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77 
4 
4.1 EL SISTEMA POLAR 
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 
POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, 
ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, 
ESPIRALES. 
Objetivos: 
Se pretende que el estudiante: 
• Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, 
hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en 
coordenadas polares
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78 
4.1 EL SISTEMA POLAR 
El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las 
coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si 
hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte 
desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de 
definir un punto. 
Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, 
mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando 
el par ordenado (r,θ ), en este caso se dice que son las coordenadas 
polares del punto. 
Se deducen las siguientes transformaciones: 
⎪⎨ ⎧ 
De rectangulares a polares: ⎪⎩ 
2 2 
r = x + 
y 
θ = 
y 
x 
arctg 
De polares a rectangulares: 
⎩ ⎨ ⎧ 
cos 
x r 
= θ 
sen 
y r 
= θ 
Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. 
Ejemplo 
Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1) 
SOLUCIÓN: 
Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
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π 
”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama 
79 
Utilizando las transformaciones 
⎧ 
⎪⎩ 
⎪⎨ 
r 2 2 
1 1 2 
= + = 
π 
θ = = 
4 
arctg 
1 1 
Además se podría utilizar otras equivalencias polares: 
π = − π = − π = − − π (Analícelas) 
( 2, ) ( 2, 7 ) ( 2,5 ) ( 2, 3 ) 4 4 4 4 
Para representar un punto en el plano, conociendo sus 
coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas 
rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser 
muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia 
ángulos y magnitudes. 
Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o 
Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas 
concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. 
Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama 
“Eje 2 
“Polo”.
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80 
π 
345D 
Ejercicios propuestos 4.1 
1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. 
Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 . 
a. ) 
2 
(1, 
π b. (3,0) 
(4, 2 
π 
c. ) 
− d. (−1,π) 
3 
( 2, 3 
π 
e. ) 
2 
− 
2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego 
encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. 
a. ) 
4 
( 2, 
π e. (4,3π) 
b. ) 
3 
( 1, 
π 
(2, 2 
π 
− f. ) 
3 
(4, 7 
π 
c. ) 
( 2, 5 
π 
− g. ) 
6 
3 
− − 
, 3 
2 
d. ) 
2 
( 3 
( 4, 5 
π 
π h. ) 
4 
− 
3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. 
a. (−1,1) b. (2 3,−2) 
c. (−1,− 3) d. (3,4) 
4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. 
Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. 
a. ) 
) (3, 3 
6 
π . b. ) (1,4 ) 
4 
(1, 
π 
− 
π c. ) 
( 2, − π 
4 
6 
) (1, 
3 
(1, 
π 
− 
π 
Eje Polar 
Polo 
Eje 2 
15D 
30D 
45D 
60D 
75D 
105D 
120D 
135D 
150D 
165D 
180D 
195D 
210D 
225D 
240D 
255D 270D 285D 
300D 
315D 
330D
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 
Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la 
forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, 
podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego 
representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la 
gráfica siguiendo estos puntos. 
81 
Ejercicio Propuesto 4.2 
1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. 
a. r sen(θ) = 2 b. r = 2sen(θ) 
c. 
1 
− θ 
r = d. r 2 = sen(2θ) 
1 cos( ) 
e. r 2 = θ f. 
3 
2 − 4cos( θ 
) 
r = 
2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. 
a. y = 5 e. y = x +1 
b. x2 + y2 = 25 f. x2 = 4y 
c. 2xy = 1 g. x2 − y2 = 1 
d. b2 x2 + a2 y 2 = a2b2 h. 
p 
y x 
4 
2 
= 
3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 
1. 
θ 
r 6 
= 
cos 
2. 
θ 
r 6 
= 
sen 
3. r = 6 cos θ 
4. r = 3+ 3cos θ 
5. r = 6 + 3cos θ 
6. r = 3+ 6 cos θ 
7. 
r 9 
= 
3 3cos 
+ θ 
8. 
r 9 
= 
6 3cos 
+ θ 
9. 
r 9 
= 
3 6cos 
+ θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
82 
4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS 
POLARES 
Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que 
permitan por inspección describir su lugar geométrico. 
4.3.1 RECTAS 
4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo. 
La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen 
pertenece a ella, es de la forma y = mx 
Realizando las transformaciones respectivas: 
y = 
mx 
r m r 
sen cos 
θ = θ 
θ 
= 
θ 
sen 
tg tg 
θ = φ 
cos 
m 
Resulta, finalmente: 
θ = φ 
Ejemplo 
Graficar 
π 
4 
θ = 
4 π 
Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es 
una recta, que pasa por el polo con un ángulo de . Es decir:
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se 
83 
encuentran a una distancia "d" del polo. 
Observemos la siguiente representación gráfica: 
cos θ − φ = d 
Del triangulo tenemos: ( ) 
r 
Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico 
sería: 
r d 
( ) θ − φ 
= 
cos 
Ejemplo 
4 
θ − π 
Graficar r = 
cos 
( ) 6
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
84 
6 SOLUCIÓN: 
Por π 
inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es 
una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del 
ángulo de la perpendicular a la recta es . ES decir: 
Ahora veamos casos especiales: 
1. Si φ = 0D entonces la ecuación resulta 
r d . Una recta 
θ 
= 
cos 
vertical. 
Al despejar resulta r cos θ = d es decir x = d . 
φ = entonces la ecuación resulta: 
2. Si 2 π 
r d d d 
= = 
cos π cos cos π sen sen π sen 2 2 2 
( ) θ + θ 
θ 
= 
θ − 
Una recta horizontal.
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
85 
3. Si φ = π entonces la ecuación resulta: 
r d d d 
= 
= 
cos cos cos sen sen cos 
( ) θ π + θ π 
− θ 
= 
θ − π 
Una recta vertical. 
4. Si 2 φ = 3 π entonces la ecuación resulta: 
r d d d 
= = 
cos 3 π cos cos 3 π sen sen 3 π sen 2 2 2 
( ) θ + θ 
− θ 
= 
θ − 
Una recta horizontal. 
4.3.2 CIRCUNFERENCIAS 
4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo. 
La ecuación cartesiana de una circunferencia es: 
x2 + y2 = a2 
Aplicando transformaciones tenemos: 
2 2 2 
x + y = 
a 
( ) ( ) 
( ) 
2 2 
2 2 2 
r cos θ + r sen 
θ = 
a 
2 2 2 2 2 
r cos θ + r sen 
θ = 
a 
2 2 2 2 
r cos sen 
a 
r = 
a 
θ + θ = 
Resultando, finamente: 
r = a
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
86 
Ejemplo 
Graficar r = 2 
SOLUCIÓN: 
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una 
circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2. 
4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y 
tienen centro el punto (a, φ) 
Observemos el gráfico: 
De allí obtenemos el triángulo:
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
87 
Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: 
( ) 
a r a ar 
2 cos 
2 2 2 
r ar 
= + − θ − φ 
2 cos 
= (θ − φ) 
2 
Resultando, finalmente: 
r = 2a cos(θ − φ) 
Ejemplo 
Graficar ( ) 3 r = 4 cos θ − π 
SOLUCIÓN: 
Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una 
circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( ) 3 2, π . Por tanto su 
gráfico es: 
Casos especiales, serían: 
1. Si φ = 0D tenemos r = 2a cos(θ − 0D )= 2a cos θ 
Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: 
r a 
2 cos 
= θ 
r a x 
r 
= 
r ax 
2 
= 
2 2 
x y ax 
2 
+ = 
( ) 
( )2 2 2 
2 2 2 2 
2 
x ax a y a 
2 0 
2 
− + + = + 
x − a + y = 
a
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88 
Una circunferencia con centro el punto (a,0) y radio r = a 
2. Si φ = π tenemos r = 2a cos(θ − π) = −2a cos θ 
Una circunferencia con centro el punto (−a,0) y radio r = a 
φ = tenemos = 2 cos(θ − π ) = 2 sen θ 2 r a a 
3. Si 2 π 
Una circunferencia con centro el punto (0, a) y radio r = a
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
89 
4. Si φ = 3 π2 tenemos = 2 cos(θ − 3 π ) = −2 sen θ 2 r a a 
Una circunferencia con centro el punto (0,−a) y radio r = a 
4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta 
directriz está a una distancia "d" del polo 
Observe la figura. 
Se define a la parábola ( e = 1), a la elipse ( 0 < e < 1) y a la hipérbola 
( e > 1) como el conjunto de puntos del plano tales que: 
d(P, F) = e d(P,l)
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
90 
Entonces: 
( ) ( ) 
d P F e d P l 
[ ( )] 
= 
cos 
r e d r 
= − θ − φ 
( ) 
r ed er 
( ) 
r er ed 
cos 
+ θ − φ = 
[ ( )] 
r e ed 
1 cos 
+ θ − φ = 
r ed 
+ (θ − φ) 
= 
= − θ − φ 
1 cos 
cos 
, , 
e 
Casos especiales son: 
1. Si φ = 0D tenemos 
r ed 
= 
1 e cos 
+ θ 
2. Si φ = π tenemos 
r ed 
= 
1 e cos 
− θ 
3. Si 
π 
φ = tenemos 
2 
r ed 
= 
1 esen 
+ θ 
4. Si 
2 
3 
π 
φ = tenemos 
r ed 
= 
1 esen 
− θ 
Ejemplo 1 
Graficar 
r 6 
= 
1 cos 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con 
foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y 
paralela al eje 
π ). Parábola cóncava a la izquierda. 
2
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
91 
Ejemplo 2 
Graficar 
r 6 
= 
1 cos 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en 
la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ x = −6 " (a la 
izquierda y paralela al eje 
π ). Cóncava hacia la derecha. 
2 
Ejemplo 3 
Graficar 
r 6 
= 
1 sen 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar). 
Cóncava hacia abajo.
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
92 
Ejemplo 4 
Graficar 
r 6 
= 
1 sen 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = −6 (paralela y abajo del eje polar). 
Cóncava hacia arriba. 
Ejemplo 5 
Graficar 
6 
2 
1 r 
= 
1 cos 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
e = 1 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el 
En este caso " 2 
polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. 
NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: 
r 12 ¿Por qué? 
= 
2 cos 
+ θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
93 
Ejemplo 6 
Graficar 
6 
2 
1 r 
= 
1 cos 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. 
Ejemplo 7 
Graficar 
6 
2 
1 r 
= 
1 sen 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia abajo.
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
94 
Ejemplo 8 
Graficar 
6 
2 
1 r 
= 
1 sen 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π 
hacia arriba. 
Ejemplo 9 
Graficar 
r 6 
= 
1 2cos 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
En este caso " e = 2 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el 
polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
95 
Ejemplo 10 
Graficar 
r 6 
= 
1 2cos 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. 
Ejemplo 11 
Graficar 
r 6 
= 
1 2sen 
+ θ 
SOLUCIÓN: 
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π 
hacia arriba.
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
96 
Ejemplo 12 
Graficar 
r 6 
= 
1 2sen 
− θ 
SOLUCIÓN: 
Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π 
hacia abajo. 
4.3.4 CARACOLES 
Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ±b cosθ o de 
la forma r = a ±b sen θ 
Consideremos tres casos: 
1. Si a = b se llama CARDIOIDES 
Ejemplo 1 
Graficar r = 6 + 6 cos θ 
Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) = f (−θ)
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
97 
Ejemplo 2 
Graficar r = 6 − 6 cos θ 
Ejemplo 3 
Graficar r = 6 + 6 sen θ 
Ejemplo 4 
Graficar r = 6 − 6 sen θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
98 
2. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO 
Ejemplo 1 
Graficar r = 6 + 3cos θ 
Ejemplo 2 
Graficar r = 6 − 3cos θ 
Ejemplo 3 
Graficar r = 6 + 3sen θ 
Esta gráfica presenta simetría al eje 
π , es decir: f (π − θ) = f (θ) 
2
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
99 
Ejemplo 4 
Graficar r = 6 − 3 sen θ 
3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO 
Ejemplo 1 
Graficar r = 3 + 6 cos θ 
Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. 
Ejemplo 2 
Graficar r = 3− 6 cos θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
100 
Ejemplo 3 
Graficar r = 3 + 6senθ 
Ejemplo 4 
Graficar r = 3 − 6 sen θ 
4.3.5 ROSAS 
Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma 
r = a cos (nθ) o r = a sen (nθ) para n > 1∧ n ∈ N 
De aquí consideramos dos casos: 
1. Si n es PAR es una rosa de 2n petálos
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
101 
Ejemplo 
Graficar r = 4 sen (2θ) 
SOLUCIÓN: 
Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos 
2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos 
Ejemplo 
Graficar r = 4 cos (3θ) 
SOLUCIÓN: 
Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
102 
4.3.6 LEMNISCATAS 
Tienen ecuación polar de la forma r 2 = a cos 2θ o de la forma 
r 2 = a sen 2θ 
Ejemplo 1 
Graficar r 2 = 4 cos 2θ 
Ejemplo 2 
Graficar r 2 = −4 cos 2θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
103 
Ejemplo 3 
Graficar r 2 = 4 sen 2θ 
4.3.7 ESPIRALES 
Consideramos dos tipos: 
4.3.7.1 Espiral de Arquímedes. 
Su ecuación polar es de la forma r = aθ 
Ejemplo 
Graficar r = 2θ
Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 
104 
4.3.7.2 Espiral de Logarítmica. 
Su ecuación polar es de la forma r = ae bθ 
Ejemplo 
Graficar r = 2e3θ 
Ejercicios propuestos 4.3 
1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 
1. r = 5 
2. 
π 
4 
θ = 
3. r = 2sen(θ) 
4. r = −cos(θ) 
5. r = −3cos(θ) 
6. 
2 
− θ 
1 sen( ) 
r = 
7. 
2 
− θ 
2 sen( ) 
r = 
8. 
2 
1 − 2sen( θ 
) 
r = 
9. r = 1− 2cos(θ) 
10. r = 3 + 2sen(θ) 
11. r = 2 − 4 sen θ ; 0 ≤ θ ≤ π 
12. r = 3(1− cos(θ)) 
13. r = 2 + 4sen(θ) 
14. r − 2 + 5sen(θ) = 0 
15. r = sen(3θ) 
16. r = sen(5θ) 
17. r = 2cos(4θ) 
18. r 2 = 4cos(2θ) 
19. r 2 = 3sen(2θ) 
20. r = −6cos(3θ) 
21. r = −4sen 3θ 
22. r = θ,θ > 0 
23. r = sen(θ) + cos(θ) 
24. sen(θ) + cos(θ) = 0 
2. Graficar en un mismo plano 
⎩ ⎨ ⎧ 
r = 
3cos 
y determine los puntos de intersección. 
= + 
θ 
θ 
1 cos 
r 
3. Graficar en un mismo plano 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
r = 
3 
sen y determine los puntos de intersección. 
= + 
θ 
θ 
1 cos 
r 
4. Graficar en un mismo plano 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
2 8cos 2 
r 
r y determine los puntos de intersección. 
= 
= − θ 
2 
5. Graficar en un mismo plano 
3 
2 
4 4 
⎧ ⎪ 
r 
= sen 
θ 
θ 
+ ⎨⎪ 
⎩ = + 
r sen 
y determine los puntos de intersección. 
6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4cos(2θ ) y exterior a r = 2 
( ) r 2 sen 
3 
7. Sea , : 
1 
p r 
r 
θ 
θ 
≤ ⎧⎨ 
⎩ ≥ 
, determine Ap(r,θ )

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Coordenadas polares - Matemática II

  • 1. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 77 4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES. Objetivos: Se pretende que el estudiante: • Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares
  • 2. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 78 4.1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto. Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ . Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r,θ ), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Se deducen las siguientes transformaciones: ⎪⎨ ⎧ De rectangulares a polares: ⎪⎩ 2 2 r = x + y θ = y x arctg De polares a rectangulares: ⎩ ⎨ ⎧ cos x r = θ sen y r = θ Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto P(1,1) SOLUCIÓN: Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:
  • 3. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares π ”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama 79 Utilizando las transformaciones ⎧ ⎪⎩ ⎪⎨ r 2 2 1 1 2 = + = π θ = = 4 arctg 1 1 Además se podría utilizar otras equivalencias polares: π = − π = − π = − − π (Analícelas) ( 2, ) ( 2, 7 ) ( 2,5 ) ( 2, 3 ) 4 4 4 4 Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2 “Polo”.
  • 4. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 80 π 345D Ejercicios propuestos 4.1 1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0 . a. ) 2 (1, π b. (3,0) (4, 2 π c. ) − d. (−1,π) 3 ( 2, 3 π e. ) 2 − 2. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. a. ) 4 ( 2, π e. (4,3π) b. ) 3 ( 1, π (2, 2 π − f. ) 3 (4, 7 π c. ) ( 2, 5 π − g. ) 6 3 − − , 3 2 d. ) 2 ( 3 ( 4, 5 π π h. ) 4 − 3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. (−1,1) b. (2 3,−2) c. (−1,− 3) d. (3,4) 4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. a. ) ) (3, 3 6 π . b. ) (1,4 ) 4 (1, π − π c. ) ( 2, − π 4 6 ) (1, 3 (1, π − π Eje Polar Polo Eje 2 15D 30D 45D 60D 75D 105D 120D 135D 150D 165D 180D 195D 210D 225D 240D 255D 270D 285D 300D 315D 330D
  • 5. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. 81 Ejercicio Propuesto 4.2 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen(θ) = 2 b. r = 2sen(θ) c. 1 − θ r = d. r 2 = sen(2θ) 1 cos( ) e. r 2 = θ f. 3 2 − 4cos( θ ) r = 2. Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. a. y = 5 e. y = x +1 b. x2 + y2 = 25 f. x2 = 4y c. 2xy = 1 g. x2 − y2 = 1 d. b2 x2 + a2 y 2 = a2b2 h. p y x 4 2 = 3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 1. θ r 6 = cos 2. θ r 6 = sen 3. r = 6 cos θ 4. r = 3+ 3cos θ 5. r = 6 + 3cos θ 6. r = 3+ 6 cos θ 7. r 9 = 3 3cos + θ 8. r 9 = 6 3cos + θ 9. r 9 = 3 6cos + θ
  • 6. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 82 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico. 4.3.1 RECTAS 4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx Realizando las transformaciones respectivas: y = mx r m r sen cos θ = θ θ = θ sen tg tg θ = φ cos m Resulta, finalmente: θ = φ Ejemplo Graficar π 4 θ = 4 π Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de . Es decir:
  • 7. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 4.3.1.2 Rectas tales que NO contienen al polo y se 83 encuentran a una distancia "d" del polo. Observemos la siguiente representación gráfica: cos θ − φ = d Del triangulo tenemos: ( ) r Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería: r d ( ) θ − φ = cos Ejemplo 4 θ − π Graficar r = cos ( ) 6
  • 8. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 84 6 SOLUCIÓN: Por π inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es . ES decir: Ahora veamos casos especiales: 1. Si φ = 0D entonces la ecuación resulta r d . Una recta θ = cos vertical. Al despejar resulta r cos θ = d es decir x = d . φ = entonces la ecuación resulta: 2. Si 2 π r d d d = = cos π cos cos π sen sen π sen 2 2 2 ( ) θ + θ θ = θ − Una recta horizontal.
  • 9. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 85 3. Si φ = π entonces la ecuación resulta: r d d d = = cos cos cos sen sen cos ( ) θ π + θ π − θ = θ − π Una recta vertical. 4. Si 2 φ = 3 π entonces la ecuación resulta: r d d d = = cos 3 π cos cos 3 π sen sen 3 π sen 2 2 2 ( ) θ + θ − θ = θ − Una recta horizontal. 4.3.2 CIRCUNFERENCIAS 4.3.2.1 Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x2 + y2 = a2 Aplicando transformaciones tenemos: 2 2 2 x + y = a ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 r cos θ + r sen θ = a 2 2 2 2 2 r cos θ + r sen θ = a 2 2 2 2 r cos sen a r = a θ + θ = Resultando, finamente: r = a
  • 10. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 86 Ejemplo Graficar r = 2 SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2. 4.3.2.2 Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto (a, φ) Observemos el gráfico: De allí obtenemos el triángulo:
  • 11. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 87 Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: ( ) a r a ar 2 cos 2 2 2 r ar = + − θ − φ 2 cos = (θ − φ) 2 Resultando, finalmente: r = 2a cos(θ − φ) Ejemplo Graficar ( ) 3 r = 4 cos θ − π SOLUCIÓN: Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( ) 3 2, π . Por tanto su gráfico es: Casos especiales, serían: 1. Si φ = 0D tenemos r = 2a cos(θ − 0D )= 2a cos θ Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: r a 2 cos = θ r a x r = r ax 2 = 2 2 x y ax 2 + = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 x ax a y a 2 0 2 − + + = + x − a + y = a
  • 12. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 88 Una circunferencia con centro el punto (a,0) y radio r = a 2. Si φ = π tenemos r = 2a cos(θ − π) = −2a cos θ Una circunferencia con centro el punto (−a,0) y radio r = a φ = tenemos = 2 cos(θ − π ) = 2 sen θ 2 r a a 3. Si 2 π Una circunferencia con centro el punto (0, a) y radio r = a
  • 13. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 89 4. Si φ = 3 π2 tenemos = 2 cos(θ − 3 π ) = −2 sen θ 2 r a a Una circunferencia con centro el punto (0,−a) y radio r = a 4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo Observe la figura. Se define a la parábola ( e = 1), a la elipse ( 0 < e < 1) y a la hipérbola ( e > 1) como el conjunto de puntos del plano tales que: d(P, F) = e d(P,l)
  • 14. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 90 Entonces: ( ) ( ) d P F e d P l [ ( )] = cos r e d r = − θ − φ ( ) r ed er ( ) r er ed cos + θ − φ = [ ( )] r e ed 1 cos + θ − φ = r ed + (θ − φ) = = − θ − φ 1 cos cos , , e Casos especiales son: 1. Si φ = 0D tenemos r ed = 1 e cos + θ 2. Si φ = π tenemos r ed = 1 e cos − θ 3. Si π φ = tenemos 2 r ed = 1 esen + θ 4. Si 2 3 π φ = tenemos r ed = 1 esen − θ Ejemplo 1 Graficar r 6 = 1 cos + θ SOLUCIÓN: En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = 6 " (a la derecha y paralela al eje π ). Parábola cóncava a la izquierda. 2
  • 15. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 91 Ejemplo 2 Graficar r 6 = 1 cos − θ SOLUCIÓN: Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana “ x = −6 " (a la izquierda y paralela al eje π ). Cóncava hacia la derecha. 2 Ejemplo 3 Graficar r 6 = 1 sen + θ SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = 6 (paralela y arriba del eje polar). Cóncava hacia abajo.
  • 16. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 92 Ejemplo 4 Graficar r 6 = 1 sen − θ SOLUCIÓN: Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = −6 (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba. Ejemplo 5 Graficar 6 2 1 r = 1 cos + θ SOLUCIÓN: e = 1 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el En este caso " 2 polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: r 12 ¿Por qué? = 2 cos + θ
  • 17. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 93 Ejemplo 6 Graficar 6 2 1 r = 1 cos − θ SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. Ejemplo 7 Graficar 6 2 1 r = 1 sen + θ SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia abajo.
  • 18. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 94 Ejemplo 8 Graficar 6 2 1 r = 1 sen − θ SOLUCIÓN: Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje 2 π hacia arriba. Ejemplo 9 Graficar r 6 = 1 2cos + θ SOLUCIÓN: En este caso " e = 2 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su derecha en el eje polar.
  • 19. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 95 Ejemplo 10 Graficar r 6 = 1 2cos − θ SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. Ejemplo 11 Graficar r 6 = 1 2sen + θ SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia arriba.
  • 20. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 96 Ejemplo 12 Graficar r 6 = 1 2sen − θ SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje 2 π hacia abajo. 4.3.4 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ±b cosθ o de la forma r = a ±b sen θ Consideremos tres casos: 1. Si a = b se llama CARDIOIDES Ejemplo 1 Graficar r = 6 + 6 cos θ Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) = f (−θ)
  • 21. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 97 Ejemplo 2 Graficar r = 6 − 6 cos θ Ejemplo 3 Graficar r = 6 + 6 sen θ Ejemplo 4 Graficar r = 6 − 6 sen θ
  • 22. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 98 2. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO Ejemplo 1 Graficar r = 6 + 3cos θ Ejemplo 2 Graficar r = 6 − 3cos θ Ejemplo 3 Graficar r = 6 + 3sen θ Esta gráfica presenta simetría al eje π , es decir: f (π − θ) = f (θ) 2
  • 23. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 99 Ejemplo 4 Graficar r = 6 − 3 sen θ 3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO Ejemplo 1 Graficar r = 3 + 6 cos θ Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. Ejemplo 2 Graficar r = 3− 6 cos θ
  • 24. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 100 Ejemplo 3 Graficar r = 3 + 6senθ Ejemplo 4 Graficar r = 3 − 6 sen θ 4.3.5 ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma r = a cos (nθ) o r = a sen (nθ) para n > 1∧ n ∈ N De aquí consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de 2n petálos
  • 25. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 101 Ejemplo Graficar r = 4 sen (2θ) SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos 2. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos Ejemplo Graficar r = 4 cos (3θ) SOLUCIÓN: Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos
  • 26. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 102 4.3.6 LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma r 2 = a cos 2θ o de la forma r 2 = a sen 2θ Ejemplo 1 Graficar r 2 = 4 cos 2θ Ejemplo 2 Graficar r 2 = −4 cos 2θ
  • 27. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 103 Ejemplo 3 Graficar r 2 = 4 sen 2θ 4.3.7 ESPIRALES Consideramos dos tipos: 4.3.7.1 Espiral de Arquímedes. Su ecuación polar es de la forma r = aθ Ejemplo Graficar r = 2θ
  • 28. Moisés Villena Muñoz Coordenadas Polares 104 4.3.7.2 Espiral de Logarítmica. Su ecuación polar es de la forma r = ae bθ Ejemplo Graficar r = 2e3θ Ejercicios propuestos 4.3 1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 1. r = 5 2. π 4 θ = 3. r = 2sen(θ) 4. r = −cos(θ) 5. r = −3cos(θ) 6. 2 − θ 1 sen( ) r = 7. 2 − θ 2 sen( ) r = 8. 2 1 − 2sen( θ ) r = 9. r = 1− 2cos(θ) 10. r = 3 + 2sen(θ) 11. r = 2 − 4 sen θ ; 0 ≤ θ ≤ π 12. r = 3(1− cos(θ)) 13. r = 2 + 4sen(θ) 14. r − 2 + 5sen(θ) = 0 15. r = sen(3θ) 16. r = sen(5θ) 17. r = 2cos(4θ) 18. r 2 = 4cos(2θ) 19. r 2 = 3sen(2θ) 20. r = −6cos(3θ) 21. r = −4sen 3θ 22. r = θ,θ > 0 23. r = sen(θ) + cos(θ) 24. sen(θ) + cos(θ) = 0 2. Graficar en un mismo plano ⎩ ⎨ ⎧ r = 3cos y determine los puntos de intersección. = + θ θ 1 cos r 3. Graficar en un mismo plano ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ r = 3 sen y determine los puntos de intersección. = + θ θ 1 cos r 4. Graficar en un mismo plano ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 2 8cos 2 r r y determine los puntos de intersección. = = − θ 2 5. Graficar en un mismo plano 3 2 4 4 ⎧ ⎪ r = sen θ θ + ⎨⎪ ⎩ = + r sen y determine los puntos de intersección. 6. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de r = 4cos(2θ ) y exterior a r = 2 ( ) r 2 sen 3 7. Sea , : 1 p r r θ θ ≤ ⎧⎨ ⎩ ≥ , determine Ap(r,θ )