Coordenadas Polares parte 1.pdf

Universidad de El Salvador
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Unidad de Ciencias Básicas
Matemática III Ciclo I -2021
UNIDAD II: COORDENADAS POLARES
2.1 SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
El sistema de coordenadas polares consta de un punto llamado polo u
origen y una semi-recta la cual se conoce como eje polar (lo representaremos
en forma horizontal)
Un punto en el plano polar es un par ordenado  
,
r  , donde r es una longitud
medida en unidades lineales y  es un ángulo, medido en radianes, cuyo lado
inicial se hace coincidir con el eje polar.
OBSERVACIONES
1) Tanto r como  pueden ser cualquier número real
2) Ө > 0 se mide en el sentido anti -horario
Ө < 0 se mide en sentido horario
3) Todo ángulo se mide haciendo coincidir el lado inicial con el eje polar
4) Las coordenadas del polo son (0, Ө), donde Ө es cualquier ángulo.
P(r,Ө)
Ө
r
LADO TERMINAL
POLO
LADO INICIAL
Ciclo I-2022

Coordenadas polares Ciclo I-2021
Por ejemplo: ubicar en el plano polar el punto 3,
4

 
 
 
Para representar un punto  
,
r  en el sistema polar establecemos los
siguientes pasos:
1) Primero escogemos el origen o polo y de este polo, en forma horizontal,
comienza el eje polar.
2) Luego medimos el ángulo  en donde el eje polar será el lado inicial.
3) Si el valor de r es positivo entonces el punto se ubica sobre el lado
terminal del ángulo  y para ello medimos r unidades sobre el lado
terminal.
4) Si el valor de r es negativo, entonces el punto se ubica sobre la
prolongación del lado terminal, es decir, medimos r unidades sobre la
prolongación del lado terminal.
Ejemplo: Localizar los puntos cuyas coordenadas polares se indican a
continuación (en planos polares distintos)
a) (4 ,
2
3

) b) (3 ,
4

 ) c)
7
5,
4

 

 
 
d) ,
2 6
 
 
 
 
e) (-2,2)
Ciclo I-2022

Solución para a)
2
4,
3

 
 
 
Como no tenemos transportador para ubicar ángulos en radianes hay que
hacer la conversión a grados sexagesimales.
2
3

es equivalente a 120o
Las unidades pueden ser centímetros o
cualquier unidad de longitud.
Solución para b)
(3 ,
4

 )
4

 equivale a -45º
Solución para c)
7
5,
4

 

 
 
7
4

es equivalente a 315º o tendría el mismo lado terminal que
4


Ciclo I-2022

Solución para d) ,
2 6
 
 
 
 
Recordemos que es un punto en el sistema polar, la primera componente es una
longitud, entonces
3.14
1.57
2 2

  y la segunda componente es un ángulo en
radianes, o sea que 30º
6

   . Por lo tanto, medimos desde el eje polar 30
grados con el transportador y sobre ese lado terminal del ángulo medimos 1.57
de longitud y esa es la representación del punto.
Solución para e) (-2,2)
Igualmente, como este punto está en coordenadas polares la segunda
componente es 2 radianes y como un radián equivale aproximadamente a
57.3º, 2 radianes es 114.6º.
Luego el punto queda en la prolongación del ángulo 114.6º, ya que r es negativo.
NOTA: Un punto en coordenadas polares no tiene representación única.
Así, por ejemplo, el punto (-2,2) se puede representar también como
 
2,2 (2,5.14)

  ó también como (2,-1.14)
Ciclo I-2022

2.2 CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS
RECTANGULARES y VICEVERSA
De la gráfica anterior podemos relacionar las coordenadas polares con las
rectangulares, haciendo coincidir el eje polar con el semi- eje positivo de las x,
mediante las fórmulas siguientes:
2 2 2
1
cos( )
( )
tan( ) tan
x r
y rsen
r x y
y y
x x


   

 
 


 
  
Ejercicio:
a) Convertir  
2, 4
 de coordenadas cartesianas a polares
Solución
     
, 2,4 , ?
x y r 
   
2 2 2
2 2 2
2
( 2) (4)
20
20 4.47
r x y
r
r
r
 
  

   
 
1
1
1
tan
4
tan
2
tan 2 (la calculadora tiene que configurarse para radianes)
1.11
y
x







 
  
 
 
  

 
 
 
P(r,Ө)
Ө
r
EJE POLAR
Y
X
Ciclo I-2022

Para poder escribir correctamente el punto en el sistema polar, es mejor
auxiliarse de la representación en rectangulares
La ubicación del punto (-2,4) en polares y en rectangulares es la misma (no
cambia), lo que cambia es la representación
El ángulo es negativo, por lo tanto, éste es medido desde el eje polar en el
sentido horario.
Tenemos la opción de colocar el valor de r
positivo o negativo. Si colocamos el r positivo, el
punto quedaría sobre el lado terminal el ángulo -
1.11 y no correspondería a la ubicación del
punto en el segundo cuadrante.
Por esta razón, el valor de r hay que medirlo en
la prolongación del lado terminal del ángulo -1.11.
Otra forma de representar el punto (-2,4) en polares, es tomando el valor de r
positivo
20 4.47
r   , pero entonces hay que cambiar el ángulo. Es decir, habrá que
ocupar el suplemento de -1.11 radianes en valor positivo
Ciclo I-2022

1.11 3.14 1.11 2.03
 
    
Así, otra representación en polares del punto
(-2,4) es
 
20,2.03
b) Dado el punto 7
2 ,
6

 

 
 
en coordenadas polares, ubicar el punto
en el plano polar y convertir el punto a coordenadas cartesianas.
Solución
7
2
6
r y  
  
Aunque en polares no existen los cuadrantes, podemos decir sin caer en error,
que el lado terminal del ángulo
7
6
 
 cae en el tercer cuadrante. (
7
6
 
 un
poco mayor que 180º
  ). Realmente 210º
  . Es 30º después de 180º.
El punto 7
2 ,
6

 

 
 
se ubica a dos unidades lineales en la
prolongación del lado terminal. O sea, en el primer cuadrante.
Ciclo I-2022

Recuerde que si utiliza calculadora para obtener el valor de un ángulo, Éstas
están diseñadas así: tan( )
 , primero y cuarto cuadrante
( )
sen  , primero y cuarto cuadrante
cos( )
 , primero y segundo cuadrante
2.3 ECUACIONES POLARES Y ECUACIONES RECTANGULARES
Ejercicio:
a) Convertir la ecuación rectangular a la forma polar
2 2
4 2 0
x y x y
    , y además , escribir r en función de 
Solución
Una forma……..
 
 
2 2 2
2 2
sustituyendo
4 2 0 ;
cos
x y r
x y x y
x r
y rsen




 

    


 

   
   
 
   
 
2
4 cos 2 0; factorando
4cos 2 0
0 4cos 2 0
0 es el polo
4cos( ) 2
r r rsen r
r r sen
r ó r sen
r
r sen
 
 
 
 
  
  
   

  
Observemos que la ecuación
2 2
4 2 0
x y x y
    corresponde a una
circunferencia, en coordenadas cartesianas y su equivalente en el sistema polar
es  
4cos( ) 2
r sen
 
   . Más adelante estudiaremos este tipo de
circunferencias.
b) Convertir la ecuación rectangular a la forma polar
2
4 4 0
y x
   , escribir r en función de 
Ciclo I-2022

Solución
Hasta acá ya convertimos la ecuación cartesiana a polar, pero hay que escribir
r en función de  . Hagámoslo.
Luego, utilizando factorización e identidades trigonométricas
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2
2
2
2
2
4cos 16 cos
2
4cos 16
2
4cos 4
2
4 cos 1
2
2 cos 1
sen
r
sen
r
sen
r
sen
r
sen
r
sen
  









 
 
 






 
 


 
 

 
   
   
2
2
2 2
4 4 0
4 cos 4 0
4 cos 4 0 ;
y x
rsen r
r sen r
 
 
  
  
  
   
   
 
   
    
 
     
 
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
4 cos 4 0
Es lomismo que
4cos 4 0
0
De ahí que, resolviendo para
4
2
4cos 4cos 4 4
2
4cos 16cos 16
2
c
a b
r sen r
sen r r
ar br c
r
b b ac
r
a
sen
r
sen
sen
r
sen
 
 
  

  

  
  
  
  

     

 

Ciclo I-2022

Podemos seguir simplificando. Utilizando identidades trigonométricas y
factorización:
 
 
 
 
 
 
 
   
 
2
2
2
2 cos 1
2 cos 1
1 cos
si tomamos el signo positivo en el numerador
2 cos 1
1 cos
2 cos 1
,diferencia de cuadrados
1 cos 1 cos( )
2
; esta es una respuesta
1 cos
si tomamos e
r
sen
r
r
r
r







 


 
 


 
 



 
 



 
 

 
 
 


 
 
 
   
 
   
2
l signo negativo en el numerador
2 cos 1
1 cos
2 cos 1
; cambiemos el signo en el numerador
1 cos 1 cos( )
2 1 cos
; ahora simplificamos
1 cos 1 cos( )
2
; esta es otra res
1 cos( )
r
r
r
r



 

 


 
 



 
 

 
 
 
 
 
 

 
 
 



puesta (equivalente a la primera)
c) Encontrar una ecuación cartesiana que tenga la misma gráfica que la ecuación
polar
2
(2 ) 16
r sen  
Solución
   
   
2
2
(2 ) 16
2 cos 16 ;
16
cos
2
8
8
y x
r sen
r sen
rsen r
yx
y
x

 
 





hemos utilizado una identidad trigonométrica
Ciclo I-2022

2.4 SIMETRÍA
Existe una similitud entre la simetría en coordenadas rectangulares y las polares.
En las gráficas polares se puede dar simetría con respecto a el eje polar, la recta
2

  y también con respecto al polo (al eje x, el eje y, el origen,
respectivamente)
Geométricamente se puede decir que si hay simetría con respecto al eje polar
éste divide en partes iguales la gráfica. De igual manera, si hay simetría con
respecto a
2

  , esta recta divide en dos partes iguales la gráfica.
Teorema: (Criterio de simetría en coordenadas polares)
La gráfica de una ecuación polar es simétrica respecto a lo siguiente, si la
sustitución indicada produce una ecuación equivalente
1. La recta
2

  : sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
  
2. Eje polar: sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
  
3. El polo: sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
 
Es de hacer notar que, si una sustitución no produce una ecuación equivalente,
no hay que concluir que no existe simetría, habrá que probar la otra sustitución
indicada y solo podremos concluir que no hay simetría si ambas sustituciones no
producen ecuaciones equivalentes.
Ejemplo
Determine que simetrías posee la gráfica cuya ecuación es  
tan
r 

Solución
Simetría respecto al eje polar
sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
  
 
 
 
   
   
 
 
tan
Re
cos cos cos
cos
tan( ) ,
r
sen sen
sen
r cordemos que
sen
r
r Noesequivalentealaoriginal

 

  



 
  

 
 
  




 
Ciclo I-2022

En este caso habrá que probar con la otra sustitución ( , )
r  
 
 
 
 
       
       
 
 
 
 
tan
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
tan( ) ,
r
sen
r
sen sen
r
sen sen
sen
r
sen
r
r esequivalentealaoriginal
La gráficaes simétrica respectoal eje polar
 
 
 
   
   





  

 


 

 




Simetría respecto al eje
2

 
sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
  
 
 
 
       
       
 
 
 
 
tan
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
tan( ) ,
r
sen
r
sen sen
r
sen sen
sen
r
sen
r
r Noesequivalentealaoriginal
 
 
 
   
   





 








 
 
Habrá que probar con la otra sustitución ( , )
r 
 
 
 
 
 
 
tan
cos
cos
tan( ) ,
2
r
sen
r
sen
r
r Esequivalentealaoriginal
Es simétrica respectoala recta








  

 


 

 
Ciclo I-2022

Simetría respecto al polo Gráfica de  
tan
r 

sustituir ( , )
r  por ( , ) ( , )
r ó r
  
 
 
 
 
       
       
 
 
 
 
tan
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
tan( ) ,
r
sen
r
sen sen
r
sen sen
sen
r
sen
r
r Esequivalentealaoriginal
Es simétrica respectoal polo
 
 
 
   
   





 












En este caso no hay necesidad de probar la otra sustitución
Un llamado “criterio rápido de simetría”, es el que puede resumirse de la
siguiente manera:
1) La gráfica de ( ( ))
r f sen 
 es simétrica respecto a la recta
2

 
2) La gráfica de (cos( ))
r f 
 es simétrica respecto al eje polar.
Este criterio es el que utilizaremos durante el curso, pues por lo general
utilizaremos gráficas que identificaremos fácilmente. Por ejemplo, la gráfica que
corresponde a la ecuación polar 3cos( )
r 
 es simétrica con respecto al eje polar
ya que está escrita en la forma (cos( ))
r f 
 , es decir, que r está en términos
de la función trigonométrica coseno.
Rectas tangentes a gráficas polares
Teorema
Si f es una función diferenciable de  , entonces la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de ( )
r f 
 en el punto  
,
r  es,
Ciclo I-2022

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos cos
cos( )
cos ( )
d
rsen
d rsen
dy d
m
d
dx d r r
d
dr
sen r
d
m
dr
rsen
d

 
 

 

 

  
 

 
 

 

 
 
Caso especial: Si
 
 
 
 
0 0,
cos cos
sen sen
dr
r y entonces m
d
 
   
 
  

 
   
   
1
tan tan ,
m m donde
   

    se conoce como recta tangente en el polo.
2.5 RECTAS TANGENTES EN EL POLO
Si ( ) 0 ´( ) 0
f y f
 
  , entonces la recta  
 es tangente en el
polo a la gráfica ( )
r f 
 .
En otras palabras para que una recta  
 sea una recta tangente en el polo
tiene que hacer cero la ecuación polar (la gráfica debe pasar por el polo) y ser
distinto de cero al evaluar  
 en la derivada de la ecuación polar. Por
ejemplo, la recta
2

  es una recta tangente al polo de la gráfica de
  2cos( ), o simplemente 2cos( )
r r
  
  .
Ciclo I-2022

En efecto,
2cos
2
2(0)
0 ; es decir que hace "cero" la ecuación polar
2
r
r
r


 
  
 


Además,        
2cos , entonces la derivada es 2
r r sen
   

  
Ahora si evaluamos
2

  en la derivada nos debe de dar distinto de cero. En
efecto:
2 2 0
2 2
r sen
 
   
     
   
   
Procedimiento para determinar las tangentes en el polo de una ecuación polar.
1) Hacemos 0
r  para determinar los valores que hacen “cero” la ecuación
polar.(posibles tangentes al polo)
2) Sustituimos los valores encontrados en (1) en ( )
r f 
 
 y si nos dan
valores distintos de cero entonces los valores encontrados en (1) son
tangentes al polo.
Ejemplo: Determinar las tangentes al polo de 2 ( )
r sen 

Solución
Hacemos 0
r  , o sea
2 ( ) 0
sen  
0
( )
2
( ) 0
sen
sen




Ahora vemos para que valores de ángulos  el seno es cero y puede verse que
es para 0
  , 
 , 2
 
 , 
  , 2
 
  ,etc son la misma recta.
Entonces 0
  es la única posible tangente al polo.
2 ( )
r sen 

2cos( )
r 
 
Ciclo I-2022

Evaluando 0
  en ( ) 2cos( )
r  
 
(0) 2cos(0) 2 0
r   
Por lo tanto, 0
  es tangente en el polo de 2 ( )
r sen 

Ejercicio: Encontrar las rectas tangentes en el polo de 2 (3 )
r sen 

Solución
a) Hacemos 0
r 
2 (3 ) 0
0
(3 ) 0
2
(3 ) 0
sen
sen
sen




 

Para que el seno de un ángulo sea cero, éste tiene que medir 0 , , 2 ,3 , 4
, etc. , o también negativos.
Pero para este problema el ángulo es 3 , o sea que:
3 0
 
3 

3 2
 

3 3
 

3 4
 

Y así sucesivamente. Lo mismo es con los negativos.
Luego despejamos  en cada caso para obtener las posibles tangentes al polo
3 0 0
 
  
3
3

  
  
2
3 2
3
   
  
3 3
   
  
4
3 4
3
   
  
Ciclo I-2022

Observamos que a partir de la recta  
 , se repiten. Ya que la recta  

es la misma reta que 0
  y la reta
4
3
 
 es la misma recta que
3

   ,
etc.
Entonces, las posible tangentes al polo solamente son 0
  ,
3

  y
2
3

 
b) Ahora hay que ver cada uno de estos 3 valores evaluados en la derivada de r
nos da distinto de cero.
2 (3 )
r sen 

6cos(3 )
r 
 
Para 0
 
   
 
0 6cos(3 0 )
6(cos 0 ) 6(1)
6 0
r 
 
 
Luego la recta 0
  (eje polar) es tangente al polo
Para
3

 
Luego la recta
3

  es tangente al polo también.
Para
2
3

 
 
2 2
6cos 3
3 3
6(cos 2 ) 6(1)
6 0
r
 

 
   
 
   
 
   
 
 
 
 
6cos 3
3 3
6(cos ) 6( 1)
6 0
r
 

 
   
 
   
 
   
 
  
  
Ciclo I-2022

Luego la recta
2
3

  es tangente al polo también.
Por lo tanto las rectas 0
  ,
3

  y
2
3

  son tangentes al polo de la
gráfica de 2 (3 )
r sen 

Ciclo I-2022

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