Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio

i
i
i
i
i
i
i
i
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS
Algoritmo Iterativo Eficiente para el
Análisis de Interferogramas con
Corrimiento de Fase Aleatorio
PRESENTA
Ing. Sotero Ordoñes Nogales
PARA OBTENER EL GRADO DE
Maestro en Ciencias en Ingeniería Electrónica y Computación
DIRECTOR
Dr. Jorge Luis Flores Núñez
CO-DIRECTOR
Dr. José Antonio Muñoz Gómez
Guadalajara, Jalisco. Agosto de 2016

i
i
i
i
i
i
i
i
A mi Mamá por enseñarme que
a veces conviene soñar.

i
i
i
i
i
i
i
i
Agradecimientos
Aprende algo. Andar por los
caminos enseña mucho.
Juan Rulfo
He llegado al final de una pequeña travesía en el viaje de la vida; durante éste trayecto
he adquirido experiencia que han dejado estelas imborrables. Este marinero no es nadie sin
la ayuda de aquellos que lo han acompañado en el barco. Quiero agradecer a esas personas
con las que no sólo compartí este viaje, sino colaboraron en la toma del rumbo, me refiero
a la tripulación:
A mi familia. Por estar allí siempre apoyándome, toda la paciencia y esfuerzo que han
realizado para ver cumplido este sueño. Especialmente a mi señora madre a quien no me
alcanzará toda una vida, ni cada una de las palabras del mundo para agradecer por todo
lo que ha hecho por mi. A mis hermanos Juan, Isabel, Angelina y Julio que sin su ayuda
ésto no sería posible.
Al Dr. José Antonio. Gracias por su apoyo incondicional durante la realización del
presente documento, en particular, los cursos de análisis numérico y de mínimos cuadra-
dos.Además, como olvidar las tardes de café en las que discutimos los métodos multigrid
y otros temas. En especial agradezco por encaminar mi formación profesional y personal.
Al Dr. Jorge Luis. Gracias por sus lecciones académicas, por su paciencia, consejos en
la escritura de los trabajos académicos pero sobre todo; gracias por su apoyo que me han
permitido cumplir esta meta.
A los doctores Manuel, Guillermo y Osbaldo. Gracias por todas las lecciones y
su dedicación para arrojar luz en los temas obscuros de la metrología óptica. Dr. Manuel
gracias por hacer de esa estancia en el CIO toda una experiencia académica y personal. Dr.
Guillermo gracias por apoyo y sus aportaciones, alegrar las mañanas en UMOE, también
agradezco que me invitara a este programa de maestría. Dr. Osbaldo gracias por el curso
de teoría de espacios vectoriales que esclareció ese mundo llamado álgebra lineal.
IX

i
i
i
i
i
i
i
i
X Agradecimientos
Para llevar a puerto ésta pequeña embarcación colaboraron personas como los doctores
Abimael, Omar y Luis Isidro a quienes doy gracias por su valiosa amistad. En el mismo sen-
tido, a mis compañeros Ricardo, Adriana, Roberto y muchas otras personas que por ahora
me es imposible nombrar; todos esos momentos que hicieron divertida la travesía. También
quiero agradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por poner el combustible del
barco a través de las becas asignadas.

i
i
i
i
i
i
i
i
Índice general
Índice de figuras XIII
Índice de tablas XV
Resumen XVII
1. Introducción 1
2. Metrología óptica 7
2.1. La naturaleza de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Fenómeno de interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3. Interferometría óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1. Interferómetros de división de frente de onda . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2. Interferómetros de división de amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Proyección de franjas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Análisis de franjas 17
3.1. Método por transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Interferometría de corrimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Algoritmo de Carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2. Algoritmo de Hariharan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3. Algoritmo de 2+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4. Algoritmo generalizado de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Desenvolvimiento de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. PSI aleatorio 31
4.1. El problema de los mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2. Algoritmo Iterativo Avanzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1. Descripción matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2.2. Esquema computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
XI

i
i
i
i
i
i
i
i
XII Índice general
5. Incremento del desempeño computacional 41
5.1. Cómputo de alto desempeño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1. Loop unrolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.2. Procesamiento vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2. Estimación inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2.1. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6. Resultados 55
6.1. Estimador inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.1. Datos sintéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.1.2. Datos experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2. Desempeño computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7. Conclusiones 63
Bibliografía 65

i
i
i
i
i
i
i
i
Índice de figuras
2.1. Metrología óptica: procedimiento para realizar una medición. . . . . . . . . 7
2.2. Diagrama esquemático de una onda electromagnética. . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Superposición de dos ondas armónicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4. Interferómetros de división de frente de onda: (a) de Young y (b) de Rayleigh. 11
2.5. Interferómetro de Twymman-Green para medir la topografía de un espejo M2. 13
2.6. Interferómetros de división de amplitud: (a) de Mach-Zehnder y (b) de Sagnac. 14
2.7. Configuración de un sistema de proyección de franjas. . . . . . . . . . . . . 15
3.1. Esquema de la variación de intensidad con diferencia de fase. . . . . . . . . 17
3.2. Espectro de Fourier para un patrón de franjas. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Respuesta de un dispositivo desplazador tipo PZT (línea sólida) versus res-
puesta ideal (línea punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Ejemplo de interferogramas sintéticos corridos en fase: (a) δ1 = 0, (b) δ2 =
π/2, (c) δ3 = π y (d) δ4 = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.5. Fase recuperada mediante el algoritmo de cuatro pasos: (a) mapa de distri-
bución de fase envuelta y (b) perfil de la fase estimada. . . . . . . . . . . . 22
3.6. Espectro de frecuencias radiales de un patrón de franjas con corrimiento de
fase α = ω0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.7. Representación esquemática del error de detuning: (a) FTF de un algoritmo
de tres pasos con datos desintonizados y, (b) diagrama fasorial. . . . . . . . 25
3.8. Algoritmos de PSI: sensibilidad al error lineal en el corrimiento de fase α. . 27
3.9. Función de fase desenvuelta y su interpretación como diferencia de camino
óptico: (a) mapa de distribución de fase y, (b) perfil del mapa de diferencia
de camino óptico en micrómetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1. Interpretación geométrica del problema de mínimos cuadrados. . . . . . . . 32
4.2. Diagrama esquemático para determinar los corrimientos de fase δk de un
conjunto de k interferogramas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1. Tiempo de acceso a los niveles de memoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2. Rendimiento computacional con loop unrolling para IEEE-754 de precisión
simple: (a) AXPY, (b) COPY, (c) DOT, (d) SCAL y, (e) SUM. . . . . . . . 44
XIII

i
i
i
i
i
i
i
i
XIV Índice de figuras
5.3. Rendimiento computacional con vectorización Intel AVX y loop unrolling
para IEEE-754 de precisión simple: (a) AXPY, (b) COPY, (c) DOT, (d)
SCAL y, (e) SUM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4. Tiempos de ejecución de diferentes versiones del producto punto con 256KB
de datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.5. Relación del número de iteraciones con respecto a la estimación inicial. . . . 48
5.6. Representación gráfica de las raíces de Moivre del polinomio zn = 1: (a)
para n = 3 y (b) para n = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.7. Representación de una señal con diferentes mallas en el dominio de Fourier. 52
5.8. Magnitud de la DFT de un patrón de franjas, (a) malla fina y (b) malla
gruesa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1. Patrones de franjas con ruido gaussiano aditivo de µ = 0 y σ = 0.08 con
función de fase: (a) plano, (b) gaussiana y, (c) función peaks. . . . . . . . . 55
6.2. Estimación de fase con el algoritmo AIA evaluando patrones de franjas sin-
téticos con función de fase gaussiana y ruido blanco aditivo de µ = 0 y
σ = 0.08, (a) fase envuelta estimada, (b) perfil de la fase estimada con
respecto a la solución analítica y, (c) residuos de fase estimada por AIA y
empleando distintas mallas como estimador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.3. Patrones de franjas sinusoidales proyectados se emplea un casquete de esfera
como objeto de prueba, (a) objeto con las franjas proyectas, (b) franjas
proyectadas sobre la pantalla de referencia, (c) fase envuelta estimada y (d)
fase desenvuelta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4. Tiempos de ejecución del algoritmo AIA con diferentes técnicas de compu-
tación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

i
i
i
i
i
i
i
i
Índice de tablas
6.1. Comparación de número de iteraciones de AIA vs. AIA con estimador inicial. 57
6.2. Comparación de la convergencia de AIA vs. AIA con estimador inicial. . . . 58
6.3. Tiempos de ejecución de AIA vs. AIA con estimador inicial. . . . . . . . . . 60
XV

i
i
i
i
i
i
i
i
Resumen
En análisis de franjas por interferometría de corrimiento de fase, no es posible controlar
con exactitud la cantidad de corrimiento de fase real, a causa de los errores de no-linealidad
y otros factores relacionados con el dispositivo desplazador. Por lo tanto, este error es
introducido en los interferogramas capturados. En la literatura se han reportado algoritmos
de auto-calibración insensibles al error aleatorio de los corrimientos de fase, por ejemplo
el Algoritmo Iterativo Avanzado. Sin embargo, los métodos de auto-calibración tienen un
costo computacional elevado, por lo tanto, su empleo en aplicaciones en tiempo real está
restringido. En la presente tesis se propone un método para incrementar el rendimiento
computacional del Algoritmo Iterativo Avanzado desde dos enfoques: 1) mejorar el tiempo
de ejecución de cada iteración mediante técnicas de cómputo y, 2) reducir el número de
iteraciones mediante un estimador inicial computacionalmente eficiente para determinar los
corrimientos de fase. El estimador inicial propuesto fue validado con patrones de franjas
sintéticos y experimentales; los resultados muestran una reducción mayor al 50 % en el
número de iteraciones. Con el estudio realizado, en promedio se incrementó el desempeño
computacional del esquema en un factor de 10x, es decir, el tiempo de cómputo se redujo
un orden de magnitud.
XVII

i
i
i
i
i
i
i
i
Cap´ıtulo 1
Introducción
A lo largo de la historia, el ser humano ha tenido la necesidad de medir propiedades
físicas del mundo que lo rodea. Con esta finalidad ha fabricado distintos instrumentos que
le han permitido comprender mejor la naturaleza y crear o mejorar nuevos productos, así
surge la necesidad de que los instrumentos empleados en las mediciones sean cada vez más
exactos.
La metrología es la ciencia cuyo objeto de estudio son las propiedades físicas medi-
bles, los sistemas de unidades, los métodos de medición y su evolución; garantizando su
normalización mediante la trazabilidad. Recientemente, la metrología dimensional ha ad-
quirido un interés especial como consecuencia de las necesidades industriales y médicas,
principalmente, para medir objetos y generar sus modelos tridimensionales. De hecho, las
técnicas empleadas para generar dichos modelos son clasificadas en dos categorías princi-
pales: invasivas y no invasivas, las cuales está en función de su interacción con el objeto de
prueba.
En las técnicas invasivas los instrumentos empleados se caracterizan por tener contacto
físico con el objeto. Su principal ventaja es que no requieren de modelos matemáticos. Sin
embargo, la resolución de la medición está restringida a consecuencia de la mecánica del
instrumento. Además, el tiempo requerido en cada medición es considerable dado que el
instrumento tiene contacto con toda la superficie del objeto a través de un estilete. Por otro
lado, en las técnicas no invasivas los instrumentos no tienen interacción física con el objeto;
su principal ventaja. El desarrollo reciente en hardware ha permitido crear dispositivos de
medida que utilizan ondas acústicas, ópticas o magnéticas para realizar mediciones. En
estos instrumentos, los modelos matemáticos permiten recuperar y/o mejorar la exactitud
de las mediciones.
En el área de óptica, existen diversas técnicas no invasivas para medir propiedades
físicas. Por ejemplo, la visión estereoscópica utilizada en reconstrucción tridimensional de
objetos, la cual consiste en capturar imágenes del objeto mediante cámaras dispuestas en
posiciones adecuadas. La principal ventaja del método es que no requiere de una fuente de
iluminación específica. La desventaja del método es la localización de los puntos comunes
cuando se unen las imágenes [1]. Por otro lado, la técnica de triangulación láser está basada
en el principio de triangulación activa, los datos son obtenidos a partir de la proyección
1

i
i
i
i
i
i
i
i
2 Capítulo 1. Introducción
de líneas láser sobre el objeto de prueba y el mapa de reflexión es capturado mediante
una cámara [2]. La ventaja de este método es su alta precisión, la cual está sujeta al
campo de visión del arreglo óptico y al ángulo de sensibilidad que debe ser elegido tal
que restrinja la sombras producidas por la topografía del objeto. Otra técnica óptica es
la proyección de franjas, en la cual se emplea un vídeo-proyector y una cámara [3]; esta
técnica también está basada en el principio de triangulación activa. La principal ventaja
de este método es su simplicidad del arreglo óptico y su desventaja radica principalmente
en que los patrones proyectados no son exactamente los generados, esto se debe al factor
gamma del vídeo-proyector que introduce un término de distorsión no-lineal en los patrones
de franjas generados mediante una computadora. La técnica de moiré consiste en proyectar
un patrón sobre el objeto bajo prueba. Este patrón es generado al hacer pasar la luz a través
de una rejilla moduladora. Para distinguir la información del objeto de la información de
la rejilla se emplea un patrón de referencia que contiene sólo la información de la rejilla y
el patrón que inside sobre el objeto; la superposición de ambos genera el patrón de moiré
con la información del objeto bajo prueba [4].
En el mismo sentido, la interferometría es una técnica no invasiva que emplea la luz para
medir propiedades físicas con la longitud de onda como unidad de medida. Las mediciones
son determinadas en forma indirecta, dado que los valores observados son patrones de in-
terferencia (valores de intensidad con cierta distribución) generados por la diferencia del
camino recorrido por la luz debido a la topografía del objeto; dicha distancia se manifiesta
como una diferencia de fase. Por lo tanto, los valores de la medición del objeto son de-
terminados mediante la resolución de un problema inverso que busca determinar la causa,
diferencia de fase, que genera el fenómeno observado, es decir el patrón de interferencia.
La interferometría de corrimiento de fase (PSI, por sus siglas en inglés) es una técnica
exacta utilizada principalmente para perfilometría, la cual requiere de al menos tres pa-
trones de interferencia corridos en valores de fase conocido. Sin embargo, conmúnmente
se utilizan más de tres patrones para reducir la influencia del ruido y otros factores que
ocurren durante la medición que afectan la exactitud de la misma [5]. Los corrimientos de
fase son introducidos principalmente utilizando un transductor piezo-eléctrico (tipo PZT)
o con láminas retardadoras fabricadas para fracciones de longitud de onda. En la práctica,
la cantidad de corrimiento de fase no es conocida con precisión debido a problemas con
la calibración del dispositivo desplazador, éste error hace que se deteriore la precisión del
término de fase estimado.
Para reducir el error en la fase recuperada generado por los corrimientos inexactos,
se ha abordado el problema desde dos enfoques. El primero consiste en mejorar la cali-
bración del dispositivo PZT, cuya respuesta al voltaje aplicado es no-lineal, para ello se
han propuesto métodos como phase-lock que requiere de electrónica adicional y restringe
que los corrimientos deben ser mayores a noventa grados [6]. Otro método consiste en la
detección de valores sinusoidales extremos donde los valores de calibración son obtenidos
mediante un filtro diferenciador que detecta los valores extremos, el método es muy sensible
a la turbulencia generada por el aire [7]. En 2013, Ionita et al. [8] propusieron un méto-
do de calibración in-line que obtiene los parámetros de calibración a partir de un ajuste
polinomial de grado cinco lo cual implica un costo computacional muy elevado, donde los
autores reportan un error de dispersión de 10 nanómetros, esto implica una incertidumbre
aproximada de 6 grados cuando se emplea un láser de Helio-Neón. En general, un PZT de

i
i
i
i
i
i
i
i
Capítulo 1. Introducción 3
buena calidad tiene un error de no linealidad menor al 1 %, además se presentan errores
como histéresis y ruido térmico [6]. Lo anterior dificulta calibrar las pequeñas variaciones
no-lineales como consecuencia que dichas variaciones no presentan repetitividad.
Un segundo enfoque para reducir la influencia del error en los corrimientos de fase es el
desarrollo de algoritmos matemáticos para estimar el corrimiento o esquemas insensibles a
dicho error. En este sentido, el desarrollo realizado por Servín et al. [9,10] permite diseñar
esquemas robustos a error en los corrimientos bajo la restricción que las desviaciones en
los corrimientos sean homogéneos, sin embargo, los valores absolutos de fase introducidos
no son determinados y una corrección fina no es posible. Otros esquemas permiten recu-
perar la cantidad de corrimiento real que es utilizada para corregir la estimación del mapa
de distribución de fase, el trabajo de Farrell y Player [11] proponen estimar la cantidad
de cambio de fase utilizando una figura de Lissajous y el ajuste a una elipse mediante
mínimos cuadrados, sin embargo, su método tiene un buen desempeño si los corrimien-
tos son cercanos a π/2 debido al ajuste del elipse. En la misma línea de investigación se
han propuesto algoritmos para determinar los corrimientos mediante los promedios de las
desviaciones [12], con el producto punto de dos patrones de franjas [13–15], utilizando las
normas de Hölder para matrices como L1 y L2 [16, 17], o empleando la ley de cosenos
con corrección mediante la varianza del ruido [18]. Estos esquemas fueron diseñados para
escenarios donde los corrimientos son cercanos a cero y aunado a ello la mayoría de esos
esquemas son sensibles a las desviaciones generadas por el ruido en los datos.
Los algoritmos de auto-calibración son un enfoque que consiste en estimar el mapa de
fase y recalcular los corrimientos para corregir la primera estimación del mapa de fase.
El esquema propuesto por Hu et al. [19] utiliza la transformada discreta del coseno para
recuperar el mapa de distribución de fase y los corrimientos son estimados mediante un
método determinista basado en gradiente. La ventaja del esquema es que el mapa de fase
completo es calculado en una operación, cálculo de la transformada inversa del coseno.
La principal desventaja del método es la estimación de los corrimientos que requiere una
inicialización adecuada de los parámetros del algoritmos el cual es un proceso lento y
computacionalmente costoso. En general, los algoritmos de auto-calibración corrigen en
forma iterativa las estimaciones de la distribución de fase y los corrimientos, por ejemplo
los trabajos propuestos en las referencias [20–26] están basados en mínimos cuadrados. En
particular, el Algoritmo Iterativo Avanzado (AIA) propuesto por Wang y Han [23] es un
esquema lineal iterativo derivado del principio de estimación-maximización. El método AIA
utiliza la redundancia de información espacial para calcular iterativamente la distribución y
los corrimientos de fase mediante un esquema de mínimos cuadrados. En la literatura se ha
reportado que éste método tiene un error aproximado de 0.2 grados en la estimación de los
corrimientos de fase [27]. Sin embargo, la convergencia del método es lenta lo cual restringe
su aplicación en problemas reales o en dispositivos con poder de cómputo restringido, por
ejemplo FPGAs y DSPs.
En el presente trabajo de tesis se propone un método para incrementar el desempeño
computacional del Algoritmo Iterativo Avanzado desde dos enfoques, el primero es reducir
el número de iteraciones y, el segundo incrementar la velocidad de cálculos aritméticos en
cada iteración.

i
i
i
i
i
i
i
i
4 Capítulo 1. Introducción
Justificación
Como se mencionó anteriormente, la interferometría de corrimiento de fase es una
técnica exacta, sin embargo, debido al ruido durante la adquisición de datos y el error en la
cantidad de cambio de fase introducido, deteriora la exactitud de la medición. Para resolver
este problema se utiliza un mayor número de patrones de franjas y algoritmos robustos al
error en los corrimientos de fase, como el algoritmo AIA.
De la literatura es conocido que el método AIA tiene una convergencia lenta, es decir
el número de iteraciones es elevada y por lo tanto el tiempo de cómputo es considerable,
lo cual inhabilita su aplicación a problemas en tiempo real.
El presente trabajo de tesis está encauzado a incrementar el desempeño computacional
del algoritmo AIA, lo cual permite que el esquema pueda ser utilizado con imágenes de
grandes dimensiones y/o con un número mayor de patrones de franjas, sin que el tiempo
de cómputo se incremente dramáticamente. Con lo anterior, se busca obtener mediciones
más precisas en una misma unidad de tiempo empleando una mayor cantidad de datos.
Objetivo General
Incrementar el rendimiento computacional del algoritmo AIA (Advanced iterative algo-
rithm for phase extraction and randomly phase-shifted interferograms) empleando técnicas
avanzadas de computación científica.
Objetivos particulares
1. Estudiar diversas técnicas de ajuste de datos por mínimos cuadrados. Así como los
algoritmos de minimización aplicados a interferogramas basados en dicho método
numérico.
2. Estudiar algoritmos de minimización por mínimos cuadrados aplicados a interfero-
gramas.
3. Proponer un esquema numérico computacionalmente eficiente que permita reducir
drásticamente el número de iteraciones.
4. Investigar diversas técnicas avanzadas de cómputo de alto rendimiento: loop unro-
lling, pipeline y vectorización.
5. Implementar el algoritmo desarrollado en el lenguaje de programación ANSI C en
sus versiones serial y paralela.
6. Validar el esquema propuesto empleando inversión de interferogramas sintéticos y
experimentales.
La presente tesis está organizada de la siguiente manera: en el siguiente capítulo se
muestra una introducción a la metrología óptica enfocada principalmente en describir la
luz como un fenómeno electromagnético, así como la interferencia de la luz. Además, se

i
i
i
i
i
i
i
i
5
describe la interferometría óptica como una técnica para realizar mediciones con luz em-
pleando interferómetros. En el capítulo tres se describe el proceso de análisis de franjas, con
particular interés en métodos de demodulación de interferogramas: método de transformada
de Fourier y algoritmos para interferometría por corrimiento de fase. Además se descri-
be el problema de desenvolvimiento de fase. En el capítulo cuatro se describe el método
de mínimos cuadrados con el enfoque algebraico, además, se detalla el Algoritmo Iterativo
Avanzado desde el punto de vista de método numérico. En el capítulo cinco se muestran las
técnicas computacionales empleadas para incrementar la intensidad de cómputo: cómputo
de alto desempeño y un estimador inicial. En el capítulo seis se muestran los resultados
principales del trabajo de tesis. Finalmente, en el capítulo siete se enlistan las conclusiones
principales.

i
i
i
i
i
i
i
i
Cap´ıtulo 2
Metrología óptica
La metrología óptica es la rama de la óptica cuyo propósito es realizar mediciones em-
pleando las ondas de luz como escala. Para ello se emplea, principalmente, la interferometría
óptica, la cual se basa en el fenómeno de interferencia mediante el modelo ondulatorio de la
luz. Los instrumentos usados para inducir la interferencia de dos haces de luz son conocidos
como interferómetros.
El procedimiento general de metrología óptica está descrito en los siguientes pasos (ver
Figura 2.1):
1. Adquisición de datos. El objetivo es obtener uno o más patrones de franjas; la infor-
mación de la medición se encuentra en la fase. Las técnicas comúnmente empleadas
para adquirir los datos son la interferometría, moiré y proyección de franjas.
2. Demodulación. En este paso se extrae la fase de los patrones de franjas. Los métodos
matemáticos empleados normalmente estiman la función de fase envuelta.
3. Desenvolvimiento de fase. Este procedimiento tiene por objetivo estimar la función
de fase continua a partir de la fase discontinua del paso anterior.
4. Interpretación de fase. En este paso se convierten las unidades de fase en unidades
que le den sentido físico a la medición.
Evidentemente el procedimiento anterior es la solución de un problema inverso por que se
requiere estimar la función de fase (causa) a partir de los datos observados (efecto). Por
8
0
1
2
3
4
5
6
7
9
10
Figura 2.1: Metrología óptica: procedimiento para realizar una medición.
7

i
i
i
i
i
i
i
i
8 Capítulo 2. Metrología óptica
Figura 2.2: Diagrama esquemático de una onda electromagnética.
lo tanto, el problema es bien planteado en el sentido de Hadamard –la solución existe y es
única para cada dato, además, la solución depende continuamente de los datos–.
En el presente capítulo se realiza una descripción breve de la naturaleza de la luz
e interferencia. Además, se describen los interferómetros más conocidos. Finalmente, se
detalla el método de proyección de franjas.
2.1. La naturaleza de la luz
La luz es una forma de radiación electromagnética la cual puede ser caracterizada por
la longitud de onda, su amplitud, la velocidad y dirección de propagación, así como la fase.
Las ecuaciones de Maxwell describen completamente una onda electromagnética como la
luz. En la Figura 2.2 se muestra el diagrama general de una onda luminosa, donde se puede
observar la relación del campo eléctrico con el magnético. En el caso de interferometría el
estudio está orientado principalmente al campo eléctrico, debido a que interesa la forma
de onda y no su física básica.
Sea una onda linealmente polarizada en la dirección x de frecuencia ν y que se está
propagando en la dirección z, entonces el campo eléctrico E está determinado por,
Ex = A cos (ωt − kz) ,
Ey = 0,
Ez = 0,
donde A es la amplitud que se mantiene constante conforme la onda se está propagando, es
decir, es una onda plana. La frecuencia angular ω y el número de onda k están determinados
por,
ω = 2πν, k = 2π/λ,
donde λ es la longitud de onda. El término «polarización» está relacionado con la orien-
tación del campo eléctrico en función de la propagación en el tiempo. En el caso de po-
larización lineal nos indica que la orientación se mantiene constante, es decir, el plano de
vibración de E es constante conforme se propaga la onda.

i
i
i
i
i
i
i
i
2.2. Fenómeno de interferencia 9
Figura 2.3: Superposición de dos ondas armónicas.
2.2. Fenómeno de interferencia
El fenómeno de interferencia óptica está fundamentado en el modelo del movimiento
ondulatorio de la luz, en este sentido, dos ondas E1 y E2 linealmente polarizadas pueden
ser expresadas como,
E1 (r, t) = E01 cos (k1 · r − ωt + ε1) ,
E2 (r, t) = E02 cos (k2 · r − ωt + ε2) .
Sea S = E1 + E1 el «vector de Poyting», entonces, la irradiancia debida a la superpo-
sición de ambas ondas durante un periodo T está dado por el valor promedio del «vector
de Poyting», esto es I = ϵv
⟨
(E1 + E2)2
⟩
T
. Si despreciamos los valores de las constantes
del medio, la permitividad ϵ y la velocidad de la luz v en el medio, expandiendo el término
cuadrático se tiene,
I =
⟨
E2
1 + E2
2 + 2E1 · E2
⟩
T
=
⟨
E2
1
⟩
T
+
⟨
E2
1
⟩
T
+ 2 ⟨E1 · E2⟩T .
Por la definición de irradiancia se obtiene,
I = I1 + I2 + I12,
donde I12 es conocido como el «término de interferencia» determinado por,
I12 = ⟨2 [E01 · E02 cos (k1 · r − ωt + ε1) × cos (k2 · r − ωt + ε2)]⟩T .
Considerando el valor medio de una función y dado que el periodo T es mucho mayor
que el periodo de la función armónica (T ≫ 2π/ω), entonces,
I12 = 2 ⟨E1 · E2⟩T = E1 · E2 cos ϕ,
donde ϕ = k1 · r − ωt + ε1 − k2 · r − ε2 es la «diferencia de fase». Así la irradiancia de la
interferencia de las dos ondas observada durante un periodo T queda expresa como,
I = I1 + I2 + 2
√
I1I2 cos ϕ. (2.1)
La expresión anterior, nos indica que en varios puntos del espacio el valor de irradiancia
será máxima cuando ϕ sea un múltiplo par de π y, mínima cuando sea impar.

i
i
i
i
i
i
i
i
En la Figura 2.3 se muestra el resultado de la superposición de dos ondas armónicas
con una diferencia de fase de π/4. Considerando dos haces, cuyas ondas tienen las caracte-
rísticas anteriores respectivamente, y con base en la Eq. (2.1), entonces, la distribución de
intensidad en el plano perpendicular a la dirección de propagación de ambos haces, estará
determinado en función de sus variables espaciales como,
I(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos ϕ(x, y), (2.2)
donde I es el valor de intensidad, A es la intensidad de fondo, B es la visibilidad de las
franjas y ϕ es la diferencia de fase. Por lo tanto, la irradiancia de un frente de onda durante
T es una distribución espacial de máximos y mínimos.
Es conocido que la interferencia con luz policromática puede observarse, el patrón
que se obtiene es difuso y presenta coloraciones en la franjas (excepto en la central). Por
ello, se requiere cumplir ciertas condiciones tales que permitan que la imagen I(x, y) sea
«observable» durante un periodo T suficientemente grande, para lo cual se requiere que
los dos haces sean coherentes, es decir, deben mantener una fase constante uno respecto
del otro. Además las fuentes deben ser monocromáticas, es decir, de una misma longitud
de onda.
2.3. Interferometría óptica
La interferometría óptica, en adelante simplemente interferometría, es una técnica que
consiste en generar patrones de interferencia conocidos como interferograma y la informa-
ción de la medición se encuentra cifrada en los valores de intensidad del mismo. Esta técnica
consiste en las etapas: a) adquisición de datos en la cual se generan los interferogramas,
b) demodulación de los datos y, c) interpretación de la información para determinar los
valores de la medición. En esta sección se trata la idea general del procedimiento de inducir
el fenómeno de interferencia.
Los sistemas ópticos utilizados para inducir el fenómeno de interferencia son conocidos
como interferómetros. La idea básica consiste en que dos haces viajen por caminos ópticos
separados y posteriormente hacerlos interferir. Uno de los haces es utilizado como referencia
y el segundo para realizar la medición, estos son obtenidos a partir de la misma fuente de
luz. En este sentido los interferómetros se puede clasificar en aquellos por «división de
frente de onda» y los de «división de amplitud» [28]. El primer caso consiste en separar el
frente de onda en dos porciones, por ejemplo los interferómetros de Young y de Rayleigh
funcionan bajo este concepto. En el segundo, los dos haces son obtenidos de la misma
porción del haz como son los casos de los interferómetros de Michelson, el Mach-Zehnder
y el Sagnac.
El objetivo en interferometría es determinar la diferencia de camino óptico (DCO) de
los haces que se hacen interferir. La DCO está determinada por,
DCO =
ϕλ
2π
, (2.3)
donde λ es la longitud de onda de luz y ϕ es la diferencia de fase de los haces. Dado que λ
es un valor conocido entonces para determinar la DCO se debe determinar la diferencia de

i
i
i
i
i
i
i
i
2.3. Interferometría óptica 11
(a) (b)
Figura 2.4: Interferómetros de división de frente de onda: (a) de Young y (b) de Rayleigh.
fase ϕ de la Eq. (2.2). Así, para λ = 638 nm y una diferencia de fase de π/4 se tiene una
DCO de 78 nm. La DCO está determinada por la configuración del sistema óptico utilizado,
a continuación se describen algunos de los interferómetros ampliamente utilizados.
2.3.1. Interferómetros de división de frente de onda
Interferómetro de Young. Thomas Young propuso el interferómetro para discernir
sobre la naturaleza de luz corpuscular u ondulatoria. En la Figura 2.4(a) se observa que
a partir de la fuente S se obtienen dos fuentes puntuales coherentes (S1 y S2) colocando
una rejilla en una recta sobre el eje x y ésta rejilla se encuentra a una distancia D de una
pantalla de observación (en la dirección de propagación). La distancia de la recta |S1S2| es
d. Las fuentes S1 y S2 por provenir de la misma fuente S poseen la misma amplitud, sus
campos eléctricos son paralelos y tienen la misma diferencia de fase para cualquier instante
de tiempo. Considerando un punto P situado sobre la pantalla en el cual la amplitud de
S1 = S2 = A, entonces, la intensidad en ese punto estará dado por
I = 4A2
cos2 δ
2
,
donde la diferencia de fase se debe a la diferencia de los caminos ópticos recorridos. En el
caso que las ondas se estén propagando en el vacío, dicha diferencia estará en función de
la diferencia de los caminos geométricos, es decir,
δ =
2π
λ
(S1 − S2) =
2π
λ
d = cte.
Bajo el supuesto que S1 y S2 están emitiendo con la misma intensidad y que la diferencia
|S1P − S2P| es muy pequeña (micrómetros). Entonces, las variaciones de las amplitudes
de las dos ondas en P son despreciables. En este sentido la diferencia de fase δ está dada

i
i
i
i
i
i
i
i
en función de distancia d y la ubicación de la pantalla, es decir,
δ =
2πxd
λD
= cte. (2.4)
Finalmente, si consideramos las dimensiones de la pantalla (respecto al eje x) entonces
se forma un patrón de interferencia. El patrón formado estará modulado debido a que
conforme nos alejamos del centro la intensidad de una de las fuentes va a disminuir debido
a que tanto S1 como S2 son ondas esféricas, por lo tanto, su amplitud disminuye conforme
el radio aumenta.
Interferómetro de Rayleigh. Desarrollado por Lord Rayleigh fue ideado para medir
el índice de refracción de gases, líquidos y soluciones [28,29]. En la Figura 2.4(b) se observa
que la fuente de iluminación S es colimada por la lente L1 y en la doble rendija el haz
es dividido en dos fuentes S1 y S2. Los haces provenientes de dichas fuentes viajan a
través de los tubos T1 y T2, posteriormente atraviesan los compensadores de altura G1
y G2, respectivamente. Finalmente, los haces son enfocados por una segunda lente L2.
Considerando que la longitud de camino óptico está dado por los cambios de índice de
refracción, entonces se tiene
LCO =
m∑
i=1
nidi,
donde ni es el i-ésimo índice de refracción y di es la distancia que viaja la luz para ni, así
m es el total de cambios de índice de refracción. Por lo tanto, el frente de onda sufre una
inclinación en función del ángulo de refracción del medio, el cual puede ser ajustado por un
compensador. En el caso donde se considera que el índice de refracción del tubo de prueba
es homogéneo, el número de franjas estará determinado por,
N =
(n − 1)d
λ
.
Las desventajas principales del sistema óptico son: se requiere un fuente puntual o lineal
para una buena visibilidad de las franjas y éstas deben ser vistas con alta amplificación
óptica.
2.3.2. Interferómetros de división de amplitud
Interferómetro de Michelson (Twymman-Green). Inicialmente propuesto por Al-
bert Michelson era iluminado con lámpara de gas y fue empelado para medir unidades de
longitud, principalmente. Cuando se utiliza una fuente coliminada, entonces se habla de un
interferómetro en configuración Twymman-Green como se muestra en la Figura 2.5 [30].
En la cual se observa el interferómetro dispuesto para medir la topografía de un espejo
(M2 en la imagen). La fuente colimada corresponde a expandir y colimar el haz del láser.
El elemento D1 divide el haz por su amplitud; una porción del mismo es dirigido hacia el
espejo de referencia M1 y el resto hacia el espejo de prueba M2. Ambos haces son reflejados
por sus respectivos espejos con dirección hacia el divisor de haz para después dirigirse hacia
la dirección de la lente L1 donde ocurre la interferencia (D1 → L1). La lente L1 cumple

i
i
i
i
i
i
i
i
2.3. Interferometría óptica 13
Figura 2.5: Interferómetro de Twymman-Green para medir la topografía de un espejo M2.
la función de expandir el resultado de dicha superposición. Si se supone que las distancias
de los brazos del interferómetro son equivalentes dD1→M1 = dD1→M2 para M2 = M1, es
decir, si el espejo M2 tiene las mismas características que M1, entonces, la «longitud de
camino óptico» (LCO) es igual para los dos haces y la interferencia es constructiva para
todo el frente de onda. Cuando los espejos M1 = M2 y ambos son perpendiculares y la
diferencia |dD1→M1 − dD1→M2 | es mínima, entonces, el patrón de franjas son del tipo de
disco de Newton. Por lo tanto la «diferencia de camino óptico» (DCO) está dado por
DCO =
∑
m
ndM1 −
∑
p
ndM2 ,
donde se considera además el número de ocasiones que el haz atraviesa el divisor de haz.
En el caso mostrado en la Figura 2.5, el frente de onda experimenta una deformación en
función de la topografía del espejo bajo prueba M2 y, por lo tanto, la diferencia de DCO
está en función de ésta superficie.
Interferómetro de Mach-Zehnder. A finales del siglo XIX, los físicos Ludwig Mach
y Ludwig Zehnder propopusieron (en distintos trabajos) el interferómetro que lleva sus
nombres. En la Figura 2.6(a) se observa que un haz colimado incide sobre D1, una parte
es transmitida hacia M1 y el resto es reflejada hacia M2. Ambos espejos reflejan el haz que
incide sobre ellos hacia D2. En la dirección D2 →Plano de Observación se superponen el haz
que es reflejado por D1 y el haz que es reflejado por M1 y luego parcialmente transmitido
por D2. Dicha superposición de los haces coherentes produce un patrón de interferencia. En
virtud que la sepación de los dos haces puede ser tan amplia como se deseé, el interferómetro
de Mach-Zender es muy sensible a los cambios del índice de refracción por la longitud de
camino óptico debido al aspecto del patrón de interferencia [31]. El interferómetro de Mach-
Zander es matemáticamente equivalente al de Michelson. El principal inconveniente con
este instrumento es la distancia de separación de los dos haces, además la alineación del
mismo es difícil.
Interferómetro de Sagnac. La característica principal de éste interferómetro es que
existen dos caminos ópticos que son recorridos al mismo tiempo por dos haces de luz en

i
i
i
i
i
i
i
i
(a) (b)
Figura 2.6: Interferómetros de división de amplitud: (a) de Mach-Zehnder y (b) de Sagnac.
dirección opuesta. Como se muestra en la Figura 2.6(b), el haz parcialmente transmitido
por D1 realiza el recorrido, D1 → M3 → M2 → M1 → D1, así la porción de haz que
se transmite a través de D1 se hace interferir con el haz que ha realizado la dirección
opuesta. Debido a que los haces están superpuestos el interferómetro no es empleado en
usos convencionales, sin embargo, es comúnmente utilizado como sensor de rotación [32].
Considerando que la longitud de camino óptico para cada haz es L1 y L2 y que τ = LG/c es
el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia geométrica del interferómetro, entonces,
la diferencia de camino óptico está dado por,
∆L = L1 − L2 = (LG + ωL1τ) − (LG − ωL2τ),
donde ω es la velocidad angular de la luz, por lo tanto la diferencia de fase está determinada
por
δ = 2π∆L/λ.
Cuando la diferencia de camino óptico aumente la diferencia de fase aumentará.
2.4. Proyección de franjas
El método propuesto inicialmente por Rowe y Welford consiste en proyectar sobre un
objeto patrones de intensidad en forma de franjas, capturar las proyecciones sobre el objeto,
finalmente, analizar las capturas para determinar las mediciones correspondientes, como
por ejemplo la superficie tridimensional de un objeto [3]. Con los avances tecnológicos,
surge la proyección digital de franjas (DFP, por sus siglas en inglés) en la cual los patrones
son generados digitalmente. La principal ventaja de la DFP es la sencillez del arreglo
experimental que consta de un proyector comercial, una cámara CCD y una computadora
para el análisis. Las técnicas de DFP se pueden dividir por el número de capturas: de
una captura y de múltiples. Las de una captura permiten medir objetos en movimiento
(rapidez). Mientras que las de múltiples capturas permiten obtener una mayor resolución.

i
i
i
i
i
i
i
i
2.4. Proyección de franjas 15
Figura 2.7: Configuración de un sistema de proyección de franjas.
En las técnicas que requieren múltiples capturas se pueden emplear algoritmos de in-
terferometría de corrimiento de fase para la demodulación de la misma. En este sentido,
se utilizan patrones de tipo sinusoidales, triangulares o trapezoidales que son proyectados
en forma secuencial y son capturados con la CCD (acrónimo de charged-coupled device),
donde no es estrictamente necesario que la cámara y el proyector estén sincronizados. Las
deformaciones que sufren los patrones, debido a la topografía del objeto, contiene la infor-
mación suficiente para recuperar los datos de la medición. Normalmente, las dimensiones
de profundidad se determinan por algún método de triangulación.
El método de proyección de franjas presenta inconvenientes relacionados con el proyec-
tor y con la cámara. Cuando los patrones son generados en escala de grises o monocromáti-
cos, la no–linealidad de la cámara es despreciable en comparación con la del proyector [33].
Así la respuesta del sistema de proyección queda representada como
IC
(x, y) = [I(x, y)]γ
, (2.5)
donde I(x, y) es la intensidad proyectada, IC(x, y) es la capturada y γ es el valor «gamma»
del proyector, usualmente mayor a 1. En la Eq. (2.5) se muestra que los patrones capturados
tienen armónicos de la misma señal; observar que [I(x, y)]γ
es un polinomio de grado γ el
cual puede ser representado como una combinación lineal de polinomios con base I(x, y).
Por otro lado, cuando se proyectan patrones en RGB (un patrón del color de cada canal)
surge el «crosstalk» (o diafonía cromática) que aparece como una respuesta no–lineal para
cada canal así como el fenómeno de «aliasing» entre los canales adyacentes, esto es
IC
r (x, y) = Ir(x, y) + αgrIg(x, y),
IC
g (x, y) = Ig(x, y) + αrgIr(x, y) + αbgIb(x, y), (2.6)
IC
b (x, y) = Ib(x, y) + αgbIg(x, y),
donde IC
r , IC
g , IC
b son los patrones capturados e Ir, Ig, Ib son los proyectados, respectiva-
mente en cada canal. Los coeficientes αgr, αbg, αgb son las contribuciones del patrón del
canal verde en el canal rojo, el canal azul al verde y el canal verde al canal azul [34].
De las Eqs. (2.6) se puede inferir que los valores máximos de amplitud de los patrones
capturados no son iguales entre ellos; lo cual sucede en la experimentación y entonces

i
i
i
i
i
i
i
i
αgr ̸= αbg ̸= αgb. Además, los valores de fase nominal son afectados por un valor ∆δ, este
problema se describe en los textos [33–35].
En la Figura 2.7 se muestra una configuración típica para el método de proyección de
franjas, donde el eje óptico del proyector y de la CCD se encuentran en el mismo plano y
es paralelo al plano de referencia el cual está situado a una distancia d de las pupilas del
proyector y de la CCD. Los rayos principales del proyector y de la CCD tienen un ángulo
θ que es la sensibilidad del cambio de fase. El objeto bajo prueba es colocado en el plano
de referencia hacia la CCD. Con estas consideraciones y basados en el diagrama (Figura
2.7) la altura del objeto es determinada como,
∆z(x, y) =
Tph
2πd
∆ϕ, (2.7)
donde Tp es el periodo de los patrones capturados y ∆ϕ = ϕa − ϕb es la diferencia de fase
en cada punto, tal que ϕa es el valor de fase en un punto a de la superficie del objeto y ϕb
es el valor de fase en el plano de referencia. Un proceso de calibración es requerido para
determinar los valores necesarios de la Eq. (2.7), como por ejemplo el propuesto por Jia et
al. [36] donde se emplean varios planos de referencia con lo cual se mejora considerablemente
la resolución.
En el presente trabajo de tesis se emplea el método de proyección de franjas con una
configuración experimental como la mostrada en la Figura 2.7. En el próximo capítulo se
describen algoritmos para el análisis de franjas; desmodulación y desenvolvimiento de fase.

i
i
i
i
i
i
i
i
Cap´ıtulo 3
Análisis de franjas
En este capítulo se describe el procedimiento para extracción del mapa de distribución
de fase de los patrones de franjas capturados. A partir de dicho mapa, se determina la
diferencia de camino óptico cuya interpretación es la información correspondiente a la
medición, es decir convertir los radianes a las unidades de la magnitud física medida.
Antes de abordar los esquemas para la extracción de fase se describen los conceptos
necesarios. Considere en una dimensión la Eq. (2.2) que describe la intensidad de un in-
terferograma con respecto de tres variables: la luminosidad de fondo A(x), la modulación
de la intensidad de las franjas B(x) y la diferencia de fase ϕ(x), como se muestra en la
Figura 3.1. De hecho, la información requerida está contenida en la diferencia de fase, por
lo tanto, es deseable determinar dichos valores a partir del modelo mencionado.
Diversas técnicas se han desarrollado para extraer la diferencia de fase ϕ(x, y) de la Eq.
(2.2), se destacan aquellas basadas en la transformada de Fourier que consisten en extraer
el espectro correspondiente a la diferencia de fase. Por otra parte, las técnicas basadas
en el planteamiento de un sistema de ecuaciones que dan origen a la interferometría por
corrimiento de fase [5,10].
En la siguiente sección se describe el procedimiento para la extracción de fase mediante
la transformada de Fourier. En la sección dos se tratan algunos algoritmos de interferome-
Figura 3.1: Esquema de la variación de intensidad con diferencia de fase.
17

i
i
i
i
i
i
i
i
18 Capítulo 3. Análisis de franjas
Figura 3.2: Espectro de Fourier para un patrón de franjas.
tría de corrimiento de fase. En la sección tres se aborda el problema de desenvolvimiento
de fase.
3.1. Método por transformada de Fourier
El método introducido por Takeda et al. [37] basado en la transformada de Fourier,
consiste en extraer el espectro correspondiente a ϕ(x, y). La idea fundamental del método
es la de introducir un frecuencia portadora f0, entonces la Eq. (2.2) queda representada
como,
I(x, y) = a(x, y) + b(x, y) cos [ϕ(x, y) + 2πf0x] , (3.1)
donde la frecuencia de la portadora está en la dirección x. Haciendo c(x, y) = 1/2b(x, y)eiϕ(x,y)
podemos representar la Eq. (3.1) en su forma compleja,
I(x, y) = a(x, y) + c(x, y)ei2πf0x
+ c∗
(x, y)e−2πf0x
, (3.2)
donde el superíndice de c(x, y) indica el complejo conjugado. La transformada de Fourier
del interferograma con respecto de x, está dada por
Fx {I(x, y)} = A (fx, y) + C (fx − f0, y) + C∗
(fx + f0, y) , (3.3)
donde F{·} es el operador asociado a la transformada de Fourier y las letras mayúsculas
indican la pertenencia al dominio de las frecuencias.
En la Figura 3.2 se muestra el espectro de un interferograma donde C(fx − f0, y) es el
intervalo de frecuencia que se desea recuperar como sigue,
C (fx − f0, y) = Fx {I(x, y)} · H (fx − f0, y) , (3.4)
donde H (fx − f0, y) es un filtro que permite extraer el intervalo espectral deseado, ver
Figura 3.2. Posteriormente se traslada C (fx − f0, y) tal que quede centrado en el origen
fx = 0. Finalmente, la diferencia de fase queda determinada por,
ϕW(x, y) = arctan
Im{c(x, y)}
Re{c(x, y)}
, (3.5)
donde Re{·} y Im{·} representan las partes real e imaginaria de c(x, y), respectivamente. El
sub-índice de ϕ(x, y) indica que los valores de la diferencia de fase se encuentran envueltos

i
i
i
i
i
i
i
i
3.2. Interferometría de corrimiento de fase 19
Figura 3.3: Respuesta de un dispositivo desplazador tipo PZT (línea sólida) versus res-
puesta ideal (línea punteada).
con rango (−π, π].1 Por lo tanto, a la función de fase estimada se le aplica un operador
de desenvolvimiento W−1 tal que se eliminan las discontinuidades que normalmente se
presentan, es decir ϕ(x, y) = W−1{ϕW(x, y)} donde ϕ(x, y) es continua. Posteriormente,
la diferencia de camino óptico es calculado mediante la Eq. (2.3). El problema de desen-
volvimiento de fase se aborda posteriormente.
La principal fuente de error del método por transformada de Fourier es la pérdida
de energía que ocurre durante la etapa de filtrado. Ventanas de Hamming y de Han son
utilizadas para compensar dicha pérdida.
3.2. Interferometría de corrimiento de fase
La técnica conocida como interferometría de corrimiento de fase (PSI, por sus siglas
en inglés) está basada en la idea de plantear un sistema de ecuaciones, el cual permita
determinar la diferencia de fase. Como se observa en la Eq. (2.2) se tienen tres incógnitas
(A, B, ϕ), entonces se requiere de al menos tres ecuaciones tal que el sistema formado por
ellas sea consistente. De hecho, el sistema es consistente si se aplica un corrimiento de
fase de referencia δ ∈ [0, 2π) a cada ecuación. Por lo tanto, cada interferograma estará
representado por,
I(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + δ] , (3.6)
donde δ = cte, es conocido como «el término de corrimiento de fase».
Diversas técnicas se han desarrollado que permiten agregar el término de corrimiento
de fase: aplicando un cambio en la frecuencia, y modificando la diferencia de la longitud
de camino óptico. En el último caso, destaca el dezplazamiento constante del frente de
onda, o bien, el corrimiento como función de un ángulo producido por la inclinación de un
espejo [5]. En el interferómetro Twymman-Green (Figura 2.5), los corrimientos de fase son
introducidos mediante el desplazamiento del espejo M1 a lo largo del eje óptico. Para ello
se utiliza un dispositivo piezo-eléctrico tipo PZT. En la Figura 3.3 se muestra la respuesta
1
En la Eq. (3.5), la función arctan es el arco tangente de cuatro cuadrantes, en el presente trabajo
utilizamos indistintamente arctan o tan−1
para referirnos a la misma función.

i
i
i
i
i
i
i
i
de un dispositivo PZT donde se observa una relación no-lineal entre el voltaje aplicado
y el desplazamiento experimentado. Para contravenir este problema se han desarrollado
métodos de calibración teniendo por resultado una incertidumbre de 10 grados [6]. Pero
dado que dicho error de no-linealidad está influenciado por el material del piezo-eléctrico, la
histéresis y la temperatura de ambiente, entonces, la respuesta del dispositivo contendrá un
grado de no-linealidad después de la calibración y este error puede modelarse como ruido
aleatorio. Por lo tanto, la calibración del dispositivo no es suficiente cuando se requiere
alta exactitud en los corrimientos, es decir los corrimientos introducidos experimentarán
una variación absoluta de tipo aleatoria. En el presente trabajo de tesis se consideran
interferogramas cuyos corrimientos presentan el ruido descrito anteriormente.
A continuación realizamos una breve descripción de algunos algoritmos de corrimiento
de fase, cuya formulación se consideró que los corrimientos de fase están homogéneamente
espaciados. Con base en la Eq. (3.6), el sistema de ecuaciones construidos con los interfe-
rogramas capturados está dado por,
I1(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + δ1] ,
I2(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + δ2] ,
...
IM (x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + δM ] . (3.7)
Algunos métodos consisten en realizar ciertas disposiciones geométricas para simplificar la
extracción de fase mediante operaciones sencillas, por ejemplo, los «algoritmos de tres» y
«cuatro pasos».
El «algoritmo de tres pasos» requiere del número mínimo de interferogramas para
determinar el mapa de fase del frente de onda. El procedimiento consiste en utilizar los
corrimientos δ = {−α, 0, α} con α como el valor absoluto de corrimiento de fase. Así, el
sistema de ecuaciones queda representado como,
I1(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) − α] ,
I2(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y)] ,
I3(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + α] , (3.8)
cuya solución para algún α es,
ϕW(x, y) = tan−1
{[
g(α)
sen α
]
I1(x, y) − I3(x, y)
2I2(x, y) − f(x, y)
}
, (3.9)
A(x, y) =
f(x, y) − 2I2(x, y) cos α
2g(α)
,
B(x, y) =
{
{g(α) [I1(x, y) − I3(x, y)]}2
+ {sen α [2I2(x, y) − f(x, y)]}2
}1
2
2g(α) sen α
,
γ(x, y) =
{
{g(α) [I1(x, y) − I3(x, y)]}2
+ {sen α [2I2(x, y) − f(x, y)]}2
}1
2
[f(x, y) − 2I2(x, y) cos α] sen α
,

i
i
i
i
i
i
i
i
(a) (b) (c) (d)
Figura 3.4: Ejemplo de interferogramas sintéticos corridos en fase: (a) δ1 = 0, (b) δ2 = π/2,
(c) δ3 = π y (d) δ4 = 3π/2.
donde f(x, y) = I1(x, y)+I3(x, y) y, g(α) = 1−cos α. La función γ(x, y) es la visibilidad de
las franjas, la cual indica la razón entre la intensidad de fondo y la moduladora. Esta infor-
mación permite elegir los puntos (x, y) donde la modulación es buena para que la relación
señal a ruido sea adeacuada. De hecho, el umbral para los datos modulados normalmente
se encuentra en el rango de 5-10 % [5].
Una variación interesante del «algoritmo de tres pasos» es cuando δ = {π/4, 3π/4, 5π/4}
que simplifica los cálculos. En general, el método en cuestión es simple de utilizar y requiere
el mínimo de datos. Sin embargo, este algoritmo es el más sensible a los errores como se
describirá más adelante.
El «algoritmo de cuatro pasos» es un procedimiento simple que permite comprender
la idea fundamental para la extracción de la fase a partir de los patrones de intensidad.
El procedimiento requiere de cuatro interferogramas corridos en fase, en particular, se
introduce un corrimiento de fase de π/2 como referencia, esto es
δi = 0, π/2, π, 3π/2; i = 1, 2, 3, 4.
Sustituyendo dichos valores en Eq. (3.7), se obtiene el sistema,
I1(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y)] ,
I2(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + π/2] ,
I3(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + π] ,
I4(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos [ϕ(x, y) + 3π/2] , (3.10)
por la identidad trigonométrica cos(π/2 − θ) = sen θ, el sistema anterior queda descrito
como,
I1(x, y) = A(x, y) + B(x, y) cos ϕ(x, y),
I2(x, y) = A(x, y) − B(x, y) sen ϕ(x, y),
I3(x, y) = A(x, y) − B(x, y) cos ϕ(x, y),
I4(x, y) = A(x, y) + B(x, y) sen ϕ(x, y). (3.11)

i
i
i
i
i
i
i
i
(a) (b)
Figura 3.5: Fase recuperada mediante el algoritmo de cuatro pasos: (a) mapa de distribución
de fase envuelta y (b) perfil de la fase estimada.
Las incógnitas son determinadas como,
ϕW(x, y) = tan−1
{
I4(x, y) − I2(x, y)
I1(x, y) − I3(x, y)
}
, (3.12)
A(x, y) = I1(x, y) + I2(x, y) + I3(x, y) + I4(x, y),
B(x, y) = 2
{
[I4(x, y) − I2(x, y)]2
+ [I1(x, y) − I3(x, y)]2
}1
2
,
γ(x, y) =
B(x, y)
A(x, y)
.
La Eq. (3.12) permite estimar la fase mediante el «algoritmo de cuatro pasos», cabe
señalar que, esta función se evalúa en cada píxel del patrón de intensidad. Como ejemplo
se consideran los patrones de interferencia sintéticos que se muestran en la Figura 3.4,
al aplicar la Eq. (3.12) se obtiene la fase envuelta ϕW la cual se muestra en la Figura
3.5. En dicho gráfico se puede observar las discontinuidades generadas por la función arco
tangente y, por tanto debe ser desenvuelta para así obtener la fase continua. Por otro lado,
cuando los patrones de franjas provienen de un interferómetro, la fase desenvuelta permite
determinar la diferencia de camino óptico mediante la ecuación,
DCO(x, y) =
λϕ(x, y)
2π
, (3.13)
donde λ = 632.8 nm para un láser He-Ne. Dicho procedimiento será abordado más adelante.
En la práctica, los algoritmos descritos anteriormente son susceptibles a los errores pre-
sentes durante la captura de los datos, por ejemplo vibraciones, cambios de temperatura,
error de corrimiento de fase, etc. Distintos métodos se han desarrollado para contrarrestar
los efectos de dichas fuentes de error. En el resto de la sección se describen algunos algo-
ritmos que contravienen los errores antes mencionados con especial énfasis en el error de
corrimiento de fase.
3.2.1. Algoritmo de Carré
El trabajo realizado por Carré [38] es una variación del método de cuatro pasos, en
el cual se asume que los corrimientos son espaciados homogéneamente a una distancia

i
i
i
i
i
i
i
i
absoluta de 2α. Los valores δi están expresados como,
δ = {−3α, −α, α, 3α} .
Mediante manipulaciones matemáticas del sistema de ecuaciones formado por los patrones
de intensidades Eq. (3.7), se determina la solución para ϕ(x, y) como sigue,
¯ϕ(x, y) = tan−1
{
tan[α(x, y)]
[I1(x, y) − I4(x, y)] + [I2(x, y) − I3(x, y)]
[I2(x, y) + I3(x, y)] − (I1(x, y) + I4(x, y)
}
, (3.14)
donde α(x, y) es determinada como,
α(x, y) = tan−1
{
3[I2(x, y) − I3(x, y)] − [I1(x, y) − I4(x, y)]
[I1(x, y) − I4(x, y)] + [I2(x, y) − I3(x, y)]
}1
2
. (3.15)
Sustituyendo tan[α(x, y)] en la Eq. (3.14) se obtiene,
¯ϕ(x, y) = tan−1
{
{[3(I2 − I3) − (I1 − I4)][(I1 − I4) + (I2 − I3)]}
1
2
(I2 + I3) − (I1 + I4)
}
, (3.16)
donde el numerador es el | sen[ϕ(x, y)]|, entonces ¯ϕ(x, y) ∈ (0, π). En este sentido se debe
realizar una «corrección de fase» en la Eq. (3.16) para que ϕ(x, y) esté en módulo 2π. Para
dicho procedimiento se emplean las proporciones,
sen[ϕ(x, y)] ∝ I2(x, y) − I3(x, y),
cos[ϕ(x, y)] ∝ I2(x, y) + I3(x, y) − I1(x, y) − I4(x, y).
Con ello se determina el signo del numerador en la Eq. (3.16) para cada punto (x, y) [5].
El algoritmo de Carré es robusto a errores de corrimiento de fase siempre y cuando estén
uniformemente espaciados.
3.2.2. Algoritmo de Hariharan
El método de cinco pasos propuesto por Hariharan et al. [39] requiere que los patrones
de intensidad adquiridos estén corridos en fase por α, tal que,
δ = {−2α, −α, 0, α, 2α} .
En forma análoga a los procedimientos anteriores, se determina la siguiente solución para
el mapa de fase,
tan ϕW(x, y) =
sen α sen ϕ(x, y)
(1 − cos 2α) cos ϕ(x, y)
=
2[I2(x, y) − I4(x, y)]
2I3(x, y) − I5(x, y) − I1(x, y)
, (3.17)
con α = π/2. Con base en la Eq. (3.17), cuando la diferencia de los corrimientos presenta
una pequeña desviación ϵ (15◦, por mencionar), la diferencia entre la fase «verdadera»
ϕ(x, y) y la calculada ˜ϕ(x, y) es aproximada como,
∆ϕ(x, y) = ˜ϕ(x, y) − ϕ(x, y) =
ϵ2 sen 2ϕ(x, y)
4
. (3.18)
Así el desarrollo (3.18) permite reducir el error nominal hasta en dos ordenes de magnitud
[5, 39]. Este algoritmo se desarrolló con la suposición que ϵ es constante para todas las
intensidades capturadas.

i
i
i
i
i
i
i
i
Figura 3.6: Espectro de frecuencias radiales de un patrón de franjas con corrimiento de
fase α = ω0.
3.2.3. Algoritmo de 2+1
El método propuesto por Angel y Wizinowich [40,41] aborda el problema de compensar
los errores introducidos por la turbulencia del ambiente. El algoritmo consiste en capturar
dos interferogramas desfasados 90◦ al mismo tiempo. El tercero es el promedio de los dos
patrones con un corrimiento de 180◦, entonces los corrimientos son,
δ = {0, −π/2, 0 y π} .
El mapa de diferencia de fase queda determinado como
ϕW(x, y) = tan−1 I2(x, y) − I3(x, y)
I1(x, y) − I3(x, y)
. (3.19)
En la ecuación anterior se puede observar que el tercer patrón reduce los picos producto
de las vibraciones, por lo tanto, si existe una desviación en los corrimientos de fase δi el error
crecerá sin control. Como mencionan Schreiber y Bruning [5], el principal inconveniente
para implementar éste algoritmo está relacionado con el sistema óptico, una descripción
de la implementación del sistema óptico puede ser encontrada en la referencia [41].
3.2.4. Algoritmo generalizado de mínimos cuadrados
La formulación moderna de algoritmos para interferometría de corrimiento de fase
consiste en interpretar el método como un filtro que al ser aplicado a un conjunto de
patrones {Ik(x, y)}M
k=1 permite estimar la función de fase buscada.
Por consistencia con los textos que emplean la formulación moderna representamos el
valor absoluto del corrimiento de fase mediante ω0, con lo cual ω0 = α. La transformada de
Fourier de un patrón de franjas sinusoidal corrido en fase, ver Eq. (3.6), está determinada
por,
I(ω) = aδ(ω) +
b
2
eiϕ
δ(ω − ω0) +
b
2
e−iϕ
δ(ω + ω0), (3.20)
donde δ(ω) es la «delta de Dirac». El primer término de la ecuación corresponde al término
de DC, el segundo y tercero a la frecuencia fundamental. En la Figura 3.6 se muestra el
gráfico de la Eq. (3.20), donde el objetivo es conservar el término (b/2)eiϕδ(ω − ω0). Sea
h(t) un filtro lineal que cumple con el criterio de cuadratura, cuando se aplica el filtro al
conjunto de interferogramas se obtine,
I(t) ∗ h(t) =
M−1∑
m=0
cnI(t − m),

i
i
i
i
i
i
i
i
(a) (b)
Figura 3.7: Representación esquemática del error de detuning: (a) FTF de un algoritmo de
tres pasos con datos desintonizados y, (b) diagrama fasorial.
donde cn son los coeficientes del filtro y,
h(t) =
M−1∑
m=0
cnδ(t − m),
en forma equivalente en el espacio de Fourier se obtiene,
I(ω)H(ω)eiϕ
δ(ω − ω0).
Si bien el soporte de I(t) ∗ h(t) es t = 2M − 1, únicamente se utiliza el resultado hasta
t = M − 1 para estimar la señal analítica, es decir,
b
2
H(ω)eiϕ
= I(t) ∗ h(t)|t=M−1. (3.21)
La expresión anterior es la ecuación general para un PSA lineal [10], el término de la
izquierda es conocido como la señal analítica. Finalmente, la función de fase buscada queda
determinada por,
ϕ(x, y)W = Arg
[
b
2
H(ω)eiϕ
]
= Arg [I(t) ∗ h(t)|t=M−1]
= Arg [c0IM−1 + c1IM−2 + · · · + cM−1I0] , (3.22)
donde Arg(·) es el argumento del número complejo.
Con base en la formulación anterior, el método propuesto por Surrel [42] puede expre-
sarse con respecto a su función de transferencia en frecuencia (FTF) como sigue,
H(ω) =
M−2∏
m=0
[
1 − ei(ω+mω0)
]
. (3.23)

i
i
i
i
i
i
i
i
donde M ≥ 3 para que el sistema sea bien planteado (en el sentido de Hadamard) [43], y
los corrimientos se determinan como ω0 = 2π/M o en su caso como múltiplos de 2π por
la periodicidad de la transformada discreta de Fourier. Con base en la Eq. (3.23), la FTF
del método de cuatro pasos, ver Eq. (3.10), queda determinada como,
H(ω) =
(
1 − eiω
) (
1 − ei(ω+π/2)
) (
1 − ei(ω+π)
)
, (3.24)
donde se observa que el filtro elimina las frecuencias radiales 0, −π/2, π y la componente
π/2 es conservada.
Ahora bien, si los patrones de franjas presentan error en el corrimiento de fase (∆α),
entonces la FTF del algoritmo no estará sintonizada y ocasiona un «error de detuning».
En la Figura 3.7(a) se muestra la FTF del método de cuatro pasos de la Eq (3.24). Como
se observa, la señal se encuentra desintonizada por lo cual la componente negativa no es
completamente eliminada, y por lo tanto existe una contribución de energía a la señal
filtrada, es decir
I(ω)H(ω) =
b
2
H(ω0 + ∆α)eiϕ
ei(ω0+∆α)
+
b
2
H(−ω0 − ∆α)e−iϕ
e−i(ω0+∆α)
, (3.25)
y la señal analítica queda determinada como,
Aei˜ϕ
= |H(ω0 + ∆α)| eiϕ
+ |H(−ω − ∆α)| e−iϕ
, (3.26)
como se observa en la Figura 3.7(b). Finalmente, la fase estimada por «error de detuning»
puede ser expresada en términos trigonométricos como [10],
tan ˜ϕ =
|H(ω0 + ∆α)| − |H(−ω0 − ∆α)|
|H(ω0 + ∆α)| + |H(−ω0 − ∆α)|
tan ϕ. (3.27)
En la Eq. (3.26) se puede observar la necesidad de reducir la magnitud |H(−ω − ∆α)| e−iϕ
para incrementar la exactitud de la estimación cuando el «error de detuning» esté presente.
En adelante llamaremos error lineal de corrimiento de fase al caso de «error de detuning» de
la Eq. (3.27), es decir, cuando todos lo patrones de franjas presenten un error de corrimiento
∆α.
En la presente sección se describieron algunos algoritmos de la literatura para la ex-
tracción de fase, dichos métodos son exactos en la medida que los corrimientos son exactos.
Sin embargo, en la práctica la exactitud no está garantizada, por ejemplo cuando se utili-
za un actuador piezo-eléctrico, la calibración inadecuada, la histéresis, no-linealidad, etc.,
repercuten en un error en la fase nominal del desplazamiento deseado. En la Figura 3.8
se muestra la sensibilidad de los algoritmos al error lineal en los corrimientos de fase, es
decir, cuando los valores ˜α presentan una desviación (-20 % a 20 %) con respecto al valor
óptimo del algoritmo, el eje-y representa ϕ − ˜ϕ con ˜ϕ el valor calculado. En la gráfica se
muestra que los métodos de tres y cuatro pasos presentan un crecimiento lineal respecto a
un ∆α. Por otra parte, los algoritmos de Hariharan y de Carré son robusto a dicho error.
Sin embargo, cuando los corrimientos δi no está uniformemente espaciados ninguno de
los métodos descritos tiene la capacidad para mantener acotado el error, por lo tanto, es
deseable desarrollar algoritmos con dichas capacidades.

i
i
i
i
i
i
i
i
3.3. Desenvolvimiento de fase 27
Figura 3.8: Algoritmos de PSI: sensibilidad al error lineal en el corrimiento de fase α.
3.3. Desenvolvimiento de fase
El procedimiento para el desenvolvimiento de fase consiste en recuperar los valores
originales de fase a partir de los valores principales (fase envuelta), es decir, se obtiene un
mapa de fase continua a partir de uno discontinuo. Formalmente el problema puede ser
planteado como,
ϕW = W{ϕ} = ϕ − 2πRound
(
ϕ
2π
)
, (3.28)
donde la función Round(x) redondea su argumento al entero más cercano para algún x ∈ R
y W es el operador de envolvimiento definido como,
W{θ}
def
= arctan
(
sen θ
cos θ
)
(3.29)
tal que W{θ} ∈ (−π, π] y arctan(·) es el arco tangente de cuatro cuadrantes. En la Eq.
(3.29) se observa que W es sobreyectivo pero no inyectivo. Por lo tanto, el desenvolvimiento
de fase es un problema matemáticamente mal planteado. Sin embargo, el valor ϕ(x, y) es
dependiente espacial y/o temporalmente, entonces, el contexto proporciona la información
necesaria para poder realizar el desenvolvimiento.
El método propuesto por Itoh [44] consiste en desenvolver la fase progresivamente.
Rescribiendo la Eq. (3.28) como sigue,
ϕ = ϕW ± 2πk(x), (3.30)
tomando la derivada discreta (D{·}) de la ecuación anterior,
D{ϕ(x)} = D{ϕW(x)} ± D{2πk(x)}
ϕ(x) − ϕ(x − 1) = ϕW(x) − ϕW(x − 1) ± 2π [k(x) − k(x − 1)] , (3.31)
donde [k(x) − k(x − 1)] ∈ Z por propiedades del campo. Aplicando el operador de envol-
vimiento,
W{D{ϕ(x)}} = W{D{ϕW} ± D{2πk(x)}} = W{D{ϕW(x)}}. (3.32)

i
i
i
i
i
i
i
i
La expresión anterior es un resultado muy importante; indica que la derivada de la fase
envuelta es equivalente a la derivada de la fase desenvuelta. Finalmente, la función de fase
desenvuelta es determinada como,
ϕ = ϕW(0) +
x−1∑
n=0
W{D{ϕ(n)}}, (3.33)
y generalizando a N-dimensiones,
ϕ(r) = ϕW(r0) +
∫
R
W{∇ϕ(r)}dr, (3.34)
donde r es el vector de posición espacial, r0 es el punto inicial y R es la ruta de integración.
Es conocido que el método de Itoh es sensible al ruido como consecuencia de la respuesta
frecuencial del operador de derivada, lo cual restringe aplicación a datos experimentales.
Sin embargo, establece el fundamento para métodos prácticos.
En la literatura se han reportado una gran cantidad de trabajos para resolver el pro-
blema de desenvolvimiento de fase en 2-D. Los métodos propuesto pueden ser organizados
en tres categorías principales:
1. Algoritmos brach-cuts. Estos métodos propuestos inicialmente por Goldstein et
al. [45] consisten en identificar los residuos y conectarlos mediante «brach-cuts». En
concreto, estos algoritmos asumen que las discontinuidades de fase se encuentran
en los caminos entre lo positivo y los residuos negativos, conocido como «brach-
cuts». Éstos últimos conectan las cargas positivas y negativas, los cuales sirven como
un muro para la integración. Si se selecciona una ruta de integración la cual evite
dichas discontinuidades, entonces, se determina una función de fase desenvuelta auto-
consistente única. El objetivo es reducir al mínimo la longitud total de los «brach-
cuts» dado que son los únicos lugares donde se permite una discontinuidad de fase.
2. Métodos de flujo de red. En ciencias de la computación, las teorías de flujo de red
son ampliamente estudiadas y su principal ventaja es que éstos algoritmos propor-
cionan medios para resolver las funciones objetivo, a diferencias de los algoritmos Lp.
Similar a los métodos «brach-cuts», se basan en el mismo supuesto para determinar
las discontinuidades de la fase [46,47]. Sin embargo, en los algoritmos de flujo de red
cuantifican explícitamente las discontinuidades píxel a píxel para después minimizar
las discontinuidades generales en el mapa de fase desenvuelta para lo cual se emplea
una función de fiabilidad. Los bordes con mayor fiabilidad se desenvuelven prime-
ro [48]. Los métodos como los propuestos en [49,50] emplean costos estadísticos que
permiten reducir al mínimo las discontinuidades.
3. Minimizar la norma Lp. Consiste en formular el desenvolvimiento de fase como
un problema de determinar el mínimo de una función bajo una norma específica.
El objetivo es determinar una función de fase cuyos gradientes, independientes en
trayectoria, los cuales sean lo más cercano posibles a los gradientes de la fase en-
vuelta (valores medidos). En particular, cuando se utiliza la norma L2 para medir
el error de ajuste, el enfoque variacional tiene una solución analítica expresada por

i
i
i
i
i
i
i
i
3.3. Desenvolvimiento de fase 29
(a) (b)
Figura 3.9: Función de fase desenvuelta y su interpretación como diferencia de camino
óptico: (a) mapa de distribución de fase y, (b) perfil del mapa de diferencia de camino
óptico en micrómetros.
la ecuación de Poisson con condiciones de frontera tipo Neumann. El método puede
ser implementado eficientemente utilizando la trasformada rápida de Fourier y la del
coseno discreto [51,52] o utilizando métodos multigrid [53]. Por otra parte, Ghilia y
Shipman [54] proponen un método generalizado para minimizar la función empleando
la norma Lp. El método es eficaz, pero es computacionalmente costoso.
Recientemente, Rivera et al. [55] propuso el desenvolvimiento de fase como la minimi-
zación de la función de costo,
U(ϕ, ω; ρ) =
1
2
∑
r∈L
∑
s∈Nr
{
ω2
rs
[
(ϕr − ϕs − ρrs)2
+ λ (ϕr − ϕs)2
]
+ µ (1 − ωrs)2
}
, (3.35)
donde Nr es el conjunto de píxeles vecinos al píxel r tal que para un s ∈ Nr que cumplen
|ϕr − ϕs| < π y ∥r − s∥2 = 0, ρrs = W {ϕW(r) − ϕW(s)} = ϕr − ϕs en una retícula L en
la cual está definido el mapa de diferencia de fase. Los términos λ, µ son parámetros del
algoritmo que suavizan el cálculo del residual y la sensibilidad para discontinuidades (de
fase) o detección de bordes, respectivamente. Los pesos ωrs ∈ [0, 1] están sujetos a,
(ϕr − ϕs − ρrs)2
+ λ (ϕr − ϕs)2
> µ.
Sea φr el residuo desenvuelto en r, tal que,
ϕ(k+1)
r = ϕ(k)
r + φr, (3.36)
donde el índice k denota la k-ésima iteración y con φr − φs = ˜ρrs = ρrs −
(
ϕ
(k)
r − ϕ
(k)
s
)
.
El residuo φr queda determinado a partir de,
{φ, ω} = argmin
φ,ω
U(φ, ω; ˜ρrs). (3.37)
El planteamiento anterior es un medio robusto para contravenir los residuos que sean ma-
yores a π, es decir ∃(r, s) : |ϕr −ϕs| > π, este problema es producto de las discontinuidades

i
i
i
i
i
i
i
i
en la fase envuelta y de ruido de la misma. Finalmente, el mapa de diferencia de fase desen-
vuelto ϕ es determinado iterativamente a partir de la Eq. (3.36). En el presente trabajo de
tesis se utiliza la implementación de la referencia [56].
En la sección anterior se ilustró un ejemplo para la extracción de fase donde se empleó
el algoritmo de cuatro pasos. En la Figura 3.9 se muestra la fase desenvuelta obtenida y el
perfil de la diferencia de camino óptico calculada mediante la Eq. (3.13). Se observa que
la DCO para el frente de onda responde a un ángulo α del plano perpendicular al eje de
propagación. Naturalmente, en la recuperación de la información de medición es necesario
reducir el rango de incertidumbre, en el siguiente capítulo se describe un algoritmo iterativo
que contraviene la no-homogeneidad de los corrimientos de fase.

i
i
i
i
i
i
i
i
Cap´ıtulo 4
PSI aleatorio
En el presente capítulo se aborda el problema de recuperación de fase cuando los interfe-
rogramas están corridos en fase aleatoriamente, para ello se emplea un algoritmo basado en
el método de los mínimos cuadrados. En la primera sección se introduce al método general
de los mínimos cuadrados lineales. En la segunda sección, se realiza el desarrollo matemá-
tico para extraer el mapa de fase envuelto. Además, se aborda el modelo computación de
esquema.
4.1. El problema de los mínimos cuadrados
En problemas relacionados con mediciones físicas, las observaciones son frecuentemente
representadas con un modelo no-lineal. En la práctica, se busca aproximar a dichos modelos
mediante funciones lineales, con el objetivo de simplificar tanto su resolución como su aná-
lisis. Generalmente, la linealización de modelo conduce a un planteamiento por mínimos
cuadrados lineales, especialmente cuando se desea reducir la influencia de los errores alea-
torios. La idea principal consiste en resolver un sistema de ecuaciones sobre-determinado
tal que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos; criterio del «mínimo error cua-
drático». En el resto de la sección se describe el método de los mínimos cuadrados sobre
un espacio de Hilbert real.
Considere el planteamiento por mínimos cuadrados del ajuste de una curva a un con-
junto de datos como sigue,
argmin
c∈Rn
∥y − Ac∥2
2 , (4.1)
donde ∥·∥2 es la norma euclidiana, A ∈ Rm×n y y, c ∈ Rm, son los datos y el vector de
coeficientes, respectivamente. Por lo tanto, se busca determinar un vector c tal que la suma
de los cuadrados sea mínima.
El espacio columna de A esta definido como,
R(A) = {z = Ac | c ∈ Rn
} , (4.2)
31

i
i
i
i
i
i
i
i
32 Capítulo 4. PSI aleatorio
Figura 4.1: Interpretación geométrica del problema de mínimos cuadrados.
y el espacio nulo de AT esta dado por,
N
(
AT
)
=
{
y ∈ Rm
| AT
y = 0
}
, (4.3)
donde N
(
AT
)
es el complemento ortogonal de R(A) en Rm. En la Figura 4.1 se muestra la
interpretación geométrica, el vector de residual r ∈ N
(
AT
)
, y y /∈ R(A). Por conveniencia
se reescribe r = y − Ac, entonces el cuadrado de la norma euclidiana de r está dada por,
∥r∥2
= ⟨r, r⟩ = rT
r = yT
y − 2cT
AT
y + cT
AT
Ac. (4.4)
La solución del problema de acuerdo a la Eq. (4.1) es determinar un c tal que ∥r∥2 sea
mínima. De cálculo es conocido que el mínimo para ∥r∥2
2 se localiza donde el gradiente es
cero (con respecto de c), es decir,
∇c ∥r∥2
= 2AT
Ac − 2AT
y = 0.
Por lo tanto,
AT
Ac = AT
y, (4.5)
donde AT y ∈ R
(
AT
)
= R
(
AT A
)
. Si la matriz AT A es no singular implica que la Eq.
(4.5) es una solución particular para el problema de mínimos cuadrados; dicha solución
es conocida como «el sistema de ecuaciones normales». La solución del sistema queda
determinada como,
c =
(
AT
A
)−1
AT
y, (4.6)
donde
(
AT A
)−1
AT es la pseudoinversa generalizada de Moore-Penrose de A [57], entonces
el vector de residual queda expresado de la siguiente manera,
r = y − A
(
AT
A
)−1
AT
y. (4.7)
El sistema de ecuaciones (4.5) tiene solución no trivial siempre que la matriz A sea de rango
completo, esto implica que AT A es una matriz cuadrada no singular simétrica y definida
positiva.
Demostración: A es de rango completo. Si A es de rango completo implica que AT A es no
singular. Suponemos que AT A es singular, entonces es de rango deficiente. Esto implica
que para x ̸= ⃗0 se cumple AT Ax = xT AT Ax = ⃗0, luego ∥Ax∥2
2 = 0. Por lo tanto, A nece-
sariamente debe ser singular y de rango deficiente. Ahora bien, como AT A es no singular
se satisface que xT AT Ax = ∥Ax∥2
2 > 0 y AT A debe ser definida positiva.

i
i
i
i
i
i
i
i
4.1. El problema de los mínimos cuadrados 33
Ahora analizaremos la solución de mínimos cuadrados desde el punto de vista geo-
métrico. Sea S = {c ∈ Rn | ∥y − Ac∥2 = mín} el conjunto de soluciones del problema de
mínimos cuadrados, se considera el caso cuando S ⊂ Rm es un subespacio. Sea el operador
de proyección ortogonal PS : Rm −→ S con PS ∈ Rm×m, entonces S es la imagen de PS,
es decir S = R(PS) y se cumplen,
P2
S = PS, PT
S = PS, (4.8)
considerando (I − PS) como el operador de proyección del subespacio complementario al
de S. Ahora bien, sea P1, P2 : Rm −→ S proyectores ortogonales y w ∈ Rm, por la Eq.
(4.8) se tiene,
∥(P1 − P2) w∥2
2 = wT
P1 (I − P2) w + wT
P2 (I − P1) w = 0, (4.9)
entonces, necesariamente P1 = P2 y el operador PS es único. A partir de la interpretación
geométrica, sea PR(A) el operador de proyección ortogonal de Rm sobre R(A), tal que,
Ac = PR(A)y, (4.10)
donde Ac⊥r, r =
(
I − PR(A)
)
y, luego y = Ac + r con Ac ∈ R(A) y r ∈ N(AT ). Por lo
tanto, Ac es la proyección ortogonal de y en R(A). Para A de rango completo, el operador
PR(A) queda definido como,
PR(A) = A
(
AT
A
)−1
AT
. (4.11)
Ahora bien, si A es de rango deficiente, entonces tiene un espacio nulo no trivial y la
solución de mínimos cuadrados no es única. Sin perder la generalidad, a continuación se
define el problema de los mínimos cuadrados.
Definición (Problema de los mínimos cuadrados). Determinar un x∗ tal que mini-
mice,
F(x)
def
=
1
2
∥F(x)∥2
2 =
1
2
m∑
i=1
[fi(x)]2
, (4.12)
donde fi son funciones tal que fi : Rn −→ R, i = 1, 2, . . . , m con m ≥ n.
En la definición anterior se considera que x∗ es un minimizador local para la función
objetivo F. En general, determinar el minimizador global x+ es difícil, por tanto, se busca
un x∗ tal que F(x∗) ≤ F(x) para ∥x − x∗∥2 < ϵ, con ϵ un umbral de error. Asumiendo que
la función F(x) es suave, entonces, un valor cercano F(x + h) está determinado por,
F(x + h) = F(x) + hT
F′
(x) +
1
2
hT
F′′
(x)h + O
(
∥h∥3
2
)
. (4.13)
Si no existe un valor F(x + h) menor que F(x∗) implica que x∗ es un minimizador local
(para lo cual se requiere que ∥h∥2 sea suficientemente pequeño). De hecho, si x∗ es un
minimizador implica que F′(x∗) ≡ 0. En este sentido, la solución del problema abordado
es determinar x∗.

i
i
i
i
i
i
i
i
En el área de análisis numérico se han desarrollado una gran cantidad de métodos
numéricos que permiten resolver numéricamente problemas modelados con mínimos cua-
drados. De hecho, el método numérico elegido dependerá principalmente de la dimensión
de los datos y la base de funciones. Para un mayor análisis y aplicaciones de los distintos
métodos se puede consultar los textos [57,58].
En la siguiente sección se plantea una solución por mínimos cuadrados para la extracción
de fase con corrimientos aleatorios.
4.2. Algoritmo Iterativo Avanzado
En la presente sección se describe el desarrollo matemático del algoritmo de extracción
del corrimiento de fase aleatorio propuesto por Wang y Han [23]. Considere que la distri-
bución de la intensidad de un patrón de interferencia capturado por una cámara se puede
expresar matemáticamente como,
Ii = Ai + Bi cos(ϕi + δ), (4.14)
donde Ai es la intensidad de fondo, Bi es la modulación de franjas, ϕi es la fase angular y δ
es un corrimiento de fase generalmente conocido, el subíndice i corresponde al indexado de
píxeles del interferograma tal que 1 ≤ i ≤ N, con N como el total de píxeles en la imagen.
A partir de la Eq. (4.14), un conjunto de interferogramas queda descrito como,
Ik
i = Ak
i + Bk
i cos(ϕi + δk), (4.15)
donde k es el índice de la imagen. En la Eq. (4.15) observamos que los patrones de franjas
tienen distintos corrimientos de fase δk ∈ [0, 2π), y el número total de imágenes está
determinado por M.
La solución del problema de la Eq. (4.15) es especialmente compleja por el número de
variables y la no-lineal de las mismas, como puede observarse en la siguiente función de
error,
Γ(ϕ, δ)
def
=
N∑
i=1
[
Ai + Bi cos (ϕi + δk) − ˜Ik
i
]2
, (4.16)
en el planteamiento anterior asumimos que la intensidad de fondo y la modulación no varia
entre los patrones capturados, es decir sólo están en función de la distribución espacial.
Para reducir la complejidad, la Eq. (4.16) se plantea como un método iterativo por pasos
tal que en cada iteración se optimice alternando las variables, es decir,
Mientras δ(n+1)
− δ(n)
> η
(1) ϕ(n+1)
← argmin Γ
(
ϕ; δ(n)
)
(4.17)
(2) δ(n+1)
← argmin Γ
(
δ; ϕ(n+1)
)
, (4.18)
donde n + 1 es la iteración actual. El algoritmo propuesto por Wang y Han [23] consiste
en abordar los problemas no-lineales de las Eqs. (4.17) y (4.18) mediante un enfoque de
linealización que no conlleva a un esquema iterativo lineal por mínimos cuadrados. Esto se
describe en el resto de la presente sección.

i
i
i
i
i
i
i
i
4.2. Algoritmo Iterativo Avanzado 35
4.2.1. Descripción matemática
Como primer paso abordamos la solución de la Eq. (4.17) la cual permite determinar
el mapa de distribución de fase. Posteriormente se resuelve la Eq. (4.18) con la cual se
determinan los corrimientos.
Determinar ϕi. Desde un punto de vista teórico, la intensidad de fondo (Ai) y la mo-
dulación de amplitud (Bi) en la Eq. (4.15) no necesariamente deben cambiar entre los
interferogramas. Por lo tanto, suponemos que Ai y Bi se mantienen constantes para todas
las imágenes, entonces,
ai = Ak
i , βi cos(ϕi + δk) = Bk
i cos(ϕi + δk). (4.19)
Sustituyendo la Eq. (4.19) en (4.15) y aplicando la identidad trigonométrica
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y se obtiene,
Ik
i = ai + βi (cos ϕi cos δk − sen ϕi sen δk) , (4.20)
definiendo bi = βi cos ϕi y ci = −βi sen ϕi, la Eq. (4.20) queda definida como un problema
lineal de la forma,
Ik
i = ai + bi cos δk + ci sen δk, (4.21)
donde ai, bi y ci son las incógnitas. Para estimar dichos parámetros {a, b, c}, plantearemos
el esquema de mínimos cuadrados en términos del error acumulado entre un valor teórico
Ii y el observado ˜Ii,
εi =
M∑
k=1
(
Ik
i − ˜Ik
i
)2
. (4.22)
El valor teórico se sustituye por el planteamiento de la Eq. (4.21), es decir,
εi =
M∑
k=1
[
ai + bi cos δk + ci sen δk − ˜Ik
i
]2
. (4.23)
La expresión anterior es la función de costo que se desea minimizar.
Es conocido que el valor óptimo de una función cuadrática está localizado donde la
deriva sea cero. Por lo tanto, el mínimo de la función εi está determinado por,
∂εi
∂ai
= 0,
∂εi
∂bi
= 0,
∂εi
∂ci
= 0. (4.24)
A continuación se realiza el desarrollo matemático para determinar el punto crítico
dado por la Eq. (4.24). Considerando la derivada parcial de εi con respecto de ai igual a
0, es decir,
∂εi
∂ai
=
∂
∂ai
{ M∑
k=1
[
i
]2
}
= 0.

i
i
i
i
i
i
i
i
Expandiendo el término de sumatoria anterior
∂εi
∂ai
=
∂
∂ai
{[
ai + bi cos δ1 + ci sen δ1 − ˜I1
i
]2
}
+
∂
∂ai
{[
ai + bi cos δ2 + ci sen δ2 − ˜I2
i
]2
}
...
+
∂
∂ai
{[
ai + bi cos δM + ci sen δM − ˜IM
i
]2
}
= 0,
donde el súper-índice 1, 2, . . . , M indica el índice del interferograma observado. Sea {fk}M
k=1
un conjunto de funciones tal que,
{fk}M
k=1 = ai + bi cos δk + ci sen δk,
sustituyendo fk para simplificar la ecuación diferencial tal que,
∂εi
∂ai
=
∂
∂ai
f2
1 +
∂
∂ai
f2
2 + · · · +
∂
∂ai
f2
M = 0.
Aplicando la «regla de la cadena» se determina la derivada como,
∂εi
∂ai
= 2f1 · f′
1 + 2f2 · f′
2 + · · · + 2fM · f′
M = 0,
donde ∂fk/∂ai = 1. Sustituyendo fk y expresando la ecuación anterior en términos de
sumatoria se obtiene,
∂εi
∂ai
= 2
M∑
k=1
[
i
]
= 0. (4.25)
En forma análoga se desarrolla la derivada con respecto bi [Eq. 4.24],
∂εi
∂bi
= 2f1 · f′
1 + 2f2 · f′
2 + · · · + 2fM · f′
M = 0,
con ∂fk/∂bi = cos δk, y expresando lo anterior en términos de una sumatoria se obtiene,
∂εi
∂bi
= 2
M∑
k=1
[
ai cos δk + bi cos2
δk + ci sen δk cos δk − ˜Ik
i cos δk
]
= 0. (4.26)
Finalmente, en la última expresión de la Eq. (4.24) se obtiene ∂fk/∂ci = sen δk. Como
en los casos anteriores, se expresa ésta en términos de una sumatoria teniendo por resultado
la siguiente ecuación,
∂εi
∂ci
= 2
M∑
k=1
[
ai sen δk + bi cos δk sen δk + ci sen2
δk − ˜Ik
i sen δk
]
= 0. (4.27)

i
i
i
i
i
i
i
i
Transcribiendo las Eqs. (4.25–4.27) como un sistema de ecuaciones lineales en su forma
matricial Ax = y. La matriz de coeficientes queda representada como,
A =









M
M∑
k=1
cos δk
M∑
k=1
sen δk
M∑
k=1
cos δk
M∑
k=1
cos2 δk
M∑
k=1
sen δk cos δk
M∑
k=1
sen δk
M∑
k=1
cos δk sen δk
M∑
k=1
sen2 δk









, (4.28)
el vector de términos independientes tiene la forma,
y =
[ M∑
k=1
˜Ik
i ,
M∑
k=1
˜Ik
i cos δk,
M∑
k=1
˜Ik
i sen δk
]T
, (4.29)
y el vector de incógnitas,
x = [ai, bi, ci]T
. (4.30)
Los valores óptimos en el sentido de mínimos cuadrados para x están dados por la solución
del sistema lineal de ecuaciones, es decir,
x = A−1
y, (4.31)
donde A−1 es la matriz inversa de A. Para garantizar que exista la matriz inversa de A se
requiere de al menos tres interferogramas (o corrimientos de fase δk). Con base en el vector
solución x, podemos determinar el valor de la fase en i-ésimo píxel (ϕi) como,
ϕi = tan−1
(
−
ci
bi
)
, i = 1, 2, . . . , N. (4.32)
Cabe señalar que el sistema de ecuaciones lineales de la Eq. (4.31) debe ser resuelto para
cada píxel de la imagen. Además, el valor estimado de ϕi está envuelta, es decir, ϕi ∈
[−π, π).
Determinar δk. Ahora se considera que la intensidad de fondo A y la modulación de
amplitud B no tienen variación con respecto a los píxeles. El escenario anterior se puede
describir matemáticamente por,
Ik
i = Ak
+ Bk
[cos ϕi cos δk − sen ϕi sen δk] , (4.33)
donde observa que Ak y Bk se mantienen constantes en toda la imagen Ik.
Mediante el cambio de variable a′
k = Ak, b′
k = Bk cos δk y c′
k = −Bk sen δk, se reescribe
la Eq. (4.33) como el modelo lineal,
Ik
i = a′
k + b′
k cos ϕi + c′
k sen ϕi, (4.34)

i
i
i
i
i
i
i
i
donde ϕi fue determinado por la Eq. (4.32). Las incógnitas a′
k, b′
k y c′
k son determinadas a
partir de la suma de los cuadrados de los residuos, es decir,
ε′
k =
N∑
i=1
(
Ik
i − ˜Ik
i
)2
, (4.35)
donde Ik
i es el valor teórico del interferograma e ˜Ik
i es la distribución de intensidad obser-
vada. Sustituyendo Ik
i por el modelo lineal (4.34) se obtiene,
ε′
k =
N∑
i=1
[
a′
k + b′
k cos ϕi + c′
k sen ϕi − ˜Ik
i
]2
, (4.36)
donde N corresponde al número de píxeles en la imagen. De forma análoga al apartado
anterior, el mínimo para ε′
k está sujeto a:
∂ε′
k
∂a′
k
= 0,
∂ε′
k
∂b′
k
= 0,
∂ε′
k
∂c′
k
= 0. (4.37)
Desarrollando las expresiones de (4.37) se obtiene el sistema lineal de ecuaciones,
N∑
i=1
[
a′
k + b′
k cos ϕi + c′
k sen ϕi − ˜Ik
i
]
= 0
N∑
i=1
[
a′
k cos ϕi + b′
k cos2
ϕi + c′
k sen ϕi cos ϕi − ˜Ik
i cos ϕi
]
= 0
N∑
i=1
[
a′
k sen ϕi + b′
k cos ϕi sen ϕi + c′
k sen2
ϕi − ˜Ik
i sen ϕi
]
= 0,
cuya representación matricial se muestra a continuación,
A′
=








N
N∑
i=1
cos ϕi
N∑
i=1
sen ϕi
N∑
i=1
cos ϕi
N∑
i=1
cos2 ϕi
N∑
i=1
sen ϕi cos ϕi
N∑
i=1
sen ϕi
N∑
i=1
cos ϕi sen ϕi
N∑
i=1
sen2 ϕi








, (4.38)
y′
=
[ N∑
i=1
˜Ik
i ,
N∑
i=1
˜Ik
i cos ϕi,
N∑
i=1
˜Ik
i sen ϕi
]T
, (4.39)
x′
=
[
a′
k, b′
k, c′
k
]T
. (4.40)
Finalmente, los valores óptimos en el sentido de mínimos cuadrados están dados por,
x′
= [A′
]−1
y′
, (4.41)

i
i
i
i
i
i
i
i
Determinar la aproximacin inicial
para el corrimiento de fase δ0
k
Calcular la distribución de fase φn
basado en los corrimientos de fase δn−1
k
Calcular los nuevos corrimientos de fase δn
k
con base en la distribución de fase φn
δn
k − δn−1
k ≤ η
Comprobar
la convergencia No
Determinar el corrimiento
de fase final
Si
Figura 4.2: Diagrama esquemático para determinar los corrimientos de fase δk de un con-
junto de k interferogramas.
donde [A′]−1 es la matriz inversa de A′. Los corrimientos de fase δk son calculados a partir
del vector solución x′ como sigue,
δk = tan−1
(
−
c′
k
b′
k
)
, k = 1, 2, . . . , M. (4.42)
Cabe señalar que el sistema de ecuaciones lineales de la Eq. (4.40) debe ser resuelto para
cada interferograma. Además, el valor estimado de δk está envuelto, es decir, δk ∈ [−π, π).
Recapitulando, el procedimiento expuesto consiste en linealizar por partes el problema
no-lineal inicial; como resultado se obtiene un algoritmo lineal iterativo. Cada iteración
está dividida en dos partes: la primera consiste en determinar la distribución de fase y en
la segunda, se estiman los valores del corrimiento de fase. El esquema está basado en el
método de los mínimos cuadrados donde se resuelven dos sistemas de ecuaciones lineales
de 3 × 3 «sobre determinados» como se puede apreciar en las ecuaciones (4.31) y (4.41).
4.2.2. Esquema computacional
En la presente sección se describe el algoritmo expuesto en la sección anterior pero
desde un punto de vista computacional, es decir, con miras de implementarlo. Para ello
consideremos el diagrama de la Figura 4.2 que es descrito a continuación:

i
i
i
i
i
i
i
i
1. Como todo esquema iterativo se parte de un punto inicial, que se considera como la
iteración cero o δ
(0)
k .
2. Se determina la distribución de fase ϕ
(n)
i por la Eq. (4.32), para ello se requiere resolver
el sistema de ecuaciones normales (4.31) para cada píxel, este sistema normalmente
«sobre determinado» de MN ecuaciones contiene 3N incógnitas.
3. Una vez determinada una aproximación a ϕ
(n)
i se determina una nueva aproximación
de los corrimientos de fase δ
(n)
k por la Eq. (4.42), para ello se resuelve el sistema (4.41)
que tiene MN ecuaciones y 3M incógnitas.
4. Se comprueba que la última aproximación δ
(n)
k cumpla con alguna condición de paro,
por ejemplo la norma de la diferencia de las últimas dos iteraciones. Mientras no se
cumpla con dicha condición se repite el algoritmo de nuevo desde el paso 2, dando
inicio a la iteración n + 1 con los nuevos datos calculados (ϕ
(n)
i y δ
(n)
k ). En caso
contrario, el algoritmo termina su ejecución.
El algoritmo descrito anteriormente produce una sucesión de aproximaciones {δn
k }L
n=0,
la cual a converge a una solución {ϕ∗, δ∗}. De la serie de pasos descritos anteriormente,
observamos que el número de iteraciones está relacionado con el punto inicial δ0
k. Por otro
lado, es conocido que en los esquemas iterativos el número de iteraciones para converger
está estrechamente relacionado con el punto inicial. Por lo tanto, es deseable elegir un
«buen punto inicial» para reducir la cantidad de iteraciones y así incrementar la eficiencia
computacional del algoritmo.
En el siguiente capítulo se propone un algoritmo computacionalmente eficiente para
implementar el Algoritmo Iterativo Avanzado. Para incrementar el desempeño emplearemos
dos enfoques: reducir el número de iteraciones y mejorar los tiempos de ejecución de cada
iteración.

i
i
i
i
i
i
i
i
Cap´ıtulo 5
Incremento del desempeño computacional
En este capítulo se aborda la implementación del Algoritmo Iterativo Avanzado median-
te técnicas avanzadas de computación científica mediante dos enfoques: reducir el número
de iteraciones y, mejorar el tiempo de ejecución de cada iteración. En la primera sección
se describen las técnicas empleadas para mejorar los tiempo de ejecución. En la segunda
sección se propone un estimador inicial que reduzca el número de iteraciones.
5.1. Cómputo de alto desempeño
La computación de alto desempeño (HPC, por sus siglas en inglés) es el uso de herra-
mientas adecuadas para ejecutar aplicaciones avanzadas de manera eficiente, confiable y
rápida; lo cual implica el uso de cómputo paralelo y distribuido, sistemas de interconexión
de datos, algoritmos de algebra lineal numérica, etcétera [59–61]. Dentro del HPC existe
una área enfocada a las computadoras de propósito general (CPGs), cuyo objetivo es desa-
rrollar metodologías que permitan proporcionar un mayor rendimiento computacional del
que se obtiene comúnmente. Si bien, las CPGs está provistas de más de un núcleo de pro-
cesamiento ésto no implica que la solución adecuada (de software) debe ser estrictamente
una aplicación paralela. En este sentido, en el presente trabajo se optimiza el código para
un núcleo o «single core».
Actualmente, cada «core» o núcleo de procesamiento incorpora más de una unidad arit-
mética lógica, operaciones pipelining, métodos de búsqueda adelantada de datos, ejecución
adelantada de instrucciones y módulos de procesamiento vectorial. La optimización «single
Figura 5.1: Tiempo de acceso a los niveles de memoria.
41

i
i
i
i
i
i
i
i
42 Capítulo 5. Incremento del desempeño computacional
core» está enfocada en desarrollar código que explote las tecnologías antes mencionas, es
decir, consiste en mejorar el acceso a la memoria a través de reglas de escritura de código
para operaciones aritméticas. Por otro lado, el rendimiento computacional se mide por
la cantidad de operaciones aritméticas en punto flotante que se realizan por unidad de
tiempo, por ende las unidades se denominan FLOPS.
En la presente sección se describen la técnica de «loop unrolling» y vectorización para
incrementar el desempeño computacional de la aplicación. En particular, se optimizaron
las operaciones:
SUM(x)
def
=
n∑
i=1
xi, (5.1)
DOT(x, y)
def
= ⟨x, y⟩ =
n∑
i=1
xiyi, (5.2)
COPY(y, x)
def
= yi ← xi; i = 1, 2, . . . , n, (5.3)
SCAL(x, α)
def
= xi ← αxi; i = 1, 2, . . . , n, (5.4)
AXPY(x, y, α)
def
= yi ← yi + αxi; i = 1, 2, . . . , n. (5.5)
En las Eqs. (5.4–5.5), α es un escalar en R. Las Eqs. (5.2–5.5) forman parte de las opera-
ciones optimizadas en la biblioteca de funciones BLAS-1 propuestas por Lawson et al. [62],
cuyas implementaciones han sido ampliamente estudiadas [63–66]. Para los resultados mos-
trados en el presente trabajo se empleó un equipo con las características: procesador Intel
Core i5-4258U, 6 GB DDR3-SDRAM a 1600 MHz, sistema operativo Windows 8.1 de 64-
bits y el compilador empleado es MINGW GCC v4.8.1, mientras no se indique lo contrario.
5.1.1. Loop unrolling
El mayor tiempo de ejecución (mayor al 80 %) de un programa científico es responsabi-
lidad de los ciclos de procesamiento, por ello se han desarrollado técnicas computacionales
aplicadas que permiten incrementar la intensidad de cálculos por unidad de tiempo. La
técnica de «loop unrolling» está basada en la idea de pipelining (encauzamiento), la cual
consiste en colocar múltiples instrucciones en la cola de ejecución. Antes de abordar el
tema principal de la sección, se introduce una descripción de pipelining.
Una pipeline es como una linea de producción donde diferentes módulos realizan dife-
rentes tareas en forma recurrente [67]. La técnica aprovecha el paralelismo existente entre
las acciones necesarias para ejecutar una instrucción, es decir, se realizan más de una ope-
ración por ciclo de reloj. Sin embargo, como cada operación envuelve una pila de tareas que
consiste en: 1) la búsqueda e interpretación de la instrucción, 2) la búsqueda del registro, 3)
acceso a la memoria, 4) ejecución y 5) la escritura del resultado en un registro. Por ello se
requiere que los datos sean cargados en localidades de memoria en tiempos adecuados para
que las operaciones se ejecuten en paralelo. En este sentido, en la Figura 5.1 se muestran
los tiempos de acceso a los diferentes niveles de memoria. Se observa que el acceso a los
registro del procesador es 150 veces más rápido comparado con la memoria principal. Por lo
tanto, es deseable que los datos a operar estén en las localidades de memoria más rápidas

Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio

Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (12)

Similar a Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio

Similar a Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio (20)

Más de Sotero Ordones

Más de Sotero Ordones (7)

Último

Último (20)

Algoritmo Iterativo Eficiente para el Análisis de Interferogramas con Corrimiento de Fase Aleatorio