UNEFM, Ingeniería Biomédica, Matemática II, Integral indefinida

1. La Integral Indefinida 1
Introducci´on:
Hasta ahora hemos estudiado y trabajado con uno de los pilares fundamentales del c´alculo
como lo es la Derivada. A partir de este momento incursionaremos en la Integral que es
considerado otro de los pilares; aunque generalmente se estudia por separados en los cursos
de matem´atica en la Universidad, existe una estrecha relaci´on entre ellos, podemos decir que
la Integral es la operaci´on inversa de la derivada y viceversa.
En este material vamos a empezar definiendo la funci´on primitiva o antiderivada, la
integral indefinida,propiedades de la integral indefinida e integrales inmediatas .
1. Funci´on Primitiva o Antiderivada: Dada una funci´on f(x), diremos que la funci´on
F(x) es una funci´on primitiva de f(x) en el intervalo [a, b], cuando se verifica que:
F (x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]
Ejemplo 1 Dada la funci´on f(x) = 2x determine una funci´on primitiva.
Sol. Diremos que una funci´on primitiva es F1(x) = x2
, puesto que cumple con la
definici´on de funci´on primitiva; es decir, si derivamos F(x) obtenemos a f(x). Observe
que:
F1(x) = (x2
) = 2x = f(x) ⇒ F1(x) = f(x)
Sin embargo; otra funci´on primitiva es F2(x) = x2
+ 2, F3(x) = x2
− 4 tambi´en lo
es .... porque al derivar F1(x), F2(x) y F3(x) se obtiene f(x). Por lo tanto, una sola
funci´on tiene muchas primitivas o antiderivadas, mientras que una funci´on tiene s´olo
una derivada. Entonces se puede decir que
Si F(x) es una primitiva de f(x) y C es una constante,
entonces F(x) + C tambi´en es una primitiva de f(x).
2. Integral Indefinida: La integral indefinida de una funci´on f(x) es el conjunto de todas
las primitivas de la funci´on, el cual lo podemos representar como:
f(x)dx = F(x) + C, siys´olosiF (x) = f(x)
El s´ımbolo se escribe como una S mayuscula alargada. De hecho, es una S medieval,
usada por Leibniz como una abreviatura a la palabra en latin summa (”suma”).
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2. La Integral Indefinida 2
La interpretaci´on geom´etrica de la integral indefinida de una funci´on se puede
representar como un conjunto de gr´aficas paralelas, siendo la constante C la distancia
vertical entre ellas.
Por ejemplo si graficaramos algunas de las funciones primitivas o antiderivadas del
ejemplo 1, f(x) = 2x resulta:
x
y
C = 1
C = 3
C = 2
C = −1
C = −3
C = −2
C = 0
Gr´afica de y = x2
+ C para distintos valores de C
Sin embargo, hay situaciones que se requiere determinar un miembro de la familia de
funciones primitivas de una funci´on, en este caso estariamos hablando en el problema
de unas condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos dan la funci´on f(x) = 2x y nos piden
determinar la funci´on primitiva que pasa por el punto (1, 2).
Sabemos que la familia de primitivas o la integral indefinida de la funci´on f(x) = 2x
es F(x) = x2
+ C, entonces en este caso necesitamos determinar un s´olo miembro de la
familia de primitivas, la cual pase por el punto (1, 2).
Haciendo y = F(x) resulta y = x2
+ C, sustituyendo el punto dado en esta ecuaci´on se
obtiene el valor de la constante C.
2 = 12
+C ⇒ 2−1 = C ⇒ C = 1, entonces la funci´on primitiva de la funci´on f(x) = 2x
que pasa por el punto (1, 2) es y = x2
+ 1 y su gr´afica es:
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3. La Integral Indefinida 3
x
y
y = x2
+ 1
1
2
Gr´afica de y = x2
+ 1 que pasa por P(1, 2)
3. Propiedades de la Integral Indefinida:
a) f (x)dx = f(x) + C
b) Kf(x)dx = K f(x)dx, ∀K ∈ R
c) (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx
4. Integrales Inmediatas:
La tabla de integrales inmediatas es una consecuencia directa de la tabla de derivadas
que ya conocemos puesto que estamos haciendo el proceso inverso.
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4. La Integral Indefinida 4
Funciones Simples Funciones Compuestas con u = f(x)
0dx = C
dx = x + C
xn
dx =
xn
+ 1
n + 1
+ C, ∀n = −1
un
du =
un
+ 1
n + 1
+ C, ∀n = −1
dx
x
= Ln|x| + C
du
u
= Ln|u| + C
ex
dx = ex
+ C eu
du = eu
+ C
ax
dx =
ax
lna
+ C au
du =
au
lna
+ C
senxdx = −cosx + C senudu = −cosu + C
cosxdx = senx + C cosudu = senu + C
sec2
xdx = tgx + C sec2
udu = tgu + C
cosec2
xdx = −cotgx + C
cosec2
udu = −cotgu + C
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5. La Integral Indefinida 5
Funciones Simples Funciones Compuestas con u = f(x)
dx
√
1 − x2
= arcsenx + C
du
√
1 − u2
= arcsenu + C
−dx
√
1 − x2
= arccosx + C
−du
√
1 − u2
= arccosu + C
dx
1 + x2
= arctgx + C
du
1 + u2
= arctgu + C
dx
x
√
x2 − 1
= arcsecx + C
du
u
√
u2 − 1
= arcsecu + C
secxtgxdx = secx + C
secutgudu = secu + C
cscxctgxdx = −cscx + C
cscuctgudu = −cscu + C
5. Ejercicios Resueltos:
Parte 1: En este apartado con una simple impecci´on ocular podemos dar la respuesta
a cada uno de los ejercicios.
a) Determinar las primitivas de la funci´on f(x) = x2
+ x
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6. La Integral Indefinida 6
Soluci´on: F(x) =
x3
3
+
x2
2
+ C
b) Sea F(x) = x−cosx+C el conjunto de funciones primitivas, determine la funci´on
a la cual pertenece.
Soluci´on: f(x) = 1 + senx
Parte 2: En este apartado con una simple impecci´on ocular y haciendo uso de recursos
algebraicos podemos dar la respuesta a cada uno de los ejercicios.
a) Determine una primitiva de la funci´on f(x) = 4x3
+ 2x − 1 cuya gr´afica pasa por
el punto P(1, 3)
Soluci´on: F(x) = x4
+ x2
− x + C, ahora bien sustituyendo el punto P(1, 3) se
obtiene el valor de C. 3 = 14
+ 12
− 1 + C ⇒ C = 2 ⇒ F(x) = x4
+ x2
− x + 2
b) Determine una primitiva de la funic´on f(x) = x2
− 2x, sabiendo que esa primitiva
se anula para x = −1
Soluci´on: F(x) =
x3
3
− x2
+ C, luego haciendo F(x) = 0 y sustituyendo x = −1
se obtiene el valor de la constante C.
0 =
(−1)3
3
− (−1)2
+ C ⇒ 0 =
−1
3
− 1 + C ⇒ C =
−4
3
, por lo tanto,
F(x) =
x3
3
− x2
−
4
3
Parte 3: En esta parte, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de
las f´ormulas se pueden encontrar la integral de cada funci´on.
a) Calcula la siguiente integral
x(x2
− 2)dx
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7. La Integral Indefinida 7
Soluci´on: primeramente aplicamos la propiedad distributiva a(b − c) = ab − ac
(x3
− 2x)dx
luego aplicamos la propiedad ”c” de la integral indefinida
x3
dx − 2xdx
Ahora esta integral es inmediata esta en la tabla
x3
dx − 2xdx =
x4
4
− x2
+ C
b) Calcula la siguiente integral
x2
+ x − 1
x
dx
Soluci´on: Aplicamos la suma de fracciones con igual denominador
(a + b)
c
=
a
c
+
b
c
x2
x
+
x
x
−
1
x
dx
Simplificando y aplicando la propiedad ”c” de la integral indefinida resulta:
xdx + dx −
dx
x
estas integrales estan directas se pueden ubicar en tabla
xdx + dx −
dx
x
=
x2
2
+ x − Ln|x| + C
c) Calcula la siguiente integral
1 − cos2
x + ex
senx
senx
dx
Soluci´on: aplicamos la identidad trigonom´etrica 1 − cos2
x = sen2
x
sen2
x + ex
senx
senx
dx
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8. La Integral Indefinida 8
Se extrae el factor com´un senx en el numerador
senx(senx + ex
)
senx
dx
Se simplifica y se aplica la propiedad ”c” de la integral indefinida
(senx + ex
)dx = senxdx + ex
dx
Estas integrales estan directas se pueden ubicar en tabla
senxdx + ex
dx = −cosx + ex
+ C
6. Ejercicios Propuestos:
Parte 1:Determine la funci´on primitiva o antiderivada de las siguientes funciones.
a) f(x) = 2x3
+ x1
/2
b) f(x) = senx − cosx + sec2
x
c) f(x) =
2
1 − x2
d) f(x) = 2/x − ex
e) f(x) = cosec2
x +
1
√
1 − x2
Parte 2:Dado el conjunto de funciones primitivas o antiderivadas determine la funci´on
que corresponde a cada una de ellas.
a) F(x) = lnx + senx + C
b) F(x) = tgx + arcsenx + C
c) F(x) = x3
+ 2lnx + ex
+ C
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9. La Integral Indefinida 9
Parte 3:
a) Dada la funci´on f(x) = x2
+
1
x
determine la antiderivada sabiendo que su gr´afica
pasa por el punto P(1, 3)
b) Dada la funci´on f(x) = 4x3
− senx determine la primitiva sabiendo que esa
primitiva es tres veces la constante para x = 0
Antes de proponerte ejercicios de integrales inmediatas te ofrecemos una serie
de recursos que puedes utilizar para resolverlos.
Algunas Identidades Algebraicas
am
an
= am+n am
an
= am−n
, a = 0 (am
)n
= amn
a
b
n
=
an
bn
, b = 0 (ab)n
= an
bn
am/n
= n
√
am
a−n
= m
1
an
, a = 0 a0
= 1
Algunas Identidades Trigonom´etricas
senθ =
1
cosecθ
cosθ =
1
secθ
tgθ =
senθ
cosθ
tgθ =
1
cotgθ
sen2
+ cos2
θ = 1 1 + tg2
θ = sec2
θ
1 + cotg2
θ = cosec2
θ sen2θ = 2senθcosθ cos2θ = cos2
θ − sen2
θ
sen2
θ =
1 − cos2θ
2
cos2
θ =
1 + cos2θ
2
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10. La Integral Indefinida 10
Parte 4: Determine las siguientes integrales
01) x2
− 2 x2
+ 3 dx 02)
√
x −
1
√
x
dx
03) 2x2 3
√
x4 dx 04)
x2
2
+
1
x4
dx
05)
x4
− 2x
√
x + 3
x
dx 06)
x3
− 4x2
+ 10
x
dx
07) ex+4
dx 08) x2
+ 1
2
dx
09) x (x − 2) (x − 2) dx 10) elnx5
dx
11)
dx
x2 + 5
dx 12)
dx
4 − x2
dx
13
dx
x2 + 5
dx 14) e8x 0
− 4 dx
15) tg2
x dx 16) sen2 x
2
dx
17) lne
√
x3
dx 18)
1 + tg2
x
sec2x
− 1 dx
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