Este documento presenta una serie de problemas de cinemática de mecanismos resueltos analíticamente y gráficamente. Se identifican los grados de libertad, barras y pares cinemáticos de varios mecanismos. Luego, se realiza un análisis de posición gráfico dibujando las barras para diferentes posiciones de entrada en mecanismos como bielas, levas excéntricas y ruedas excéntricas. Finalmente, se introduce el análisis de posición analítico.
Ejercicios propuestos de la unidad iii saiaisaiasuarez
Este documento presenta los pasos resueltos para aplicar la transformada de Laplace y la serie de Fourier a diferentes funciones. En la primera sección, se utiliza la definición de la transformada de Laplace para resolver funciones. En la segunda sección, se aplican propiedades de la transformada de Laplace como linealidad y teoremas de traslación. La tercera sección involucra aplicar la transformada inversa de Laplace. La cuarta sección usa el teorema de convolución. Las últimas dos secciones desarrollan la expansión en serie de Fourier para diferentes funciones per
Transformada de Laplace y Fourier Richard GutierrezZapata27
Este documento presenta ejercicios sobre transformadas de Laplace y Fourier. Propone calcular transformadas de Laplace de funciones utilizando definiciones, propiedades y tablas. También incluye ejercicios sobre convolución, determinación de semiperiodos y espectros de Fourier de funciones.
Este documento contiene una guía sobre cálculo vectorial con 11 secciones que abarcan temas como funciones vectoriales de una variable real, dominio y recorrido, límites y continuidad, derivadas e integrales. La guía incluye ejercicios para practicar cada tema, como determinar el dominio y recorrido de funciones dadas, calcular límites, derivadas y primitivas de funciones vectoriales, y analizar la continuidad y derivabilidad.
Hoja de trabajo sesión 03,Ejercicios plano tangente, derivada direccional y g...Juan Carlos Broncanotorres
Este documento presenta varios ejercicios sobre derivadas parciales, direccionales y plano tangente en funciones de varias variables. En el nivel I se piden calcular derivadas parciales y direccionales de diferentes funciones. En el nivel II se analizan puntos críticos y se piden calcular derivadas direccionales. En el nivel III los ejercicios involucran aplicaciones físicas como el movimiento de partículas en superficies de temperatura.
Este documento describe gradientes y derivadas direccionales. Introduce el concepto de gradiente como un vector que representa la tasa de cambio máxima de una función en cada punto. Explica que el gradiente es perpendicular a las superficies de nivel de la función. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos que involucran funciones de temperatura y potencial gravitacional.
Este documento contiene ejercicios sobre derivadas parciales, derivadas direccionales y gradientes. En la primera sección se presentan ejercicios para determinar si ciertas afirmaciones sobre derivadas parciales son verdaderas o falsas. Luego, se piden derivadas parciales de funciones de varias variables. Más adelante, se explican conceptos como derivada direccional, vector gradiente y ecuaciones diferenciales parciales, con ejemplos para calcular derivadas direccionales y gradientes. Finalmente, se piden cál
Este documento presenta varios ejercicios y teoremas relacionados con los límites y la continuidad de funciones de una variable. En la primera sección, se piden determinar límites y demostrar que cumplen con valores especificados. La segunda sección cubre teoremas de límites que se usan para evaluar varios límites. La tercera sección analiza límites laterales. La cuarta sección calcula límites al infinito y límites infinitos. Las secciones restantes cubren continuidad, propiedades de funciones continuas, tip
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Ejercicios propuestos de la unidad iii saiaisaiasuarez
Este documento presenta los pasos resueltos para aplicar la transformada de Laplace y la serie de Fourier a diferentes funciones. En la primera sección, se utiliza la definición de la transformada de Laplace para resolver funciones. En la segunda sección, se aplican propiedades de la transformada de Laplace como linealidad y teoremas de traslación. La tercera sección involucra aplicar la transformada inversa de Laplace. La cuarta sección usa el teorema de convolución. Las últimas dos secciones desarrollan la expansión en serie de Fourier para diferentes funciones per
Transformada de Laplace y Fourier Richard GutierrezZapata27
Este documento presenta ejercicios sobre transformadas de Laplace y Fourier. Propone calcular transformadas de Laplace de funciones utilizando definiciones, propiedades y tablas. También incluye ejercicios sobre convolución, determinación de semiperiodos y espectros de Fourier de funciones.
Este documento contiene una guía sobre cálculo vectorial con 11 secciones que abarcan temas como funciones vectoriales de una variable real, dominio y recorrido, límites y continuidad, derivadas e integrales. La guía incluye ejercicios para practicar cada tema, como determinar el dominio y recorrido de funciones dadas, calcular límites, derivadas y primitivas de funciones vectoriales, y analizar la continuidad y derivabilidad.
Hoja de trabajo sesión 03,Ejercicios plano tangente, derivada direccional y g...Juan Carlos Broncanotorres
Este documento presenta varios ejercicios sobre derivadas parciales, direccionales y plano tangente en funciones de varias variables. En el nivel I se piden calcular derivadas parciales y direccionales de diferentes funciones. En el nivel II se analizan puntos críticos y se piden calcular derivadas direccionales. En el nivel III los ejercicios involucran aplicaciones físicas como el movimiento de partículas en superficies de temperatura.
Este documento describe gradientes y derivadas direccionales. Introduce el concepto de gradiente como un vector que representa la tasa de cambio máxima de una función en cada punto. Explica que el gradiente es perpendicular a las superficies de nivel de la función. Finalmente, ilustra estos conceptos con ejemplos que involucran funciones de temperatura y potencial gravitacional.
Este documento contiene ejercicios sobre derivadas parciales, derivadas direccionales y gradientes. En la primera sección se presentan ejercicios para determinar si ciertas afirmaciones sobre derivadas parciales son verdaderas o falsas. Luego, se piden derivadas parciales de funciones de varias variables. Más adelante, se explican conceptos como derivada direccional, vector gradiente y ecuaciones diferenciales parciales, con ejemplos para calcular derivadas direccionales y gradientes. Finalmente, se piden cál
Este documento presenta varios ejercicios y teoremas relacionados con los límites y la continuidad de funciones de una variable. En la primera sección, se piden determinar límites y demostrar que cumplen con valores especificados. La segunda sección cubre teoremas de límites que se usan para evaluar varios límites. La tercera sección analiza límites laterales. La cuarta sección calcula límites al infinito y límites infinitos. Las secciones restantes cubren continuidad, propiedades de funciones continuas, tip
1) El documento explica el concepto de derivadas parciales de funciones de varias variables y cómo se utilizan para determinar cómo cambia el valor de una función cuando cambia una de sus variables independientes. 2) Define formalmente las derivadas parciales de primer orden y presenta la notación comúnmente usada. 3) Proporciona ejemplos numéricos para ilustrar cómo calcular derivadas parciales de funciones de dos variables.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
Cálculo Integral. Capítulo 3 Métodos de integración y AplicacionesPablo García y Colomé
El documento trata sobre métodos de integración para funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Explica métodos como la integración trigonométrica usando identidades trigonométricas, la integración por sustitución trigonométrica del ángulo medio y la integración por partes. También cubre la integración por descomposición en fracciones racionales.
Este documento presenta una guía para el curso de Cálculo III. Incluye ejercicios para determinar el interior, frontera y representación gráfica de conjuntos en R2, analizar dominios, gráficos y límites de funciones de varias variables, y evaluar la continuidad de funciones en puntos específicos.
El documento presenta 4 ejercicios de transformada de Laplace. El primero pide calcular la transformada de Laplace de una función. El segundo utiliza propiedades para determinar la transformada de otra función. El tercero aplica tablas, simplificación y métodos para calcular otra transformada. El cuarto usa el teorema de convolución para resolver otra transformada.
1. El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos, variables, intervalos de variación, funciones reales de variable real y relaciones. 2. Explica la notación de funciones, cómo representarlas gráficamente y da ejemplos de funciones definidas en varios intervalos. 3. También cubre temas como el dominio, codominio y recorrido de funciones, y tipos de funciones como constante, identidad y polinómicas.
El documento presenta una guía para resolver problemas de optimización que involucran funciones escalares de variables vectoriales. Explica los pasos a seguir como identificar lo que se pide optimizar, trazar un modelo geométrico, establecer un modelo matemático y resolver el problema para encontrar la solución óptima. Luego, aplica estos pasos para maximizar el volumen de un prisma rectangular y el volumen de un cilindro circular recto sujetos a restricciones de tamaño.
1. El documento presenta el Teorema Local de Cauchy, el cual establece que si dos funciones complejas λ y μ son continuas a lo largo de un camino rectificable γ, entonces la función f definida mediante una integral de λ y μ a lo largo de γ es analítica.
2. También introduce conceptos como cadenas, ciclos e índices. Una cadena es una suma formal de caminos, un ciclo es una cadena cerrada, y el índice de una función compleja f respecto a un ciclo Γ sólo toma valores enteros
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
1) El documento describe los límites de funciones trigonométricas y cómo usarlos para resolver otros límites. 2) Explica la definición de continuidad de una función en un punto y en un intervalo. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como límites, continuidad y cómo remover discontinuidades.
Este documento trata sobre el cálculo de antiderivadas e integración indefinida. Explica que una antiderivada de una función f(x) es aquella función F(x) cuya derivada es f(x), y que la notación para la integral indefinida de f(x) es ∫f(x) dx. También presenta algunas reglas algebraicas y trigonométricas para calcular antiderivadas.
El documento contiene información sobre la transformada de Laplace. Incluye la definición de la transformada de Laplace, ejemplos de su aplicación, y tablas con propiedades comunes de funciones elementales utilizadas en el cálculo de la transformada.
El documento explica los conceptos fundamentales de las series de Fourier. Introduce las series trigonométricas y cómo cualquier función periódica puede expresarse como una serie de senos y cosenos. Describe cómo calcular los coeficientes de Fourier y las condiciones para la convergencia de las series. También resume casos particulares como funciones pares e impares y cómo esto simplifica la expresión de la serie.
1) El documento presenta la resolución de 7 ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones trigonométricas.
2) En el primer ejercicio se prueba que la derivada de sec(x) es sec(x)tan(x).
3) El segundo ejercicio encuentra el intervalo en el que una función dada es cóncava hacia arriba.
La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales donde cada término es la suma de los dos anteriores. Comienza con 0 y 1 y continúa como 1, 2, 3, 5, 8, etc. Esta sucesión se encuentra en configuraciones biológicas como las ramas de los árboles y la estructura espiral de los caparazones de los animales.
A. Cálculo Integral. Capítulo I. Sucesiones y Series. ComplementoPablo García y Colomé
Este documento describe el desarrollo de las series de potencias para las funciones logarítmica y exponencial. Explica cómo obtener series de potencias para representar diferentes funciones y determinar sus intervalos de convergencia. Presenta ejemplos resolviendo integral y derivadas usando series de potencias.
Este documento contiene varios ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas parciales utilizando la regla de la cadena y el teorema de la función implícita. Incluye ejercicios para hallar derivadas de funciones compuestas, determinar condiciones para que una ecuación defina una función implícita única, y calcular derivadas parciales de funciones implícitas.
El documento presenta varios ejercicios de cálculo de límites y de integrales definidas. En el primer ejercicio se piden calcular límites de funciones. En el segundo, integrales definidas de funciones elementales. En el tercero, integrales definidas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Este documento contiene 10 ejercicios de matemáticas relacionados con funciones, logaritmos y ecuaciones exponenciales. Los ejercicios piden graficar funciones, simplificar expresiones, resolver ecuaciones y calcular valores usando fórmulas matemáticas. El documento proporciona las instrucciones y fórmulas necesarias para resolver cada ejercicio de manera procedimental.
Este documento presenta varias tareas relacionadas con expresiones algebraicas. Incluye identificar variables y constantes, coeficientes numéricos y literales, calcular valores de expresiones, escribir monomios semejantes, realizar operaciones con polinomios y determinar el grado de polinomios.
Este documento presenta un programa de estudios intensivo de un semestre que cubre varios temas de matemáticas y ciencias. Incluye tópicos como aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, física, química y razonamiento matemático. Además, proporciona la lista de profesores a cargo de cada tema.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en varias variables. El documento contiene 33 problemas que abarcan temas como ecuaciones de rectas y planos, puntos en rectas y planos, distancias mínimas, volúmenes, dominios de funciones, curvas de nivel y reconocimiento de cuádricas.
Este documento presenta conceptos sobre derivadas. Introduce el concepto de derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que una función es derivable si es continua y sus derivadas laterales son iguales. Además, incluye reglas para calcular derivadas como la derivada de sumas, productos y funciones compuestas, así como derivadas de funciones elementales como exponenciales, logarítmicas y potencias.
Cálculo Integral. Capítulo 3 Métodos de integración y AplicacionesPablo García y Colomé
El documento trata sobre métodos de integración para funciones algebraicas y trascendentes, incluyendo funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales e hiperbólicas. Explica métodos como la integración trigonométrica usando identidades trigonométricas, la integración por sustitución trigonométrica del ángulo medio y la integración por partes. También cubre la integración por descomposición en fracciones racionales.
Este documento presenta una guía para el curso de Cálculo III. Incluye ejercicios para determinar el interior, frontera y representación gráfica de conjuntos en R2, analizar dominios, gráficos y límites de funciones de varias variables, y evaluar la continuidad de funciones en puntos específicos.
El documento presenta 4 ejercicios de transformada de Laplace. El primero pide calcular la transformada de Laplace de una función. El segundo utiliza propiedades para determinar la transformada de otra función. El tercero aplica tablas, simplificación y métodos para calcular otra transformada. El cuarto usa el teorema de convolución para resolver otra transformada.
1. El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos, variables, intervalos de variación, funciones reales de variable real y relaciones. 2. Explica la notación de funciones, cómo representarlas gráficamente y da ejemplos de funciones definidas en varios intervalos. 3. También cubre temas como el dominio, codominio y recorrido de funciones, y tipos de funciones como constante, identidad y polinómicas.
El documento presenta una guía para resolver problemas de optimización que involucran funciones escalares de variables vectoriales. Explica los pasos a seguir como identificar lo que se pide optimizar, trazar un modelo geométrico, establecer un modelo matemático y resolver el problema para encontrar la solución óptima. Luego, aplica estos pasos para maximizar el volumen de un prisma rectangular y el volumen de un cilindro circular recto sujetos a restricciones de tamaño.
1. El documento presenta el Teorema Local de Cauchy, el cual establece que si dos funciones complejas λ y μ son continuas a lo largo de un camino rectificable γ, entonces la función f definida mediante una integral de λ y μ a lo largo de γ es analítica.
2. También introduce conceptos como cadenas, ciclos e índices. Una cadena es una suma formal de caminos, un ciclo es una cadena cerrada, y el índice de una función compleja f respecto a un ciclo Γ sólo toma valores enteros
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
1) El documento describe los límites de funciones trigonométricas y cómo usarlos para resolver otros límites. 2) Explica la definición de continuidad de una función en un punto y en un intervalo. 3) Proporciona ejemplos para ilustrar conceptos como límites, continuidad y cómo remover discontinuidades.
Este documento trata sobre el cálculo de antiderivadas e integración indefinida. Explica que una antiderivada de una función f(x) es aquella función F(x) cuya derivada es f(x), y que la notación para la integral indefinida de f(x) es ∫f(x) dx. También presenta algunas reglas algebraicas y trigonométricas para calcular antiderivadas.
El documento contiene información sobre la transformada de Laplace. Incluye la definición de la transformada de Laplace, ejemplos de su aplicación, y tablas con propiedades comunes de funciones elementales utilizadas en el cálculo de la transformada.
El documento explica los conceptos fundamentales de las series de Fourier. Introduce las series trigonométricas y cómo cualquier función periódica puede expresarse como una serie de senos y cosenos. Describe cómo calcular los coeficientes de Fourier y las condiciones para la convergencia de las series. También resume casos particulares como funciones pares e impares y cómo esto simplifica la expresión de la serie.
1) El documento presenta la resolución de 7 ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas de funciones trigonométricas.
2) En el primer ejercicio se prueba que la derivada de sec(x) es sec(x)tan(x).
3) El segundo ejercicio encuentra el intervalo en el que una función dada es cóncava hacia arriba.
La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales donde cada término es la suma de los dos anteriores. Comienza con 0 y 1 y continúa como 1, 2, 3, 5, 8, etc. Esta sucesión se encuentra en configuraciones biológicas como las ramas de los árboles y la estructura espiral de los caparazones de los animales.
A. Cálculo Integral. Capítulo I. Sucesiones y Series. ComplementoPablo García y Colomé
Este documento describe el desarrollo de las series de potencias para las funciones logarítmica y exponencial. Explica cómo obtener series de potencias para representar diferentes funciones y determinar sus intervalos de convergencia. Presenta ejemplos resolviendo integral y derivadas usando series de potencias.
Este documento contiene varios ejercicios relacionados con el cálculo de derivadas parciales utilizando la regla de la cadena y el teorema de la función implícita. Incluye ejercicios para hallar derivadas de funciones compuestas, determinar condiciones para que una ecuación defina una función implícita única, y calcular derivadas parciales de funciones implícitas.
El documento presenta varios ejercicios de cálculo de límites y de integrales definidas. En el primer ejercicio se piden calcular límites de funciones. En el segundo, integrales definidas de funciones elementales. En el tercero, integrales definidas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Este documento contiene 10 ejercicios de matemáticas relacionados con funciones, logaritmos y ecuaciones exponenciales. Los ejercicios piden graficar funciones, simplificar expresiones, resolver ecuaciones y calcular valores usando fórmulas matemáticas. El documento proporciona las instrucciones y fórmulas necesarias para resolver cada ejercicio de manera procedimental.
Este documento presenta varias tareas relacionadas con expresiones algebraicas. Incluye identificar variables y constantes, coeficientes numéricos y literales, calcular valores de expresiones, escribir monomios semejantes, realizar operaciones con polinomios y determinar el grado de polinomios.
Este documento presenta un programa de estudios intensivo de un semestre que cubre varios temas de matemáticas y ciencias. Incluye tópicos como aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, física, química y razonamiento matemático. Además, proporciona la lista de profesores a cargo de cada tema.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en varias variables. El documento contiene 33 problemas que abarcan temas como ecuaciones de rectas y planos, puntos en rectas y planos, distancias mínimas, volúmenes, dominios de funciones, curvas de nivel y reconocimiento de cuádricas.
Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en tres dimensiones. El objetivo es que los estudiantes practiquen conceptos como ecuaciones vectoriales, paramétricas y cartesianas para representar rectas y superficies. También incluye gráficos de funciones y reconocimiento de cuádricas en el espacio.
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus propiedades como simetría, punto medio, ecuaciones paramétricas e implícitas. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos simétricos, puntos medios, ecuaciones de rectas, ángulos entre rectas, distancias y más.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre cadenas de Markov. El primer ejercicio modela el clima de un pueblo como una cadena de Markov de dos estados, soleado y nublado. El segundo ejercicio modela los movimientos de un ascensor entre tres pisos como una cadena de Markov. El tercer ejercicio modela los desplazamientos de un agente comercial entre tres ciudades. Los ejercicios incluyen calcular matrices de probabilidad de transición y determinar estados estables a largo plazo.
Este documento contiene 39 preguntas sobre programación en Python relacionadas con conceptos matemáticos como representación de números, álgebra booleana, cálculo de áreas y perímetros geométricos, expresiones y operaciones aritméticas, cadenas y tipos de datos. Las preguntas van desde definir algoritmos hasta evaluar expresiones, pasando por analizar la validez de identificadores y operadores.
Este documento contiene 39 preguntas sobre programación en Python relacionadas con conceptos matemáticos como representación de números, álgebra booleana, cálculo de áreas y perímetros geométricos, expresiones y operaciones aritméticas, cadenas y tipos de datos. Las preguntas van desde definir algoritmos hasta evaluar expresiones, pasando por diseñar programas sencillos y analizar su funcionamiento.
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales y rectas. Los ejercicios piden representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, obtener la ecuación de rectas dados diferentes condiciones, y resolver problemas que involucran rectas. Las soluciones proporcionan los pasos para representar gráficamente cada recta y determinar valores requeridos.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre cadenas de Markov. El primer ejercicio modela el clima de un pueblo como una cadena de Markov de dos estados, soleado y nublado. El segundo ejercicio modela los movimientos de un ascensor entre tres pisos. El tercer ejercicio modela los desplazamientos de un agente comercial entre tres ciudades.
Este documento presenta un proyecto final sobre álgebra lineal realizado por tres estudiantes. Resume varios temas clave como matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. El proyecto explica conceptos matemáticos importantes y cómo aplicarlos para resolver problemas de la vida real.
El documento trata sobre fracciones algebraicas. Explica cómo determinar el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de fracciones algebraicas mediante la descomposición en factores primos. También cubre operaciones básicas como suma, resta y división con fracciones algebraicas, así como valores admisibles de las variables.
El documento habla sobre fracciones algebraicas. Explica cómo determinar el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de fracciones algebraicas mediante la descomposición en factores primos. También cubre operaciones básicas como suma, resta y división con fracciones algebraicas, así como valores admisibles de variables en el denominador.
El documento habla sobre fracciones algebraicas. Explica cómo determinar el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de fracciones algebraicas mediante la descomposición en factores primos. También cubre operaciones básicas como suma, resta y división con fracciones algebraicas, así como valores admisibles de variables en el denominador.
Este documento introduce las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas, y explica su importancia para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se demuestra que cualquier matriz se puede transformar en una matriz escalonada aplicando operaciones elementales de filas, y en una matriz escalonada reducida usando adicionalmente la sustitución hacia atrás. Finalmente, se describe cómo usar matrices escalonadas reducidas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento introduce las definiciones formales de matrices escalonadas y escalonadas reducidas, y explica su importancia para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se demuestra que cualquier matriz se puede transformar en una matriz escalonada aplicando operaciones elementales de filas, y en una matriz escalonada reducida usando adicionalmente la sustitución hacia atrás. Finalmente, se describe cómo usar matrices escalonadas reducidas para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento describe el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra llevar la matriz aumentada del sistema a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en las filas. Luego, la última matriz escalonada reducida indica la solución del sistema. El documento provee varios ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicar el método de Gauss-Jordan.
El documento habla sobre fracciones algebraicas. Explica cómo determinar el máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de fracciones algebraicas mediante la descomposición de los coeficientes en factores primos. También cubre conceptos como valores admisibles de variables en el denominador y reducción de fracciones algebraicas. Finalmente, establece la relación entre el MCD y el MCM de cantidades.
Equipo 4. Mezclado de Polímeros quimica de polimeros.pptxangiepalacios6170
Presentacion de mezclado de polimeros, de la materia de Quimica de Polímeros ultima unidad. Se describe la definición y los tipos de mezclado asi como los aditivos usados para mejorar las propiedades de las mezclas de polimeros
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
ascensor o elevador es un sistema de transporte vertical u oblicuo, diseñado...LuisLobatoingaruca
Un ascensor o elevador es un sistema de transporte vertical u oblicuo, diseñado para mover principalmente personas entre diferentes niveles de un edificio o estructura. Cuando está destinado a trasladar objetos grandes o pesados, se le llama también montacargas.
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
1. TEORÍA DE MÁQUINAS
PROBLEMAS DE CINEMÁTICA DE
MECANISMOS
Antonio Javier Nieto Quijorna
Área de Ingeniería Mecánica
E.T.S. Ingenieros Industriales
2. Cap´ıtulo 1
GRADOS DE LIBERTAD.
1.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de guiado de la v´alvula (barra 9) de un motor de combusti´on
interna. Identificar las barras que componen dicho mecanismo as´ı como los pares cinem´aticas. Determinar
tambi´en el n´umero de grados de libertad.
Resoluci´on
Resolvemos el problema con la ecuaci´on de grados de libertad de Kutzbach para un mecanismo con
movimiento plano:
n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
Siendo nb el numero de barras, p1 los pares cinem´aticos que admiten un grado de libertad y p2 los pares
cinem´aticos que admiten dos grados de libertad.
Numeramos las barras como se muestra en la figura:
1
3. 1
1
4
3
2
5
6
7
9
8
n´umero de barras: 9
pares cinem´aticos de tipo 1: 10(7 cil´ındricos y 3 prism´aticos)
pares cinem´aticos de tipo 2: 1 (entre las piezas 6 y 7)
Aplicando estos valores a la f´ormula para obtener el siguiente resultado:
n = 3 (9 − 1) − 2 · 10 − 1 = 3
1.2. PROBLEMA.
La figura muestra un mecanismo para captaci´on de im´agenes mediante c´amaras CCD (cuerpo rojo).
Identificar el n´umero de barras del mecanismo, pares cinem´aticos y grados de libertad.
Resoluci´on
2
4. 1
2
3
45
n´umero de barras: 5
pares cinem´aticos de tipo 1: 4 (entre 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, 4 y 5)
pares cinem´aticos de tipo 2: 0
n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
n = 3 · (5 − 1) − 2 · 4 − 0 = 4
1.3. PROBLEMA.
La figura muestra un brazo robotizado para captaci´on de objetos mediante pinzas. Identificar el
n´umero de barras del mecanismo, as´ı como los pares cinem´aticos y grados de libertad.
Resoluci´on
3
5. 1
2
3
4
5
Aplicamos la expresi´on de Kutzbach para el caso de tres dimensiones:
n = 6 · (nb − 1) − 5 · p1 − 4 · p2 − 3 · p3 − 2 · p4 − p5
n´umero de barras: 5
pares cinem´aticos de tipo 1: 3 (entre 3 y 4, 4 y 5(un por cada brazo de la pinza))
pares cinem´aticos de tipo 2: 0
pares cinem´aticos de tipo 3: 1 (entre 2 y 3)
pares cinem´aticos de tipo 4: 0
pares cinem´aticos de tipo 5: 0
n = 6 · (5 − 1) − 5 · 3 − 4 · 0 − 3 · 1 − 2 · 0 − 0 = 6
1.4. PROBLEMA.
La figura muestra una plataforma elevadora con un mecanismo de tijera ayudado por un actuador
hidr´aulico. Determinar el n´umero de barras, pares cinem´aticos y grados de libertad.
4
6. Resoluci´on
Una primera posibilidad es hacer la siguiente configuraci´on de barras:
n´umero de barras: 12
pares cinem´aticos de tipo 1:
13 de rotaci´on (entre 1 y 2, 2 y 3, 2 y 10, 2 y 5, 3 y 4, 3 y 12, 4 y 5, 4 y 7, 5 y 6, 5 y 9, 6 y 7,
6 y 11, 7 y 8)
3 pares prism´aticos (entre 1 y 12, 8 y 11, 9 y 10)
pares cinem´aticos de tipo 2: 0
n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
5
7. n = 3 (12 − 1) − 2 · 16 − 0 = 1
Otra forma de resolver este problema es con la siguiente configuraci´on de barras:
n´umero de barras: 10
pares cinem´aticos de tipo 1:
11 de rotaci´on (entre 1 y 2, 2 y 3, 2 y 10, 2 y 5, 3 y 4, 4 y 5, 4 y 7, 5 y 6, 5 y 9, 6 y 7, 7 y 8)
2 pares prism´aticos (entre 9 y 10)
pares cinem´aticos de tipo 2: 2(entre 3 y 11, 8 y 6)
n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
n = 3 (10 − 1) − 2 · 13 − 2 = 1
1.5. PROBLEMA.
La figura muestra el mecanismo de suspensi´on de un veh´ıculo monoplaza. Representar el esquema de
dicha suspensi´on tanto en planta (mecanismo de direcci´on) como en alzado (mecanismo de suspensi´on).
Determinar en cada caso en n´umero de grados de libertad.
6
8. Resoluci´on
Representamos en primer lugar el esquema de la suspensi´on:
n´umero de barras: 6
pares cinem´aticos de tipo 1: 7 (6 de revoluci´on y 1 prism´atico(entre 5 y 6))
pares cinem´aticos de tipo 2: 0
7
9. n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
n = 3 (6 − 1) − 2 · 7 − 0 = 1
En segundo lugar hacemos el esquema de la direcci´on:
n´umero de barras: 4
pares cinem´aticos de tipo 1: 4 (3 de revoluci´on y 1 prism´atico(entre 1 y 4))
pares cinem´aticos de tipo 2: 0
n = 3 · (nb − 1) − 2 · p1 − p2
n = 3 (4 − 1) − 2 · 4 − 0 = 1
8
10. Cap´ıtulo 2
AN´ALISIS DE POSICI´ON. M´etodo
gr´afico.
2.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Realizar el an´alisis de posici´on para seis
posiciones distintas de la barra de entrada, para los siguientes valores de las barras:
i) L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
ii) L1 = 3m, L2 = 2m, L3 = 4m, L4 = 4m.
iii) L1 = 4m, L2 = 4m, L3 = 3m, L4 = 2m.
r2
r1
r3
r4
i) ii) iii)
Resoluci´on
i) L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
θe = 0rad
9
16. r2
r1
r3
r4
θe = πrad
r2
r1
r3
r4
θe = 4π/3rad
r2
r1
r3
r4
2.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la posici´on de las barras, imponiendo
6 posiciones a la barra de entrada. Datos: L1 = 2; L2 = 4.
15
19. 2.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Realizar el an´alisis de posici´on para seis
posiciones distintas de la barra de entrada. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre
centros 4 metros, barra 3 8 m.
Resoluci´on
θe = 0rad
r2
r1
r3
r4
18
23. θe = πrad
θe = 4π/3rad
θe = 5π/3rad
2.5. PROBLEMA.
En la figura se muestra un yugo ingl´es. Realizar el an´alisis de posici´on para seis posiciones distintas
de la barra de entrada. Las dimensiones son OP = 4 m.
22
24. O
P
A
Resoluci´on
Definimos los vectores −→r1 , −→r2 y −→r3 de la siguiente forma:
−→r1 =
−→
AO
−→r2 =
−−→
OP
−→r3 =
−→
PA
θe = 0rad
r2
r1
r3
= 0
θe = π/6rad
23
26. r2
r1
r3
= 0
θe = 3π/2rad
r2
r1
r3
= 0
2.6. PROBLEMA.
Determinar gr´aficamente la posici´on de las barras del mecanismo que se muestra en la figura. Para
ello, introduce 6 posiciones a la barra de entrada Datos: L1 = 2; O1O2 = 8; L2 = 2; AC = 8; L3= 6; BC
= 8; L4 = 4; L5 = 1.
Resoluci´on
25
28. θe = 5π/3rad
Resoluci´on
2.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Realizar el an´alisis de posici´on para cuatro posiciones distintas de la barra de entrada. La longitud de la
barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de
giro de la barra 2 hay 4 m.
r2
r1
r3
Resoluci´on
θe = 0,06πrad
27
30. r2
r1
r3
2.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar su posici´on gr´aficamente, dando 6 posiciones a la
barra de entrada. Datos: L1 = 3; O2A = 2.
Resoluci´on
θe = 0rad
θe = π/3rad
29
33. Cap´ıtulo 3
AN´ALISIS DE POSICI´ON. M´etodo
anal´ıtico.
3.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Realizar el an´alisis de posici´on para un ´angulo
de entrada θ2 = 0rad y las siguientes longitudes de las barras:
L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
Resoluci´on
Si definimos un vector rk como rk = ρk · eiθk
el an´alisis de posici´on consiste en conocer los rk y los
θk, con k = 1, 2, .... Para ello emplearemos razones y teoremas trigonom´etricos entre otras cosas.
32
34. Los ρk son datos al igual que θ2, por lo que nuestro problema consiste en hallar los ´angulos: θ1, θ3 y θ4.
Es obvio que θ1 = 0, ∀t y unicamente tenemos que calcular θ3 y θ4.
Para obtener θ3 vamos a emplear el teorema del coseno:
cos θ3 =
9 + 4 − 16
2 · 3 · 2
⇒ θ3 = 104,47o
= 0,58 · πrad
De igual forma hacemos para calcular θ4:
cos α =
4 + 16 − 9
2 · 2 · 4
⇒ α = 46,56o
θ4 = 180o
− 46,56o
= 133,43o
= 0,74 · πrad
3
2 4
4
Q a
3
Q
4
3.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Realizar el an´alisis de posici´on de forma anal´ıtica
si el ´angulo de entrada es θ2 = 0o
. Datos: L1 = 2 m, L2 = 4 m
33
35. Resoluci´on
El resultado es muy sencillo e inmediato. Las longitudes de los vectores 2 y 3 coinciden con las
longitudes de las barras 1 y 2 respectivamente y la del vector 3 la podemos calcular por el teorema de
Pit´agoras.
El ´angulo del vector 2 es dato, 0o
, y el del vector 1 se puede observar en el gr´afico que es 90o
, mientras
que el del vector 3 es 180o
− α siendo α el ´angulo que forman los vectores 2 y 3. Este ´angulo lo podemos
calcular por el teorema del coseno. La soluci´on es la siguiente:
34
36. ρ2
1 + ρ2
2 = ρ2
3 ⇒ ρ1 =
√
42 − 22 = 3,46
cos α =
ρ2
2+ρ2
3−ρ2
1
2·ρ2·ρ3
= 4+16−12
12 ⇒ α = 60o
θ3 = 180o
− α = 120o
θ1 = 90o
; θ2 = 0o
; θ3 = 120o
.
ρ1 = 3,46m; ρ2 = 2m; ρ3 = 4m.
3.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Realizar el an´alisis de posici´on anal´ıticamente
para un ´angulo de la barra de entrada de θ2 = 0o
. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia
entre centros 4 metros, barra 3 8 m.
Resoluci´on
θ2 = 0o
, θ1 = 270o
, θ3 =?, θ4 =?.
ρ2 = 2m, ρ1 = 4, ρ3 =?, ρ4 = 8.
35
37. r
2
r
1
r
4
r
3
Q
4
=Q
3
a
cos 90 =
4+16−ρ2
3
16 ⇒ ρ3 = 4,47m
cos α =
42
+ρ2
3−22
8ρ3
⇒ α = 26,57o
θ3 = 90o
− 26,57o
= 63,42o
3.4. PROBLEMA.
La figura muestra una leva exc´entrica. Realizar el an´alisis de posici´on de forma anal´ıtica para un
´angulo de entrada igual a 0o
. Datos: R1 = 2m; L1 = 5m; R2 = 4m; L2 = 4m; O1A = 2m; L3 = 5m.
Resoluci´on
36
38. ρ3
ρ1ρ5
ρ6
ρ2
ρ4
Seg´un hemos definido los vectores conocemos los siguientes datos: m´odulos de los vectores 1, 2, 3, 5
y 6 y los ´angulos de los vectores 1, 2 y 5.
El m´odulo del vector 6 es la suma de los radios de las dos ruedas.
Utilizamos los vectores 5 y 6 para definir al 4, ya que −→r4 = −→r5 + −→r6
Definimos un nuevo vector de m´odulo a y ´angulo α1 para poder obtener los ´angulos que nos faltan.
9 + 16 = a2
⇒ a = 5
α1 = ar cos 9+25−16
30 = 53,13o
α2 = ar cos 25+16−9
40 = 38,86o
ρ1
ρ2
a
α1
α2
β1 = ar cos 25+25−36
40 = 73,73o
β2 = ar cos 36+25−25
60 = 53,13o
β3 = ar cos 36+25−25
60 = 53,13o
θ6 = β3 + α1 = 106,26
θ3 = 360o
− 90o
− β1 + α2 = 159,41o
ρ3
a
ρ6
β 2
β 3
β 1
ϕ = 180o
− θ6 = 73,74o
cos ϕ = 0,2799 =
4+36−ρ2
4
24 ⇒ ρ4 = 5,768
θ4 = ar cos 4+33,28−36
23,072 = 86,819o
ρ4
ρ6
ρ5
θ4
θ6
ϕ
37
39. Soluci´on:
θ1 = 0o
, θ2 = 90o
, θ3 = 159,4o
,θ4 = 86,819o
,θ5 = 0o
,θ6 = 106,2o
.
ρ1 = 5m, ρ2 = 4m, ρ3 = 5m, ρ4 = 5,768m, ρ5 = 2m, ρ6 = 6m.
3.5. PROBLEMA.
En la figura se muestra un yugo ingl´es. Realizar el an´alisis de posici´on de manera anal´ıtica para un
´angulo de la barra de entrada θ2 = 30o
. Las dimensiones son OP = 4 m.
O
P
A
Resoluci´on
θ2 = 30o
, θ1 = 180o
, θ3 = 270o
.
ρ2 = 4m, ρ1 =?, ρ3 =?.
Q
2
r
1
r
2
r
3
38
40. cos θ2 = ρ1
ρ2
⇒
√
3
2 = ρ1
4 ⇒ ρ1 = 3,464m
sin θ2 = ρ3
ρ2
⇒ 1
2 = ρ3
4 ⇒ ρ3 = 2m
3.6. PROBLEMA.
Realizar el an´alisis de posici´on de forma anal´ıtica del mecanismo que se muestra en la figura para un
´angulo de la barra de entrada de 0o
. Datos: L1 = 2m, O1O2 = 8m, L2 = 2m, AC = 8m, L3 = 6m, BC =
8m, L4 = 4m, L5 = 1m.
Resoluci´on
Tenemos que determinar 9 longitudes y 9 ´angulos de los vectores dibujados en el gr´afico.De las
longitudes conocemos 6, y de los vectores 4, con lo que tenemos 18 - 10 = 8 inc´ognitas. Para resolverlas
planteamos 8 ecuaciones escalares linealmente independientes.
ρ1 = 2m, ρ2 = 2m, ρ3 =?m, ρ4 =?m, ρ5 = 6m, ρ6 = 4m, ρ7 = 6m, ρ8 = 1m, ρ9 =?m.
θ1 = 0o
, θ2 =?o
, θ3 =?o
, θ4 =?o
, θ5 =?o
, θ6 =?o
, θ7 = 0o
, θ8 = −90o
, θ9 = 0o
.
Planteamos las siguientes ecuaciones vectoriales:
39
41. −→r 1 + −→r3 = −→r8 + −→r9
2 + ρ3 cos θ3 = ρ9
ρ3 sin θ3 = −1
(1)
(2)
−→r 2 + −→r4 = −→r3
2 cos θ2 + ρ4 cos θ4 = ρ3 cos θ3
2 sin θ2 + ρ4 sin θ4 = ρ3 sin θ3
(3)
(4)
−→r 7 = −→r2 + −→r5 + −→r6
6 = 2 cos θ2 + 6 cos θ5 + 4 cosθ6
0 = 2 sin θ2 + 6 sin θ5 + 4 sin θ6
(5)
(6)
−→r 8 + −→r 9 = −→r1 + −→r2 + −→r4
ρ9 = 2 + 2 cosθ2 + ρ4 cos θ4
−1 = 2 sin θ2 + ρ4 sin θ4
(7)
(8)
Resolviendo el sistema con paciencia obtenemos lo siguiente:
ρ1 = 2m, ρ2 = 2m, ρ3 = 8m, ρ4 = 8m, ρ5 = 6m, ρ6 = 4m, ρ7 = 6m, ρ8 = 1m, ρ9 = 9,91m.
θ1 = 0o
, θ2 = 75,63o
, θ3 = 173,71o
, θ4 = 157,47o
, θ5 = 20,08o
, θ6 = 88,12o
, θ7 = 0o
, θ8 = −90o
, θ9 = 0o
.
3.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Realizar el an´alisis de posici´on de manera anal´ıtica siendo el ´angulo de la barra de entrada θ2 = 30o
. La
longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto
al centro de giro de la barra 2 hay 4 m.
40
42. r2
r1
r3
Resoluci´on
θ2 = 30o
, θ1 = 0o
, θ3 =?.
ρ2 = 3m, ρ1 = 4, ρ3 =?.
ρ2
ρ1
ρ3
αθ2
cos θ2 =
ρ2
1+ρ2
2−ρ2
3
2ρ1ρ2
⇒
√
3
2 =
16+9−ρ2
3
24 ⇒ ρ3 = 2,053m
cos α = 2,0532
+42
−32
4·2·2,053 = 0,6828 ⇒ α = 46,93o
θ3 = 180o
− 46,93o
= 133,068o
3.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar el an´alisis de posici´on de forma anal´ıtica cuando
el ´angulo de entrada es 0o
.Datos: L1 = 3m; O2A = 2m.
41
44. Cap´ıtulo 4
RELACI´ON 4. AN´ALISIS DE
VELOCIDAD. M´etodo Gr´afico.
4.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ´angulo de entrada θ2 = 0o
y velocidad
de esta barra ω2 = 1rad/s calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida). Las dimensiones son:
L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
Resoluci´on
Para realizar el an´alisis de velocidad de forma anal´ıtica tenemos que tener claras dos ecuaciones.
La primera es que un punto A que gira alrededor de un centro O con un movimiento circular tiene una
velocidad igual a:
43
45. −→
VA = −→ω x
−−→
AB
Y la segunda es la ecuaci´on de velocidad de movimiento relativo:
−→
VA =
−→
Vo + −→ω x
−→
OA + v
Siendo
−→
V0 la velocidad del origen de los ejes de coordenadas intermedios, −→ω la velocidad angular de
los ejes intermedios,
−→
OA es la distancia entre el punto A y el origen de los ejes intermedios y v la velocidad
relativa del punto A vista desde los ejes intermedios.
Una vez explicadas estas f´ormulas solo tenemos que aplicarlas con criterio y resolver las inc´ognitas
que se nos plantean.
En este caso vamos a calcular la velocidad del punto A, que es el punto de uni´on de la barra 2 y la
barra 3, de la que conocemos la direcci´on y el m´odulo, y tambi´en vamos a calcular la velocidad del punto
B (punto de uni´on de la barra 3 y 4) con la ecuaci´on de movimiento circular, en la que conoceremos la
direcci´on, y la ecuaci´on de movimiento relativo, en la que conocemos la direcci´on de la parte angular, y
la direcci´on de la velocidad
−→
VB.
Para la ecuaci´on del movimiento relativo vamos a colocar los ejes intermedios con centro en A y girando
con la barra 3. Seg´un estas indicaciones tenemos lo siguiente:
X
Y
x
y
A
B
1
O 2
O
−→
VA = −→ω2x
−−→
O1A
direccion : perpendiculara
−−→
O1A
MoDulo : −→ω2x
−−→
O1A = 1 · 2 = 2
−→
VB = −→ω4x
−−→
O2B
direccion : perpendiculara
−−→
O2B
MoDulo :?
−→
VB =
−→
VA + −→ω3x
−−→
AB
direccion:perpendiculara
−−→
AB
direccion : perpendiculara
−−→
O2B
MoDulo :?
44
46. VA
ω3
VB
x AB
Una vez dibujamos las direcciones y m´odulos que tenemos obtenemos un tri´angulo con las tres veloci-
dades. Para obtener el valor num´erico de la velocidad solo tenemos que hacer una escala. As´ı por ejemplo,
si la velocidad de entrada de la barra 2 en el dibujo mide 16.79 mm y en la realidad 1 m/s, con medir lo
que vale en el papel la velocidad
−→
VB ya sabremos su verdadero valor. La medida en el papel es 33.35mm
y en la realidad:
|
−→
VB |=
33,35 · 2
16,79
= 2,016m/s
4.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pist´on si tenemos
un ´angulo de entrada θ2 = 45o
y una velocidad de entrada ω2 = 1rad/s. Datos: L1 = 2m, L2 = 4m.
Resoluci´on
45
47. VA = ω2 × r2
VB = VA + v
ω3 × r3 = 0
De VA conocemos su direcci´on y modulo (como ω2 × r2 son perpendiculares, se puede decir que VA =
ω2 × r2 ). De VB su direcci´on (direcci´on vertical). De v su direcci´on (paralela AB).
Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:
|VP | = 1,95 m/s
|ω3| = 0,379 rad/s
4.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Calcular la velocidad del punto B (pertene-
ciente a la barra 4 (barra larga)) para un ´angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o
y ω2 = 1rad/s. Las
dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.
46
48. Resoluci´on
A es un punto de la barra 2 (barra de entrada), y B pertenece a la barra 4. El eje de coordenadas fijo
lo situamos en O1(centro de rotaci´on de la barra 2) y el eje intermedio con centro en A y rotando con la
barra 4.
x
y
Y
X
Calculamos la velocidad de A:
−→
VA = −→ω2x
−−→
O1A =
0
0
1
x
2 cos30
2 sin 30
0
=
−→
i
−→
j
−→
k
0 0 1
2 cos30 2 sin 30 0
=
−1
1,73205
0
−→
VA = 1,999m/s
modulo ⊥
−−→
O1A
Calculamos la velocidad de B:
−→
VB = −→ω4x
−−→
O2B
direccion : perpendicular
−−→
O2B
MoDulo :?
Y tambi´en con la f´ormula del movimiento relativo seg´un los ejes definidos al principio del problema:
−→
VB =
−→
VA + −→v + −→ω4x
−−→
AB
0yaque
−−→
AB=0
=
−→
VA + −→v
47
49. El vector
−→
VB va a ser perpendicular a
−−→
O2B por la ecuaci´on anterior y el −→v va a ser paralelo al eje
x del sistema intermedio, ya que el movimiento relativo que describe para alguien situado en (x,y) es de
rectas paralelas a ox. Del vector
−→
VA conocemos m´odulo y direcci´on. Aplicamos las f´ormulas al dibujo y
obtenemos:
VA
VB
v
Aplicamos el factor de escala al dibujo y obtenemos que la velocidad del punto B es:
|
−→
VB |=
19,48 · 2
26,7
= 1,459m/s
4.4. PROBLEMA.
La figura muestra una leva exc´entrica. Calcular la velocidad del punto B de forma gr´afica para un
´angulo de entrada igual a 0o
y ω2 = 1rad/s. Datos: R1 = 2m; L1 = 5m; R2 = 4m; L2 = 4m; O1A = 2m;
L3 = 5m.
48
50. Resoluci´on
VA = ω4 × r4
VB = VA + ω3 × AB
De igual modo que antes VA = ω4 · r4. Conocemos direcci´on y modulo VB conocemos su direcci´on
(vertical) ω3 × AB conocemos su direcci´on, perpendicular a AB.
Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:
|
−→
VA|= −2m/s
| −→ω3|= −0,1053rad/s
|
−→
VB |= −1,86m/s
4.5. PROBLEMA.
En la figura se muestra un yugo ingl´es. Calcular la velocidad del punto B (perteneciente a la barra 4)
si el ´angulo de la barra de entrada esθ2 = 30o
y la velocidad ω2 = 1rad/s. Las dimensiones son OP = 4
m.
49
51. O1
A
Resoluci´on
Primero definimos los ejes. El eje fijo lo colocamos en O1, centro de rotaci´on de la barra de entrada
y el eje intermedio (x,y) lo situamos con centro en A y girando con la barra 4, o lo que es lo mismo, no
gira.
y
x
Y
XO1
B c 4
A c 2
Calculamos la velocidad del punto A:
−→
VA = −→ω2x
−−→
O1A =
0
0
1
x
4 cos30
4 sin 30
0
=
−→
i
−→
j
−→
k
0 0 1
4 cos 30 4 sin 30 0
=
−2
3,4646
0
−→
VA = 4m/s
modulo ⊥
−−→
O1A
Calculamos la velocidad del punto B:
50
52. −→
VB =
−→
VA + −→v + −→ω4x
−−→
AB
0yaque−→ω4=0
=
−→
VA + −→v
La velocidad del punto B sabemos que va a ser paralela al eje X, debido al movimiento del yugo, y la
velocidad relativa va a ser paralela al eje y, porque la barra 4 se va a mover hacia arriba y hacia debajo
por la gu´ıa. Ya tenemos todas las direcciones y m´odulos necesarios para hacer el gr´afico de velocidades:
v VA
VB
Si medimos y le aplicamos el factor de escala obtenemos que:
−→
VB =
6,127 · 4
14,15
= 1,732m/s
4.6. PROBLEMA.
Determinar la velocidad del punto C del mecanismo que se muestra en la figura. El ´angulo de la barra
de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s.
Datos: L1 = 2m, O1O2 = 8m, L2 = 2m, AC = 8m, L3 = 6m, BC = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m.
51
53. Resoluci´on
VA = ω1 · r1
VB = VA + ω3 × AB
De igual modo que antes VA = ω1 · r1. Conocemos direcci´on y modulo VB conocemos su direcci´on
(horizontal) ω3 × AB conocemos su direcci´on, perpendicular a AB.
Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:
|
−→
VA|= 2m/s
| −→ω3|= 0,252rad/s
|
−→
VB |= 0,252m/s
4.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ´angulo de la barra de entrada
es θ2 = 30o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s. La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la
rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m.
52
54. r2
r1
r3
Resoluci´on
Situamos los ejes fijos con centro en O1 y los intermedios con centro en A y rontando con 2, tal y
como se muestra a continuaci´on:
X
Y
xy
A c 2
B c 3
O1 O2
53
55. Calculamos la velocidad del punto A:
−→
VA = −→ω2x
−−→
O1A =
0
0
1
x
3 cos30
3 sin 30
0
=
−→
i
−→
j
−→
k
0 0 1
2,598 1,5 0
=
−1,5
2,598
0
−→
VA = 2,999m/s
Calculamos la velocidad del punto B:
−→
VB =
−→
VA + −→v + −→ω2x
−−→
AB
0yaque
−−→
AB=0
=
−→
VA + −→v
−→
VB = −→ω3x
−−→
O2A
direccion : perpendicular
−−→
O2A
MoDulo :?
Del vector
−→
VA conocemos todo y de
−→
VB la direcci´on, por lo que solo nos queda analizar el vector −→v .
Un sujeto situado en el eje (x,y) ver´a el punto B moverse el eje x, por lo que ya conocemos el m´odulo de
este vector. Dibujamos los resultados:
3 x O B3 x 2
AA
AB
a
26.12
3
x O B2
α
Aplicamos el factor de escala y obtenemos que el m´odulo de la velocidad del punto B vale:
−→
VB =
106,06 · 3
23,97
= 13,274m/s
54
56. 4.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ´angulo de la barra
de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s.
Datos: L1 = 3m; O2A = 2m.
Resoluci´on
VA = ω1 × r1.
El punto A est´a en la rueda.
Midiendo y multiplicando por el factor de escala obtenemos:
|
−→
VA|= 2m/s
55
57. Cap´ıtulo 5
RELACI´ON 5. AN´ALISIS DE
VELOCIDAD. M´etodo Anal´ıtico.
5.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ´angulo de entrada θ2 = 0o
y
velocidad de esta barra ω2 = 1rad/s calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida) aplicando el
m´etodo anal´ıtico. Las dimensiones son:
L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
Resoluci´on
Podemos aplicar el m´etodo anal´ıtico de dos formas distintas. Una primera es con las ecuaciones
cinem´aticas empleadas en el an´alisis gr´afico (relaci´on 4). Una vez tenemos las ecuaciones vectoriales
damos los valores a los datos que conozcamos y resolvemos el sistema de ecuaciones resultante sabiendo
que cada ecuaci´on vectorial son dos ecuaciones escalares.
56
58. La segunda forma de resolver estos problemas es aplicando ecuaciones de cierre. Este m´etodo consiste
en definir unos vectores para formar un circuito cerrado y poder plantear una serie de ecuaciones. En
algunos problemas tendremos que elegir m´as de un circuito de vectores.
En primer lugar tenemos que plantear la ecuaci´on vectorial y aplicar la notaci´on compleja para los
vectores:
rk
rkx
rky
Y
X
^
−→rk = ρk · ejθk
ejθk
= cos θk + j · sin θk
−→rk = ρk (cos θk + j · sin θk)
con k un vector cualquiera.
Si derivamos esta expresi´on con respecto al tiempo tenemos que:
d(−→rk )
dt =
d(ρk·ejθk )
dt = d(ρk)
dt · ejθk
+
d(ejθk )
dt · ρk = ˙ρk · ejθk
+ j ˙θkρk · ejθk
r′
k = ˙ρk + j ˙θkρk · ejθk
= ˙ρk + j ˙θkρk · (cos θk + j sin θk)
En segundo lugar elegiremos el o los circuitos de vectores que vamos a emplear para resolver el
problema. Se escoger´an en funci´on de los datos que nos pregunten en el enunciado del problema o los
par´ametros que querramos conocer nosotros. Para este problema elegimos los siguientes:
r2
r1
r3
r4
57
59. A continuaci´on tendr´ıamos que resolver el problema de posici´on para conocer todos los m´odulos y
´angulos de la figura, pero como ya lo hicimos en la relaci´on 2, pasamos a plantear las ecuaciones.
−→r1 + −→r2 + −→r3 = −→r4
−→r1
′
+ −→r2
′
+ −→r3
′
= −→r4
′
˙ρ2 + j ˙θ2ρ2 · ejθ2
+ ˙ρ3 + j ˙θ3ρ3 · ejθ3
= ˙ρ4 + j ˙θ4ρ4 · ejθ4
(0 + j · 1 · 2) · 1 + 0 + j · ˙θ3 · 3 · (−0,25 + j · 0,97) = 0 + j · ˙θ4 · 4 · (−0,69 + j · 0,73)
˙θ3 = 0,567rad/s
˙θ4 = −0,566rad/s
Vemos que los m´odulos de los vectores son constantes en todos los casos por lo que sus derivadas son
nulas.
Y lo ´ultimo que tenemos que realizar una vez calculado los par´ametros que desconoc´ıamos es resolver
la velocidad del punto B. La velocidad de la barra 4 la podemos calcular como la velocidad del punto B,
ya que pertenece a la barra. La velocidad de un punto se calcula como la derivada del vector que une el
punto con un punto fijo. Por lo que el resultado es el siguiente:
−→
VB = −→r4
′
= ˙ρ4 + j ˙θ4ρ4 · ejθ4
= (0 + j · (−0,566) · 4) · (−0,69 + j · 0,73) =
1,65
1,56
m/s
Si hacemos el m´odulo de la velocidad observamos que el resultado es parecido al obtenido en la relaci´on
4 y ser´ıa igual si las mediciones fuesen exactas.
5.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pist´on si tenemos
un ´angulo de entrada θ2 = 45o
y una velocidad de entrada ω2 = 1rad/s aplicando el m´etodo anal´ıtico.
Datos: L1 = 2m, L2 = 4m.
58
60. Resoluci´on
˙r2 + ˙r3 = ˙r1
˙ρ2eiθ2
+ ρ2i ˙θ2eiθ2
+ ˙ρ3eiθ3
+ ρ3i ˙θ3eiθ3
= ˙ρ1eiθ1
+ ρ1i ˙θ1eiθ1
ρ2i ˙θ2eiθ2
+ ρ3i ˙θ3eiθ3
= ˙ρ1eiθ1
˙θ2ρ2 sin θ2 + ˙θ3ρ3 sin θ3 = ˙ρ1 cos θ1
˙θ2ρ2 cos θ2 + ˙θ3ρ3 cos θ3 = ˙ρ1senθ1
ω3 = ω2ρ2 sin θ2
ρ3 sin θ3
= −0,3779 rad/s
˙ρ1 = ˙θ2ρ2 cos θ2 + ˙θ3ρ3 cos θ3 = 1,984 m/s
5.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Calcular la velocidad del punto B (perte-
neciente a la barra 4 (barra larga)) para un ´angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o
y ω2 = 1rad/s
aplicando el m´etodo anal´ıtico. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros,
barra 3 8 m.
59
61. Resoluci´on
r2
r1
r3
−→r1 + −→r2 = −→r3
−→r1
′
+ −→r2
′
= −→r3
′
˙ρ2 + j ˙θ2ρ2 · ejθ2
= ˙ρ3 + j ˙θ3ρ3 · ejθ3
(0 + j · 1 · 2) · 1 = ˙ρ3 + j · ˙θ3 · 4,43 · (0,45 + j · 0,89)
˙θ3 = 0,204rad/s
˙ρ3 = 1,79m/s
La velocidad del punto B la calculamos como la derivada del vector que une un punto fijo con este, y
el resultado es el mismo si empleamos −→r2 o −→r3 .
60
62. −→
VB = −→r3
′
= ˙ρ3 + j ˙θ3ρ3 · ejθ3
= (1,79 + j · 0,904) · (0,45 + j · 0,89) =
0,0054
1,594
m/s
5.4. PROBLEMA.
La figura muestra una leva exc´entrica. Calcular la velocidad del punto B de forma gr´afica para un
´angulo de entrada igual a 0o
y ω2 = 1rad/s aplicando el m´etodo anal´ıtico. Datos: R1 = 2m; L1 = 5m;
R2 = 4m; L2 = 4m; O1A = 2m; L3 = 5m.
Resoluci´on
61
63. ˙r1 + ˙r2 + ˙r3 = ˙r4
˙ρ1eiθ1
+ ρ1ω1ieiθ1
+ ˙ρ2eiθ2
+ ρ2ω2ieiθ2
+ ˙ρ3eiθ3
+ ρ3ω3ieiθ3
= ˙ρ4eiθ4
+ ρ4ω4ieiθ4
˙ρ1 = ω1 = ˙ρ2 = ˙ρ3 = ˙ρ4 = 0
ρ2ω2 sin θ2 + ρ3ω3 sin θ3 = 0
ρ2ω2 cos θ2 + ρ3ω3 cos θ3 = ρ4ω4
ω2 = −ρ3ω3 sin θ3
ρ2 sin θ2
= 0,3714 rad/s
ω3 = − ρ4ω4
ρ3
sin θ3
tgθ2
+cos θ3
= 0,1045 rad/s
VB = ρ2ω2ieiθ2
= (0,581, −1,7636) m/s
|VB| = 1,856 m/s
5.5. PROBLEMA.
En la figura se muestra un yugo ingl´es. Calcular la velocidad del punto B (perteneciente a la barra 4)
si el ´angulo de la barra de entrada esθ2 = 30o
y la velocidad ω2 = 1rad/s aplicando el m´etodo anal´ıtico.
Las dimensiones son OP = 4 m.
O1
A
Resoluci´on
62
64. r2
r1
r3
−→r1 = −→r2 + −→r3
−→r1
′
= −→r2
′
+ −→r3
′
˙ρ1 + j ˙θ1ρ1 · ejθ1
= ˙ρ2 + j ˙θ2ρ2 · ejθ2
+ ˙ρ3 + j ˙θ3ρ3 · ejθ3
( ˙ρ1 + j · 0 · 3,464 · 2) · (−1) = (0 + j · 4 · 1) · (0,86 + j0,5) + ( ˙ρ3 + j · 0 · 2) · (−j)
˙ρ1 = 2m/s
˙ρ3 = 3,46m/s
Una vez calculados todos los par´ametros podemos resolver la velocidad del punto B:
−→
VB = −→r1
′
= ˙ρ1 + j ˙θ1ρ1 · ejθ1
= (2 + j · 0) · (−1 + j · 0) =
2
0
m/s
5.6. PROBLEMA.
Determinar la velocidad del punto C del mecanismo que se muestra en la figura aplicando el m´etodo
anal´ıtico. El ´angulo de la barra de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s.
Datos: L1 = 2m, O1O2 = 8m, L2 = 2m, AC = 8m, L3 = 6m, BC = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m.
63
65. Resoluci´on
˙r1 + ˙r3 + ˙r8 = ˙r9
˙ρ1eiθ1
+ ρ1ω1ieiθ1
+ ˙ρ3eiθ3
+ ρ3ω3ieiθ3
+ ˙ρ8eiθ8
+ ρ8ω8ieiθ8
= ˙ρ9eiθ9
+ ρ9ω9ieiθ9
˙ρ1 = ω8 = ω9 = ˙ρ3 = ˙ρ8 = 0
ρ3ω3 sin θ3 = ˙ρ9
ρ1ω1 + ρ3ω3 cos θ3 = 0
ω3 = − ρ1ω1
ρ3 cos θ3
= −0,252 rad/s
˙ρ9 = −ρ1ω1tgθ3 = −0,255 m/s
VB = ˙ρ9eiθ9
= (−0,255, 0) m/s
|VB| = 0,255 m/s
5.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ´angulo de la barra de entrada
es θ2 = 30o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s aplicando el m´etodo anal´ıtico. La longitud de la barra 2
es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de
la barra 2 hay 4 m.
64
67. Como la velocidad de un punto es la derivada del vector que une un punto fijo cualquiera con el punto
en cuesti´on, planteamos la velocidad del punto B de la siguiente manera:
−→
VB = −→r3
′
= ˙ρ3 + j ˙θ3ρ3 · ejθ3
= (−8,50 + j4,585) · (−0,98 + j0,73) =
−2,51
−5,11
m/s
5.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ´angulo de la barra
de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s aplicando el m´etodo anal´ıtico.
Datos: L1 = 3m; O2A = 2m.
Resoluci´on
VA = ˙r1 = ρ1ω1ieiθ1
= (0, 2) m/s
|VA| = 2 m/s
66
68. Cap´ıtulo 6
RELACI´ON 6. AN´ALISIS DE
ACELERACI´ON. M´etodo Gr´afico.
6.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ´angulo de entrada θ2 = 0o
y velocidad
de esta barra ω2 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
calcular la aceleraci´on de la barra 4 (barra de
salida). Las dimensiones son:
L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
Resoluci´on
La resoluci´on del problema es igual que para el caso de la velocidad pero cambiando la f´ormula por
la de aceleraci´on y la resoluci´on es id´entica pero m´as laboriosa.
ejes intermedios: origen en O1 y girando con 2.
67
69. −→
AA =
−−→
AO1
0
+ −→ω2x (−→ω2x−−→rO1A)
0
0
1
x
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
+ −→α2x−−→rO1A
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
=
−2
2
0
ejes intermedios en A y girando con 3:
−→
AB =
−→
AA
−2
2
0
+ −→ω3x (−→ω3x−−→rAB)
AB
+ −→α3x−−→rAB
⊥AB
ejes intermedios en O2 y girando con 4:
−→
AB =
−−→
AO2
0
+ −→ω4x (−→ω4x−−−→rO2B)
O2B
+ −→α4x−−−→rO2B
⊥O2B
Si medimos en el an´alisis de velocidad gr´afico el vector −→ω3x
−−→
AB y el vector
−→
VB y los transformamos a
unidades reales obtenemos |−→ω3| y |−→ω4|.
−→
VB = |−→ω4| x |−−→rAB| ⇒ |−→ω4| = 2
3 = 0,66rad/s
|−→ω3x−−→rAB| = 1,463 ⇒ |−→ω3| = 1,463
3 = 0,487rad/s
68
70. 3 x AB
AA
B
O1
O2
AA
3 x AB3 x 4 x O B4 x 2
AB
Si medimos en el papel la longitud de la flecha y le aplicamos el factor de escala obtenemos que la
aceleraci´on del punto B es:
−→
AB =
17,18 · 2
20
= 1,718m/s2
6.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la aceleraci´on del pist´on si tenemos
un ´angulo de entrada θ2 = 0 y una velocidad de entrada ω2 = 1rad/sm y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
.
Datos: L1 = 2m, L2 = 4m.
69
71. Resoluci´on
AP − AA = α3 × r3 + ω3 × ω3 × r3
Midiendo obtenemos:
Ap = 2,67m/s2
;
α3 = 0,324 rad/s2
La soluci´on es:
Ap = 5,341·2,2
4,4 = 2,67 m/s2
6.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Calcular la aceleraci´on del punto B (perte-
neciente a la barra 4 (barra larga)) para un ´angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o
y ω2 = 1rad/s y
aceleraci´on α2 = 1rad/s2
. Las dimensiones son barra de entrada 2 m, distancia entre centros 4 metros,
barra 3 8 m.
70
72. Resoluci´on
ejes intermedios con centro en A ∈ 2 y girando con 3
−→
AB =
−→
AA + −→ω3x (−→ω3x−−→rAB)
0,A=B
+ −→α3x−−→rAB
0,A=B
+−→a + 2−→ω3x−→v =
−→
AA + −→a
02B
+2−→ω3x−→v
−→
AA =
−−→
AO1
0
+ −→ω2x (−→ω2x−−→rO1A)
0
0
1
x
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
+ −→α2x−−→rO1A
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
ejes intermedios en O2 y girando con 3:
−→
AB = −→ω3x (−→ω3x−−−→rO2B)
O2B
+ −→α3x−−−→rO2B
⊥O2B
Del an´alisis de velocidad gr´afico obtenemos el m´odulo de −→v (1.37m/s) y el m´odulo de −→ω3 como
VB/O2B (0.326rad/s). Otra cosa que tenemos que tener en cuenta es la velocidad relativa de −→a , que es
O2B porque se mueve sobre 3. Con las f´ormulas y estos datos podemos dibujar lo siguiente:
71
73. AA
a
0.89
ω3
x ω3
x O B2
α3
x O B2
AB
O1
O2
Midiendo la aceleraci´on y aplic´andole el factor de escala sale un valor de la aceleraci´on del punto B
de :
−→
AB =
27,32 · 2
20
= 2,732m/s2
6.4. PROBLEMA.
La figura muestra una leva exc´entrica. Calcular la aceleraci´on del punto B de forma gr´afica para un
´angulo de entrada igual a 0o
y ω2 = 1rad/s y α2 = 1rad/s2
. Datos: R1 = 2m; L1 = 5m; R2 = 4m;
L2 = 4m; O1A = 2m; L3 = 5m.
72
74. Resoluci´on
AA = AT + AN = α4 × r4 + ω4 × ω4 × r4
Ponemos un eje con centro en A que gira con 3:
AB − AA = α3 × r3 + ω3 × ω3 × r3
Ponemos un eje con centro en C que gira con 2:
AB − AC = α2 × r2 + ω2 × ω2 × r2
Midiendo obtenemos:
α3 = 1,026 rad/s2
La soluci´on es:
α2 = 0,66·2
4 = 0,33 rad/s2
|AB| = α2r2 + ω2
2
r2 = 2,33 m/s2
6.5. PROBLEMA.
En la figura se muestra un yugo ingl´es. Calcular la aceleraci´on del punto B (perteneciente a la barra
4) si el ´angulo de la barra de entrada esθ2 = 30o
y la velocidad ω2 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
aplicando el m´etodo anal´ıtico. Las dimensiones son OP = 4 m.
73
75. O1
A
Resoluci´on
ejes intermedios con centro en A y girando con 3:
−→
AB =
−→
AA + −→ω3x (−→ω3x−−→rAB)
0,A=B
+ −→α3x−−→rAB
0,A=B
+−→a + 2−→ω3x−→v =
−→
AA + −→a
02B
+2−→ω3x−→v
−→
AA = −→ω2x (−→ω2x−−→rO1A)
0
0
1
x
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
+ −→α2x−−→rO1A
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
=
−5,46
1,46
0
La direcci´on de
−→
AB es paralela al eje ox mientras que −→ω3 es 0 porque la barra 3 no gira. Tambi´en hay
que saber que la velocidad relativa −→a es paralela al eje oy porque 4 no gira y se desplaza sobre la gu´ıa.
Con estas consideraciones podemos hacer el siguiente dibujo:
74
76. AA
AB
a
B A
O1
Tomamos la medida de la aceleraci´on de B y la multiplicamos por el factor de escala:
−→
AB =
1 · 54,6
10
= 5,46m/s2
6.6. PROBLEMA.
Determinar la aceleraci´on del punto C del mecanismo que se muestra en la figura. El ´angulo de la
barra de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
.
Datos: L1 = 2m, O1O2 = 8m, L2 = 2m, AC = 8m, L3 = 6m, BC = 8m, L4 = 4m, L5 = 1m.
Resoluci´on
75
77. Calculamos la Aceleraci´on del punto A:
AA = AT + AN = α1 × r1 + ω1 × ω1 × r1
Para calcular la aceleraci´on del punto C, ponemos un eje con centro en A,que gira con 3:
AC − AA = α3 × r3 + ω3 × ω3 × r3
Midiendo obtenemos:
Ap = 2,391·1,87
2,805 = 1,59 m/s2
6.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Calcular la aceleraci´on del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ´angulo de la barra de entrada
es θ2 = 30o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
. La longitud de la barra 2 es
de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese punto al centro de giro de la
barra 2 hay 4 m.
r2
r1
r3
76
78. Resoluci´on
Situamos los ejes intermedios con centro en A y rotando con 2.
−→
AA = −→ω2x (−→ω2x−−→rO1A)
0
0
1
x
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
+ −→α2x−−→rO1A
0
0
1
x
2 cosθ2
2 sin θ2
0
=
−4,09
1,09
0
−→
AB =
−→
AA + −→ω3x (−→ω3x−−→rAB)
0,A=B
+ −→α3x−−→rAB
0,A=B
+−→a + 2−→ω3x−→v =
−→
AA + −→a
−→v
+ 2−→ω3x−→v
⊥−→v−→
AB = −→ω3x (−→ω3x−−−→rO2B) + −→α3x−−→rO2B
conocemos la direcci´on y m´odulo de −→v ya que los calculamos en el an´alisis gr´afico de velocidad y −→ω3
que lo calculamos como:
|−→ω3| =
−→
VB
|−−−→rO2B|
=
13,274
3
= −4,42rad/s
77
80. Aplicamos el factor de escala a la medida tomada en el gr´afico y obtenemos una aceleraci´on del punto
B de:
−→
AB =
590 · 1
2
= 295m/s2
6.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la aceleraci´on del punto A si el ´angulo de la barra
de entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s y la aceleraci´on α2 = 1rad/s2
.
Datos: L1 = 3m; O2A = 2m.
Resoluci´on
Para calcular la aceleraci´on de A:
AA = AT + AN = α2 × r2 + ω2 × ω2 × r2
79
81. De modo que midiendo:
Ap = 2,838·12
12 = 2,838 m/s2
80
82. Cap´ıtulo 7
RELACI´ON 7. AN´ALISIS DE
ACELERACI´ON. M´etodo Anal´ıtico.
7.1. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de cuatro barras. Para un ´angulo de entrada θ2 = 0o
y velocidad
de esta barra ω2 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
calcular la velocidad de la barra 4 (barra de salida)
aplicando el m´etodo anal´ıtico. Las dimensiones son:
L1 = 2m, L2 = 3m, L3 = 4m, L4 = 4m.
Resoluci´on
El procedimiento para resolver los problemas de aceleraci´on con el m´etodo anal´ıtico es el mismo que
el del problema de velocidad pero empleando las expresiones de aceleraci´on, que resulta de derivar dos
veces la definici´on compleja del vector como se puede ver a continuaci´on:
81
83. rk = (ρk) · ejθk
r′
k = ˙ρk + j ˙θkρk · ejθk
r′′
k = ¨ρk + j¨θkρk + 2j ˙θk ˙ρk − ˙θ2
kρk · ejθk
Como ya tenemos resuelto el an´alisis de posici´on y de velocidad para la siguiente posici´on solo tenemos
que resolver las ecuaciones obtenidas con la aceleraci´on.
r2
r1
r3
r4
−→r1 + −→r2 + −→r3 = −→r4
−→r1
′
+ −→r2
′
+ −→r3
′
= −→r4
′
−→r1
′′
+ −→r2
′′
+ −→r3
′′
= −→r4
′′
¨ρ2 + j¨θ2ρ2 + 2j ˙θ2 ˙ρ2 − ˙θ2
2ρ2 · ejθ2
+ ¨ρ3 + j¨θ3ρ3 + 2j ˙θ3 ˙ρ3 − ˙θ2
3ρ3 · ejθ3
= ¨ρ4 + j¨θ4ρ4 + 2j ˙θ4 ˙ρ4 − ˙θ2
4ρ4 · ejθ4
(j · 1 · 2 − 1 · 2) · 1 + j · ¨θ3 · 3 − 0,321 · 3 · (−0,25 + j · 0,97) = j¨θ4 · 4 − 0,320 · 4 · (−0,69 + j · 0,73)
¨θ3 = 0,567rad/s2
¨θ4 = −0,566rad/s2
Calculamos la aceleraci´on de B con el vector −→r4 y obtenemos:
−→
AB = −→r4
′′
= ¨ρ4 + j¨θ4ρ4 + 2j ˙θ4 ˙ρ4 − ˙θ2
4ρ4 · ejθ4
=
= (j · (−0,566) · 4 − 0,320 · 4) · (−0,69 + j · 0,73) =
1,214
−1,34
m/s2
7.2. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo biela-manivela. Determinar la velocidad del pist´on si tenemos
un ´angulo de entrada θ2 = 0 y una velocidad de entrada ω2 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
aplicando el m´etodo anal´ıtico. Datos: L1 = 2m, L2 = 4m.
82
85. 7.3. PROBLEMA.
En la figura se muestra un mecanismo de retorno r´apido. Calcular la velocidad del punto B (perte-
neciente a la barra 4 (barra larga)) para un ´angulo de la barra de entrada de θ2 = 30o
y ω2 = 1rad/s
y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
aplicando el m´etodo anal´ıtico. Las dimensiones son barra de entrada 2 m,
distancia entre centros 4 metros, barra 3 8 m.
Resoluci´on
r2
r1
r3
84
89. Resoluci´on
Real : − ˙θ2
1ρ1 − ˙θ2
3ρ3 cos θ3 + ¨θ3ρ3senθ3 = ¨ρ9
Imag : −¨θ2
1ρ1 − ˙θ2
3ρ3senθ3 + ¨θ3ρ3cosθ3 = 0
¨θ3 =
−¨θ2
1ρ1+ ˙θ2
3ρ3senθ3
ρ3cosθ3
= −0,126rad/s2
− ˙θ2
1ρ1 − ˙θ2
3ρ3 cos θ3 + ¨θ3ρ3senθ3 = ¨ρ9 = −1,273m/s2
AP = ¨r8 + ¨r9 = (¨ρ9, 0) = (−1,273, 0)
|AP | = 1,273 m/s2
7.7. PROBLEMA.
En la figura se muestra una rueda esc´entrica con una gu´ıa por donde se desplaza el bul´on de barra 2.
Calcular la velocidad del punto B perteneciente a la barra 3 (rueda) si el ´angulo de la barra de entrada es
θ2 = 30o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
aplicando el m´etodo anal´ıtico.
La longitud de la barra 2 es de 3 m, del centro de la rueda al punto sobre el que gira 2 m, y desde ese
punto al centro de giro de la barra 2 hay 4 m.
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91. Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuaci´on de la aceleraci´on del punto B:
−→
AB = −→r2
′′
= ¨ρ2 + j¨θ2ρ2 + 2j ˙θ2 ˙ρ2 − ˙θ2
2ρ2 · ejθ2
= m/s2
Como podemos ver no era necesario calcular los par´ametros que hemos obtenido aunque pueden ser
´utiles para otro tipo de preguntas de otras velocidades y aceleraciones.
7.8. PROBLEMA.
La figura muestra la rueda de ginebra. Determinar la velocidad del punto A si el ´angulo de la barra de
entrada es θ1 = 0o
y la velocidad angular ω1 = 1rad/s y aceleraci´on α2 = 1rad/s2
aplicando el m´etodo
anal´ıtico.
Datos: L1 = 3m; O2A = 2m.
Resoluci´on
90
92. Para calcular la aceleraci´on simplemente sustituimos:
Ap = ¨r2 = ρ2ω2 + iα2ρ2 = 2,838 m/s2
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