El documento presenta objetivos relacionados con la circunferencia y la parábola. Explica conceptos como el centro, radio y ecuación de la circunferencia, así como el vértice, foco, directriz y lado recto de la parábola. Incluye ejercicios resueltos que muestran cómo encontrar la ecuación de diferentes circunferencias y parábolas dados ciertos puntos u otros elementos.

1. LA CIRCUNFERENCIA Y
LA PARÁBOLA
UNIDAD 13

2. OBJETIVOS
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO
OBJETIVO

3. Objetivo 2.
Recordarás y aplicarás la definición de
la circunferencia como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.

4. 1. Encuentra la ecuación de la circunferencia
cuyo diámetro es el segmento , donde A(-2,
4) y B(6, -2)
C(h, k) = punto medio de
x x
 
2 6
2
y y
4   
2
Radio = distancia de C a A
AB
1 2
2
h

 

4
2
2

1 2
2
k

 
2

2
1
2

C(2, 1)
    2 2
r  d     
2 2 4 1
CA
 16  9  25  5
r  5

5. Cont…ejercicio resuelto 1
Ecuación de la circunferencia:
 2  1 25 2 2 x   y  
4 4 2 1 25 0 2 2 x  x   y  y   
4 2 20 0 2 2 x  y  x  y  

6. 2. Determina la ecuación de la circunferencia que
pasa por los puntos A(2, 3) y B(-1, 1), y cuyo
centro está situado en la recta
x 3y 11 0
Por la definición del lugar geométrico de una
circunferencia con centro en C(h, k):
x 3y 11 0
C(h, k) es un punto de la recta
por lo tanto satisface su ecuación:
CA CB d  d
       2 2 2 2 h  2  k  3  h 1  k 1
       2 2 2 2 h  2  k  3  h 1  k 1
4 4 6 9 2 1 2 1 2 2 2 2 h  h   k  k   h  h   k  k 
6h  4k 11 0
6h  4k 11 0 ....................(1)
h 3k 11 0 ...............(2)

7. Cont…..ejercicio resuelto 2.
Se resuelven las ecuaciones (1) y (2)
simultáneas:
6h  4k 11 0
h 3k 11 0
h  3k 11
63k 11 4k 11  0
22k  55
5
2
k  
11
5


h  
3  
2


7
2





5

2
7
,
2
C

8. Cont…..ejercicio resuelto 2.
La ecuación de la circunferencia es
7

x  y
  

o, en la forma general,
130
4
5
2
2
2 2

 







0
130
7 2 2 x  x   y  y   
4
25
4
5
49
4
7 5 14 0 2 2 x  y  x  y  

9. 3. Encuentra la ecuación de la circunferencia
inscrita en el triángulo cuyos lados son las
rectas:
R x y
: 2  3  21 
0
R x y
: 3  2  6 
0
R x y
: 2 3 9 0
1
2
3
  
 El término “inscrita” indica que la circunferencia
está dentro del triángulo y su centro, el punto
C(h, k), es el punto donde se intersectan las
bisectrices de los ángulos interiores del
triángulo.
 Ver la siguiente figura

11. Cont….ejercicio resuelto 3
 Ecuación de la bisectriz
(1) del ángulo que
forman las rectas R1 y
R2:
 Ecuación de la
bisectriz (2) del
ángulo que forman las
rectas R1 y R3:
x  y  x y
3 2 6
2 3 21
 
2  2 2  2 3 2
2 3
  

  
x  y  x y
3  2 
6
13
2 3 21
13



 2x  3y  21 3x  2y  6
5x  5y 15  0
x  y  3  0
x  y  x y
2  3 
9
13
2 3 21
13



2x 3y  21 2x  3y  9
 6y 12  0

12. Cont…..ejercicio resuelto 3
 Con estas dos bisectrices se encuentra el punto
donde se intersectan las tres, que es el centro de la
circunferencia de coordenadas (h, k):
 De la bisectriz (2):
 En la bisectriz (1):
6y 12  0
12
y 
2= k
6
=
x  y  3  0 x  23  1 = h
 El radio es la distancia del centro a cualquiera de las rectas,
por ejemplo a R3:
   
2  1  3 2 
9
13
13

 
2 2
2 3
r

13
 La ecuación de la circunferencia es:
 1  2 13 2 2 x   y  
2 1 4 4 13 0 2 2 x  x   y  y   
2 4 8 0 2 2 x  y  x  y   Índice

13. Objetivo 3.
Recordarás las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una circunferencia
y la necesidad de conocer tres constantes
independientes para determinar la
ecuación de esta curva. Utilizarás estos
conceptos para resolver problemas.

14. Obtén la forma canónica de la ecuación que se da y
determina si representa una circunferencia real, un
punto o ningún lugar geométrico real.
1.
8 6 29 0 2 2 x  y  x  y  
8 16 6 9 29 16 9 2 2 x  x   y  y     
 4  3 4 2 2 x   y   
Como r2 < 0, la ecuación no representa un lugar geométrico real.
2.
3 3 6 6 6 0 2 2 x  y  x  y  
2 2 2 0 2 2 x  y  x  y  
2 1 2 1 2 1 1 2 2 x  x   y  y    
 1  1 4 2 2 x   y  
Puesto que r = 2 > 0, la ecuación representa una circunferencia con centro en C(–1, 1) y radio 2.

15. 3. Encuentra la forma canónica de la
ecuación de la circunferencia que pasa por
los puntos (1, 3), (5, 2) y (3, 4).
Por igualación: (1) = (2) y (1) = (3):
De (4):
    2 2 2 1 2 ......................(h  k  r 1)
    2 2 2 5h  2k  r ......................(2)
    2 2 2 3h  4k  r ......................(3)
        2 2 2 2
1h  2 k  5 h  2 k ........(4)
        2 2 2 2
1h  2 k  3 h  4 k ........(5)
2 2 2 2 1 2h  h  4  4k  k  2510h  h  4  4k  k
h
8 
24
h

3

16. Cont….ejercicio resuelto 3
De (5):
2 2 2 2 1 2h  h  4  4k  k  9  6h  h 16 8k  k
4h  4k  20 h  k  5
Sustituyendo h:
k
3  
5
k

2
El centro de la circunferencia es el punto C(3, 2)
En (1):
    2 2 2 1 h  2  k  r
2 2 2
 1 3   2 2

   
2
4 0
r
r
 
Entonces el radio es igual a 2, y la forma canónica
de la ecuación es:
 3  2 4 2 2 x   y  
Índice

17. Objetivo 4.
Recordarás y aplicarás la definición
de la parábola como un lugar
geométrico y su ecuación en la
forma canónica y en la forma
general.

18. 1. Encuentra el vértice, el foco, la ecuación de
la directriz y la longitud del lado recto de la
parábola
p 
y  x 
El vértice está en el origen, el eje de la parábola
es el eje x y abre a la derecha. Resumiendo, la
parábola tiene:

2

Vértice en (0, 0) Foco en
2
Directriz Eje de la parábola y = 0
Lado recto
3y 8x 2 
2 3y  8x  2 8
3
8
4
3
2
> 0
3
p 




,0
3
3
x  
8
3
LR 

19. 2. Encuentra la ecuación de la parábola de
vértice en la recta eje horizontal y
que pasa por los puntos (3, –5) y
Eje horizontal →
0437y x


3
El punto (3, –5) pertenece a la parábola →


3
El punto pertenece a la parábola →
V(h, k) pertenece a la recta →


1 ,
2
y  k   4 px  h 2
 5  k   4 p3  h 2


3
  

 k  p  h


2
1 4 2




1 ,
2
7h 3k  4  0

20. Cont….ejercicio resuelto 2
Se tienen 3 ecuaciones y 3 incógnitas: h, k y p. Se
debe resolver el sistema de ecuaciones:
2510k  k2 12 p  4 ph  25 10 12 4 0 2  k  k  p  ph 
2 1 2k  k  6 p  4 ph  1 2 6 4 0 2  k  k  p  ph 
7h 3k  4  0
en el que dos de las ecuaciones son de segundo
grado.
Al restar una de otra se pueden eliminar los
términos en k2 y en ph, con lo que se obtiene una
ecuación de primer grado:

21. Cont……..ejercicio resuelto 2.
2
k k p ph
k k p ph
    
2
10 12 4 25 0
2 6 4 1 0
12 6 24 0
     
k p
  
En esta ecuación se puede despejar p en función
de k, y en la tercera ecuación del sistema
original se puede despejar h en función de k:
k p
k p
p k
12 6 24 0
2 4 0
  
  
 2 
4
h k
h k
7 3 4 0
7 4 3
k
4 3
7
h
  
 



22. Cont….ejercicio resuelto 2.
Al sustituir en cualquiera de las dos ecuaciones
de segundo grado (en este caso en la
segunda) queda: 4 3
2 2 6  2 4  4  2 4  1 0
7
k
k k k k
  
        
 
  2 4 3
2 12 24 8 16 1 0
7
k
k k k k
  
        
 
   2 7k 14k 84k 168 8k 16 43k 7  0
2 2 7k 98k 16832k  24k  64 48k  7  0
2 17k 114k 97  0
2 17k 114k 97  0
   2 114 114 4 17 97
34
k
  

1 y 97
k   k  
17

23. Cont….ejercicio resueltos 2.
Se encuentran dos conjuntos de valores para las incógnitas:
a) k = –1, h = 1, 4p = 8; Ecuación:
b) L
Ecuación:
 1 8 1 2 y   x 
97
17
k  
359
 h
119
504
17
4p  





504
   







359
119
17
97
17
2
y x

24. 3. Encuentra la altura de un punto situado a una
distancia de 8m del centro del arco parabólico
que tiene 18m de altura y 24m de base.
Colocando el arco en el
plano de manera que el
eje x sea la base del
arco y el origen el punto
medio de la base, como
la base mide 24m los
dos puntos en que el
arco cruza al eje x son
(–12, 0) y (12, 0); su
vértice está en (0, 18) y
el punto situado a 8m
del centro del arco tiene
coordenadas (8, 0)

25. Cont….ejercicio resuelto 3.
La ecuación es de la forma:
x  h  4 py  k  2
 0 4  18 2 x   p y  4  18 2 x  p y 
La curva pasa por (12, 0), de modo que
12 4 0 18 2  p 
144  
72
Ecuación de la parábola:
Altura del arco a 8m del centro:
8  144 
64
80
 
Altura: 10m
2
 
p
p
8( 18) 2 x   y 
8 8 18 2   y 
10
8
y
y
Índice

26. Objetivo 5.
Recordarás y aplicarás las
características de los coeficientes de
una ecuación de segundo grado que
representa a una parábola, y la
necesidad de tres condiciones para
determinar su ecuación.

27. 1. Determina el lugar geométrico que
representa la ecuación
4 7 2 y  x 
 En este caso A = 0, C ≠ 0 y D ≠ 0, por lo
tanto representa a una parábola. Como el
término al cuadrado es el de y, su eje es
paralelo, o coincidente, con el eje x. Su forma
canónica es:
4 7 2 y  x 
4 7 2    x y   
de modo que el vértice es:


0 4 2 y x
   


7
4






7
,0
4
V
Entonces el eje de la parábola coincide con el eje
y.
Índice