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UIIT PróIoqo a Ia edícíónen espairal
regionalisrnos; err sfigun(1olitgar, prirqr!B ia tlrrclrr¡lr,*ia fís!ia cestella¡la ttidavia
no se ha ase¡riiiCc, r:n parte ¡tor la lntiuernci¡t..'air:jbii:t¡:r: han tenido la:: termi-
nologí;,s franci:sa e il¡li¿¡¡ra y la ter;rtinrtloi{i:iing}r}sr:.'t;r prirte por el insuiicient|
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i¡rsistir e:l (itrs casosi he:n¡i; trs;i:l¡ ii)¡,i:tr'tilrrf¿tr:i','.,igna;'el ¡!1{}rirt-'¡rt{rtlc un;i
iue¡'¿a p1)r'(¡uÉcs J.apsirii)ril, in:jl sin;tri.. i,ii;'a.r:1)nrr)ir;zaiiils rilversr¡s rlrirltrles rlut'
s,: h:ir: i¡sarlo Dara estr: conceflo 1'polr.t,-:i¡,-llnir].l-:uvt:t i3 il1i.t:rnacic¡nalizaciónde
ia tellrirtrliogf a. Utra ;tln'i'¡ciii; r's f¡¡{ir;in¡ü:t¿ lc.i Lrailrt,:1cr-esfra¡rcescsde Newtorr
¡;r'eiiiicrcn la designación carle¡iana ric ¡rrniir.ii¡¡.iri..rivr'-.r'i¡:nietiio,que también tuv+
a¡'r:i-rti.,riótlgeneral en it¿rlianr,r.rrlr,.'¿lsieii*no, -!in ril,,:,rrgr)- su uso rcsultri inco;.1-
.,'criicnte poí su longiinri y i),)r:qtrrr:l; ¡¡r:-rcir<-rstrat.iiri¡ii.ntus lerjrícos el concepto no
está direcf.amci¡tereiacionado cun -¡i:t,;.imlr¡rto. '
lilr. ii¡.rsimplificar !,'cfilrtribilir
a l:¡ irrteinacicnalización de l¡ tt-ritrirroi¡.,::í:thtnir¡: preferidr; m¡LmenltLtn.
Iista¡nirs col;sr:ic¡ltesrit i¡ai¡ei l{iqrá(¡r,,iri¡l i¡ati,¡i:cii;n aceptabie. Esto lla sid¡¡
ilu:rii:le í.:iacilrsa l:r c,/ial)orai:iirn tlc lisi.:<.,i.l.rr-lj::iirrti:' procedet'iciasque trabajatr
t:-r r:i l.!e¡;ari"atnetrt<.¡rIe lrísic¿ r.lela [.nir.i;rsir]¿rt1de Orierii¿, a la tie;nuchos fisicos
:lr tiitrrcntes f¡artes dt i.atiiloanrérica ':ilrr.,1¡t't,-r*si:o¡rsult.¿ldu¡'a la dcl Llr. Ifarcelo
;lcrisü. Quereriros también rnanilestar riutrstr{i agredecirrriento a l¿resposa de uno
de rrosotros(C. A. H.) por su ayuda cn innúrr:eras tare¡s secretarialesy en la revi-
s!én de todo el rnanuscrito, lo cual iedundó en unü nrtjor presentación del texto,
piirrcipaimente por la supresién de nruchos anglicismos, galicismos y barbarismos.
Cumanri
iunio de 1970
C.rRr,osAr,sEnro llenas
JosÉ A. B¡Rnpro An¡u¡o
Versión en españolde:
CARLOSALBERTOHERAS
CoardinudorCientílico
Universidadde Oriente.Venezuela
v
JOSEA. BARRETOARAUJO
Departamentode Física
Universídadde Oríente,Venezuela
Conla colaboraciónde:
ROMULOE. BALLESTERO
Facultadde Cienciasy Letras
Universidadde CostaRica
rl
FISICA
VOTUMENII: CAMPOSY ONDAS
Deportamentode
FISICA
VOTUMENII: CAMPOSY ONDAS
MARCELOALONSO
Departamentode Físíca,UniversidaddeGeargetown
Washíngton,D. C.
AsuntosCientlficos,Organizaciónde los EstadosAmerimnos
EDWARD I. FINN
Deparlamentode Física,lJniversidaddeGeorgetown
Washington,D.C.
FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO,
Bogotá Caracas- X'féxico- Panamá - San Juan - Santiago - Siro
S. A.
Pa:l:,
rr;;r¡;..;irif ¡,; i:::riil,ingiesetituiada
;,::. 'L
i-'ttii: t;¡tti ]l'rlíif.!,
i'-:.r,:,;; '. l":,.,i, ¡:dicióttci* 1967,
lii;r 1:-;;¡¡;¡i.l;::l¡:;,ny,Read.iflp.,
-..isiil;;,ri; ii l3 úf:¡caaütilr;uada.
. .-il :
:t j':.:!
. l/;,¡t.
f{lii'i ri.'
€) l$70 ¡ror tr'ONIIO EIlUf;Ag;l'O INTERAMFRXCA¡rO, fl. A.
T¡:clos los rlrrechos han sido ¡esei"?.?(i¡s. Ni est¡: iibro rri parte de él ¡lueden ser
r*pxo(irrriiji)$ er¡ fornl:t algl:n:r $in (ii i..crfillso eicrlta ¡j<:su editor. Printed in the
Llnitei Sl.;'.icrr¡i Ailrcric¿r.lnr¡-.¡¡rq"¿:rrio¡,ii.II",]i. Tarjr',ia del catálogo de la Biirtic¡*
teca ilri Co:rgiesc de !l:¡:I-iE. Lir{-i.; 7.1"1!3::l19"
PROTOGOA TITEDICIONEN ESPANOL
Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof el
carácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestruc-
turar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo más
moderno e interesantepara los estudiantes.Este trabajo lue completado por ambos
traductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba a
utilizar en cursosbásicoscomunesa todos los estudiantesde ingenierfa y de ciencias
(incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era la
falta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores del departarninto
un csfuerzode asimilación de textos tales como The Fegnman Leclureson Pñysics.
Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco despuésel Il
de esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufa
del curso de fisica general,conscientesde los inconvenientespedagógicosque implica
utilizar a este nivel un libro €n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmente
este volumen II, resultó incitante no sólo para ios estudiantessino también para
los profesores.El resultado fue un aumento sustancialen el rendimiento estudiantil,
tradicionalmente bajo, especialmenteen el primer semestre del curso.
Una de las ventajas que hemosencontradoen esta seriees que.su nivel no es
uniforme. Mediante una selecciónadecuada de temas, ejemplos y problemas, so
puede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de suma
utilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles de
enseñanzatan dislmilesen la región.
El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque como
por el contenido: la reduccióndel espaciodedicadoa los campos estáticosa sus
justas proporciones,la posposicióndel estudio de circuitos a problemas (lo que
realme¡te son),el tratamiento unificadode las ondas,que permite un estudiorazo-
nable de las ondas electromagnéticas(sobre las cualesse basa gran parte de las
com.odidadesque la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro-
ducción del conceptode fotón a esta altura nos parecesumamenteútil, pues una
vez que el estudianteseconv€ncede que los rayosgamma,Ios X, la luz y las ondas
de radio son de la misma naturaleza,la pregunta invariable es ¿por qué, entonces,
algunasde estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos?
El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placer
por Ia claridad y la concisióndel lenguajeutilizado en el original - aparte de los
hallazgosdidácticos; sólo introdujimos algunoscambios menoresrespecto al ori-
ginal cuando consideramosque ello redundaba en mayor precisión o claridad,
El lector sabrá disculpar los defectosidiomáticosque pueda hallar: consideramos
que poner al alcancede los lectoresde habla castellanaun texto de alta calidad
en la materia era más urgente que lograr un castellanoperfecto. La traducción
fue ademásestimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión que
tenciríala presenteedición en castellano,deblamosevitar en lo posible el uso de
PROTOGO
La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las
otras ciencias.Por consiguiente,no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sino
todo aquel que pienseseguir una carrera cientfflca (biologfa, qufmica y matemática)
debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales.
El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón para
que aparezcaen el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada de
la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, los
principios básicos,sus implicacionesy sus limitaciones. El estudiante aprenderá
aplicacionesespecfficasen cursosmás avanzados.Asf, este libro presenta las ideas
que creemosfundamentalesy que constituyen el corazón de la'flsica de hoy. Flemos
tenido en cuenta cuidadosamentelas recomendacionesde la Comission on College
Phgsics(Comisiónde Ffsica para Universitarios) para escogerlos temas y el método
de presentación.
Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñando como si fuera un
conglomeradode varias cienciasmás o menos relacionadas,pero sin un punto de
vista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor,
sonido, óptica, electromagnetismo y ffsica moderna no se justifica al presente.
Nos hemos apartado de este enfoquetradicional. En su lugar seguimosuna presen-
tación lógica uniflcada, haciendo énfasisen las leyes de conservación, en los con-
ceptosde camposy de ondasy en el punto de vista atómico de la materia. La teor[a
de la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de los
principios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica.
El cursoseha dividido en cincopartesl (1) Mecánica,(2) Interaccionesy Campos,
(3) Ondas,(4) Flsica cuánticay (5) Fisicaestadistica.Comenzamospor Ia mecánica
con el fin de establecerlos principios fundamentalesnecesariospara descubrir los
movimientos que observamosa nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó-
menos naturales son el resultado de interaccionesy éstas se analizan en función
de campos, en la parte (2) consideramoslas clasesde interacciones que compren-
demos mejor: la gravitacional y la electromagnética,responsablesde muchos de
los fenómenosmacroscópicosque observamos,Estudiamos detalladamenteel elec-
tromagnetismo,concluyendocon la formulación de las ecuacionesde Maxwell.
En la parte (3) discutimoslos fenómenosondulatorioscomo consecuenciadel con-
cepto de eampo.Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmente
aparecebajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasis
en las ondas electromagnéticascomo extensiónlógica de las ecuacionesde Maxwell.
En la parte (4) analizamosla estructura de la materia - átomos, moléculas,núcleos
y particulas fundamentales-, análisis que está precedido de las bases necesarias
de la meeánicacuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedadesde
la materia en conjunto. Comenzamospresentandolos principios de la mecánica
estadísticay los aplicamosa algunoscasossimplesperofundamentales.Estudiamos
Prologo
la termodinárnica desde el punto de vista de la ¡nc,:"liiica estadfstica y concluimos
cen un capitr.rio sol¡re las propiedacies térmicas de ia materia, demostrando cómo
se aplican lor principlos de la mecánica est.adisticay de la ter¡nodinámica.
Esle libro es novedoso no sólo en su enfr)que si¡¡o tarnlrién en su contenido, ya
gue hemos inclrri<lo algunos tópicos fundame¡rtales que no se encuentran en ia
mayorÍa de los textos de ffsica general y hemos dejado de lado otros que son tra-
dicionales, La rnatemática usada se puede encorrtrar en cualquier libro de análisis
nta.t¡mático. Suponemos que los esf,udjantesposeen conocimientos rnfnimos de aná-
iisis ;natemáticc y están, a ia vcz, lornando un curso sobre este tema, Muchas
aplicaciones de los principios fundamerrtalrs, asf como también algunos tópicos un
pocrl más avanzados, aparecen en for¡na de ejemplos resueltos. Según la conve-
niencia del prcfesor, éstos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selección,
io cual permitc una meyor flexihilidad en )a oiganización del curso.
l,os planes de estudios de todas las ciencias están someticlos a presiones para
que incorporen nuevos tópicos que están cobrando rnayor inrportancia. Esperamos
que este libro alivie estas presiones, elevardo en ei estudiant.e el nivel de cornpren-
l-!ón rJe los conceptcs ffsicos y la habilitlaa para manipular las correspondi','ntcs
ri:iac!orri:snratemáticas. Esto ¡lermitird e!evar el nivel cle muchos de los cursos
interi¿edi*s qr.hrce ofreren en los planes rie estuditl de pregrado. I-os cursos traCi-
cic,n*.lesde prcArado: meciittic:r, elcctinnr:rgnr'ti:r¡lo v fÍsic¡t riroderna, srtn los quc
rnás ¡e be¡teiiciatr con esta ai:4. rle ¡rivril. Así. ri esiudiante terniinará su carrera
ccn conocirnierit.ossuperiores a los de antts, b¿neficicrrnrry importar¡te pal'a aquelios
que finalice:nsu,qesl.udit¡sa esta altura. Atli':ni:i3,l-¡abiá ahora ntás oportunidad para
h:rcer curscs nu{:vos y más inleresantes rn el posigradc. Esl.a rnisrna tendencia se
enc¡:entre cn lcs textr-¡sbásiccs rnás rccienl.t's dr. r¡fras ciencias para los primercs
)' {.egundosaños universitarios.
Ei te¡ito esl-:icr.¡ncel:idopara un cúil{t tie ties ser¡rr¡st¡c:.lambién se puede usar
cx Éiqtlelias{:scueiásen !a-sque se ei¡señarin (.r.r¡Jode fisica generai de dos seúlestres
scgt.ticlode un semeslie de ffsica rucderna. ¡frecieurio asl una presentación más
¡rnifica¡la a lo lafgc de los tics scnteslres.llol ccnveniencia, el texto se ha dividido
en ti'€! vollinre.nescorlesoo¡rtlieiltlc¡clila 1n!o,gr'{)s,sr)nndo, a rrn semestre. El volu-
fi!f.n I trat¡r de la met'.ánicar. la ii¡i.lracción gravif.acio¡ral. El volumen II estudia
las interaccic¡rts electromagnéticas y 1;isondas, cuhriendo esencialmente los cursos
de electromagnetismo y dptic:r. I.a fisic¿¡cuántica v la lisica estadfstica, incluyendo
la termodinánica, se tsturiian tn el volunren IIi. A ¡esar de que los ties volúlneires
es1¿iúestrci:J¡alnentt rejacionatios y fornr:rn ul tetti:r único, carla uno puede ser
considera<k.¡en sl n-risln(!corli(l un i¿xt¡-r intn.¡riuclo¡io. Fitr part-iclrlar i0s volúnie-
nes I y Il tc¡ltir.aien a un (-:ttr-iod.cfisica qctrerti d* il11sselne:tres que cubrc la fisica
no cuant.ica.
Esperqirr0s quc este te:it{] a¡"u11,:a lr,:: edLrrrtitijes progresistas. quienes ccnstan-
tcrrl¡:nle se []reocupan por mejor:lr lcs lr:rs¡s qle diclan: rspframos, tarnbitln, que
est.lnt¡tlea lcs estridiafile,r,,¡1¡i¡-¿t r-,ere¡en ulra 1;r'rsaniacii¡ncle l¿rfísica más nra-
rlrira qrlr, ir ¡le los r:.ur:,r¡sl.rarlir:iriilties.
Qltrrernos t:xpresar jiueslra grrilii.riri:i l,)d{is ár.lil...iii)srllr{tpor su estí¡nulo y ayuila
l¡icitrrcn positrlc la culminación iie e-.te ll'abajo. NLrestro rcconocirniento a los dis-
t-ingtridr:scolegas. en Ila]'ticular. a l¡rs Profescres ü. l,azarus r* FI. S. Rl,bertson,
quieircs leyerorr el ¡nanli,rcrii-o ori¡1inal: sus cómc11iarios . r:rÍticas permitieron
corregir y mejorar nluchos ¿¡sr'¡ectosctel texto. .,{radecentos,adr:más, la aptitud.
v dedicaciórr del personal
'le
la etlito¡iai Adrijson-Weslel'. Por últirno, per() no con
meno$ caloi, damos sinceral¡lente las gracias Í¡ nuestt.as esposas, quienes nos han
apoyado pacientemente.
IYashinslo¡t, D. C.
TI. A.
E. J. F.
ADYERTENCIA AL PROFESOR
Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseña
de este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cada
capitttlo. Como se dijo en el prólogo, este curso de flsica se ha desanollado en forma
inLegt'ada de rnodo que el estudiante pueda reconocer fácilmente las pocas ideas
básicas en que se funda la física (por ejemplo, Ias leyes de conservación y el hecho
tle que es posible reducir ios fenómenos flsicos a interacciones e¡rtre partlculas fun-
ilamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para llegar a ser lfsico o
ingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de estas ideas y desarrollar la habi-
litJatl para manejarlas.
I.os temas hásicos constituyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sido
incluidos en cada capltulo; algunos son simples aplicaciones numéricas de la teorla
que se está discutiendo, mientras que otros son realmente extensiones de Ia teorfa o,
deducciones matenláticas. Se rccomienda aconsejar al estudiante que en la primera
lectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura,
que examinc los cjemplc¡s sugeridos por el profesor. De €sta manera el estudiante
comprenderá separadamente las ideas básicas y sus aplicaciones o extensiones.
Hay una sección de problemas al final de cada capf[ulo. Algunos son nlás difíciles
que el término medio de los problemas de fisica general y otros son extremadamente
simples. Están dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al de
las seccionesdel capitulo, habiendo algunos problemas más difíciles al flnal. El gran
nÍimero y la variedad de los problemas dan al instructor mayor libertad de elecclón
en la adecuación de los problemas a las aptitudes de sus estudiantes.
Sugerimos al profesor que establezca una biblioteca de reserva basada en el
¡naterial bibliográfico que se enumera al final de cada capitulo y que incite al
estr¡diantr: a usarla para desarrollar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo que
obtendrá más de una interpretación de un tópico dado y adquirirá iniormación
Itistórica acerca de la flsica.
llste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemos
sr:geri<lrr,sobre l¿r base de nuestra propia experiencia, el número de horas de clase
que s{.rnecesita para cubrir cónrodarnente el material. El tiempo indicado (43 horas
de clase) no incluye el dcstinado a discusiones,resolución de problemas y evaluación.
Flacenlos a ccntinuación un breve conlentario sobre cada caoftulo.
TAR,TE 2. INTER,ACTJIONESY CAMPOS
La Parte 2 se ocupa de las interacciones electromagnéticas, que se desarrollan en
los capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del'u'olumen I se presentó la interacción
gravii.acional). Estos cuatro capltulos constituyen una introducción al electromag-
tuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, que se estudian
*ir la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,
rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volu-
men III estos tópicos serán discutidos:nás extensa¡rlent.s,
Capftulo l^4. Interacción eléctricq1,i ir,¡;¡s]
Este capftrrlo se conc.flt;a nii-l:, 4ii
','OuJOioL.ic;rrv t ,r¡s¡jl'f a :? " '' ¡:!-¡
$ecrr+:r iJ L2 iqta i'ai:: ¡it ;1¡:;ii::;
t'epi'i.li I -.
i-: .,il.,rcir parte de este c¿F!ii.rlor¡itr¡rl¡rc¡:er, fornia dinámica el conccpto de
!;.ii.f'j nragnátrco,!"estudia el movinrientc'de r¡irapartfcula cargadaen un canpo
nr:gnLiico.Ei punto culminantese al.anza h¿ci.*ei llnai riel cap[tulo con una dis-
,:usiórrce ia ti:ansformació¡rie Loir:ntz del carnpoelectrümagnéticoy una revisión
de! principio de consen'acióndei ürrrnlrjntum.EI prolesor deberá hacer hincapié
en ¿sia parte del capltulo.
{*pftulo 1S" Composeledramsgniti*r¡s¿sidticas{5 horas)
lln ¿stecallltülo se intrtrducel variotr.:o.icapif]$inlportanlespero ha]" dos objetivos
piincip:rlcsque cl;,rofesor rlqireiener i.rrescrtes.Lfno es ccnlenrar un desarrollo
Ce i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npoeleetromagnéticc(le-vesdi?Gaussy do Ampére) y
"i ctro es rrl'.¡c:on,lrlas propiedaCrr:elrctro:-nagnéticasrle la materia en conjunto
con la estri¡ctura atómica de la misma. Sc ha relegarloa rrn plano secundariodentro
rleltexto. l"e¡nastale¡ cornoel de eapacitoresy circuitosCC,peroselesprestamayor
atenció¡r en los problemas del flnai del capitulo"
Ca¡ltnio I?, CarnposelectromagnélicasCependienlesdel tiempo (4 horas)
La formulaciénde las ecuacionesde N{axwelles el tema principal de estecapftulo.
El tema de circuitosCA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchos
iruenos ejernplos resueltosy problernas al flnal del capftulo para ayudar al estu-
diante a aciquirir cierta habilidad para nlanejar dichos circuitos. Es importante
que el estuCiantese dé cuenta de qui: las ecuacionesde lllaxwell proveen una des-
cripción compacta del campo electromagnéticoy que ilustran la estrecha relación
que existe entre las partes f y It de este campo.
PARTE 8. ONITAS
La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenos
naturales.Ahora, presentamosen ia Parte 3 ia descripción"ondulatoria" comple-
rnentaria de los mismos, basada en e! conceptode campo, ya lntroducido.en la
Parte 2. tr,asideas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y de
éptica estánconsideradosaquf en forma integrada.
Capftulo 18. IVlauimienÍtondulatario (5 horas)
Este capltuloconsiderael movintientcoudulatorioen general,determinandoen cada
casosuspropiedadesespeclfic*aa partir delasecuaeionesdecampoquedescribenuna
situación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjorecurrir a la imagen
mecánica de moléculasrnovióndosehacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fun-
damentales:una es comprenderla ecuaciónde onda; la otra es entender gue una
onda transporta tanto energfa como momentu¡n.
Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as(5 hriras)
Presentomcsaqu[ Ias ondas eieclrcinagnéticaspredichas por las ecuacionesde
llfaxv¡ell.ilt'r lo que el estudiantedel¡eentcn¡iera fondo las secciones19.2 v 19.3,
AduertenciaaI prolesor ciii
Este capitulo también consideralos rnecanismosde radiación ,v absorción. Introduee
ademásel concepto irnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle que
la; ontlaselcctromagnéticastransportanener¡¡lay rnomentuni y de que estaspro-
piedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discute
brevernentelas transicionesradiativas enirc es!.adosestacionarios.
Cepftulo 90. Ilefletión, refraccíón,polarízación(4 horas)
Los textos eiementalesrecurren tradicionalmente al principio de Huygens para
estudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es el
teorema de Malus. Lo novedosode este capltulo es que encara este hecho. Se puede
omitir las secciones20.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo.
Cepftulo 91. Geometríade Ias ondas(3 horas)
Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmente
de ia óptica geométrica.De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que el
material de estecapitulo no sólose aplica a ondaslumfnicassino también a ondas
en general.La convenciónde signosadoptada es la misma que la de OplÍcs,por
F:orn y Wolf, Pergamon Press,1965.
Capftulo 29. Interlerencia (3 horas)
En estecapltulo se usa sistemáticamenteel método de los vectoresrotantes. Puede
resultar provechosoque el estudianterelea las secciones72,7,12.8 y 12.9 del vo-
lumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no se
debe omitir.
Capftul<r28. Dítracción (3 horas)
Este capltulo dependeastrechamentedel anterior por lo que el profesor debe con-
siderarlos en conlunto. En este capftulo, como en el anterior, hemos tratado de
separar los pasos algetrraicosdel resto del material para que el instructor pueda
omitirlos si asf lo desea.
C*pftulo 24. Fenómenosde transporte(3 horas)
La irnportancia t}e los fenó¡nenosde transporte está bien reconoeida,ya que los
mismos tienen rrruchasaplicacionesen ffsica, qulmica, biologla e ingenierfa.Este
capitulo constituyeuna introducciónbreve y coordinadaa estosfenómenos,dando
también al estudianteuna idea.sobreotros tipos de propagaciónde campos. Si el
profesor está presionadopor el tiempo, puede encarar este capitulo como tarea
solamentey omit,ir los ejemplosy problemas.
triste es el mornento oportt¡no para concluir el segundo semestre.A esta altura
el esludiantedeberáteneruna corEprensiónsólidade la ffsicano cuántica,y además
haber aprehendi<iolas ideas de fotón y de cuantificación do la energla y del rno-
lnentum angular. El tercer semestreestará dedicado a la llsica cuántica y a la
fisica estadist.ica,que se presentaráncomo refinamiento de los conceptos fisicos al
nivel de lo rnuy pequeño(o microscópico)y al nivel tle lo muy grande (o rnacros-
có¡rico).
El npéndicemate¡náticoque se encuentraal flnal del libro suministra u¡ra refe-
rencia rápida a las fórmulas de usomásfrecuentesen el texto y a algunasinforma-
cionesútilcs. I)or conveniencia,algunas fórmulas relacionadascon la lranslorrna-
lién de l,ole¡rtz t¡an sido agregadas.Las mismasfueron deducidasen ei rr-'iumeni,
,{DYERTENCIAALESTUDIANTE
Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguen
carreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán,
nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.
t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educación
tu perir.rr,
El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos.
L-)laprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento
;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr imagi-
l¡zrr-'i4n"i¡steri <icbe d.oininar otras menos llarnativas per$ muy funda¡nentales, *in
las <'ualts no puedc utilizar o comprender la llsica en forma apropiada.
{-Td.deberá mantener dos objetivos principales al to¡nar este curso, Primero:
fariiiliarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons-
Litr-y'en Ia colum¡ra verlebral de la ffsica. Segundo: desarrollar la habilidad de
¡:a¡r,;jar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otlas palabras, la habi-
tidari de pensar y actuar como ffsico. El primer objetivo io puede alcanzar prin-
cl¡-ralmelte ieyendo y releyendo aquelias seceiones impresas €n cuerpo grande.
P:ira a¡'udailo a alcanza¡ el segundo abietivo hay a lo largo del texto, en letra
¡rrqueíre, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casa
al llnal de cada capftulo. Recomendamos'encarecidamente que lea primero el texto
principal y una vez familiarizado con é1, prosiga con los ejemplos y problemas
;rsigrado; lror el profesor. En aigunos casos los ejemplos ilustran una aplicación
de la ter.¡rlaa una situación concreta, en otros amplfan la teorfa considerando nuevos
ilspeclüs del problema elr discusión; a veces suministran una justificación de la teorla.
Los problernas que están al final de cada capftulo tienen un grado variable de
riilir.r':it*r1.Oscilan entre lo más simple ¡r lo complejo. En general, es bueno tratar
de ;'esolver rtn problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo
¿¡l Jinal los valores numéricos. Si el problema que )e han asignado no puede resol-
lerio en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el
¡:aso dc ac¡ueliospocos problemas qus se resisten a ser resueltos, doberá procurar
ayurla. Ei Iibro How to Solue It (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Garden
r,ity, N. '., 1957) es una fuente de autoayuda que le enseñará el método de reso-
hición de prolrlernas.
Le lfsica cs una cie¡rcia cuantitativa que necesita de la matemática para la
e.xpresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este libro se puede en-
contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlo
toda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de manera
Rlguna, sentirse desalentado ante una diflcultad matemática; en caso de diflcul-
tades rnatemáticas, consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Para
ei cir¡ntffico
-v
el ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia
secunclaria en la cornprensión de los conceptos fisicos. Para su comodidad, se
TUi Adurytenciaal estudtante
enumera en rin apéndice ai fin¡.i rjti libirl e,l;:.¡.1¡¡¿;..!. l¿¡ rtilr.:iones rrrati¡¡nátic¿ls
más útiies.
Torlos lo¡ cálc¡los rll ill físit-:asc'dclt¡'ir i,e.;ar ::.*¿ii¡r,rri-ilit¡¡rirjr¡un sistt¡r¡r-,co;rr,
patible de uni<Iades. If n eslc liL':'c se i'ni¡ife:r r' si:ir.r:"r¡rFl)iStl. Cornc difi¡ r:: *n
poco del sisterna Jiráct.ico.i)odrá ¿rlronlrar}¡.¡ext¡'irñr; ai principio. No obstante, se
requiere un miiri¡n<.¡esfuerzo paifi iainil¡arir:¡r¡ii: con el. Aderi-rás,cs rl sist.e¡na
olicialmente aprobaoo pritra rl trairajrr irientiri,'r>¡; r:r. los E,stados Uniilos ll usa
a.ítn cl Nalional Burer,¡.uol Slandards {rír sus uublicaciones. Sea extrelnadairrcnte
cuidadoso en verificar la compatibilid¡.,1 de ias unidades en todos sns cálculos.
Es además una buena ide¿rutiliz-at'la regla,le cálcrrlo desde el comienzo; la pre-
cisión a tres cifras significa"ivas de la r¡rás sintple ,Llelas reglas de cáiculo le aho-
rrará rnuehas horas cle trabajo nurnéfico. Sin crnbaigo, erl algunos casos, puedc
que la regla de cálcuio no le dé la precisión ¡iecesaria.
Al final de cada capftulo se dn una lista bii.rliogr;'rficaseleccionada. Consú!tela
tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudarán a entender la idea
de la ffsica como una ciencia en evohición,.mienr"rasque otros ampliarán el rnaterial
d.cl tcxto. En particular encontrará que el iibro de Holton y Roller, Foundatians
o! Modern Pñgsics (Addison-Wesley, Reading, l{ass., 1958) es particularmente útil
pol la informacién quc trae scbre Ia evoiución de ideas en la flsica.
AGRADECIMIENTOS
Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organiza-
ciones por su anrabilitlad al permitirnos publicar material ilustrativo de su perte-
nencia: Brookhaven National l,aboratorl' (figura 15-6); General Electric Company
(figura 17-5b); Pro{esor Harvey Fletcher (figura 18-23); Educational Services,
Incorporated (figura l8-37a); U. S. Naval Ordrtance Laboratory, White Oak,
Silver Spring, lfd. (figura 18-37b); Yíbration and Sound, por Philip NI. Nlorse,
McGlarv-IIili Book Co., 1948 (figura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue llolion,
con antorización de W. Llowarch, The Clarendon Press, Oxford, Inglaitrrra (fi-
gura 23-2); Prínciplts ol Optics, por Hard5' y Perrin, trfcGraw-Hill Liook Co., 1932
(figrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (figura 23-42)- De-
bemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al Physical
Science Study Committee, de cuyo libro PSSC Pnysic.s,D. C. Heath and Co., 1960,
hemos iomado las siguientes figuras:0-13a, 18-22, 18-28b,20-6b,20-10b,20-11b,
20-16dye,22-ty22-15.
Contrataposilelsnter¡s
Tabla periódica de los
Contratopastr¿geres
Unidadesy slmbolos;
INDICE
elementos; constantes fundamentales
factores de conversión
Capltulo14 lntersccldn elóctrlcs
Capltulo16
Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Cam-
po eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estruc-
tura eléctrica de la materia 471. Estructura atómica 473. Potencial
eléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484.
Corriente eléct¡ica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricos
de orden superior 498.
Interaccldn mognétlca
Cepltulo 16
Introducción 512, Fuerza magnética sobre una carga en movi-
miento 513. Movimiento de una carga en un campo magnéticó
516, Ejemplos de movimiento de partlculas cargadasen un campo
magnético 523, Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica
530. T'orquemagnético sobre una corriente eléctrica 532. Campo
magnéticoproducidopor una corrientecerrada538. Campo magné-
tico de una corriente rectilfnea 539. Fuerzas entre corrientes 541.
Campomagnéticode una corrientecircular 544. Campo magnético
de una cargaen movimiento (no relativista) 549.Electromagnetismo
y el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de una
carga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre dos
cargasen movimiento 560.
Composelectromagnétleoeestáticos
Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gauss
para el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584.
Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctrico 591.
Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 593. Capacitaneia; capacito-
res 600. Energfa del campo eléctrico 603. Conductividad eléc-
trica ; ley de Ohm 606. Fuerza electromotriz 672. Ley de Ampére
para el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen-
L
rÍ, Indíce
Capftulo17
cial 621. Flujo magnético
Canrpomagnetizanle 625.
628. Resumende las leyes
Camposelectromagnóticoe
623. Magn';tizaciónde la materia 623.
Cálculc ie ia susceptibilidadmagnética
de lcs campos estáticos633.
ilependlcutesdel tiempo
PAR?Í A
Capltulo l8
Int¡oducción 645. Ley de liaraday-Henry 645. El betatrón 648.
Inducción electromagnéticadebida al movimiento relativo de un
conductory un campo magnético651. La inducción electrornagné-
tica y ei principio de relalividad 654. Poiencial eléctricoe inducción
electromagnética655. Ley de F-araday-Herlryen forma diferencial
655. Autoindr¡cción{i57. Energfa del campo magnético 661. Osci-
lacioneseléctricas664. Cir'cuitosacoplados670. Principio de con-
servación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley de
Ampére-IIaxwell en forma dilercncial 678. Ecuaciones de Max-
rvcll 680.
ONDAS
trIorimlentoondul¿torlo
Crpftulo 19
Introducción 694. Descripciónmatemática de la propagación695.
Análisis de Fourier del ¡novimiento ondulatorio 699. Ecuación
diferencialdel movimiento ondulatorio?01. Ondaselásticasen una
bar¡a 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondas
transversalesen una cuerda 712, Ondas superficialesen un lfquido
716.¿Quésepropagaen un movimiento ondulatorio??19.Ondasen
dosy tres dímensiones722.Ondasesféricasen un flúido 727.Yeloci^
dad de grupo 729. El efecto Doppler 731. Sonido; acrlstica735.
Onda¡ electromegnéticas
Capitulo 30
Introducción 744, Ondas electromagnéticas planas 744. Energfa y
momentum de una onda electromagnética 748. Radiación por un
di¡:olo eléctrico oscilante ?52. Radiación por un dipolo magnético
oscila¡rte 757. Radiación por multipolos oscilantes de orden supe-
rior 761, Radlacién por una c.arga acelcrada 761. Absorción de
la radiacié¡ electrcmagnética 769. Difusión ¿ie ondas electromag-
néticas por eiectrones ligados 770. Difusión de la ¡adiación electro-
magnética fror un elec{rón libre; el efecto Compton 772. Fot<¡nes
776. Más sobre los fotones: el efecto fotoeléctrico 780. Propaga-
ción de ondas clectromagnéticas en la materia ; dispersión 782.
Efectt'¡ l)oppler en las ondas electromagnétieas ?86, Espectro de
la racliación electromagnética 791.
Rcflexlón, refracción, polarlzacién
Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de lllalus
804. Reflexión y reiracción de ondas planas 806. Reflexión v ref¡ac-
ción de ondas esféricas it10. NIás acerca de las leyes de la reflexión
y de la refracción 812. Reflcxión 1' refracción de ondas eiectro-
magnéticas 8i7. Propagación de ondas electromagnéticas en un
medio auisótropo 820. !l)icrcrísrr..o626, Doble refracción 827. Acti-
vidad úptica 333. l.riflexié¡i '". -"irac'ión cn superficies metálicas
837. Pio¡lagación tn ¡r$ tnediü uo homo11éneo838.
Indíce xd
Capltulo 21 Qeonetrfa do las onalas
Capltulo22
Introducción 8-16.Reflexión en una superficie esférica 847" Ilefrac-
ción en una superlicieeslérica854. Lentes 858. Instrumentos ópti-
cos 863. El prisrna 867. Dispersión de un medio 869. Aberración
cromática 872. Principio de i;'er¡nat del tiempo estacionario875.
Interlerencio
Cepíiulo 28
introducción 887. Interferencia de cndas producidas por dos fuentes
sincrónicas 887. Interferencia cle ondas producidas por varias fuen-
tes sincró¡ricas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899.
Ondas estacio¡rarias ¡r la ecuación de onda 902. Ondas electro-
magnéticas estacionarias g0?, Ondas estacionarias en dos dimen-
siones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones : cavidades re-
sonantes 915. Gulas de onda 918.
Dilrae cidn
Capftulo 24
Introducción932.Difracción de Fraunhofer por una rendija rectan-
gular 933. Difracción de Fraunhoferpor una abertura circular 939.
Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelasiguales 941.
Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión de
ondas 954. Difusión de rayos X por cristales954.
Fenómenosde transporte
Introducción967. Difusión molecular; ley de Fick 967. Conducción
térmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción
982. Viscosidad984. Camino libre medio, frecuenciade colisión y
sección eficaz de colisión 988. Teoria molecular de los fenómenos
de transporte 992. Conclusión995.
Apéniltee: Reloolonesmatemótieas; Tablas A-8
Reapuestasa los problemaltGonnúmoro lmpor A-17
Indlee alf¿bétlco A-29
PARTE 2
IITERACCIONESY
CAMPOS
B, Electromagnetismo
154
IJna vez entendidaslas reglas generalesque gobii:raan el ¡novimiento, el paso
siguiente es investigar las interaccioncs responsablesrle dichos movimientos.
Hay varios tipos de interacciones.Lina es la inleraccióngrauítactonalque se
manifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. La
gravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interaccionesconocidas,
es la primera interacción estudiada cuidadosamente,debido al interés que el
hombre ha tenido desdela antigüedad en la astronomia y porque la gravitación
es responsablede muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida.
Otra es la inleraccíón eleclromagnétíca,la mejor comprendida y posiblemente la
más importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de los
fenómenosque observamosa nuestro alrededor,incluyendo los procesosquímicos
y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticasentre átomos y
moléculas.Un tercer tipo es la ínleracciónfuerte a nuclear,que es responsable
de que los protones y los neutrones (conocidoscomo nucleones)se mantengan
dentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenosrelacionados.A pesar de Ia
investigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién es
aún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíóndébil, responsablede ciertos
procesosentre partículas Iundamentales, tal como la desintegraciónbeta. Nuestro
conocimiento de esta interacción es airn muy escaso.La intensidad relativa de
las interaccionesnombradases: Iuerte, tomada como 1; electromagnética- 10-2;
débil
-
10-5; gravitacional - trO-s. Uno de los problemas no resueltos de la
fisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife-
rencia tan gmnde en sus intensidades.
Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de las
interacciones:
¿No tienen acasolas pequeñasPartfculas de los Cuerposciertos Poderes,o Fuerzas,
por medio de los cualesactúan.,,unassobreotras para producir gran Parte de los
Fenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unos
sobre otros por medio de las Atraccionesde la Gravedad,Magnetismo,y Electri-
cidad;...yno lo tengáispor improbablesinoquepuedehabermás Poderesatractivos
que éstos....De cómoestasatraccionespuedenserrealizadas,no Io consideroaqul....
Las Atraccionesde la Gravedad,del Magnetismo,y de la Electricidad, alcanzan
distanciasmuy apreciables,,..ypuede que haya otras que alcancendistanciastan
pequeñasque hasta ahora escapena la observación;....(Oplicks,Libro III, Inda-
gación31)
Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Enten-
demos por campo una propiedad fisica extendida en una región del espacio y
descrita por medio de una función de la posición y el tiempo. Suponemosque
para cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres-
pondiente.Este campo actúa a su vez sobreuna segundapartícula para producir
la interacción necesaria.I-a segundaparticula produce su propio campo, el cual
actúa sobre la primera dando como resuitado una interacción mutua.
Aunque se puede dcscribir las interacc;ionespor medio de campos, no todos
los campos correspondena interacciones,ht,cho que cstá implicito en la defi-
nicion dc canlpo. I'e-r ejernplo, il¡: meterirriio;ioJrrrcdeexpresar la presión y la
ternpemlrrrl at,rnos{éricas¡rr¡fr¡:rrrir,rrrlr'l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficie
ter¡r:stri"-'rle ia ¡¡lLurasohrq:risl.i:."1'trjlerli(]sentoncesdos cllripos escalares:el
l:--"_
1;ó
eampo de presionesv el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúido
su velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campo
es entonces de gran utilidad general en la física.
En el capítulo 13 del volumen I seestudió la inte¡acción gravitacional y el campo
gravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremos las inter-
acciones electromagnéticas. I:Iablaremos del resto de las interacciones en el vo-
lumen IIl.
ENTEKAT{-g{}NffiTHCTRICA
L4
14.1 Introdueción
i4.2 Carga,eléctrica
i4"3 L-eEde Coulomb
14.4 üarnpo eéetríeo
14.5 La cus¡ziizficíónde la carga eléctrica
14.8 F.stru,¿tt¡ra*íéctricade la materia
j'!.7 Estrueturaatémíca
14.8 Potencialeléctrico
Relacíoneserrergétícaseft un cempa eléctrico
14.1A Corriente eléctríca
14.1i Dípolo eléetríca
14.12 fulultipolas eléctríccsde orden superior
14.9
14"lj
74.7 Introdueeión
Inlraduccíón 457
Consideremosun experimento mry simple. Supongamosque despuésde peinar
nuestro cabelloun día muy secü¿rcercamosel peine a pedacitosligerosde papel:
obser.,'amosque el peine los atrae. Fenó¡neno similar ocurre si frotarnos una
varilla de vidrio con un paño de seda o una varilla de ámbar con un pedazo de
piel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materiales
adquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad(del griego elektron,
que significaámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción
más fuerte que la gravitación. Hay, además,varias otras diferenciasfundamen-
tales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional.
En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, que
da como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera;por el
contrario, hay dos clasrsde jnteraccioneseléctricas.Supongamosque acercamos
una varilla de vidrio electrizadaa una pequeña esfera de corcho suspendidade
un hilo. Vemos que la varilla atrae la esfera.Si repetimos el experimento con
una varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sin
embargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar de
una mayor atracción,observamosuna fue¡za de atracción menor o aún ninguna
atracción de la esfera(fig. 14-1).Estos experimentossimplesindican que, aunque
ambas varillas electrizadas,la de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho,
lo haeendebido a procesosfísicosopuestos.Cuando ambas varillas actúan simul-
táneamente, sus accionesse contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo.
Concluimos,entonces,que hay dos clasesde estadosde electrización:uno que se
manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos posi-
tíuo y al otro negaliuo.
Varilla
de vidrio
Varilla
de ámba¡

Ambar
-----G:]
Vidúo
(c)
electrizadas.
(b)(¿r)
Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar
Supongamos,ahora, que tocamos dos esferasde corcho con una varilla de
vidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivarnente.
Si las ace¡camos,observamosque se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultado
se obtiene cuando tocamos las esferascon la varilla de ámbar electrizada, de
modo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos
,158 Interaccióneléclrica
una de ellas coa la varilla de vidrio
adquiera electricidad positiva y ia
(fig. 14-2c).
(14.2
y la otra con ia de ámbar, de modo que una
otra negativa, observamos que se atraen
/1F
---___._tl/*
(c)(e) (b)
Fie. 14.2. Interaccione-q eléctricas enlr¡r c¿li'gas de igual
-v
de diferente signo,
Pt'r consiguiente, mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atrac-
trrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva.
Dos cuerpo.sconIa misma clasede eleclrización(posílíua o negalíua)
se tepelen,pe.rasí tienen diferenles clasestle eleclrizacíón(una po-
siliuag la otra negatíua),se atraen.
Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción
eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hu-
biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica
es más fuerte. Sin ernbargo.la mayoria de los cuerposestán compuestosde can-
tidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción
eléctricaentre dos cuerposmacroscÓpicoses muy pequeñeo cero. De este modo,
co¡no resultado dei efecto acumulativo de las masas,la interacción que aparece
macroscópicamentecomo dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque
muchc más débil.
I'¿-*1:J ,r-1 ¡'
:-r-*
jq'-
-*1li
Fig. i4-S. liuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigtic-
74,2 Carga eléetriea
Del mismo modo que caracterizarno"qia inteirsitiadtte la interaccióngravitacional
asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamosel estado de
electriz¡¡:iónde un cuerpo ,iríinl'r:::tioull:t r,'ri.'r{relécírit:c,¡nás conrúnmente lla-
¡"¡arl:ri¡¡rrii.,clirclricci,reprttsi:nit<!:ilir!;' i': sir: :;rtiQ¡r. Asi, cualquier porciÓn r!e
rnai..eria.r, .,ltajtlujer plill i.r'.tla,e:,i.¡ii:¡il:ii:t':,ii,:.;¡tililior rlos propiedadesindeperr-
dier,tesfui'cianrentales:nlasa v ci¡Lgí!.
14.2) Cmga elédrica 459
Así como hay dos clases <ie electrización, hay tambjén dos clases rie carga
eiectrica: positiva y ncgativa. Uu cuerpo que presenta electrización positiva
'tiene una carga eléctrica positivi, ] üno con electrización negativa tiene una
carga eléctrica negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma alge-
braica de sus cargaspositivas y negativas. Un cuerpo que tiene cantidades iguales
de electricidad positiva y negativa (esto es, carga neta cero) se dice eléctricamente
neulro. Por otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama
a menudo ion. Como la materia en conjunto no presenta fuerzas eléctricas apre-
ciables, debemos suponer que está compuesta de cantidades iguales de cargas
positivas y negativas.
Cuerpo
de referencia
FiS. 14-4. Comparación de las cargas eléctricas g ! Q', mediante
sus interacciones eléctricas con una tercera carga Q.
Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptamos
el siguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario Q (fig. 14.4)
y, a una distancia d de éI, colocamosla carga g, Entonces medimos la fuerza F
ejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma distancia d
de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas g y q' como
proporcionalesa las fuerzas F y F', Esto es
qlq': FIF'. (14.1)
Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q', tenemos un medio
de obtener el valor de la carga q. Este método de comparación de cargas es muy
siinilar al usadoen la sección13.3para comparar las masasde dos cuerpos.Nues-
tra definiclón de carga implica que, siendo iguales todos L,osfactores geométricos,
la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las particulas.
Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, la
carga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras,
en cualquíer procesoque lcurra en un sístemaaislado, Ia carga lolal
o neta no cambía.
No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conser-
uación de la carga. Tendrernos ocasión de discutir este principio más adelante,
cuando tratemos los procesosque involucran partículas fundamentales. El estu-
J.ianterecordaráque ya hemosaplicado esteprincipio en el ejemplo 1,1.11,donde
la reacciónp' + p* -. p* + p. + p- * p- fue discutida. A la izquierda la carga
total rs dos vecesla cargadel protón y a la derechalos tres protones contribuyen
tií".$l.ece" ]a carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la carga
iiel proi,ón negativa. f)e este modo sc obtiene una carga neta igual a dos veces
.t:rcarga del protón.
Cuerpo
de referenci
F/'.:
n)--
Co¡rsiderenrosla interacción eléctric¿lcr¡tre rlos pariÍculas cargadas,en replso,
en el sisternainercial de referc¡rr'ia¡lci ribserr,-adoro, cu¿indornás, moviéndose
a una velocidadmuy pequeira;el resultadode tal interacciónconstituyela elec-
Iroslática.I-a interacción elect¡ost¿itieuerit.rerios partic:ulascargadasestí¡ dada
por la le,gde Coulornó,llamada asi en ironcil'dei ingeniero francés ChrtrlesA. de
Coulomb (1736-1806)quien fue el primero en enunciarla,corno sigue:
La ínleraccíón eleclrostctlicaentre dos partlculas cargadas es"pro-
porcíonal a sus caigas e í.nuersamenteproporcional al ruadrado
de Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta que
Ias une.
Esto puede expresarsematemáticamenLepor
160 lnteraccióneléctríca
74.3 Ley de Caulo'mb
0q'
F: R":;-,
)=f¡
Fig. 11-5. Ralanza de tor-
sión de Clvcntlish para vcri-
llcar la ler'¡le la intcr¿tct'i,itl
e.léctrica e¡rtre dos cargas.
't a
(r4.2)
dondc ¡ es la distanciaentre las dos cargasq y q', F es Ia fuerza que actúa sobre
cada carga y K" es una constantca determinar de acuerdo con nuestra elección
de unidades.Esta ley es nruv sernejantea la ley de interacción gravitacional.
Por consiguiente,podemosaplicar aqui rrruchosresultadosmatemáticos que de-
mostranrosen el capitulo 13 simplementereemplazandoymm' p<tr K"qq''.
Irodemas experimentalmenteverificar la ley de ia proporcionalidad inversa
rlei cuadradt¡de la dist¿ncia.midicndo las fuerzas entre dos cargas dadas colo-
cadasa distanciasdistintas. Una posibledisposiciónexperimentalse ha indicado
en la lig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendishde la figura 13-3.
La fuerza I; entre la carga en -Ély ia carga en D se encuentra micliendo el án-
gulo 0 según el cual la fibra OC rota para restablecerel equilibrio.
I)
La constanteKe en la ec. (14.2)es senrejante
a la constante'¡ en la ec. (13.1).Pero en el capí-
tulo 13 las unidadesde masa, distanciay fuerza
estaban5.adefinidasy el valor de y se determinó
experimental¡nente.En el prescnte caso,sin em-
bargo, aunque las unidadesde fuerza y distancia
han sido ya definidas,la unidad de carga no se
ha delinido todavía (la definición dada en la
sección2.3 frie sólo preliminar). Si hacemosuna
proposiciórrdellnida acercade la unidad de car-
ga, entoneespodemos determinar K" experimen-
talmente. Sin embargo, procederemose¡r sentido
iriverso
-¡r
asignandoa K" un valor conveniente,
fijarnos,ile cste rnodo,la unidad de carga.Adop-
taremos estc scgundo nrétodo y, usando el siste-
lna XiKSC cstablecemosel valor numérico de .I{.
- i ; ¡ Leg d.e Coulamb 461
...,:,i ri 1tl-712:8,987i x 10e,dondc (como anteriürrnente)c es la veiocirladde la
..r:rt.:l vacic.* En la práctica, Dtidemostomar para Ii" el yalor g X lge. En-
: :rr'i1i.ciran'i0 la riisl.anciase nriiie cn rrretrosy Ia fuerza en newtons, la ec.
I i.2) se escribe
F :9 x (14.3)
i'n¿r vez (iue.hemüs decitlidosobre ei valor de Xu, la unidad de carga está fljada.
:-strr rrrriilarlse llama ur coul.omb,y se designa por el sirnbolo c. De aquí que
' l,{-l¿ilíroscstabiece:-la ;iguiente dellnicjón: eI coulombes la carga que, colotada
: Jn metro de alra cargu igual en el.uacío,Ia repeie con una fuerza de 8,9874 x 10e
';,r:¿'lons.I-a fórnrula (14.3) es válida solamente para dos particulas cargadas en
'I r.¡cío; o sea. para dos particulascargadasen ausenciade toda otra carga o
r''¡ri-eria(ver sección 16.6). obsérvcse que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre-
..rilos 1{" en N mz C-2 ó m3 kg s..z6*2.
Pcr razonesprácticas y de cálctrlonumérico es más conveniente expresar 1{¿
¿¡l la lorma
Ke:
4reo'
(14.4)
,londe la nueva constante eo se llama permítíuidaild.eloucto.De acuerdo con el
valor asignado a K¿, su valor es
úo'
I n9 -'-',--
10?
,o :
+*,
:8,854 X 10-12N-l m-t Cg
Por lo tanto escribiremosla ec. (1.4.3)en la forma
ñ qq'
t :
nrr.*
FL : -9!3-: 1,9 x 10¡ N,
{rr€ori
Luego la fuerza resultante es
ó m-3 kg-r 5z ¿2.
(14.5)
(14.6)
Cuando usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de Ias cargas q y q'.
un v¡lor negativo para F corresponde a atracción y un valor positivo.corres-
ponde a repulsión.
I:JEI|IPLO7.t.7. Dada ia disposición de cargas de la fig. 14-6, donde 4r : *1,5 x
10-3 C, gz: - 0,50 x 10-3 c, 4¡:0,20 x 10-3 c, y AC :1,2 m, BC :0,50 m,
hallar la fuerza resultante sobre la carga ga.
.Solr¿ción.'La fuerza F, entre gty Qaes de repulsión, mientras que la fuerza I', entre
Qz! % es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son
F, : -S-zQl-: - 3,6 x 103N.
47leofi-
./-
F : V Fi + Fe - 4,06x 103N.
I La elección de este vaior particular para ff" se explicará en Ia sección 15.g.
Campoeléctríeo 463
I.'scribamoiia ec, (14.6) en la forrna f : q'(ql4nef). Esto da la fuerza pro.
¡iu,¡itlapor.ia carga q sobrela cargaq'colocada a una distancia ¡ de q. Fodriamos
l,anibiéndecir',usando la ec. (1,*-?),que el campo eléctrico C en el punto donde
esta colocadag' es tal que F : Q'{,Por consiguiente,comparandolas dos expre-
sionesde Ji, concluimosque el campo eléctrico a la distancia¡ de una carga pun-
tuai g es C : ql|rceor2,o en forma vectorial
(a)
flg. 14-9. Campo eléctrico producido por a)
negativa.
(14.8)
(b)
una carga positiva y b) por una
( :7!¡; u"
donde u, es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya gue .F
está según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para cargas positivas
y aegativas, con el sentido de { respecto a 'tt, dado por el signo de q. De este
::roCof está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga nega-
tiva. E,n la fórmula correspondientepara el campo gravitacional (ec. 13.15), el
signo negativo se escribió explicitamente porque la interacción gravitacional es
.ienipre de atracción. La fig. 1a-9(a) representa el campo eléctrico en las vecin-
Cadesde una carga positiva y la fig. 1+9(b) muestra el campo eléctrico en las
cercaniasde una carga negativa.
i
I
I
/
ta
.r'
tt.
,i ,'
'-
-
ta-
,r'r"r-1-t
--,Ii)^-.--,. I
I
II
Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctrico puede rep¡€-
sentarsepor líneas de fuerza, lineas que son tangentes a la dirección del campo
en cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan
ei campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-10(b) muestran el
campo eléct¡ico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan por
la carga.
(-liando varias cargas están presentes,como en la fig. 14.7, eI campo eléctrico
-:-srilt¡rntees la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada
carga. O sea,
462 Interaccíón eléctríca
F,*
Flg. 14-6. Fuerza eléctrica resultante Flg. I4-7. Campo eléctrico resultante
sobre q, debida
^
4t y a Qz.
ilr¿.O"tto
P, producido por varias
L'j.4 üampo eléctríco
Ct¡a!¡¡rri*rrt:6iiindel espaoioe:r clandeuna c¡.rga¡:lóctrjcaexperimentauna fuerza
s.cllarn:i t:n ci¡Jnr,oeléttríco.La fuerza se dri;e a i;r prr:sr:nciaile otras eargasen
aqueila r"gión. Por ejernplo, unil carga { cr,}sr-:¿dnen uüa regiíin doride hayan
ct¡as ¡rargasQyQ,""Qs,etc..(fig. i4-7) experiincnla una iuerz¿,É':Fr + ¿', + .F".+ . . .,
¡" r,lecimosque está en un carnpoeléctrict¡producitlo pcr las cargasgp ga,Qs,,.."
(ia carga.E', por supucsto,Lambien ejerce iuerzas sobre Qr, gz, {s,... pero por
ahora no la.stomaremos en cuenta).Comoia fue¡za que cada carga qr, Qz,4s,. . .
ej*rr:e sobre ia carga q es proporc¡onai a q, la fuerza resultante ,f' es propnrcio-
nal a q. Asi, ia fuerza sobre una particuia cargad.a,coiocadaen un campo eléc-
trico, es proporcional a ia carga de la particula.
La íntensi¡Iadde un campoeléclricoen un punto es igual a la fuerza por unidad
<iecarga colocadaen esepunto. EI símbclo es f. Por lo tanto
--,t
{':+ it F:q(.q
(14.7)
La intensidad de campo elóctrico f' se ex-presaen ¡rew|onicoulombo N C-1, o,
usancioias unidadesfundanrentales,m kg s-': g-r"
Obsérveseque, ctendie¡rdoa la definición (.14"7),si ? es positiva, la fuerza .ú'
que actúa slbre la cargatiene la ¡nis¡na¡Jirecrióndel r:arrrpof pero si g es lega-
t.iva, ia fuerza F tiene la direccióncpur:sl;-t¡ f {fig. 14-8).Por Io tactc, si apli-
camrtsu! campo e)éctricoen una región dontle haya iones positivosv negatÍvos,
el carrtpr:tcndcrá a mQverlos cuer^¡ioscargari'lspositivarnentey negativamcnte
en direccionesopuestas,la cual da como resultarlo una $eparaciónde car"gas,
efecto éste llamado algunas vecespo/ar.jztsción.
Carnpo eléctrico -__*--g+
Cargá fiüsitira
C*rg:r tcg+
I'ig. 14-8,.
-{eutid,ri
de la fuerza prorln-
cicia ,pcr ur1 t:Jmpo eléctricc sobre una
cargu positiva y sobre una negativa"
l:qE
464 Interaccióneléctríca (14.4
(e) (b)
Fig. 14'10. Lfneas de fuerza y superficiesequipotencialesdel campo eléctricode
una carga positiva y de una negativa.
Flg. f 4'11' Llneas de fuerza y superficies r:r¡rii¡rotencialesdel campo eléctrico de
dos: c¿¡g31¡iguales y r:¡ruestas.
'.t''.-{ / ,'.,'t  I
l , / .'
-- ir{<-1-i-r:S( /-
i ritllll
i liiltll
14.Q¡ Campoeléctrico 465
Ftg. 14-12. Llneas de fuerza y superflciesequipotenciales del campo eléctrico de
dos cargas idénticas.
C:Cl *Cz*Cr*... :),C,:# )rff.+u
La fig. 1tl-11 indica cómo obtener el campo eléctrico resultante en un punto P
en el caso de dos cargas, una posiüva y otra negativa de la misma magnitud,
como esel casode un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La ftg. l*12
muestra las lineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dos
protones en una molécula de hi{rogeno. En ambas liguras también se han repre.
sentado las líneas de fuerza del campo eléctrico resultante producido por las
dos cargas.
Distribución
volumétrica
de carga
+
-r
I
+
+
+
1-
Ftg. 14-13. Cálculo del campo eléctrico
de una distribución continua de carqa.
FtS. 14-14. Campo eléctrico uniforme.
Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos en
elementos diferenclrles de carga dq y reemplazamos la surna por una integral,
466 Interaccióneléctríca (14.4
resultando
¿':J-f4",.4r,eo J i't
La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas.
Un campo eléctrico unifornrc tiene la misma intensidad y dirección en todos
sus puntos Un campo uniforme está representado,evidentemente, por líneas de
fuerza paralelasy equidistantes ({ig. 14-14).El mejor rncdo de producir un campo
eléctrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos placas metá-
iicas paralelas. La simetrÍa indic.a que el campo es uniforme; más adelante, en
la sección 16.3, verificaremos matenrátic¿mente esta ascrción. (Recordar el ejem-
plo 13.8 tlonde aparece un problema semejarite relacionado con la interacción
gravitacional).
fiJERlf,Lt'!-14,2. Determi¡ar *l campo elé<ri.rir:oproducirlo por las cargas Qt ! 4z
en cl purri.ilC de la fig. 14-6; rlicha¡ {:rrg¿.ise han rlefi¡¡iiloen el ejemplo tr4.1.
Sclrci,6n:Trnctnos,-los-solrlcionfsa es{rtSPr'.{--crirohemoslialladr-ren el ejemplo14,1
!a fuerza-1.'sobrela cargag. colccadacn ei puni; C, tenemos,usan¿l.ola ec,(14.7),que
t¡
C : :- :';,03 x 10¿]'lC-1.
9s
Otri; procedi¡nientoescalcular primero ei campo eléctricr:producido en C (fig. 14-15)
poi cada una de las cargas,usandoia ec. (14"6).Esto da
¡t 13 Et
Ftg. l4-16, Campo eléctrico
resultante en C producido por
{l Y (c'
c, : -*:: 9,32 x loc N C-r
- 4tte¡l
v
{." : 9t
-
==18.0 x 108N C-r.' Aneorl
For consiguiente,el campo eléctrico resultante es
c : V71 ¡ ¿7: 2.03 x 10?N C-1.
Los dos resultadosson, evidentemente,idénticos,
q2
EJE*ÍPLO 74.3. Discusión tlel movi¡nientc de una carga eléctrica en un campo
unilorme.
Solt¿Íd¿: La ecuaciónde movimienio dc una carga eléctrica en un campo eléct¡ico
uniforme está dada por la ecuación
ma:q{ ó a:. 3- ¿.
La aceleraciónque adquiere un cuerpo en un caÍrpo eléctrico depende, por lo tanto,
de la razón qlm. Corno esta razón cs en gcneral diferente para diferentes partlculas
cargadas o iones, sus aceleracioneseir.rin campo eléclrieo serán también diferentes;
es decir, que hay una clara distinción enr.re l¡l acelcración de un cuerpo cargado
que se lnucve en un campo eléctriro, y la aceir¡'ación en un oampo gravitacional,
que es la mism.apara todos los crtrrpti-t, Sl cj c¿rrn*¡r{'es u¡tilorlnc, la aceleraciÓn¿
es constante y la trayocloria dcsr:riia por ta ,:lrga eiéctrica e¡r su movimientn es
una parábola, conro se explicó en la secció;r 5.7"
-_
14.4 Campo eléctríco 467
Ftg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme.
Un caso interesante es el de una partfcula cargada moviéndose a través de un
campo eléctnco que ocupa una re'gión limitada del espacio(fig. 14-16). Suponga-
mos, para simpliflcar, que la vetocidadinicial uo de la partfcula cuando entra al
campo eléctrico sea pelpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colo-
cadt¡ el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partlcula y el eje Y paralelo al
campo. La trayectoria AB descrita por la partfcula al moverse a través del campo
esuna parábola. Despuésde cruzar el campo la partlcula readquiere el movimiento
rectillneo, pero con una velocidad c diferente en módulo y dirección. Decimos en-
tcnces que el campo eléctrico ha producido una desviaciónmedida por el ángulo a.
Usando los resultados de la sección5.7, encontramos que las coordenadasde la
partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración(q/m)C, están
dadas por
Í,:uot¡ g:r(qlm)C|2.
Eliminando el tiempo l, obtenemosla ecuación de la trayectoria,
lo cual verifica que es una parábola. Obtenemosla desviación¿ calculando la pen-
diente dgldr de la trayectoria para x : a. El resultado es
tg a : (dgldr)"* -- qCalmozs.
Si colocamosuna pantalla S a la distancia l, la partlcula con un q/m dado y velo-
cidad uo,llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg c¿es aproximada-
mente igual a dlL, ya que el desplazamientovertical BD es pequeño comparado
con d si Z es grande, tenemos
(r4.e)
lfidiendo d, L, a y C obtenemos la velocidad oo (o la energla cinética) si conocemos
la razón qlmi o reclprocamente, podemos obtener q/m si conocemos u0. Por lo tanto,
cuando un haz tle partfculas con la misma relación qlm,pasa a través de un campo
c.léctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energfas.
Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un dn¿r¿f-
:ador de energla, el cual separa las partfculas cargadas idénticas que se mueven
ion energías diferentes. Por ejemplo, los rayos I son electrones emitidos por algu-
nos materiales radioactivos; si colocamos un emiso¡ de rayos B en O, todos los
electroncs se concentrarán en el mismo punto de la pantalla si tienen la misma
L---
+(-"J(*)*'
qéa _d
mú'o L
++++++
F_rr-1"--¿
468 I nteracción eléctríca. (14.5
energfa. Pero si st¡n trmitidos ccn tiitcrenrrls i'rct'iJíl)i se dispersarán en una región
de la pantalla. l'ls esla segunda posibil.idad Ia que sc e¡rcuentra experirnentalmente,
resultado rle ¡nucha irnportancia desde ei punto rie vista cle la estn:ctura nuclear.
Usandi¡ dos juegos de placas paralelas cargadas, ¡i'.:ls66s producir dos campos
¡nutuamente perpendicularcs, rlno horizonlal según llfl'y otro vertical según yV',
corno se muestra en la fig, 14-17. Ajustando lá intensitlad relativa de los dos cam-
pos, podemos obtener una desviación arbitraria rlel haz de electrones respecto a
cualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos caÍipos son variables, el
puntc luminoso de referencia sobre la ¡ranta)la ilescribirá una cierta curva. Apli-
caciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en los
osciloscopios.En particular, si los campos eléctricos varfan en intensidad con mo-
virniento armónico simple, se obtentlrán las figuras de Lissajous (sección 12.9).
Anodo Placas para
do cnloque deSviación horizontal
RPj;lla .nodo i
Placas para
desvlacron'ln
-<.1'
tle controll
 acelerador
/---r---T----;-
i-_-l Haz de electrones
Calefactor
Revestimiento
metálico Pantalla
fluorescente
=-
Cañón electrónico
(o fuente electrónica)
I'19. 14-17. Nlovimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados.
Los electrones son emitidos por el cátodo y acelerados por un campo eléctrico
intenso. Una ranura en el ánodo acelerador, perm¡te a los electrones salir del cañón
electrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento me-
tálico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho libre de campos eléctricos,
producidos por fuentes ext€rnas y permitiendo el movimiento libre a los electrones
del haz.
74.5 Cuantízución de Ia carga eléctriea
lJn aspectoimportante que .Jebemosdilucidar antes dc proseguir,es el hecho de
que Ia carga eléctrica apareceno en cualquier cantidad, sino en rnúltiplos de una
unidad fundamental o cuanto.
De los muchos experimentosrealizadospara determinar esto, es clásicoel del
físico norteamericanoRobert A. Nfillikan (1869-1953),quien, por varios años
durante la primera parte de este siglo, ller'ó a efecto el experimento conocido
hoy como el erperí.rnentode Ia gotade.aceile.Ifillikan estableció,entre dos placas
horizontalesy paralelasA y B ({ig. 14-18),un c¿mpo eléctrico vertical C que
podia ser eliminadc¡o restablecidopor medio de un inter¡uptor. La placa superior
tenía en su centro unaspocasperforacionespequeñasa través de las c,ualespodían
pasar gota.sde aceite producidaspor un atorrizador" La mayoria de estasgotas
se cargabanJrorfricción:rl pasar por la boquilin del atomizador.
Analice.mosprimero cste experimento desde urt punto de vista teórico. Llarna-
remos rn ¿ la masa y r ai radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación
I4.o) Cuantízación de lu cargc eléclrícq 469
Firr- 1.t-1.8. Iixpcrime'rto de trfillikan. Ill movimiento de la gota de aceite car_
gada g se observa a través del rnicroscopio ill.
del movimiento cle caida iibre sin el campo eléctrjco c es, usanclola ec. (7.20)
con K rladopor la ec.(7"19),ma: mg - 6r1ru. La velocidadfinal u, de la gota,
cuando a :0, es
mg 2prrtl
"r -
6nrr g¡ '
donde p representala densicladdel aceite y hemos usado la relación m : ({rcf)p.
(con el fin de ser precisosdebemostambién tomar en cuenta el empuje aól aiie
escribiendop - pa en irigar de p, siendo po la densidad del aire).
Suponiendo que Ia gota tiene carga positiva g, cuando apricamos er campo
eléctrico,la ecuacióndel nrovimiento en dirección vertical haóia arriba es
ma:g( -mg-6rr¡rD,
y la velocidad final u, de la gota, cuando a :0, es
.. q( -ng
"t
: -G";-'
Despejandog, y usando la ec. (14.10) para eliminar mg, tenemos
q- (14.11)
(14.10)
Podemoshallar el radio de la gota midiendo u, y despejandor de la ec. (14.10).
Ilidierdo ,r, obtenemosla cargaq aplicandola éc.(14.11).Si Ia cargacs negativa,
el movi¡rlienlohacia amiba se produceaplicandoel canrpoeléctricohacialba.¡o.
En la práclica se sigueun procedimientodiferente. El movirniento hacia arriba
y'haciaabajode la gota seobservavariasveces,aplicandoy suprimiendoel canlpr)
elclctricr:sucesi.'¿rllte¡lte.La velocidadu, permaneceiuvariatle, pero Ia velocid¿r¿u"
6r¡r(u, { ur)
470 Inleraccíótt eléctrice (14.5
ocasionahnentct¡lmbie sugiricndo iili c¡ml:io {r¡i::. r;:¡rqacleia gota. Iistos cam-
bios son drl-.ido:¿ la ioniz.:¡cionotiiiit-rl,¡rlr'lr:.}.ai¡r.-,'r¡r.,}¡ienirrpoa raJ¡osctisrrricos.
La gota prreclet,orulilal¡;uitci ¡lc csti,irin¡jesnr('nl.rasse :nusl'r a trar'és,:lelairc.
I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn iilCuciisc t¡¡r¡.:Liéni:r,loca¡ricrercit de }as placas
una fnente de rayo; X u 1o lc'1,cuaies slrmeili:ll: ];t ionjzación dei airi:.
l)e acuerdocon la er:.(14.11),los ia,,¡Lio:; Ao y :u, de la carga y de la velo-
cidad hacia arriba están relecionaCcsí|.r
0:r:l¡
Aq : --:- ¡", (r4.12)
Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1svecesr1e¡iativir,segúnla naturaleza de la
modificaciórrrie la carga. Repitiencloel e:;pt:riinenlode la gota de aceil.emuchas
'r'€c€scoil diferentesgotas,ios lis.icoshan conclu!doque ios cambios Ag son siem-
pre nrúitiplos de la carga filndi.lrrl;]tai ¿ rirst()¿s, AÍ -' ne),cuyo vaior e$
¿ : 1,6021x iii-le C. (14.13)
La caatidacie se llarna cargae¡emcntal.'i't¡Cc:;las crtgas quese obseruonen la na^
{uralezason ig¿ro¡€so-,o rnúliíplosde, in :art¡t tlente.nfale; hasta ahora no se han
ohservadoexcepc:onesa est; regla" Parece ser, entunces,una ley fundamental
il,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,acuaniizada. Hasta el presente, no
rc ha encontrarioexpücación¿ estchcehoa prrrt.irde conceptosmás fundamentales.
Un segundoaspectoiritporl-rntede la carga eléctricaes que la carga elemental
eslá siempreasociadacon alguna masa deterininada,dando lugar a Io que lla-
nramoswta partíclila fundamnlal. Ii1n e] próximo capÍtulo (sección15.4), expli-
carelnosaigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo que si se co-
noceq, prieda obtenersern; de esta mauera se han identificado varias particulas
fundamentales.lPor el moinen!,o,podernosi¡tdicarque en la estructura del átomo
entran tres partíeulasfundi¡nlentair,s:cl el¿clrón,e! prolón y el neutrón Sus carac-
teristicas se indican err el siguieritecuadro.
i
Partícirla i
___-t__
f
elcctrón { m.
I
prOron I tnp
neUlIOn I ¡nn
I
Masa I
"rrgui--
- rr,109l r l0' .r kg I - c
- t,67?5 ,: r'.r-2?kg r + r
:. 1",6748x 10-r?ks | 0
Olrsérvesec¡ue.el neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otras
propietladeseléctricas,rlue scl'ándiscutidaseri cl cr,pitulo 1.-1.trl hecho de que la
masa iiel protón sea cerca de 1840 vecesmavor que la masa del electró¡rtiene
gran influencia eri nir¡chosfenó¡i:enosfisirros"
['let+rnclr.los:lhr)raa Ia ielinición preiirnilrarilel coulomb dada en la sección2.3,
y verifiquclriosque el n¡imerode elt:ctrc,r.es3'rrroinrresnecestriosparn alcnnzar
llr)¿ic¿ifg¿¡¡rr'rsitivac)nrgativi¡ igui.irr i¡¡rr:ouioriiLr:si/1,6021x 10"rs:ü,Z-tr18x10r8
qur cs trl ¡iúrnero riuc agr:rrccealli,
14,6) Eslructura etéclrica de la maleria
74.6 Estructura eléctrica de Ia materia
Hemos recordadoal estudianteel hechofrecuentementeobservadode que ciertos
cuerpospueden electrizarsefrot¿indoloscon tela o piel. IlIuchos otros experimen-
tos de laboratorio señalanel hecho de que los r.;en5fifuyentesbásicosde todos los
átomos son partículas cargadas.Por ejemplo, cuando se calienta un filamento,
ésteemite.eleclrones,tal como se evaporan las moléculasde un líquido al calen-
tarse. Este fenómeno se llama emisión termoióníca.
Fie. 14-19. Electrólisis. Lns iones se
muel'en bajo la acción del campo eléc-
trico producido por los electrodos
cargados.
Otro fenómenointeresantees el de la electrólísis.Supongamosque se establece
un campo eléctricoC (lig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en una
solución que contiene un ácido (tal como HCI), una base (tal como NaOH), o
una sal {NaCL). Producimos este campo sunrergiendoen la solución dos barras
o placas opuestamentecargadasllamadas eleclrodos.Observamosque las cargas
:léctricas fluyen y que ciertas clasesde átomos cargados se mueven hacia el
electrodopositivo o anodo,v otras semueven hacia el electrodonegativo o cáIodo.
i,ste lenómenosugieret¡ue las moléculasde la sustanciadisuelta se han separado
(o disociado)en dos partes diferentemcntecargadas.o iones.Algunas están car-
gadaspositivanientey semueven en la direccióndel carnpoeléctrico; otras están
cargadasnegativarnentey se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc-
l.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia el
cátodo y en consecuenciason ionespositivos,llamados caliones,mientras que los
átomos de Cl van al ánodo y son iones negativos,llamados aníones.La disocia-
ción puede escribirse en Ia iorma
NaCl+Na.*Cl-.
Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctrica, suponemos
que eslán formadas de cantidadesigualesde cargaspositivasy negativas.Cuando
las moléculasde iaCl se disocian,las cargasno se separanuniformemente. Una
parte de las moléculastransporta un excesode electricidad negativa y la otra
un cxceso de electricidad positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto,
un ion. Ilen'rosdicho que todas las cargasson múltiplos de la unidad fundamental
471
Anodo
Cátodo7/"/' ll
/)7
| tt. ¡
I lÍ!
V'Q*
r¡
>'t+l

w
472 Interacción eléctrica (14.6
de carga e. Supongamosque los iones positivostransportan la carga f ve,y los
ionesnegativosuna carga- vedonde v es un nitrneroelitero que determin¡trcmos
¡násadelante.Cuandolos ionesllegan a cada electrcdo,se neutralizan,intercam-
biando sus cargas con las cargas disponiblesen los electrodos.Generalmente
sigue una serie de reaccionesqrrímicasque no nos interesanahora, pero que
sirven para identificar la natu¡aleza de los iones que se mueven hacia cada
electrodo.
Despuésde un cierto tiempo l, un número N de átomosha ido a cada electrodo.
La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces,en valor absoluto,
Q:Nr¿. Suponiendoque m sea la masa de cada molécula,la masa total M
depositada en ambos electrodos€s M : Nm. Dividiendo la primera relación
por la segunda,tenemos
QIM : velm. (14.14)
Si .A{¡es la constantede Auogadro(el número de moléculasen un mol de cualquier
sustancia),la masa de un mol de la sustanciaes Ma : NA[r. En consecuencia,
la ec. (14.14)puede escribirseen la forma
a 'le N4v€ Fv
_:+
La cantidad
(14.r5)
(14.16)
es una constante universal llamada constantede Faradag. Esta representala carga
de un rnol de ionesque tiene v :1. Su valor experimentales
F :9,6487 X 104C mol-r. (r4.17)
f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante
de Avogadro
lüa : 6,0225 x 1023mol-l, (14.18)
de acuerdo con otros cálculoscie esta constante.
La ec. (14.15)ha sido verificada experimentalntenley se ha hallado que v es
igual a la ualenciaquímíca clclion correspondiente.E,l hecho de que v seala va-
lenciaquimica sugiereque cuando dos átomos se rrnenpara formar una molécula,
irrtercambianla carga ve, convirtiéndoseuno en un ion positivo y el otro en un
ion ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos.
Podemostantbién sllponer, con bastante confianza,que las particulas intercam-
biadasson los electrones,ya que se mueven más fácilmente por ser más ligeros
que Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, llamado enlaceiónín, rlebe
considerarsesólo conro una descripciónprelimin:r sujeta a revisión y crítica
ulteriores.
En la s¡'cci(¡n13.9 indicarnostlue las luerzrs gravitacionalesno eran suficien-
temente lutrtes conlo para producir la atracción nccesariapara mantener unitlos
dos áloulr,rsy fornrar una ¡noldcula,o dos nloléculasy formar una porción de
M m Nem. M¡
F:N¡e
!1.?'l Eslruclura afómira 473
,,-¿¡'ieria,y qt¡c sioni03; vecesrnenosintensasde lo rrecesario.Compare¡nosahora
rl rir,le¡; de rnagnitud dc las fue¡zas eléctricasy de las gravitacionales. Supo-
¡','re¡rdoc¡uela distancia sea la. :--';!sma,la intensidad de la interacción eléctrica
está deLerrninadapor ia const.antede aco¡rlamienLoqrqrl4reo, y Ia cJela inter-
acción gravitacional por i'rn,rnr.Por lo tirlil;
intcracción eléctrica
: Jíer---
4rer-¡mrm,interaccióngravitacional
Para obtener el orden de rnagnitud, hagarnosgt:82- e y !n1: rrr2: rr?p,de
rnodoque para dos protoneso dos ionesde hidrógeno,
interaccióneléctrica
Int.ia..ion g.a"it-u.i* li
: : 1,5 x 1036.
Este es,aproxirnadamente,el factor que le faltaria a la fuerza gravitacional
producir ia interacción requerida.Para la interacción entre un protón y un
trón (rn, : mp, Inz: me), la relación antcrior resulta todavía mayor: 2,8 x
Por consiguier¡teconcluinrosque
la interacción eléclrícaes del orden de mugnitud requeridopara pro-
ducir el enlaceentre atomospara formar moléutlas, o eI e¡tlaceenlre
eleclronesy protonespara formar dtomas.
La conclusiónes, entonces,obvia: los procesosquimicos (en general el com:
portamiento de la máteria en su totalidad) se deben a las interaccioneseléctricas
entre átomos y moléculas.Una comprensióncomplela de la estructura eléctrica
de los átomos y moléculases, pues, esencialpara explicar los procesosqttimicos
v, en general,para explicar todos los fenómenosque observatnoscorrientcmente
a nuestro alrededor,tanto en la materia incrte como en la viviente. l'il objc'tivo
de la física es, como vimos en el capitulo 1, capacitarnospara comprender la
estructura de los constituyentesfundamentalesde la materia y explicar, en fun-
ción de sus interacciones,el comportamientode la lnateria como un todo. l)ara
c,Lrnrplircon este programa debernoscomprendcrpreviamente las interacciones
eiéctricas.Por esta razón ¡nuchos de los capítulos siguientes estarán rir-'dicados
a los fenómenoseléctricos.
Dondequieraque haya cuerposcargadoseléctricamente,las fuerzas gravita-
cionalesson despreciables.Estas fuereasson imporlantes sólo cuandoestu<lia¡nos
{ruerposde gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son ptquetias en
cr-imparacióncon sus masas.Este es el caso del movimiento planetarit.¡o del mo-
virniento de cuerpos en la superficieterrestre.
14.7 Estruetura atótnic.a
Por Io dicho en la secciónanterior, el estudiante se habrá dado cuenta que com-
prenderla estructura a!ómica es uno de los problemasbásicosde la fisica. ltxpon-
ganros,por lo tanto, algunasideaspreliminaresy desarrollemosun modelo satis-
factorio del átomo. Sabemosque los átomos son eléctricamente neutros e¡r su
e2
4reoprtf,
J)ara
elec-
1040.
474 Interaccíóneléctríca (14.7
estadonormal, ya que en la materia en conjunto tto se manifiestanfuerzaseléc-
tricas grandes.Por consiguiente,los átomos deben contener cantidadesiguales
de electricidadpositiva y negativa o, en otras palabras,igual número de protones
v de electrones.El númeroigual de protonesy electronessellama númeroatómicoy
sc designapar Z. El átomo consta entoncesde una carga positiva lZe debida
a los protonesy de una carganegativa de igual inagnitud debida a los eiectrones.
Acuden a nuestra mente dos posibicsmodelospara el átonto. En uno de ellos
podemossuponer que los protones,como tierren mayor masa que los electrones,
están agrupadosalrededord€l centro de masa del átomo, formando una especie
de núclet¡y los electronesgiran a su alrededor,cornoen nuestrosistemaplanetario.
En el otro modelo los protonespodrian estar esparcidosen todo el volumen del
átomo, con los electronesmovjéndoseentre ellos y lormando algo así como una
mezcla de gasescon cargas positivas y negativas llamada plasnio. E,l primer
modelo es más llamativo dada nuestra lamiliaridad con el sistemasolar. Sin em-
l.rargo,entrc las dificr¡ltadesa que debemoshace¡ frente en este modelo, está la
de explicarcórnolos protonessemantienenunidosentre sÍ,en el núcleo,a pesarde
la fuerte repulsióneléctrica entre ellos.Esta complicaciónrequierela existencia
de otras interacciones,además de la interacción eléctrica.
Para dilucidar el problema de la di-qtribuciónde electronesy protones en un
átomo, debemosinvestigar el interior del átomo experimentalmente,lanzando
un haz de particulas rápidas cargadastales como iones de hidrógeno (es decir
protones)o ionesde helio (llamadospartlculasafa), contra el átomo, y observar
las interaccionesproducidas.Este es un experimento de dispersíón,cuyo funda-
mento matemáticose ha dado ya en el capÍtulo 7. La simetría sugiereque pode-
mos considerarlos átomos como esferascon un radio del orden de 10-10m, como
seha indicado previamente.Debido a que la interaccióneléctricasiguela ley 71r2,
los resultadosdemostradosen la sección13,7 para el campo gravitacional, son
válidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesarioreemplazar "¡mm' por
qq'!4*o, Por lo tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q unüorme-
mente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos externos(r > a)
un campo eiéctrico dado por
(':,Q-=, rle, (14.19)
4ne¿2
y un campo eléctrico en todos Ios puntos interic¡res (r < a) dado por
| <a. (14.20)
4xeoa} '
Este campo está representadoen la fig. 14-20.
En el rnodelode plasma, el radio a es el ¡nismo que el radio del átomo y la
carga efectiva Q es muy pequeña ponlue las cargas positivas de los protones
y las cargasne¡¡ativasde los electronesesi¡ln inezcladasunifor¡nemente.La des-
viación experimentadapor l;r particula de carga q al aproximarseal átomo, pero
Qr
14'.7)
Fig. 14-t0. Campo eléctrico de una es-
fera de radio c cargada,
l-'
Flg. 14-21. Distribución de electrones
en un átomo.
sin pasar a través de é1,se calcula usando la ec. (7.42) coo rf(: Qq!4rc6i resulta
cots+ó : 4"'ún'3
b.
Qq
(14.21)
En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que ei radio del átomo
o N 10-10m. Suponiendoque la energíade lasparticulas esdel orden de 1.6x 10-rsJ,
o un MeV (que es el rango de energiasproporcionado por los laboratorios en
esta clasede experimentos),y que 0 y q son del orden de e, encontramos que ó
es menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación.Para
valores menores de ó, si la particula incidente tiene energÍa suficiente para pe-
netrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decre-
r:ientey la ec. (14.21)ya no es aplicable.Pero entonces,la desviación,en lugar
de ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otras
palairras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviacionesde las
partÍcuias que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experi-
mentalmente que muchas partículas se desvian en ángulos grandes, en algunos
casoshasta 180". Por consiguientedebemosdesechareI modelo de plasma basán-
donos en este experimento simple pero concluyente.
Consideremosahora el modelo nuclear,en el cual los protones están agrupados
en una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21).Entonces la ec. (14.21)
se mantiene para valores de ü mucho menores que el radio atómico, y son posi-
bles desviacionesmayores. Aqui nos damos cuenta que los electronesen rápido
movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquier
partícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modo
la carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de ó mayores que
10-10m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmentelo
mismo. Para pequeños valores de ó, sin embargo, pueden ocurrir mayores des-
viaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelo
de plasnta.Por ejemplo,para ó - 1g-tam y Q - l}e, usando el mismo valor de
(carga - Ze)
476 lnteraccióneléctríca (14.7
energia que antes, obtenemos cotg *d - I ó d - 90'. En el modelo nuclear,
Q : Ze, y poniendo Q : ve para la partÍcula que bornbardea(r : 1 para pro-
tones, rr :2 para partículas alfa), obtenemosde ta ec, (14.21),
b: ,uz" u colg$.
4*eomufi
En los experimentos se dirigen varias particulas contra una delgadlsima lámina
y se observan las deflecciones.Corno ó no puede controlarse porque es imposible
apuntar a un átomo en particula¡ debemoshacer un análisis estadisticopara
interpretar los resultados experimentales.
Supongamosque tenemosuna delgadalámina metálica de espesor/, que tiene
n átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área inciden
en Ia lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro de
impacto pequerio).experimentandoentoncesuna gran desviación; algunas pa-
sarán a distanciasrelativamentegiaridesde los átomos de la lámina (panimetro
de impacto g'ande) y experimentaránun¿ pequeíradesviación.El resultado del
análisisestadístico(ver ejemplo 14.4) muestra que el número de particulas dN
Jesviadasdentro del ángulo sóiido dl) (correspondientea los ángulos de disper-
sión { y 4 + d{ respecto a la dirección de incidencia) está dado por
d¡/ NnvzZzd
;n:-Tffiñcoseca$'
(14.22)
Ei signo negativo se debe a que dN representalas particulas sacadasdel haz
incidente co¡no consecuenciade la dispersión,y esto correspondea una dismi-
nución de N.
El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadaspor
unidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamentesegún la ley
nsecal$. Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indi-
rectamente, que todas ias cargas pcsitivas se concentlan cerca del centro del
átomo. Esla prueba se obtuvo mediante experimentosejecutadospor primera
rrezdurante el periodo 191l-1913 par H. Geigery E. llarsden, bajo la dirección
del fÍsico británico Ernest Rutherfcrd (1871-1937).Estos experimentosconstitu-
yeron el fundamentodel modeionrtcieardel átomo, que ha sido aceptadodesde
entonces como el correcto.
Para cada valor riel parámetro de irnpacto ó, existe una distancia de máxirno
acercamientopara ia cual la particula que bombardeaestá lo más cerca posible
del centro. I-a distancia mínima ocune para á : 0. EI cálculo de esta distancia
para diferentescondicionesexperimentales,cmpleanilo metodos dinámicos (ver
ejemplo 14.5) indica que esia ciistanciaes del crden de lO-ra m para ener$as
del orden de 10-13J (o un }fel'). Esta dist;lncia da un limite superior para el
radio del núcleo atómico. Fc'r consiguienleconcluirnosque los protones se con-
centra¡rcn u¡ra regifin cuyas dinrensionesson del orden de 10-u m. Cuando con-
sideranroscl hecho de que el radio ilel átomr; rs {ici orden de l0-10m, nos damos
cuent,aque ia rnayor Jiartc Cel v¡¡lurnenclei átorno está octipado por los elec-
triines en mov-imiento,y está en realidad vacío.
1,1 :
Eslruclura alór¡tics 477
Para pequeñosvalores del ¡rarárnetrode impacto 5,'altas energías,cuando la
partir:ulaincidente liega muy cerca del ttúcleo,observamosque la ley coseca$
no secumple. Esto indica Ia prest:iciade otras interacciones,las fuerzasnucleares.
.nalizando las discrepanciasccn respectoa la dispersiónpuramente culombiana
dada por la ec. (14.22), obtenemos informa,ción valiosa acerca de las fuerzas
nucleares.
Los más simples y livianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno.
Su rnasaes igual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguientecon-
cluimos que un átomo de hidrógeno está compuestode un electrón girando alre-
dedorde un soloprotón. Entonces,Z:1, y el núcleode un átomo de hidrógeno
es precisamente un protón (esto podria tomarse también como definición de
protón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r2, deberíamos
esperar,por las mismas razonesdadas en el capítulo 13 para el movimiento pla-
nétario, que las órbitas fueran elipsescon el protón en uno de los focos. Las
órbitas electrónicas,sin embargo, requieren que dispongamosde técnicas espe-
cialesantes de poder discutirlas, porque ellas poseencaracteristicaspropias que
las hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a la
mecánicacuántica. Sin embargo, podemosadelantar dos de los más importantes
resultados de la mecánica cuántica.
(1) ,Lc energla del mouímienlo electrónícoeslá cuantizada. Esto significa que
la energia de los electronespuede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2,Es, . . ., En, . . .
Los estados correspondientesa estas ener$as se llaman esladosestacíonarios.El
estado con la más baia energía posible es el esladofund.amenlal Determinar las
ener$as de los estadosestacionarioses una de las tareas de la mecánica cuántica.
Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita,
solamente ciertas regionesdel espacioson posiblespara eI movimiento electrónico.
Esto está indicado esquemáticamente por Ia región sombreada de la fig. 14-21.
(2) EI momentum angular del mouimiento electróni.coeslá cuanlizado tanto en
magnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de un
electrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angular
es un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro-
piedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar ter-
minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como
implicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas".
Para átomos más pesadosque el hidrógeno, la masa es mayor que la masa
de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a la
presenciad,eneulronesen el núcleo. El número total de partículas en un núcleo
se llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Z
electrones,Z protones y A-Z neutrones. Los neutrones son necesarios,apa-
rentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamente
sometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar car-
gados positivamente. El hecho de que pueden permanecerunidos en un núcleo
indica qne, además de las interaccioneseléctricas,hay otras interaccionesmuy
Iuertes, correspondientesa las llamadas fuerzasnucleares,las cuales contrarrestan
la repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nucleares
sin añadir reprrlsióneléctrica,produciendo de este modo un efecto estabilizador.
L
478 Interaccíóneléctrica (14.7
En este punto debemosdeci¡ que nuestro conoci¡nirnto de las fuerzas nucleares
no es tan completo como lo es cl de las fuerzaselécl.ricas.
El comportamiento quimico de un átomo, siendo un efecto eléctrico, está
determinado por el número atómico Z^ Sin embargo, para un valor de Z puede
haber varios valoresdel número rnásicoA. En otras palabras,a ull número dado
de protones en el núcleo puedc corresponderdüet'ente número de neutrones.
Los átomos que tienen el rnisnlo ¡rúniero atómico, pero diferente número másico,
se llaman isótopos.Todos ellos correspondenal mismo elemento quÍmico. Los
diferentesisótopos de un elemento químico se designanpor el símbolo del ele-
mento químico (que también identifica el número atómico) con un índice colocado
en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo,
hidrógeno (.2:l) tiene tres isótopos: lH, 2H o deuterio, y 3FI o tritio. Análo-
gamente,dos de los más importantes isótoposde} carbono (Z :6) son r2Cy 14C.
El isótopo12Ces el que se usa para delinir la unidad de masa atómica.
EJEiltPLO14.4. Obtener la ecuación(14.?2)para la dispersiónculombiana.
S<¡luctón:Sean el número de átomospor unidad de volumen del dispersor.Enton-
cesnl será el número de átomosdispersadospor una lámina delgadade espesorI
y área unid.ad.El número de átomosen un anillo de radio D y ancho dDy por lo
tanto de árca2rb dó) será (nt)(2ttbdó), ccmo se rnuestraen la fig. 14-22. Si N par-
tlculas inciden sobrela unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyo
parámetro de impacto está entre Dy D + dbes dN : N(n¿) (hb db.Diferenciando
la expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene:
(14.23)
-tr'9
,[ :l.l __ __ _ _ _ _ - _ _ - -G:_*-i --_
It ;; +Ze
FtS. 14-22. Desviación de un ion positivo de-
bido a la repulsión coulombiana del núcleo.
Flgura 14.23
Para átomos livianos, debemos reempluzar la nrasa m de la partfcula por la masa
reducida del sistema de partlculas.
Si trazamos dos conos de ángrrkrs d V d n d{ alrededor del átomo (ng. 14-23)
todas ias particulas dadas pot' la ec. (14.2i3) sr:rán desviadas a través del ángulo
sóiido entre las dos supcrfir:ies cónic¡r.s.Ei ár¡.: sornbreada es (2nr sen $) (r dg) .-=
2:;¡¡ sen $ d$. ?ot consi¡;uit'nte, en v;stit tle li'. rlefinitriÓn(?"7), el ángulo sólido es
dfl ==2r sr.:uó d+ =- 4:: sen $ cas y4 dg!, donrle llcrn¡rs rrs¿tdola relación sen{ :
2 sen {.$ cas }$. La distribución angular está .iada por el ¡rúme¡o de partlculas
dN: *
ffi4corgl$
cosec'$d{.
dN Nn¡zzzeal
-1r] : -
t(-*i;;ü
coseca|r/'
que es la ec. (14.22).
Aigunas veceslos rcsulta.dosde los experimentr,srle dispersiónse expresanmeior
nsandoel concepto de seccírjneficaz.La seccióneflcazpará un procesoestá definid.a
por
.,, 1 ldNl
o(P/:
Nr..i do i'
!i,t:
':iispersadaspor unidad rie ángrrlosélido.Entonces
Estructuraalo¡¡ti¡.c t, ':
(r4.24)
(14.25)
Las barras verticales están
-para ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do.
I-a cantidado({) representa.laprobabilidadde que una particula incidentese desl'le
un ángulo.entre{_y # + d#: Se expresaen unidadesde área(mr), ya que n es una
densiiad im-u) y f es una distancia(m); (obsérveseque las unidad.Lsde N se can-
:elan). Por io ianto, sustituyendola .ec.{14.22)en ia ec. (14.24),obtenemosla sec-
,:idn eficazdiferencialpara la dispersiónculombiana,
"(ó)
:
^;tZy;T
cosecai{.
,
"' 2(4te)2m2oo
E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfcula
de carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici z.
Solucló¡t:La flg. 14-24muestra la geometla del
probiema. De acuerdocon la discusiónhecha en
la sección 13.5, la partfcula describeuna rama
de hipérbolacon el núcleo *Ze en el foco más
distante F'. La distancia de máximo acerca-
miento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetro
de impacto. Demostraremos primero que ó es
igual al eje vertical OB de la hipérbola. St an-
gulo f : POQ,entre las dosasfniotas,es el án-
gulo de desviación de la partlcula debido a Ia
repulsión coulombiana del nrlcleo.La distancia
OA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, y
de las propiedadesde la hipérbola tenemosque
AF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,D
y OCA' son iguales,de modo que ü : F,D:
: CA' : OB. En la geometrfa de la ñgura ve-
mos que OF' : ó cosecay OA: ¿r: Dcotg cr.
ForconslguienteR: F'A : ó(coseca * cotgc).
Pero 2a + Ó: zc,de modo {ue c: +"_-hi.
Por Io tanto
Figuro 14-24
R : ü(secI4 + te 14,¡: ó(1*.cos-e:*ó).
cotglc
Usandoel resultado(14.21),con e : Ze y g : y€,obtenemos
R : .. u?"
^.
(1 * cosec|f),4reo(mo!) '-
que da !a clisi.anciacle máximo acercamiento en función de la energla inicial de la
partfctrla- mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r
É
lt,
lr
rebota de modo que se dispersaen un ánguloigual a ;r, resultandocosectó : I y
,, vZe|
Areo(lmuf,)'
Por ejemplo, swtituyendo valores numéricoscon v: 1, Z:6 (correspondiente
al carbono)y E : ImuE: 1,6 x 10-raJ ó 1 MeV, obtenemosR'- 10-ir *, qué
es el orden de magnitud señaladoantes para las dimensicnesnucleares.
74.8 Potencial eléctrico
Una carga eléctrica colocadaen un campo eléctrico tiene energia potencial debido
a su interacción con el campo. El polencial eléctricoen un printo se define como
la energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando
el potencialeléctricopor v y la energíapotencialde una
"^rgi
q por Ep, tánemos
v:!-o
q
El potencialeléctricose mide en joure/coulombo .I c-r, unidad que recibeel
nombre de uolt,abreviadov, en honor del cientificoitaliano Alejandro volta
(1745'1827.En función de las unidadesfundamentales,v : ¡nz¡g .-z ¡-r.
Observemosque las defirricionesde campo eléctricoy de potencialetéctrico
son análogasa las de campoy de potencialgravitacional,E-llasse relacionan
del mismo modo que en la ec. (13.21).o sea,las componentescartesianasdel
campo eléctricoC estándadaspor
48A Inturaccióneléclrica
av:-+
^,oÍ
fV
I dv'
./o
6 Er:qV.
.0V
0z
(14.8
(r4.26)
(r4.27)(, -avy ----:-'
og
En general, la componente según la dirección correspondiente a un desplaza-
miento ds es
t'_ av
'*- - -a-'
Esto puedeescribirseen la forma compacta
¿.:_grad V,
comoseha mostradoantesenloscapítulosg y
seusflnparaencontrarel potencialeléctric:o
trico {', y recíprocamente.
(14.29)
13.Lasecuaciones(14.27)o (14.28)
V cuandosecolloceel campoeléc-
consideremosel casoril p]. de un campoeréctricounifonne(fig" r+25). I.a
primeradelasecuaciones(1.4.I7)da,paraun c€mpoparaieloal ejeX, f.: _dV ldr.como f esconstantey $ujronemfisv : 0 para r : 0, tenemos,por integración,
(r4.28)
V:--Cs. (14.30)
frf.¡
---f Cdr--.('-l ¿¡.r ó
Jo Jo
i'1.8) Potencíaleléctríco 481
iv:ri
I
I
01.-"rl
l¡
rl
II
Flg. 14-9ó. Campo eléctrico uniforme. Ftg. 14-26. Variacionesde f y V en un
campo eléctrico uniforme.
I
Esta relación muy útil ha sido representadagráficamente en la fig. 14-26. Obser-
vemosque, debido al signonegativo en la ec. (14.29)o en la ec. (14.30),el campo
eléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes.Cuando consideramos dos
puntos Íty rz, la ec. (14.30)da V, :-(y Vz:-(rz. Restando,tenemos
Vr- Y, : - ((rz- rJ; o, haciendo d : Íz- l' obtenemos
it'
"
Yr-V, Vr- V,a:_
--dd (14.31)
-A.unqueesta relación esválida solamente para campos eléctricos uniformes, puede
usarse para estimar el campo eléctrico entre dos puntos separados por una dis-
'uanciad, cuando se conoce la diferencia de potencial V, - V, entre ellos. Si la
diferencia de potencial V, - V, es positiva el campo está dirigido de r, a l,
¡' si es negativa,está dirigido en sentidoopuesto.La ecuación(14.31) [o de hecho
también la ec. (14.27) o Ia ec. (14.28)l indica que el campo eléctrico se puede
expresar también en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dada
anteriormente. Esto puede verse del siguiente modo:
volt joule newton-metro newton
:-.
coulombmetro coulomb-metro coulomb-metro
En Ia prácticaseprefiereusar el término volt/metro, abreviadoV m-r en luga.r
de N C-1.
Para obtener el potencial eléctrico debido a una carga puntual, usamos la
ec. (14.28), reernplazandos por la distancia r, ya que el campo eléct¡ico produ-
cido yace segúnel radio; estoes,C - - 0Vl0r. Recordandola ec.(14.8),podemos
escribir
lqaV
4 tceo rz 0r
482 Interaccióneléctrica (14.8
Integrando, suponiendo Y :0 para r : oo, coülo en el caso gravitacional, ob-
tenemos
(1.1.32)
Esta expresiónpodria haberseobtenido también reemplazandoen ra ec. (13.18)
-'(m por ql4teo. El potencial eléctrico v es positivo o negativo dependiendo
del signo de la carga g que lo produce.
Si tenemos varias cargas Q7,Qs,Qs,. . ., el potencial eléctrico en un punto p
(frg, 1+7) es la suma escalarde sus potencialesindividuales. O 5ea,
v: ,8t + +r- + ,9r +... - =!- r,-lL. (14.33). 4re¡1 r.eor, 4re6.r3 4rreo -' r¡
-
En general es más fácil, por Io tanto, calcular el potencial resultante debido
a una distribución de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder
en el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continua
de cargas, dividimos ésta en cargas elementales dq y sustituimos la suma de
Ia ec. (14.33) por Ia integral (recordar la fig. t4-l3), obteniendo
v:
q
4Íesl
(14.34)
donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas.
Las superficies que tienen el mismo potencial eléctrico en todos sus puntos
- o sea, y : constante-- se llaman superficies equipotencíal¿s.La dirrcción
del campo eléctrico es perpendicula¡ a la superficie equipotencial en cada uno
de sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 18.6). para un campo
unüorme, deducimosde la ec. (14.30)que V : const. implica r : conSt.ry que
por lo tanto las superficiesequipotencialesson planas, como se indica con Ias
lineasde trazos en la fig. 14-25.La ec"(14.82)indica que para una cargapuntual,
ias superlicies equipotenciales son esferas ¡ : corist, señaladas poi las lin"as
de trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipoten-
ciales están dadas por Xi(qi/r,) : cor$t, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su-
perlicies equipotencialespara dos cargas se han indicado con lÍneas de trazos
en las figs. 1,111 y 14-12.
EJEMPLO 74.6. calcularlaenergfapotencialetéctricadeIa cargaq,del ejemplol4.l.
solución: Reflrámonosa Ia fig. 14-6 y usemosla ec. (14.32).Los potencialeseléc.
tricosproducidosen c por las cargashy Qzsituadasen ;l y B, respóctivamente,son
u:+[+'
Y,:-L-:fi,25x106!,
47!€oft
Luego. el potencial eléctrico en el ¡runto C es
,-Ytfvr:2,25x106v.
vr: -J3--: -_9 x 100¡.
4?TÉo12
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  • 2. Versión en españolde: CARLOSALBERTOHERAS CoardinudorCientílico Universidadde Oriente.Venezuela v JOSEA. BARRETOARAUJO Departamentode Física Universídadde Oríente,Venezuela Conla colaboraciónde: ROMULOE. BALLESTERO Facultadde Cienciasy Letras Universidadde CostaRica
  • 4. Deportamentode FISICA VOTUMENII: CAMPOSY ONDAS MARCELOALONSO Departamentode Físíca,UniversidaddeGeargetown Washíngton,D. C. AsuntosCientlficos,Organizaciónde los EstadosAmerimnos EDWARD I. FINN Deparlamentode Física,lJniversidaddeGeorgetown Washington,D.C. FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, Bogotá Caracas- X'féxico- Panamá - San Juan - Santiago - Siro S. A. Pa:l:,
  • 5. rr;;r¡;..;irif ¡,; i:::riil,ingiesetituiada ;,::. 'L i-'ttii: t;¡tti ]l'rlíif.!, i'-:.r,:,;; '. l":,.,i, ¡:dicióttci* 1967, lii;r 1:-;;¡¡;¡i.l;::l¡:;,ny,Read.iflp., -..isiil;;,ri; ii l3 úf:¡caaütilr;uada. . .-il : :t j':.:! . l/;,¡t. f{lii'i ri.' €) l$70 ¡ror tr'ONIIO EIlUf;Ag;l'O INTERAMFRXCA¡rO, fl. A. T¡:clos los rlrrechos han sido ¡esei"?.?(i¡s. Ni est¡: iibro rri parte de él ¡lueden ser r*pxo(irrriiji)$ er¡ fornl:t algl:n:r $in (ii i..crfillso eicrlta ¡j<:su editor. Printed in the Llnitei Sl.;'.icrr¡i Ailrcric¿r.lnr¡-.¡¡rq"¿:rrio¡,ii.II",]i. Tarjr',ia del catálogo de la Biirtic¡* teca ilri Co:rgiesc de !l:¡:I-iE. Lir{-i.; 7.1"1!3::l19"
  • 6. PROTOGOA TITEDICIONEN ESPANOL Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof el carácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestruc- turar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo más moderno e interesantepara los estudiantes.Este trabajo lue completado por ambos traductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba a utilizar en cursosbásicoscomunesa todos los estudiantesde ingenierfa y de ciencias (incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era la falta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores del departarninto un csfuerzode asimilación de textos tales como The Fegnman Leclureson Pñysics. Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco despuésel Il de esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufa del curso de fisica general,conscientesde los inconvenientespedagógicosque implica utilizar a este nivel un libro €n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmente este volumen II, resultó incitante no sólo para ios estudiantessino también para los profesores.El resultado fue un aumento sustancialen el rendimiento estudiantil, tradicionalmente bajo, especialmenteen el primer semestre del curso. Una de las ventajas que hemosencontradoen esta seriees que.su nivel no es uniforme. Mediante una selecciónadecuada de temas, ejemplos y problemas, so puede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de suma utilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles de enseñanzatan dislmilesen la región. El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque como por el contenido: la reduccióndel espaciodedicadoa los campos estáticosa sus justas proporciones,la posposicióndel estudio de circuitos a problemas (lo que realme¡te son),el tratamiento unificadode las ondas,que permite un estudiorazo- nable de las ondas electromagnéticas(sobre las cualesse basa gran parte de las com.odidadesque la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro- ducción del conceptode fotón a esta altura nos parecesumamenteútil, pues una vez que el estudianteseconv€ncede que los rayosgamma,Ios X, la luz y las ondas de radio son de la misma naturaleza,la pregunta invariable es ¿por qué, entonces, algunasde estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos? El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placer por Ia claridad y la concisióndel lenguajeutilizado en el original - aparte de los hallazgosdidácticos; sólo introdujimos algunoscambios menoresrespecto al ori- ginal cuando consideramosque ello redundaba en mayor precisión o claridad, El lector sabrá disculpar los defectosidiomáticosque pueda hallar: consideramos que poner al alcancede los lectoresde habla castellanaun texto de alta calidad en la materia era más urgente que lograr un castellanoperfecto. La traducción fue ademásestimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión que tenciríala presenteedición en castellano,deblamosevitar en lo posible el uso de
  • 7. PROTOGO La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas las otras ciencias.Por consiguiente,no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sino todo aquel que pienseseguir una carrera cientfflca (biologfa, qufmica y matemática) debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales. El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón para que aparezcaen el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada de la fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, los principios básicos,sus implicacionesy sus limitaciones. El estudiante aprenderá aplicacionesespecfficasen cursosmás avanzados.Asf, este libro presenta las ideas que creemosfundamentalesy que constituyen el corazón de la'flsica de hoy. Flemos tenido en cuenta cuidadosamentelas recomendacionesde la Comission on College Phgsics(Comisiónde Ffsica para Universitarios) para escogerlos temas y el método de presentación. Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñando como si fuera un conglomeradode varias cienciasmás o menos relacionadas,pero sin un punto de vista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor, sonido, óptica, electromagnetismo y ffsica moderna no se justifica al presente. Nos hemos apartado de este enfoquetradicional. En su lugar seguimosuna presen- tación lógica uniflcada, haciendo énfasisen las leyes de conservación, en los con- ceptosde camposy de ondasy en el punto de vista atómico de la materia. La teor[a de la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de los principios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica. El cursoseha dividido en cincopartesl (1) Mecánica,(2) Interaccionesy Campos, (3) Ondas,(4) Flsica cuánticay (5) Fisicaestadistica.Comenzamospor Ia mecánica con el fin de establecerlos principios fundamentalesnecesariospara descubrir los movimientos que observamosa nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó- menos naturales son el resultado de interaccionesy éstas se analizan en función de campos, en la parte (2) consideramoslas clasesde interacciones que compren- demos mejor: la gravitacional y la electromagnética,responsablesde muchos de los fenómenosmacroscópicosque observamos,Estudiamos detalladamenteel elec- tromagnetismo,concluyendocon la formulación de las ecuacionesde Maxwell. En la parte (3) discutimoslos fenómenosondulatorioscomo consecuenciadel con- cepto de eampo.Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmente aparecebajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasis en las ondas electromagnéticascomo extensiónlógica de las ecuacionesde Maxwell. En la parte (4) analizamosla estructura de la materia - átomos, moléculas,núcleos y particulas fundamentales-, análisis que está precedido de las bases necesarias de la meeánicacuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedadesde la materia en conjunto. Comenzamospresentandolos principios de la mecánica estadísticay los aplicamosa algunoscasossimplesperofundamentales.Estudiamos
  • 8. Prologo la termodinárnica desde el punto de vista de la ¡nc,:"liiica estadfstica y concluimos cen un capitr.rio sol¡re las propiedacies térmicas de ia materia, demostrando cómo se aplican lor principlos de la mecánica est.adisticay de la ter¡nodinámica. Esle libro es novedoso no sólo en su enfr)que si¡¡o tarnlrién en su contenido, ya gue hemos inclrri<lo algunos tópicos fundame¡rtales que no se encuentran en ia mayorÍa de los textos de ffsica general y hemos dejado de lado otros que son tra- dicionales, La rnatemática usada se puede encorrtrar en cualquier libro de análisis nta.t¡mático. Suponemos que los esf,udjantesposeen conocimientos rnfnimos de aná- iisis ;natemáticc y están, a ia vcz, lornando un curso sobre este tema, Muchas aplicaciones de los principios fundamerrtalrs, asf como también algunos tópicos un pocrl más avanzados, aparecen en for¡na de ejemplos resueltos. Según la conve- niencia del prcfesor, éstos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selección, io cual permitc una meyor flexihilidad en )a oiganización del curso. l,os planes de estudios de todas las ciencias están someticlos a presiones para que incorporen nuevos tópicos que están cobrando rnayor inrportancia. Esperamos que este libro alivie estas presiones, elevardo en ei estudiant.e el nivel de cornpren- l-!ón rJe los conceptcs ffsicos y la habilitlaa para manipular las correspondi','ntcs ri:iac!orri:snratemáticas. Esto ¡lermitird e!evar el nivel cle muchos de los cursos interi¿edi*s qr.hrce ofreren en los planes rie estuditl de pregrado. I-os cursos traCi- cic,n*.lesde prcArado: meciittic:r, elcctinnr:rgnr'ti:r¡lo v fÍsic¡t riroderna, srtn los quc rnás ¡e be¡teiiciatr con esta ai:4. rle ¡rivril. Así. ri esiudiante terniinará su carrera ccn conocirnierit.ossuperiores a los de antts, b¿neficicrrnrry importar¡te pal'a aquelios que finalice:nsu,qesl.udit¡sa esta altura. Atli':ni:i3,l-¡abiá ahora ntás oportunidad para h:rcer curscs nu{:vos y más inleresantes rn el posigradc. Esl.a rnisrna tendencia se enc¡:entre cn lcs textr-¡sbásiccs rnás rccienl.t's dr. r¡fras ciencias para los primercs )' {.egundosaños universitarios. Ei te¡ito esl-:icr.¡ncel:idopara un cúil{t tie ties ser¡rr¡st¡c:.lambién se puede usar cx Éiqtlelias{:scueiásen !a-sque se ei¡señarin (.r.r¡Jode fisica generai de dos seúlestres scgt.ticlode un semeslie de ffsica rucderna. ¡frecieurio asl una presentación más ¡rnifica¡la a lo lafgc de los tics scnteslres.llol ccnveniencia, el texto se ha dividido en ti'€! vollinre.nescorlesoo¡rtlieiltlc¡clila 1n!o,gr'{)s,sr)nndo, a rrn semestre. El volu- fi!f.n I trat¡r de la met'.ánicar. la ii¡i.lracción gravif.acio¡ral. El volumen II estudia las interaccic¡rts electromagnéticas y 1;isondas, cuhriendo esencialmente los cursos de electromagnetismo y dptic:r. I.a fisic¿¡cuántica v la lisica estadfstica, incluyendo la termodinánica, se tsturiian tn el volunren IIi. A ¡esar de que los ties volúlneires es1¿iúestrci:J¡alnentt rejacionatios y fornr:rn ul tetti:r único, carla uno puede ser considera<k.¡en sl n-risln(!corli(l un i¿xt¡-r intn.¡riuclo¡io. Fitr part-iclrlar i0s volúnie- nes I y Il tc¡ltir.aien a un (-:ttr-iod.cfisica qctrerti d* il11sselne:tres que cubrc la fisica no cuant.ica. Esperqirr0s quc este te:it{] a¡"u11,:a lr,:: edLrrrtitijes progresistas. quienes ccnstan- tcrrl¡:nle se []reocupan por mejor:lr lcs lr:rs¡s qle diclan: rspframos, tarnbitln, que est.lnt¡tlea lcs estridiafile,r,,¡1¡i¡-¿t r-,ere¡en ulra 1;r'rsaniacii¡ncle l¿rfísica más nra- rlrira qrlr, ir ¡le los r:.ur:,r¡sl.rarlir:iriilties. Qltrrernos t:xpresar jiueslra grrilii.riri:i l,)d{is ár.lil...iii)srllr{tpor su estí¡nulo y ayuila l¡icitrrcn positrlc la culminación iie e-.te ll'abajo. NLrestro rcconocirniento a los dis- t-ingtridr:scolegas. en Ila]'ticular. a l¡rs Profescres ü. l,azarus r* FI. S. Rl,bertson, quieircs leyerorr el ¡nanli,rcrii-o ori¡1inal: sus cómc11iarios . r:rÍticas permitieron corregir y mejorar nluchos ¿¡sr'¡ectosctel texto. .,{radecentos,adr:más, la aptitud. v dedicaciórr del personal 'le la etlito¡iai Adrijson-Weslel'. Por últirno, per() no con meno$ caloi, damos sinceral¡lente las gracias Í¡ nuestt.as esposas, quienes nos han apoyado pacientemente. IYashinslo¡t, D. C. TI. A. E. J. F.
  • 9. ADYERTENCIA AL PROFESOR Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseña de este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cada capitttlo. Como se dijo en el prólogo, este curso de flsica se ha desanollado en forma inLegt'ada de rnodo que el estudiante pueda reconocer fácilmente las pocas ideas básicas en que se funda la física (por ejemplo, Ias leyes de conservación y el hecho tle que es posible reducir ios fenómenos flsicos a interacciones e¡rtre partlculas fun- ilamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para llegar a ser lfsico o ingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de estas ideas y desarrollar la habi- litJatl para manejarlas. I.os temas hásicos constituyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sido incluidos en cada capltulo; algunos son simples aplicaciones numéricas de la teorla que se está discutiendo, mientras que otros son realmente extensiones de Ia teorfa o, deducciones matenláticas. Se rccomienda aconsejar al estudiante que en la primera lectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura, que examinc los cjemplc¡s sugeridos por el profesor. De €sta manera el estudiante comprenderá separadamente las ideas básicas y sus aplicaciones o extensiones. Hay una sección de problemas al final de cada capf[ulo. Algunos son nlás difíciles que el término medio de los problemas de fisica general y otros son extremadamente simples. Están dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al de las seccionesdel capitulo, habiendo algunos problemas más difíciles al flnal. El gran nÍimero y la variedad de los problemas dan al instructor mayor libertad de elecclón en la adecuación de los problemas a las aptitudes de sus estudiantes. Sugerimos al profesor que establezca una biblioteca de reserva basada en el ¡naterial bibliográfico que se enumera al final de cada capitulo y que incite al estr¡diantr: a usarla para desarrollar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo que obtendrá más de una interpretación de un tópico dado y adquirirá iniormación Itistórica acerca de la flsica. llste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemos sr:geri<lrr,sobre l¿r base de nuestra propia experiencia, el número de horas de clase que s{.rnecesita para cubrir cónrodarnente el material. El tiempo indicado (43 horas de clase) no incluye el dcstinado a discusiones,resolución de problemas y evaluación. Flacenlos a ccntinuación un breve conlentario sobre cada caoftulo. TAR,TE 2. INTER,ACTJIONESY CAMPOS La Parte 2 se ocupa de las interacciones electromagnéticas, que se desarrollan en los capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del'u'olumen I se presentó la interacción gravii.acional). Estos cuatro capltulos constituyen una introducción al electromag- tuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, que se estudian *ir la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,
  • 10. rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volu- men III estos tópicos serán discutidos:nás extensa¡rlent.s, Capftulo l^4. Interacción eléctricq1,i ir,¡;¡s] Este capftrrlo se conc.flt;a nii-l:, 4ii ','OuJOioL.ic;rrv t ,r¡s¡jl'f a :? " '' ¡:!-¡ $ecrr+:r iJ L2 iqta i'ai:: ¡it ;1¡:;ii::; t'epi'i.li I -. i-: .,il.,rcir parte de este c¿F!ii.rlor¡itr¡rl¡rc¡:er, fornia dinámica el conccpto de !;.ii.f'j nragnátrco,!"estudia el movinrientc'de r¡irapartfcula cargadaen un canpo nr:gnLiico.Ei punto culminantese al.anza h¿ci.*ei llnai riel cap[tulo con una dis- ,:usiórrce ia ti:ansformació¡rie Loir:ntz del carnpoelectrümagnéticoy una revisión de! principio de consen'acióndei ürrrnlrjntum.EI prolesor deberá hacer hincapié en ¿sia parte del capltulo. {*pftulo 1S" Composeledramsgniti*r¡s¿sidticas{5 horas) lln ¿stecallltülo se intrtrducel variotr.:o.icapif]$inlportanlespero ha]" dos objetivos piincip:rlcsque cl;,rofesor rlqireiener i.rrescrtes.Lfno es ccnlenrar un desarrollo Ce i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npoeleetromagnéticc(le-vesdi?Gaussy do Ampére) y "i ctro es rrl'.¡c:on,lrlas propiedaCrr:elrctro:-nagnéticasrle la materia en conjunto con la estri¡ctura atómica de la misma. Sc ha relegarloa rrn plano secundariodentro rleltexto. l"e¡nastale¡ cornoel de eapacitoresy circuitosCC,peroselesprestamayor atenció¡r en los problemas del flnai del capitulo" Ca¡ltnio I?, CarnposelectromagnélicasCependienlesdel tiempo (4 horas) La formulaciénde las ecuacionesde N{axwelles el tema principal de estecapftulo. El tema de circuitosCA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchos iruenos ejernplos resueltosy problernas al flnal del capftulo para ayudar al estu- diante a aciquirir cierta habilidad para nlanejar dichos circuitos. Es importante que el estuCiantese dé cuenta de qui: las ecuacionesde lllaxwell proveen una des- cripción compacta del campo electromagnéticoy que ilustran la estrecha relación que existe entre las partes f y It de este campo. PARTE 8. ONITAS La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenos naturales.Ahora, presentamosen ia Parte 3 ia descripción"ondulatoria" comple- rnentaria de los mismos, basada en e! conceptode campo, ya lntroducido.en la Parte 2. tr,asideas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y de éptica estánconsideradosaquf en forma integrada. Capftulo 18. IVlauimienÍtondulatario (5 horas) Este capltuloconsiderael movintientcoudulatorioen general,determinandoen cada casosuspropiedadesespeclfic*aa partir delasecuaeionesdecampoquedescribenuna situación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjorecurrir a la imagen mecánica de moléculasrnovióndosehacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fun- damentales:una es comprenderla ecuaciónde onda; la otra es entender gue una onda transporta tanto energfa como momentu¡n. Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as(5 hriras) Presentomcsaqu[ Ias ondas eieclrcinagnéticaspredichas por las ecuacionesde llfaxv¡ell.ilt'r lo que el estudiantedel¡eentcn¡iera fondo las secciones19.2 v 19.3,
  • 11. AduertenciaaI prolesor ciii Este capitulo también consideralos rnecanismosde radiación ,v absorción. Introduee ademásel concepto irnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle que la; ontlaselcctromagnéticastransportanener¡¡lay rnomentuni y de que estaspro- piedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discute brevernentelas transicionesradiativas enirc es!.adosestacionarios. Cepftulo 90. Ilefletión, refraccíón,polarízación(4 horas) Los textos eiementalesrecurren tradicionalmente al principio de Huygens para estudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es el teorema de Malus. Lo novedosode este capltulo es que encara este hecho. Se puede omitir las secciones20.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo. Cepftulo 91. Geometríade Ias ondas(3 horas) Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmente de ia óptica geométrica.De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que el material de estecapitulo no sólose aplica a ondaslumfnicassino también a ondas en general.La convenciónde signosadoptada es la misma que la de OplÍcs,por F:orn y Wolf, Pergamon Press,1965. Capftulo 29. Interlerencia (3 horas) En estecapltulo se usa sistemáticamenteel método de los vectoresrotantes. Puede resultar provechosoque el estudianterelea las secciones72,7,12.8 y 12.9 del vo- lumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no se debe omitir. Capftul<r28. Dítracción (3 horas) Este capltulo dependeastrechamentedel anterior por lo que el profesor debe con- siderarlos en conlunto. En este capftulo, como en el anterior, hemos tratado de separar los pasos algetrraicosdel resto del material para que el instructor pueda omitirlos si asf lo desea. C*pftulo 24. Fenómenosde transporte(3 horas) La irnportancia t}e los fenó¡nenosde transporte está bien reconoeida,ya que los mismos tienen rrruchasaplicacionesen ffsica, qulmica, biologla e ingenierfa.Este capitulo constituyeuna introducciónbreve y coordinadaa estosfenómenos,dando también al estudianteuna idea.sobreotros tipos de propagaciónde campos. Si el profesor está presionadopor el tiempo, puede encarar este capitulo como tarea solamentey omit,ir los ejemplosy problemas. triste es el mornento oportt¡no para concluir el segundo semestre.A esta altura el esludiantedeberáteneruna corEprensiónsólidade la ffsicano cuántica,y además haber aprehendi<iolas ideas de fotón y de cuantificación do la energla y del rno- lnentum angular. El tercer semestreestará dedicado a la llsica cuántica y a la fisica estadist.ica,que se presentaráncomo refinamiento de los conceptos fisicos al nivel de lo rnuy pequeño(o microscópico)y al nivel tle lo muy grande (o rnacros- có¡rico). El npéndicemate¡náticoque se encuentraal flnal del libro suministra u¡ra refe- rencia rápida a las fórmulas de usomásfrecuentesen el texto y a algunasinforma- cionesútilcs. I)or conveniencia,algunas fórmulas relacionadascon la lranslorrna- lién de l,ole¡rtz t¡an sido agregadas.Las mismasfueron deducidasen ei rr-'iumeni,
  • 12.
  • 13. ,{DYERTENCIAALESTUDIANTE Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguen carreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán, nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar. t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educación tu perir.rr, El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos. L-)laprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento ;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr imagi- l¡zrr-'i4n"i¡steri <icbe d.oininar otras menos llarnativas per$ muy funda¡nentales, *in las <'ualts no puedc utilizar o comprender la llsica en forma apropiada. {-Td.deberá mantener dos objetivos principales al to¡nar este curso, Primero: fariiiliarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons- Litr-y'en Ia colum¡ra verlebral de la ffsica. Segundo: desarrollar la habilidad de ¡:a¡r,;jar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otlas palabras, la habi- tidari de pensar y actuar como ffsico. El primer objetivo io puede alcanzar prin- cl¡-ralmelte ieyendo y releyendo aquelias seceiones impresas €n cuerpo grande. P:ira a¡'udailo a alcanza¡ el segundo abietivo hay a lo largo del texto, en letra ¡rrqueíre, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casa al llnal de cada capftulo. Recomendamos'encarecidamente que lea primero el texto principal y una vez familiarizado con é1, prosiga con los ejemplos y problemas ;rsigrado; lror el profesor. En aigunos casos los ejemplos ilustran una aplicación de la ter.¡rlaa una situación concreta, en otros amplfan la teorfa considerando nuevos ilspeclüs del problema elr discusión; a veces suministran una justificación de la teorla. Los problernas que están al final de cada capftulo tienen un grado variable de riilir.r':it*r1.Oscilan entre lo más simple ¡r lo complejo. En general, es bueno tratar de ;'esolver rtn problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo ¿¡l Jinal los valores numéricos. Si el problema que )e han asignado no puede resol- lerio en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el ¡:aso dc ac¡ueliospocos problemas qus se resisten a ser resueltos, doberá procurar ayurla. Ei Iibro How to Solue It (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Garden r,ity, N. '., 1957) es una fuente de autoayuda que le enseñará el método de reso- hición de prolrlernas. Le lfsica cs una cie¡rcia cuantitativa que necesita de la matemática para la e.xpresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este libro se puede en- contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlo toda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de manera Rlguna, sentirse desalentado ante una diflcultad matemática; en caso de diflcul- tades rnatemáticas, consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Para ei cir¡ntffico -v el ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia secunclaria en la cornprensión de los conceptos fisicos. Para su comodidad, se
  • 14. TUi Adurytenciaal estudtante enumera en rin apéndice ai fin¡.i rjti libirl e,l;:.¡.1¡¡¿;..!. l¿¡ rtilr.:iones rrrati¡¡nátic¿ls más útiies. Torlos lo¡ cálc¡los rll ill físit-:asc'dclt¡'ir i,e.;ar ::.*¿ii¡r,rri-ilit¡¡rirjr¡un sistt¡r¡r-,co;rr, patible de uni<Iades. If n eslc liL':'c se i'ni¡ife:r r' si:ir.r:"r¡rFl)iStl. Cornc difi¡ r:: *n poco del sisterna Jiráct.ico.i)odrá ¿rlronlrar}¡.¡ext¡'irñr; ai principio. No obstante, se requiere un miiri¡n<.¡esfuerzo paifi iainil¡arir:¡r¡ii: con el. Aderi-rás,cs rl sist.e¡na olicialmente aprobaoo pritra rl trairajrr irientiri,'r>¡; r:r. los E,stados Uniilos ll usa a.ítn cl Nalional Burer,¡.uol Slandards {rír sus uublicaciones. Sea extrelnadairrcnte cuidadoso en verificar la compatibilid¡.,1 de ias unidades en todos sns cálculos. Es además una buena ide¿rutiliz-at'la regla,le cálcrrlo desde el comienzo; la pre- cisión a tres cifras significa"ivas de la r¡rás sintple ,Llelas reglas de cáiculo le aho- rrará rnuehas horas cle trabajo nurnéfico. Sin crnbaigo, erl algunos casos, puedc que la regla de cálcuio no le dé la precisión ¡iecesaria. Al final de cada capftulo se dn una lista bii.rliogr;'rficaseleccionada. Consú!tela tan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudarán a entender la idea de la ffsica como una ciencia en evohición,.mienr"rasque otros ampliarán el rnaterial d.cl tcxto. En particular encontrará que el iibro de Holton y Roller, Foundatians o! Modern Pñgsics (Addison-Wesley, Reading, l{ass., 1958) es particularmente útil pol la informacién quc trae scbre Ia evoiución de ideas en la flsica.
  • 15. AGRADECIMIENTOS Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organiza- ciones por su anrabilitlad al permitirnos publicar material ilustrativo de su perte- nencia: Brookhaven National l,aboratorl' (figura 15-6); General Electric Company (figura 17-5b); Pro{esor Harvey Fletcher (figura 18-23); Educational Services, Incorporated (figura l8-37a); U. S. Naval Ordrtance Laboratory, White Oak, Silver Spring, lfd. (figura 18-37b); Yíbration and Sound, por Philip NI. Nlorse, McGlarv-IIili Book Co., 1948 (figura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue llolion, con antorización de W. Llowarch, The Clarendon Press, Oxford, Inglaitrrra (fi- gura 23-2); Prínciplts ol Optics, por Hard5' y Perrin, trfcGraw-Hill Liook Co., 1932 (figrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (figura 23-42)- De- bemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al Physical Science Study Committee, de cuyo libro PSSC Pnysic.s,D. C. Heath and Co., 1960, hemos iomado las siguientes figuras:0-13a, 18-22, 18-28b,20-6b,20-10b,20-11b, 20-16dye,22-ty22-15.
  • 16.
  • 17. Contrataposilelsnter¡s Tabla periódica de los Contratopastr¿geres Unidadesy slmbolos; INDICE elementos; constantes fundamentales factores de conversión Capltulo14 lntersccldn elóctrlcs Capltulo16 Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Cam- po eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estruc- tura eléctrica de la materia 471. Estructura atómica 473. Potencial eléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484. Corriente eléct¡ica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricos de orden superior 498. Interaccldn mognétlca Cepltulo 16 Introducción 512, Fuerza magnética sobre una carga en movi- miento 513. Movimiento de una carga en un campo magnéticó 516, Ejemplos de movimiento de partlculas cargadasen un campo magnético 523, Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica 530. T'orquemagnético sobre una corriente eléctrica 532. Campo magnéticoproducidopor una corrientecerrada538. Campo magné- tico de una corriente rectilfnea 539. Fuerzas entre corrientes 541. Campomagnéticode una corrientecircular 544. Campo magnético de una cargaen movimiento (no relativista) 549.Electromagnetismo y el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de una carga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre dos cargasen movimiento 560. Composelectromagnétleoeestáticos Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gauss para el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584. Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctrico 591. Cálculo de la susceptibilidad eléctrica 593. Capacitaneia; capacito- res 600. Energfa del campo eléctrico 603. Conductividad eléc- trica ; ley de Ohm 606. Fuerza electromotriz 672. Ley de Ampére para el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen- L
  • 18. rÍ, Indíce Capftulo17 cial 621. Flujo magnético Canrpomagnetizanle 625. 628. Resumende las leyes Camposelectromagnóticoe 623. Magn';tizaciónde la materia 623. Cálculc ie ia susceptibilidadmagnética de lcs campos estáticos633. ilependlcutesdel tiempo PAR?Í A Capltulo l8 Int¡oducción 645. Ley de liaraday-Henry 645. El betatrón 648. Inducción electromagnéticadebida al movimiento relativo de un conductory un campo magnético651. La inducción electrornagné- tica y ei principio de relalividad 654. Poiencial eléctricoe inducción electromagnética655. Ley de F-araday-Herlryen forma diferencial 655. Autoindr¡cción{i57. Energfa del campo magnético 661. Osci- lacioneseléctricas664. Cir'cuitosacoplados670. Principio de con- servación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley de Ampére-IIaxwell en forma dilercncial 678. Ecuaciones de Max- rvcll 680. ONDAS trIorimlentoondul¿torlo Crpftulo 19 Introducción 694. Descripciónmatemática de la propagación695. Análisis de Fourier del ¡novimiento ondulatorio 699. Ecuación diferencialdel movimiento ondulatorio?01. Ondaselásticasen una bar¡a 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondas transversalesen una cuerda 712, Ondas superficialesen un lfquido 716.¿Quésepropagaen un movimiento ondulatorio??19.Ondasen dosy tres dímensiones722.Ondasesféricasen un flúido 727.Yeloci^ dad de grupo 729. El efecto Doppler 731. Sonido; acrlstica735. Onda¡ electromegnéticas Capitulo 30 Introducción 744, Ondas electromagnéticas planas 744. Energfa y momentum de una onda electromagnética 748. Radiación por un di¡:olo eléctrico oscilante ?52. Radiación por un dipolo magnético oscila¡rte 757. Radiación por multipolos oscilantes de orden supe- rior 761, Radlacién por una c.arga acelcrada 761. Absorción de la radiacié¡ electrcmagnética 769. Difusión ¿ie ondas electromag- néticas por eiectrones ligados 770. Difusión de la ¡adiación electro- magnética fror un elec{rón libre; el efecto Compton 772. Fot<¡nes 776. Más sobre los fotones: el efecto fotoeléctrico 780. Propaga- ción de ondas clectromagnéticas en la materia ; dispersión 782. Efectt'¡ l)oppler en las ondas electromagnétieas ?86, Espectro de la racliación electromagnética 791. Rcflexlón, refracción, polarlzacién Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de lllalus 804. Reflexión y reiracción de ondas planas 806. Reflexión v ref¡ac- ción de ondas esféricas it10. NIás acerca de las leyes de la reflexión y de la refracción 812. Reflcxión 1' refracción de ondas eiectro- magnéticas 8i7. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio auisótropo 820. !l)icrcrísrr..o626, Doble refracción 827. Acti- vidad úptica 333. l.riflexié¡i '". -"irac'ión cn superficies metálicas 837. Pio¡lagación tn ¡r$ tnediü uo homo11éneo838.
  • 19. Indíce xd Capltulo 21 Qeonetrfa do las onalas Capltulo22 Introducción 8-16.Reflexión en una superficie esférica 847" Ilefrac- ción en una superlicieeslérica854. Lentes 858. Instrumentos ópti- cos 863. El prisrna 867. Dispersión de un medio 869. Aberración cromática 872. Principio de i;'er¡nat del tiempo estacionario875. Interlerencio Cepíiulo 28 introducción 887. Interferencia de cndas producidas por dos fuentes sincrónicas 887. Interferencia cle ondas producidas por varias fuen- tes sincró¡ricas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899. Ondas estacio¡rarias ¡r la ecuación de onda 902. Ondas electro- magnéticas estacionarias g0?, Ondas estacionarias en dos dimen- siones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones : cavidades re- sonantes 915. Gulas de onda 918. Dilrae cidn Capftulo 24 Introducción932.Difracción de Fraunhofer por una rendija rectan- gular 933. Difracción de Fraunhoferpor una abertura circular 939. Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelasiguales 941. Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión de ondas 954. Difusión de rayos X por cristales954. Fenómenosde transporte Introducción967. Difusión molecular; ley de Fick 967. Conducción térmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción 982. Viscosidad984. Camino libre medio, frecuenciade colisión y sección eficaz de colisión 988. Teoria molecular de los fenómenos de transporte 992. Conclusión995. Apéniltee: Reloolonesmatemótieas; Tablas A-8 Reapuestasa los problemaltGonnúmoro lmpor A-17 Indlee alf¿bétlco A-29
  • 20.
  • 22. 154 IJna vez entendidaslas reglas generalesque gobii:raan el ¡novimiento, el paso siguiente es investigar las interaccioncs responsablesrle dichos movimientos. Hay varios tipos de interacciones.Lina es la inleraccióngrauítactonalque se manifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. La gravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interaccionesconocidas, es la primera interacción estudiada cuidadosamente,debido al interés que el hombre ha tenido desdela antigüedad en la astronomia y porque la gravitación es responsablede muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida. Otra es la inleraccíón eleclromagnétíca,la mejor comprendida y posiblemente la más importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de los fenómenosque observamosa nuestro alrededor,incluyendo los procesosquímicos y biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticasentre átomos y moléculas.Un tercer tipo es la ínleracciónfuerte a nuclear,que es responsable de que los protones y los neutrones (conocidoscomo nucleones)se mantengan dentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenosrelacionados.A pesar de Ia investigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién es aún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíóndébil, responsablede ciertos procesosentre partículas Iundamentales, tal como la desintegraciónbeta. Nuestro conocimiento de esta interacción es airn muy escaso.La intensidad relativa de las interaccionesnombradases: Iuerte, tomada como 1; electromagnética- 10-2; débil - 10-5; gravitacional - trO-s. Uno de los problemas no resueltos de la fisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife- rencia tan gmnde en sus intensidades. Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de las interacciones: ¿No tienen acasolas pequeñasPartfculas de los Cuerposciertos Poderes,o Fuerzas, por medio de los cualesactúan.,,unassobreotras para producir gran Parte de los Fenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unos sobre otros por medio de las Atraccionesde la Gravedad,Magnetismo,y Electri- cidad;...yno lo tengáispor improbablesinoquepuedehabermás Poderesatractivos que éstos....De cómoestasatraccionespuedenserrealizadas,no Io consideroaqul.... Las Atraccionesde la Gravedad,del Magnetismo,y de la Electricidad, alcanzan distanciasmuy apreciables,,..ypuede que haya otras que alcancendistanciastan pequeñasque hasta ahora escapena la observación;....(Oplicks,Libro III, Inda- gación31) Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Enten- demos por campo una propiedad fisica extendida en una región del espacio y descrita por medio de una función de la posición y el tiempo. Suponemosque para cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres- pondiente.Este campo actúa a su vez sobreuna segundapartícula para producir la interacción necesaria.I-a segundaparticula produce su propio campo, el cual actúa sobre la primera dando como resuitado una interacción mutua. Aunque se puede dcscribir las interacc;ionespor medio de campos, no todos los campos correspondena interacciones,ht,cho que cstá implicito en la defi- nicion dc canlpo. I'e-r ejernplo, il¡: meterirriio;ioJrrrcdeexpresar la presión y la ternpemlrrrl at,rnos{éricas¡rr¡fr¡:rrrir,rrrlr'l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficie ter¡r:stri"-'rle ia ¡¡lLurasohrq:risl.i:."1'trjlerli(]sentoncesdos cllripos escalares:el
  • 23. l:--"_ 1;ó eampo de presionesv el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúido su velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campo es entonces de gran utilidad general en la física. En el capítulo 13 del volumen I seestudió la inte¡acción gravitacional y el campo gravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremos las inter- acciones electromagnéticas. I:Iablaremos del resto de las interacciones en el vo- lumen IIl.
  • 24. ENTEKAT{-g{}NffiTHCTRICA L4 14.1 Introdueción i4.2 Carga,eléctrica i4"3 L-eEde Coulomb 14.4 üarnpo eéetríeo 14.5 La cus¡ziizficíónde la carga eléctrica 14.8 F.stru,¿tt¡ra*íéctricade la materia j'!.7 Estrueturaatémíca 14.8 Potencialeléctrico Relacíoneserrergétícaseft un cempa eléctrico 14.1A Corriente eléctríca 14.1i Dípolo eléetríca 14.12 fulultipolas eléctríccsde orden superior 14.9
  • 25. 14"lj 74.7 Introdueeión Inlraduccíón 457 Consideremosun experimento mry simple. Supongamosque despuésde peinar nuestro cabelloun día muy secü¿rcercamosel peine a pedacitosligerosde papel: obser.,'amosque el peine los atrae. Fenó¡neno similar ocurre si frotarnos una varilla de vidrio con un paño de seda o una varilla de ámbar con un pedazo de piel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materiales adquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad(del griego elektron, que significaámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción más fuerte que la gravitación. Hay, además,varias otras diferenciasfundamen- tales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional. En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, que da como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera;por el contrario, hay dos clasrsde jnteraccioneseléctricas.Supongamosque acercamos una varilla de vidrio electrizadaa una pequeña esfera de corcho suspendidade un hilo. Vemos que la varilla atrae la esfera.Si repetimos el experimento con una varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sin embargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar de una mayor atracción,observamosuna fue¡za de atracción menor o aún ninguna atracción de la esfera(fig. 14-1).Estos experimentossimplesindican que, aunque ambas varillas electrizadas,la de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho, lo haeendebido a procesosfísicosopuestos.Cuando ambas varillas actúan simul- táneamente, sus accionesse contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo. Concluimos,entonces,que hay dos clasesde estadosde electrización:uno que se manifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos posi- tíuo y al otro negaliuo. Varilla de vidrio Varilla de ámba¡ Ambar -----G:] Vidúo (c) electrizadas. (b)(¿r) Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar Supongamos,ahora, que tocamos dos esferasde corcho con una varilla de vidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivarnente. Si las ace¡camos,observamosque se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultado se obtiene cuando tocamos las esferascon la varilla de ámbar electrizada, de modo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos
  • 26. ,158 Interaccióneléclrica una de ellas coa la varilla de vidrio adquiera electricidad positiva y ia (fig. 14-2c). (14.2 y la otra con ia de ámbar, de modo que una otra negativa, observamos que se atraen /1F ---___._tl/* (c)(e) (b) Fie. 14.2. Interaccione-q eléctricas enlr¡r c¿li'gas de igual -v de diferente signo, Pt'r consiguiente, mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atrac- trrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva. Dos cuerpo.sconIa misma clasede eleclrización(posílíua o negalíua) se tepelen,pe.rasí tienen diferenles clasestle eleclrizacíón(una po- siliuag la otra negatíua),se atraen. Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hu- biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica es más fuerte. Sin ernbargo.la mayoria de los cuerposestán compuestosde can- tidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción eléctricaentre dos cuerposmacroscÓpicoses muy pequeñeo cero. De este modo, co¡no resultado dei efecto acumulativo de las masas,la interacción que aparece macroscópicamentecomo dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque muchc más débil. I'¿-*1:J ,r-1 ¡' :-r-* jq'- -*1li Fig. i4-S. liuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigtic- 74,2 Carga eléetriea Del mismo modo que caracterizarno"qia inteirsitiadtte la interaccióngravitacional asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamosel estado de electriz¡¡:iónde un cuerpo ,iríinl'r:::tioull:t r,'ri.'r{relécírit:c,¡nás conrúnmente lla- ¡"¡arl:ri¡¡rrii.,clirclricci,reprttsi:nit<!:ilir!;' i': sir: :;rtiQ¡r. Asi, cualquier porciÓn r!e rnai..eria.r, .,ltajtlujer plill i.r'.tla,e:,i.¡ii:¡il:ii:t':,ii,:.;¡tililior rlos propiedadesindeperr- dier,tesfui'cianrentales:nlasa v ci¡Lgí!.
  • 27. 14.2) Cmga elédrica 459 Así como hay dos clases <ie electrización, hay tambjén dos clases rie carga eiectrica: positiva y ncgativa. Uu cuerpo que presenta electrización positiva 'tiene una carga eléctrica positivi, ] üno con electrización negativa tiene una carga eléctrica negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma alge- braica de sus cargaspositivas y negativas. Un cuerpo que tiene cantidades iguales de electricidad positiva y negativa (esto es, carga neta cero) se dice eléctricamente neulro. Por otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llama a menudo ion. Como la materia en conjunto no presenta fuerzas eléctricas apre- ciables, debemos suponer que está compuesta de cantidades iguales de cargas positivas y negativas. Cuerpo de referencia FiS. 14-4. Comparación de las cargas eléctricas g ! Q', mediante sus interacciones eléctricas con una tercera carga Q. Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptamos el siguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario Q (fig. 14.4) y, a una distancia d de éI, colocamosla carga g, Entonces medimos la fuerza F ejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma distancia d de Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas g y q' como proporcionalesa las fuerzas F y F', Esto es qlq': FIF'. (14.1) Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q', tenemos un medio de obtener el valor de la carga q. Este método de comparación de cargas es muy siinilar al usadoen la sección13.3para comparar las masasde dos cuerpos.Nues- tra definiclón de carga implica que, siendo iguales todos L,osfactores geométricos, la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las particulas. Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, la carga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras, en cualquíer procesoque lcurra en un sístemaaislado, Ia carga lolal o neta no cambía. No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conser- uación de la carga. Tendrernos ocasión de discutir este principio más adelante, cuando tratemos los procesosque involucran partículas fundamentales. El estu- J.ianterecordaráque ya hemosaplicado esteprincipio en el ejemplo 1,1.11,donde la reacciónp' + p* -. p* + p. + p- * p- fue discutida. A la izquierda la carga total rs dos vecesla cargadel protón y a la derechalos tres protones contribuyen tií".$l.ece" ]a carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la carga iiel proi,ón negativa. f)e este modo sc obtiene una carga neta igual a dos veces .t:rcarga del protón. Cuerpo de referenci F/'.: n)--
  • 28. Co¡rsiderenrosla interacción eléctric¿lcr¡tre rlos pariÍculas cargadas,en replso, en el sisternainercial de referc¡rr'ia¡lci ribserr,-adoro, cu¿indornás, moviéndose a una velocidadmuy pequeira;el resultadode tal interacciónconstituyela elec- Iroslática.I-a interacción elect¡ost¿itieuerit.rerios partic:ulascargadasestí¡ dada por la le,gde Coulornó,llamada asi en ironcil'dei ingeniero francés ChrtrlesA. de Coulomb (1736-1806)quien fue el primero en enunciarla,corno sigue: La ínleraccíón eleclrostctlicaentre dos partlculas cargadas es"pro- porcíonal a sus caigas e í.nuersamenteproporcional al ruadrado de Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta que Ias une. Esto puede expresarsematemáticamenLepor 160 lnteraccióneléctríca 74.3 Ley de Caulo'mb 0q' F: R":;-, )=f¡ Fig. 11-5. Ralanza de tor- sión de Clvcntlish para vcri- llcar la ler'¡le la intcr¿tct'i,itl e.léctrica e¡rtre dos cargas. 't a (r4.2) dondc ¡ es la distanciaentre las dos cargasq y q', F es Ia fuerza que actúa sobre cada carga y K" es una constantca determinar de acuerdo con nuestra elección de unidades.Esta ley es nruv sernejantea la ley de interacción gravitacional. Por consiguiente,podemosaplicar aqui rrruchosresultadosmatemáticos que de- mostranrosen el capitulo 13 simplementereemplazandoymm' p<tr K"qq''. Irodemas experimentalmenteverificar la ley de ia proporcionalidad inversa rlei cuadradt¡de la dist¿ncia.midicndo las fuerzas entre dos cargas dadas colo- cadasa distanciasdistintas. Una posibledisposiciónexperimentalse ha indicado en la lig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendishde la figura 13-3. La fuerza I; entre la carga en -Ély ia carga en D se encuentra micliendo el án- gulo 0 según el cual la fibra OC rota para restablecerel equilibrio. I) La constanteKe en la ec. (14.2)es senrejante a la constante'¡ en la ec. (13.1).Pero en el capí- tulo 13 las unidadesde masa, distanciay fuerza estaban5.adefinidasy el valor de y se determinó experimental¡nente.En el prescnte caso,sin em- bargo, aunque las unidadesde fuerza y distancia han sido ya definidas,la unidad de carga no se ha delinido todavía (la definición dada en la sección2.3 frie sólo preliminar). Si hacemosuna proposiciórrdellnida acercade la unidad de car- ga, entoneespodemos determinar K" experimen- talmente. Sin embargo, procederemose¡r sentido iriverso -¡r asignandoa K" un valor conveniente, fijarnos,ile cste rnodo,la unidad de carga.Adop- taremos estc scgundo nrétodo y, usando el siste- lna XiKSC cstablecemosel valor numérico de .I{.
  • 29. - i ; ¡ Leg d.e Coulamb 461 ...,:,i ri 1tl-712:8,987i x 10e,dondc (como anteriürrnente)c es la veiocirladde la ..r:rt.:l vacic.* En la práctica, Dtidemostomar para Ii" el yalor g X lge. En- : :rr'i1i.ciran'i0 la riisl.anciase nriiie cn rrretrosy Ia fuerza en newtons, la ec. I i.2) se escribe F :9 x (14.3) i'n¿r vez (iue.hemüs decitlidosobre ei valor de Xu, la unidad de carga está fljada. :-strr rrrriilarlse llama ur coul.omb,y se designa por el sirnbolo c. De aquí que ' l,{-l¿ilíroscstabiece:-la ;iguiente dellnicjón: eI coulombes la carga que, colotada : Jn metro de alra cargu igual en el.uacío,Ia repeie con una fuerza de 8,9874 x 10e ';,r:¿'lons.I-a fórnrula (14.3) es válida solamente para dos particulas cargadas en 'I r.¡cío; o sea. para dos particulascargadasen ausenciade toda otra carga o r''¡ri-eria(ver sección 16.6). obsérvcse que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre- ..rilos 1{" en N mz C-2 ó m3 kg s..z6*2. Pcr razonesprácticas y de cálctrlonumérico es más conveniente expresar 1{¿ ¿¡l la lorma Ke: 4reo' (14.4) ,londe la nueva constante eo se llama permítíuidaild.eloucto.De acuerdo con el valor asignado a K¿, su valor es úo' I n9 -'-',-- 10? ,o : +*, :8,854 X 10-12N-l m-t Cg Por lo tanto escribiremosla ec. (1.4.3)en la forma ñ qq' t : nrr.* FL : -9!3-: 1,9 x 10¡ N, {rr€ori Luego la fuerza resultante es ó m-3 kg-r 5z ¿2. (14.5) (14.6) Cuando usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de Ias cargas q y q'. un v¡lor negativo para F corresponde a atracción y un valor positivo.corres- ponde a repulsión. I:JEI|IPLO7.t.7. Dada ia disposición de cargas de la fig. 14-6, donde 4r : *1,5 x 10-3 C, gz: - 0,50 x 10-3 c, 4¡:0,20 x 10-3 c, y AC :1,2 m, BC :0,50 m, hallar la fuerza resultante sobre la carga ga. .Solr¿ción.'La fuerza F, entre gty Qaes de repulsión, mientras que la fuerza I', entre Qz! % es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son F, : -S-zQl-: - 3,6 x 103N. 47leofi- ./- F : V Fi + Fe - 4,06x 103N. I La elección de este vaior particular para ff" se explicará en Ia sección 15.g.
  • 30. Campoeléctríeo 463 I.'scribamoiia ec, (14.6) en la forrna f : q'(ql4nef). Esto da la fuerza pro. ¡iu,¡itlapor.ia carga q sobrela cargaq'colocada a una distancia ¡ de q. Fodriamos l,anibiéndecir',usando la ec. (1,*-?),que el campo eléctrico C en el punto donde esta colocadag' es tal que F : Q'{,Por consiguiente,comparandolas dos expre- sionesde Ji, concluimosque el campo eléctrico a la distancia¡ de una carga pun- tuai g es C : ql|rceor2,o en forma vectorial (a) flg. 14-9. Campo eléctrico producido por a) negativa. (14.8) (b) una carga positiva y b) por una ( :7!¡; u" donde u, es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya gue .F está según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para cargas positivas y aegativas, con el sentido de { respecto a 'tt, dado por el signo de q. De este ::roCof está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga nega- tiva. E,n la fórmula correspondientepara el campo gravitacional (ec. 13.15), el signo negativo se escribió explicitamente porque la interacción gravitacional es .ienipre de atracción. La fig. 1a-9(a) representa el campo eléctrico en las vecin- Cadesde una carga positiva y la fig. 1+9(b) muestra el campo eléctrico en las cercaniasde una carga negativa. i I I / ta .r' tt. ,i ,' '- - ta- ,r'r"r-1-t --,Ii)^-.--,. I I II Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctrico puede rep¡€- sentarsepor líneas de fuerza, lineas que son tangentes a la dirección del campo en cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representan ei campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-10(b) muestran el campo eléct¡ico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan por la carga. (-liando varias cargas están presentes,como en la fig. 14.7, eI campo eléctrico -:-srilt¡rntees la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada carga. O sea,
  • 31. 462 Interaccíón eléctríca F,* Flg. 14-6. Fuerza eléctrica resultante Flg. I4-7. Campo eléctrico resultante sobre q, debida ^ 4t y a Qz. ilr¿.O"tto P, producido por varias L'j.4 üampo eléctríco Ct¡a!¡¡rri*rrt:6iiindel espaoioe:r clandeuna c¡.rga¡:lóctrjcaexperimentauna fuerza s.cllarn:i t:n ci¡Jnr,oeléttríco.La fuerza se dri;e a i;r prr:sr:nciaile otras eargasen aqueila r"gión. Por ejernplo, unil carga { cr,}sr-:¿dnen uüa regiíin doride hayan ct¡as ¡rargasQyQ,""Qs,etc..(fig. i4-7) experiincnla una iuerz¿,É':Fr + ¿', + .F".+ . . ., ¡" r,lecimosque está en un carnpoeléctrict¡producitlo pcr las cargasgp ga,Qs,,.." (ia carga.E', por supucsto,Lambien ejerce iuerzas sobre Qr, gz, {s,... pero por ahora no la.stomaremos en cuenta).Comoia fue¡za que cada carga qr, Qz,4s,. . . ej*rr:e sobre ia carga q es proporc¡onai a q, la fuerza resultante ,f' es propnrcio- nal a q. Asi, ia fuerza sobre una particuia cargad.a,coiocadaen un campo eléc- trico, es proporcional a ia carga de la particula. La íntensi¡Iadde un campoeléclricoen un punto es igual a la fuerza por unidad <iecarga colocadaen esepunto. EI símbclo es f. Por lo tanto --,t {':+ it F:q(.q (14.7) La intensidad de campo elóctrico f' se ex-presaen ¡rew|onicoulombo N C-1, o, usancioias unidadesfundanrentales,m kg s-': g-r" Obsérveseque, ctendie¡rdoa la definición (.14"7),si ? es positiva, la fuerza .ú' que actúa slbre la cargatiene la ¡nis¡na¡Jirecrióndel r:arrrpof pero si g es lega- t.iva, ia fuerza F tiene la direccióncpur:sl;-t¡ f {fig. 14-8).Por Io tactc, si apli- camrtsu! campo e)éctricoen una región dontle haya iones positivosv negatÍvos, el carrtpr:tcndcrá a mQverlos cuer^¡ioscargari'lspositivarnentey negativamcnte en direccionesopuestas,la cual da como resultarlo una $eparaciónde car"gas, efecto éste llamado algunas vecespo/ar.jztsción. Carnpo eléctrico -__*--g+ Cargá fiüsitira C*rg:r tcg+ I'ig. 14-8,. -{eutid,ri de la fuerza prorln- cicia ,pcr ur1 t:Jmpo eléctricc sobre una cargu positiva y sobre una negativa" l:qE
  • 32. 464 Interaccióneléctríca (14.4 (e) (b) Fig. 14'10. Lfneas de fuerza y superficiesequipotencialesdel campo eléctricode una carga positiva y de una negativa. Flg. f 4'11' Llneas de fuerza y superficies r:r¡rii¡rotencialesdel campo eléctrico de dos: c¿¡g31¡iguales y r:¡ruestas. '.t''.-{ / ,'.,'t I l , / .' -- ir{<-1-i-r:S( /- i ritllll i liiltll
  • 33. 14.Q¡ Campoeléctrico 465 Ftg. 14-12. Llneas de fuerza y superflciesequipotenciales del campo eléctrico de dos cargas idénticas. C:Cl *Cz*Cr*... :),C,:# )rff.+u La fig. 1tl-11 indica cómo obtener el campo eléctrico resultante en un punto P en el caso de dos cargas, una posiüva y otra negativa de la misma magnitud, como esel casode un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La ftg. l*12 muestra las lineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dos protones en una molécula de hi{rogeno. En ambas liguras también se han repre. sentado las líneas de fuerza del campo eléctrico resultante producido por las dos cargas. Distribución volumétrica de carga + -r I + + + 1- Ftg. 14-13. Cálculo del campo eléctrico de una distribución continua de carqa. FtS. 14-14. Campo eléctrico uniforme. Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos en elementos diferenclrles de carga dq y reemplazamos la surna por una integral,
  • 34. 466 Interaccióneléctríca (14.4 resultando ¿':J-f4",.4r,eo J i't La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas. Un campo eléctrico unifornrc tiene la misma intensidad y dirección en todos sus puntos Un campo uniforme está representado,evidentemente, por líneas de fuerza paralelasy equidistantes ({ig. 14-14).El mejor rncdo de producir un campo eléctrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos placas metá- iicas paralelas. La simetrÍa indic.a que el campo es uniforme; más adelante, en la sección 16.3, verificaremos matenrátic¿mente esta ascrción. (Recordar el ejem- plo 13.8 tlonde aparece un problema semejarite relacionado con la interacción gravitacional). fiJERlf,Lt'!-14,2. Determi¡ar *l campo elé<ri.rir:oproducirlo por las cargas Qt ! 4z en cl purri.ilC de la fig. 14-6; rlicha¡ {:rrg¿.ise han rlefi¡¡iiloen el ejemplo tr4.1. Sclrci,6n:Trnctnos,-los-solrlcionfsa es{rtSPr'.{--crirohemoslialladr-ren el ejemplo14,1 !a fuerza-1.'sobrela cargag. colccadacn ei puni; C, tenemos,usan¿l.ola ec,(14.7),que t¡ C : :- :';,03 x 10¿]'lC-1. 9s Otri; procedi¡nientoescalcular primero ei campo eléctricr:producido en C (fig. 14-15) poi cada una de las cargas,usandoia ec. (14"6).Esto da ¡t 13 Et Ftg. l4-16, Campo eléctrico resultante en C producido por {l Y (c' c, : -*:: 9,32 x loc N C-r - 4tte¡l v {." : 9t - ==18.0 x 108N C-r.' Aneorl For consiguiente,el campo eléctrico resultante es c : V71 ¡ ¿7: 2.03 x 10?N C-1. Los dos resultadosson, evidentemente,idénticos, q2 EJE*ÍPLO 74.3. Discusión tlel movi¡nientc de una carga eléctrica en un campo unilorme. Solt¿Íd¿: La ecuaciónde movimienio dc una carga eléctrica en un campo eléct¡ico uniforme está dada por la ecuación ma:q{ ó a:. 3- ¿. La aceleraciónque adquiere un cuerpo en un caÍrpo eléctrico depende, por lo tanto, de la razón qlm. Corno esta razón cs en gcneral diferente para diferentes partlculas cargadas o iones, sus aceleracioneseir.rin campo eléclrieo serán también diferentes; es decir, que hay una clara distinción enr.re l¡l acelcración de un cuerpo cargado que se lnucve en un campo eléctriro, y la aceir¡'ación en un oampo gravitacional, que es la mism.apara todos los crtrrpti-t, Sl cj c¿rrn*¡r{'es u¡tilorlnc, la aceleraciÓn¿ es constante y la trayocloria dcsr:riia por ta ,:lrga eiéctrica e¡r su movimientn es una parábola, conro se explicó en la secció;r 5.7" -_
  • 35. 14.4 Campo eléctríco 467 Ftg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme. Un caso interesante es el de una partfcula cargada moviéndose a través de un campo eléctnco que ocupa una re'gión limitada del espacio(fig. 14-16). Suponga- mos, para simpliflcar, que la vetocidadinicial uo de la partfcula cuando entra al campo eléctrico sea pelpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colo- cadt¡ el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partlcula y el eje Y paralelo al campo. La trayectoria AB descrita por la partfcula al moverse a través del campo esuna parábola. Despuésde cruzar el campo la partlcula readquiere el movimiento rectillneo, pero con una velocidad c diferente en módulo y dirección. Decimos en- tcnces que el campo eléctrico ha producido una desviaciónmedida por el ángulo a. Usando los resultados de la sección5.7, encontramos que las coordenadasde la partícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración(q/m)C, están dadas por Í,:uot¡ g:r(qlm)C|2. Eliminando el tiempo l, obtenemosla ecuación de la trayectoria, lo cual verifica que es una parábola. Obtenemosla desviación¿ calculando la pen- diente dgldr de la trayectoria para x : a. El resultado es tg a : (dgldr)"* -- qCalmozs. Si colocamosuna pantalla S a la distancia l, la partlcula con un q/m dado y velo- cidad uo,llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg c¿es aproximada- mente igual a dlL, ya que el desplazamientovertical BD es pequeño comparado con d si Z es grande, tenemos (r4.e) lfidiendo d, L, a y C obtenemos la velocidad oo (o la energla cinética) si conocemos la razón qlmi o reclprocamente, podemos obtener q/m si conocemos u0. Por lo tanto, cuando un haz tle partfculas con la misma relación qlm,pasa a través de un campo c.léctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energfas. Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un dn¿r¿f- :ador de energla, el cual separa las partfculas cargadas idénticas que se mueven ion energías diferentes. Por ejemplo, los rayos I son electrones emitidos por algu- nos materiales radioactivos; si colocamos un emiso¡ de rayos B en O, todos los electroncs se concentrarán en el mismo punto de la pantalla si tienen la misma L--- +(-"J(*)*' qéa _d mú'o L ++++++ F_rr-1"--¿
  • 36. 468 I nteracción eléctríca. (14.5 energfa. Pero si st¡n trmitidos ccn tiitcrenrrls i'rct'iJíl)i se dispersarán en una región de la pantalla. l'ls esla segunda posibil.idad Ia que sc e¡rcuentra experirnentalmente, resultado rle ¡nucha irnportancia desde ei punto rie vista cle la estn:ctura nuclear. Usandi¡ dos juegos de placas paralelas cargadas, ¡i'.:ls66s producir dos campos ¡nutuamente perpendicularcs, rlno horizonlal según llfl'y otro vertical según yV', corno se muestra en la fig, 14-17. Ajustando lá intensitlad relativa de los dos cam- pos, podemos obtener una desviación arbitraria rlel haz de electrones respecto a cualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos caÍipos son variables, el puntc luminoso de referencia sobre la ¡ranta)la ilescribirá una cierta curva. Apli- caciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en los osciloscopios.En particular, si los campos eléctricos varfan en intensidad con mo- virniento armónico simple, se obtentlrán las figuras de Lissajous (sección 12.9). Anodo Placas para do cnloque deSviación horizontal RPj;lla .nodo i Placas para desvlacron'ln -<.1' tle controll acelerador /---r---T----;- i-_-l Haz de electrones Calefactor Revestimiento metálico Pantalla fluorescente =- Cañón electrónico (o fuente electrónica) I'19. 14-17. Nlovimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados. Los electrones son emitidos por el cátodo y acelerados por un campo eléctrico intenso. Una ranura en el ánodo acelerador, perm¡te a los electrones salir del cañón electrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento me- tálico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho libre de campos eléctricos, producidos por fuentes ext€rnas y permitiendo el movimiento libre a los electrones del haz. 74.5 Cuantízución de Ia carga eléctriea lJn aspectoimportante que .Jebemosdilucidar antes dc proseguir,es el hecho de que Ia carga eléctrica apareceno en cualquier cantidad, sino en rnúltiplos de una unidad fundamental o cuanto. De los muchos experimentosrealizadospara determinar esto, es clásicoel del físico norteamericanoRobert A. Nfillikan (1869-1953),quien, por varios años durante la primera parte de este siglo, ller'ó a efecto el experimento conocido hoy como el erperí.rnentode Ia gotade.aceile.Ifillikan estableció,entre dos placas horizontalesy paralelasA y B ({ig. 14-18),un c¿mpo eléctrico vertical C que podia ser eliminadc¡o restablecidopor medio de un inter¡uptor. La placa superior tenía en su centro unaspocasperforacionespequeñasa través de las c,ualespodían pasar gota.sde aceite producidaspor un atorrizador" La mayoria de estasgotas se cargabanJrorfricción:rl pasar por la boquilin del atomizador. Analice.mosprimero cste experimento desde urt punto de vista teórico. Llarna- remos rn ¿ la masa y r ai radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación
  • 37. I4.o) Cuantízación de lu cargc eléclrícq 469 Firr- 1.t-1.8. Iixpcrime'rto de trfillikan. Ill movimiento de la gota de aceite car_ gada g se observa a través del rnicroscopio ill. del movimiento cle caida iibre sin el campo eléctrjco c es, usanclola ec. (7.20) con K rladopor la ec.(7"19),ma: mg - 6r1ru. La velocidadfinal u, de la gota, cuando a :0, es mg 2prrtl "r - 6nrr g¡ ' donde p representala densicladdel aceite y hemos usado la relación m : ({rcf)p. (con el fin de ser precisosdebemostambién tomar en cuenta el empuje aól aiie escribiendop - pa en irigar de p, siendo po la densidad del aire). Suponiendo que Ia gota tiene carga positiva g, cuando apricamos er campo eléctrico,la ecuacióndel nrovimiento en dirección vertical haóia arriba es ma:g( -mg-6rr¡rD, y la velocidad final u, de la gota, cuando a :0, es .. q( -ng "t : -G";-' Despejandog, y usando la ec. (14.10) para eliminar mg, tenemos q- (14.11) (14.10) Podemoshallar el radio de la gota midiendo u, y despejandor de la ec. (14.10). Ilidierdo ,r, obtenemosla cargaq aplicandola éc.(14.11).Si Ia cargacs negativa, el movi¡rlienlohacia amiba se produceaplicandoel canrpoeléctricohacialba.¡o. En la práclica se sigueun procedimientodiferente. El movirniento hacia arriba y'haciaabajode la gota seobservavariasveces,aplicandoy suprimiendoel canlpr) elclctricr:sucesi.'¿rllte¡lte.La velocidadu, permaneceiuvariatle, pero Ia velocid¿r¿u" 6r¡r(u, { ur)
  • 38. 470 Inleraccíótt eléctrice (14.5 ocasionahnentct¡lmbie sugiricndo iili c¡ml:io {r¡i::. r;:¡rqacleia gota. Iistos cam- bios son drl-.ido:¿ la ioniz.:¡cionotiiiit-rl,¡rlr'lr:.}.ai¡r.-,'r¡r.,}¡ienirrpoa raJ¡osctisrrricos. La gota prreclet,orulilal¡;uitci ¡lc csti,irin¡jesnr('nl.rasse :nusl'r a trar'és,:lelairc. I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn iilCuciisc t¡¡r¡.:Liéni:r,loca¡ricrercit de }as placas una fnente de rayo; X u 1o lc'1,cuaies slrmeili:ll: ];t ionjzación dei airi:. l)e acuerdocon la er:.(14.11),los ia,,¡Lio:; Ao y :u, de la carga y de la velo- cidad hacia arriba están relecionaCcsí|.r 0:r:l¡ Aq : --:- ¡", (r4.12) Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1svecesr1e¡iativir,segúnla naturaleza de la modificaciórrrie la carga. Repitiencloel e:;pt:riinenlode la gota de aceil.emuchas 'r'€c€scoil diferentesgotas,ios lis.icoshan conclu!doque ios cambios Ag son siem- pre nrúitiplos de la carga filndi.lrrl;]tai ¿ rirst()¿s, AÍ -' ne),cuyo vaior e$ ¿ : 1,6021x iii-le C. (14.13) La caatidacie se llarna cargae¡emcntal.'i't¡Cc:;las crtgas quese obseruonen la na^ {uralezason ig¿ro¡€so-,o rnúliíplosde, in :art¡t tlente.nfale; hasta ahora no se han ohservadoexcepc:onesa est; regla" Parece ser, entunces,una ley fundamental il,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,acuaniizada. Hasta el presente, no rc ha encontrarioexpücación¿ estchcehoa prrrt.irde conceptosmás fundamentales. Un segundoaspectoiritporl-rntede la carga eléctricaes que la carga elemental eslá siempreasociadacon alguna masa deterininada,dando lugar a Io que lla- nramoswta partíclila fundamnlal. Ii1n e] próximo capÍtulo (sección15.4), expli- carelnosaigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo que si se co- noceq, prieda obtenersern; de esta mauera se han identificado varias particulas fundamentales.lPor el moinen!,o,podernosi¡tdicarque en la estructura del átomo entran tres partíeulasfundi¡nlentair,s:cl el¿clrón,e! prolón y el neutrón Sus carac- teristicas se indican err el siguieritecuadro. i Partícirla i ___-t__ f elcctrón { m. I prOron I tnp neUlIOn I ¡nn I Masa I "rrgui-- - rr,109l r l0' .r kg I - c - t,67?5 ,: r'.r-2?kg r + r :. 1",6748x 10-r?ks | 0 Olrsérvesec¡ue.el neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otras propietladeseléctricas,rlue scl'ándiscutidaseri cl cr,pitulo 1.-1.trl hecho de que la masa iiel protón sea cerca de 1840 vecesmavor que la masa del electró¡rtiene gran influencia eri nir¡chosfenó¡i:enosfisirros" ['let+rnclr.los:lhr)raa Ia ielinición preiirnilrarilel coulomb dada en la sección2.3, y verifiquclriosque el n¡imerode elt:ctrc,r.es3'rrroinrresnecestriosparn alcnnzar llr)¿ic¿ifg¿¡¡rr'rsitivac)nrgativi¡ igui.irr i¡¡rr:ouioriiLr:si/1,6021x 10"rs:ü,Z-tr18x10r8 qur cs trl ¡iúrnero riuc agr:rrccealli,
  • 39. 14,6) Eslructura etéclrica de la maleria 74.6 Estructura eléctrica de Ia materia Hemos recordadoal estudianteel hechofrecuentementeobservadode que ciertos cuerpospueden electrizarsefrot¿indoloscon tela o piel. IlIuchos otros experimen- tos de laboratorio señalanel hecho de que los r.;en5fifuyentesbásicosde todos los átomos son partículas cargadas.Por ejemplo, cuando se calienta un filamento, ésteemite.eleclrones,tal como se evaporan las moléculasde un líquido al calen- tarse. Este fenómeno se llama emisión termoióníca. Fie. 14-19. Electrólisis. Lns iones se muel'en bajo la acción del campo eléc- trico producido por los electrodos cargados. Otro fenómenointeresantees el de la electrólísis.Supongamosque se establece un campo eléctricoC (lig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en una solución que contiene un ácido (tal como HCI), una base (tal como NaOH), o una sal {NaCL). Producimos este campo sunrergiendoen la solución dos barras o placas opuestamentecargadasllamadas eleclrodos.Observamosque las cargas :léctricas fluyen y que ciertas clasesde átomos cargados se mueven hacia el electrodopositivo o anodo,v otras semueven hacia el electrodonegativo o cáIodo. i,ste lenómenosugieret¡ue las moléculasde la sustanciadisuelta se han separado (o disociado)en dos partes diferentemcntecargadas.o iones.Algunas están car- gadaspositivanientey semueven en la direccióndel carnpoeléctrico; otras están cargadasnegativarnentey se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc- l.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia el cátodo y en consecuenciason ionespositivos,llamados caliones,mientras que los átomos de Cl van al ánodo y son iones negativos,llamados aníones.La disocia- ción puede escribirse en Ia iorma NaCl+Na.*Cl-. Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctrica, suponemos que eslán formadas de cantidadesigualesde cargaspositivasy negativas.Cuando las moléculasde iaCl se disocian,las cargasno se separanuniformemente. Una parte de las moléculastransporta un excesode electricidad negativa y la otra un cxceso de electricidad positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto, un ion. Ilen'rosdicho que todas las cargasson múltiplos de la unidad fundamental 471 Anodo Cátodo7/"/' ll /)7 | tt. ¡ I lÍ! V'Q* r¡ >'t+l w
  • 40. 472 Interacción eléctrica (14.6 de carga e. Supongamosque los iones positivostransportan la carga f ve,y los ionesnegativosuna carga- vedonde v es un nitrneroelitero que determin¡trcmos ¡násadelante.Cuandolos ionesllegan a cada electrcdo,se neutralizan,intercam- biando sus cargas con las cargas disponiblesen los electrodos.Generalmente sigue una serie de reaccionesqrrímicasque no nos interesanahora, pero que sirven para identificar la natu¡aleza de los iones que se mueven hacia cada electrodo. Despuésde un cierto tiempo l, un número N de átomosha ido a cada electrodo. La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces,en valor absoluto, Q:Nr¿. Suponiendoque m sea la masa de cada molécula,la masa total M depositada en ambos electrodos€s M : Nm. Dividiendo la primera relación por la segunda,tenemos QIM : velm. (14.14) Si .A{¡es la constantede Auogadro(el número de moléculasen un mol de cualquier sustancia),la masa de un mol de la sustanciaes Ma : NA[r. En consecuencia, la ec. (14.14)puede escribirseen la forma a 'le N4v€ Fv _:+ La cantidad (14.r5) (14.16) es una constante universal llamada constantede Faradag. Esta representala carga de un rnol de ionesque tiene v :1. Su valor experimentales F :9,6487 X 104C mol-r. (r4.17) f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constante de Avogadro lüa : 6,0225 x 1023mol-l, (14.18) de acuerdo con otros cálculoscie esta constante. La ec. (14.15)ha sido verificada experimentalntenley se ha hallado que v es igual a la ualenciaquímíca clclion correspondiente.E,l hecho de que v seala va- lenciaquimica sugiereque cuando dos átomos se rrnenpara formar una molécula, irrtercambianla carga ve, convirtiéndoseuno en un ion positivo y el otro en un ion ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos. Podemostantbién sllponer, con bastante confianza,que las particulas intercam- biadasson los electrones,ya que se mueven más fácilmente por ser más ligeros que Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, llamado enlaceiónín, rlebe considerarsesólo conro una descripciónprelimin:r sujeta a revisión y crítica ulteriores. En la s¡'cci(¡n13.9 indicarnostlue las luerzrs gravitacionalesno eran suficien- temente lutrtes conlo para producir la atracción nccesariapara mantener unitlos dos áloulr,rsy fornrar una ¡noldcula,o dos nloléculasy formar una porción de M m Nem. M¡ F:N¡e
  • 41. !1.?'l Eslruclura afómira 473 ,,-¿¡'ieria,y qt¡c sioni03; vecesrnenosintensasde lo rrecesario.Compare¡nosahora rl rir,le¡; de rnagnitud dc las fue¡zas eléctricasy de las gravitacionales. Supo- ¡','re¡rdoc¡uela distancia sea la. :--';!sma,la intensidad de la interacción eléctrica está deLerrninadapor ia const.antede aco¡rlamienLoqrqrl4reo, y Ia cJela inter- acción gravitacional por i'rn,rnr.Por lo tirlil; intcracción eléctrica : Jíer--- 4rer-¡mrm,interaccióngravitacional Para obtener el orden de rnagnitud, hagarnosgt:82- e y !n1: rrr2: rr?p,de rnodoque para dos protoneso dos ionesde hidrógeno, interaccióneléctrica Int.ia..ion g.a"it-u.i* li : : 1,5 x 1036. Este es,aproxirnadamente,el factor que le faltaria a la fuerza gravitacional producir ia interacción requerida.Para la interacción entre un protón y un trón (rn, : mp, Inz: me), la relación antcrior resulta todavía mayor: 2,8 x Por consiguier¡teconcluinrosque la interacción eléclrícaes del orden de mugnitud requeridopara pro- ducir el enlaceentre atomospara formar moléutlas, o eI e¡tlaceenlre eleclronesy protonespara formar dtomas. La conclusiónes, entonces,obvia: los procesosquimicos (en general el com: portamiento de la máteria en su totalidad) se deben a las interaccioneseléctricas entre átomos y moléculas.Una comprensióncomplela de la estructura eléctrica de los átomos y moléculases, pues, esencialpara explicar los procesosqttimicos v, en general,para explicar todos los fenómenosque observatnoscorrientcmente a nuestro alrededor,tanto en la materia incrte como en la viviente. l'il objc'tivo de la física es, como vimos en el capitulo 1, capacitarnospara comprender la estructura de los constituyentesfundamentalesde la materia y explicar, en fun- ción de sus interacciones,el comportamientode la lnateria como un todo. l)ara c,Lrnrplircon este programa debernoscomprendcrpreviamente las interacciones eiéctricas.Por esta razón ¡nuchos de los capítulos siguientes estarán rir-'dicados a los fenómenoseléctricos. Dondequieraque haya cuerposcargadoseléctricamente,las fuerzas gravita- cionalesson despreciables.Estas fuereasson imporlantes sólo cuandoestu<lia¡nos {ruerposde gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son ptquetias en cr-imparacióncon sus masas.Este es el caso del movimiento planetarit.¡o del mo- virniento de cuerpos en la superficieterrestre. 14.7 Estruetura atótnic.a Por Io dicho en la secciónanterior, el estudiante se habrá dado cuenta que com- prenderla estructura a!ómica es uno de los problemasbásicosde la fisica. ltxpon- ganros,por lo tanto, algunasideaspreliminaresy desarrollemosun modelo satis- factorio del átomo. Sabemosque los átomos son eléctricamente neutros e¡r su e2 4reoprtf, J)ara elec- 1040.
  • 42. 474 Interaccíóneléctríca (14.7 estadonormal, ya que en la materia en conjunto tto se manifiestanfuerzaseléc- tricas grandes.Por consiguiente,los átomos deben contener cantidadesiguales de electricidadpositiva y negativa o, en otras palabras,igual número de protones v de electrones.El númeroigual de protonesy electronessellama númeroatómicoy sc designapar Z. El átomo consta entoncesde una carga positiva lZe debida a los protonesy de una carganegativa de igual inagnitud debida a los eiectrones. Acuden a nuestra mente dos posibicsmodelospara el átonto. En uno de ellos podemossuponer que los protones,como tierren mayor masa que los electrones, están agrupadosalrededord€l centro de masa del átomo, formando una especie de núclet¡y los electronesgiran a su alrededor,cornoen nuestrosistemaplanetario. En el otro modelo los protonespodrian estar esparcidosen todo el volumen del átomo, con los electronesmovjéndoseentre ellos y lormando algo así como una mezcla de gasescon cargas positivas y negativas llamada plasnio. E,l primer modelo es más llamativo dada nuestra lamiliaridad con el sistemasolar. Sin em- l.rargo,entrc las dificr¡ltadesa que debemoshace¡ frente en este modelo, está la de explicarcórnolos protonessemantienenunidosentre sÍ,en el núcleo,a pesarde la fuerte repulsióneléctrica entre ellos.Esta complicaciónrequierela existencia de otras interacciones,además de la interacción eléctrica. Para dilucidar el problema de la di-qtribuciónde electronesy protones en un átomo, debemosinvestigar el interior del átomo experimentalmente,lanzando un haz de particulas rápidas cargadastales como iones de hidrógeno (es decir protones)o ionesde helio (llamadospartlculasafa), contra el átomo, y observar las interaccionesproducidas.Este es un experimento de dispersíón,cuyo funda- mento matemáticose ha dado ya en el capÍtulo 7. La simetría sugiereque pode- mos considerarlos átomos como esferascon un radio del orden de 10-10m, como seha indicado previamente.Debido a que la interaccióneléctricasiguela ley 71r2, los resultadosdemostradosen la sección13,7 para el campo gravitacional, son válidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesarioreemplazar "¡mm' por qq'!4*o, Por lo tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q unüorme- mente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos externos(r > a) un campo eiéctrico dado por (':,Q-=, rle, (14.19) 4ne¿2 y un campo eléctrico en todos Ios puntos interic¡res (r < a) dado por | <a. (14.20) 4xeoa} ' Este campo está representadoen la fig. 14-20. En el rnodelode plasma, el radio a es el ¡nismo que el radio del átomo y la carga efectiva Q es muy pequeña ponlue las cargas positivas de los protones y las cargasne¡¡ativasde los electronesesi¡ln inezcladasunifor¡nemente.La des- viación experimentadapor l;r particula de carga q al aproximarseal átomo, pero Qr
  • 43. 14'.7) Fig. 14-t0. Campo eléctrico de una es- fera de radio c cargada, l-' Flg. 14-21. Distribución de electrones en un átomo. sin pasar a través de é1,se calcula usando la ec. (7.42) coo rf(: Qq!4rc6i resulta cots+ó : 4"'ún'3 b. Qq (14.21) En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que ei radio del átomo o N 10-10m. Suponiendoque la energíade lasparticulas esdel orden de 1.6x 10-rsJ, o un MeV (que es el rango de energiasproporcionado por los laboratorios en esta clasede experimentos),y que 0 y q son del orden de e, encontramos que ó es menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación.Para valores menores de ó, si la particula incidente tiene energÍa suficiente para pe- netrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decre- r:ientey la ec. (14.21)ya no es aplicable.Pero entonces,la desviación,en lugar de ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otras palairras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviacionesde las partÍcuias que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experi- mentalmente que muchas partículas se desvian en ángulos grandes, en algunos casoshasta 180". Por consiguientedebemosdesechareI modelo de plasma basán- donos en este experimento simple pero concluyente. Consideremosahora el modelo nuclear,en el cual los protones están agrupados en una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21).Entonces la ec. (14.21) se mantiene para valores de ü mucho menores que el radio atómico, y son posi- bles desviacionesmayores. Aqui nos damos cuenta que los electronesen rápido movimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquier partícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modo la carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de ó mayores que 10-10m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmentelo mismo. Para pequeños valores de ó, sin embargo, pueden ocurrir mayores des- viaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelo de plasnta.Por ejemplo,para ó - 1g-tam y Q - l}e, usando el mismo valor de (carga - Ze)
  • 44. 476 lnteraccióneléctríca (14.7 energia que antes, obtenemos cotg *d - I ó d - 90'. En el modelo nuclear, Q : Ze, y poniendo Q : ve para la partÍcula que bornbardea(r : 1 para pro- tones, rr :2 para partículas alfa), obtenemosde ta ec, (14.21), b: ,uz" u colg$. 4*eomufi En los experimentos se dirigen varias particulas contra una delgadlsima lámina y se observan las deflecciones.Corno ó no puede controlarse porque es imposible apuntar a un átomo en particula¡ debemoshacer un análisis estadisticopara interpretar los resultados experimentales. Supongamosque tenemosuna delgadalámina metálica de espesor/, que tiene n átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área inciden en Ia lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro de impacto pequerio).experimentandoentoncesuna gran desviación; algunas pa- sarán a distanciasrelativamentegiaridesde los átomos de la lámina (panimetro de impacto g'ande) y experimentaránun¿ pequeíradesviación.El resultado del análisisestadístico(ver ejemplo 14.4) muestra que el número de particulas dN Jesviadasdentro del ángulo sóiido dl) (correspondientea los ángulos de disper- sión { y 4 + d{ respecto a la dirección de incidencia) está dado por d¡/ NnvzZzd ;n:-Tffiñcoseca$' (14.22) Ei signo negativo se debe a que dN representalas particulas sacadasdel haz incidente co¡no consecuenciade la dispersión,y esto correspondea una dismi- nución de N. El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadaspor unidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamentesegún la ley nsecal$. Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indi- rectamente, que todas ias cargas pcsitivas se concentlan cerca del centro del átomo. Esla prueba se obtuvo mediante experimentosejecutadospor primera rrezdurante el periodo 191l-1913 par H. Geigery E. llarsden, bajo la dirección del fÍsico británico Ernest Rutherfcrd (1871-1937).Estos experimentosconstitu- yeron el fundamentodel modeionrtcieardel átomo, que ha sido aceptadodesde entonces como el correcto. Para cada valor riel parámetro de irnpacto ó, existe una distancia de máxirno acercamientopara ia cual la particula que bombardeaestá lo más cerca posible del centro. I-a distancia mínima ocune para á : 0. EI cálculo de esta distancia para diferentescondicionesexperimentales,cmpleanilo metodos dinámicos (ver ejemplo 14.5) indica que esia ciistanciaes del crden de lO-ra m para ener$as del orden de 10-13J (o un }fel'). Esta dist;lncia da un limite superior para el radio del núcleo atómico. Fc'r consiguienleconcluirnosque los protones se con- centra¡rcn u¡ra regifin cuyas dinrensionesson del orden de 10-u m. Cuando con- sideranroscl hecho de que el radio ilel átomr; rs {ici orden de l0-10m, nos damos cuent,aque ia rnayor Jiartc Cel v¡¡lurnenclei átorno está octipado por los elec- triines en mov-imiento,y está en realidad vacío.
  • 45. 1,1 : Eslruclura alór¡tics 477 Para pequeñosvalores del ¡rarárnetrode impacto 5,'altas energías,cuando la partir:ulaincidente liega muy cerca del ttúcleo,observamosque la ley coseca$ no secumple. Esto indica Ia prest:iciade otras interacciones,las fuerzasnucleares. .nalizando las discrepanciasccn respectoa la dispersiónpuramente culombiana dada por la ec. (14.22), obtenemos informa,ción valiosa acerca de las fuerzas nucleares. Los más simples y livianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno. Su rnasaes igual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguientecon- cluimos que un átomo de hidrógeno está compuestode un electrón girando alre- dedorde un soloprotón. Entonces,Z:1, y el núcleode un átomo de hidrógeno es precisamente un protón (esto podria tomarse también como definición de protón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r2, deberíamos esperar,por las mismas razonesdadas en el capítulo 13 para el movimiento pla- nétario, que las órbitas fueran elipsescon el protón en uno de los focos. Las órbitas electrónicas,sin embargo, requieren que dispongamosde técnicas espe- cialesantes de poder discutirlas, porque ellas poseencaracteristicaspropias que las hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a la mecánicacuántica. Sin embargo, podemosadelantar dos de los más importantes resultados de la mecánica cuántica. (1) ,Lc energla del mouímienlo electrónícoeslá cuantizada. Esto significa que la energia de los electronespuede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2,Es, . . ., En, . . . Los estados correspondientesa estas ener$as se llaman esladosestacíonarios.El estado con la más baia energía posible es el esladofund.amenlal Determinar las ener$as de los estadosestacionarioses una de las tareas de la mecánica cuántica. Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita, solamente ciertas regionesdel espacioson posiblespara eI movimiento electrónico. Esto está indicado esquemáticamente por Ia región sombreada de la fig. 14-21. (2) EI momentum angular del mouimiento electróni.coeslá cuanlizado tanto en magnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de un electrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angular es un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro- piedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar ter- minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad como implicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas". Para átomos más pesadosque el hidrógeno, la masa es mayor que la masa de los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a la presenciad,eneulronesen el núcleo. El número total de partículas en un núcleo se llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Z electrones,Z protones y A-Z neutrones. Los neutrones son necesarios,apa- rentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamente sometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar car- gados positivamente. El hecho de que pueden permanecerunidos en un núcleo indica qne, además de las interaccioneseléctricas,hay otras interaccionesmuy Iuertes, correspondientesa las llamadas fuerzasnucleares,las cuales contrarrestan la repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nucleares sin añadir reprrlsióneléctrica,produciendo de este modo un efecto estabilizador. L
  • 46. 478 Interaccíóneléctrica (14.7 En este punto debemosdeci¡ que nuestro conoci¡nirnto de las fuerzas nucleares no es tan completo como lo es cl de las fuerzaselécl.ricas. El comportamiento quimico de un átomo, siendo un efecto eléctrico, está determinado por el número atómico Z^ Sin embargo, para un valor de Z puede haber varios valoresdel número rnásicoA. En otras palabras,a ull número dado de protones en el núcleo puedc corresponderdüet'ente número de neutrones. Los átomos que tienen el rnisnlo ¡rúniero atómico, pero diferente número másico, se llaman isótopos.Todos ellos correspondenal mismo elemento quÍmico. Los diferentesisótopos de un elemento químico se designanpor el símbolo del ele- mento químico (que también identifica el número atómico) con un índice colocado en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo, hidrógeno (.2:l) tiene tres isótopos: lH, 2H o deuterio, y 3FI o tritio. Análo- gamente,dos de los más importantes isótoposde} carbono (Z :6) son r2Cy 14C. El isótopo12Ces el que se usa para delinir la unidad de masa atómica. EJEiltPLO14.4. Obtener la ecuación(14.?2)para la dispersiónculombiana. S<¡luctón:Sean el número de átomospor unidad de volumen del dispersor.Enton- cesnl será el número de átomosdispersadospor una lámina delgadade espesorI y área unid.ad.El número de átomosen un anillo de radio D y ancho dDy por lo tanto de árca2rb dó) será (nt)(2ttbdó), ccmo se rnuestraen la fig. 14-22. Si N par- tlculas inciden sobrela unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyo parámetro de impacto está entre Dy D + dbes dN : N(n¿) (hb db.Diferenciando la expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene: (14.23) -tr'9 ,[ :l.l __ __ _ _ _ _ - _ _ - -G:_*-i --_ It ;; +Ze FtS. 14-22. Desviación de un ion positivo de- bido a la repulsión coulombiana del núcleo. Flgura 14.23 Para átomos livianos, debemos reempluzar la nrasa m de la partfcula por la masa reducida del sistema de partlculas. Si trazamos dos conos de ángrrkrs d V d n d{ alrededor del átomo (ng. 14-23) todas ias particulas dadas pot' la ec. (14.2i3) sr:rán desviadas a través del ángulo sóiido entre las dos supcrfir:ies cónic¡r.s.Ei ár¡.: sornbreada es (2nr sen $) (r dg) .-= 2:;¡¡ sen $ d$. ?ot consi¡;uit'nte, en v;stit tle li'. rlefinitriÓn(?"7), el ángulo sólido es dfl ==2r sr.:uó d+ =- 4:: sen $ cas y4 dg!, donrle llcrn¡rs rrs¿tdola relación sen{ : 2 sen {.$ cas }$. La distribución angular está .iada por el ¡rúme¡o de partlculas dN: * ffi4corgl$ cosec'$d{.
  • 47. dN Nn¡zzzeal -1r] : - t(-*i;;ü coseca|r/' que es la ec. (14.22). Aigunas veceslos rcsulta.dosde los experimentr,srle dispersiónse expresanmeior nsandoel concepto de seccírjneficaz.La seccióneflcazpará un procesoestá definid.a por .,, 1 ldNl o(P/: Nr..i do i' !i,t: ':iispersadaspor unidad rie ángrrlosélido.Entonces Estructuraalo¡¡ti¡.c t, ': (r4.24) (14.25) Las barras verticales están -para ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do. I-a cantidado({) representa.laprobabilidadde que una particula incidentese desl'le un ángulo.entre{_y # + d#: Se expresaen unidadesde área(mr), ya que n es una densiiad im-u) y f es una distancia(m); (obsérveseque las unidad.Lsde N se can- :elan). Por io ianto, sustituyendola .ec.{14.22)en ia ec. (14.24),obtenemosla sec- ,:idn eficazdiferencialpara la dispersiónculombiana, "(ó) : ^;tZy;T cosecai{. , "' 2(4te)2m2oo E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfcula de carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici z. Solucló¡t:La flg. 14-24muestra la geometla del probiema. De acuerdocon la discusiónhecha en la sección 13.5, la partfcula describeuna rama de hipérbolacon el núcleo *Ze en el foco más distante F'. La distancia de máximo acerca- miento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetro de impacto. Demostraremos primero que ó es igual al eje vertical OB de la hipérbola. St an- gulo f : POQ,entre las dosasfniotas,es el án- gulo de desviación de la partlcula debido a Ia repulsión coulombiana del nrlcleo.La distancia OA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, y de las propiedadesde la hipérbola tenemosque AF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,D y OCA' son iguales,de modo que ü : F,D: : CA' : OB. En la geometrfa de la ñgura ve- mos que OF' : ó cosecay OA: ¿r: Dcotg cr. ForconslguienteR: F'A : ó(coseca * cotgc). Pero 2a + Ó: zc,de modo {ue c: +"_-hi. Por Io tanto Figuro 14-24 R : ü(secI4 + te 14,¡: ó(1*.cos-e:*ó). cotglc Usandoel resultado(14.21),con e : Ze y g : y€,obtenemos R : .. u?" ^. (1 * cosec|f),4reo(mo!) '- que da !a clisi.anciacle máximo acercamiento en función de la energla inicial de la partfctrla- mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r É lt, lr
  • 48. rebota de modo que se dispersaen un ánguloigual a ;r, resultandocosectó : I y ,, vZe| Areo(lmuf,)' Por ejemplo, swtituyendo valores numéricoscon v: 1, Z:6 (correspondiente al carbono)y E : ImuE: 1,6 x 10-raJ ó 1 MeV, obtenemosR'- 10-ir *, qué es el orden de magnitud señaladoantes para las dimensicnesnucleares. 74.8 Potencial eléctrico Una carga eléctrica colocadaen un campo eléctrico tiene energia potencial debido a su interacción con el campo. El polencial eléctricoen un printo se define como la energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designando el potencialeléctricopor v y la energíapotencialde una "^rgi q por Ep, tánemos v:!-o q El potencialeléctricose mide en joure/coulombo .I c-r, unidad que recibeel nombre de uolt,abreviadov, en honor del cientificoitaliano Alejandro volta (1745'1827.En función de las unidadesfundamentales,v : ¡nz¡g .-z ¡-r. Observemosque las defirricionesde campo eléctricoy de potencialetéctrico son análogasa las de campoy de potencialgravitacional,E-llasse relacionan del mismo modo que en la ec. (13.21).o sea,las componentescartesianasdel campo eléctricoC estándadaspor 48A Inturaccióneléclrica av:-+ ^,oÍ fV I dv' ./o 6 Er:qV. .0V 0z (14.8 (r4.26) (r4.27)(, -avy ----:-' og En general, la componente según la dirección correspondiente a un desplaza- miento ds es t'_ av '*- - -a-' Esto puedeescribirseen la forma compacta ¿.:_grad V, comoseha mostradoantesenloscapítulosg y seusflnparaencontrarel potencialeléctric:o trico {', y recíprocamente. (14.29) 13.Lasecuaciones(14.27)o (14.28) V cuandosecolloceel campoeléc- consideremosel casoril p]. de un campoeréctricounifonne(fig" r+25). I.a primeradelasecuaciones(1.4.I7)da,paraun c€mpoparaieloal ejeX, f.: _dV ldr.como f esconstantey $ujronemfisv : 0 para r : 0, tenemos,por integración, (r4.28) V:--Cs. (14.30) frf.¡ ---f Cdr--.('-l ¿¡.r ó Jo Jo
  • 49. i'1.8) Potencíaleléctríco 481 iv:ri I I 01.-"rl l¡ rl II Flg. 14-9ó. Campo eléctrico uniforme. Ftg. 14-26. Variacionesde f y V en un campo eléctrico uniforme. I Esta relación muy útil ha sido representadagráficamente en la fig. 14-26. Obser- vemosque, debido al signonegativo en la ec. (14.29)o en la ec. (14.30),el campo eléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes.Cuando consideramos dos puntos Íty rz, la ec. (14.30)da V, :-(y Vz:-(rz. Restando,tenemos Vr- Y, : - ((rz- rJ; o, haciendo d : Íz- l' obtenemos it' " Yr-V, Vr- V,a:_ --dd (14.31) -A.unqueesta relación esválida solamente para campos eléctricos uniformes, puede usarse para estimar el campo eléctrico entre dos puntos separados por una dis- 'uanciad, cuando se conoce la diferencia de potencial V, - V, entre ellos. Si la diferencia de potencial V, - V, es positiva el campo está dirigido de r, a l, ¡' si es negativa,está dirigido en sentidoopuesto.La ecuación(14.31) [o de hecho también la ec. (14.27) o Ia ec. (14.28)l indica que el campo eléctrico se puede expresar también en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dada anteriormente. Esto puede verse del siguiente modo: volt joule newton-metro newton :-. coulombmetro coulomb-metro coulomb-metro En Ia prácticaseprefiereusar el término volt/metro, abreviadoV m-r en luga.r de N C-1. Para obtener el potencial eléctrico debido a una carga puntual, usamos la ec. (14.28), reernplazandos por la distancia r, ya que el campo eléct¡ico produ- cido yace segúnel radio; estoes,C - - 0Vl0r. Recordandola ec.(14.8),podemos escribir lqaV 4 tceo rz 0r
  • 50. 482 Interaccióneléctrica (14.8 Integrando, suponiendo Y :0 para r : oo, coülo en el caso gravitacional, ob- tenemos (1.1.32) Esta expresiónpodria haberseobtenido también reemplazandoen ra ec. (13.18) -'(m por ql4teo. El potencial eléctrico v es positivo o negativo dependiendo del signo de la carga g que lo produce. Si tenemos varias cargas Q7,Qs,Qs,. . ., el potencial eléctrico en un punto p (frg, 1+7) es la suma escalarde sus potencialesindividuales. O 5ea, v: ,8t + +r- + ,9r +... - =!- r,-lL. (14.33). 4re¡1 r.eor, 4re6.r3 4rreo -' r¡ - En general es más fácil, por Io tanto, calcular el potencial resultante debido a una distribución de cargas y luego obtener el campo resultante, que proceder en el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continua de cargas, dividimos ésta en cargas elementales dq y sustituimos la suma de Ia ec. (14.33) por Ia integral (recordar la fig. t4-l3), obteniendo v: q 4Íesl (14.34) donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas. Las superficies que tienen el mismo potencial eléctrico en todos sus puntos - o sea, y : constante-- se llaman superficies equipotencíal¿s.La dirrcción del campo eléctrico es perpendicula¡ a la superficie equipotencial en cada uno de sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 18.6). para un campo unüorme, deducimosde la ec. (14.30)que V : const. implica r : conSt.ry que por lo tanto las superficiesequipotencialesson planas, como se indica con Ias lineasde trazos en la fig. 14-25.La ec"(14.82)indica que para una cargapuntual, ias superlicies equipotenciales son esferas ¡ : corist, señaladas poi las lin"as de trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipoten- ciales están dadas por Xi(qi/r,) : cor$t, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su- perlicies equipotencialespara dos cargas se han indicado con lÍneas de trazos en las figs. 1,111 y 14-12. EJEMPLO 74.6. calcularlaenergfapotencialetéctricadeIa cargaq,del ejemplol4.l. solución: Reflrámonosa Ia fig. 14-6 y usemosla ec. (14.32).Los potencialeseléc. tricosproducidosen c por las cargashy Qzsituadasen ;l y B, respóctivamente,son u:+[+' Y,:-L-:fi,25x106!, 47!€oft Luego. el potencial eléctrico en el ¡runto C es ,-Ytfvr:2,25x106v. vr: -J3--: -_9 x 100¡. 4?TÉo12