (x1 , x2 , x3 , x4) = (-22k , -5k , k , 0) ∀ k ∈ R }
Por último, con λ4 = -1:
Que corresponde a:
Tomamos x4 = 1, y el autovector de λ4 = -1 es (1/4 , -1/4 , -1 , 1)
El subespacio generado está dado por:
W4 = { (x1 , x2 , x3 , x4) ∈ R4
/ (x1 , x2 , x3 , x4) = (k/4 , -k/4 , -k , k) ∀ k ∈ R }
Esta matriz 4x4 es triangular, y si preste atención a las propiedades de autovalores
y autovectores, seguro notaste que no hacía falta calcular los autovalores, eran los
de la diagonal ! Es justamente ese tipo de “atajos” los que salvan tiempo, y los que hay
que aprender a usar rápidamente.
Veamos un ejercicio típico, del tipo que se toman en algunos finales, que implica el
cálculo y resolución de autovalores y autovectores, con un poco de todo, y que no es
completamente similar a los anteriores.
El método es el mismo pero cambia lo que estamos buscando. Fijate:
-x4 = 2x4 ⇒ x4 = 0
2x3 + 3x4 = 2x3 ⇒ 0 = 0
3x2 + 5x3 + 6x4 = 2x2 ⇒ x2 = -5x3
x1 + 6x2 + 8x3 + 9x4 = 2x1 ⇒ x1 = -22x3
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
++
+++
≈
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
≈=
4
3
2
1
4
43
432
4321
4
3
2
1
4
3
2
1
4
32
653
986
1000
3200
6530
9861
x
x
x
x
x
xx
xxx
xxxx
x
x
x
x
x
x
x
x
xAx λ
-x4 = -x4 ⇒ 0 = 0
2x3 + 3x4 = -x3 ⇒ x3 = -x4
3x2 + 5x3 + 6x4 = -x2 ⇒ x2 = -1/4x4
x1 + 6x2 + 8x3 + 9x4 = -x1 ⇒ x1 = 1/4x4

269. ASIMOV AUTOVALORES- 100 -
• Sea f: R3
→ R3
la transformación lineal dada por:
f(x1 , x2 , x3) = (-2x1 + x2 , ax3 , x1 - x2 + 3x3)
Determinar a ∈ R para que –3 sea autovalor de f, y para ese valor, hallar el
subespacio de autovectores asociados a él.
Para este problema es bueno recordar otra propiedad que nos recuerda la relación
entre Transformaciones Lineales y matrices ( que casi se puede decir que son
prácticamente la misma cosa, pero sólo casi ):
Vamos a empezar por armar la matriz A que se corresponde con la Transformación
Lineal del problema. Para hacer eso, aplicamos f a la base canónica de R3
:
Ahora acomodamos los vectores que son el resultado en columnas, y obtenemos a la
matriz A. Es muy importante mantener el orden de las columnas de acuerdo al orden
de la base canónica, sino todo el cálculo que sigue no sería del todo correcto.
Podemos representar la matriz de la transformación en la base canónica, A, como:
Ya teniendo una matriz sobre la cual trabajar, encontremos sus autovalores primero
que nada:
Nos piden que –3 sea autovalor de A así que reemplacemos por este valor en la
ecuación
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
311
00
012
aA
aaAIaAI +−+−=−⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−+
=− )6()det(
311
0
012
)( 23
λλλλ
λ
λ
λ
λ
f(1 , 0 , 0) = (-2 , 0 , 1)
f(0 , 1 , 0) = (1 , 0 , -1)
f(0 , 0 , 1) = (0 , a , 3)
Sea f: Rn
→ Rn
una transformación lineal. Si x es un autovector de f
asociado al autovalor λ, y A es la matriz que representa a f, entonces
x es un autovector de A asociado al mismo autovalor λ, pues:
Ax = f(x) = λx

270. ASIMOV AUTOVALORES- 101 -
λ3
- λ2
+ λ(a - 6) + a = 0
y despejemos el valor de a:
(-3)3
– (-3)2
– 3 (a - 6) + a = 0 = - 27 – 9 +18 - 2a = 0
⇒ a = - 9
Ya habiendo resuelto una parte del problema, veamos que lo que nos falta es hallar los
autovectores de f asociados a –3:
Nos quedan las siguientes ecuaciones:
Tomando x3 = 1 obtenemos un autovector asociado a λ = -3: (-3 , 3 , 1). El subespacio
asociado al autovalor λ = -3 es el generado por el autovector que encontramos (en
realidad, hay que notar que todos los vectores de este subespacio asociado son
autovectores de ese autovalor para A). La forma explícita de este subespacio es:
W = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (3k , 3k , k) ∀ k ∈ R }
Y ahora veamos un par de ejercicios típicos de examen:
• Sea f: R3
→ R3
la Transformación Lineal dada por:
f(x1 , x2 , x3 ) = (3x1 - x2 + x3 , -x2 , - x1 - 2x2 + x3)
Hallar una base de R3
, B = { v1 , v2 , v3 } tal que v1 y v2 sean autovectores de f
Como primer paso escribiremos la MC(f), que es la matriz que representa f en la base
canónica, que no es ni más ni menos que colocar los coeficientes de f(x1,x2,x3) en
filas,
Busquemos ahora los autovalores de f, como venimos haciendo hasta ahora:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈=
3
2
1
321
3
21
3
2
1
3
2
1
3
3
3
3
2
3
311
00
012
x
x
x
xxx
ax
xx
x
x
x
x
x
x
axAx λ
-2x1 +x2 = -3x1 ⇒ x1 = -x2
- 9x3 = -3x2 ⇒ 3x3 = x2
x1 - x2 + 3x3 = -3x3 ⇒ 3x3 = x2
f
121
010
113
(f)MC =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=

271. ASIMOV AUTOVALORES- 102 -
Ahora bien, las raíces de λ3
- 3 λ2
+ 4 = 0 son λ1 = -1 y λ2 = λ3 = 2
( Esa cuentita te la dejo para vos... pero hacela ! Eh ? )
Ahora veremos qué autovectores tienen asociados los autovalores hallados:
Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
- 4x1 + y1 - z1 = 0 ⇒ x1 = (y1 - z1)/4
x1 + 2y1 - 2z1 = 0 ⇒ x1 = 2z1 – 2y1 = 2 (z1 - y1)
Por lo tanto:
2 (z1 - y1) = (y1 - z1)/4
Entonces encontramos que:
y1 = z1 y x1 = 0
Por lo tanto, el autovector asociado a λ1 = -1 es de la forma (0, 1, 1).
Veamos ahora para λ2 = 2 ( = λ3 )
Obtenemos las siguientes ecuaciones:
- x2 + y2 - z2 = 0 ⇒ x2 + z2 = 0
3y2 = 0 ⇒ y2 = 0
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−
−−
−−
=
λ
λ
λ
λ
121
010
113
detI)-fdet(MC
( )( )
( )
( )
( ) ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
+−
−−−
=−=
1
1
1
11
1121
0110
1131
0
z
y
x
xfMI Cλ
( ) 43)fM-Idet( 23
C −+−=⇒ λλλ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
=
0
0
0
221
000
114
1
1
1
z
y
x
( )( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
=−=
2
2
2
22
1221
0120
1132
0
z
y
x
xfMI Cλ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−
=
0
0
0
121
030
111
2
2
2
z
y
x

272. ASIMOV AUTOVALORES- 103 -
x2 + 2y2 + z2 = 0 ⇒ x2 + z2 = 0
Entonces, encontramos que
y2 = 0 y x2 = -z2
Por lo tanto, el autovector asociado a λ2 = 2 es de la forma (1, 0, -1). Luego una base
como la buscada es entonces:
B = {v1, v2, v3} = {(0,1,1), (1,0,-1), (0,0,1)},
donde se cumple la exigencia que v1 y v2 sean autovectores de f (el tercer vector de
la base es uno cualquiera pero, linealmente independiente de los otros dos)
• Sean B = { v1 , v2 , v3 } y B´ = { v1 + v2 + v3 , v1 – v2 , v2 + v3 } bases de un Espacio
Vectorial V, y f: V → V la Transformación Lineal tal que,
Encontrar si es posible, una base de V formada por autovectores de f.
Ya sabemos, como en el ejercicio anterior, que lo primero que debemos hacer es
encontrar MB(f), y para hacerlo tenemos que encontrar la matriz de cambio de base
CBB’ (Recuerden que para calcular la matriz de la transformación, en este caso debe-
ríamos hacer MB(f) = MB’B(f) CBB’). Para ello, podemos encontrar primero CB’B, y luego
hacer su inversa para obtener CBB’. Así que empecemos:
(v1 + v2 + v3)B = (1 , 1 , 1)B
(v1 – v2)B = (1 , -1 , 0)B
(v2 + v3)B = (0 , 1 , 1)B
Entonces la matriz CB’B, y su inversa CBB’, son:
Con lo que calculamos MB(f),
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
501
111
611
)(' fM BB
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
211
110
111
101
111
011
'' BBBB CC
( ) ( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
==
211
110
111
501
111
611
'' CfMfM BBBBB

273. ASIMOV AUTOVALORES- 104 -
Y ahora encontremos sus autovectores (aquí vamos a dar los resultados, las cuentas
son para practicar !). El polinomio característico es P(λ) = λ3
+ 3λ2
- 9λ + 5
Sus autovalores son:
λ1 = -5 λ2 = λ3 = 1
Y sus autovectores asociados son,
w1 = (1 , 0 , 1)B w2 = (-1 , 1 , 0)B w3 = (2 , 0 , 1)B
Por lo tanto, una base de V formada de autovectores de f es:
B’’ = { v1 + v3 , - v1 + v2 , 2v1 + v3 }
DIAGONALIZACION
Esta es una de la aplicaciones de autovectores - autovalores que más nos va a servir.
Pero... ¿ Qué significa diagonalizar ?
Primero la definición formal, que es un tanto difícil, pero hay que saberla:
Aunque al principio parece que esta definición no nos dice nada, tiene todo lo que
hace falta para proseguir. ( Fijate que no dice como encontrar P. No dice que forma
tendría, ni ninguna información útil sobre esta misteriosa matriz). Pero esta
definición ya aporta algo muy importante: dice que P debe ser inversible.
Volviendo a un lenguaje más entendible, diagonalizar significa que si tenemos una
matriz A, mediante una serie de artilugios (un cambio de base, eso es lo que se hace
al multiplicar P-1
AP), puede ser llevada a una matriz donde sólo tenga elementos en la
diagonal principal.
Cuando estemos tratando con problemas de diagonalización, lo primero que vamos a
querer saber es si la matriz A que tengamos es diagonalizable, y para eso, ya hay un
par de reglas más útiles en la práctica. Empecemos por un teoremita:
“Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si hay una
matriz inversible P tal que P-1
AP sea diagonal.”
“Una matriz A ∈ Rnxn
es diagonalizable ⇔ tiene n autovectores
linealmente independientes, x1, ... , xn”
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎠⎝⎠⎝
1166
010
1267
fMB

274. ASIMOV AUTOVALORES- 105 -
Y esto nos lleva a plantear otra regla muy útil:
Y esta propiedad en realidad sale de otra:
Sea A ∈ Rnxn
. Si x1, ... , xr son autovectores de A asociados a los
autovalores λ1, ... , λr, respectivamente, y λi ≠ λj ∀ i ≠ j entonces
{ x1, ... , xr } es un conjunto linealmente independiente.
Aunque no es imprescindible saberse este tipo de cosas a la hora de resolver
problemas, siempre es bueno, por las dudas nomás (y por los teóricos...)
Hagamos un ejemplo para ilustrar bien el método de diagonalización de una matriz.
Ejemplo:
Encontrar una matriz P que diagonalice a
Primero, encontremos sus autovectores. Para hacer esto, antes deberemos hallar sus
autovalores, no?
Bien, una vez que sabemos cuál es la forma de (λI-A) calculemos su determinante:
Resolviendo ahora la ecuación:
λ3
- 11λ2
+ 35λ - 25 = 0
Llegamos a que:
λ1 = 1 y λ2 = 5
Ya tenemos los autovalores de A, veamos ahora qué autovectores tienen asociados.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
500
032
023
A
253511)det(
500
032
023
)( 23
−+−=−⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=− λλλλ
λ
λ
λ
λ AIAI
Volvamos a aplicar el método de los anteriores cálculos para autovalores
y autovectores. Hay que tratar siempre de no enredarse con cálculos
innecesarios, pero no saltear pasos por evitar escribir un par de líneas.
Los errores en los cálculos son propensos a aparecer en esos lugares.
“Si una matriz A ∈ Rnxn
tiene n autovalores todos distintos entre
sí, entonces es diagonalizable.”

275. ASIMOV AUTOVALORES- 106 -
Para λ1 = 1:
Nos quedan las siguientes ecuaciones:
Tomando x1 = 1, un autovector asociado a λ1 = 1 sería: (1 , 1 , 0). El subespacio
generado es el dado por los vectores de la siguiente forma:
W1 = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (k , k , 0) ∀ k ∈ R }
Para λ2 = 5:
Nos quedan las siguientes ecuaciones:
Tomando x1 = 1 y x3 = 0, un autovector asociado a λ2 = 5 sería: (1 , -1 , 0)
Tomando x1 = 0 y x3 = 1, un autovector asociado a λ2 = 5 sería: (0 , 0 , 1)
El subespacio generado de esta forma es el que sigue:
W2 = { (x1 , x2 , x3) ∈ R3
/ (x1 , x2 , x3) = (k , -k , m) ∀ k, m ∈ R }
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈=
3
2
1
3
21
21
3
2
1
3
2
1
1
5
32
23
1
500
032
023
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xAx λ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
−
≈
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
≈=
3
2
1
3
21
21
3
2
1
3
2
1
2
5
5
5
5
32
23
5
500
032
023
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xAx λ
3x1 - 2x2 = x1 ⇒ x1 = x2
-2x1 + 3x2 = x2 ⇒ x1 = x2
5x3 = x3 ⇒ x3 = 0
Es muy importante darse cuenta de que no necesariamente hay
siempre tantos autovalores como filas (o columnas, es lo mismo)
haya en la matriz. Lo importante para poder decir si la matriz es
diagonalizable, es la cantidad de autovectores que encontremos
con esos autovalores. Si hay menos autovectores linealmente
independientes que la dimensión del espacio al que pertenecen,
entonces A no es diagonalizable.
3x1 - 2x2 = 5x1 ⇒ -x1 = x2
-2x1 + 3x2 = 5x2 ⇒ -x1 = x2
5x3 = 5x3 ⇒ x3 = x3

276. ASIMOV AUTOVALORES- 107 -
Bien, ya tenemos autovalores y la forma de los autovectores de la matriz A. De
acuerdo a los resultados a los que llegamos, el vector x1 = (1 , 1 , 0) forma una base
para el espacio generado por los autovectores asociados al autovalor λ1 = 1, también
los vectores x2 = (1 , -1 , 0) y x3 = (0 , 0 , 1) forman una base para el espacio
generado por los autovectores asociados al autovalor λ2 = 5.
Estos tres vectores son linealmente independientes (verificado, pero es un buen
ejercicio comprobar esto!). Ahora el truco es colocar los autovectores en columnas
uno al lado del otro, lo que arma una matriz del mismo tamaño que A.
Es por esto que es necesario que haya n autovectores de A (donde A es nxn)
linealmente independientes, si no los hubiese no habría forma de armar una
matriz P inversible, lo cual significaría que no existe una base en la cual A se
pudiese llevar a una forma diagonal.
Momento!! ¿Qué pasa con el orden en que ponemos los autovectores ? Rta: Nada !
El orden en que ponemos los autovectores sólo altera el orden en que van a aparecer
los autovalores en la diagonal. Ahora veamos que pasa con los cálculos. Armamos P:
Y ahora hagamos la multiplicación de matrices, para comprobar que P diagonaliza a A:
Y como podemos observar: LLEGAMOS A UNA MATRIZ DIAGONAL !!
Sólo para estar seguros, veamos que pasa si las columnas de P no están en el mismo
orden: Sea ahora P:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
010
101
101
P
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=−
100
050
005
010
101
101
500
032
023
02/12/1
100
02/12/1
1
APP
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
100
011
011
P
Esa matriz construida de los autovectores de A es la matriz P, y esta
matriz es la que diagonaliza a A. El cambiar A a la base de sus
autovectores es lo que la diagonaliza.

277. ASIMOV AUTOVALORES- 108 -
Ahora hagamos la multiplicación, para verificar cómo queda:
Como habíamos dicho ! Sólo altera el orden en que aparecen los autovalores al hacer
la diagonalización.
Existe un tipo de matrices para el cual la diagonalización se simplifica considerable-
mente, y es el caso de las matrices simétricas. Para este tipo de matrices, ya vimos
que los autovectores encontrados son ortogonales (siempre y cuando sean de subes-
pacios asociados diferentes), lo cual también permite ciertas ventajas a la hora de
realizar la diagonalización.
Para realizar esta diagonalización ortogonal, como es llamada, hacer falta agregar
un paso al método que hemos estado usando. El paso a agregar es que una vez encon-
trados los autovectores, debemos ortonormalizarlos, o sea, hacer que su norma (o
módulo) valga 1 y que sean ortogonales entre sí ( para esto es probablemente nece-
sario aplicar el método de Gram-Schmidt, salvo el caso en que todos los autovalores
sean distintos ).
Veamos un par de ejemplos para que quede más claro:
Sea A una matriz 3x3,
Calculemos det (λI – A) = 0 para obtener el polinomio característico:
P(λ) = λ3
- 15λ2
+ 72λ - 108
Y los autovalores son:
λ1 = 3 λ2 = 6 λ3 = 6
Ojo!!! No está mal, hay dos autovalores iguales (o en lenguaje más matematicoso, un
autovalor con multiplicidad 2), a nosotros lo que nos preocupa para poder diagonalizar
es que haya tantos autovectores como dimensión tenga el espacio vectorial en el que
trabajamos, así que sigamos !!!
Sus autovectores asociados son:
v1 = (1 , -1 , 1) v2 = (-1 , 0 , 1) v3 = (1 , 1 , 0)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
500
050
001
100
011
011
500
032
023
100
02/12/1
02/12/1
1
APP
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
511
151
115
A

278. ASIMOV AUTOVALORES- 109 -
Ahora viene el paso extra !! ☺. Tenemos que ortonormalizar estos vectores.
¿Cómo hacemos eso? Es fácil, mirá:
Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a los autovectores de cada autoespacio
asociado por separado, y lo que obtenemos es:
Estos nuevos vectores v’i son los autovectores normalizados que tenemos que usar.
Y ahora armamos la matriz P que diagonaliza A, con una gran ventaja: como A es simé-
trica, y los autovectores son ortonormales, P es una matriz ortogonal, o sea P-1
= PT
.
Veamos otro ejemplo de la diagonalización ortogonal: Ahora usemos esta otra matriz,
Calculemos su polinomio característico, haciendo det(λI –A) = 0
P(λ) = λ3
- 9λ2
- 9λ + 81
Y sus raíces, por ende autovalores, son:
λ1 = 3 λ2 = -3 λ3 = 9
Sus autovectores asociados son:
v1 = (1 , 1 , 1) v2 = (0 , -1 , 1) v3 = (-2 , 1 , 1)
( ) ( ) ( )2/202/2'6/66/626/6'3/33/33/3' 321 −==−= vvv
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
==
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
−
−
600
060
003
2/26/63/3
06/623/3
2/26/63/3
511
151
115
2/202/2
6/66/626/6
3/33/33/3
2/202/2
6/66/626/6
3/33/33/3
2/26/63/3
06/623/3
2/26/63/3
1
1
APP
PP
P
T
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−−
=
142
412
227
A

279. ASIMOV AUTOVALORES- 110 -
Ahora aplicamos el método de Gram-Schmidt a estos vectores, y los ortonormaliza-
mos. ( Notá que aplicar el método acá es mucho más fácil, sólo hay que dividir cada
vector por su norma. Eso se debe a que los autovalores son todos distintos, y enton-
ces los autovectores ya son todos ortogonales entre sí, no como en el caso anterior,
en que dos de ellos pertenecían al mismo subespacio asociado, y no eran ortogonales
entre sí ):
Ahora armamos la matriz P, y diagonalizamos:
Y eso es todo! Viste qué simple que se hace? Recordá, las cuentas más difíciles están
en sólo ciertos puntos clave, después sólo hay que acordarse de mantenerse ordenado
a la hora de aplicar el método de resolución, y tratar de entender bien lo que se está
haciendo. Entonces,
Si tenemos una matriz simétrica de coeficientes reales, sabemos que:
• Todos sus autovalores son reales.
• Los autovectores de subespacios asociados diferentes son ortogonales.
• Si cumplen los requisitos de diagonalización, son ortogonalmente
diagonalizables, si se ortonormalizan sus autovectores.
No debemos embromarnos demasiado con este tipo específico de matrices. Lo único
de complicado que tiene el método por sobre el anterior es el tener que aplicar el
método de Gram-Schmidt. Mucho cuidado con las cuentas en ese paso !!!!
( ) ( ) ( )6/66/66/62'2/22/20'3/33/33/3' 321 −=−== vvv
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−==
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−
6/66/66/62
2/22/20
3/33/33/3
6/62/23/3
6/62/23/3
6/6203/3
1 T
PP
P
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=−
900
030
003
6/62/23/3
6/62/23/3
6/6203/3
142
412
227
6/66/66/62
2/22/20
3/33/33/3
1
APP

280. ASIMOV AUTOVALORES- 111 -
Volviendo a la diagonalización que concierne a todas las matrices...
Veamos un ejercicio típico de parcial:
Sean B = { v1 , v2 , v3 } y B´ = { v1 - v2 , v1 + v3 , v3 } bases de R3
y f: R3
→ R3
la
Transformación Lineal tal que
Decidir si f es diagonizable.
Hallemos MB(f), que es la matriz de la transformación f respecto a la base B. Es
decir, se aplica a vectores cuyas coordenadas estén dadas en la base B, y devuelve
vectores cuyas coordenadas están expresadas en la base B. Que lío !
Aunque parezca un poco críptico, es necesario prestar especial atención al orden y
por cuál de las matrices de transformación se está multiplicando, de otro modo
podemos vernos envueltos en un cálculo casi infinito !!
Debemos multiplicar a MBB’(f) (fijate que es dato) por CB’B, la matriz de cambio de
base de B’ a B.
La ecuación que nos queda es la siguiente:
MB(f) = CB’B MBB’ (f).
Ya que los vectores que resultan al aplicar la matriz MBB’ (f) a un vector escrito en
base B están escritos en la base B’. Luego la matriz CB’B los pasa a la base B.
Ahora hay que encontrar la matriz CB’B. Para lograrlo, tomemos el primer vector de la
base B’
v1 – v2 = a v1 + b v2 + c v3 ⇒ a = 1, b = -1 , c = 0
Por lo tanto, (v1 – v2)B = (1 , -1 , 0)B
Procedo de igual forma con los otros vectores de la base y obtengo:
(v1 + v3)B = (1 , 0 , 1)B y (v3)B = (0 , 0 , 1)B
Colocando estos vectores en columna armamos la matriz:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
=
223
114
112
´BBM

281. ASIMOV AUTOVALORES- 112 -
Y la matriz de la transformación, expresada en la base B quedaría,
⇒
Ahora que ya tenemos MB(f) veremos si la misma es diagonalizable.
En este caso, en nuestra matriz MB(f) , n = 3, por lo que deberemos hallar 3
autovalores distintos o bien, 3 autovectores linealmente independientes, para así
poder afirmar que f es diagonalizable. ( Recordá que es algo que ya vimos antes ).
Calculemos los autovalores:
Encontramos que las raíces de esta ecuación son: λ1 = λ2 = 2 y λ3 = -2
Como los autovalores no son todos distintos, todavía no podemos afirmar que f sea
diagonalizable. Para poder hacerlo, debemos calcular los autovectores asociados a los
autovalores encontrados de f y ver si son linealmente independientes.
Para λ1 = λ2 = 2 :
De donde se obtienen 2 ecuaciones:
- 2x1 + x2 - x3 = 0 ⇒ x2 = x3 + 2x1
- x1 - 3x2 + 3x3 = 0 ⇒ x1 + 3 (x3 + 2x1) – 3x3 = 3x1 = 0
entonces:
x1 = 0 , x2 = x3
Por lo que el autovector hallado es de la forma: (0, x2 , x2) o bien (0 , 1 , 1)B.
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
110
001
011
C B'B
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−==
131
112
002
223
114
112
110
001
011
(f)M)(CfM BB'
1-
BB'B
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
−−−
−
=
131
112
002
det)fM-Idet( B
λ
λ
λ
λ
( )( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−−
−−−
−
=−=
0
0
0
331
112
000
1231
1122
0022
0
3
2
1
x
x
x
xxfMI Bλ
3 2
=λ -2λ -4λ+8

282. ASIMOV AUTOVALORES- 113 -
Finalmente, tenemos 2 autovalores asociados a 1 solo autovector y con el autovalor
restante (λ3 = -2) hallaremos sólo otro autovector.
Vemos que la cantidad de autovectores linealmente independientes no será 3 sino 2,
con lo que podemos afirmar que la matriz f es NO diagonalizable.
Para resumir el método, supongamos que nos dan una matriz A que es nxn:
RESUMEN
Tenemos una matriz A. Un vector x se dice autovector de A, si existe un número λ
llamado autovalor, tal que se satisface la ecuación
Ax = λx ( para x ≠ 0 ).
Si reagrupamos los términos de la ecuación para un solo lado, vemos que es
equivalente decir que:
(A − λI) x = 0 ( donde I es la matriz identidad )
Y este sistema tiene solución si y sólo si el determinante de (A − λI) es nulo. ( Esto
asegura que (A − λI) no tenga inversa, pues de tenerla vemos que multiplicando por
ella a la ecuación, llegamos a un único resultado que es x = 0, pero esto es absurdo
pues partimos de que x sea ≠ 0 ). Por lo tanto, λ será tal que se cumpla la condición
det(A - λI) = 0 ( ← también llamada polinomio característico).
Una vez que encontramos cuáles son todos los autovalores λ que satisfacen, tenemos
1. Encontramos los autovalores λi de la matriz A: si tenemos n
autovalores ya sabemos que es diagonalizable, si son menos por
ahora no podemos decir nada.
2. Encontramos los autovectores asociados a los autovalores λi
junto con sus subespacios asociados, y nos fijamos cuantos de
ellos linealmente independientes nos quedan. Si son menos que n,
ya no podemos hacer más nada, A no es diagonalizable. Si son n
entonces A es diagonalizable y podemos seguir.
3. Armamos la matriz P poniendo los autovectores en columnas, y
haciendo la multiplicación P-1
AP, nos tiene que quedar una matriz
que en su diagonal tiene los autovalores de A, y el resto es nulo.

283. ASIMOV AUTOVALORES- 114 -
que encontrar para cada uno, el vector x que cumpla la ecuación (A − λ I) x = 0.
Este vector x es el autovector correspondiente a ese autovalor λ.
¿ Y cuántos autovectores podemos tener por cada autovalor?
Si el autovalor es simple, es decir, si ese valor de λ es autovalor una sola vez, le
corresponde un único x. Ahora, el λ puede ser degenerado. Esto es, que su valor sea
autovalor 2 o más veces. En ese caso el lambda puede tener Nro de autovectores
desde uno hasta cuantas veces esté repetido. ( Nro de degeneración ). Para saber
exactamente cuántos, tenemos que hacer el cálculo, no hay forma de saberlo de
antemano.

284. ASIMOV AUTOVALORES- 115 -
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES - EJERCICIOS DE PARCIALES
Tenemos que encontrar los autovectores de f y para esto, primero necesitamos
calcular los autovalores. Si M es la matriz que representa a f, los autovalores λ
satisfacen que:
M x = λ x o, lo que es lo mismo, ( M − λ ) x = 0
Y este sistema tiene solución si, y sólo si, det( M − λ ) = 0
Y estas ecuaciones las podemos pasar directamente a componentes cuando la matriz
actúa sobre vectores de una base y nos devuelve vectores expresados en la misma
base. En nuestro caso, la matriz de transformación de f, MB’B (f), actúa sobre un
vector expresado en base B’ y nos devuelve un vector en base B. Entonces acá, los
autovalores cumplen que
MB’ B (f)(x)B’ = λ (x)B
Pero acá tenemos un problemita, porque para resolver este sistema, es decir, para
encontrar los valores de λ para los cuales se satisface la igualdad precisamos tener al
vector x expresado en ambos lados de la ecuación en la misma base. Pero como ya
leímos el apunte teórico, al problemita lo teníamos, ya que sabemos que por medio de
la matriz de cambio de base CB’ B puedo expresar (x)B = CB’ B (x)B’ . De modo que si
reemplazamos esto en la ecuación anterior obtenemos
MB’ B (f)(x)B’ = λ CB’ B (x)B’
Y pasando todo pa’ la izquierda nos queda
( MB’ B (f) − λ CB’ B ) (x)B’ = 0 ( 1 )
Con la idea de que λ me quede multiplicado sólo por la matriz identidad, vamos a
multiplicar a toda la ecuación por el inverso de CB’ B. Como CBB’ = (CB’ B)−1
,
entonces CBB’ CB’ B = I, y

285. ASIMOV AUTOVALORES- 116 -
Entonces vemos que vamos a encontrar los autovalores desde cualquiera de las dos
ecuaciones ( 1 ) o ( 2 ). Los sistemas correspondientes a estas ecuaciones, tienen
solución si, y sólo si
( 1 ) → det ( MB’ B (f) − λ CB’ B ) = 0
( 2 ) → det (MB’ − λ I ) = 0
Fijate que acá estamos viendo que existen 2 formas equivalentes de encontrar los
autovalores. Cuál de ellas es más simple y más corta, depende de qué matriz sea más
fácil de calcular, CB’ B o CBB’ . Para darnos cuenta de esto, es mejor hacer esta vez el
cálculo de las 2 maneras. Pero te dejo para vos hacerlo de la primera forma, ( que
desde ya te digo que es más fácil y directa ), así que no hay tutía y a hacerlo !!
De la segunda manera lo hacemos juntos.
Bien. Para plantear la ecuación ( 2 ) tenemos un pequeño detalle… primero
necesitamos calcular CBB’, lo cual es un detalle, pero no un problema pues sabemos
hacerlo. Es más, tenemos 2 formas de hallarla, una es escribir CB’ B y luego calculando
su inversa obtenemos la matriz que buscamos. Acá escribir CB’ B es simple, ya que son
los vectores de la base B’ puestos como columnas, esto es
Tal vez sea un poco cuentero calcular la inversa, pero nada complicado.
La otra forma, es expresar a los vectores de la base B en función de los de B’, y luego
colocar éstos como columnas formando directamente la matriz CBB’.
Ahora voy a hacerlo de esta última forma, pero estaría muy bueno que lo calcules
también de la otra manera, incluso tal vez te parezca más fácil. Eso depende de vos.
Y entonces… ¡¡ Manos a las cuentas !!
(v1 )B’ = a ( v1 − v2 ) + b ( v2 + v3 ) + c (v1 + v2 + v3 )
= ( a + c ) v1 + ( b + c − a ) v2 + ( b + c ) v3
⇒ (v1 )B’ = ( 0, −1, 1 )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
110
111-
101
CB´B
⇒ ( C B B’ MB’ B (f) − λ I ) (x)B’ = 0 ( 2 )
MB’B’
b + c = 0 ⇒ b = − c
b + c − a = 0 ⇒ a = 0
a + c = 1 ⇒ c = 1
→ b = −1
χ χ χ
1 0 0

286. ASIMOV AUTOVALORES- 117 -
De igual modo, …
(v2 )B’ = ( a + c ) v1 + ( b + c − a ) v2 + ( b + c ) v3
⇒ (v2 )B’ = ( −1, −1, 1 )
(v3 )B’ = ( a + c ) v1 + ( b + c − a ) v2 + ( b + c ) v3
⇒ (v3 )B’ = ( 1, 2, −1 )
Y colocando estos vectores como columnas de una matriz por fin obtenemos
Y ahora sí, podemos continuar y calcular la matriz MB’ = CBB’ MB’ B (f), para luego
encontrar los λ tales que el det(MB’ − λ I ) = 0.
Y
Entonces, cuando λ tome los valores 3 y −1, se cumplirá la ecuación, y el sistema
tendrá solución. Y así los autovalores son λ 1 = 3 y λ 2 =λ 3 = −1.
Tenemos los autovalores, pero para responder a lo que nos piden en el problema,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
1-00
030
041-
1-30
1-1-1
1-41-
1-11
21-1-
11-0
MCM B´BB´BB´
( ) ( ) ( ) 0-
2
=λλ=
λ
λ
λ
=λ⇒ -3-1-
-1-00
0-30
04-1-
IMdet B'
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
1-11
21-1-
11-0
C B´B
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
λ
λ
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
λ
λ
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ
-1-00
0-30
04-1-
00
00
00
1-00
030
041-
I-MB´
a + c = 0 ⇒ c = − a c = 1
b + c − a = 1 ⇒ a = −1
b + c = 0 ⇒ b = −1
χ χ χ
0 1 0
a + c = 0 ⇒ a = − c
c = −1
b + c − a = 0 ⇒ a = 1
b + c = 1 ⇒ b = 2
χ χ χ
0 0 1

287. ASIMOV AUTOVALORES- 118 -
todavía necesitamos hacer unos cálculos más, pues precisamos conocer a los
autovectores de f. Para hallarlos, precisamos resolver el sistemita
( MB’ − λ I ) (x)B’ = 0,
para cada valor en particular de λ. O sea, encontrar los autovectores (x)B’ que lo
satisfagan.
Si λ = 3
∴ El autovector correspondiente al autovalor λ = 3 es ( x1 )B’ = ( 1, 1, 0 )
Para λ = −1
∴ El autovector correspondiente al autovalor λ = −1 es ( x2 )B’ = ( 0, 0, 1 )
Entonces vemos que f tiene sólo 2 autovectores ( expresados en B’, es decir, en una
base de V ) . Y nos piden encontrar, si es posible, una base de V formada por éstos.
Pero V tiene dimensión 3 ( es decir, cualquier base está formada por 3 vectores LI ),
por lo que no es posible dar una base de éste espacio con sólo 2 vectores LI ( los
autovectores de f ).
Nota: Sabemos que a un autovalor no degenerado, le corresponde sí o sí un único
autovector. Ahora, en el caso de tener un autovalor degenerado ( es decir, tenerlo
repetido, una o varias veces ( el −1 tiene degeneración 2 pues es autovalor 2 veces ),
le puede corresponder desde un autovector ( eso seguro ) hasta el número de
degeneración del autovalor ( es decir, el −1 puede tener 1 o 2 autovectores ).
Entonces fijate que si hacemos de nuevo éste o algún problema similar, de antemano
sabemos que el λ no degenerado nos da un autovector y que no tenemos certeza de
cuántos nos da el degenerado. Y ya vimos que vamos a poder dar una respuesta al
problema dependiendo de cuantos autovectores tengamos en total. Por lo tanto, para
ahorrarnos tiempo y cuentas, nos conviene comenzar el cálculo de los autovectores
correspondientes al λ degenerado. En este caso lo hicimos “al revés”, sólo para
percibir lo que acabamos de hablar y para refrescar la mente sobre como calcular
autovectores.
( ) ( ) 0x
0x
0
0
0
0
x
x
4
x
x
x
000
040
040
I(-1)M 2
1
2
1
3
2
1
B'B' =→
=→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−⇒ x
( )( )
0x
xx
0
0
0
x-
0
xx-
4
x
x
x
4-00
000
044-
3I-M
3
21
3
21
3
2
1
B'B'
=→
=→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒ x

288. ASIMOV AUTOVALORES- 119 -
Precisamos encontrar los autovalores de f, pero su matriz de transformación no
actúa sobre un vector expresado en la misma base del vector que nos devuelve. Aquí
MBB’ (f) actúa sobre un (x)B y nos devuelve (x)B’. y así los autovalores λ satisfacen que
MBB’ (f)(x)B = λ (x)B’ = λ CBB’ (x)B ( ← pues (x)B’ = CB B’ (x)B )
( MBB’ (f) − λ CBB’ ) (x)B = 0 ( ← reagrupo los términos )
Y finalmente multiplicamos por CB’ B = ( CBB’ )−1
, pues CB’ B CBB’ = I
( hicimos este ultimo paso porque, en este problema, calcular CB’ B es bastante más
simple que obtener CBB’ ). Por lo tanto, debemos resolver: det( MBB (f) − λ I) = 0, y
el primer paso para esto es calcular CBB’ y luego MBB.
Entonces, comenzamos escribiendo los vectores de la base B’ en la base B, para luego
colocarlos como columnas de una matriz, formando así CB’B:
Y ahora, con esta matriz multiplicamos por el lado izquierdo a MBB’ para obtener la
tan buscada MB…
)( fM
a30
01-0
032
042
a62
a52
121-
01-1
1-1-1
MC BBB'BB´B =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
MBB
⇒ ( CB’ B MBB’ (f) − λ I ) (x)B = 0
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
121-
01-1
1-1-1
CB´B
( v1 + v2 − v3 )B = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ⇒ c1 = 1, c2 = 1, c3 = −1
= ( 1, 1, −1 )
( −v1 − v2 + 2 v3 )B = ( −1, −1, 2 )
( −v1 + v3 )B = ( −1, 0, 1 )

289. ASIMOV AUTOVALORES- 120 -
Calculemos entonces la matriz de la que obtendremos el determinante:
Y finalmente encontramos el polinomio característico, cuyas raíces son los
autovalores buscados
Recordemos que en el problema nos están pidiendo dar los valores que debe tomar a
para que f tenga algún autovalor doble. Claramente vemos que:
Si a = 2 ⇒ tenemos un autovalor doble λ1 = λ3 = 2 y λ2 = −1
Si a = −1 ⇒ tenemos un autovalor doble λ2 = λ3 = −1 y λ1 = 2
Y ahora, para cada uno de estos valores de a, debemos determinar si f es diagona-
lizable. f digonizable? Recordemos…. Que una t.l. ( de dimensión 3 ) sea diagonalizable
significa que existe una base B = { x1, x2, x3 }, tal que f( xj ) = λj xj.
Es decir, debemos tener 3 autovectores asociados al conjunto de autovalores, sean
estos simples, dobles o triples. Por lo tanto, esto es lo que vamos a verificar, o no,
para cada valor de a.
Caso a = 2 ⇒ λ1 = λ3 = 2 y λ2 = −1
Sabemos que al autovalor simple le corresponde un autovector x1, pero como nuestro
interés es saber la cantidad de autovectores y no la forma de ellos, no es necesario
que lo calculemos. Lo importante es ver si el autovalor doble nos genera uno o dos
autovectores. Entonces… veámoslo !!
Siendo ( MBB(f) − λI ) xj = 0, la ecuación que satisfacen los autovectores xj, para λ =
2 tenemos que:
( ) ( )( )( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=λ
=λ
=λ
⇒=λλλ=
λ
λ
λ
=λ
a
1-
2
0-a-1--2
-a30
0-1-0
03-2
IMdet BB -
3
2
1
( )( )
( )
( )10,0,
00,1,
0
0
0
x
x-
x
3
x
x
x
030
03-0
030
I2fM
2
2
2
3
2
1
BB
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
3
2
x
x
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
λ
λ
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
λ
λ
λ
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=λ− -)(
-a30
0-1-0
03-2
00
00
00
a30
01-0
032
IfMBB

290. ASIMOV AUTOVALORES- 121 -
Vemos que el λ doble nos genera 2 autovectores. Por lo que en total tenemos 3
autovectores y como bien ya dijimos esto implica que la f es digonalizable.
Caso a = −1 ⇒ λ2 = λ3 = −1 y λ1 = 2
Al λ1 que es simple le corresponde un autovalor, llamemoslo x’1. Veamos cuántos
autovectores nos genera el λ doble:
Y este autovalor doble sólo nos genera un autovector, por lo que tenemos un total de
2 autovectores ( y no 3 ) asociados a este conjunto de λ’s y, por lo tanto, f no es
diagonizable. En resumen…
Nos están pidiendo encontrar, si es posible, a ∈ ℜ para que v ∈ Nu(f) y w ∈ Im(f),
donde llamamos v = ( 1, 2, 0 ) y w = ( 1, 3, 3 ). Que v ∈ Nu(f) significa que f(v) = 0.
Pero nosotros conocemos a la matriz asociada a la transformación f, MBB(f), que
actúa sobre vectores escritos en la base B que nos dan, y nos devuelve vectores
expresados en esa misma base. Por lo tanto esta matriz, actuando sobre las
componentes de v en la base B, debe mandarnos al vector nulo. Es decir
MBB(f) (v)B = 0.
Al hacer esta cuenta vamos a encontrar cuánto debe valer a para que la ecuación se
cumpla, pero antes debemos encontrar (v)B:
( )( )
( )10,0,
0x'-x'
0x'
x'-x'
0
0
0
x'
0
x'x'
3
x'
x'
x'
030
000
033
I)1-(fM 21
2
21
2
21
3
2
1
BB
=⇒
==
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=−
2x'
f tiene autovalor doble si
a = 2 → f es diagonizable
a = −1 → f no es diagonizable

291. ASIMOV AUTOVALORES- 122 -
vB = ( 1, 2, 0 )B = c1 ( 1, 1, 1 ) + c2 ( 0, 1, 1 ) + c3 ( 0, 0, 1 )
= ( c1 , c1 + c2 , c1 + c2 + c3 )
Luego debe cumplirse que
⇒ vB = ( 1, 2, 0 )B = ( 1, 1, -2 )
Y teniendo este vector, podemos hacer la cuenta que queremos:
Pero dijimos que debe ser:
Por lo tanto hay dos valores de a, 2 y −2, para los cuales se satisface que v ∈ Nu f.
Pero no sólo queremos que pase esto, también debe cumplirse que w ∈ Im f, lo que
significa que ∃ (existe) un u tal que f(u) = w. Pero debemos trabajar con la matriz de
transformación MBB(f), la cual nos devuelve vectores expresados en la base B;
entonces debemos expresar tanto a u como a w en esta base para plantear que
MBB(f)(u)B = (w)B.
Escribamos w como combinación lineal de los elementos de la base B, para encontrar
sus coordenadas en esta base:
wB = ( 1, 3, 3 )B = ( c1 , c1 + c2 , c1 + c2 + c3 ) ⇒ c1 = 1 ; c2 = 2 ; c3 = 0
⇒ (w)B = ( 1, 2, 0 )
Nos falta encontrar (u)B, pero como a u no lo conocemos explicitamente, podemos
decir que sus coordenadas en la base B son (u)B = ( u1, u2, u3 ).
Y ahora sí, podemos hacer el producto para encontrar qué valores de a lo satisfacen:
( )
4-a
0
0
4-a
8-aa-8
0
2-
1
1
20a
4aa-8
01-1
(f)M
222
BBB v
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
( ) 04-a
0
0
0
(f)M 2
BBB 2av ±=⇒=⇒
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
=⇒
=++
=+
⇒
⇒
=++
=+
=
2-c
1c
1c
3
2
1
0c11
2c1
0ccc
2cc
3
2
321
21

292. ASIMOV AUTOVALORES- 123 -
Y para que la igualdad se cumpla, debe satisfacerse este sistema de ecuaciones:
Reemplazando estos valores en la 2º ecuación obtenemos:
⇒ Para que w ∈ Im(f), debe cumplirse ( 8 − 2a2
)u1 = 2 + a
Ya vimos que, en principio, los valores posibles de a son 2 ó −2 pues para estos valores
se satisface que v ∈ Nu(f). Veamos si la última ecuación planteada se cumple para
alguno de estos valores…
Si a = 2 → ( 8 − 2.4) u1 = 4 , pero 0 = 4 es absurdo !!!
∴ a = 2 no satisface lo pedido.
Si a = −2 → ( 8 − 2.4) u1 = 0 ⇒ 0 = 0 y la igualdad se satisface !!
Por lo tanto, el único valor de a para el cual v ∈ Nu (f) y w ∈ Im (f), es a = − 2.
FIN AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
( ) ( )
0
2
1
u2ua
u4uau)a-8(
u-u
u
u
u
20a
4aa-8
01-1
(f)M
31
2
321
21
3
2
1
2
BB wu BB =
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
u
2
a
-u
1-uu
udefunciónenuyuescribirpodemos3ºy1ºlade
0u2ua
2u4uau)a-8(
1u-u
1
2
3
12
132
31
2
321
21
=→
=→
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=++
=
2a-u)2a-8(2)u
2
a
-(4)1-u(au)a-8( 1
2
1
2
11 =⇒=++

293. ASIMOV AUTOVALORES- 124 -

294. - 125 -
¿ Viste algo en este libro que no está bien ?
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¿ Encontraste algún error ?
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295. - 126 -

296. - 127 -
OTROS APUNTES
ASIMOV
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ALGEBRA.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* PARCIALES Y FINALES RESUELTOS DE ALGEBRA
Son parciales y finales que fueron tomados el año pasado
y en años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos.
* EJERCICIOS RESUELTOS DE LA GUIA DE ANALISIS.
Son todos los ejercicios de la guía resueltos y explicados
* LIBRO ANALISIS PARA EL CBC
Tiene la teoría que se da en clase explicada en castellano.
* PARCIALES Y FINALES RESUELTOS DE ANALISIS
Son parciales y finales que fueron tomados el año pasado
y en años anteriores. Todos los ejercicios están resueltos.
* LIBRO FISICA PARA EL CBC
Tiene toda la teoría que se da en la clase pero hablada en
Castenayo bien criollo.

297. - 128 -
Índice
Pág.
1.............TRANSFORMACIONES LINEALES
3....................Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal
3 TEOREMA de la dimensión
6....................Tipos de Transformaciones Lineales
7 Algunas propiedades
10...................Composición de Transformaciones Lineales
12 Rg A = dim Im (f)
20...................MBB’’(gof) = MB’B’’(g) MBB’(f)
20 MB’B(f-1
) = (MBB’(f))-1
21...................Cambio de base
22 MB´(f) = CBB´ MB(f) CB´B
23...................
25 Proyector. V = Nu(p) ⊕ Im(p)
26............... ¿ Cómo armar Transformaciones Lineales ?
27 Resumen
30...................Ejercicios de parciales
45.............NUMEROS COMPLEJOS
46...................Definición de Nro complejo
47 Conjugado de un Nro complejo
47...................El plano complejo
48 Módulo y Argumento
52...................Forma trigonométrica
53 Producto y cociente de Complejos
56...................Notación Exponencial
57 Potencias y raíces de un número complejo
60...................Resumen
63 Ejercicios de parciales
EBEE´ B´E´ BB´M C .M .C=

298. - 129 -
69.............POLINOMIOS
69...................Definición de Polinomio
70 Grado de un Polinomio
71...................División de Polinomios
72 División por polinomios de la forma Q = x – a
73...................Regla de Ruffini
74 Calculo de raíces
75...................Multiplicidad de una raíz
76 Raíces de Polinomios de 1er y 2do grado
78...................Polinomios de grado mayor que 2
83 Resumen
84...................Ejercicios de parciales
89............AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
89...................Definición de autovalores y autovectores
89 Ecuación característica: det (λI-A)=0
94...................Propiedades de los autovalores y autovectores
104 Diagonalización
109...................Método de Gram-Schmidt
113 Resumen
115...................Ejercicios de parciales