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1. 1
CONCRETO PRESFORZADO
1-1 Introducción.-
Definición de preesfuerzo: Se entiende por presforzar a la creación de un estado de
esfuerzos en una estructura o parte de ella con el fin de producir cambios que
mejoren su comportamiento ante la acción de ciertas cargas.
Como ejemplo del uso de tal principio puede citarse el caso de los barriles de madera
usados para almacenar líquidos, los cuales están formados por una serie de duelas
de madera que se mantienen unidas mediante el uso de zunchos de metal. Al apretar
los zunchos se crea en ellos un esfuerzo de tracción que a su vez produce sobre las
duelas una compresión que las mantiene en posición. Si posteriormente el barril se
llena de liquido, la tracción que la presión interna que este produce y que las tendería
a separar es contrarrestada por la compresión inicial. (fig. 1.1)
Fig. 1.1
Uso del presfuerzo
Otro ejemplo de preesfuerzo es el caso de la hoja de una segueta, esta es
presforzada en tracción mediante un tornillo colocado en uno de sus extremos,
durante la operación de la segueta su hoja es halada o empujada sobre la pieza a
cortar sometiendo una parte de esta a tracción y otra a compresión, la parte sometida
a compresión se pandearía fácilmente debido a la poca inercia de la pieza evitándose
este efecto gracias a la tracción que había sido introducida previamente. (fig. 1.2)
Fig. 1.2
Fig. 1.2
Fig 1.2
Ejemplo de presfuerzo
Barril de madera
madera
metálico
Diagramas de cuerpo libre
Presfuerzo de tracción
Zuncho Duela
Presfuerzo de compresión
Presión interna
Duelas de
Zuncho
Hoja preesforzada

2. 2
1- 2 Principios del Concreto Presforzado.-
La aplicación de la idea del preesfuerzo al concreto es una consecuencia
natural del tipo de comportamiento de dicho material. Como es conocido el concreto
puede tener una elevada resistencia a la compresión mientras que a la tracción es
considerablemente baja. Si se presfuerza el concreto de tal manera que, en la zona
donde las cargas aplicadas harán aparecer tracciones, para las cuales el material
ofrece poca resistencia, existan previamente compresiones que las contrarresten, es
fácil deducir que su comportamiento mejorará notablemente. Se puede observar que
en una viga de concreto simplemente apoyada se produce un estado de esfuerzos
como el que se muestra en la fig. 1.3 (a) pudiendo señalarse que en la fibra superior
de la sección el momento producido por las cargas origina esfuerzos de compresión
mientras que en la fibra inferior origina esfuerzos de tracción. Si se aplicara una
compresión axial ésta produciría un estado de esfuerzos como el que se muestra en
la fig. 1.3(b). Al superponer ambos estados se aprecia que en el resultado se pudiera
eliminar la presencia de tracciones si la compresión introducida es suficiente para
lograrlo como se puede ver en la fig. 1.3 (c).
cargas
fuerza de presfuerzo
esfuerzos por carga esfuerzos por
presforzado axial
compresión compresión
(toda la sección en
compresión)
+ =
tracción compresión compresión
(a) (b) (c)
Fig. 1.3
Esfuerzos en una viga presforzada
1-3 Reseña histórica del Concreto Pretensado.-
Aunque la idea del uso del preesfuerzo es bastante antigua el primer intento de usar
el concreto presforzado de que se tenga noticia ocurrió en 1886 cuando P. H.
Jackson, un ingeniero de California obtuvo una patente para unir mediante varillas de
acero bloques de piedra artificial en arcos, losas y techos. En 1888 C. E. W. Doehring
en Alemania propuso una solución pretensada para losas usando alambres.

3. 3
Estas primeras experiencias fracasaron, principalmente debido a la combinación de
dos causas: el efecto de dos fenómenos relacionados con la reología del concreto
como son la retracción y la fluencia, para el momento poco conocidos y que tienden
a disminuir el volumen de las piezas de este material como consecuencia de la
pérdida de humedad en el primero y de la aplicación de una carga permanente en el
segundo, y a la carencia, para el momento, de aceros de alta resistencia.
Al tensar un acero de baja resistencia a un esfuerzo nominal de 1400 kg/cm2
sufrirá
una deformación unitaria de alargamiento de:
 = /E = 1400/2100000 = 0.00067
Los fenómenos antes mencionados, la retracción y la fluencia, pueden producir
acortamientos de mas o menos igual magnitud al alargamiento anterior por lo que la
fuerza de pretensión aplicada inicialmente desaparecería. Los gráficos siguientes
muestran el caso
Longitud inicial = L
Se tensa el cable,
Fuerza de pretensión
Alargamiento del acero
 = 0.00067*L
Se acorta el concreto por retracción y fluencia; se pierde el pretensado
Acortamiento del concreto
 = 0.0006*L
Fig. 1.4
Pérdida del presfuerzo
Esfuerzo remanente en el acero:

4. 4
 = (0.00067-0.0006)*2100000= 147 kg/cm2
que es un esfuerzo demasiado pequeño para obtener los efectos deseados.
Varios investigadores sugirieron la idea de retensar el acero después de un tiempo
para reponer la fuerza de pretensión sin embargo estas soluciones no fueron muy
exitosas.
Quien logra, en 1939, un análisis suficientemente claro del fenómeno narrado fue el
ingeniero francés Eugene Freyssinet, conocido como el padre del pretensado. Este
conocimiento aunado a la posibilidad de usar aceros de alta resistencia le permitió
crear soluciones aplicables que han venido mejorado hasta el día de hoy.
Si se usa un acero de alta resistencia cuyo esfuerzo fuese de unos 10500 kg/cm2
su
deformación unitaria sería
 = /E = 10500/2100000 = 0.005
Si a esta deformación se resta el encogimiento del concreto de aproximadamente
0.0006 queda en el acero una deformación de
=0.005-0.00060=0.0044
lo que mantiene en el acero un esfuerzo de
=*E= 0.0044*2100000=9240 kg/cm2
lo que significa que hubo unas pérdidas de 12% cantidad que permite mantener una
fuerza por pretensión, útil.
En consecuencia se puede establecer que es imprescindible el uso de aceros de
alta resistencia en el concreto presforzado.
Otros nombres importantes en el desarrollo del pretensado son los de E. Hoyer quien
crea un sistema que consistía en tensar alambres entre dos bloques para luego vaciar
el concreto que al endurecer podía soportar las fuerzas de pretensión. Así también es
de mencionar a Gustav Magnel, ingeniero belga, quien además de mejorar el marco
teórico de la técnica crea un sistema en el que los alambres se anclan mediante
cuñas metálicas sencillas.
A partir de los años 40 el concreto pretensado inició un vertiginoso incremento en su
uso mejorando cada vez más las soluciones producidas con este material.
En nuestro país se han producido diferentes obras en concreto pretensado entre las
que se pueden citar: los viaductos de la autopista Caracas - La Guaira, el techo de las
tribunas del Hipódromo La Rinconada, los puentes sobre el lago de Maracaibo y sobre
los ríos Orinoco y Caroní y recientemente en diferentes carreteras y autopistas como
la Mérida Panamericana y otras.

5. 5
1-4 Los materiales para el Concreto Pretensado.-
Debido a que el conocimiento del comportamiento de los materiales usados en el
concreto pretensado es de fundamental importancia se presentan a continuación
algunas de las principales características de los mismos.
1-4-1 Concreto
El concreto que se ha de usar en elementos presfozados debe ser de calidad superior
al que se utiliza comúnmente en el concreto armado. La razón principal es la mayor
sensibilidad de dichos elementos a la respuesta de este material ante las cargas y a
cambios en las condiciones de operación a través del tiempo. Así por ejemplo, los
fenómenos de fluencia y retracción, que como se ha mencionado hicieron fracasar los
primeros ensayos de uso del concreto presforzado, se manifiestan en proporciones
menores en los concretos de mayor resistencia. Por otra parte el uso de concretos de
alta resistencia permite al uso de secciones de menor tamaño lo que incide
favorablemente al reducir el peso propio de las estructuras y en consecuencia su
costo.
Entre las características que se exigen al concreto que ha de usarse en piezas
presforzadas, están en primer lugar la calidad de los materiales que intervienen en su
elaboración. Podemos señalar:
a- CEMENTO
El cemento a usar es preferible que desarrolle poco calor de hidratación pues al
producirse el enfriamiento de las piezas, sobre todo las que tienen espesores
considerables, se pueden producir en su superficie que se enfría más rápidamente,
esfuerzos de tracción que producirían grietas en el concreto aun no endurecido.
Además es conveniente el uso de cementos que no hayan sufrido ningún proceso de
hidratación parcial, de granos de tamaño adecuado y que conduzcan a la obtención
de morteros de la mayor resistencia posible. La cantidad de cemento a utilizar debe
ser la menor que se necesite para alcanzar la resistencia deseada pues la retracción
del concreto aumenta con su contenido. El uso de cementos con alto contenido de
alúmina debe evitarse pues la presencia de sulfuros en ellos puede tener efectos
perjudiciales sobre el acero de pretensar.
b- AGREGADOS
En cuanto a los agregados, arena y piedra, es necesario que sean de buena calidad
en cuanto a su resistencia siendo también de primordial importancia su granulometría.
Con una selección adecuada de esta es posible obtener concretos de alta resistencia
con contenidos de cemento tan bajos como de 250 a 350 Kg por metro cúbico de
mezcla.
La granulometría más adecuada de acuerdo con las recomendaciones de la AMB de
los Ferrocarriles Federales Alemanes es aquella que quede dentro de los límites que
se muestran en la figura Fig. 1.5 siendo preferible ubicarse cerca de la línea inferior
marcada con G. Estas recomendaciones indican que el peso de los granos de tamaño
entre 0 y 7mm debe representar entre un 35 y un 45% del peso total de áridos.
Como los fenómenos de retracción y fluencia así como el calor de hidratación son
directamente proporcionales a la cantidad de mortero presente en la mezcla es

6. 6
preferible usar la menor cuantía de este que sea compatible con la obtención de un
concreto suficientemente compacto. Con esta idea se puede proponer el uso de una
granulometría discontinua en la que se eliminen determinados tamaños como se
muestra en la fig. 1-6 con la que se logran obtener resistencias de hasta 600 kg/cm2.
La granulometría de la arena comprendida entre 0 y 7 mm. debe escogerse
cuidadosamente de manera que quede dentro de los límites recomendados; la
presencia excesiva de granos de tamaño menor que 0,2 mm. influye negativamente
en la resistencia así como en la retracción y la fluencia por lo que su contenido debe
estar limitado a valores entre un 4.5 y un 9% del árido total como máximo siendo
recomendable limitarlo al 6%. Como la cantidad de mortero también es función del
tamaño máximo del agregado grueso es posible disminuir su cantidad usando el
máximo tamaño de este que sea posible basándose en las características
geométricas de la pieza a construir así como de la facilidad de colocación de la
mezcla por la densidad de acero presente. Un tamaño máximo de 30 mm (ó 1 y ¼
pulgadas) puede considerarse normal. La dosificación tanto de los áridos como del
cemento debe ser hecha en peso y no en volumen con el fin de mantener un control
preciso de las cantidades utilizadas.
Fig. 1.5 Fig. 1.6
Granulometría recomendada. Granulometría discontinua.
C- AGUA Y ADITIVOS.
El agua que se use debe ser limpia cuidando especialmente que no contenga materia
orgánica o cloruros. Como la resistencia del concreto depende de la cantidad de agua
presente, incluyendo la que pueden retener los agregados y expresada como la
relación agua/cemento en peso, es conveniente que ella sea la menor posible que
permita la colocación del concreto en los moldes. Se puede indicar un límite superior
de dicha relación en 0.45 siendo usuales los valores comprendidos entre 0.38 y 0.42.
Si la mezcla resultante fuese poco trabajable es aconsejable agregar algún aditivo
plastificante con el fin de evitar la posible presencia de vacíos (cangrejeras) en el
G

7. 7
elemento. En todo caso la colocación del concreto debe hacerse con la ayuda de
vibradores cuya selección dependerá de las condiciones particulares de cada trabajo.
También es de primordial importancia prestar atención al curado de la pieza, pues una
pérdida acelerada de humedad redunda en una fuerte retracción y en un aumento
de la fluencia. Es aconsejable, por lo tanto, usar métodos que tiendan a evitar la
evaporación temprana del agua retenida en el concreto, estos pueden variar desde
cubrir la pieza con algún tipo de tejido, arena u otro material que mantenga la
humedad, en algunos casos es posible el uso de curado con vapor de agua a
temperaturas de aproximadamente 90 C en cuyo caso no solo se cumple con el
propósito de evitar la evaporación sino que se acelera el fraguado obteniéndose en
pocas horas altas resistencias lo que permitiría aplicar las fuerzas necesarias
rápidamente y utilizar los moldes en un nuevo vaciado.
d - DIAGRAMA ESFUERZO DEFORMACION (- )
El ensayo típico para determinar la resistencia del concreto consiste en someter a
compresión uniaxial a un cilindro de concreto con una relación altura/diámetro de 2.
Los valores usuales de estas dimensiones son 30 y 15 cm. respectivamente aunque
pueden usarse otras medidas o utilizarse cubos en cuyo caso se hace necesario
aplicar algunos factores de conversión que permitan equiparar los resultados
obtenidos con diferentes formas.
Fig. 1.7
Diagrama esfuerzo – deformación del concreto
En la fig. 1.7 se presenta el resultado de ensayos del tipo mencionado anteriormente,
puede observarse que la curva es aproximadamente lineal hasta valores de esfuerzo
del orden del 50% de la resistencia a compresión, a partir de allí se hace más notoria
la curvatura hasta alcanzar el máximo comenzando luego un descenso en el valor del
esfuerzo hasta producirse la rotura del espécimen. Los concretos de baja resistencia
muestran curvas con su tope relativamente plano mientras que los de alta resistencia
Deformación
Esfuerzos
en
el
concreto
ksi
(
N/mm
2
)

8. 8
Lineal
f c = f"c [2c/ 0- (c/ 0)2 ]
f"c
0.15 f"c
Esfuerzo,
f
c
 E c = tan 
0=2 f"c / E c
0.0038
Deformación, c
tienen picos más agudos. El valor de la deformación unitaria correspondiente al
esfuerzo máximo es de aproximadamente 0.002 mientras que a la rotura esta
deformación varía con la resistencia pudiendo ser del orden de .0038 en promedio
Fig. 1.8
Diagrama de esfuerzo deformación. Modelo de Hognestad
Uno de los modelos más aceptados para representar este diagrama es el de E.
Hognestad que se muestra en la fig. 1.8 en él se describe la rama ascendente como
una parábola representándose la rama descendente como una recta.
Es de importancia el conocimiento del valor del módulo de elasticidad, este depende
de la resistencia del material y puede ser evaluado con diferentes criterios. El módulo
de elasticidad medido al inicio del diagrama se le denomina módulo tangente mientras
que a la pendiente de una línea que una el origen con algún punto del diagrama se le
denomina módulo secante, el ACI recomienda para fines de diseño el uso del 45% del
esfuerzo máximo para definirlo. Si se efectúa una descarga a partir de la zona no
lineal del gráfico es posible observar que la deformación total está compuesta de una
parte elástica y otra plástica permanente. La resistencia a tracción puede estimarse
del orden de un 8% de la que se obtiene a compresión (fig. 1.9)
Para la evaluación del módulo de elasticidad se han propuesto varias expresiones
entre la que se puede mencionar las de:
JENSEN Ec = 6*106
/(1 + 2000/ f ’c) con f ’c en kg/cm2
(1.1)
ACI Ec = 4270 w1.5
f ’c (1.2)
con w = peso específico para concretos entre 1.4 y 2.5 ton/m3
y
f´c en kg/cm2
Ec = 15000f ’c para concretos de peso normal (1.3)
COVENIN

9. 9
Ec = 0.14 w1.5
f ’c para w entre 1440 y 2420
kg/m3
y f´c en kg/cm2
(1.4)
Ec = 15100f ’c para concretos de peso normal (1.5)
Diagrama esfuerzo deformación
Fig. 1.9
Fig. 1.9
e – RETRACCIÓN
La cantidad de agua que se agrega a la mezcla es en general mayor que la necesaria
para que el cemento reaccione, este exceso permite que el concreto fresco tenga la
trabajabilidad requerida para poderlo colocar en los moldes. Al producirse el fraguado
el agua sobrante atrapada en vasos capilares tiende a evaporarse produciendo
compresiones en las paredes de los mismos que, por estar distribuidos
aleatoriamente, producen una disminución del volumen del concreto (fig. 1.9). A este
acortamiento se le conoce como retracción y tiene una influencia importante en la
aplicación del concreto presforzado. En el concreto armado esta tendencia al
acortamiento es contrarrestada por el acero que se opone a la misma asumiendo
ciertas compresiones producto de su interacción con el concreto mientras que en este
aparecen tracciones que pudieran agrietarlo.
En el concreto presforzado la retracción, sin la oposición que encuentra en la
armadura del caso anterior, causa un destensado del acero que ha sido estirado
para producir el estado de esfuerzos que se desea, con lo que su efecto disminuye
pudiendo llegar a inutilizarse como ocurrió en los primeros intentos. Si bien impedir la
retracción es prácticamente imposible su efecto se puede minimizar si se evita la
evaporación del agua sobrante el mayor tiempo posible con un curado cuidadoso de
manera que el concreto endurezca y sea capaz de soportar las compresiones a las
que se ha hecho referencia anteriormente con poca deformación.
A través de numerosos experimentos se ha logrado determinar que la retracción
depende de varios factores tales como:
total
permanente
elástica
@0.002
módulo secante
módulo tangente
esfuerzo
uniaxial
compresión
acortamiento
deformación
ftr = f ’c /12
tr = f ’c /106

10. 10
1. Tipo de cemento.
2. Propiedades físicas de los agregados.
3. Tamaño máximo del agregado.
4. Relación agua / cemento.
5. Cantidad de mortero presente en la mezcla.
6. Método y duración del curado.
7. Humedad, temperatura y renovación del aire en el ambiente.
8. Relación volumen / superficie de la pieza.
Brevemente se mencionan a continuación los resultados obtenidos en relación con
cada uno de estos factores
1. Tipo de Cemento. En términos generales un concreto elaborado con cemento de
alta resistencia inicial (tipo III) suele presentar una retracción del orden de un 10 %
mayor que el elaborado con cemento normal (tipo I), sin embargo el valor de la
retracción puede variar apreciablemente por algún cambio en la composición
química del cemento por lo que es recomendable efectuar pruebas que permitan
determinar su influencia.
2. Propiedades físicas de los agregados. Debido a que los agregados conforman la
base sobre la que la pasta ejerce su función cementante y en consecuencia
resistirán las contracciones es evidente que su resistencia y rigidez tendrán
influencia en el valor de la retracción. Así por ejemplo concretos elaborados con
agregados de caliza presentan menor retracción que los elaborados con granitos y
estos a su vez menor que los de arenisca, deduciéndose que es mejor el uso de
agregados densos y duros que de porosos y suaves.
3. Tamaño máximo del agregado. Al aumentar el tamaño máximo del agregado se
logra una disminución de la retracción por dos razones, la primera por que
partículas mayores ofrecen más oposición a la contracción del mortero y la
segunda por que al aumentar el tamaño máximo del agregado se disminuyen tanto
la cantidad de pasta como la de agua necesarias para obtener la misma
consistencia, Si se aumenta el tamaño máximo de ¾ a 1 y ½ pulgadas se puede
alcanzar una disminución de la retracción de hasta un 40 %.
4. Relación agua / cemento (a/c). Este factor es el más importante en la retracción
del concreto. La cantidad de agua necesaria para que el cemento reaccione es del
orden de un 13% en peso por lo que el agua agregada en exceso queda atrapada
en capilares favoreciendo el aumento de la retracción. Por esta razón es necesario
mantener la relación a/c en el mínimo valor compatible con la trabajabilidad que
permita la colocación del concreto fresco.
5. Cantidad de mortero presente en la mezcla. Además de ser función de la cantidad
de agua añadida la trabajabilidad depende directamente de la cantidad de granos
finos presentes, incluyendo los de cemento, en la parte de la mezcla que se
conoce como mortero. Debido a que, de acuerdo a múltiples experimentos
realizados, este componente retrae en mayor proporción que la parte gruesa es
recomendable mantener su cuantía en el mínimo posible.
6. Método y duración del curado. Durante el curado del concreto la retracción es
prácticamente nula debido a que se mantiene la humedad en la pieza impidiendo
la evaporación del agua atrapada, sin embargo para que surta efecto sobre el
valor final de la misma es necesario mantener el curado durante un tiempo tan

11. 11
prolongado que no sería práctico, aunque puede hacerse uso de algún tipo de
cubierta impermeabilizante aplicada en forma de pintura que impida la evaporación
a largo plazo. Con el uso de métodos basados en aplicación de vapor a elevada
temperatura se logra reducir la retracción en hasta un 30%.
7. Humedad, temperatura y renovación del aire en el ambiente.- Siendo la retracción
consecuencia de la evaporación del agua atrapada en el concreto es fácil
relacionar su variación con las condiciones ambientales en la que se encuentre la
pieza. Así pues, la variación de los factores aquí mencionados que incrementen la
evaporación como pueden ser aumento de la temperatura, disminución de la
humedad ambiental y una renovación frecuente del aire, debida por ejemplo a
corrientes, favorecerá el aumento de la retracción.
8. Relación volumen/superficie de la pieza. Como la evaporación es un fenómeno
que ocurre en la superficie las piezas que posean un elevado valor de esta con
relación a su volumen sufrirán una mayor desecación que aquellas en las que esta
relación sea menor ya que el agua que se encuentra alejada de la superficie
tardará más en evaporarse que la que se encuentra más próxima a ella.
Estimación de la retracción.-
De acuerdo a lo citado en el párrafo anterior existen múltiples factores que influyen
en el valor de la retracción sin embargo se pueden determinar valores razonables
para utilizar con fines de diseño. Si bien la variación de la retracción no sigue un
patrón específico se le puede representar aceptablemente mediante el uso de una
función exponencial del tipo
r t = ru *(1-e-mt
) (1.6)
donde r t = coeficiente de retracción en el tiempo t
ru = coeficiente de retracción final
m = coeficiente que depende de la humedad, relación
volumen /superficie, cantidad de finos, etc.
t = tiempo transcurrido
Como se muestra en la fig. 1.10
% de ru 98
80
r t = ru *(1-e-mt
)
1año 2.5años tiempo
fig. 1.10 Variación de la retracción con el tiempo

12. 12
Con base en experiencias realizadas durante largos períodos se dan algunos valores
promedio del coeficiente final de retracción ru y su variación en el tiempo como son:
Humedad relativa ru
60 % a 80% 0.0003 a 0.0004
30 % a 40% 0.0004 a 0.0005
En el tiempo
Primer mes .................. 40 %
Tercer mes ...................60 %
Primer año ....................80 %
Año y medio ..................90 %
Dos años y medio .......>98 % (finalización práctica)
Con el fin de manejar valores numéricos que permitan cuantificar la retracción
esperada se han propuesto diversas expresiones como la de Brooks y Neville que
permite estimar el valor de la misma al cabo de un año basándose en la medida a los
28 días y conocida aquella predecir cual será el valor de ru.
Así para concretos curados con humedad
r365 = (347 + 1.08*r28)*10-6
(1.8)
o para valores muy pequeños (menores que 100*10-6
)
r365 = 52*r28
0.45
(1.9)
y para elementos curados al vapor
r365 = (243 + 1.51*r28)*10-6
(1.10)
o para valores muy pequeños (menores que 100*10-6
)
r365 = 27*r28
0.57
(1.11)
obteniéndose como valor final de ru el siguiente:
ru = (r365*(1.06*r365 - 192) / (1.085*r365 - 265))* 10-6
(1.12)
Leonhardt (1967 )con el fin de lograr estimaciones del mismo tipo parte de ensayos de
retracción efectuados sobre piezas patrón elaboradas con un concreto que posee

13. 13
Humedadrelativa
Valor
final
de
la
retracción

r
*
10
-
4
5
4
3
2
1
0
Concreto
conservado
calientey
húmedo
durante
3días
7 “
28 “
90 “
determinadas proporciones en cuanto a relación agua/cemento, contenido de
cemento por metro cúbico de concreto, porcentaje de mortero, y relación
volumen/superficie. La retracción esperada para estos valores con relación a la
humedad y al tiempo de curado se muestra en la figura 1.11. Este valor es luego
modificado mediante un coeficiente que toma en cuenta la variación de los mismos de
acuerdo a la figura 1.12.
Los valores usados en la mezcla patrón son los siguientes:
 Relación agua / cemento = 0.45
 Cantidad de cemento = 400 kg/m3
 Proporción de mortero = 45%
 Espesor medio de la estructura = 20 cm.
Con estas cifras se obtiene un coeficiente de referencia kw = 30. Este valor deberá
modificarse teniendo en cuenta las características particulares del elemento que
afecten los factores que determinan el valor de la retracción. Dicha variación puede
representarse mediante:
Kw = (a/c) *c* Mo / 3
d = a * Mo / 3
d (1.13)
Donde
a/c = peso de agua / peso de cemento
c = cantidad de cemento en Kg / m3
Mo = contenido de mortero
Mo = peso del árido entre 0 y 7 mm./ peso del árido total
d = espesor medio de la estructura estimado como:
d =  dn * bn /  bn (1.14)
Siendo dn = espesor y
bn = longitud expuesta al aire en la sección.
Fig. 1.11 Fig.1.12
Coeficiente de retracción ks en función de kw para
obtener el valor final de la misma como ks*s
5 10 20 30 40 50 60 70
0
0.5
1.0
1.5
Coeficiente
de
retracción
k
s

14. 14
Ejemplo 1.1
Como ejemplo de aplicación de este método se estudia un elemento con una sección
transversal mostrada en la fig. 1.13
60 cm
.
5cms
12 cm 80 cm.
25 cm
40 cm.
Fig. 1.13
La mezcla usada en la ejecución de la pieza tiene las siguientes proporciones:
Agua a = 192 Kg / m3
Cemento c = 287 Kg / m3
Piedra 983 Kg / m3
distribuidos así
tamaño > 7mm.( ¼ ‘’) = 900 Kg / m3
tamaño < 7mm.( ¼ ‘’) = 83 Kg / m3
Arena tamaño < 4.76 mm. (tamiz 4) = 910 Kg. / m3
Con la información anterior se calcula el factor de influencia kw
Kw = a * Mo / 3
d
Para un contenido de mortero definido como el total de áridos menores que 7mm. en
relación con el total de áridos.
Mo = ( 910 + 83 ) / ( 910 + 983 ) = 0.524
Y con un espesor promedio de la sección
d = ( 5*60 + 12*80 + 25*40 ) / ( 60 + 80 + 40 ) = 12.6 cm.
Si en el sitio existe una humedad relativa HR = 65% y con un curado de 3 días se
obtiene de la fig. 1.11 un ru = 0.41 %o para un factor kw = 30. Es necesario tomar en
cuenta la variación de kw que en este caso vale

15. 15
Kw = 192*0.524 / 3
12.6 = 43.24
Con este valor en el gráfico 1.12 se obtiene un factor de corrección ks = 1.2
con el que, corrigiendo el valor inicial, se obtiene:
r u = 0.41 %o *1.2 = 0.49 %o = 4.9 * 10-4
f – FLUENCIA
Cuando se aplica una carga a una pieza de concreto esta sufre una deformación
instantánea, si la carga se mantiene durante largo tiempo la pieza continúa
deformándose. Esta deformación diferida se le conoce con el nombre de fluencia. Se
le atribuye a las propiedades plásticas del gel aún húmedo y se puede considerar
como el efecto de dos factores: una fluencia básica independiente del movimiento de
la humedad y una fluencia por secado que resulta de la pérdida de esta, producto
tanto de la evaporación como de la aplicación de carga que provoca su expulsión.
La fluencia depende de un mayor número de factores que la retracción. Entre ellos se
pueden citar el tipo y contenido de cemento, tipo, forma y granulometría de los
agregados, relación agua/cemento, grado de compactación, temperatura y humedad
durante el endurecimiento, dimensiones y forma del elemento, siendo de particular
importancia la edad química del concreto al recibir la carga y la magnitud de la
solicitación. Debido a la complejidad del fenómeno se recurre a hipótesis aproximadas
que permitan simplificar su explicación y deducir expresiones para cuantificarlo.
La deformación de fluencia de un determinado concreto se considera proporcional al
esfuerzo aplicado inicialmente y en consecuencia a la deformación elástica
instantánea, es decir:
f u =  * e f u =  * /E
de donde
 = f u * E /   = f u / e (1.15)
con  = factor de fluencia
f u = deformación final de fluencia
e = deformación elástica instantánea

16. 16
% de fu
98
80
1 8 Tiempo en años
Fig. 1.14
Variación de la fluencia en función del tiempo.
La fluencia es una variable dependiente del tiempo pudiendo representarse su
variación mediante una curva de tipo exponencial definida como:
f t = f u * ( 1 – e-t
) =  * e * ( 1 - e-t
) (1.16)
siendo f t = valor de la fluencia en el instante t. Esta ecuación aparece representada
en la fig. 1 . 14
La fluencia depende en buena medida de la edad química o endurecimiento del
concreto al momento de aplicar la carga es necesario tener en cuenta los factores que
influyen sobre él. Un concreto cargado a temprana edad fluirá en una proporción
mucho mayor que un concreto ya envejecido al momento de recibir esfuerzos. Así
por ejemplo, el calor acelera el endurecimiento mientras que el frío lo retarda, los
concretos fabricados con cementos de alta resistencia inicial endurecen más rápido
que los concretos hechos con cemento normal.
Debido a la influencia de los factores anteriores se sugiere tomar el valor de la
fluencia como:
2
1 K
.
K
.
.
e
u
f 

 
Los términos que aparecen en esta ecuación se definen como:
 = Factor de Fluencia- aparece representado en la Fig. 1.15, depende de la humedad
del ambiente en las cercanías de la estructura.

17. 17
Tipo I
Tipo III
K1= toma en cuenta el grado de endurecimiento al cargar. Se muestra en la Fig. 1.16
K2= toma en cuenta los factores de KW ya descritos en para la retracción. Su
variación se describe en la Fig. 1.17
Coeficiente final de fluencia
f de un concreto con kw =30,
comienzo de carga a 28 días
de fraguado normal, a
temperatura de 18C (zona de
dispersión para otros valores
de Kw )
Fig. 1.15 Coeficiente final de fluencia
Fig. 1.16 Coeficiente k1
Coeficiente k1 para la
deformación de fluencia. El
factor n/ representa el
grado de endurecimiento al
comenzar la carga, de
acuerdo al tiempo en días,
en concretos con cementos
de tipo I o de tipo III
Humedad relativa

18. 18
Kw = (a/c) c Mo / 3 d
a/c = relación agua-cemento
c = contenido de cemento (kg/m3)
Mo = contenido de mortero
d = espesor del concreto
Coeficiente k2 para la deformación
de fluencia. Se toma en cuenta el
kw que depende de la relación
agua cemento, del contenido de
mortero y de las dimensiones de
la pieza
Fig. 1.17 Coeficiente k2
Ejemplo 1.2:
Calcular el valor de la fluencia en una pieza de concreto la cual está sometida a las
siguientes condiciones:
Humedad Relativa HR= 65%
HR= 65% fig. 1.15 φ= 2.65 Factor de Fluencia
Carga aplicada a los 7 días
K1 Fig. 1.16 Para 7 días de endurecimiento k1=1.43
Elaborada con la mezcla, dimensiones y demás condiciones del ejemplo 1.1
K2 Fig. 1.17 Influencia de KW, relación A/C, mortero, etc.
KW=43.24 K2=1.12
Con estos valores se obtiene una deformación por fluencia de:
 f u = e . φ . K1 . K2 = e . 2,65 x 1,43 x 1,12 =4,24 e
Por lo tanto la deformación total sería:
e +  f u = ( 1 + 4.24 ) e

19. 19
Parauna viga
gruesa
Parauna viga esbelta
Deformacióndefluenciaconel tiempo
f=4.24e
k=el.final
Tiempoaños
Desarrollo de la deformación por fluencia en el tiempo.
La curva de variación de la fluencia en función del tiempo para este ejemplo puede
expresarse como
ft= fu (1 – e-t
) = 4.24 e (1 – e-t
)
Para nuestro ejemplo
Fig. 1.18 Variación de la fluencia con el tiempo
Si se quiere conocer el valor de la fluencia para un período de 6 meses (0.5 años)
ft=4.24.e (1-e-0.5
)=1.7 e
g.- Formulación de la variación de la retracción y de la fluencia en función del
tiempo.
La expresión de la fluencia en función del tiempo esta dada por:
  e
t
e
t
f
t
f .
e 



 

 
1
donde
Mientras que la expresión para la retracción en función del tiempo puede expresarse
como:
)
e
(
t
f
t


 1



20. 20
 
t
r
t
r e
. 

 1


pudiéndose escribir que: e
t
t
f .

 
Como: )
e
( t
f
t 

 1


por lo tanto: r
f
t
t
r .


 
quedando las dos deformaciones relacionadas por
 
t
f
t e

 1


Entonces para conocer la variación de la fluencia en un instante de tiempo t se tiene.
t
t
e
t
.
t
f
d
d
d
d 


 (1.17)
y la de la retracción:
t
f
t
r
t
t
r
d
d
d
d




 (1.18)
Esta forma de enunciar la variación de los fenómenos de fluencia y retracción con
respecto al tiempo permite relacionarlos mediante el término  común con el fin de
obtener expresiones que puedan utilizarse de forma compatible al tratarlos de manera
simultanea.
1-4-2 Acero
Para el concreto presforzado se hace necesario contar con un acero que
experimenten alargamientos suficientemente grandes para superar los acortamientos
que sufre el concreto y que por lo tanto ocasionan una disminución en la fuerza que el
acero le aplica a este. Esta pérdida de fuerza depende de la relación entre estas
deformaciones. Como el módulo de elasticidad del acero es casi constante para
aceros de diversas resistencias, la capacidad de deformarse depende
fundamentalmente del valor de estas últimas, por lo tanto se hace imprescindible el
uso de aceros de alta resistencia para lograr las grandes deformaciones requeridas
en el precomprimido.
La obtención de aceros de alta resistencia puede lograrse a partir de diversos
métodos entre los que se pueden mencionar:
 De aceros naturales mediante aleaciones apropiadas en las que se usan
elementos tales como Carbono, sílice, manganeso y otros.

21. 21
 Por deformación en frío. Consiste en llevar al acero hasta un esfuerzo que supere
su límite de fluencia procediendo a luego a descargarlo quedando en el mismo una
deformación permanente, al repetir el proceso se logra en la carga siguiente
alcanzar la fluencia a un esfuerzo mayor que el anterior. Si este proceso se repite
varias veces se obtiene un incremento de la resistencia del acero así tratado. El
acero así obtenido tiene una menor ductilidad por lo que hay que limitar esta
disminución y evitar la aparición de un comportamiento excesivamente frágil. Otra
característica a tomar en cuenta es la reducción del límite de proporcionalidad por
lo que el comportamiento lineal del material ocupa una parte menor del diagrama
esfuerzo – deformación. Para mejorar este comportamiento es usual que se le
someta a un tratamiento térmico que consiste en elevar su temperatura a unos
425C por un tiempo de 30 a 40 segundos con lo que se logra elevar el límite de
proporcionalidad y además liberar o relevar al material de posibles esfuerzos
remanentes producto del proceso. Por la facilidad de fabricar con ellos alambres,
guayas y barras son los más usados como acero para preesforzar.
 Por tratamientos térmicos. Este tipo de tratamiento ha sido usado desde hace
mucho tiempo en forma de temple y revenido (como el temple de espadas y de
herramientas forjadas). Uno de estos procesos usados en alambres de pretensar
consiste en elevar la temperatura a unos 810C, temple en baño de aceite y
revenido en baño de plomo a unos 450C. Estos cambios de temperatura
producen modificaciones en la estructura interna alcanzándose una de grano muy
fino. Los alambres producidos no son aptos para soldarse, son sensibles al calor y
tiene tendencia a corroerse. Así mismo no es usual construir guayas o torones con
ellos.
Tipos de acero de preesfuerzo.-
En general el acero que se usa en el preesforzado suele presentarse en tres
formas:
 Alambres.
 Guayas, cables o torones.
 Barras.
Alambres: Son piezas cuyo diámetro es inferior a 1 cm. fabricados por
tratamiento en frío y con las características que se mencionan a continuación:
Mínima resistencia a la rotura = 15000 kg/cm2
Límite elástico al 0.2% > 13000 kg/cm2
Alargamiento mínimo a la rotura > 4% en una longitud de 25 cm.
Deben cumplir con las especificaciones ASTM A421 “Alambres sin revestimiento,
relevados de esfuerzo, para concreto preforzado”
Guayas, cables o torones: son: Son elementos formados mediante el tejido de
varios alambres, generalmente 7 ó más. Como consecuencia del trenzado es

22. 22
posible que todos los cables no reciban la misma carga y además presenten
esfuerzos residuales por lo pudiera afectar el valor del modulo de elasticidad a
usar para ellos. Los valores a usar recomendados
 Cables de 7 alambres 1.96*10^6
kg./cm2
 Cables de mas de 7 alambres 1.75*10^6
kg./cm2
Se exige una resistencia mínima de 15000 kg./cm2
aunque las resistencias
comunes halladas en el mercado suelen ser:
Cables de 7 alambres sin galvanizar 16100 a 18950 kg./cm2
250 ksi y 270 ksi
(17577 y 18983 kg./cm2
)
Cables de 19 o más alambres galvanizados 14000 a 15400 kg./cm2
Cables de 19 o más alambres sin galvanizar 15400 a 16800 kg./cm2
De los antes mencionados, los de uso común en el país son los de 250 y 270 ksi.
(17577 y 18983 kg./cm2
).
Debido a que la adherencia de los cables de acero galvanizado es menor que
la de los no galvanizados es necesario tomar precauciones o no usar este tipo de
material cuando la transmisión de las fuerzas se realice contando con ella.
Límite elástico al 0.2% > 13000 kg/cm2
Alargamiento mínimo a la rotura > 4% en una longitud de 25 cm.
Los de siete alambres deben cumplir con las especificaciones ASTM A416 “Cable
trenzado, sin revestimiento, de siete alambres relevados de esfuerzo, para
concreto preforzado”
Barras.- Se presentan barras de alta resistencia en dos tipos: lisas con rosca en sus
extremos o fileteadas en toda su extensión. Debido a las dificultades que implica su
transporte se limita la longitud en la que se fabrican, sin embargo la industria ofrece
acopladores de tipo manga (manguitos) que permiten obtener las longitudes
requeridas sin afectar la resistencia del conjunto de manera apreciable.
La resistencia que se obtiene comúnmente para estas barras es del orden de unos
11000 kg./cm2
siendo la mínima exigida de 10000 kg./cm2
.
Otras características son:
Limite elástico: 9000 kg./cm2
Modulo de elasticidad: de 1750000 a 1967000 kg./cm2
.
Alargamiento mínimo a la rotura > 4% en una longitud de 20 diámetros.
Deben cumplir con las especificaciones ASTM A722 “Varillas de acero de alta
resistencia sin revestimiento, para concreto presforzado”
Acero convencional.- Además del acero de alta resistencia, en los elementos de
concreto preesforzado se utiliza acero normal en varias funciones como son absorber

23. 23
f p y a  p y = 1 %
 p u ³ 4 % ( A S T M )
f p y a l 0 .2 % d e d e f .p lá s tic a
f p p a l 0 .1 % d e d e f .p lá s tic a
A S T M  p y = 1 % p a r a a la m b r e s y g u a y a s
 p y = 0 .7 % p a r a b a r ra s
E
s
f
u
e
r
z
o
k
s
i
d e f o r m a c ió n
M
p
a
los esfuerzos de corte, evitar agrietamientos en zonas de concentración de esfuerzos
como en los anclajes de las vigas postensadas o absorber los esfuerzos de tracción
admitidos en el caso del pretensado parcial.
Este acero debe cumplir con las especificaciones ASTM A615, A616, o A617 de
acuerdo a la forma de fabricarlas.
DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACION (- )
El conocimiento de las propiedades del acero de pretensar es fundamental para el
diseño. En la fig. 1.19 se comparan los diagramas de esfuerzo deformación para
aceros normales y de alta resistencia.
 Es necesario conocer características tales como el esfuerzo y la deformación de
rotura, el esfuerzo de fluencia, el límite de proporcionalidad y el módulo de
elasticidad. En relación con estos valores, debido a que no existe un escalón de
fluencia claramente definido, se suelen tomar en base a criterios de deformación
tal como se muestra en la fig. 1.20 .
Fig. 1.19 Diagrama esfuerzo deformación del acero
Es de observar que los aceros de alta resistencia presentan:
 Esfuerzos de rotura mayores acompañados de las deformaciones
correspondientes menores que los aceros normales.
 No muestran un escalón de fluencia bien definido.
 Tienen un límite de proporcionalidad relativamente alto.
Fig. 1.20
Diagrama del
acero de alta
resistencia
Guayas de pretensado (270ksi)
Alam
bre aliviado d
e esf
uerzo
( 235 ksi)
Bar
ras de pretensar de alta
resistencia (160 ksi)
A
cero de refuerzo de grado 60 con escalónde fluencia
A
cero de refuerzo de grado 60 s
in fluencia definida
Esfuerzo
en
ksi
Esfuerzo
en
Mpa
deform
ación
Esfuerzos
ksi
Esfuerzos
Mpa

24. 24
Diferentes normas y reglamentos fijan valores mínimos para las características del
acero como se muestra en la tabla siguiente:
PROPIEDADES MÍNIMAS DEL ACERO DE PRETENSAR
Tipo de
acero
Código
ASTM
Mínimos ASTM Módulo de
Elasticidad
Límite de
proporcionalidad
Al 0.01% de
desviación
Resistencia
a fluencia
Alargamient
o
A la rotura
Ksi Kg/cm2
Alambres A421 fpy=0.85fpu
a py=0.010
pu=0.040
en
25.4cm
29000 2.039*
106
75 a 85% de
la resistencia
mínima
Cables A416 fpy=0.85fpu
a py=0.010
pu=0.040
en 61cm
27000 1.896*
106
70 a 75% de
la resistencia
mínima
Barras A722-75 Barras lisas
fpy=0.85fpu
a
py=0.0070
barras
deformadas
fpy=0.80fpu
a
py=0.0070
pu=0.040
en 20
diámetros
de la
barra
28000 1.967*
106
60 a 65% de
la resistencia
mínima
Relajación del acero.- Se define como relajación del acero al fenómeno
caracterizado por una disminución en el esfuerzo al que está sometido si se mantiene
a una longitud constante. Aunque este no es exactamente el caso que ocurre en los
aceros usados en el concreto preesforzado se ha convenido que se le puede tratar
bajo esta definición.
La importancia de su conocimiento deriva del hecho que, junto a otros procesos ya
mencionados como son la fluencia y la retracción del concreto, son los causantes
principales de las pérdidas de fuerza de preesfuerzo que ocurren en las estructuras.
La relajación es dependiente del tiempo, produciéndose la mayor parte al inicio del
proceso y luego con velocidad decreciente. Así mismo depende directamente del nivel
de esfuerzo aplicado, como puede apreciarse en la figura 1.20, habiéndose
establecido experimentalmente que para esfuerzos menores al 55% del esfuerzo de
fluencia del acero, su valor es prácticamente nulo.
La relajación depende del tipo y grado del acero aunque para fines de diseño se
suelen dividir los aceros en dos grupos: normales (relevados de esfuerzo) y de baja

25. 25
)
(
)
(
si
f
pf
f
pr
f
2
1
sr
f
a
sr
f







relajación, teniendo estos últimos un valor de esta del orden del 25% de la que
presentan los normales.
Para alambres y cables relevados de esfuerzo se puede estimar la pérdida de
esfuerzo por relajación mediante la siguiente relación
(1.19)
Donde:
fsr = pérdidas por relajación a las t’ horas después de pretensar.
fsi = esfuerzo inicial
f ’y = esfuerzo correspondiente a una deformación plástica del 0.1 %
log = logaritmo en base 10
La expresión anterior solo es aplicable si la relación fsi /f’ y es mayor o igual a
0.55 y si el acero es de baja relajación se sugiere usar como denominador del término
log t’ el valor de 45 en lugar de 10.
Cuando se produce la interacción entre relajación, fluencia y retracción se produce
una reducción aparente en las pérdidas debidas a la primera de ellas que pude
estimarse de acuerdo a la FIP (Fédération Internationale de la Précontrainte) como:
(1.20)
Donde:
( fsr)a = Pérdidas aparentes por relajación debido a la interacción.
fpr = Pérdidas en el acero por retracción del concreto.
fpf = Pérdidas en el acero por fluencia del concreto.
La forma más común de evaluar las pérdidas por relajación es mediante ensayos
realizados a 1000 horas. Los resultados obtenidos se multiplican por un factor que
permite predecir cual será la relajación total al final de la vida de la estructura. Las
pérdidas típicas para los ensayos de 1000 horas recomendadas por la FIP y la ASTM
se muestran en la tabla que aparece mas adelante.
Entre los estudios realizados sobre el tema destacan los del profesor Gustav Magnel
quien, entre otros ensayos, realiza uno consistente en someter a tracción un alambre
manteniédolo luego a longitud fija. Es la forma aproximada de actuar los cables en
una viga pretensada. Usó cables de 25 m de largo a los que aplicó un esfuerzo inicial
del 57% del esfuerzo de rotura, así pudo establecer que la caída del esfuerzo se
estabilizó en doce días observando que el mayor porcentaje se produjo en las 30
primeras horas. La pérdida final representó el 12% del esfuerzo inicial. Repitiendo el
experimento pero llevando el cable a un esfuerzo del 64% del de rotura por un tiempo
de 2 minutos y fijándolo luego al 57% observó que después de dos días no hubo más
)
.
(
log
55
0
y
f
si
f
10
t
si
f
sr
f 





26. 26
pérdidas de esfuerzo y que dicha pérdida fue solamente del 3.6% del valor inicial. De
este ensayo se ha derivado un método para minimizar las pérdidas por relajación que
consiste en sobretensar en un 12% del esfuerzo calculado por corto tiempo (2 min.
aproximadamente) con lo que se espera que las pérdidas solo asciendan al 4% del
esfuerzo inicial. No hay sin embargo, total acuerdo sobre la efectividad del método ya
que algunos autores opinan que el efecto del sobretensado desaparece al cabo de un
largo tiempo.
Relajación típica de aceros de pretensado a 1000 horas
fpi / f pu
0.6 0.7 0.8
Comisión FPI
Relajación normal
Baja relajación
4.5%
1%
8.5%
2%
12%
4.5%
ASTM A416 Y
A421
Baja relajación
........... 2.5% 3.5%
Alambre de 7mm estabilizado a 20ºC
Tiempo en horas
Pérdidas
de
esfuerzo
en
%
Fig. 1.21 Efecto de esfuerzo inicial en la relajación del acero

27. 27
1.5 ESFUERZOS EN COLUMNA DE CONCRETO ARMADO
Con el fin de analizar la relación existente entre los esfuerzos correspondientes a
cada material en los elementos de concreto armado se describe el caso de una
columna sometida a la acción de una fuerza axial P(ver fig. 1.22). Se estudian los
esfuerzos de una sección considerándola homogénea mediante el uso de la sección
transformada.
P
Fig. 1.22
Ecuación de equilibrio
P= Pc + Pa
Pc = fuerza en el concreto
Pa = fuerza en el acero
Considerando que las deformaciones en los dos materiales son iguales:
a
Ea
a
A
a
P
Ec
c
A
c
P
c 
 


De la ecuación de equilibrio Pc
Pa
P 
 Pc
P
Pa 

 
AcEc
Pc
AaEa
Pc
P


AcEc
AaEa
AcEc
Pc
Pc
P
Pc
AaEa
AcEc
Pc
P
Pc






 )
(
Ec
Ea
n
siendo
AcEc
AaEa
AcEc
P
Pc



AcEc
AaEa
PEc
Ac
Pc
c
f



Aa
Ac

28. 28
Ac
n
Aa
P
c
f


*
(1.22)
Llamando área transformada A t a la suma Aa*n + Ac se obtiene que:
At
P
c
f 
1.6-REDISTRIBUCION DE ESFUERZOS DEBIDO A RETRACCIÓN Y FLUENCIA EN UNA
COLUMNA DE CONCRETO ARMADO COMPRIMIDA AXIALMENTE.
Se considera en este caso una columna de concreto armado cargada axialmente, en la que
se muestra la forma en que los esfuerzos iniciales aplicados a cada material sufren variación
en el tiempo debido a los efectos de la fluencia y la retracción. ( ver fig. 1.23)
Se analiza este caso por la importancia que tiene esta variación en las pérdidas que es
necesario considerar en el concreto preesforzado.
Las expresiones obtenidas suponen adherencia perfecta entre los dos materiales haciendo
que las deformaciones en ambos sean iguales.
Fig. 1.23
Ecuación de equilibrio P= Pc + Pa
Donde Pc = fuerza en el concreto y
Pa = fuerza en el acero.
Las deformaciones de los dos elementos son iguales
c = a
a
Ea
Aa
Pa
Ec
Ac
Pc
c 
 


Ac
P
Aa

29. 29
a
Ea
fa
Ec
c
f
c 
 


El concreto tiende a encogerse debido a fluencia y retracción. Esto causa acortamiento en la
columna y hace que la fuerza Pc, correspondiente al concreto disminuya mientras que la
fuerza Pa, la correspondiente al acero, aumente con el tiempo.
Como fluencia y retracción dependen del tiempo se puede escribir la variación de las
deformaciones en la columna como:
 
EaAa
1
dt
P
d
EcAc
1
dt
P
d
dt
fluencia
d
Ec
Ac
p
Pc
dt
retraccion
d











 /
(1.23)
El miembro de la izquierda describe la variación de las deformaciones en el concreto, si se
toman positivos los acortamientos se tiene que hay acortamiento por retracción y por
fluencia como indican los dos primeros términos. La disminución de Pc (P) disminuye el
acortamiento, esta disminución es debida a que al acortarse el concreto y no hacerlo el
acero, pues este no tiene ni fluencia ni retracción, el primero tiende a colgarse del segundo
transfiriéndole parte de su carga.
La razón de cambio de las deformaciones en el concreto es igual a la razón de cambio
de las deformaciones en el acero.
Los cambios de deformación en el acero se producen por variación de la carga únicamente
cuando el concreto arrastra al acero
Ordenando la ecuación:
t
d
t
d
P
Ea
Aa
Ac
Ec
1
dt
P
d
Pc
AcEc
t
r
t
d
t
d 







 












  (1.25)
con solución


























 t
AcEc
AaEa
AaEa
1
AcEc
f
rf
Pc
P e (1.26)
quedando la fuerza en el concreto: Pct = Pc - P (1.27a)
y en el acero: Pat = Pa + P (1.27b)
En consecuencia los esfuerzos en cada material son:

30. 30
fc =Pct / Ac para el concreto y (1.28a)
fa =Pat / Aa para el acero (1.28b)
Los efectos de fluencia y retracción en el concreto hacen necesario limitar la cuantía de
acero que se utiliza en columnas de concreto reforzado pues valores excesivos de la misma
podrían hacer que, debido a la transferencia de cargas entre en concreto y el acero como
consecuencia de los efectos antes mencionados, el acero alcanzara la fluencia por
aumento de su carga o que el concreto llegue a tener tracciones por disminución de la suya.
La fluencia es producida por la carga permanente solamente, las cargas temporales solo
producen deformaciones mientras estén aplicadas.
Ejemplo:
Para ilustrar lo mencionado anteriormente se presenta el caso de una columna con una
cuantía de acero de = (Aa/Ac)=0.04. Se le somete a una carga con una composición de
75% de carga permanente y 25% de carga variable.
Datos:
Rcr = 180 kg./cm²
Rct = 15 kg./cm²
fy = 2400 kg./cm²
Ec = 2x105
Kg./cm²
Ea = 2x106
Kg./cm²
r = 3x10-4
 f = 2
Considerando para un diseño por rotura una carga última Pr = 3P se tiene:
Pr = 3P= Rcr*Ac +  Ac *fy
y con n= Ea/Ec 10
10
2
10
2
5
6


x
x
n
P= Pr/3 = Ac/3* (180 + 0.04*2400) = 92 Ac
Si la carga permanente es el 75% del total entonces:
Pp=0.75 P= 0.75 x 92 Ac=69 Ac
De ella el concreto toma:
Ppc= Ac
.
Ac
.
x
Pp
n
29
49
69
04
0
10
1
1
1
1



 

31. 31
Y el acero toma:
Ppa=  Ac
Ac 71
.
19
29
.
49
69 

La variación en estas cargas por efectos de fluencia y retracción es:
P=



















2
*
5
10
2
6
10
2
04
.
0
5
10
2
04
.
0
1
10
2
2
10
3
29
,
49 5
4
x
Ac
x
Ac
x
Ac
e
x
Ac
x
Ac
p=    Ac
Ac e 54
.
34
1
29
.
79
572
.
0



Quedando como esfuerzos por carga permanente en concreto y en el acero
respectivamente:
 
  2
2
/
1356
04
.
0
54
.
34
71
.
19
/
75
.
14
54
.
34
29
.
49
cm
Kg
Ac
Ac
fpa
cm
Kg
Ac
Ac
fpc






Si a estos se le añaden los esfuerzos por carga variable calculados por teoría elástica se
tiene:
Carga variable: Pv = 0.25 * 92 Ac = 23 Ac
Los esfuerzos producidos por la carga variable en el concreto y en el acero se calculan por
teoría elástica:
Para el concreto
 
2
43
16
4
0
1
23
cm
/
Kg
.
Ac
.
Ac
fvc 


El esfuerzo total en el concreto se obtiene sumando los de carga permanente y variable:
)
(
/
18
.
31 2
compresion
cm
Kg
fc  . Disminución del 47.5%
Para el acero:
2
3
164
10
43
16 cm
/
kg
.
x
.
n
f
f vc
va 



Y al igual que para el concreto se suman ambos esfuerzos:
)
(
/
6
.
1520 2
compresion
cm
kg
fa  . Aumento del 131 %
Puede apreciarse que mientras el concreto queda sometido a un esfuerzo muy bajo, el acero
está bastante cerca de alcanzar su límite de fluencia.

32. 32
1.7-REDISTRIBUCION DE ESFUERZOS DEBIDO A RETRACCIÓN Y FLUENCIA EN UNA
COLUMNA DE CONCRETO PRECOMPRIMIDA.
Se presenta en este punto el caso de una columna de concreto presforzada mediante un
cable que le produce una fuerza de compresión inicial de valor Fo, esta fuerza está
acompañada por una carga externa P. Se considera la adherencia entre el cable y el
concreto lo que establece la condición de que las deformaciones en ambos materiales tienen
que ser iguales. (ver Fig. 1.24)
Fig. 1.24
El concreto se retrae y fluye con el tiempo, como consecuencia el cable se destensa y se
acorta, hay menor fuerza de tracción en él. Si la variación de la fuerza en el tiempo se
denota por Fo entonces la fuerza en un instante determinado puede expresarse como:
Fo
Fo
a
pasa
Fo 



 

(Fo se considera negativo pues es una disminución de la fuerza inicial). Debido a que el
cable sufre la misma variación de fuerza, ocurre en el acero una variación de deformación
que puede expresarse como:
a
d
Ea
Aa
dt
/
Fo
d



Fig. 1.25
Acortamiento
P
P
Fo
Fo
Ac = Area de concreto
Aa = Area de acero

33. 33
El concreto tiene los siguientes cambios en su deformación:
El primer término corresponde al producido por la variación de la fuerza Fo, el segundo lo
produce la retracción y el tercero es causado por la fluencia y se considera proporcional a la
deformación elástica producida por las cargas permanentes como se muestra en la
expresión que sigue:
  concreto
el
en
to
acortamien
dt
t
d
c
E
c
A
Fo
Fo
P
t
d
r
d
c
E
c
A
t
d
Fo
d








 

1
(1.29)
Debido a la adherencia entre concreto y acero las variaciones en ambas deformaciones son
iguales por lo que puede escribirse:
 
a
A
a
E
dt
Fo
d
dt
d
AcEc
Fo
Fo
P
dt
t
d
final
r
AcEc
dt
fo
d t 1
1











 


 (1.30)
Considerando Fo como la variación de Fo desde el tiempo t = 0 hasta un instante t
determinado. Procediendo a resolver la ecuación diferencial obtenida:
 
dt
d
AcEc
Fo
Fo
P
dt
d
r
EaAa
AcEc
dt
Fo
d t
t
final



 













1
1
Multiplicando ambos miembros por Ac* Ec
dt
d
EcAc
r
Fo
Fo
P
EaAa
EcAc
dt
Fo
d t
final
























 1
Recordando que se han definido n y  como
Ec
Ea
n  y
Ac
Aa


Se puede escribir la ecuación anterior así:
dt
t
d
EcAc
r
Fo
Fo
P
.
n
dt
Fo
d
final




























1
1 (1.31)
Si se denota como  a:



n
.
n


1
y


 n
n


1
1

34. 34
se tiene que:
Ac
Ec
r
Fo
P
K
f






 (1.32)
de donde
 
dt
t
d
)
Fo
K
(
dt
Fo
d 






1
ordenando la ecuación
t
d
Fo
K
)
Fo
(
d






 (1.33)
integrando
  C
Fo
K t
n 



 

 (1.34)
Condiciones de borde:
Para t = 0 se cumple que φt = 0, y que Fo =0 por lo tanto C= -ln K
t
t
n e
Fo
K
K
Fo
K
K 


 







t
e
t
e
K
Fo













1
Que conduce a la solución:
)
t
e
)(
EcAc
.
r
Fo
P
(
Fo
f



 





 1 (1.35)
Ejemplo:
Se analiza una columna pretensada de sección 60x70 cms. Esta columna posee un cable
central que aplica una fuerza Fo de 300 ton. y soporta además una carga P de 100 ton. Se
desea conocer la pérdida en la fuerza de pretensión por efecto de la fluencia y la retracción.
(ver Fig. 1.25)

35. 35
Fo=300 ton Aa = 30 cm²
P =100 ton Ac = 70x60 =4200cm²
=3.5 f’c = 350 Kg/cm²
Er=0.0005
70 cm
.
60 cm.
.
Fig. 1.25
cables
para
cm
/
kg
x
.
a
E
cm
/
kg
.
c
'
f
.
c
E
2
6
2
0
1
9
1
000
280
350
15000
000
15




A partir de los valores
8
6
280000
10
9
1 6
.
x
.
Ec
Ea
n 







 
























t
f
e
EcAc
r
Fo
P
Fo
.
.
.
.
.
n
n
.
Ac
Aa







 1
046
0
00714
0
8
6
1
00714
0
8
6
1
00714
0
4200
30
Para valores de t = ∞ (muy largo tiempo) se puede tomar φt=3.5





 







 




 5
3
046
0
1
5
3
200
4
000
280
0005
0
000
300
000
100 .
.
e
.
.
.
.
.
.
Fo
  Kg
.
.
.
.
Fo 466
84
149
0
000
168
000
400 





Obtenidas las pérdidas se puede calcular la fuerza remanente =
300.000-84.466=215.534 kg.
Porcentualmente representan:
Pérdidas = 28 %
Fuerza remanente  = 72 %

36. 36
1.8-REDISTRIBUCION DE ESFUERZOS DEBIDO A RETRACCIÓN Y FLUENCIA EN UNA
COLUMNA DE CONCRETO ARMADO PRECOMPRIMIDA.
En el punto siguiente se estudia el caso de una columna en que se encuentran actuando
simultáneamente acero de preesfuerzo y acero normal.(ver Fig. 1.26)
P
Fig. 1.26
Definiendo un área de acero total presente en la columna como:
At = Aa + Ap
Donde: At = área de acero total
Aa = área de acero refuerzo
Ap = área de acero pretensado
Ac
At
t 

Ec
Ea
n 
Haciendo uso del área de acero total se establece:
At
.
n
Ac
tr
A
n
.
n
*
t
t







1
Atr = Area transformada definida como se hizo anteriormente.
Obteniéndose como esfuerzos en el concreto debido a la fuerza de pretensión y a la fuerza
externa:
r
t
A
Fo
c
o
f 
tr
A
P
pc
f 
La variación de la fuerza de pretensión puede evaluarse mediante la siguiente expresión:







 














 t
*
e
t
.
n
P
Fo
Ac
Ec
f
r
Fo




 1
1
donde  
mt
e
f
t


 1

 (1.36)
Aa=acero de refuerzo
Ap= acero pretensado
Ac=Area de concreto
Fo

37. 37
con m dependiente de los factores correspondientes a los parámetros que afectan los
valores fluencia y retracción.
La variación del esfuerzo en el acero con el tiempo, fat , obtiene a partir del esfuerzo inicial
en ese material, fao , como:







 








 

 t
*
e
t
nc
f
oc
f
t
.
t
.
n
Ea
.
r
ao
f
at
f





 1 (1.37)
Ejemplo:
Este ejemplo está referido a una columna de iguales características geométricas y cargas a
la presentada en el ejemplo anterior a la que se ha añadido armadura ordinaria al acero de
pretensar. Se obtiene el valor de las pérdidas y se compara el porcentaje de ellas con el
porcentaje de las obtenidas en el caso en que no había presencia de acero ordinario. Esto
para evaluar el efecto de este acero. (ver Fig. 1.27)
P
Fo
60 cm.
Fig. 1.27
Datos:
Fo = 300 ton
P = 100 ton
r = 0.0005
Ap = 30 cm
Aa = 8*5.07 = 40.56 cm²
Ac = 70x60=4200cm²
f’c = 350 kg./ cm²
Considerando como acero total a la suma del acero activo o de pretensado y el ordinario o
pasivo:
Aa =Acero de refuerzo
Ap = Acero pretensado
A c= Area de concreto
70cm.

38. 38
2
56
70
30
56
40 cm
.
.
Ap
Aa
At 




De allí que la proporción de acero total sea:
0168
.
0
4200
56
.
70



Ac
At
t

Los valores de la relación modular n y del coeficiente *
son:
8
.
6


Ec
Ea
n 103
.
0
0168
.
0
8
.
6
1
0168
.
0
8
.
6
1
* 




x
x
n
n
t
t



Con estas condiciones se obtiene una pérdida en la fuerza de pretensado de:







 














 t
*
e
*
t
n
P
Fo
Ac
Ec
f
r
Fo




 1
1
Para valores de t = ∞ (muy largo tiempo) se puede tomar φt=3.5





 











 5
3
103
0
1
00168
8
6
1
000
100
000
300
200
4
000
280
5
3
0005
0 .
*
.
e
x
.
.
.
.
x
.
x
.
.
Fo
  kg
.
*
Fo 159505
303
0
358989
168000 





La forma en que se distribuye esta disminución de fuerza, que puede considerarse a su vez
como una disminución de la fuerza que soporta el concreto y a la que pueden aplicarse los
criterios que se definieron en los puntos anteriores, entre los dos tipos de acero presentes en
la columna se hará a continuación considerando el porcentaje que representa cada tipo con
relación al acero total:
Acero de refuerzo, Aa = 40.56 cm2
acero pretensado Ap=30 cm²
%
.
.
.
.
At
Aa
%
JAa 5
57
575
0
56
70
56
40



 %
.
.
.
At
Ap
%
JAp 5
42
425
0
56
70
30




%
5
.
57
% 
Aa %
5
.
42
% 
Ap
Pérdida del pretensado que corresponde al acero activo basándose en su correspondiente
porcentaje es:
-159505x0.425=67.789 Kg.
Pérdidas = %
.
22
300000
789
67
 y en consecuencia queda un remanente de:

39. 39
%
78
100
22
1 


 .
Podemos afirmar, observando los resultados anteriormente obtenidos, que las pérdidas con
la presencia de acero pasivo son menores que cuando hay solamente acero pretensado
(pérdidas del 28% con solo acero pretensado contra el 22% en el caso en que hay acero
pasivo)
Considerando a continuación la parte correspondiente al acero normal se puede calcular que
valor es:
-159505x0.575= -91.715 Kg.
El acero de esfuerzo recibió esta carga adicionalmente a la que tenia inicialmente debido,
como se mencionó anteriormente, a los efectos de fluencia y retracción.
Conclusiones:
 Como existen acortamientos por fluencia y por retracción, el cable pretensado se
destensa debido a esos acortamientos disminuyendo con el tiempo la fuerza que ejerce
sobre el concreto.
 El concreto al acortarse comprime el acero de refuerzo.
 El acero de refuerzo incrementa su carga de compresión por una transferencia de carga
desde el concreto hacia el acero de refuerzo.
 La presencia de acero de refuerzo disminuye las pérdidas de pretensado.

40. 40
1.9 Agrietamiento del concreto armado.-
Al alcanzar el concreto su resistencia a tracción se produce en él la aparición de grietas que
tienden a crecer. Al desaparecer la adherencia entre los bordes de la grieta todo el esfuerzo
de tracción que era resistido por el concreto se suma al del acero que queda incrementado
como se indica en la fig. 1.28.
Debido a que en el interior de la grieta solo existe el acero para transmitir la fuerza P,
mientras que en la zona entre las grietas la misma fuerza es transmitida a través tanto del
acero como del concreto se puede establecer que:
Ac
*
fc
Aa
*
a
f
Aa
*
fa
P 

 1 (1.38)
El término fa*Aa representa en estado de esfuerzos en la grieta mientras el término
f1a*Aa+fc*Ac es el estado de esfuerzos en la zona no agrietada.
De allí que:
Ac
*
fc
)
a
f
fa
(
*
Aa 
 1
La diferencia entre fa y f1a se identifica como f y es igual a
f = fa – f1a
Por lo tanto
Aa
/
Ac
*
fc
f 

Si se define a  como Aa/Ac queda en consecuencia 
/
fc
f 

La transmisión de la fuerza entre el concreto y el acero se realiza mediante una combinación
de adherencia y roce. De forma que la variación de fuerza que ocurre en el acero en las
proximidades de las grietas ocurre en el concreto en una longitud igual a la mitad de la
separación entre las mismas de la siguiente manera:
2
e
*
*
p
Aa
*
fa 

 (1.39)
donde: p es el perímetro del acero
 es el esfuerzo de adherencia
e/2 es la longitud de transferencia
fa
f1a
Esfuerzos en el acero
f
e
e
P P
Fig. 1.28

41. 41
De la anterior expresión puede determinarse la separación entre grietas que sería:


 *
*
p
*
Ac
*
fc
e
*
p
*
Aa
*
fa
e
2
2



 (1.40)
Si se recuerda que la deformación total de una determinada longitud de un material sometido
a esfuerzo es l
*

  podemos, a partir de aquí, determinar el tamaño de las grietas así:

 *
p
*
*
Ea
*
Aa
*
fc
*
fa
e
Ea
e
*
fa
e
2




 (1.41)
La observación de la expresión anterior permite concluir que el uso de cabillas de diámetro
pequeño incrementa el valor del perímetro (p) disminuyendo tanto la separación de las
grietas como su tamaño.
Es importante tener en consideración que el tamaño de la grieta es determinante en la
durabilidad de las estructuras de concreto ya que la existencia de aberturas que permitan el
acceso de elementos, tales como gases o humedad, que corroan el acero, facilitarían la
destrucción de la pieza. Es por ello de capital importancia limitar el tamaño de las grietas. Se
recomienda que las mismas no excedan de 1/10 de mm. en ambientes agresivos pudiendo
permitirse hasta 0.3 mm. si el ambiente está protegido.
Si la separación entre grietas es grande el tamaño de las mismas lo será también ya que
éste es directamente proporcional a la primera (e = *e ; e = fa*e/Ea ). De esta expresión
se puede también deducir que el tamaño de la grieta es proporcional a los esfuerzos
presentes en el acero de refuerzo de la pieza.
Con el fin de observar la influencia del tipo y cantidad de acero presente en una viga. se
tratará de analizar el caso de uno de estos elementos estructurales que está sometido a la
acción de una carga que produce en ella un momento flector de valor “M”. La cantidad de
acero necesaria para resistir ese momento puede calcularse como Aa = (M/z)/fa, siendo z el
brazo de palanca del par formado por las fuerzas T y C y fa el esfuerzo admisible en el
acero.
a
a
f
z
/
M
A 
Fig. 1.29 grietas
Acero pasivo

42. 42
Para comparar la cantidad de acero que hay que usar de acuerdo al esfuerzo
admisible y el tamaño de la grieta que aparece se presenta el siguiente cuadro:
Esfuerzo admisible Area de acero  e
1200 kg/cm2
Aa  e
2400 kg/cm2
Aa/2 /2 2e
Si se usan aceros de alta resistencia (cables)
12000kg/cm2
Aa/10 /10 10e
Al analizar el tamaño de la grieta, comparando el caso del acero de 1200 kg/cm2
con el de
12000kg/cm2
, se puede estimar que aumentaría 100 veces entre ellos dos pues
e= 10*fa*10*e/Ea = 100*fa*e/Ea
Puede afirmarse, en consecuencia, que un acero de alta resistencia usado como acero de
refuerzo pasivo originaría grietas de gran tamaño lo que lo inhabilita para tal fin.
1.10 Uso de otros materiales.-
El desarrollo de nuevos materiales puede ofrecer en un futuro cercano la posibilidad de tener
materiales que ofrezcan ventajas referentes a disminución de pérdidas, economía o mejor
resistencia a la corrosión. Actualmente se analiza el uso de tendones construidos con fibra
de vidrio los cuales presentan una elevada resistencia aunada a un bajo módulo de
elasticidad lo que conduciría a una minimización de las pérdidas. Sin embargo quedan aun
por resolver problemas relacionados fundamentalmente a efectos de fatiga, estabilidad
química, fragilidad y otros que le hacen un material no utilizable aun.
Ejemplo:
Se desea presforzar una pieza de concreto, para tal fin se prueban tres materiales cuyas
características se presentan seguidamente. Averiguar cual de los 3 materiales es el más
conveniente para pretensar el concreto.
MATERIAL PÉRDIDAS
A) A
f = 30.000 Kg/cm2
A
E = 10.000.000 Kg/cm2
60%
B) B
f = 7.000 Kg/cm2
B
E = 800.000 Kg/cm2 20%

43. 43
C) C
f = 8.000 Kg/cm2
C
E = 4.000.000 Kg/cm
Concreto de 200 Kg/cm2
Ec= 213546 Kg/cm2
90%
MATERIAL A
El material A usado para preesforzar una pieza de concreto sufre al ser tensado una
deformación unitaria de:
3
10
3 

 *
E
f
a
a
a

DISMINUCIÓN DE LA LONGITUD DE LA PIEZA
La pieza disminuye su longitud por tres efectos: acortamiento elástico, fluencia y retracción.
Sus valores se indican en el cuadro que aparece a continuación y se restan
consecutivamente a la deformación inicial del material A:
ACORTAMIENTO
ELÁSTICO
FLUENCIA RETRACCIÓN
2
3
110
10
5
0
m
/
kg
fc
para
c
*
,

 
 3
10
*
1
2 

 C
f

 3
10
*
3
,
0 

r

3
3
10
5
2
10
5
0
3

 



*
,
*
)
,
(
c
a


Queda después de
la fluencia:
3
10
5
1
3
10
1
5
2




*
,
*
)
,
(
Queda después de la
retracción:
3
3
10
*
2
,
1
10
*
)
3
,
0
5
,
1
(




PÉRDIDAS TOTALES 3
3
10
*
8
,
1
10
*
)
3
,
0
1
5
,
0
( 




ESFUERZOS REMANENTES 3*10-3
- 1.8*10-3
= 1.2*10-3
%
.
.
.
rdidas
é
P
,
*
*
,
P
cm
/
kg
.
.
.
*
*
,
f
60
000
30
000
12
000
30
6
0
10
3
10
8
1
000
12
00
000
10
10
2
1
3
3
2
3










MATERIAL B
En el caso del material B el alargamiento obtenido al tensarlo es de:

b
 3
10
75
.
8
000
.
800
000
.
7


 x
Eb
Fb
PÉRDIDAS
Las pérdidas, obtenidas como las producidas por acortamiento elástico, fluencia y retracción
son iguales al caso anterior pues dependen del comportamiento del concreto:
acortamiento elástico + fluencia + retracción = 1,8*10-3

44. 44
Deformación remanente =8.75*10-3
–1.8*10-3
=6,95*10-3 2
/
5560 cm
kg
f 
 esfuerzo
remanente
PÉRDIDAS = %
.
*
,
*
,
57
20
10
75
8
10
8
1
3
3



pérdidas = %
57
,
20
7000
5560
7000


MATERIAL C
Para el material C la deformación correspondiente es:
3
10
2
000
000
4
8000 


 *
.
.
E
f
c
c
c

Las pérdidas son las mismas que en los casos anteriores:
PÉRDIDAS =1,8*10-3
Deformación remanente = 2*10-3
–1.8*10-3
=0.2*10-3
2
6
3
800
10
4
10
2
0 cm
/
.
kg
*
*
*
,
f 
 
PÉRDIDAS = %
90
10
*
2
10
*
8
,
1
3
3



pérdidas = %
90
000
.
8
800
000
.
8


De lo observado en el ejemplo anterior se deduce que la elección del material más adecuado
no depende de una característica en particular del material sino de la combinación de estas
que produzca el menor porcentaje de pérdidas. Tal es el caso del material B que presenta el
20 % frente a los otros con valores más elevados.