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![INTEGRALES INMEDIATAS
Ejemplo 13: Calcule
¿
1
6 [ 1
2√3
𝑙𝑛
|𝑥− √3
𝑥+√3|−
1
√3
𝑎𝑟𝑐 tan
𝑥
√3 ]+𝐶
¿
1
6 [∫
𝑑𝑥
𝑥
2
−3
−∫
𝑑𝑥
𝑥
2
+3 ]
∫
𝑑𝑥
𝑥
4
−9
=¿
Solución
1
6
∫(
1
𝑥
2
−3
−
1
𝑥
2
+3
)𝑑𝑥](https://image.slidesharecdn.com/antiderivadaeintegralindefinidaparaclase1-241025201934-3380a891/85/ANTIDERIVADA-E-INTEGRAL-INDEFINIDA-para-clase-1-pptx-24-320.jpg)
![INTEGRALES INMEDIATAS
Ejemplo 14: Calcule
Solución
∫
𝑥2
+13
√𝑥2
+9
𝑑𝑥 ¿∫
(𝑥¿¿2+9)+4
√𝑥
2
+9
𝑑𝑥¿
¿∫
𝑥2
+9
√𝑥2
+9
𝑑𝑥+∫
4 𝑑𝑥
√𝑥2
+9
¿∫√𝑥
2
+9𝑑𝑥+4∫
𝑑𝑥
√𝑥2
+9
¿
1
2
[𝑥 √𝑥
2
+9+9 ln(𝑥 +√𝑥
2
+9)]+4 ln [𝑥 +√𝑥
2
+9]+𝐶
¿
1
2
√ 𝑥2
+9+
17
2
ln [𝑥+√𝑥2
+9 ]+𝐶](https://image.slidesharecdn.com/antiderivadaeintegralindefinidaparaclase1-241025201934-3380a891/85/ANTIDERIVADA-E-INTEGRAL-INDEFINIDA-para-clase-1-pptx-25-320.jpg)
![Aplicaciones de la integral indefinida
Solución
Ejemplo 19: Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de
años su altura cambia a razón de . Si el árbol tenía 30 cm de altura cuando se plantó. ¿Cuánto
medirá dentro de 27 años?
h (27 )=0.1
5
9
(27)
9/ 5
+
2
3
(27)
3 / 2
+30 ≈ 150.9 𝑐𝑚
Después de 27 años la altura del árbol será
Pero sabemos que , entonces , entonces
¿0.1∫𝑡4/5
𝑑𝑡+∫𝑡1/ 2
𝑑𝑡
h (𝑡 )=∫[0.1 𝑡
4
5
+√𝑡 ]𝑑𝑡](https://image.slidesharecdn.com/antiderivadaeintegralindefinidaparaclase1-241025201934-3380a891/85/ANTIDERIVADA-E-INTEGRAL-INDEFINIDA-para-clase-1-pptx-31-320.jpg)
ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA (para clase) (1).pptx
- 1. Universidad Nacional deTrujillo Análisis Matemático Antiderivada e Integral Indefinida ∫(𝟑𝒙𝟐 −𝟏)𝒅𝒙
- 2. Logro de lasesión Comprender la relación entre la diferenciación e integración. Comprender el concepto de antiderivada e integral indefinida. Resolver integrales usando fórmulas básicas. Calcular integrales indefinidas mediante el método de integración por sustitución. Aplicar las integrales indefinidas para resolver problemas de la ingeniería.
- 3. Antiderivada eIntegral Indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Integrales Inmediatas. Métodos de integración. Integración por sustitución. CONTENIDOS
- 4. RETO Crecimiento de unárbol. Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de años su altura cambia a razón de Si el árbol tenía 30 cm de altura cuando se plantó. ¿Cuánto medirá dentro de 27 años?
- 5. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Dada la función halla una función tal que su derivada sea igual a , es decir Solución pues 𝐹 1 ( 𝑥 )= 𝑥 4 + 2 𝐹 2 ( 𝑥 )= 𝑥 4 − 𝜋 ⋮ En general
- 6. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA 𝐹 ( 𝑥 )=𝑥 4 +𝐶 𝑓 (𝑥 )=4 𝑥3
- 7. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Dada la función ¿ podemos hallar una función cuya derivada sea igual a ? 𝐹 ( 𝑥 )= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 +𝐶 𝐹 3 ( 𝑥 )=𝑠𝑒𝑛2 𝑥 − √5 𝐹 2 ( 𝑥 )= 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 +𝑙𝑛 3 𝐹 1 ( 𝑥 )=𝑠𝑒𝑛2 𝑥 Solución
- 8. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Definición 1: Antiderivada Sea un intervalo y una función. Una función se dice que es una antiderivada o primitiva de la función en el intervalo si para todo en y se escribe . Ejemplo 1: Sea La función es una antiderivada de , pues También son antiderivadas de las funciones Donde es cualquier constante real 𝐹 ( 𝑥 )=𝑒𝑥 +𝐾 𝑓 (𝑥 )=𝑒𝑥
- 9. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Ejemplo 2: a) Una antiderivada de es puesto que . La antiderivada o primitiva más general de es b) Una antiderivada de es pues . La antiderivada más general de es
- 10. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Observación 1: Si en , entonces , donde es una constante real, es también antiderivada de en . Esta propiedad es evidente, pues si en , entonces También . Entonces
- 11. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Proposición 1: Sea una función definida en el intervalo abierto y una antiderivada o primitiva de .Si es también una antiderivada de , entonces para alguna constante . Demostración Definamos la función . Entonces Luego De donde se deduce que , donde es una constante. Luego se tiene Geométricamente, significa que si en el intervalo , cualquier otra antiderivada de en es una curva paralela al gráfico de
- 12. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Definición 2: Integral Indefinida. Sea una antiderivada de definida en el intervalo . La integral indefinida de es el conjunto de todas las antiderivadas de definidas en dicho intervalo y se representa mediante el símbolo Donde es una constante real que se denomina constante de integración. La función se llama integrando, es el elemento de integración, variable de integración y el símbolo se denomina símbolo de la integral. La expresión se lee “integral de con respecto a ” o “integral indefinida de diferencial ” {𝐹(𝑥)/𝐹 ′ (𝑥)=𝑓 (𝑥)}=∫𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
- 13. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Observación 2: De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades i) ii) iii) Si es una función diferenciable en , entonces una primitiva de es , luego iv) Como , de iii) se obtiene
- 14. ANTIDERIVADA e INTEGRALINDEFINIDA Ejemplo 3: Del ejemplo 1 y 2 se tiene i) ii) iii) Ejemplo 4: Como por la observación 2 –iv. se deduce Ejemplo 5: , pues ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=∫𝑑(𝑠𝑒𝑛𝑥)=𝑠𝑒𝑛𝑥+𝐶
- 15. PROPIEDADES DE INTEGRALINDEFINIDA Proposición 2: Si y son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo y es una constante cualquiera, entonces las funciones y admiten antiderivadas en y se tiene: a) b) Demostración a) Como entonces y son las antiderivadas de . Por lo tanto b) , entonces y son antiderivadas de Por lo tanto
- 16. PROPIEDADES DE INTEGRALINDEFINIDA Ejemplo 6: Calcular INTEGRALES INMEDIATAS Si conocemos , por la observación 2 – iii se deduce o Solución , donde
- 18. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 7:Calcule Solución Usando las fórmulas de integración, tenemos ∫(6𝑥 4 −𝑥 2 +2)𝑑𝑥=∫6𝑥 4 𝑑𝑥−∫𝑥 2 𝑑𝑥+∫3𝑑𝑥 ¿6∫𝑥4 𝑑𝑥−∫𝑥2 𝑑𝑥+3∫𝑑𝑥 ¿ 6 𝑥5 5 − 𝑥3 3 +3 𝑥+𝐶
- 19. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 8:Calcule Solución ¿2∫𝑑𝑥+∫𝑥𝑑𝑥−2√2∫𝑥1/2 𝑑𝑥 ∫(√2−√𝑥) 2 𝑑𝑥=∫(2+𝑥−2√2√𝑥)𝑑𝑥 Desarrollando
- 20. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 9:Calcule Solución ∫ 3 𝑥5 −6𝑥2 +√𝑥 𝑥 3 𝑑𝑥=¿ ∫(3 𝑥2 − 6 𝑥 +𝑥 − 5 2 )𝑑𝑥 ¿ 𝑥 3 − 6 lnx − 2 3 𝑥 − 3 2 + 𝐶
- 21. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 10:Calcule ¿∫𝑐𝑠𝑐2 𝑥𝑑𝑥+∫𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 =¿ ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥+𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥.𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥=¿¿ Solución ¿∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 +∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
- 22. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 11:Calcule ¿ 1 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 − 1 2 𝑥 + 𝐶 ¿ 1 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 − 1 2 𝑥 + 𝐶 ¿ 1 2 ( 1 2 )𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 + 1 2 ∫𝑥 −2 𝑑𝑥 𝑥 2 +2=𝑥 2 + 2 4 (𝑥 2 +4 − 𝑥 2 )=¿𝑥2 + 1 2 (𝑥2 +4 )− 1 2 𝑥2 = 1 2 𝑥2 + 1 2 (𝑥2 +4) Solución ¿ 1 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +4 + 1 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 ∫ 𝑥 2 +2 𝑥 2 (𝑥 2 +4) 𝑑𝑥=∫ 1 2 𝑥 2 + 1 2 (𝑥 2 +4) 𝑥 2 (𝑥 2 +4) 𝑑𝑥
- 23. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 12:Calcule ¿ 2 27 𝑙𝑛|𝑥 −3 𝑥+ 3 |− 5 9 𝑥 +𝐶 ¿ 4 9 1 2(3) 𝑙𝑛|𝑥 −3 𝑥+3|+ 5 9 (− 𝑥−1 )+𝐶 ∫ 𝑥2 −5 𝑥 2 (𝑥 2 −9) 𝑑𝑥= 4 9 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 − 9 + 5 9 ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 Solución
- 24. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 13:Calcule ¿ 1 6 [ 1 2√3 𝑙𝑛 |𝑥− √3 𝑥+√3|− 1 √3 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 √3 ]+𝐶 ¿ 1 6 [∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 −3 −∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 +3 ] ∫ 𝑑𝑥 𝑥 4 −9 =¿ Solución 1 6 ∫( 1 𝑥 2 −3 − 1 𝑥 2 +3 )𝑑𝑥
- 25. INTEGRALES INMEDIATAS Ejemplo 14:Calcule Solución ∫ 𝑥2 +13 √𝑥2 +9 𝑑𝑥 ¿∫ (𝑥¿¿2+9)+4 √𝑥 2 +9 𝑑𝑥¿ ¿∫ 𝑥2 +9 √𝑥2 +9 𝑑𝑥+∫ 4 𝑑𝑥 √𝑥2 +9 ¿∫√𝑥 2 +9𝑑𝑥+4∫ 𝑑𝑥 √𝑥2 +9 ¿ 1 2 [𝑥 √𝑥 2 +9+9 ln(𝑥 +√𝑥 2 +9)]+4 ln [𝑥 +√𝑥 2 +9]+𝐶 ¿ 1 2 √ 𝑥2 +9+ 17 2 ln [𝑥+√𝑥2 +9 ]+𝐶
- 26. Métodos de Integración Integraciónpor sustitución o cambio de variable Proposición 3. si es una función derivable de , donde es una función derivable de y es una antiderivada de , entonces Si hacemos el cambio de variable , entonces . Luego 𝑦=𝑓 (𝑔(𝑥))→ 𝑦′ =𝑓 ′ (𝑔(𝑥)).𝑔 ′(𝑥)
- 27. Ejemplo 15: Calcule Integraciónpor sustitución o cambio de variable ¿ 1 5 ( 𝑥 3 + 1) 5 + 𝐶 ∫𝑢 4 𝑑𝑢= 𝑢5 5 +𝐶 ∫(𝑥3 +1)4 3𝑥2 𝑑𝑥=¿¿ Sea Solución
- 28. Ejemplo 16: Calcule Integraciónpor sustitución o cambio de variable ¿ (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 √ 𝑥 ) 2 +𝐶 ∫ 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 √ 𝑥 √𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥=2∫𝑢 𝑑𝑢=𝑢 2 +𝐶 1 √ 𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 𝑑𝑢 𝑑𝑢= 1 √1 − 𝑥 . 1 2 √ 𝑥 𝑑𝑥= 1 2 √ 𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 Sea Solución
- 29. Ejemplo 17: Calcule Integraciónpor sustitución o cambio de variable ∫ 𝑥 𝑒 3𝑥 (1−𝑥) 4 𝑑𝑥 ¿∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑒 4 𝑥 (1−𝑥) 4 𝑑𝑥 ¿∫ 𝑥𝑒𝑥 (𝑒 𝑥 −𝑥 𝑒 𝑥 ) 4 𝑑𝑥=¿¿ ∫ 𝑥 𝑒𝑥 (𝑒 𝑥 −𝑥 𝑒 𝑥 ) 4 𝑑𝑥=−∫ 𝑑𝑢 𝑢 4 =¿¿ Sea Solución ¿ − 𝑢− 3 −3 +𝐶= 1 3 (𝑒 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 ) 3 + 𝐶 ∫ 𝑥 𝑒 3𝑥 (1−𝑥) 4 𝑑𝑥= 1 3(𝑒 𝑥 −𝑥 𝑒 𝑥 ) 3 +𝐶
- 30. Integración por sustitucióno cambio de variable Ejemplo 18: Calcule Solución ¿∫𝑒𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 .tan𝑥.𝑠𝑒𝑐2 𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑒 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑑𝑥 ¿∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 . 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 .𝑒 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢=2tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 ¿ 1 2 ∫𝑒 𝑢 𝑑𝑢= 1 2 𝑒 𝑢 +𝐶 ¿ 1 2 𝑒 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 +𝐶
- 31. Aplicaciones de laintegral indefinida Solución Ejemplo 19: Un ambientalista descubre que cierto tipo de árbol crece de tal forma que después de años su altura cambia a razón de . Si el árbol tenía 30 cm de altura cuando se plantó. ¿Cuánto medirá dentro de 27 años? h (27 )=0.1 5 9 (27) 9/ 5 + 2 3 (27) 3 / 2 +30 ≈ 150.9 𝑐𝑚 Después de 27 años la altura del árbol será Pero sabemos que , entonces , entonces ¿0.1∫𝑡4/5 𝑑𝑡+∫𝑡1/ 2 𝑑𝑡 h (𝑡 )=∫[0.1 𝑡 4 5 +√𝑡 ]𝑑𝑡
- 32. Aplicaciones de laintegral indefinida Ejemplo 20: Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. a) Encontrar la función posición que expresa la altura en una función del tiempo . b) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? Solución a) tiempo inicial, altura inicial velocidad inicial Utilizando 𝑠′ ′ (𝑡 )=− 32 Pero , entonces Como , luego b) La pelota llegará al suelo cuando , entonces Como , entonces
- 33. Aplicaciones de laintegral indefinida Ejemplo 21: La razón con la que cambia el riesgo de que un bebé en gestación adquiera síndrome de Down, es modelado por , , donde mide el porcentaje, por la edad promedio de una mujer gestante. a) Hallar la función que determina el porcentaje de riesgo, cuando la edad promedio de la mujer es años, sabiendo que a la edad promedio de 30 años hay un 0.14% de riesgo. b) ¿Cuál es el riesgo de que un bebé adquiera síndrome de Down, si la edad promedio de la madre es de 40 años, y cuándo es de 45 años? Solución a) ¿0.001547 𝑥3 −0.1506 𝑥2 +4.9𝑥+𝐶 Luego 𝑓 (𝑥)=0.001547 𝑥3 −0.1506 𝑥2 −4.9𝑥 −53.089 b) 𝑓 (45)=−437.583625
- 34.
- 35.
- 37. En este capítulonos dedicaremos a comprender las propiedades básicas de la integral y nos familiarizaremos con las diversas técnicas de integración. En este capítulo, se estudiará un importante proceso de cálculo que está estrechamente relacionado con la diferenciación- integración. El lector aprenderá nuevos métodos y reglas para resolver integrales definidas e indefinidas, incluido el teorema fundamental del cálculo https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-integration-new/ab-6-7/v/antiderivative s-and-indefinite-integrals https://www.youtube.com/watch?v=ezqfYe90b4Q https://www.youtube.com/watch?v=On9LaPHyvbE https://www.youtube.com/watch?v=bwUHfnv95BE
- 38. Ejemplo : Elfabricante de un automóvil indica en su publicidad que el vehículo tarda 13 segundos en acelerar desde 25 kilómetros por hora hasta 80 kilómetros por hora. Suponiendo aceleración constante, calcular a) La aceleración en . b) La distancia que recorre el automóvil durante 13 segundos. Solución 𝐿𝐴𝑅𝑆𝑂𝑁 𝑃𝐴𝐺258 4.19𝑛𝑎𝑒𝑑