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- 1. MATERIA CALCULO INTEGRAL TUTORIA 1 Lic. César Hernández, Mgs
- 3. Unidad 1 – La Integral indefinida 1.1 Conceptos básicos 1.1.1 Definición 1.1.2 Notación de la Integral 1.1.3 Constante de integración 1.2 Propiedades y técnicas principales 1.2.1 Fórmulas principales 1.2.2 Técnicas de integración 1.2.3 Integración con condiciones iniciales
- 4. 1.1 Conceptos básicos La integrales constituyen el estudio del cálculo integral Dentro de los conceptos básicos estudiaremos: 1. Definición de integral 2. Notación de la integral 3. Constante de integración 4. Fórmulas básicas 5. Técnicas de integración 6. Coondiciones iniciales
- 5. INTEGRAL INDEFINIDA Analizar y entender la notación de la integral indefinida y cada uno de sus elementos Analizar y utilizar técnicas para integrar Estudiar y comprender la definición de la integral indefinida. Objetivos Estudiar y practicar las fórmulas básicas de integración
- 7. Definición de Integral Indefinida Una anti-derivada de una función f es una función F tal que F ’(x) = f(x) El proceso para determinar una función a partir de su derivada es opuesto a la derivación por se denomina antiderivación F(x) f(x) DERIVACIÓN ANTIDERIVACIÓN
- 8. Definición de Integral Indefinida Si f(x) = x2 f´(x) = 2x Decimos que x2 es una antiderivada de 2x f(x) = x2 +1 f´(x) = 2x f(x) = x2 +2 f´(x) = 2x f(x) = x2 +5 f´(x) = 2x f(x) = x2 -1 f´(x) = 2x f(x) = x2 - 5 f´(x) = 2x f(x) = x2 - 10 f´(x) = 2x ……………… f´(x) = 2x f(x) = x2 + C f´(x) = 2x
- 9. Notación de Integral Indefinida 𝐹 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑓 𝑥 + C símbolo de integración integrando constante de integración. Diferencial
- 10. Constante de integración 𝐹 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝐶 constante de integración. La constante de integración representa que muchas funciones o una familia de funciones tienen la misma antiderivada.
- 11. Constante de integración Si F(x) = X2 + C ; donde C es cualquier número Para todas estas funciones F(x) = X2 + C, su derivada en 2X, 2𝑥 ⅆ𝑥 = X2+ C La antiderivada de 2x es igual a X2 + C, lo cual, se denota por: Donde C recibe el nombre de constante de integración
- 12. Preguntas Al conjunto o familia de antiderivadas de una función se le llama: a) Integral impropia b) Integral infinita c) Integral propia d) Integral indefinida El significado matemático fx dx Fx C, es: a) La antiderivada más general de f(x) b) La antiderivada de la función F(x) c) La derivada de f(x) d) F(x) es la derivada de f(x)
- 13. Preguntas El símbolo significa: a) integrando b) símbolo de diferencial c) símbolo de integración d) variable de integración La función 𝒙𝟑 + c describe todas las antiderivadas de la función a) f(x) = 𝑥2 b) f(x) = 2𝑥2 c) f(x) = 3𝑥2 d) f(x) = −2𝑥2
- 14. Propiedades de la integral indefinida Propiedades de la derivada I (kf )' (x) = k f '(x) con k R La derivada de una constante por una función es el producto de la constante por la derivada de la función. II (f g) ' (x) = f ' (x) g ' (x) La derivada de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las deri- vadas de cada una de ellas. Propiedades de la integral indefinida I k f(x) dx = k f(x) dx con k R Las constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida. II [ f(x) g(x)] dx = f(x) dx g(x) dx La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las inte- grales indefinidas.
- 15. Fórmulas básicas de integración Integrales inmediatas: una tabla de derivadas leída al revés proporciona primitivas e integrales indefinidas. 1.- xa dx = xa+1 a+1 + C, si a -1, a R 2.- 1 x dx = ln x + C 3.- ex dx = ex + C 4.- ∫ax = ln x a a + C, si a>0, a 1 5.- sen x dx = – cos x + C 6.- cos x dx = sen x + C 7.- 2 1 1 dx arcsen x C x 8.- 2 1 arctg 1 dx x C x
- 16. Ejemplos de uso de fórmulas 1. 𝟔 𝐝𝒙 2. x4 dx 3. 20 x3 dx 4. (x5 + 5x) dx = 20 . 𝑥4 𝟒 + 𝑪 = 5𝑥4 + 𝑪 5. 20 ex dx = 6 x + C = 𝑥4+1 𝟒+𝟏 + 𝑪 = 𝑥5 𝟓 + 𝑪 20 x3 dx x5 dx + 5x dx ( 𝑥6 6 + 𝐶 ) + 5 x dx ( 𝑥6 6 + 𝐶) + ( 5 𝑥2 2 + 𝐶 ) ( 𝑥6 6 + 𝐶 ) + ( 5 2 𝑥2 𝐶 ) 𝒙𝟔 𝟔 + 𝟓 𝟐 𝒙𝟐 𝑪 20 ex dx = 20 ex + C
- 17. Técnicas de Integración Integral no conocida (sin formato de fórmulas básicas) Uso de Operaciones algebraicas Integral conocida (formato de fórmulas básicas) (a + b) (c +d) = ac + ad+ bc + db 𝑎 + 𝑏 𝑐 = 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
- 18. El proceso de integración es similar al de derivación: Proceso de Integración Integral Original Reescribi r Integrar Simplificar
- 19. Ejemplos 𝟒𝒙𝟑 (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙) 𝒅𝒙 = (8𝑥5 +12𝑥4 ) 𝑑𝑥 = 8𝑥5 𝑑𝑥 + 12𝑥4 𝑑𝑥 =8 𝑥6 6 + 12 𝑥5 5 + 𝐶 = 𝟒 𝟑 𝒙𝟔 + 𝟏𝟐 𝟓 𝒙𝟓 + 𝑪 𝟑𝒙𝟒 + 𝟒𝒙 𝒙𝟑 𝒅𝒙 = ( 3𝑥4 𝑥3 + 4𝑥 𝑥3 ) 𝑑𝑥 = 3𝑥 𝑑𝑥 + 4 𝑥2 𝑑𝑥 = 3 𝑥2 2 + 4 𝑥−2+1 −2+1 + 𝐶 = 3 2 𝑥2 + 4 −1 𝑥−1 + 𝐶 = 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒙 + 𝑪
- 20. Integración con condiciones iniciales Ejemplo: Si f(x) es una función tal que f´(x) = 3𝑥2. Hallar la función f(x) si se conoce que f(2) = 3 1.- Integramos Si se conoce el valor de f(x) para un valor particular de x, podemos determinar el valor de C. si f(2) = 3; f(2) = (𝟐)𝟑+𝑪 3 = (𝟐)𝟑 +𝑪 3 = 8 + 𝑪 𝑪 = - 5 f(x) = 𝒙𝟑 − 𝟓 f(x) = 3𝑥2 𝑑𝑥 , f(x) = 3 𝑥3 3 + 𝐶 f(x) = 𝒙𝟑 + 𝑪 2.- Hallamos el valor de C 3.- Reemplazamos el valor de C en f (x)
- 21. Integración con condiciones iniciales Ejemplo: Si f(x) es una función tal que f´(x) = 4𝑥3 + 𝑥 + 2. Hallar la función f(x) si se conoce que f(1) = 2
- 22. EJERCICIO • En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de $4000. Los costos fijos son costos como la renta y el seguro, que permanecen constantes a todos los niveles de producción en un periodo dado. Si la función de costo marginal dc/d q es
- 23. Ejercicio Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es donde q es el número de unidades producidas. Si el costo marginal es de $27.50 cuando q=50 y los costos fijos son de $5000, ¿cuál es el costo promedio de producir 100 unidades?
- 24. Ejercicios
- 25. Ejercicios Dieta para ratas Un grupo de biólogos estudió los efectos alimenticios en ratas a las que se alimentó con una dieta en la que 10% era proteína.1 La proteína consistió en levadura y harina de maíz. El grupo encontró que en cierto periodo, la razón de cambio aproximada del aumento promedio de peso G (en gramos) de una rata, con respecto al porcentaje P de levadura en la mezcla proteínica fue Si G=38 cuando P=10, encuentre G.
- 26. Ejercicios Polilla de invierno En Nueva Escocia2 se llevó a cabo un estudio acerca de la polilla de invierno. Las larvas de la polilla caen al suelo de los árboles huéspedes. Se encontró que la razón (aproximada) con que la densidad y (número de larvas por pie cuadrado de suelo) cambia con respecto a la distancia x (en pies), desde la base de un árbol huésped es Si y=57.3 cuando x=1, encuentre y.