1. Republica Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Decanato de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Proporciones
Participante:
JoséSánchez
C.I: 16973700
Estructuras Discretas
Lapso académico 2012/02

2. Proposición
Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un
lenguaje común, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por
medio de signos o símbolos.
En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el
producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el
juicio.
Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un
juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación
categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad.
Identificar los conectivos lógicos de una proposición
SIMBOLO PALABRA NOMBRE
(), [] AGRUPACION
¬ No, no es cierto, NEGACION
not
Y, and CONJUNCION
O, or DISYUNCIÓN INCLUSIVA, PERMITE
TODOS LOS CASOS
0..0, xor DISYUNCIÓN EXCLUSIVA, PERMITE
SOLO UNO DE TODOS LOS CASOS.
→ Si… entonces SI CONDICIONAL O IMPLICACIÓN
↔ Si y solo si BICONDICIONAL O IMPLICACIÓN
DOBLE
La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación,
bicondicional y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la
siguiente proposición: p →q ¬r El correcto para resolverlo sería para este caso:
1. Primero negamos r ( ¬r )
2. Luego resolvemos la conjunción (q ¬q)
3. Por último resolvemos la implicación →
Pero tiene mayor los signos de agrupación, des esta manera, si nos encontramos con la
proposición: (p →q) ¬r
1. Primero resolvemos la implicación (p →q)
2. Luego hacemos la negación de r ( ¬r )
3. Por último la conjunción.

3. Como podemos observar los operadores se colocan a la izquierda de la variable proposicional,
siendo incorrectos los siguientes ejemplos:
p¬
q↔r
Solo por mencionar algunos ejemplos, porque podrían haber muchas combinaciones
incorrectas.
Identificar las distintas formas proposicionales
Existen 3 formas proposicionales:
Tautológicas
Contradicciones
Falacias
Tautológicas:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
Contradicciones:
Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
Falacias o Indeterminada:
Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.
Condición Suficiente
H es condición suficiente para C.
Ejemplo:
Si llueve hoy entonces me mojo
HC

4. Condición Necesaria
C es condición necesaria para H, si la enunciación hipotética A-B es verdadera se dice que A
es una condición suficiente para B. Bajo las mismas condiciones, se dice que B es una
condición necesaria para A. Esquemáticamente:
A-B Dónde
A: Condición suficiente para B
B: Condición necesaria para A
Conocer las leyes del Álgebra proposicional
LEYES DEL ALGEBRA PROPORSIONAL
P
P Doble negación
P P
P Idempotencia
P P
P Idempotencia
P(  R) ( Q)  R
Q P Ley asociativa
P( R) ( Q) 
Q P R Ley asociativa
(PQ)  ( 
Q P) Ley del contrarrecíproco
(PQ) ( P)
Q Ley conmutativa
PQ) ( 
Q P) Ley conmutativa
P( R) ( Q) ( R)
Q P P Ley distributiva
P ( Ú R) (  Q)  (
Q P P Ley distributiva
R)
( Q)  
P P Q Ley de De Morgan
 P  
( Q) P Q Ley de De Morgan
( Q)  
P P Q
PQ  P
 Q)

5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería
La demostración es un razonamientoo serie de razonamiento queprueba la validez de un
nuevoconocimiento estableciendo sus conexiones necesarias con otros conocimientos.Cuando un conocimiento
queda demostrado, entonces se le reconoce como válido y es admitidodentro de la disciplina correspondiente.La
demostración es el enlace, entre los conocimientos recién adquiridos y el conjunto de losconocimientos anteriores.El
enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los anteriores está constituidos por unasucesión finita de
proposiciones que o bien son postulados o bien son conocimientos cuya validezse ha inferido de otras proposiciones,
mediante operaciones lógicas perfectamente coordinadas.La demostración permite explicar unos conocimientos por
otros y por tanto es una pruebarigurosamente racional.Sabemos que todas las proposiciones de una teoría
matemática se clasifican en dos tipos: lasaceptadas sin demostración que son las definiciones (donde no hay nada por
demostrar) y loso (que se toman como proposiciones de partida) y las deducidas, llamadas (que son proposiciones
cuya validez ha sido probada).No siempre tenemos evidencia directa de la validez de un teorema. Eso depende en
parte sugrado de complejidad y de nuestra mayor o menor familiaridad con su contenido.Un teorema requiere
demostración cuando no hay evidencia de su validez.
Estructura de la demostración
La demostración consta de tres partes:
a) El conocimiento que se trata de demostrar, es decir la proposición (teorema)cuya validez setrata de probar.
b) Los fundamentos empleados como base de la demostración.c) El procedimiento usado para lograr que el
conocimiento quede demostrado.Los procedimientos de demostración permiten establecer la conexión lógica entre
losfundamentos y sus consecuencias sucesivas, hasta llegar como conclusión final a la tesis que así se demuestra.
Una tesis puede ser demostrada mediante distintos procedimientos.
Tipos de demostración
Consideremos una demostración como un argumento que nos muestra que una proposicióncondicional de
la forma es lógicamente verdadera (es decir, verdadera en todos los cososposibles) donde es la o conjunción de las
premisas y es la conclusión de argumento.Luego, si en el enunciado de un teorema se incluyen explícitamente las
proposiciones de partida,éste afirma que partiendo de cierta hipótesis se puede demostrar otra proposición
llamada.Los procedimientos utilizados en la demostración están constituidos por distintas formas de deducción o
inferencia y se puede clasificar en varios tipos los cuales serán estudiados se paradamente. Los principales tipos de
demostración son:
a) Demostración directa.
b) Demostración indirecta.

6. El problema de la construcción de una demostración consiste en preparar una serie de pasos que conduzcan a la
conclusión deseada. No hay caminos automáticos para hacerlo y, por ello, la demostración constituye un proceso
creador dentro del conocimiento científico ``es una cuestión personal que se adquiere con la práctica y el desarrollo
de la iniciativa de cada uno''.
Demostración directa
Cuando se parte de un conjunto de postulados o de proposiciones cuya validez ha sido probada, para inferir como
consecuencia la , a través de una serie de inferencias, se establece una. En ella se prueba la validez de una tesis
estableciendo que ésta es una consecuencia necesaria de los fundamentos de la disciplina correspondiente
(matemática en nuestro caso).
Una demostración directa de una proposición consiste enproposiciones cuya validez ya ha sido probada y de las
cuales se infiere la proposición como consecuenciainmediata. En una demostración directa, cada paso debe ir
acompañado de una explicación que justifique la presencia de ese paso.
Decimos que es una consecuencia inmediata de si se produce la implicación:
Para mayor brevedad, llamaremos (hipótesis) al antecedente del esquema proposicionalanterior.
Ejemplo 8
Sean y números enteros positivos tales que divide a,
( ) y d i v i d e a . ( ) D e m o s t r a r q u e d i v i d e a ( ) En este
caso las bases de la demostración se encuentran en la definición de divisibilidad, la multiplicación de números
enteros y sus propiedades. (Recordemos que un entero divide a o t r o s i e x i s t e u n e n t e r o t a l q u e
=).D e m o s t r a r e m o s e n t o n c e s q u e ( d i v i d e a
d i v i d e a ) ( d i v i d e a ) ( e s q u e m a a

7. Demostración Indirecta

8. Si se tiene dificultades en la construcción de una demostración directa, se puede a veces obtener
resultados más importantes y mejores, empleando algunos otros métodos. Cuando se establece validez de una tesis
probando, que las consecuencias de su contraria son falsas, entonces se realiza una demostración
indirecta. El método de demostración indirecta se basa en el hecho de que si es falsa, entonces es verdadera (negar-
negando). La mejor manera de hacerlo es mostrando que no es compatible con las afirmaciones dadas en la
hipótesis. De otro modo, suponiendo que la proposición es verdadera, consideremos el conjunto formado por ella y
las otras proposiciones conocidas y tratamos de demostrar que este conjunto así considerado nos lleva a una
contradicción. Cuando se llega a la contradicción, sabemos quela verdad de no es compatible con nuestra hipótesis
(verdadera) y, por tanto, que es falsa. Por consiguiente, es verdadera. Luego, para demostrar un teorema de la forma,
basta deducir alguna.