Coordenadas polares

de 15
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática II
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Julio del 2020
Coordenadas polares
Definición de coordenadas polares
El sistema de coordenadas polares emplea
distancias y direcciones para especificar la ubicación
de un punto en el plano. Para preparar el sistema, se
elige un punto fijo O en el plano llamado el polo (u
origen) y se dibuja desde O un rayo (semirrecta)
llamado el eje polar como en la figura
Entonces a cada
punto P se le
pueden asignar
coordenadas
polares 𝑃(𝑟, 𝜃)
donde
r es la distancia de
O a P
𝜃 es el ángulo entre el eje polar y el segmento 𝑂𝑃̅̅̅̅
Se usa la convención de que 𝜃 es positivo si se mide
en dirección contraria a las manecillas del reloj desde
el eje polar o negativo si se mide en dirección de las
manecillas del reloj. Si r es negativa, entonces
𝑃(𝑟, 𝜃) se define como el punto que se encuentra
a | 𝑟| unidades del polo en la dirección opuesta a la
que da 𝜃 ver la figura.
Graficar puntos en coordenadas polares
Grafique los puntos cuyas coordenadas se dan.
a) (1, 3𝜋/4)
b) (3, −𝜋/4 )

de 15
c) (3, 3𝜋)
d) (−4, 𝜋/4)
se localiza a 4
unidades del
origen a lo
largo del
ángulo 5𝜋/4,
porque el
valor dado de
r es negativo.
Se observa que ( 𝑟, 𝜃) 𝑦 (−𝑟, 𝜃 + 𝜋) representan el
mismo punto, como se muestra en la figura. Además,
debido a que todos los ángulos 𝜃 + 2𝑛𝜋, 𝑛 𝜖 𝑍 tienen
el mismo lado terminal que el ángulo 𝜃, cada punto
en el plano tiene un número infinito de
representaciones en coordenadas polares. De hecho,
cualquier punto 𝑃(𝑟, 𝜃) se puede representar por
𝑃(𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋) y 𝑃(−𝑟, 𝜃 + (2𝑛 + 1)𝜋)
para cualquier entero n.
Coordenadas polares diferentes para el mismo
punto
a) Grafique el punto con coordenadas polares
𝑃(2, 𝜋/3)
b) Encuentre otras dos representaciones de P en
coordenadas polares con r > 0 y dos con r < 0.
Solución
a) La gráfica se muestra en la figura.
b) Otras representaciones con r > 0 son
(2,
𝜋
3
+ 2𝜋) = (2,
7𝜋
3
) 𝑠𝑢𝑚𝑒 2𝜋 𝑎 𝜃
(2,
𝜋
3
− 2𝜋) = (2, −
5𝜋
3
) 𝑠𝑢𝑚𝑒 − 2𝜋 𝑎 𝜃
Otras representaciones con r<0 son
(−2,
𝜋
3
+ 𝜋) = (−2,
4𝜋
3
) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑎 − 𝑟 𝑦 𝑠𝑢𝑚𝑒
𝜋 𝑎 𝜃
(−2,
𝜋
3
− 𝜋) = (−2, −
2𝜋
3
) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟 𝑦
𝑠𝑢𝑚𝑒 − 𝜋 𝑎 𝜃
Las gráficas de la figura explican por qué estas
coordenadas representan el mismo punto.

de 15
Relación entre coordenadas polares y
rectangulares
Con frecuencia surgen situaciones en las que es
necesario considerar al mismo tiempo coordenadas
polares y rectangulares. La conexión entre los dos
sistemas se ilustra en la figura, donde el eje polar
coincide con el eje x positivo.
Las fórmulas en el siguiente cuadro se obtienen de la
figura por medio de las definiciones de funciones
trigonométricas y el teorema de Pitágoras. (Aunque
se ha ilustrado el caso donde r > 0 y 𝜃 es agudo, las
fórmulas se cumplen para cualquier ángulo 𝜃 y para
cualquier valor de r.)
Relación entre coordenadas polares y
rectangulares
1. Para cambiar de coordenadas polares a
rectangulares, use las fórmulas
{
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
2. Para cambiar de coordenadas rectangulares a
polares, use las fórmulas
{
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
(𝑥 ≠ 0)
Convertir coordenadas polares a coordenadas
rectangulares
Encuentre coordenadas rectangulares para el punto
que tiene coordenadas polares (4,
2𝜋
3
).
Solución
Puesto que 𝑟 = 4 y 𝜃 = 2𝜋/3, se tiene
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 4𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
3
) = 4 (−
1
2
) = −2
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 4𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋
3
) = 4 (
√3
2
) = 2√3
Convertir coordenadas rectangulares a
coordenadas polares
Encuentre coordenadas polares para el punto que
tiene coordenadas rectangulares (2, −2)
Solución
Con 𝑥 = 2, 𝑦 = −2 se obtiene
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
= (2)2
+ (−2)2
= 8
Por lo tanto 𝑟 = 2√2 o 𝑟 = −2√2. También
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥
=
−2
2
= −1

de 15
Así que 𝜃 =
3𝜋
4
𝑜 𝜃 = −
𝜋
4
. Puesto que el punto
(2, −2) se encuentra en el IV cuadrante véase la
figura, se puede representar en coordenadas polares
como (2√2; −
𝜋
4
) 𝑜 (−2√2;
3𝜋
4
) .
Observe que las ecuaciones que relacionan
coordenadas polares y rectangulares no
determinan de manera única a r o 𝜽. Cuando se
usan estas ecuaciones para hallar las coordenadas
polares de un punto, se debe tener cuidado de que los
valores elegidos para r y 𝜃 den un punto en el
cuadrante correcto.
Ecuaciones polares
Convertir una ecuación de coordenadas
rectangulares a polares
Exprese la ecuación 𝑥2
= 4𝑦 en coordenadas
polares.
Solución
Se usan las fórmulas
{
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥2
= 4𝑦 Ecuación rectangular
(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2
= 4(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃) Sustituya a 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 y a
𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 4𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 Desarrolle
𝑟 = 4
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
Divida por 𝑟𝑐𝑜𝑠2
𝜃
𝑟 = 4𝑠𝑒𝑐 ∙ 𝑡𝑎𝑛𝜃 Simplifique
Convertir ecuaciones de coordenadas polares a
rectangulares
Exprese la ecuación polar en coordenadas
rectangulares. Si es posible, determine la gráfica de
la ecuación a partir de su forma rectangular.
a) 𝑟 = 5𝑠𝑒𝑐𝜃
puesto que 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
, se multiplica ambos
miembros por 𝑐𝑜𝑠𝜃.
𝑟 = 5𝑠𝑒𝑐𝜃
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5 Multiplique por 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥 = 5 Sustituya 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
La gráfica de 𝑥 = 5 es la línea vertical véase la
figura.
b) 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃
Se multiplican ambos lados de la ecuación por r,
porque entonces se pueden usar las fórmulas
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦.
𝑟2
= 2𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 Multiplique por r.
𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑦 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑦
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑦 = 0 Reste 2y
𝑥2
+ ( 𝑦 − 1)2
= 1 Complete el cuadrado en y

de 15
Esta es la ecuación de un círculo de radio 1 centrado
en el punto (0,1) Se grafica en la figura.
c) 𝑟 = 2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
Se multiplican primero ambos lados de la ecuación
por r.
𝑟2
= 2𝑟 + 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
Con 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, se pueden
convertir dos de los términos de la ecuación en
coordenadas rectangulares, pero eliminar la r
restante requiere más trabajo:
𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑟 + 2𝑥 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑦 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 = 2𝑟 Reste 2𝑥
(𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥)2
= 4𝑟2
Elevando al cuadrado
ambos miembros
(𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥)2
= 4(𝑥2
+ 𝑦2
) 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
En este caso, la ecuación rectangular es más
complicada que la ecuación polar. Aunque no se
puede determinar con facilidad la gráfica de la
ecuación a partir de su forma rectangular.
Ejercicios
01. Grafique el punto que tienen las coordenadas
polares dadas.
a. (4,
𝜋
4
) b. (6, −
7𝜋
6
) c. (−2,
4𝜋
3
)
02. Grafique el punto que tienen las coordenadas
polares dadas. Luego de otras dos representaciones
del punto en coordenadas polares, una con r < 0 y la
otra con r > 0.
a. (3,
𝜋
2
) b. (−1,
7𝜋
6
) c. (−5,0)
03. Determine cuál punto de la figura, P, Q, R o S
tiene las coordenadas polares dadas.
a. (4, 3𝜋/4) b. (4, −3𝜋/4)
c. (−4, −𝜋/4) d. (−4, 13𝜋/4)
e. (4, −23𝜋/4) f. (−4, 23𝜋/4)
g. (−4, 101𝜋/4) h. (4, 103𝜋/4)
04. Se grafica un punto en forma rectangular.
Encuentre las coordenadas polares para el punto, con
r > 0 y 0 < 𝜃 < 2𝜋.

de 15
05. Se grafica un punto en forma polar. Encuentre
sus coordenadas rectangulares.
06. Encuentre las coordenadas rectangulares para el
punto cuyas coordenadas polares se dan.
a. (4, 𝜋/6) b. (6, 2𝜋/3)
c. (√2, −𝜋/4) d. (−1, 5𝜋/2)
e. (5, 5𝜋) f. (0, 13𝜋)
g. (6 √2, 11𝜋/6) h. (√3, −5𝜋/3)
07. Convierta las coordenadas rectangulares a
coordenadas polares con 𝑟 > 0 y 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.
a. (−1, 1) b. (√8, √8)
c. (3,4) d. (−6,0)
e. (3√3, −3) f. −√6, −√2
g. (1, −2) h. (0, −√3)
08. Convierta la ecuación a la forma polar.
a. 𝑥 = 𝑦 b. 𝑥2
+ 𝑦2
= 9 c. 𝑦 = 𝑥2
d. 𝑦 = 5 e. 𝑥 = 4 f. 𝑥2
− 𝑦2
= 1
09. Convierta la ecuación polar a coordenadas
rectangulares.
a. 𝑟 = 7 b. 𝜃 = 𝜋
c. 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = 6 d. 𝑟 = 6𝑐𝑜𝑠𝜃
e. 𝑟2
= 𝑡𝑎𝑛𝜃 f. 𝑟2
= 𝑠𝑒𝑛2𝜃
g. 𝑟 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃
h. 𝑟 =
1
1+𝑠𝑒𝑛𝜃
i. 𝑟 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 j. 𝑟 =
4
1+2𝑠𝑒𝑛𝜃
k. 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃 l. 𝑟 = 2 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
m. 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 2 n. 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1
Gráficas de ecuaciones polares
La gráfica de una ecuación polar 𝑟 = 𝑓(𝜃) consta
de los puntos P que tienen por lo menos una
representación polar (𝑟, 𝜃) cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación. Muchas curvas que surgen en
matemáticas y sus aplicaciones se representan de
manera más fácil y natural mediante ecuaciones
polares en vez de ecuaciones rectangulares.
Una cuadrícula rectangular es útil para graficar
puntos en coordenadas rectangulares véase la figura.
Para graficar puntos en coordenadas polares, es
conveniente usar una cuadrícula que consiste en

de 15
círculos centrados en el polo y los rayos que salen del
polo, como en la figura.
Se usarán tales cuadrículas como ayuda para
bosquejar gráficas polares.
Bosquejar la gráfica de una ecuación polar
Bosqueje la gráfica de la ecuación 𝑟 = 3 y exprese
la ecuación en coordenadas polares.
Solución
La gráfica consta de los puntos cuya coordenada r es
3, es decir, los puntos que están a 3 unidades del
origen. Así que la gráfica es un círculo de radio 3
centrado en el origen, como se muestra en la figura
2.
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, se
obtiene
𝑟2
= 32
Elevando al cuadrado ambos lados
𝑥2
+ 𝑦2
= 9 Sustituya 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
Por lo tanto, la ecuación equivalente en coordenadas
rectangulares es 𝑥2
+ 𝑦2
= 9.
En general, la gráfica de la ecuación r = a es un
círculo de radio | 𝑎| centrado en el origen. Al elevar
al cuadrado ambos lados de esta ecuación, se puede
observar que la ecuación equivalente en coordenadas
rectangulares es 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
.
Bosqueje la gráfica de la ecuación 𝜃 =
𝜋
3
y exprese
la ecuación en coordenadas rectangulares.
Solución
La gráfica consiste en los puntos cuya coordenada
𝜃 𝑒𝑠
𝜋
3
. Esta es la recta que pasa por el origen y
forma un ángulo de
𝜋
3
con el eje polar véase la figura.

de 15
Observe que los puntos (𝑟, 𝜋/3) en la recta con 𝑟 >
0 se encuentra en el cuadrante I, mientras que
aquellos con 𝑟 < 0 se localizan en el cuadrante III.
Si el punto (𝑥, 𝑦) está en esta recta, entonces
𝑦
𝑥
= 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑡𝑎𝑛
𝜋
3
= √3
Así, la ecuación rectangular de la recta de 𝑦 = √3𝑥.
Para bosquejar una curva polar cuya gráfica no es tan
obvia como las de los ejemplos anteriores, se
grafican puntos calculados para una cantidad
suficiente de valores de 𝜃 y luego se unen en una
curva continua.
Bosqueje la gráfica de la ecuación polar 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃.
Solución
Se usa primero la ecuación para determinar las
coordenadas polares de varios puntos en la curva.
Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
𝜽 𝒓
= 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
0 0
𝝅/𝟔 1
𝝅/𝟒 √2
𝝅/𝟑 √3
𝝅/𝟐 2
𝟐𝝅/𝟑 √3
𝟑𝝅/𝟒 √2
𝟓𝝅/𝟔 1
𝝅 0
Se grafican estos puntos en la siguiente figura y luego
se unen para bosquejar la curva. La gráfica aparece
como un círculo. Se han empleado valores de 𝜃 sólo
entre 0 y 𝜋, puesto que se habrían obtenido los
mismos puntos (esta vez expresado con coordenadas
r negativas) si se permite que 𝜃 varíe de 𝜋 a 2𝜋.
𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥2
+ ( 𝑦 − 1)2
= 1
En general, las gráficas de ecuaciones de la forma
𝑟 = 2𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃 y 𝑟 = 2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃
son círculos con radio | 𝑎| centrados en los puntos con
coordenadas polares (𝑎, 𝜋/2) 𝑦 (𝑎, 0),
respectivamente.
Trazar la gráfica de una ecuación polar
Bosqueje la gráfica de 𝑟 = 2 + 2 𝑐𝑜𝑠𝜃.
Solución
Primero se bosqueja la gráfica de 𝑟 = 2 + 2 𝑐𝑜𝑠𝜃.
en coordenadas rectangulares como se observa en
la figura
Se puede considerar a esta gráfica como una tabla de
valores que permite leer de un vistazo los valores de
r que corresponden a valores crecientes de 𝜃.

de 15
Se puede observar que cuando 𝜃 se incrementa de 0
a π/2, r (la distancia desde O) disminuye de 4 a 2, así
que se bosqueja la parte correspondiente de la gráfica
polar en la figura a).
Cuando 𝜃 crece de π/2 a π, la figura 5 muestra que r
disminuye de 2 a 0, de modo que se bosqueja la
parte siguiente de la gráfica como en la figura b).
Cuando 𝜃 crece de π a 3π/2, r crece de 0 a 2, como
se muestra en el inciso c).
Por último, elevando 𝜃 de 3𝜋/2 a 2𝜋, r crece de 2 a
4 como se muestra en el inciso d)
Si se permite que 𝜃 se incremente más allá de 2𝜋 o
disminuya más allá de 0, simplemente se volvería a
trazar la trayectoria. Al combinar las porciones de la
gráfica de los incisos a) a d) de la figura 6, se
bosqueja la gráfica completa en el inciso e).
Pasos para bosquejar 𝑟 = 2 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
La curva de la figura 6 se llama cardioide porque
tiene forma de corazón. En general, la gráfica de
cualquier ecuación de la forma
𝑟 = 𝑎(1 ± 𝑐𝑜𝑠𝜃) 𝑜 𝑟 = 𝑎(1 ± 𝑠𝑒𝑛𝜃)
es una cardioide.
Bosqueje la curva 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃
Solución

de 15
Primero se bosqueja la gráfica de 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 en
coordenadas rectangulares, como se muestra en la
figura. Cuando 𝜃 se incrementa de 0 𝑎 𝜋/4, la figura
muestra que 𝑟 disminuye de 1 𝑎 0 y, por lo tanto, se
traza la porción correspondiente de la curva polar en
la figura 8 (indicada por 1 ). Cuando 𝜃 se incrementa
de 𝜋/4 𝑎 𝜋/2, el valor de r va de 0 𝑎 − 1. Esto
significa que la distancia desde el origen se
incrementa de 0 𝑎 1, pero en lugar de estar en el
cuadrante I, esta porción de la curva polar (indicada
por 2) yace en el lado opuesto del origen en el
cuadrante III. El resto de la curva se dibuja de manera
similar, con flechas y números que indican el orden
en el que se trazan las porciones.
Grafica de 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 bosquejada en coordenadas
rectangulares.
La curva resultante tiene cuatro pétalos y se llama
rosa de cuatro hojas.
Rosa de cuatro hojas 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 bosquejada en
coordenadas polares
En general, la gráfica de una ecuación de la forma
𝑟 = acos( 𝑛𝜃) 𝑜 𝑟 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)
es una rosa de n hojas si n es impar o una rosa de 2n
hojas si n es par.
Simetría
Al graficar una ecuación polar, suele ser útil
aprovechar la simetría. Se listan tres pruebas para
simetría; en la figura se muestra por qué funcionan
estas pruebas.
Pruebas para simetría
1. Si una ecuación polar permanece sin cambio al
sustituir 𝜃 por −𝜃, entonces la gráfica es simétrica
con respecto al eje polar (ver figura).

de 15
2. Si la ecuación no se modifica cuando se sustituye
𝑟 𝑝𝑜𝑟 − 𝑟, entonces la gráfica es simétrica respecto
al polo (ver figura).
3. Si la ecuación no cambia cuando se sustituye 𝜃 por
𝜋 − 𝜃, la gráfica es simétrica respecto a la línea
vertical 𝜃 = 𝜋/2 (el eje y) (ver figura).
En coordenadas rectangulares, los ceros de la función
𝑦 = 𝑓(𝑥) corresponden a las intersecciones de la
gráfica. En coordenadas polares, los ceros de la
función 𝑟 = 𝑓(𝜃) son los ángulos 𝜃 en los que la
curva cruza el polo. Los ceros ayudan a bosquejar la
gráfica.
Uso de la simetría para bosquejar una gráfica
polar
Bosqueje la gráfica de la ecuación 𝒓 = 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽
Solución
Se usa lo siguiente como ayuda para bosquejar la
gráfica.
Simetría Puesto que la ecuación no se modifica
cuando 𝜃 se remplaza por −𝜃, la gráfica es simétrica
respecto al eje polar.
Ceros Para hallar los ceros, se resuelve
0 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
1
2
𝜃 =
2𝜋
3
,
4𝜋
3
Tabla de valores Se bosqueja la gráfica de
𝑟 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 en coordenadas rectangulares que
sirve como una tabla de valores la figura anterior.
Ahora se bosqueja la gráfica polar de
𝑟 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 de 𝜃 = 0 a 𝜃 = 𝜋, y luego se usa
la simetría para completar la gráfica en la figura.

de 15
La curva de la figura se llama limaçon por la palabra
francesa de la Edad Media para caracol. En general,
la gráfica de una ecuación de la forma
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑜 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃
es un caracol. La forma del caracol depende del
tamaño relativo de a y b.
Dibujar la gráfica de una ecuación polar
Grafique la ecuación 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜃
3
).
Solución
Se necesita determinar el dominio para 𝜃.
La gráfica se repite cuando se obtiene el mismo valor
de r en 𝜃 y 𝑢 + 2𝑛𝜋. Así, es necesario hallar un
entero n, de modo que
𝑐𝑜𝑠 (
2(𝜃 + 2𝑛𝜋)
3
) = 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜃
3
)
Para que se cumpla esta igualdad,
4𝑛𝜋
3
debe ser un
múltiplo de 2𝜋, y esto sucede primero cuando 𝑛 = 3.
Por lo tanto, se obtiene la gráfica completa si se
eligen valores de 𝜃 entre θ = 0 y 𝜃 = 0 + 2(3) 𝜋
𝜃 = 6 𝜋. La gráfica se muestra en la figura.
𝑟 = 𝑐𝑜𝑠 (
2𝜃
3
)
Una familia de ecuaciones polares
Grafique la familia de ecuaciones polares
𝑟 = 1 + 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃 para 𝑐 = 3; 2,5; 2; 1,5; 1. ¿Cómo
cambia la forma de la gráfica cuando cambia c?
Solución
En la figura se muestran gráficas trazadas por
computadora para los valores dados de c. Para 𝑐 > 1,
la gráfica tiene un bucle interno; el bucle se hace más
pequeño a medida que c disminuye. Cuando 𝑐 = 1,
el bucle desaparece y la gráfica se convierte en una
cardioide.

de 15
Una familia de caracoles 𝑟 = 1 + 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃 en la figura
que se muestra [−2,5; 2,5] por [−0,5; 4,5]
En el siguiente cuadro se da un resumen de algunas
de las gráficas polares básicas empleadas en cálculo.
Algunas curvas polares comunes
Círculos y espiral

de 15
Ejercicios
01. Compare la ecuación polar con las gráficas
marcadas 𝐼 − 𝑉𝐼. Use la tabla como ayuda.
a. 𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃 b. 𝑟 = 3
c. 𝑟 = 2 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 d. 𝑟 = 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
e. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛3𝜃 f. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛4𝜃
02. Pruebe la simetría de la ecuación polar con
respecto al eje polar, el polo y la línea 𝑢 = 𝜋/2.
a. 𝑟 = 2 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 b. 𝑟 = 4 + 8𝑐𝑜𝑠𝜃
c. 𝑟 = 3𝑠𝑒𝑐𝜃 d. 𝑟 = 5𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑠𝑐𝜃
𝑒. 𝑟 =
4
3 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑓. 𝑟 =
5
1 + 3𝑐𝑜𝑠𝜃
g. 𝑟2
= 4𝑐𝑜𝑠2𝜃 h. 𝑟2
= 9𝑠𝑒𝑛𝜃
03. Bosqueje la gráfica de la ecuación polar.
a. 𝑟 = 𝜃
b. 𝑟 = −1
c. 𝜃 = −
𝜋
2
d. 𝜃 =
5𝜋
6
e. 𝑟 = 6𝑠𝑒𝑛𝜃
f. 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
g. 𝑟 = −2𝑐𝑜𝑠𝜃
h. 𝑟 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃 + 2𝑐𝑜𝑠𝜃
i. 𝑟 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃

de 15
j. 𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃
k. 𝑟 = −3(1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
l. 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1
m. 𝑟 = 𝜃, 𝜃 ≥ 0 (espiral)
n. 𝑟𝜃 = 1, 𝜃 > 0 (espiral recíproca)
ñ. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (rosa de cuatro hojas)
o. 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃 (rosa de tres hojas)
p. 𝑟2
= 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (lemniscata)
q. 𝑟2
= 4𝑠𝑒𝑛2𝜃 (lemniscata)
r. 𝑟 = 2 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 (caracol)
s. 𝑟 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃 (caracol)
t. 𝑟 = 2 + 𝑠𝑒𝑐𝜃 (concoide)
u. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃 (cisoide)
04. Compare la ecuación polar con las gráficas
marcadas I_IV. Dé razones para sus respuestas.
a. 𝑟 = 𝑠𝑒𝑛(𝜃/2)
b. 𝑟 =
1
√𝜃
c. 𝑟 = 𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃
d. 𝑟 = 1 + 3cos (3𝜃)
05. Bosqueje una gráfica de la ecuación rectangular.
[Sugerencia: primero convierta la ecuación a
coordenadas polares.]
a. (𝑥2
+ 𝑦2
)3
= 4𝑥2
𝑦2
b. (𝑥2
+ 𝑦2
)3
= (𝑥2
− 𝑦2
)2
c. (𝑥2
+ 𝑦2
)2
= 𝑥2
− 𝑦2
d. 𝑥2
+ 𝑦2
= (𝑥2
+ 𝑦2
− 𝑥)2
Bibliográficas
• Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México:
PEARSON EDUCACIÓN.
• Stewart, James, Lothar Redlin y Saleem Watson
Precálculo. Matemáticas para el cálculo -
Quinta edición
• Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas
3. Cálculo de varias variables. México:
CENGAGE Learning.
Referencia
http://migueltarazonagiraldo.com/

Coordenadas polares

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Similar a Coordenadas polares

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV

Último

Coordenadas polares