CARTA DE SMITH

1. Carta de Smith
1. Mediciones básicas en LTs
MSc. Willer F. Montes G.
willermontes@itm.edu.co

2. Introducción
 Es una de las herramientas más utilizadas en
el diseño de circuitos de RF.
 Fue originalmente concebida en los
Laboratorios Bell por un ingeniero llamado
Phillip Smith (1939), quien quiso obtener un
método más sencillo a los de la época para
resolver las ecuaciones repetitivas y tediosas
que frecuentemente aparecen en la teoría
de RF.
 Los cálculos fasoriales pueden ser resueltos
gráficamente, simplificando los cálculos con
mínimas posibilidades de error.
2

3. 3




4. Círculos de Resistencia constante
4
Las impedancias y Admitancias
en la CS, deben NORMALIZARSE
Z´ = Z/Zo
Eje X: R´ puras 0 < R´ < ∞
Z´= R´ + j0
1,0
Verifique en cada rango la precisión de escala

5. 5
Ejemplo: Ubique en CS una resistencia pura de 100 ohms
(ZL), si Zo= 100 ohms: ZL´= RL´ + j0

6. Círculos de Reactancia constante
6
+ J X´ (Reactancias inductivas)
- J X´ (Reactancias Capacitivas)
Verifique en cada rango
la precisión de escala

7. Aspectos básicos de la
carta de Smith
 El punto R´=1+j0, es el centro del circulo de Smith (Origen)
y la referencia para los trazos (Regla y compás).
 Desde allí se traza el Circulo de Impedancia (CI)
 No hay resistencias negativas; con el valor de una
resistencia se selecciona el círculo correspondiente (al
normalizar).
 El círculo R´=0, es el más grande (periferia de la CS).
 El círculo de resistencia infinita es reducido a un punto en
R´= ∞
 Una impedancia o admitancia, será la intersección de un
circulo real, con una curva de parte compleja (± j)
7

8. Graficando valores de impedancias
8
Z¨=1+j1
Z¨=1-j1
Circulo
Impedancia
Cte
Radio de abertura
Del compás

9. Ejm: ubique Z´ en CS
9
(a) Z´= 0.24 + j 0.44
Z´= 0.2 + j 0
Z´= 0.95 + j 1.2
Z´= = 0.5 - j 0.5
Z´= 0.35 – j 1.15
Z´= 5 + j 10
Z´= 7 – j 2
Ejercicios
Si Zo =75 Ω
Halle ZL (Ω)
(Desnormalice),
ubique ZL´ y
trace CI
(a)

10. Conversión de impedancias a
admitancias
 Matemáticamente, el fasor de Admitancia
es el inverso del de impedancia:
 Representación de un circuito de
admitancia:
Y : Admitancia en Siemens
G: Conductancia en Siemens
B: Suceptancia en Siemens
10

11. Ejemplo
11
(adimens.)
Con la CS, conviertade impedanciaa admitancia;
verifique el resultado con cálculos fasoriales.

12. Paso de Z a Y
12
En la CS, es
sólo girar 180
grados

13. 13
Mediciones en
regleta inferior
izquierda

14. Escalas inferiores
14
1º
2º
3º
1ª Regla:
SWR (ROE)
2ª Regla: αRL(dB)
Γ 2
3ª Regla: Γ
1º
2º
3º
Verifique en cada regla la precisión de escala

15. 3º Anillo: Angulo Coeficiente de Reflexión
15
+/- 180
grados
0
grados
3º aro

16. Escalas de mediciones
Para moverse distancias (en LE)
1º Anillo Externo: LE hacia el generador (sentido horario – 3 cifras dec.)
16
0,0 λ 0,25 λ

17.  2º Anillo: LE hacia la carga: Sentido anti horario – 3 cifras dec.
17
0,0 λ
Escalas de mediciones
Para moverse distancias (en LE)
0,25 λ

18. Ejemplos de mediciones básicas
Ejemplo 1: carga resistiva pura
Se tiene un sistemacon 𝑍𝐿 = 100Ω, si la líneatiene 𝑍0 = 50Ω,
 Halle gráficamente su admitancia, ROE, el coeficiente de
reflexión de voltaje y de potencia, pérdidas de retorno (dB)
18
Solución
Se normalizay traza circulo de
impedancia.
𝑍′
=
𝑍
𝑍0
=
100Ω
50Ω
= 2

19. 19
y′ = 0,5 =
y
y0
; y0 =
1
𝑍0
=
1
50Ω
= 0,02𝑠
y = y′ ∗ y0 ; y = 0,5 ∗ 0,02 = 0,01𝑠
Comprobemos matemáticamente: y =
1
𝑍
=
1
100Ω
= 0,01𝑠

20.  De las escalas inferiores se toman los valores requeridos:
ROE, Coef. reflexión de voltaje (y su ángulo del 3º anillo)
Coef. reflexión potencia y perdidas de retorno
20
αRL = 9,7 dB
Γ 2
=0,11

21.  Ejemplo 2: carga reactiva pura
Para las siguientes carga: 𝑍𝐿 = −𝑗35Ω, con 𝑍0 = 50Ω, y
realice cálculos con CS y corrobore teóricamente:
21 Ejemplos de mediciones básicas
𝑍′
=
𝑍
𝑍0
=
−𝑗35Ω
50Ω
= −𝑗0,7 (Capacitiva)
Solución
Se normalizay traza circulo de impedancia.

22. 22
Teóricamente
Teóricamente
Teóricamente

23. 23
110ª

24. 24
 Ejemplo 3: carga completa
Para las siguientes carga: 𝒁𝑳 = 𝟏𝟓𝟎 + 𝒋𝟏𝟎𝟎𝛀, con 𝑍0 = 50Ω,
realice cálculos con CS y corrobore teóricamente:
Ejemplos de mediciones básicas
Teóricamente

25. 25
Teóricamente
Teóricamente
αRL = 4 dB
αRL = 20 log = -3,98 dB

26. 26

27. 27
αRL = 4 dB
Γ 2
=0,4

28. Variación de impedancia a lo largo de
una LT ( Z vista: Zi )
Una línea de transmisión acoplada presentará una impedancia 𝑍0 en cualquier lugar
de la misma.
Sin embargo, si está desacoplada la impedancia vista en ella variará respecto a la
distancia de la carga. En los puntos donde el voltaje es alto y la corriente baja, la
impedancia será mayor que en los puntos opuestos.
Así mismo, el ángulo de fase de dicha impedancia varia, la reactancia puede pasar de
inductiva a capacitiva y viceversa, e incluso ser cero (resistiva pura)
La impedancia de entrada (𝑍𝑖 ) que una línea de transmisión sin pérdida presenta a
una fuente, varia en forma periódica, pues el patrón de onda estacionaria se repite
cada (𝜆 2) a lo largo de la línea de transmisión.
En la carga, y a distancia múltiplos de 𝜆 2 desde la carga, la impedancia vista
será la misma 𝑍𝐿.
28

29. Formulación
𝑍𝑖 = 𝑍0
𝑍𝐿 cos 𝜃 + 𝑗𝑍0 sin 𝜃
𝑍0 cos 𝜃 + 𝑗𝑍𝐿 sin 𝜃
Donde: En el análisis se consideraLT de baja pérdida.
𝑍𝑖 = impedancia‘‘vista’’ desde la posición de la carga
𝜃 = Desfase (grados) corresponde a distancia de 𝑍𝐿
Otra forma: Lo calculo y contextualizo: 𝜃 𝑟𝑎𝑑 = 𝛽 𝑟𝑎𝑑 𝑚 ∗ 𝓁 𝑚
Se pasa a grados 2𝜋𝑟𝑎𝑑 = 360𝑜
𝛽 =
𝜔
𝜐𝑝
=
2𝜋𝑓
𝜆𝑓
=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝜆 𝑚
Simplificación
29
𝒁𝒊 = 𝒁𝟎 ∗
𝒁𝑳 + 𝒋𝒁𝟎 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝜽
𝒁𝟎 + 𝒋𝒁𝑳 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝜽
Válida solo si 𝜃 ≠ ± 90𝑜
Remanente LE:
𝜽[𝑟𝑎𝑑] = 𝛽 𝑟𝑎𝑑 𝑚 ∗ 𝓁 𝑚

30. Zi= Z “vista” en cualquier lugar de la LT
30
𝒁𝒊 = 𝒁𝟎 ∗
𝒁𝑳 + 𝒋𝒁𝟎 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝜽
𝒁𝟎 + 𝒋𝒁𝑳 ∗ 𝐭𝐚𝐧 𝜽
𝒁𝒊
𝒁𝒊
d1 (m)
d2 (m)
dn (m)
Ref. de posición
(carga)
d=0 m
(Ω) (Ω)
Impedancia “vista”en cualquier distancia desde la carga
Distancias en LE (trabajando con remanentes)
𝒁𝒊 (Ω)

31. Ejemplo
Teórico y con CS
 LT baja pérdida de 75 ohms (Generador acoplado) y 16 mts de longitud,
Vf=0,7,operandoa 100 MHZ y esta terminada en ZL= 50 +j50 ohms.
 Halle teóricamente y con CS, la Z”vista”(Zi):
 a) A una distancia de 5,5 mts de la carga
 b) A distancias de la carga, que sean múltiplos enteros de 𝜆/2
31
Solución: a) Con la fórmula:
𝜆 = 2,1 m
LE= 2,619 𝜆 (para 5,5 mts)
Rem.LE= 0,119 𝜆
𝜽 = 42,84 grados (contextualizado)
Zi= 176 + j 28 ohms
Con CS:
Normalizo, Ubico ZL` y marco punto, trazo CI, marco Arranque: A= 0,12𝝀
Me muevo hacia generador: B= A + Rem.LE = 0,12𝜆+ 0,119𝜆 = 0,239𝝀
Marco punto B y leo cruce de la recta con CI: Zi`=2,4+j0,3
Desnormalizo Zi= Zi ` x Zo = 180 + j 22,5 ohms

32. 32
𝜆

33. Ejercicios
1. Una LT de baja pérdida de 75Ω opera a 100 MHz, VNP=70%,
mide 22 mts y se coloca carga ZL= 50-j50 Ω.
Explicando el paso a paso del proceso gráfico con CS
(trabajando con el 1º anillode LE), encuentre:
a) La impedanciavista(Zi) a 20 pies de la carga.
b) Verifiqueeste valor con la fórmulafasorial.
c) El fasor del coeficiente de reflexióny las pérdidas de retorno
en dB, a una distanciade 8 pies desde la carga.
d) El fasor del coeficiente de reflexióny las pérdidas de retorno
en dB, a una distanciade 8 pies del generador. Analice y
concluyarespecto al ítem (c).
33
R/ Zi= 157- j60 Ω
R/ = 0,4 ∟150° ; RL= 8 dB
2. Para una LT con VNP 80% para trabajo en RF, 20mts de
longitud, opera en 50MHz. Si se midióen la mitad de la LT una
Zi= 176 + j30 Ω , encuentre la carga que tiene dicho sistema.
a) Trabajando teóricamente b) Con CS R/ ZL=40 + j61 Ω

34.  STUB EN CORTO (ZL = 0 ohms)
𝑍𝑖_𝑠𝑠 = 𝑍0 ∗
𝒁𝑳+𝑗𝑍0∗tan𝜃
𝑍0+𝑗𝒁𝑳∗tan𝜃
= 𝑍0 ∗
𝑗𝑍0∗tan 𝜃
𝑍0
Si 𝛉 < 𝟗𝟎𝒐
𝐙 = + 𝐣𝑿𝒊 (inductivo)
Si 𝜽 > 𝟗𝟎𝒐
𝒁 = −𝒋𝑿𝒊 (capacitivo)
34 Stub´s
Ejercicio
Se construyeun stub en corto
con una LT “larga” de 0,2𝜆,
operando a 100MHz (no
considere la atenuación).Se
dan sus parámetros primarios
L= 0,2uH/f y C= 35 pf/f.
Teóricamente y con CS,
encuentreel valor de
impedancia Vista (Zi) y el valor
del elemento asociado.
R/ Zis= j233 Ω − L = 370nH

35. Stub´s
 STUB EN CIRCUITO ABIERTO (ZL = ∞)
𝑍𝑖−𝑜𝑐= 𝑍0 ∗
𝒁𝑳+𝑗𝑍0∗tan𝜃
𝑍0+𝑗𝒁𝑳∗tan 𝜃
=
∞
∞
(indeterminado)
lim
𝑍𝐿→∞
[𝑍𝑖−𝑜𝑐] = 𝑍0 ∗
1
𝒋.𝑡𝑎𝑛 𝜃
=
−𝒋 𝒁𝟎
𝒕𝒂𝒏 𝜽
Si 𝛉 < 𝟗𝟎𝒐 𝒁𝐢𝐬 = −𝒋𝑿𝒊 (capacitivo)
Si 𝜽 > 𝟗𝟎𝒐
𝒁𝒊𝒔 = +𝐣𝑿𝒊 (inductivo)
35
Ejercicio
Se quiere obtener el efecto de un
capacitor de 20pf, con una LT de
92 ohms y Vf=0,85,operandoa
50MHz,.
Halle la longitud que debe tener
dicho stub, si:
a) Se construye con una LT en
circuito abierto.
a) Se construyecon una LT en
corto circuito.
b) Compruebe longitudes con CS
R/ JX = -j 159,15 ohms , l = 42,5 cm
l = 1,7 m

36. 36

37. Comportamiento de los stub
con la longitud eléctrica
37
corto corto
corto

38. Lapatine, Sol (2002). . USA:
Ed. Limusa S.A. ISBN 10: 9681816412 / ISBN 13: 9789681816414
ones.