concreto armado

1. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 1
Núcleo de
circulación
vertical
materializado con
tabiques de Hº Aº
XX
Y
Y
A
A
C
B
B
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE ESCALERAS DE HORMIGÓN ARMADO
HIPÓTESIS: Se analiza solamente ESTRUCTURAS PLANAS, el eje tiene continuidad en un solo plano.
1° ejemplo: DESCOMPONER CADA TRAMO POR SEPARADO, DE TAL MANERA QUE NO EXISTA
CONTINUIDAD EN DIFERENTES PLANOS. Así se evita trabajar con sistemas complejos de cálculo
numérico debido a que se presentan momentos flectores y torsores en dos planos, como así también fuerzas de
corte, fuerzas normales y fuerzas tangenciales en dos planos. Esto implica un alto grado de hiperestaticidad.
Esquema arquitectónico
Esquema estructural

2. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 2
α = 24°50’02”
0.065
Placa inferior
Altura promedio p el
cálculo
ANÁLISIS GEOMÉTRICO DE LOSAS: TRAMOS “A” y “C”
El espesor de las losas “A” y “C” es de 8 cm, pero se puede considerar la colaboración de los escalones, pues éstos
trabajan transversalmente, entonces se incrementa el espesor en 4,3 cm correspondientes a 12,3 cm total, que es la
posición del baricentro considerando los escalones.
Materiales: acero βs = 4200 Kg/cm2
- Hormigón: σβCN = 130 Kg/cm2
ANÁLISIS DE CARGA: TRAMOS “A” y “C”
Altura de la losa inferior = 0,08 m.
Altura media escalones (asimilado a rectángulo)): (0,13 m / 2) = 0,065 m
Peso Propio: ((0,08 m + 0,065 m) * 2400 Kg/m3
= 348 Kg/m
Carpeta mortero fijación: (0,03 m * 1,00 m * 2000 Kg/m3
) = 60 Kg/m
Piso de mármol: (0,03 m * 1,00 m * 2800 Kg/m3
) = 84 Kg/m
Peso propio en proyección inclinado = 492 Kg/m
Peso propio horizontalizado: (492 Kg/m / cos α) = 540,68 Kg/m
Sobrecarga por uso = 300 Kg/m
PESO TOTAL en proyección horizontal = 840,68 Kg/m
Altura de entrepiso: 3,15 m.
Tramos de losas escaleras con pendiente constante con un ángulo de
“Arco Tangente (Contrahuella / Huella)”:
α= Arco Tangente (0,143 m / 0,309 m) = 24°50’02”
Desnivel losas “A”: 0,858 m (con 6 escalones)
Desnivel losa “C”: 1,43 m (con 10 escalones y 9 contrahuellas).

3. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 3
Para dimensionar se considera la COMPONENTE DE LA CARGA TOTAL NORMAL A LA LOSA:
qNORMAL = (qTOTAL * cos α)
La componente tangencial de la carga total descarga directamente al tabique y
produce una tensión de compresión pequeña.
qNORMAL = (qTOTAL * cos 24°50’02”) =
qNORMAL = (840,68 Kg/m * cos 24°50’02”) ~ 765 Kg/m (carga de cálculo de solicitaciones)
Losas “B” (horizontal): Altura losa = 0,08 m. Altura
Peso Propio 0.08 x 2400 = 192 Kg/m
Carpeta mortero fijación (0.03 m * 2000) = 60 Kg/m
Piso de mármol (0.03 m * 2800) = 84 Kg/m
Sobrecarga = 300 Kg/m
Total losa “B” = 636 Kg/m
Solicitaciones:
Losa “C”:
Mmáx = (q * L2
/ 8) = 126.46 Kgm por metro de ancho
Qmáx = (q * L / 2) = 440 Kg por metro de ancho
Losas “A”:
Mmáx = (q * L2
/ 8) = 95.63 Kgm / m
Qmáx = (q * L / 2) = 368 Kg / m
Losas “B”: (Con tablas de losas cruzadas. Coeficientes: m = 0,0368; Q = 0,25)
Mmáx = (q * 0,0368 * L2
) = (765 Kg/m * 0,0368 * (1,15 m)2
) = 37.23 Kgm /m en ambas direcciones
Qmáx = (q * 0,25 * L2
) = (765 Kg/m * 0.25 * (1,15 m)2
) = 253 Kg /m
qNORMAL = (qTOTAL * cos α)
qTOTAL
Componente tangencial

4. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 4
Dimensionamiento:
(Según metodología de cálculo explicada en la asignatura “ESTRUCTURAS I” de la FAU-UNNE)
Losa “C”:As necesario = 0.57 cm2
< As mín
As mín= 1 φ 6 c/ 20 cm = 1.41 cm2
Esta armadura también en la otra dirección como repartición
τ = 440 / (100 cm * 9.8 cm * 0.95) < τ011 (3.5 Kg/cm2
)

Losas “A”: As necesario < As mín
As = 1 φ 6 c/ 20 cm = 1.41 cm2
Esta armadura también en la otra dirección como repartición
τ < τ011 (3.5 Kg/cm2
)
Losas “B”: As necesario < As mín
As = 1 φ 6 c/ 20 cm Esta armadura en ambas direcciones.
τ < τ011 (3.5 Kg/cm2
)
CONSIDERACIÓN: no se tuvo en cuenta las descargas de las losas “B” sobre las losas “A” y “C”,
pues éstas últimas están con una inclinación diferente, (en otro plano), generándose así un
“borde” o “arista”, el cual transmite directamente las reacciones de “B” hacia el tabique vertical de
apoyo. La “arista” trabaja estructuralmente como una “estructuras plegadas”. Todas las armaduras
están en posición inferior, (tracción inferior, en losas simplemente apoyadas), no requiere una
disposición especial de armado en las aristas de encuentros, ya que éstas no son nudos transmitiendo
flexión, en este caso analizado.

5. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 5
0,90
3,17
0,80
2,37
0,80
1º·al 2º nivel
Ve2
A
A
Ejemplo 2:
Escalera de dos tramos por nivel, con descanso intermedio. Debido al diseño (sin vigas laterales longitudinales) se
apoyará en la dirección más desfavorable: la mayor luz longitudinal.
Los apoyos son:
a) en las vigas V2, V3,etc. que apoyan en las columnas C1 y C3
b) en las vigas Ve1, Ve2 etc. que apoyan en las columnas C2 y C4
Esto sería porque la escalera hacia los costados no tiene paredes sino barandas de vidrio y está situada en el
exterior del edificio y se pretende que se vea el perfil de la misma, sin vigas de apoyo.

6. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 6
CORTE TRANSVERSAL
+1,68
+0,15
+3,36
+5,04
+6, 72

7. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 7
0,80 0,802,37
1,68
A
B
C
D
Altura entre niveles: 3,36 m.
Losas “E1” con α = 35°19’52”
Desnivel losa “E1”: 1,68 m (con 9 escalones)
Contrahuella:
0,187 m
0,100 m
Huella:
0,296 m
Apotema triáng =
0,171 m
A / 2 = 0.086 m,
α = 35°19’52”
GEOMETRÍA DE LA
ESCALERA “E1”:
Materiales: acero βs = 4200 Kg/cm2 -
Hormigón σβCN = 170 Kg/cm2
Análisis de carga:
Losa “E1” (escalera): Espesor losa = 0,10 m. (más escalones)
Peso Propio ((espesor losa + A/2) * peso específico Hº) = 446 Kg/m
Carpeta mortero fijación (cemento + piso) = 180Kg/m
Peso propio en proyección inclinado: = 626 Kg/m
Peso propio en proyección horizontal: (626 Kg/m / cos α) = 767 Kg/m
Sobrecarga = 300 Kg/m
Carga Total en proyección horizontal: qTOTAL = 1.067 Kg/m

8. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 8
Se considera únicamente a la componente normal a la escalera (qNORMAL = QTOTAL * cos α), pues es un sistema
continuo: la componente tangencial a la misma produce acciones en los tramos del descanso.
LOSA “E1” (descansos)
Espesor losa = 0,10 m.
Peso Propio losa Hº Aº = 240 Kg/m
Carpeta mortero fijación + piso = 20 Kg/m
Peso Propio Total = 260 Kg/m
Sobrecarga = 300 Kg/m
Carga Total qTOTAL = 560 Kg/m
ESTADO DE CARGAS POR TRAMO Y DEFORMACIÓN DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
qNORMAL = q total * cos α
qTOTAL
560 Kg/m
560 Kg/m
1067 Kg/m
1.19
1.94
X =1,453 m
Deformada
componente tangencial

9. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 9
Diagrama de esfuerzos de corte
Diagrama de esfuerzos normales
CÁLCULO DE REACCIONES DE APOYO:
∑MA = 0
∑MA = (0.56 Tn/m * (0.8 m)2
/ 2) + (1.067 Tn/m * cos α * 2.37 m * ((2.37 m /2) + 0.80 m)) + (0.56 Tn/m * 0.80 m * ((0.80 m /2)
+ 2.37 + 0.80 m)) – (RB * 3.97) = 0 => RB = 1.71 Tn
∑MB = 0
∑MB = (-0.56 Tn/m * (0.80 m)2
/ 2) + (-1.067 Tn/m * cos α * 2.37 m * ((2.37 m /2) + 0.80 m)) + (-0.56 Tn/m * 0.80 m * ((0.80 m
/2) + 2.37 +0.8 m)) + (RA * 3.97) = 0 => RA = 1.71 Tn
Cálculo de esfuerzos de corte:
∑Qizq C = (0.56 Tn/m * 0.80 m) – RA = 1.26 Tn (tramo horizontal)
1.26
1.03
1.71
-0.73
+0.73

10. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 10
Cálculo de esfuerzos de corte en tramo inclinado (a la derecha de “C”):
∑Q der C =
∑Q der C = + (RA * cos α) − (0,56 Tn/m * 0.80 m * cos α) = 1.03 Tn
Cálculo de “X”:
X = por simetría, en la mitad del tramo inclinado = 1.453 m
Cálculo de “Mmáx”:
∑Mizq C = ∑Mder C = (Ra * 0.80 m) – (0,56 Tn/m * (0.80 m)2
/ 2) = 1.19 Tn.m
∑MX = (RA * cos α) * ((0.80 m * cos α) + X) + (RA * sen α * 0.80 m * sen α) - 0.56 Tn/m * cos α * (X + (0.80 m * cos α)2
/ 2) –
(0.56 Tn/m * sen α * 0.80 / 2 * sen α) - 1.067 Tn/m * cos α * (X)2
/ 2 = 1.94 Tn.m
∑Mder C = ∑Mizq D = (RB * 0,80 m) – (0,56 Tn/m * (0,80 m)2
/ 2) = 1.19 Tn.m
CÁLCULO DE ESFUERZOS DE CORTE:
Cálculo de esfuerzos de corte en tramo inclinado (a la derecha de “C”): se los puede analizar para determinar
dónde es mínimo el esfuerzo de corte y por lo tanto el máximo momento de flexión en el tramo inclinado, o bien
considerar el máximo momento flector en la mitad de dicho tramo, por ser pequeña la variación.
α
RA
C

11. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 11
DIMENSIONAMIENTO:
(Según metodología de cálculo explicada en la asignatura “ESTRUCTURAS I” de la FAU-UNNE).
En este caso, los escalones son perpendiculares a la dirección de la flexión, no colaboran en la absorción de los
esfuerzos, se tiene en cuenta solamente la altura de la placa rectangular de la losa.
Losa “CD” (tramo inclinado):
As necesario = 16.56 cm2
/m ó bien 14.9 cm2 en los 90 cm de ancho
As = 1 φ 12 c/ 7 cm = 15.83 cm2
/m (13 φ 12 en los 0.9 m de ancho, la armadura total)
Armadura en la otra dirección como repartición: As = 1 φ 6 c/ 20 cm

Losa “AC” (tramo horizontal) = Losa “DB” (tramo horizontal):
As necesario = 8.77 cm2
/m
As = 1 φ 12 c/ 12.5 cm = 9.05 cm2
/m (7 φ 12 en los 0.9 m de ancho, la armadura total)
Armadura en la otra dirección como repartición: As = 1 φ 6 c/ 20 cm

12. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 12
0.80 0.802.37
A C
2.91
7φ 12
4 φ 12
3 φ 12
1 φ 6 c/20 cm
1.68
B
Nudo “D”
Nudo “C”
“B”
“D”
“C”“A”
Ángulo Convexo reforzado con “RULOS”
Ángulo Cóncavo
2φ 12
DIAGRAMA DE DOBLADO
DE LA ARMADURA RESISTENTE
OBSERVACIONES:
Nudo “D”: la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo convexo > 180°, en estos casos, se debe
disponer de armadura (“RULOS”) que envuelva dicha arista para evitar que se astille.
Nudo “C”: la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo cóncavo, en este caso se debe disponer también de
armadura (BARRAS ADICIONALES) mínima: 1 φ 6 c/ 20 cm, para evitar que se astille. No es necesario disponer rulos
como el nudo D, pero se debe anclar con ganchos la armadura detallada en color naranja si es que se suspende en el nudo para
no tener dos cambios de dirección
Tramo “CD” con un sector comprimido: se verifica que la tensión de compresión = 0,73 Tn/m / (1 m ancho * 0,10 m) =
0,73 Kg/cm2
es mucho menor que βR (140 Kg/cm2
) => que se vuelve despreciable y no influye en el dimensionamiento.

13. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 13
Contrahuella:
0,187 m
0,100 m
Huella:
0,268 m
Apotema triáng =
0,165 m
A / 2 = 0.083 m,
Ejemplo 3: ESCALERA DE UN TRAMO POR NIVEL, CON DESCANSO INTERMEDIO.
Las losas de la escalera y del descanso son simplemente apoyadas en las vigas laterales longitudinales.
Los apoyos de las losas son las vigas de borde “VB”. Los apoyos de las vigas de borde son las vigas “V1” y “V2”.
Altura entre niveles: 3,36 m.
Losas “E1” con α = 38°08’57”
Desnivel losas “E1”: 1,68 m
8 escalones cada uno. (9 contrahuellas)
2.14
3.36
1.0 2.14
A
B
C
D
10
10
10

14. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 14
Este caso, en la publicación “ESTRUCTURAS II”, se encuentra detallado el análisis de carga y de las solicitaciones en las losas,
así como su dimensionado según similar principio utilizado en el ejemplo anterior.
CÁLCULO DE LAS VIGAS DE BORDE (VB)
VB en tramos inclinados:
Reacción de (Le1 / cos α) = 302 Kg/m / cos α = 392 Kg/m (q)
Dimensiones de la viga = 0.20 x 0.40:
Peso propio (0.20 x 0.40 x 2400) / cos α = 122 Kg/m
Carga media pared 0.20 m x 3 m / 2 x 1600) = 240 Kg/m
Cargas en proyección inclinado = 754 Kg/m (tramos inclinado)
Carga Total VBTRAMO INCLINADO q = 754 Kg/m
VB en tramo horizontal:
Reacción de Le2 = 280 Kg/m
Dimensiones de la viga = 0.20 x 0.40:
Peso propio (0.20 x 0.40 x 2400) = 192 Kg/m
Carga media pared 0.20 m x 3 m / 2 x 1600)= 240 Kg/m
Cargas = 712 Kg/m (tramo horizontal)
Carga Total VBTRAMO HORIZONTAL q = 712 Kg/m
0,55 m
0,15 m
0,20 m
0,40 m
0,20 m
q RLe1 = 302 Kg/m
0,50 m
0,10 m
0,20 m
0,40 m
0,20 m

15. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 15
SOLICITACIONES EN VIGAS DE BORDE (VB)
Las solicitaciones se obtienen de igual manera que en el EJEMPLO 3°, tratándose de un caso
“ISOSTÁTICO” se plantean las ecuaciones de equilibrio:
Sumatoria de momentos igualados a cero
Sumatoria de cargas igualadas a cero
1.76 Tn
DIAGRAMA DE ESFUERZOS DE CORTE
754 Kg/m
754 Kg/m
712 Kg/m
2.71 Tn.m
2.71Tn.m
2.78 Tn.m
DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES
RA = 2.23 Tn
RB = 2.23 Tn
0.23 Tn
0.30 Tn
0.30 Tn
0.23 Tn
1.76 Tn
-1.38 Tn
-0.18 Tn
1.38 Tn
0.18 Tn
DIAGRAMA DE ESFUERZOS NORMALES

16. ESTRUCTURAS II–FAU-UNNE: Estructura con continuidad estructural. Caso: ESCALERAS 16
3 φ 10
2 φ 12
C
D
2 φ 12
2 φ 12
DIMENSIONADO DE LA VIGA DE BORDE (VB)
Este caso, en la publicación “ESTRUCTURAS II”, se encuentra detallado el análisis de carga y de las solicitaciones en las losas,
así como su dimensionado según similar principio utilizado en el ejemplo anterior.
Diagrama de doblado de armadura
en las vigas de borde (VB)
OBSERVACIONES:
1) En el armado del nudo “C” se debe tener en cuenta que la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo convexo
> 180°, en estos casos se debe disponer de armadura que envuelva dicha arista para evitar que se astille. Para ello utilizamos
toda la armadura: 2 φ 12 + 2 φ 12.
2) En el caso del nudo “D” la tensión de compresión se produce en una arista con ángulo cóncavo, en este caso se debe disponer
armadura y es suficiente una armadura mínima (3 φ 10, una barra para el centro y una para cada cara) para evitar que se astille.
3) La máxima tensión de compresión en el tramo comprimido “AC” es de σ = -1380 Kg / 1100 cm2
= -1,25 Kg/ cm2
Valor ínfimo
(0,97 %) en comparación con la tensión de rotura del hormigón βR = 140 Kg/ cm2
(βCN 170).