ESTE ARTICULO COMPRENDE LA CONSTRUCCIÓN DE BANCOS DE NIVEL CON INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS. Un Banco de Nivel es un punto permanente en el terreno de origen natural o artificial cuya elevación es conocida. Algunos ejemplos comunes de bancos de nivel son discos de metal fijados en concreto, marcas de hidrantes contra incendio, guarniciones, entre otros. Para tener puntos de referencia y de control para obtener las cotas de los del terreno, se escogen o se construyen puntos fijos, notables, invariables, en lugares convenientes. Estos puntos son lo que se llama Banco de Nivel. Su cota se determina con respecto a otros puntos conocidos, o se les asigna una cualquiera según el caso.

1. CONSTRUCCIÓN Y
AMPLIACIÓN DE
BANCOS DE NIVEL
TOPOGRAFÍA I
CIV. – 2214 “A”
CAPITULO
I:
UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO
FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA
CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

2. 1. GENERALIDADES
Un banco de nivel es un punto fijo de elevación
conocido, que nos permite considerar las
elevaciones de partida; para mensuras posteriores,
la definición de los bancos de nivel dependerá del
estado actual y el crecimiento, como también de la
necesidad de desarrollar nuevos proyectos, con
este propósito es necesario la construcción de
ampliación de redes de bancos de nivel. Esta
metodología al igual que en otro tipo de mensuras
tiene dos componentes, que son: el trabajo de
campo y el trabajo de gabinete. 2

3. 3
Los bancos de nivel que se construyen, son generalmente de concreto, como
pequeñas mojoneras, con una varilla o una saliente que defina el punto, y además
permita cuando se usa una regla graduada, tomar lecturas, que esta se apoye en
un punto único definido y no en una superficie que puede tener irregularidades
que hagan variar la altura. Esto es importante en trabajos de nivelación directa,
donde la aproximación se lleva hasta el milímetro.

4. 4
BANCOS
DE
NIVEL

5. 2.TRABAJO DE CAMPO PARA LA
CONTRUCCION Y/O AMPLIACIÓN DE BANCOS
DE NIVEL
Esta primera tarea se puede agrupar en las siguientes
actividades:
Reconocimiento
Construcción de Bancos de Nivel
Nivelación directa entre los Bancos de Nivel
Determinación de su ubicación
Para el reconocimiento, es necesario considerar la
existencia de los bancos de nivel relacionados a nivel
nacional, departamental o local que puedan ser parte
de la red de bancos de nivel. 5

6. 6
Para la construcción de los Bancos de Nivel se utiliza materiales que garanticen su
permanencia en el tiempo, por lo general son bloques de hormigón que tienen las
siguientes características.

7. 7
NIVELACION
DIRECTA
Nota.- La tolerancia máxima
en nivelación cerrada es de
30 mm x Km, y los puntos
deben estar fijos.

8. ANILLOS CERRADOS
𝐃𝐞𝐬𝐧𝐢𝐯𝐞𝐥𝐁𝐍 𝐈−𝐁𝐍 𝐈𝐈 = Σ𝐋 𝐀𝐭𝐢 − Σ 𝐋 𝐀𝐝𝐢
𝐃𝐇𝐁𝐍𝐈 − 𝐁𝐍𝐈𝐈 = (𝐍𝐁𝐍𝐈 − 𝐍𝐁𝐍𝐈𝐈 )𝟐 + (𝐄𝐁𝐍𝐈 − 𝐄𝐁𝐍𝐈𝐈 )𝟐
8
DISTANCIAS ENTRE BANCOS DE NIVEL
LA TOLERANCIA MÁXIMA EN NIVELACIÓN CERRADA ES DE 30 mmxKm

9. LONGITUDES SON IGUALES
9
VERIFICACIÓN DE LA SUMATORIA
DE DESNIVELES EN CADA ANILLO.
ANILLO 1
ANILLO 2
𝑏 + 𝑐 + 𝑎 = 0
𝑒 − 𝑑 − 𝑐 = 0
𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 =
𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
𝑁 𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜

10. 3. MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE “MÍNIMOS CUADRADOS”
10
PRIMER PASO: Obtención de ecuaciones de condición.
SEGUNDO PASO: Ecuación Fundamental U.
TERCER PASO: Obtención de las ecuaciones de correlación.
V𝑏 + 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝑉𝑒 − 𝑉𝑑 − 𝑉𝑐 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝑈 = ෍ 𝑉𝑖
2
− 2 ∗ 𝐶𝑖 ∗ 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
𝜕U
𝜕𝑉𝑖
= 0

11. 3. MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE “MÍNIMOS CUADRADOS”
11
CUARTO PASO: La determinación de las ecuaciones normales serán reemplazando las
ecuaciones de correlación en las ecuaciones de condición.
∴𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐬𝐭𝐞𝐦𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
V𝑏 + 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝑉𝑒 − 𝑉𝑑 − 𝑉𝑐 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝜕U
𝜕𝑉𝑖
= 0

12. 3. MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE “MÍNIMOS CUADRADOS”
12
QUINTO PASO: Cálculo de correcciones.
SEXTO PASO: Determinación de los desniveles.
Tramo Desnivel Vi corrección
Desnivel
compensado
a
b
c
..
V𝑎=
V𝑏=
V𝑐=
V𝑐=
V𝑒=
V𝑑=

13. 3. MÉTODOS DE COMPENSACIÓN DE “MÍNIMOS CUADRADOS”
13
SEPTIMO PASO: Cálculo de elevaciones.
Elev BN2= Elev BN1 ±𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜

14. 14
Ejemplo 1: Se muestra una red de nivelación constituida por dos circuitos cerrados; se tiene como datos el
desnivel entre cada banco de nivel. Se pide realizar el ajuste respectivo sabiendo que todas las longitudes
son iguales.
A
C
D
B

15. 15

16. 16

17. 17

18. 18

19. 19

20. 20

21. 21

22. 4. REDES DE BANCOS DE NIVEL CON DIFERENTES
LONGITUDES
22
Redes de Bancos de Nivel con diferentes longitudes: Consideremos la misma red
de bancos de nivel
Considerando que en tramos de mayor
longitud las fuentes de error son
mayores, es necesario introducir este
factor en la distribución de los errores
entre los diferentes tramos de la red,
para tal efecto se introduce un factor de
ponderación que se denomina peso de
cada tramo que tiene la siguiente
relación:
𝑷𝒆𝒔𝒐𝒊 =
𝑲
𝑳𝒊
Donde:
K=Constante (Tramo mas largo)
𝑳𝒊 = Longitud del tramo

23. 4. REDES DE BANCOS DE NIVEL CON DIFERENTES
LONGITUDES
23
Luego de establecer las ecuaciones de condición, procedemos a plantear la ecuación fundamental
del método de mínimos cuadrados, donde se introduce los pesos de los diferentes lados, es decir:
𝐔=Σ𝐏𝐢∗𝐕𝐢
𝟐−𝟐𝐂𝐢∗𝐜𝐚𝐝𝐚 𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢ó𝐧
Luego, se procede el método de la misma forma que en el anterior ejercicio.
𝑷𝒆𝒔𝒐𝒊 =
𝑲
𝑳𝒊
Donde:
K=Constante (Tramo mas largo)
𝑳𝒊 = Longitud del tramo
PASO I: Determinación del peso:
PASO II: Calculo del número de ecuaciones:
# 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 = # 𝑳𝒂𝒅𝒐𝒔 + # 𝑻𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 − 𝑩𝑴 (𝑩𝒂𝒏𝒄𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝑵𝒊𝒗𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐𝒔)

24. 4. REDES DE BANCOS DE NIVEL CON DIFERENTES
LONGITUDES
24
PASO III: Obtención de ecuaciones de condición:
෍ 𝑉𝑖 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝑈 = ෍ 𝑃𝑖 ∗ 𝑉𝑖
2
− 2 ∗ 𝐶𝑖 ∗ 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
PASO IV: Ecuación de condición:
𝜕U
𝜕𝑉𝑖
= 0
PASO V: Obtención de las ecuaciones de correlación:
V𝑏 + 𝑉𝑐 + 𝑉𝑎 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝜕U
𝜕𝑉𝑖
= 0
PASO VI: La determinación de las ecuaciones normales serán el reemplazo de las ecuaciones de
correlación en las ecuaciones de condición.:

25. 4. REDES DE BANCOS DE NIVEL CON DIFERENTES
LONGITUDES
25
PASO VII: Cálculo de correcciones:
PASO VIII: Determinación de los desniveles y elevaciones:
Tramo Desnivel Vi corrección
Desnivel
compensado
a
b
c
..
V𝑎=
V𝑏=

26. 26

27. 27
PASO II: Determinación del peso:
No Tramo Desnivel
Longitud
(Km)
Peso
1 A – B +12.179 0.85 1.412
2 B – C -7.324 0.60 2.000
3 C - A -4.870 1.00 1.200
4 C – D +15.172 0.90 1.333
5 D - B -7.843 1.20 1
𝑷𝒆𝒔𝒐𝒊 =
𝑲
𝑳𝒊
Donde:
K=Constante Km (Tramo más largo)
𝑳𝒊 = Longitud del tramo Km

28. 28
PASO III: Obtención de ecuaciones de condición:
PASO IV: Ecuación de condición:
෍𝑉𝑖 ± 𝐷𝑒𝑠𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 = 0
𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 − 0.015 = 0 −𝑉2 − 𝑉4 − 𝑉5 − 0.005 = 0
𝑈 = ෍𝑷𝒊 ∗ 𝑉𝑖
2
− 2 ∗ 𝐶𝑖 ∗ 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑈 = 1.412 ∗ 𝑉2
1 + 2 ∗ 𝑉2
2
+ 1.2 ∗ 𝑉3
2
+ 𝑉4
2
+ 1.333 ∗ 𝑉5
2
− 2 ∗ 𝐶1(𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3)
− 2 ∗ 𝐶2(−𝑉2 − 𝑉4 − 𝑉5)

29. 29
PASO V: Obtención de las ecuaciones de correlación:
𝜕𝑈
𝜕𝑉1
= 2.824𝑉1 − 2𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝑉2
= 4𝑉2 − 2𝐶1 + 2𝐶2
𝜕𝑈
𝜕𝑉3
= 2.4𝑉3 − 2𝐶1
𝜕𝑈
𝜕𝑉4
= 2𝑉4 + 2𝐶2
𝜕𝑈
𝜕𝑉5
= 2.666𝑉5 + 2𝐶2
PASO VI: La determinación de las ecuaciones normales serán el reemplazo de las
ecuaciones de correlación en las ecuaciones de condición.:
𝜕U
𝜕𝑉𝑖
= 0
𝑉1 =
2𝐶1
2.824
=
𝐶1
1.412
𝑉2 =
𝐶1 − 𝐶2
2
𝑉3 =
𝐶1
1.2
𝑉4 = −𝐶2
𝑉5 =
−𝐶2
1.333
𝐶1
1.412
+
𝐶1 − 𝐶2
2
+
𝐶1
1.2
− 0.015 = 0
−
𝐶1 − 𝐶2
2
− (−𝐶2) −
−𝐶2
1.333
− 0.005 = 0

30. 30
Resolvemos las ecuaciones, tenemos:
C1=0.009
C2=0.006
PASO VII: Cálculo de correcciones:
𝑉1 =
2𝐶1
2.824
=
𝐶1
1.412
=
0.009
1.412
= 0.006
𝑉2 =
𝐶1 − 𝐶2
2
=
0.009 − 0.006
2
= 0.002
𝑉3 =
𝐶1
1.2
=
0.009
1.2
= 0.007
𝑉4 = −𝐶2 = −0.006
𝑉5 =
−𝐶2
1.333
=
−0.006
1.333
= −0.0045
𝐶1
1.412
+
𝐶1
2
−
𝐶2
2
+
𝐶1
1.2
− 0.015 = 0
Corregir la
C1 y C2.

31. 31
PASO VIII: Determinación de los desniveles y elevaciones:
TRAMO DESNIVEL
Vi
CORREGIDO
DESNIVEL
COMPENSADO
1 12,179 0,006 12,185
2 -7,324 0,002 -7,322
3 -4,87 0,008 -4,862
4 -7,843 -0,006 -7,849
5 15,172 -0,004 15,168
Comprobación: