Este documento presenta la formulación débil y de Galerkin de la ecuación de Poisson bidimensional con condiciones de frontera de Dirichlet. En primer lugar, se describen las condiciones de frontera de Dirichlet y se obtiene la formulación variacional del problema. Luego, se aplica el método de Galerkin para discretizar la formulación variacional y se demuestra la existencia y unicidad de la solución mediante el teorema de Lax-Milgram. Finalmente, se utiliza la desigualdad de Poincaré para probar la elipticidad de la formulación.
Este documento contiene las respuestas de Carlos Guillermo Harnisch Costa a 4 actividades sobre conceptos básicos de C++. En la primera actividad, identifica tipos de datos válidos e inválidos. En la segunda, declara variables correctamente. En la tercera, define funciones propias. Y en la cuarta, explica los componentes principales de un programa en C++ como la función main.
Este documento contiene las respuestas a preguntas sobre declaración de variables, tipos de datos, entrada y salida en C++. Se identifican nombres de variables válidos e inválidos y se describen declaraciones apropiadas para diferentes tipos de variables. También se determinan qué tipos de datos numéricos, de caracteres y cadenas son válidos. Se explican conceptos como la función main y funciones definidas por el usuario.
Este documento presenta la resolución proposicional, un método deductivo para probar la validez de argumentos lógicos expresados como conjuntos de cláusulas. Se define la sintaxis y semántica de la lógica de cláusulas, y se explica cómo convertir fórmulas lógicas a forma clausal. Además, se describe la regla de resolución y cómo se pueden construir demostraciones mediante resolución de cláusulas o fórmulas. Por último, se establece que la resolución es adecu
Este documento presenta dos ejercicios resueltos de álgebra y funciones. El primer ejercicio involucra verificar el resultado de una división algebraica mediante tres métodos diferentes. El segundo ejercicio involucra establecer un sistema de ecuaciones lineales para determinar la diferencia original entre el largo y ancho de un rectángulo, dado cambios en sus dimensiones que mantienen constante su área.
Este documento contiene información sobre lógica proposicional y demostraciones matemáticas. Explica conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, formas proposicionales, álgebra proposicional y tipos de demostraciones como directas e indirectas. El documento está escrito en español y parece ser material de estudio para una clase de estructuras discretas o lógica matemática.
Este documento presenta la resolución proposicional, un método deductivo para probar la validez de argumentos en lógica proposicional. Se divide en cinco secciones: 1) lógica de cláusulas, 2) demostraciones por resolución, 3) algoritmos de resolución, 4) refinamientos de resolución y 5) argumentación por resolución. La sección sobre lógica de cláusulas introduce la sintaxis y semántica de la lógica clausal, mientras que la sección sobre demostraciones por
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
Este documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Un predicado es un enunciado con una o más variables que se vuelve proposición al sustituir las variables. Los cuantificadores universal y existencial indican si un predicado se cumple para todos o al menos uno en un dominio. Las expresiones cuantificadas pueden ser universales o particulares, afirmativas o negativas.
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Este documento presenta dos ejercicios resueltos de álgebra y funciones. El primer ejercicio involucra verificar el resultado de una división algebraica mediante tres métodos diferentes. El segundo ejercicio involucra establecer un sistema de ecuaciones lineales para determinar la diferencia original entre el largo y ancho de un rectángulo, dado cambios en sus dimensiones que mantienen constante su área.
Este documento contiene información sobre lógica proposicional y demostraciones matemáticas. Explica conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, formas proposicionales, álgebra proposicional y tipos de demostraciones como directas e indirectas. El documento está escrito en español y parece ser material de estudio para una clase de estructuras discretas o lógica matemática.
Este documento presenta la resolución proposicional, un método deductivo para probar la validez de argumentos en lógica proposicional. Se divide en cinco secciones: 1) lógica de cláusulas, 2) demostraciones por resolución, 3) algoritmos de resolución, 4) refinamientos de resolución y 5) argumentación por resolución. La sección sobre lógica de cláusulas introduce la sintaxis y semántica de la lógica clausal, mientras que la sección sobre demostraciones por
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos sobre análisis complejo y funciones de variable compleja.
2) El primer ejercicio estudia en qué puntos una función dada es diferenciable y si cumple las condiciones de Cauchy-Riemann.
3) Los ejercicios 2 y 3 calculan integrales de funciones complejas a lo largo de diferentes caminos cerrados y demuestran que una función dada no tiene primitiva holomorfa en ningún entorno de la circunferencia unidad.
Este documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Un predicado es un enunciado con una o más variables que se vuelve proposición al sustituir las variables. Los cuantificadores universal y existencial indican si un predicado se cumple para todos o al menos uno en un dominio. Las expresiones cuantificadas pueden ser universales o particulares, afirmativas o negativas.
Clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin fronteraJuliho Castillo
Este documento presenta la clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin frontera. Introduce conceptos fundamentales como geometría simpléctica, capacidades simplécticas y clasificación de superficies. Luego enuncia y demuestra el Teorema de Greene-Shiohama sobre la clasificación de capacidades en superficies, construyendo capacidades a través de encajes simplécticos.
(1) La lógica proporciona un lenguaje claro y métodos precisos para demostrar teoremas a partir de axiomas. (2) Se introducen nociones como proposiciones, valores de verdad y conectivos lógicos. (3) Los conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción e implicancia sirven para construir nuevas proposiciones a partir de otras, y sus valores de verdad se determinan mediante tablas de verdad.
Este documento resume el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como conjuntos convexos, soluciones básicas, variables básicas y no básicas. Describe el procedimiento del método, el cual genera soluciones básicas posibles evaluando si son óptimas, e intercambiando variables entre la base y no base para encontrar la solución óptima. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Este documento presenta tres resúmenes de lecciones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. La lección trece resume un texto sobre el tema. La lección catorce resume un capítulo sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales. La lección quince indica que la aplicación de las ecuaciones diferenciales se encuentra en otra lección.
El documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Específicamente, define predicados como enunciados que contienen variables que pueden tomar valores de un dominio específico. Explica los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para indicar si un predicado se cumple para toda la población o al menos para un caso. Además, describe cómo se pueden representar expresiones comunes del lenguaje natural usando estos conceptos de lógica de predicados.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos:
El documento introduce conceptos básicos de criptografía simétrica y asimétrica, así como conceptos de álgebra abstracta como grupos y anillos utilizados en criptografía. Explica el problema de logaritmo discreto en grupos como Zp× y su aplicación en algoritmos como Diffie-Hellman. Finalmente, discute el uso de curvas elípticas y hiperelipticas como posibles grupos donde el problema de logaritmo discreto es más difícil de resolver.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin fronteraJuliho Castillo
Este documento presenta la clasificación de capacidades simplécticas en superficies sin frontera. Introduce conceptos fundamentales como geometría simpléctica, capacidades simplécticas y clasificación de superficies. Luego enuncia y demuestra el Teorema de Greene-Shiohama sobre la clasificación de capacidades en superficies, construyendo capacidades a través de encajes simplécticos.
(1) La lógica proporciona un lenguaje claro y métodos precisos para demostrar teoremas a partir de axiomas. (2) Se introducen nociones como proposiciones, valores de verdad y conectivos lógicos. (3) Los conectivos lógicos como la negación, disyunción, conjunción e implicancia sirven para construir nuevas proposiciones a partir de otras, y sus valores de verdad se determinan mediante tablas de verdad.
Este documento resume el método algebraico para resolver problemas de programación lineal. Explica conceptos clave como conjuntos convexos, soluciones básicas, variables básicas y no básicas. Describe el procedimiento del método, el cual genera soluciones básicas posibles evaluando si son óptimas, e intercambiando variables entre la base y no base para encontrar la solución óptima. Finalmente, presenta un ejemplo para ilustrar los pasos del método.
Este documento presenta tres resúmenes de lecciones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. La lección trece resume un texto sobre el tema. La lección catorce resume un capítulo sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales. La lección quince indica que la aplicación de las ecuaciones diferenciales se encuentra en otra lección.
El documento describe el cálculo de predicados, incluyendo definiciones, variables, cuantificadores y restricciones. Específicamente, define predicados como enunciados que contienen variables que pueden tomar valores de un dominio específico. Explica los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para indicar si un predicado se cumple para toda la población o al menos para un caso. Además, describe cómo se pueden representar expresiones comunes del lenguaje natural usando estos conceptos de lógica de predicados.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones o menos:
El documento introduce conceptos básicos de criptografía simétrica y asimétrica, así como conceptos de álgebra abstracta como grupos y anillos utilizados en criptografía. Explica el problema de logaritmo discreto en grupos como Zp× y su aplicación en algoritmos como Diffie-Hellman. Finalmente, discute el uso de curvas elípticas y hiperelipticas como posibles grupos donde el problema de logaritmo discreto es más difícil de resolver.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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1. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
´ ´
FORMULACION DEBIL Y DE GALERKIN DE LA
´
ECUACION DE POISSON BIDIMENSIONAL.
EIDER YESID PERDOMO
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
´
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES EXACTAS Y DE LA EDUCACION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
2. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Formulaci´n variacional y de Galerkin de la ecuaci´n de
o o
Poisson
1 Condiciones frontera Dirichlet.
2 Formulaci´n de Galerkin.
o
3. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Condiciones de frontera Dirichlet
Inicialmente consideremos el siguiente problema con valor en la
frontera (pvf):
−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω,
donde Ω es un conjunto abierto acotado del espacio R2 y la
funci´n f ∈ L2 (Ω).
o
4. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
La formulaci´n variacional para estudiar (pvf) de deduce da la
o
siguiente forma.
Paso 1. Obtenci´n de la formulaci´n variacional.
o o
Haciendo uso de la primera identidad de Green se deduce
∂u
−(∆u)v = u · v dxdy − v ds
Ω Ω ∂Ω ∂ν
= u· v dxdy
Ω
∞
= fv dxdy ∀v ∈ C0 (Ω)
Ω
5. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
La formulaci´n variacional para estudiar (pvf) de deduce da la
o
siguiente forma.
Paso 1. Obtenci´n de la formulaci´n variacional.
o o
Haciendo uso de la primera identidad de Green se deduce
∂u
−(∆u)v = u · v dxdy − v ds
Ω Ω ∂Ω ∂ν
= u· v dxdy
Ω
∞
= fv dxdy ∀v ∈ C0 (Ω)
Ω
1 ∞
Dado v ∈ H0 (Ω) existe φm ∈ C0 (Ω) tal que
φm → v en H 1 (Ω).
6. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
La formulaci´n variacional para estudiar (pvf) de deduce da la
o
siguiente forma.
Paso 1. Obtenci´n de la formulaci´n variacional.
o o
Haciendo uso de la primera identidad de Green se deduce
∂u
−(∆u)v = u · v dxdy − v ds
Ω Ω ∂Ω ∂ν
= u· v dxdy
Ω
∞
= fv dxdy ∀v ∈ C0 (Ω)
Ω
1 ∞
Dado v ∈ H0 (Ω) existe φm ∈ C0 (Ω) tal que
φm → v en H 1 (Ω).
As´ a partir de la igualdad anterior, cuando m → ∞ se deduce
ı,
( u· φm )dxdy → ( u· v )dxdy
Ω Ω
7. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
y
f φm dxdy → fvdxdy .
Ω Ω
8. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
y
f φm dxdy → fvdxdy .
Ω Ω
De las anteriores dos convergencias la formulaci´n variacional
o
para (pvf) queda determinada de la siguiente forma:
1
Encontrar u ∈ H0 (Ω) tal que
1
(fvd) ( u· v ) dxdy = fv dxdy ∀u, v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
B(u,v ) L(v )
9. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Paso 2. Existencia y unicidad de la formulaci´n variacional.
o
Haciendo uso del teorema de Lax-Milgram:
Sea B : H × H → R una forma bilineal acotada y el´
ıptica.
Para todo f ∈ H , existe un unico u ∈ H tal que
´
B(u, v ) = f (v ) ∀v ∈ H.
Adem´s,
a
1
u ≤ f H
α
donde α > 0 es la constante de elipticidad de B.
10. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
B es acotada.
|B(u, v )| = ( u· v )dxdy
Ω
≤ | u· v | dxdy
Ω
∂u ∂v ∂u ∂v
= + dxdy
Ω ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
≤ + dxdy
Ω ∂x ∂x Ω ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v
≤ +
∂x L2 (Ω) ∂x L2 (Ω) ∂y L2 (Ω) ∂y L2 (Ω)
≤ u H 1 (Ω) v H 1 (Ω) .
11. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
12. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
Lema (Desigualdad de poincar´ para funciones suaves)
e
Sea Ω un subconjunto abierto de R2 , acotado. Entonces, existe
una constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ C 1 (Ω) que
o
satisface v = 0 en ∂Ω se tiene,
|v |2 dxdy ≤ C | v |2 dxdy
Ω Ω
13. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
Lema (Desigualdad de poincar´ para funciones suaves)
e
Sea Ω un subconjunto abierto de R2 , acotado. Entonces, existe
una constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ C 1 (Ω) que
o
satisface v = 0 en ∂Ω se tiene,
|v |2 dxdy ≤ C | v |2 dxdy
Ω Ω
Demostraci´n (esquema)
o
Tomamos v ∈ C 1 (Ω) y denotamos por v la extensi´n por cero
˜ o
de v a todo R 2.
14. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Para probar la elipticidad de B es necesario el uso de la
1
desigualdad de poincar´ para funciones de H0 (Ω).
e
Lema (Desigualdad de poincar´ para funciones suaves)
e
Sea Ω un subconjunto abierto de R2 , acotado. Entonces, existe
una constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ C 1 (Ω) que
o
satisface v = 0 en ∂Ω se tiene,
|v |2 dxdy ≤ C | v |2 dxdy
Ω Ω
Demostraci´n (esquema)
o
Tomamos v ∈ C 1 (Ω) y denotamos por v la extensi´n por cero
˜ o
de v a todo R 2.
Verificamos que v es continua en ∂Ω. Sea ε > 0 cualquiera.
˜
Dado que v ∈ C 1 (Ω) y v (x0 , y0 ) = 0, entonces existe δ > 0
tal que
15. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.
16. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.
Se deduce adem´s que
a
(x, y ) ∈ R2 Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y ) = 0
˜
⇒ v (x, y ) < ε
˜
17. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
(x, y ) ∈ Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y )
⇒ v (x, y )
˜
< ε.
Se deduce adem´s que
a
(x, y ) ∈ R2 Ω ∧ (x, y ) − (x0 , y0 ) < δ ⇒ v (x, y ) = 0
˜
⇒ v (x, y ) < ε
˜
Tomamos z = (x1 , y1 ) ∈ Ω. As´ por ser v continua
ı, ˜
x1
∂v
v (z) = v (z) =
˜ (t, y1 )dt.
a ∂x
18. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
x1 x1 2
2 ∂v
|v (z)| ≤ dt (t, y1 ) dt
a a ∂x
x 2
∂v
= (x1 − a) (t, y1 ) dt
a ∂x
b 2
∂v
≤ (b − a) (t, y1 ) dt.
a ∂x
19. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene
x1 x1 2
2 ∂v
|v (z)| ≤ dt (t, y1 ) dt
a a ∂x
x 2
∂v
= (x1 − a) (t, y1 ) dt
a ∂x
b 2
∂v
≤ (b − a) (t, y1 ) dt.
a ∂x
Se integra sobre Ω en ambos lados de la desigualdad anterior
y se obtiene
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dtdz.
Ω Ω a ∂x
20. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso del teorema de Fubini se deduce
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dz dt
Ω a Ω ∂x
∂v
= (b − a)2 | (z)|2 dz
Ω ∂x
≤ (b − a)2 | v (z)|2 dz .
Ω
21. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso del teorema de Fubini se deduce
b 2
∂v
|v (z)|2 dz ≤ (b − a) (t, y1 ) dz dt
Ω a Ω ∂x
∂v
= (b − a)2 | (z)|2 dz
Ω ∂x
≤ (b − a)2 | v (z)|2 dz .
Ω
Por lo tanto se deduce que
|v (z)|2 dz ≤ C | v (z)|2 dz,
Ω Ω
donde C = (b − a)2 y as´ concluye la demostraci´n.
ı o
22. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Proposici´n (Desigualdad de Poincar´)
o e
Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C dxdy + dxdy .
Ω Ω ∂x Ω ∂y
23. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Proposici´n (Desigualdad de Poincar´)
o e
Sea Ω un conjunto abierto de R2 acotado. Entonces, existe una
1
constante C > 0 tal que para toda funci´n v ∈ H0 (Ω)
o
2 2
∂v ∂v
|v |2 dxdy ≤ C dxdy + dxdy .
Ω Ω ∂x Ω ∂y
Observaci´n o
A partir de la desigualdad de Poincar´ se deduce que la norma
e
1
· H 1 (Ω) y la seminorma · L2 (Ω)2 son equivalentes en H0 (Ω). Es
decir
u L2 (Ω)2 ≤ u H 1 (Ω) ≤ C 2 + 1 u L2 (Ω)2 ,
24. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
B es el´
ıptica. Haciendo uso de la desigualdad de Poincar´,
e
1
para todo v ∈ H0 (Ω) se tiene que
B(u, u) = ( u· u)dxdy = u L2 (Ω)2
Ω
1 2
≥ u H 1 (Ω)
C2 +1
25. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
B es el´
ıptica. Haciendo uso de la desigualdad de Poincar´,
e
1
para todo v ∈ H0 (Ω) se tiene que
B(u, u) = ( u· u)dxdy = u L2 (Ω)2
Ω
1 2
≥ u H 1 (Ω)
C2 +1
L es acotado.
|L(v )| = fvdxdy ≤ |fv | dxdy
Ω Ω
≤ f L2 (Ω) v L2 (Ω) .
26. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que
u ∈ H 2 (Ω).
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) y aplicando la primera identidad de
Green en (fvd) se deduce
− v ∆udxdy = fvdxdy .
Ω Ω
27. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que
u ∈ H 2 (Ω).
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) y aplicando la primera identidad de
Green en (fvd) se deduce
− v ∆udxdy = fvdxdy .
Ω Ω
De lo anterior se obtiene
(f + ∆u)vdxdy = 0 ∀v ∈ C ∞ (Ω),
Ω
lo cual implica
−∆u = f c.t.p en Ω.
28. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Paso 3. Equivalencia de ecuaciones. Supongamos que
u ∈ H 2 (Ω).
1
Para todo v ∈ H0 (Ω) y aplicando la primera identidad de
Green en (fvd) se deduce
− v ∆udxdy = fvdxdy .
Ω Ω
De lo anterior se obtiene
(f + ∆u)vdxdy = 0 ∀v ∈ C ∞ (Ω),
Ω
lo cual implica
−∆u = f c.t.p en Ω.
1
Adem´s, puesto que u ∈ H0 (Ω) se tiene que u = 0 en ∂Ω.
a
29. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Se presenta a continuaci´n el Teorema cuya demostraci´n se
o o
obtiene teniendo en cuenta los tres pasos anteriores.
Teorema
Sean Ω un conjunto abierto acotado de R2 y f ∈ L2 (Ω). Existe una
´ o 1
unica soluci´n u ∈ H0 (Ω) que satisface la formulaci´n variacional
o
1
( u· v )dxdy = fvdxdy ∀v ∈ H0 (Ω).
Ω Ω
Adem´s, u satisface
a
−∆u = f c.t.p en Ω.
Ahora, si asumimos que Ω es de clase C 1 , entonces u es soluci´n
o
del problema de valor en la frontera
−∆u = f en Ω,
u = 0 en ∂Ω.
30. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.
31. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.
El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que
B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )
32. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Formulaci´n de Galerkin
o
Sea Hm ⊆ H un subespacio de dimensi´n finita m.
o
Consideramos el problema variacional de encontrar u ∈ H tal
que
B(u, v ) = L(v ) ∀v ∈ H.
El esquema de Galerkin de la formulaci´n variacional anterior
o
queda determinado como: Encontrar um ∈ Hm tal que
B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm (fvg )
La soluci´n de (fvg) se calcula resolviendo un sistema
o
matricial como se demuestra en el siguiente lema.
33. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema
Sea H un espacio de Hilbert y Hm ⊆ H un subespacio de
dimensi´n finita. Adem´s, sea B una forma bilineal acotada el´
o a ıptica
sobre H y L un operador lineal acotado sobre H. Entonces, el
esquema de Galerkin (fvg) tiene soluci´n unica. Adem´s, esta
o ´ a
soluci´n puede obtenerse resolviendo un sistema lineal con una
o
matriz definida positiva.
34. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema
Sea H un espacio de Hilbert y Hm ⊆ H un subespacio de
dimensi´n finita. Adem´s, sea B una forma bilineal acotada el´
o a ıptica
sobre H y L un operador lineal acotado sobre H. Entonces, el
esquema de Galerkin (fvg) tiene soluci´n unica. Adem´s, esta
o ´ a
soluci´n puede obtenerse resolviendo un sistema lineal con una
o
matriz definida positiva.
Demostraci´n (esquema)
o
Sea {e1 , ..., em } una base de Hm . El problema (fvg) se reduce
a encontrar α1 , ..., αm ∈ R tales que
m m
B αj ej , vm = αj B(ej , vm ) = L(vm ) (∗)
j=1 j=1
∀vm ∈ Hm .
35. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
En particular para ei donde i ∈ {1, .., m}, el problema queda
determinado como: Hallar α1 , ..., αm ∈ R tales que
m
αj B(ej , ei ) = L(ei ) ∀i ∈ {1, .., m} .
j=1
Se define la matriz A = (aij )m×m y los vectores α = (αj )m×1 ,
L = (lj )m×1 , donde
aij = B(ej , ei ) y lj = L(ej ).
As´ la formulaci´n variacional (∗) se puede escribir como:
ı, o
Hallar α ∈ Rn tal que:
Aα = L (∗∗).
36. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Se prueba que la matriz A es definida positiva, lo cual es
posible gracias a la elipticidad de la forma bilineal B(u, v ). En
efecto,
a11 a12 . . . . . . a1m α1
a21 a22 . . . . . . α2
a2m
α Aα = (α1 , α2 , ..., αm ) .
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 am2 . . . . . . amm αm
2
m m m
=B αj ej , αj ej ≥ ν αj ej ≥ 0.
j=1 j=1 j=1
37. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Se prueba que la matriz A es definida positiva, lo cual es
posible gracias a la elipticidad de la forma bilineal B(u, v ). En
efecto,
a11 a12 . . . . . . a1m α1
a21 a22 . . . . . . α2
a2m
α Aα = (α1 , α2 , ..., αm ) .
. .
. .
. .
.
. . . .
am1 am2 . . . . . . amm αm
2
m m m
=B αj ej , αj ej ≥ ν αj ej ≥ 0.
j=1 j=1 j=1
Se prueba que si α Aα = 0 entonces α = 0, con lo cual se
garantiza la soluci´n unica de (∗∗).
o ´
38. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema (Lema de Cea)
Sean H un espacio de Hilbert y {Hm }m∈Z+ una familia numerable
de subespacios de dimensi´n finita de H. Adem´s, sea L : H → R
o a
un operador lineal acotado y B : H × H → R una forma bilineal
acotada el´
ıptica, es decir existen M > 0, ν > 0 tales que
|B(v , w )| ≤ M v w ∀v , w ∈ H
y
2
B(u, u) ≥ ν u ∀u ∈ H.
Si u es la soluci´n de (16) y um la soluci´n de (16). Entonces,
o o
M
u − um ≤ inf u − vm . (1)
ν vm ∈Hm
39. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Demostraci´n (esquema)
o
Sea Hm ⊆ H. De las formulaciones variacionales (16) y (16)
se tiene:
B(u, vm ) = L(vm ) , B(um , vm ) = L(vm ) ∀vm ∈ Hm .
De lo anterior se deduce que
B(u − um , vm ) = B(u, vm ) − B(um , vm ) = L(vm ) − L(vm )
= 0 ∀vm ∈ Hm .
En particular,
B(u − um , vm − um ) = 0 ∀vm ∈ Hm .
40. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso de la elipticidad de B se obtiene
2
ν u − um ≤ B(u − um , u − vm ) ∀vm ∈ Hm .
41. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso de la elipticidad de B se obtiene
2
ν u − um ≤ B(u − um , u − vm ) ∀vm ∈ Hm .
De lo anterior y puesto que B es acotada se deduce
2
ν u − um ≤ M u − um u − vm .
As´ suponiendo que u − um = 0 se tiene que
ı,
M
u − um ≤ u − vm ∀vm ∈ Hm .
ν
42. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
Haciendo uso de la elipticidad de B se obtiene
2
ν u − um ≤ B(u − um , u − vm ) ∀vm ∈ Hm .
De lo anterior y puesto que B es acotada se deduce
2
ν u − um ≤ M u − um u − vm .
As´ suponiendo que u − um = 0 se tiene que
ı,
M
u − um ≤ u − vm ∀vm ∈ Hm .
ν
ınfimo respecto vm ∈ Hm en la desigualdad
Se toma el ´
anterior.
43. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema
Asumiendo que existe un subespacio Q ⊂ H denso en H, adem´s a
de un operador Im : H → Hm (llamado operador interpolaci´n) tal
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞
Entonces, la soluci´n um del esquema de Galerkin (16) converge a
o
la soluci´n u de la formulaci´n variacional (16), es decir,
o o
ım u − um = 0.
l´
m→∞
44. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema
Asumiendo que existe un subespacio Q ⊂ H denso en H, adem´s a
de un operador Im : H → Hm (llamado operador interpolaci´n) tal
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞
Entonces, la soluci´n um del esquema de Galerkin (16) converge a
o
la soluci´n u de la formulaci´n variacional (16), es decir,
o o
ım u − um = 0.
l´
m→∞
Demostraci´n (Esquema)
o
Tomamos u ∈ H la soluci´n de la formulaci´n variacional (16)
o o
y ε > 0. Adem´s, sean ν, M > 0 tales que (1) se verifica.
a
45. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
Lema
Asumiendo que existe un subespacio Q ⊂ H denso en H, adem´s a
de un operador Im : H → Hm (llamado operador interpolaci´n) tal
o
que
ım v − Im (v ) = 0 ∀v ∈ Q.
l´ (2)
m→∞
Entonces, la soluci´n um del esquema de Galerkin (16) converge a
o
la soluci´n u de la formulaci´n variacional (16), es decir,
o o
ım u − um = 0.
l´
m→∞
Demostraci´n (Esquema)
o
Tomamos u ∈ H la soluci´n de la formulaci´n variacional (16)
o o
y ε > 0. Adem´s, sean ν, M > 0 tales que (1) se verifica.
a
Argumentando por densidad de Q en H se garantiza la
existencia de v ∈ Q tal que
46. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
ν
u−v < ε. (3)
2M
De (2) existe N > 0 tal que m ≥ N implica
ν
v − Im (v ) < ε. (4)
2M
47. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
contin´a demostraci´n
u o
ν
u−v < ε. (3)
2M
De (2) existe N > 0 tal que m ≥ N implica
ν
v − Im (v ) < ε. (4)
2M
As´ del lema de C´a y de (3), (4) se tiene que para m ≥ N se
ı, e
cumple
M
u − um ≤ inf u − v
ν v ∈Hm
M
≤ u − Im (v ) ∀v ∈ Q
ν
M
≤ [ u − v + v − Im (v ) ] < ε.
ν
48. Presentaci´n Capitulo IV
o Condiciones frontera Dirichlet Formulaci´n de Galerkin
o
BIBLIOGRAF´
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Munkres, R. James. Analisys and Manifoilds. Addison Wesley. Redwood city. 1995.