Complemento de la materia Control I

1. 2011
COMPLEMENTO DE LA
UNIDAD I
En este documento se encuentras los temas
faltantes de la primera unidad
Estos temas serán evaluados en el examen que posteriormente se programara.
Ing. Efraín De la Cruz
INSTITUTO TECNOLOGICO DEL ISTMO
08/09/2011

2. Principios básicos para el diseño de proyectos de un sistema de control
En un principio todo proyecto debe cumplir con los siguientes requisitos generales:
a) Todo sistema de control debe ser estable
b) La velocidad de respuesta del sistema debe ser razonablemente rápida
c) El sistema de control debe ser capaz de disminuir el error y lograr que sea o bien
aproximarlo a este valor
Dada una planta industrial (que en la mayoría de los casos sus dinámicas son inalterables),
primeramente se deben elegir los censores y actuadores apropiados.
Luego hay que construir modelos matemáticos adecuados de la planta, censores y
actuadores. Después, utilizando los modelos matemáticos construidos se diseña o
selecciona un controlador de tal modo que el sistema de lazo cerrado satisfaga las
especificaciones dadas. El controlador a si diseñado o seleccionado es la solución a la
ecuación matemática del problema de diseño.
Tras completar el diseño matemático, el ingeniero de control simula el modelo en una
computadora para verificar el comportamiento del sistema y además a observar la
respuesta antes diversas señales y bajo la aceptación de perturbaciones.
Generalmente la continuación del sistema inicial no resulta del todo satisfactoria. Luego
se debe rediseñar el sistema y completar el análisis correspondiente. Este proceso de
diseño y análisis se repite hasta obtener un sistema satisfactorio. Al cabo de esto, ya se
puede construir un prototipo físico del sistema.
Es conveniente comentar, que el proceso de construcción de un prototipo es el inverso al
proceso de modelado. El prototipo es un sistema físico que representa al modelo
matemático con exactitud razonable, una vez construido se debe probar para ver si es
satisfactorio. Si a si ocurre el diseño esta completo y si no, el prototipo debe ser
modificarse y ponerse nuevamente a prueba y hacer esto hasta que los resultados sean
completamente satisfactorios.
En el caso de algunos sistemas de control de procesos se pueden utilizar formas de
controlador normalizadas y los parámetros del controlador se determinan
experimentalmente siguiéndolo un procedimiento normalizado ya establecido. En este
caso, no se requieren modelos matemáticos sin embargo, estos son solo casos especiales.

3. Figura 1-5 Diagrama de flujo para procesos anteriores
1.6 SIMPLICIDAD FRENTE A EXACTITUD
Es posible mejorar la precisión de un modelo matemático si se aumenta su complejidad.
En algunos casos, se utilizan cientos de ecuaciones para describir un sistema completo. Sin
embargo, en la obtención de un modelo matemático, debemos establecer un equilibrio
entre la simplicidad del mismo y la precisión de los resultados del análisis. No obstante, si
no se necesita una precisión extrema, es preferible obtener solo un modelo
razonablemente simplificado. De hecho, por lo general basta con obtener un modelo
matemático adecuado para el problema que se considera.
Al obtener un modelo matemático razonablemente simplificado, a menudo resulta
necesario ignorar ciertas propiedades físicas inherentes al sistema. En particular, si se
pretende obtener un modelo matemático de parámetros concentrados lineal (es decir,
uno en que se empleen ecuaciones diferenciales), siempre es necesario ignorar ciertas no
linealidades y parámetros distribuidos (aquellos que producen ecuaciones en derivadas
parciales) que pueden estar presentes en el sistema dinámico. Si los efectos que estas
propiedades ignoradas tienen sobre la respuesta son pequeños, se obtendrá un buen
acuerdo entre los resultados del análisis de un modelo matemático y los resultados del
estudio experimental del sistema físico.
En general, cuando se soluciona un problema nuevo, es conveniente desarrollar primero
un modelo simplificado para obtener una idea general de la solución. A continuación se
desarrolla un modelo matemático más completo y se usa para un análisis con más
pormenores.
Debemos estar conscientes de que un modelo de parámetros concentrados lineal que
puede ser válido si opera en baja frecuencia, tal vez no sea válido en frecuencias
suficientemente altas, debido a que la propiedad no considerada de los parámetros
distribuidos puede convertirse en un factor importante en el comportamiento dinámico
del sistema. Por ejemplo, la masa de un resorte puede pasarse por alto en operación en
baja frecuencia, pero se convierte en una propiedad importante del sistema en altas
frecuencias.
1.7 SISTEMAS LINEALES.
Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio
establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de

4. entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para el
sistema lineal, la respuesta a varias entradas se calcula tratando una entrada a la vez y
sumando los resultados. Este principio permite desarrollar soluciones complicadas para la
ecuación diferencial lineal a partir de soluciones simples.
Si en una investigación experimental de un sistema dinámico son proporcionales la causa
y el efecto, lo cual implica que se aplica el principio de superposición, el sistema se
considera lineal.
1.8 SISTEMAS LINEALES INVARIABLES EN EL TIEMPO Y SISTEMAS LINEALES
VARIABLES EN EL TIEMPO.
Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones solo
de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de
parámetros concentrados lineales invariantes con el tiempo se describen mediante
ecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo (de coeficientes constantes).
Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes con el tiempo (o lineales de
coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones
diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales
variantes con el tiempo. Un ejemplo de un sistema de control variante con el tiempo es
un sistema de control de naves espaciales. (La masa de una nave espacial cambia debido
al consumo de combustible.)
1.9 SISTEMAS NO LINEALES.
Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un
sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la
vez y sumando los resultados.
Los siguientes son ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales
Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales,
en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De
hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados
“sistemas lineales” sólo lo son en rangos de operación limitados. En la práctica, muchos
sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales
entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede saturarse para señales
de entrada grandes. Puede haber una zona muerta que afecte las señales pequeñas. (La
zona muerta de un componente es un rango pequeño de variaciones de entrada ante las

5. cuales el componente es insensible.) Puede ocurrir una no linealidad de la ley cuadrática
en algunos componentes. Por ejemplo, los amortiguadores que se utilizan en los sistemas
físicos pueden ser lineales para operaciones a baja velocidad, pero pueden volverse no
lineales a altas velocidades, y la fuerza de amortiguamiento puede hacerse proporcional al
cuadrado de la velocidad de operación. Algunos ejemplos de las curvas características
para estas no linealidades aparecen en la figura 1 -6.
Observe que algunos sistemas de control importantes son no lineales para señales de
cualquier tamaño. Por ejemplo, en los sistemas de control de encendido y apagado, la
acción de control está activada o no activada, y no hay una relación lineal entre la entrada
y la salida del controlador.
En general, los procedimientos para encontrar las soluciones a problemas que involucran
tales sistemas no lineales son muy complicados. Debido a la dificultad matemática aunada
a los sistemas no lineales, resulta necesario introducir los sistemas lineales “equivalentes”
en lugar de los no lineales. Tales sistemas lineales equivalentes sólo son válidos para un
rango limitado de operación. Una vez que se aproxima un sistema no lineal mediante un
modelo matemático lineal, pueden aplicarse varias herramientas lineales para análisis y
diseño.
Figura 1-6 Curvas característica para diversas no linealidades.
1.10 APROXIMACIÓN LINEAL DE SISTEMAS NO LINEALES (LINEALIZACIÓN).
En la ingeniería de control, una operación normal del sistema puede ocurrir alrededor de
un punto de equilibrio, y las señales pueden considerarse señales pequeñas alrededor del
equilibrio. (Debe señalarse que hay muchas excepciones a tal caso.) Sin embargo, si el
sistema opera alrededor de un punto de equilibrio y si las señales involucradas son
pequeñas, es posible aproximar el sistema no lineal mediante un sistema lineal. Tal
sistema lineal es equivalente al sistema no lineal, considerado dentro de un rango de
operación limitado. Tal modelo linealizado (lineal e invariante con el tiempo) es muy
importante en la ingeniería de control.