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Tema 5:
Estado límite de inestabilidad de barras

EL de inestabilidad de barras
Índice
1. Introducción
2.Pandeo elástico de Euler
3. Longitud de pandeo y esbeltez
4. Factores que influyen en la carga de pandeo
q y g p
5. Curvas europeas de pandeo
6. Pandeo lateral
6. Pandeo lateral
7. Pandeo a torsión
8. Interacción de esfuerzos
8. Interacción de esfuerzos
9. Piezas compuestas

5.1. Introducción EL de inestabilidad de barras
• Dentro de los ELU a comprobar, el artículo 35 del capítulo IX (Estados límites últimos),
que forma parte del título 4º de dimensionamiento y comprobación de la EAE recoge las
comprobaciones a realizar para la verificación del ELU de inestabilidad de barras.
• El pandeo es un fenómeno de inestabilidad por compresión en el que se alcanza un estado
de equilibrio elástico y una nueva configuración deformada, diferente de la inicial y con
movimientos transversales, para ciertos valores de la carga de compresión aplicada.
, p g p p
• La resistencia de un elemento metálico a compresión depende de la resistencia de su
sección y de la resistencia como barra frente a inestabilidades como el pandeo por flexión,
l d fl t ió l d t ió C l l t táli ti
el pandeo a flexo‐torsión y el pandeo a torsión. Como los elementos metálicos tienes una
esbeltez media o alta, su diseño suele estar condicionado por la condición de inestabilidad
3
Pandeo por flexión Pandeo lateral o por flexo‐torsión

5.2. Pandeo elástico de Euler EL de inestabilidad de barras
• La carga crítica elástica de Euler de una barra articulada solicitada a compresión, se deriva
por la teoría de la estabilidad elástica y se define como el valor de la carga axial que hace
que una barra perfecta, elástica y articulada sometida a compresión, pase a trabajar a
fl ó l d d fl ó
flexión y axil. Se trata de un pandeo por flexión.
• Es un problema de bifurcación del equilibrio a partir de un punto con equilibrio inestable.
• Se considera una barra con sección y propiedades constantes (E, A, I), material elástico
Columna de Euler y pandeo por flexión
4
y p p ( , , ),
lineal, pequeños desplazamientos, carga perfectamente centrada, barra matemáticamente
recta sin imperfecciones y sin tensiones residuales.

• Considerando la columna de Euler, la condición de equilibrio de momentos en z sobre la
configuración deformada se expresa como:
( )
2
2 2
2
2 2
2
d y x
dx
M 1 d d y Ny d y
dx
E I ds dx E I dx
dy
1 dx
d


       
 
  
 

dx
 
 
 
 
2
2
d y x
E I N y x 0
dx
 
dx
     
1 2
y x C sen k x C cos k x
 
2 N
k
EI

Definiendo:
 
   
2
1
1
y x 0 0 C 0
C 0
y x L 0 C sen k L 0
kL
   


     

Condiciones de contorno:
   
1
y
kL n



Carga crítica de pandeo Ncr:
2 2
2
2
n N
k L n k
L E I


   
5
, , ...
2 2
cr 2
n E I
N con n 1 2 3
L

 
Luego:
2
cr 2
E I
N
L



• Considerando que el pandeo se produce cuando la energía de deformación a compresión
y a flexión se igualan, y que la deformada en pandeo es senoidal, es posible obtener la
misma expresión:
2 2
2
2
1
2
L
F o
y
U EI dx
x




2
2
y
x


con lacurvaturadelaviga
‐ Energía de deformación por flexión:
‐ Energía de deformación por axil de membrana:
2 2
0
0
1 1
2 2
L
L
m
ds dx y y
U N dx N dx
dx x x
m m
 
  
   
    
   
 
   
 
g p
2 4
( )
1
c
c
x
y x y sen
L
w
U EI


 
  
 


 3
2
2
2 2
2
2 2
0
1
2 2
F
F M
c
M
U EI
EI
L
U U N Ncr
L
w
U N
L





     

 


• La teoría de pandeo de Euler permite obtener la carga crítica de pandeo pero no permite
• La carga de pandeo de Euler, depende de la longitud, inercia de la barra y de las
condiciones de contorno.
6
La teoría de pandeo de Euler permite obtener la carga crítica de pandeo, pero no permite
conocer los movimientos y tensiones tras el pandeo, para conocerlos es necesario utilizar
la teoría de grandes desplazamientos.

• El pandeo por flexión planteado es el crítico o más habitual en perfiles con sección en I o
en H. En otros perfiles abiertos de pared delgada (U, L, secciones cruciformes…) a
compresión puede presentarse otras formas de pandeo como el pandeo por torsión o el
d fl ó
pandeo por flexotorsión.
Pandeo por torsión Pandeo por flexo torsión
EAE § 35.1.4
7
Pandeo por torsión Pandeo por flexo‐torsión
,
2
w
cr T T
2 2
c ET
1 E I
N G I
i L

 
 
 
 
   
, , , , , , ,
2
cr TF cr y cr T cr y cr T cr y cr T
1
N N N N N 4 N N
2


 
    
 
 

5.3. Longitud de pandeo y esbeltez EL de inestabilidad de barras
• Aplicando la teoría de pandeo de Euler a barras con otras condiciones de contorno se
calcula su carga crítica. Por ejemplo, en el caso de una barra empotrada articulada:
( . )
2
cr 2
E I
N
0 7L


• Se define la longitud de pandeo Lcr, como la longitud que tendría que tener una barra
biarticulada, para que la carga de pandeo coincida con la de la barra considerada con sus
condiciones de contorno:
2 2
E I E I
 
cr
L L


( )
cr 2 2
cr
E I E I
N
L L
 

 
EAE § 35.1.3
8
= 1 = 0.7 = 0.5 = 2 = 1
§ 35. .3

• Dividiendo la carga de pandeo de Euler entre el área de la sección A se obtiene la tensión
crítica de pandeo de Euler: 2
cr 2
cr
E I
AL

 
cr
2
• Definiendo la esbeltez mecánica de una barra  como el cociente entre la longitud de
pandeo Lcr y el radio de giro i de la barra:
cr
L I
i
i A
  
2
cr 2
E




E b f t t i l l t l ti f t l f ll d i á
• En una barra perfecta con material elastoplastico perfecto, el fallo se producirá por
pandeo elástico solo si la tensión crítica de Euler es menor que la tensión de plastificación.
En una barra corta con esbeltez baja el fallo ocurrirá por plastificación de la sección.
N
2
E E
• Al límite de esbeltez entre los dos comportamientos anteriores se le denomina E
y
N
f
A
  
2
cr y E
2
E y
E E
f
f

  

   
• Se define la esbeltez reducida como el cociente entre la esbeltez y la esbeltez límite:

9
y
y
E cr
Af
N



  EAE § 35.1.3

• El comportamiento de una barra perfecta en todo el rango de esbelteces es:
E
E
f
 

cr
L
i
 
E
y
f
• La curva anterior resume el comportamiento de una barra perfecta, pero las barras
reales tienen imperfecciones geométricas la compresión puede tener una cierta
reales tienen imperfecciones geométricas, la compresión puede tener una cierta
excentricidad, hay tensiones residuales… por lo que es necesario estudiar estos efectos
y modificar la curva teórica basada en el pandeo de Euler.
10

5.4. Factores que influyen en la carga de pandeo EL de inestabilidad de barras
• La carga crítica de pandeo de Euler no se alcanza en ninguna estructura real debido a la
existencia de imperfecciones tanto geométricas (perdida de verticalidad y de linealidad,
y excentricidades de la carga) como del material (tensiones residuales).
 Imperfecciones geométricas
Considerando una barra articulada a compresión con una deformación inicial senoidal:
p
0 0
x
y e sen
L

 
  
 
 
2
d y
 
0
2
d y
EI N y y 0
dx
  
La ecuación diferencial de equilibrio pasa a ser:
Combinando las expresiones anteriores y aplicando las condiciones de
sin
o
cr
e x
y
N L
1
N

 
  
 

contorno, la solución es:
N
1  
Con Ncr la carga de pandeo de Euler. La deformación total pasa a ser una
función del axil aplicado:
11
sin
I 0 0
cr
1 x
y y y e
N L
1
N

 
    
 


 Imperfecciones geométricas
El valor máximo de la deformación total e, se produce en x = L/2 y vale:
e
max
0
cr
e
e e
N
1
N
 

L d f ió i i i l fl t l b i l l b j d N
La deformación inicial genera flectores en la barra, incluso con valores bajos de N, que
provocan desplazamientos laterales. El comportamiento de bifurcación desaparece y la
carga crítica pasa a ser un valor asintótico.
    sin
0 0
cr
1 x
M x N y y N e
N L
1
N

 
    
 

cr
12

 Tensiones residuales
Las tensiones residuales por laminado, doblado, soldadura… son autoequilibradas, pero
modifican el comportamiento tensodeformacional global de la sección al producir la
p g p
plastificación prematura de partes de la sección, modificando el comportamiento a pandeo.
y
0,3f

compresión
y
y
0,2f
0,2f


compresión
tracción
p
C l fi d id t d l f t l l t d l CECM (C ió
• Con el fin de considerar todos los efectos reales planteados la CECM (Convención
Europea de la Construcción Metálica) planteó la realización de una campaña extensiva
de ensayos de pandeo y su ajuste numérico riguroso, considerando el comportamiento
elastoplástico real del acero (E no constante) la excentricidad de la carga imperfecciones
13
elastoplástico real del acero (E no constante), la excentricidad de la carga, imperfecciones
geométricas y tensiones residuales.

5.5. Curvas europeas de pandeo EL de inestabilidad de barras
• Los resultados experimentales de barras articuladas a compresión muestran que para
Los resultados experimentales de barras articuladas a compresión muestran que para
valores bajos de la esbeltez reducida el fallo se produce por plastificación de la sección, con
valores de /fy superiores a 1 debido al endurecimiento por deformación del acero.
• Para esbelteces reducidas elevadas el fallo se produce por pandeo en el rango elástico,
sin que las imperfecciones afecten de forma notable al resultado.
• Para esbelteces reducidas intermedias el fallo se produce por inestabilidad elastoplástica
Para esbelteces reducidas intermedias el fallo se produce por inestabilidad elastoplástica,
siendo en este caso muy importante el efecto de las imperfecciones.
• Las curvas europeas de pandeo (ECCS, 1977) relacionan el coeficiente de pandeo  = /fy
con la esbeltez reducida estableciéndose 5 curvas distintas en función del tipo de sección
14
con la esbeltez reducida, estableciéndose 5 curvas distintas en función del tipo de sección,
la dirección de pandeo, el tipo de acero, el espesor de las chapas y el proceso de
fabricación (laminado, conformado o soldadura).

EAE § 35.1.2
cr cr
N N
N A f
  
( , )
pl y
N A f
   

• Se puede usar una expresión analítica de las curvas, la gráfica o tablas.
15

EAE § 35.1.2
16

EAE § 35.1.2
17

• El procedimiento operativo para la comprobación de barras a compresión es:
‐ Calculo de la esbeltez adimensional
‐ Elección de la curva de pandeo
‐ Obtención del coeficiente de pandeo 
‐ Comprobaciones
• En barras de sección constante a compresión (Art. 35.1.1):
p ( )
18
• Esbelteces y comprobaciones para pandeo por torsión y flexo‐torsión (Art. 35.1.4)

5.6. Pandeo lateral
El d l t l i t bilid d d d i fl ió l l t
• El pandeo lateral es una inestabilidad que puede darse en vigas a flexión, en la que la parte
comprimida de la viga pandea saliéndose del plano de flexión, siendo sujetada por la parte
traccionada, lo que origina movimientos transversales fuera del plano de flexión y torsión.
• Afecta especialmente a perfiles abiertos (con poca inercia a torsión), que flectan en su eje
fuerte y tienen mucha mayor inercia en este eje I >> I Se trata de la inestabilidad mas
19
fuerte y tienen mucha mayor inercia en este eje Iy >> Iz. Se trata de la inestabilidad mas
habitual en perfiles en I o H trabajando a flexión en su plano fuerte.

5.6. Pandeo lateral
• Para el cálculo del momento elástico crítico de pandeo lateral se considera una viga con
Para el cálculo del momento elástico crítico de pandeo lateral se considera una viga con
apoyos en horquilla, que impiden el movimiento lateral y el giro, y permiten las rotaciones
por flexión y el alabeo. La viga esta sometida a un momento flector My constante.
• Hipótesis: viga perfecta sin imperfecciones, sección con doble simetría, material elástico
lineal y pequeños desplazamientos ( )
cos , sen
1
  
  
C id d l ilib i l t í d f d l i t d j ´ ´ ´ L
• Considerando el equilibrio en la geometría deformada, con el sistema de ejes x´, y´, z´. Los
desplazamientos w, v y , y asumiendo al estar en pequeños desplazamientos:
I I I I
 
( )
´: ( )
2
y y
2
d w x
Flexión en y EI M 0 1
d

 

,
cos
y y z z
y y y
z z y
I I I I
M M M
M M sen M

 
 


 
 
 
( )
´: ( ) ( )
y y
2
2
z y
2
3
dx
d v x
Flexión en z EI x M 0 2
dx




  



20
   
/ /
y y
T M sen dv dx M dv dx
 
( ) ( ) ( )
´: ( )
3
w T y
3
d x d x dv x
Torsión en x EI GI M 0 3
dx dx dx
 

  



5.6. Pandeo lateral EL de inestabilidad de barras
• La ecuación (1) de flexión vertical es independiente, mientras que las ecuaciones (2) y (3)
están acopladas. Diferenciando la ecuación (3) respecto a x (My constante) y utilizando la
ecuación (2) se obtiene la ecuación diferencial del pandeo lateral:
2
4 2
y
x x
w T x
4 2
z
M
d d
E I G I 0
dx dx E I
 

       

Ecuación diferencial de cuarto orden con coeficientes constantes, que se puede expresar:
con e
2
y
IV II T
x 1 x 2 x 1 2 2
M
G I
0
E I E I I
      

      
x 1 x 2 x 1 2 2
w w z
E I E I I
  
  
       
sh + ch sen cos
x 1 1 2 1 3 2 4 2
c x c x c x c x
    
          
2 2
4 4
     
La solución es:
con:
e
2 2
1 1 2 1 1 2
1 2
4 4
2 2
     
 
      
 
con:
• Considerando las condiciones de contorno con giro impedido en apoyos y alabeo libre se
       
II II
x x x x
0 0 L 0 0 0 L 0
   
   
• Considerando las condiciones de contorno con giro impedido en apoyos y alabeo libre se
obtiene una solución no trivial para el momento crítico de pandeo lateral:
21
       
x x x x
   

       
 
 
   
   
sh + ch sen cos
sh sen
sh sen
II 2 2 2 2
x 1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 2
x 2 4 2 4 x 1 1 3 2
2 4
II 2 2 II 2 2
x 2 1 4 2 x 1 1 1 3 2 2
c x c x c x c x
0 0 0 c c c c c x c x
c c 0
0 0 0 c c c x c x
        
   
       
              
              
   
 
             
 
     
   
sh sen
x 1 1 3
L 0 0 c L c
 
 
        
     
Solución no trivial
sh sen
2
II 2 2
x 1 1 1 3 2 2
2 2
L
L 0 0 c L c L
0

    
 
 


          
  
   
   
       
 
sh sen
sh sen sh
sh sen
sen
1 2
1 2 2 2
1 2 1 2 1
2 2
1 1 2 2
2
0
L L
0 L L 0 L 0
L L
L 0
 
 
    
   

  
  
           

        

  ,
2
1 1 2
2 2 y
4
L n n 1 M
L 2
  

  
   
         
2
2
cr T z z w
2
EGI I E I I
L L
 
 
( )
2
w
cr T z 2
T
EI
M GI EI 1
L L GI
 
 
2 2
z w T
cr 2 2
z z
EI I L GI
M
L I EI


 
T z z
• Momento crítico de pandeo lateral para una viga biapoyada, con alabeo libre, momento
M constante y sección con doble simetría
22
My constante y sección con doble simetría.

• Para casos distintos del resuelto es necesario acudir a soluciones numéricas aproximadas
que dependen de los siguientes factores:
 Cargas y distribución de momentos flectores que producen
 Cargas y distribución de momentos flectores que producen
 Condiciones de apoyo
 Longitud de la barra entre puntos con arriostramiento lateral
 Inercia a flexión lateral, a torsión y de alabeo de la sección
 Punto de aplicación de las cargas en la sección
a. Posición favorable: momento estabilizador: Mcr a > Mcr
b.Posición indiferente: momento nulo: Mcr
i ió d f bl d bili d
a b c
23
c. Posición desfavorable: momento desestabilizador: Mcr b < Mcr

5.6. Pandeo lateral
• El momento crítico elástico de pandeo lateral para una viga con sección constante simétrica
El momento crítico elástico de pandeo lateral para una viga con sección constante, simétrica
respecto al eje de inercia débil z, y flectando en el eje fuerte y se puede expresar como:
 
   
2 2
2
2
z T
z z w
1 2 3 j 2 3 j
k L G I
E I k I
M C C z C z C z C z

 
    
   
            
 
 
 
   
cr 1 2 g 3 j 2 g 3 j
2 2
w z z
z
M C C z C z C z C z
k I E I
k L 
 
 
 
 
  
 
Siendo:  C1, C2, y C3 coeficientes tabulados función de las cargas y condiciones de contorno
 z coordenada z del punto de aplicación de la carga
 
1 z

 za coordenada z del punto de aplicación de la carga
 zs coordenada z del CEC: zg = za –zs
 zj parámetro que refleja el grado de asimetría en el eje y (cero para doble simetría)
 
2 2
j s A
y
1 z
z z y z dA
2 I
     

 L longitud entre puntos arriostrados (sin movimiento lateral de la viga)
 K coeficiente de longitud efectiva relativo a los giros en z en secciones extremas
 Kz coeficiente de longitud efectiva relativo a los giros en z en secciones extremas
 Kw coeficiente de longitud efectiva relativo a la restricción al alabeo en secciones extremas
 Kz y Kw varían entre 0.5 para deformación impedida y 1 para deformación libre, con un valor
de 0 7 para deformación impedida en un extremo y libre en el otro
de 0.7 para deformación impedida en un extremo y libre en el otro
En el caso de una viga en voladizo Kz = 2
24

• No se indican los valores para voladizos
No se indican los valores para voladizos
25

COM § 18.2.4
26

5.6. Pandeo lateral
• En secciones con doble simetría y carga en CEC la expresión se simplifica a:
En secciones con doble simetría y carga en CEC la expresión se simplifica a:
 
 
2 2
2
z T
z z w
cr 1 2 2
w z z
z
k L G I
E I k I
M C
k I E I
k L


    
 
    
 
 
  
• Si además se consideran condiciones normales (Kz = Kw = 1, lo que supone un criterio
conservador salvo para vigas en voladizo con Kz = 2) la expresión del momento crítico elástico
de pandeo lateral es:
2 2
z w T
cr 1 2 2
z z
E I I L G I
M C
L I E I


   
   
 
COM § 35.2.2
C1: coeficiente que depende de la
ley de flectores entre puntos con el
movimiento lateral coaccionado, de
valor aproximado:
valor aproximado:
 
1 1
2
c
1
C C 1
k
 
L: longitud del elemento entre
puntos con movimiento lateral
impedido
27
EAE § 35.2.2.1

• Formas de impedir o reducir el efecto del pandeo lateral
 Aumentando la inercia a torsión y la inercia a flexión lateral, aumentando la sección
o pasando de un perfil IPE a un HEA o HEB o utilizando secciones cerradas huecas
o pasando de un perfil IPE a un HEA o HEB, o utilizando secciones cerradas huecas
 Reduciendo la longitud L entre puntos arriostrados de las zonas a compresión, es
decir, disponiendo más arriostramientos; o fijando el cordón comprimido con un
decir, disponiendo más arriostramientos; o fijando el cordón comprimido con un
arriostramiento continuo
Art. 35.2.1. En elementos de sección transversal cuadrada, circular o en cajón puede
omitirse la comprobación a pandeo lateral
omitirse la comprobación a pandeo lateral
28

• Las barras de arriostramiento deben estar adecuadamente dispuestas y dimensionadas
Correa puntal
• Las correas no siempre inmovilizan la parte comprimida de una viga principal, depende
de cómo varía la ley de momentos flectores:
29
Tornapuntas

• Esfuerzos sobre el arriostramiento
Cada elemento del apoyo lateral que estabiliza un elemento flectado o comprimido, debe
resistir una fuerza de valor igual a km∙ΣNEd/100 de los elementos a estabilizar más las cargas
ú d b l
externas que actúen directamente sobre los mismos
,
Ed
apoyo lateral Ed m
N
N k
100
 
.
m
1
k 0 5 1
m
 
  
 
 
COM § 22.4.1
30

N ti EAE EAE § 35 2 1
• Normativa EAE
En elementos no arriostrados lateralmente sometidos a flexión alrededor del eje fuerte,
debe verificarse:
M : valor de cálculo do momento flector
EAE § 35.2.1
M M

MEd: valor de cálculo do momento flector.
Mb,Rd: resistencia de cálculo a flexión frente a pandeo lateral.
Wy: módulo resistente de la sección (depende de la clase de sección).
χLT: coeficiente de redución para pandeo lateral.
,
Ed b Rd
M M

,
LT y y
b Rd
M 1
W f
M


 

χLT p p
Para calcular χLT la norma propone tres métodos:
M 1

EAE § 35.2.2
 Caso general:
αLT: coeficiente de imperfección.
λLT: esbeltez adimensional por pandeo lateral.
LT 1
 
 
, LT
LT LT LT
   

y y
LT
W f



LT 2
2
1



LT
cr
M
 
 
. .
2
LT
LT LT
2
LT LT
LT LT
0 5 1 0 2
  
   
 
 
     
 
 
31

 Mét d lt ti i d bl T ( i l ét d l)
 Método alternativo para secciones en doble T (mas preciso que el método general)
LT 2
2
LT
LT LT
1

   

  
LT 1
  LT 2
LT
1



EAE § 35.2.2.1
 
,
. LT
LT
LT LT
2
LT LT
L 0
T LT
0 5 1
   
   
 

 
      
 
 
EAE § 35.2.2.1
, .
.
LT 0 0 4
0 75


 



Se recomienda
Si ademas se considera la distribución de momentos flectores existente entre los puntos
de arriostramento lateral del elemento (K ) el coeficiente χ puede precisarse más
de arriostramento lateral del elemento (Kc), el coeficiente χLT puede precisarse más:
,mod
LT
LT
f

  ,mod
LT 1
  ,mod
LT 2
LT
1



f 1

   
. .
2
LT
c
f 1 0 5 1 k 1 2 0 8

 
       
 
 
 Método simplificado para vigas con arriostramientos laterales en edificios:
Consiste en realizar la comprobación de pandeo lateral de una viga, mediante la
comprobación a pandeo por flexión del ala comprimida equivalente EAE § 35 2 3
32
comprobación a pandeo por flexión del ala comprimida equivalente EAE § 35.2.3

5.7. Pandeo por torsión EL de inestabilidad de barras
 L b ió i d b j i id t i l d d
 Las barras a compresión con secciones de baja rigidez torsional pueden pandear a
torsión girando respecto de su eje longitudinal que permanece recto, si el CEC coincide
con el CDG de la sección.

 Si el CEC no coincide con el CDG puede aparecer un pandeo por flexo‐torsión, en el
que se combina flexión y torsión. La flexión provoca un cortante, que origina una
torsión al no coincidir CEC y CDG.
 La comprobación de una barra solicitada por
un axil de compresión frente a pandeo a flexión,
torsión o flexo‐torsión se realiza de forma similar
torsión o flexo torsión se realiza de forma similar
a la del pandeo por flexión, tomando como axil
crítico para el calculo de la esbeltez reducida el
menor valor de los tres tipos de pandeo posibles.
p p p
 Si el axil crítico es el asociado a la torsión o a la
flexo‐torsión, se considera como curva de pandeo
la asociada a la flexión en el eje con
EAE § 35.1.4 y
T
A f
N



la asociada a la flexión en el eje z‐z con:
33
cr
N
A: área en función de la clase de sección

5.7. Pandeo por torsión
EAE § 35.1.4
34

5.8. Interacción de esfuerzos: viga‐columna EL de inestabilidad de barras
 Vi l b tid ió il fl ió
 Viga‐columna: barra sometida a compresión por cargas axiles y flexión por cargas
transversales:
 Si se considera la barra únicamente como una
viga (N = 0), la flecha y momento máximos son:
3
máx 0 máx 0
Q L Q L
v v M M
48 E I 4
 
   
 Para estudiar la interacción entre axil y flector en
teoría de segundo orden, consideramos el equilibrio
48 E I 4
 
teoría de segundo orden, consideramos el equilibrio
en la geometría deformada:
2
2 2
2
d v
EI M 0
d v N Q x d v Q x
d

  

2
2
2 2
d v N Q x d v Q x
dx v 0 k v 0
dx EI 2EI dx 2EI
Q
M N v x
2


        


   


     
Q x
v x c sen k x c cos k x

Solución:
 
 
 
'
2
v 0 0 c 0
sen k x
Q N
Q
k
L 2 0
     
  

 

     
1 2
v x c sen k x c cos k x
2P
  
Solución:
35
 
 
' 1
Q
Q
v x con k
v L 2 0 c
L
2N EI
L
k cos k
2N k cos k
2
2

   
 
   
 
   
  
   
  
 
 

 Definiendo u = kL/2, y calculando con las expresiones anteriores la flecha y el flector
máximos en teoría de segundo orden, en función de los máximos de la teoría lineal v0 y M0:
   
tan tan
3
3 u u 3 u u
L Q L  
   
     
   
tan tan
tan tan
máx 0
3 3
2
máx 0
2
3 u u 3 u u
L Q L
v v x v
2 48 E I u u
d v QL u u
M EI M
dx 4 u u
   
     
    
 
 
 
    
 
 
Coeficientes amplificadores
por acoplamiento axil‐flector
L
x
2
dx 4 u u

 
tan
Si máx 0
u
N 0 1 M M
    
Si ; Si
máx 0
2
máx cr cr máx
2
u
E I
u M u N N N N M
2 2 L
    
            
 De forma simplificada, el efecto de interacción se puede expresar como:
1
máx 0
cr
1
M M
N
1
N
 

36
Factor de amplificación por acoplamento axil‐flector (efecto viga‐columna)

COM § 35.3
 Método de comprobación simplificado: COM § 35.3
 Método de comprobación simplificado:
M W f
MRk = W∙fy
37

 Se han planteado ya las comprobaciones ante inestabilidad de barras a axil (pandeo a flexión,
 Comprobación general de estabilidad en barras a flexión y compresión:
p y p (p ,
torsión o flexo‐torsión) y de barras a flexión en el eje fuerte (pandeo lateral)
EAE § 35 3
EAE § 35.3
Rk i y
N A f
 
,
Rk i y
i Rk i y
f
M W f
 
38

 Método 1: Coeficientes de interacción Kij
EAE § 35 3
EAE § 35.3
39

 Método 1: Términos auxiliares
EAE § 35.3
40

 Método 1:
EAE § 35.3
41

 Mét d 2 C fi i t d i t ió l t SIN d f ió t ió
 Método 2: Coeficientes de interacción en elementos SIN deformación por torsión
EAE § 35.3
42

 Mét d 2 C fi i t d i t ió l t CON d f ió t ió
 Método 2: Coeficientes de interacción en elementos CON deformación por torsión
EAE § 35.3
43

 Método 2: Factores C para la obtención del momento equivalente uniforme
 Método 2: Factores Cmi para la obtención del momento equivalente uniforme
44
EAE § 35.3

 Las comprobaciones anteriores son aplicables a elementos de sección constante con
 Las comprobaciones anteriores son aplicables a elementos de sección constante, con
doble simetría, que no sufran distorsión y sometidos a flexión y compresión.
 Los elementos no susceptibles a deformación por torsión son elementos de secciones
huecas cerradas o con otras secciones pero con la torsión impedida
huecas cerradas, o con otras secciones pero con la torsión impedida.
 Los elementos susceptibles a deformación por torsión son elementos con secciones
abiertas y torsión no impedida.
EAE § 35.3
 El método 1 permite identificar los diferentes efectos estructurales mediante coeficientes
específicos lo que le da mayor transparencia y una elevada precisión y consistencia El
45
específicos, lo que le da mayor transparencia y una elevada precisión y consistencia. El
método 2 usa factores de interacción compactos en los que la simplicidad prevalece sobre
la transparencia, por lo que es más adecuado para el diseño de casos estándar.

5.9. Piezas compuestas EL de inestabilidad de barras
 Influencia del esfuerzo cortante en la carga de pandeo: considerando la deformación
por cortante la carga de pandeo a flexión se reduce.
 Se asume una distribución de tensiones tangenciales constante en la sección = V/Av
v
definiendo el área equivalente a cortadura como un área tal que si sobre ella actúa una
distribución de tensiones tangenciales constante, la energía de deformación es la misma
que en la sección real sometida a la distribución de tensiones tangenciales reales.
dz
γxz
dx ; ; y
z xz
xz xz z
dM
V
V

 
  
2
2 2
y
z V z V z V
V xz 2 2 2
v v v v
d M
V d V d 1 dV d 1
d dx dx
GA dx GA dx GA dx dx GA dx
  
 
       
; ;
xz xz z
v
A G dx

v v v v
2
2
y y 2 2 2
N
M d M
d 1
d N N d d
EI
  

 
   
  
Curvatura total (flexión + cortante):
46
y y 2 2 2
2 2 2
v 2 2 2
v
y
v
d N N d d
EI
dx EI GA dx 1 0 0 k 0
dx GA EI dx dx
N
1
M N
GA
   
 

 
    
  
         
  
 
 
 
  

 

 L l ió t li l di i d t l íti d d d
2
N EI

 La solución tras aplicar las condiciones de contorno es la carga crítica de pandeo de
Euler incluyendo la deformación por cortante Ncr,V:
,
cr
cr V cr 2
cr
v
N EI
N con N
N L
1
GA

 

rixidez a cortante.
v v
S G A
  
 Efecto viga‐columna incluyendo la deformación por cortante:
Los esfuerzos de flexión se amplifican por el acoplamiento axil‐flector, y por la influencia
de la deformación por cortante
,
cr
cr V máx 0
cr
N 1
N M M
N N
1 1
   
 
de la deformación por cortante.
,
v cr V
máx 0
1 1
G A N
1
M M
N N
1


 
cr v
N N
1
N G A
 

 La influencia de la deformación por cortante es despreciable en piezas simples pero
47
 La influencia de la deformación por cortante es despreciable en piezas simples, pero
es importante en piezas compuestas como pilares empresillados o en celosía, vigas
alveoladas…

 U t d ió t t f d d fil ( d ) id
EAE § 70.5
 Un soporte de sección compuesta esta formado por dos o mas perfiles (cordones), unidos
entre si por otros perfiles o chapas con el fin de asegurar el trabajo conjunto de los cordones
 Los elementos compuestos están formados por dos o más perfiles simples (cordones),
paralelos a su directriz, unidos de forma discontinua y modular por medio de una estructura
de celosia (diagonales o diagonales y montantes), o por medio de elementos normales a la
EAE § 71.1
( g g y ) p
directriz (presillas), con el fin de asegurar un trabajo resistente conjunto de los cordones.
.
mpresillado.
en
celosía.
Pilar
e
Pilar
48

 Eje de inercia material EM: Eje de inercia que pasa por el baricentro de las secciones de
EAE § 71.2.1
EAE § 71.2.2
todos los cordones que componen el elemento.
 Eje de inercia libre EL: Eje de inercia que no pasa por el baricentro de las secciones de
todos los cordones que componen el elemento. EAE § 71.2.2
q p
 Comportamiento a pandeo:
• Si el pandeo se produce por giro respecto a un eje de inercia material, todos los cordones
se deforman igual y los enlaces no soportan esfuerzos siendo despreciable la deformación por
se deforman igual y los enlaces no soportan esfuerzos siendo despreciable la deformación por
cortante.(A)
• Si el pandeo se produce por giro respecto a un eje de inercia libre, unos cordones trabajan
a tracción y otros a compresión siendo los elementos de enlace los que soportan el cortante
EAE § 71.2.3
a tracción y otros a compresión, siendo los elementos de enlace los que soportan el cortante.
como los enlaces son discontinuos la deformación por cortante es importante (B)
A B
49

EAE § 70 5
 Disposiciones constructivas:
EAE § 71.1
EAE § 70.5
 Disposiciones constructivas:
• Se colocan presillas en los extremos unidas a las placas de cabeza y base
• Los elementos de unión dividen al elemento en tramos iguales de longitud a
• El número de tramos es mayor o igual que tres
• El número de tramos es mayor o igual que tres
• Se considera a efectos de comprobación que un soporte compuesto se comporta como un
único perfil si la separación a entre elementos de enlace es menor que 15 imin, siendo imin
el radio de giro mínimo de uno de los cordones
el radio de giro mínimo de uno de los cordones.
• Se cumple que a será menor o igual que 50 imin
• El ángulo de las diagonales con los cordones
estará entre 30º y 60 º.
estará entre 30 y 60 .
• En puntos con cargas intermedias transversales
se disponen elementos de unión.
• Los sistemas de unión en caras opuestas
p
deben tener la misma disposición.
50

 Ri id t t d l t t i l d
1 2
1 2
a
 
  

  
 Rigidez a cortante de elementos triangulados EAE § 71.2.3.1
d
1
sen



 


Distorsión por alargamiento de la diagonal
Distorsión por alargamiento‐
acortamento del montante
2 m
0
h
sen
d
 



m m 0 0
m m 0 0
m m
N h T h
h h
E E A n E A

 
  
      
   

Distorsión por alargamiento de la diagonal. acortamento del montante.
m m
d d
d d
d d
N d T d
d d
E E A n sen E A
1 T h T d T

 




  
     

    
 
 
0
2
m d v
2
d 0
v v 3
1 T h T d T
a n E A n sen E A G A
n E A a h
S G A
A h


 
    
 
     
 
   
   
 
51
3 d 0
3
m
A h
d 1
A d
 

 
 

 

 Ri id t t d l t ill d EAE § 71.2.3.2
δ1: debido al xiro θ.
δ d bid T/2 é l
 Rigidez a cortante de elementos empresillados
δ2: debido a T/2 en ménsula.
Icor: inercia de un solo cordón.
Ip: inercia de una presilla a flexión en su plano.
n: número de planos de presillas.
p p
3
2
cor
T a
48 E I



 
1
a
2




1 2
T 1 a
M M M 2

      
, ,
1 2 2
0 0
1
1 0 2 0 0 p p
1 M 1 1 M 2
p p p
M M M 2
2 n 2 T h a T h a
M h M h M h 12 n E I 24 n E I
3 E I 6 E I 6 E I
 
  
    

   

        

    
      

2 2
1 2 0 cor cor
v v 2
p cor v 2 cor 0
a h a T 24 E I 2 E I
T S G A
a 12 n E I 24 E I G A a
2 I h
a 1
2
  

 
      
         
 
 
       
 
   
 
 
52
p
a 1
2 n I a
 
 
 
 
 

 Procedimiento de cálculo EAE § 71.1
 Procedimiento de cálculo
Se considera una imperfección en el centro de la pieza compuesta de valor:
Considerando el efecto viga‐columna, la deformación por cortante, la imperfección inicial
0
L
e
500

I
EAE § 71.2.3
     
Ed Ed 0 Ed Ed Ed Ed
Ed Ed Ed Ed
1 1 L x
M N e M M x sen N M x
N N N N 500 L
1 1

  
 
         
 
 
 
 
l l
eo, y el momento flector exterior , puede calcularse el flector actuante como:
I
ED
M
Ed Ed Ed Ed
cr v cr v
1 1
N S N S
 
 
   
Considerando un cortante exterior , el cortante actuante se obtiene derivando:
I
ED
V
    , ,
cos
Ed Ed Ed Ed máx Ed Ed máx
Ed Ed Ed Ed
cr v cr v
1 x 1
V x N V x V N V
N N N N
500 L 500
1 1
N S N S
  
  
   
         
 
   
   
 
   
l l
Si , el escuerzo cortante actuante simplificado es:
I I
ED ED
V M 0
 
,
,
Ed máx
Ed máx
M
V
L

  EAE § 71.2.3
53
  0
x
e x e sen
L
 
 
   
 

L f t t b l l t t M V
Los esfuerzos actuantes sobre el elemento compuesto son: MED, VED EAE § 71.2.3
   
Ed Ed Ed
Ed Ed
1 L x
M x sen N M x
N N 500 L
1

  
 
    
 
 
 
 
l
cr v
1
N S
 
 
 
, ,
Ed máx Ed Ed máx
Ed Ed
1
V N V
N N 500
1

 
   
 
 
 
l
2
ef
cr 2
E I
N
L
  

cr v
1
N S
Siendo: donde Ief es la inercia efectiva
2
0 cor
ef
h A
I
2


2
0 cor
h A
I 2 I


   
‐Piezas trianguladas:
‐ Piezas empresilladas: siendo  el factor de eficiencia
ef cor
I 2 I
2

   
Piezas empresilladas: siendo  el factor de eficiencia
54

E i t t i l d (A) l il
En piezas compuestas trianguladas (A) solo aparecen axiles.
En piezas compuestas empresilladas (B) aparecen axiles, flectores y cortantes:
EAE § 71.2.3
B
A B
55
Nota: en los puntos de inflexión de la
deformada el momento flector es nulo.

E i t TRIANGULADAS l f i t
En piezas compuestas TRIANGULADAS, los esfuerzos internos son:
‐ Cordones:
,
Ed Ed 0 cor
cor Ed
ef
N M h A
N
2 2 I
 
 

EAE § 71.2.3.1
‐ Montantes y diagonales: Depende de la disposición de los elementos, por ejemplo
en una triangulación con diagonales iguales, suponiendo que todo el cortante es
absorbido por las diagonaless:
ef
En los cordones deberá verificarse (igualmente en diagonais e montantes):
,
Ed 0
dig Ed
V h
N sen
n sen d


 

cor Ed b Rd
N N

COM § 71.2.3.1
En los cordones deberá verificarse (igualmente en diagonais e montantes):
con Nb,Rd la resistencia de cálculo a pandeo del cordón comprimido, tomando como
lonxitude de pandeo:
, ,
cor Ed b Rd
N N
56

E l t t EMPRESILLADOS l f i t
En elementos compuestos EMPRESILLADOS, los esfuerzos internos son:
‐ Cordones: , ,
Ed Ed 0 cor Ed
cor Ed cor Ed
ef
N M h A V a
N M
2 2 I 4
  
  

EAE § 71.2.3.2
V
‐ Presillas:
E l d d b á ifi
, ,
p Ed
p Ed p Ed
0
V a V a
V M
n h 2 n
 
 
 
En los cordones deberá verificarse:
Inestabilidad entre dos presillas
+
Resistencia secciones extremas
con la longitud de pandeo la distancia a entre presillas
En las presillas deberá verificarse:
En las presillas deberá verificarse:
 
, , , ,
v y
p Ed c Rd c Rd pl Rd
M 0
A f 3
V V V V


  
, , ,
y
p Ed b Rd b Rd LT y
M 1
f
M M M W


   
Nota: aunque parezcan comprobaciones locales,
57
0 Ed 0
p p p
h 1 a V h
V 2 M V
2 n 2 2 2
 
      
 
 
q p p ,
son comprobaciones globales al intervenir Sv e Ncr
del elemento compuesto completo.

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