Impedancias AC

1. Impedancias
configuración en Serie
Clase 13
02-Diciembre-2014

2. Impedancia y Admitancia
 De una manera mas amplia, desde las cantidades complejas, tenemos
que la oposición que presenta un elemento al paso de la corriente debido
a una función de excitación senoidal, se le conoce con el nombre de
impedancia y se simboliza. Por la letra 풁.
 Dicho de otra forma, cuando se tienen funciones de excitación y
respuestas forzadas complejas, a la constante de proporcionalidad entre
el voltaje y la corriente complejos en un elemento de circuito se le conoce
como impedancia del elemento, y es una función de la frecuencia de la
señal en consideración.

3. Impedancia y Admitancia
 La impedancia, entonces se expresa de la siguiente manera:
풁 = 푅 + 푗푋 Ω
 La componente real de la expresión anterior corresponde a una
resistencia, y la parte imaginaria esta dada por una reactancia. Ambas se
expresan en ohms Ω , por lo tanto la impedancia también se expresa en
ohms. Así, entonces, 푅 = 푅푒 풁 ; 푋 = 퐼푚 풁
 De lo anterior resulta que existe una impedancia en un resistor, así como un
inductor o un capacitor, cuando son alimentados por una función de
excitación compleja; ya que de alguna manera estos elementos se
oponen al paso de la corriente eléctrica a través de ellos.

4. Impedancia y Admitancia
 La impedancia que posee una resistencia es 푍푅 = 푅 + 푗0 표ℎ푚푠. Esto indica
que en una resistencia su impedancia tiene solo una parte real
푅 푒푥푝푟푒푠푎푑푎 푒푛 Ω) y no cuenta con una reactancia, que seria su parte
imaginaria.
 En una inductancia la impedancia inductiva es 푍퐿 = 0 + 푗푋퐿; en la que se
ve que la parte real o resistencia es cero, y su parte imaginaria,
denominada reactancia inductiva, medida en ohms esta dada por:
푿푳 = 휔퐿 Ω

5. Impedancia y Admitancia
 Donde 휔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y L es la
inductancia del inductor (en henrys). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 푍퐿 = 0 + 푗휔퐿 ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y 휔퐿 para la parte imaginaria.
 La impedancia capacitiva esta dada por 푍퐶 = 0 − 푗푋퐶 . Al igual que en la
impedancia inductiva, esta no tiene parte real, y su parte imaginaria,
llamada reactancia capacitiva, también medida en ohms, se expresa
como
푿푪 =
1
휔퐶
Ω

6. Impedancia y Admitancia
 Donde 휔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y 퐶 es la
capacitancia del capacitor (en farads). De lo anterior se obtiene que la
impedancia inductiva es 푍퐿 = 0 +
1
푗휔퐶
ohms; cuyas componentes son cero
la parte real y
1
휔퐶
para la parte imaginaria.
 Dado que la impedancia es una cantidad compleja, se puede definir
como una relación de voltaje fasorial a la corriente fasorial en un
elemento, o sea que:
푍(Ω) =
푉(푣표푙푡푠)
퐼(퐴푚푝)

7. Impedancia y Admitancia
 Pero esto no significa que la impedancia sea un fasor, aun cuando se
pueda representar como tal. De lo anterior se deriva que un inductor se
representa en el dominio del tiempo por su inductancia 퐿, o bien en el
dominio de la frecuencia por su impedancia
푍퐿 = 푗휔퐿

8. Impedancia y Admitancia
 De la misma manera que un capacitor puede representarse en el dominio
del tiempo por su capacitancia 퐶 o en el dominio de la frecuencia por su
impedancia
푍퐶 =
1
푗휔퐶
 En resumen, la impedancia es un concepto que forma parte del dominio
de la frecuencia y no del dominio del tiempo.

9. Impedancia y Admitancia
 Así entonces, cuando una señal en estado senoidal permanente actúa
sobre algún inductor (o un capacitor), la oposición que este presente al
paso de la corriente será dependiente tanto de su inductancia ( o
capacitancia) como de la frecuencia de la señal en consideración.
 Que en el caso de la resistencia, la oposición al paso de la corriente es
independiente de la frecuencia y solo depende del valor óhmico (푅) del
elemento mismo.

10. Diagrama de Impedancia
 Ahora que un ángulo se encuentra asociado con la Resistencia, la
reactancia inductiva y la reactancia capacitiva, cada uno podrá
colocarse en el diagrama en el plano complejo, como se muestra en la
siguiente figura 0

11. Diagrama de Impedancia

12. Diagrama de Impedancia
 El resultado será un diagrama de impedancia que puede reflejar los niveles
de impedancia individuales y totales de una red de ca.
 Si la impedancia total tiene un ángulo de 0표, se dice que es de naturaleza
resistiva. Si se encuentra más cercana a 900, será de naturaleza inductiva y
si esta cercana a −90표, tendrá una naturaleza capacitiva.

13. Configuración en Serie
 Las propiedades generales de los circuitos de ca en
serie (figura 1) son las mismas que para los circuitos de
cd. Por ejemplo, la impedancia total de un sistema es la
suma de las impedancias individuales:
푍푇 = 푍1 + 푍2 + 푍3 + ⋯ + 푍푁

14. Configuración en Serie
퐼푚푝푒푑푎푛푐푖푎푠 푒푛 푆푒푟푖푒

15. Configuración en Serie
퐼푚푝푒푑푎푛푐푖푎푠 푒푛 푆푒푟푖푒

16. Configuración en Serie
 Para la configuración un circuito de ca en serie
representativa, que aparece en la figura anterior, tiene
dos impedancias, la corriente es la misma a través de
cada elemento (como lo fue en el caso de los circuitos
de cd en serie) y esta determinada por la ley de Ohm:
푍푇 = 푍1 + 푍2
퐼 =
퐸
푍푇

17. Configuración en Serie
 El voltaje en cada elemento se puede encontrar mediante otra aplicación
de la ley de ohm:
푉1 = 퐼푍1 푉2 = 퐼푍2
 La ley de voltaje de Kirchhoff puede aplicarse entonces en la misma forma
que se utilizo para circuitos de cd. Sin embargo, tenga presente que ahora
estamos tratando con la manipulación algebraica de cantidades que
tienen tanto magnitud como dirección.

18. Configuración en Serie
 O bien
퐸 − 푉1 − 푉2 = 0
퐸 = 푉1 + 푉2
 La potencia al circuito se puede determinar mediante:
푃 = 퐸퐼푐표푠휃푇
 Donde 휃푇 es el ángulo de fase entre E e I

19. Ejemplo 1
 Trace el diagrama de impedancia para el circuito de la
figura 2 y encuentre la impedancia total.
퐹푖푔푢푟푎 2

20. Solución
 Como se indica la figura 3, la impedancia de entrada
puede encontrarse de forma grafica a partir del
diagrama de impedancia mediante la escala
adecuada de los ejes real e imaginario y encontrado la
longitud del vector resultante 푍푇 y el ángulo 휃푇 . O
mediante el algebra de vectores, se obtiene:
Z Z Z
1 2
0 0 90
4 8
8.944 63.43
T
o
L
L
o
T
R X
R jX j
Z
 
   
     
 

21. Solución

22. Ejemplo 2
 Determine la impedancia de entrada para la red en
serie de la figura 4. Trace el diagrama de impedancia.
퐹푖푔푢푟푎 4

23. Solución
Z Z Z Z
1 2 3
0 0 90 90
   
6 10 12 6 2
6.325 18.43
T
o o
L C
L C
L C
o
T
R X X
R jX jX
R j X X j j
Z
  
      
  
            
  

24. Solución
El diagrama de impedancia aparece en la figura 5. Observe que en este
ejemplo, las reactancias inductivas y capacitivas en serie están en oposición
directa. Para el circuito de la figura 6 si la reactancia inductiva fuera igual a la
reactancia capacitiva, la impedancia de entrada seria puramente resistiva.

25. Solución

26. Circuitos de CA en SERIE
Ahora que se ha presentado el método general, se analizará con todo detalle
la más simple de las configuraciones para enfatizar las similitudes con el
análisis de circuitos de cd. En muchos de los circuitos que serán considerados,
a menudo utilizaran 3 + 푗4 = 5∠53.13표 푦 4 + 푗3 = 5∠36.87표 para asegurar que el
enfoque es lo mas claro posible y que no se pierda en complejidades
matemáticas.

27. R-L

28. R-L
Notación fasorial
푒 = 141.4푠푒푛 휔푡 ⟹ 퐸 = 100푉∠0표
Como se denota en el siguiente circuito equivalente

29. R-L
푍푇 = 푍1 + 푍2 = 3Ω∠0표 + 4Ω∠90표 = 3Ω + 푗4Ω
푍푇 = 5Ω∠53.13표
Diagrama de impedancia: Véase la siguiente figura

30. R-L

31. R-L
퐼 =
퐸
푍푇
=
100푉∠0표
5Ω∠53.13표 = 20퐴∠ − 53.13표
푉푅 푦 푉퐿
Ley de Ohm:
푉푅 = 퐼푍푅 = 20퐴∠ − 53.13표 3Ω∠0표
= 60푉∠ − 53.13표
푉퐿 = 퐼푍퐿 = 20퐴∠ − 53.13표 4Ω∠90표
= 60푉∠36.87표

32. R-L
Ley de voltaje de Kirchhoff:
↷
푉 = 퐸 − 푉푅 − 푉퐿 = 0
O bien
퐸 = 푉푅 + 푉퐿
En forma rectangular
푉푅 = 60푉∠ − 53.13표 = 36푉 − 푗48푉
푉퐿 = 80푉∠ + 36.87표 = 64푉 − 푗48푉

33. R-L
Y
퐸 = 푉푅 + 푉퐿 = 36푉 − 푗48푉 + 64푉 + 푗48푉 = 100푉 + 푗0
= 100푉∠0표
Diagrama fasorial: Observe que para el diagrama fasorial de la figura
siguiente 퐼 está en fase con el voltaje del resistor y se encuentra
atrasada con respecto al voltaje en el inductor por ퟗퟎ풐

34. R-L

35. R-L
Potencia: La potencia total en watts entregada por el circuito es:
푃푇 = 퐸퐼푐표푠휃푇 = 100푉 20퐴 푐표푠53.13표 = 2000푊 0.6
= ퟏퟐퟎퟎ 푾
Donde 퐸 e I son valores efectivos y 휃푇 es el ángulo de fase entre 퐸 푒 퐼, 표:
푃푇 = 퐼2푅 = 20퐴 2 3Ω = 400 3 = ퟏퟐퟎퟎ푾
Donde 퐼 es el valor efectivo, o por ultimo
푃푇 = 푃푅 + 푃퐿 = 푉푅 퐼푐표푠휃푅 + 푉퐿퐼푐표푠휃퐿
= 60푉 20퐴 푐표푠0표 + 80푉 20퐴 푐표푠90표
= 1200푊 + 0
= ퟏퟐퟎퟎ푾

36. R-L
Donde 휽푹 es el ángulo de fase entre 푽푹 풆 푰, 풚 휽푳 es el ángulo de fase entre
푽푳 풆 푰.
Factor de Potencia. El factor de potencia 푭풑 del circuito es 풄풐풔 ퟓퟑ. ퟏퟑ풐 =
ퟎ. ퟔ 풂풕풓풂풔풂풅풐, donde ퟓퟑ. ퟏퟑ풐 es el ángulo de fase entre 푬 e 푰
Si escribimos la ecuación de potencia básica 푷 = 푬푰풄풐풔휽 de la siguiente
forma:
풄풐풔휽 =
푷
푬푰
Donde 푬 풆 푰 son las cantidades de entrada y 푷 es la potencia entregada a la
red, y luego realizamos las siguientes situaciones a partir del circuito básico de
ca en serie:

37. R-L
풄풐풔휽 =
푷
푬푰
=
푰ퟐ푹
푬푰
=
푰푹
푬
=
푹
푬/푰
=
푹
풁푻
Encontramos que
푭푷 = 풄풐풔휽푻 =
푹
풁푻
Para el presente caso tenemos que:
푭푷 = 풄풐풔휽푻 =
푹
풁푻
=
ퟑ훀
ퟓ훀
= ퟎ. ퟔ 풂풕풓풂풔풂풅풐
Como se encontró antes

38. Regla del Divisor de Voltaje
 En circuitos de CA, el formato básico para la regla de divisor de
voltaje es exactamente el mismo que para circuitos de cd
 푉푋 =
푍푋퐸
푍푇
 Donde 푉푋 es el voltaje en uno o mas elementos en serie que tienen
impedancia total de 푍푋, 퐸 es el voltaje total que se presenta en el
circuito en serie, y 푍푇 es la impedancia total del circuito en serie.

39. Problema
 Utilizando la regla del divisor de voltaje, encuentre el voltaje en
cada elemento del circuito mostrado en la siguiente figura

40. Solución
푉퐶 =
푍퐶퐸
푍퐶 + 푍푅
=
4Ω∠ − 90표 100푉∠00
4Ω∠ − 90표 + 3Ω∠00 =
400∠ −90표
3 − 4푗
푉퐶 =
400∠ −90표
5∠ − 53.13표 = 80푉∠ − 36.87표
푉퐶 =
푍푅퐸
푍퐶 + 푍푅
=
3Ω∠0표 100푉∠00
5Ω∠ − 53.130 =
300∠0표
5Ω∠ − 53.130
푉퐶 =
300∠0표
5Ω∠ − 53.130 = 60푉∠ + 53.13표